chuyên đề cực trị

Th viện SKKN của Quang Hiệu http://quanghieu030778.violet.vn/ Trờng THCS Thái Thịnh Tổ khoa học tự nhiên Chuyên đề : Cách giải bài toán tìm cực trị Của tam thức bậc hai Môn Toán Lớp 8 ---------------- Năm 2005 - 2006 phần I : đặt vấn đề I. cơ sở lý thuyết. Môn toán nói chung và môn Đại số lớp 8 nói riêng có nhiều dạng bài tập, trong đó dạng toán tìm cực trị (giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắn nhất, dài nhất . Qua những bài toán dẫn dắt học sinh có thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống thực tế. Điều đó cho thấy rằng toán cực trị là loại toán rất gần gũi với thực tế và có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày. Nó giúp học sinh rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất. Vì vậy, nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Toán cực trị đợc đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy giáo viên rất khó khăn trong việc su tầm và tuyển chọn, và một vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để học sinh nắm đ ợc phơng pháp, t duy suy luận một cách có lô gíc khi giải toán cực trị ? Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề trên, bản thân là giáo viên thờng xuyên giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8 chúng tôi (nhóm Toán trờng THCS Thái Thịnh) mạnh dạn đa chuyên đề Phơng pháp tìm cc trị của tam thức bậc hai vào dạy cho học sinh lớp 8. II. những yêu cầu cần thiết. 1. Đối với giáo viên. - Su tầm tài liệu, đọc, nghiên cứu để hệ thống hoá kiến thức, hệ thống các bài tập về cực trị thuộc dạng tam thức bậc hai. - Tìm hiểu sâu về các bài toán cực trị trong nội dung chơng trình toán ở bậc trung học cơ sở. - Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị. - Dự đoán đợc một số sai sót của học sinh có thể mắc phải và nêu đợc những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị. 2. Đối với học sinh. - Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của bài toán cực trị dạng tam thức bậc hai. - Có kĩ năng vận dụng linh hoạt và sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị vào từng bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp. - Thấy đợc những ứng dụng của toán cực trị trong thực tế. Phần II : Nội dung A. Một số dạng toán cực trị trong đại số. I. Định nghĩa và chú ý. 1. Cho biểu thức f(x). - Giá trị M đợc gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện : +Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) M (M là hằng số) (1) + Tồn tại x 0 sao cho f(x 0 ) = M (2) - Giá trị m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện : + Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) m (m là hằng số) (1) + Tồn tại x 0 sao cho f(x 0 ) = m (2) 2. Kí hiệu : GTLN của hàm f là M = max f(x) GTLN của hàm f là m = min f(x) 3. Tổng quát chung : Đối với biểu thức chứa nhiều biến ta cũng có định nghĩa tơng tự. 4. Các bớc tìm cực trị : Từ các định nghĩa trên, thông thờng, để tìm GTLN hoặc GTNN ta tiến hành theo 3 bớc nh sau : - Bớc 1 : Xác lập bất đẳng thức dạng : f(x) M hoặc f(x) m với M, m là các hằng số. - Bớc 2 : Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? - Bớc 3 : Kết luận max hoặc min theo yêu cầu. 5. Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1) thì cha thể nói gì về cực trị của một biểu thức. Chẳng hạn, xét biểu thức (x 1) 2 + (x 3) 2 . Mặc dù ta có A 0, nhng cha thể kết luận đợc minA, vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0. II. Các kiến thức thờng dùng. 1. x 2 0 x Dấu = xảy ra x = 0 Mở rộng : [f(x)] 2n 0 , x R , n Z. Khi đó ta có [f(x)] 2n + M M ; -[f (x)] 2n + m m. Dấu = xảy ra f(x) = 0 2. a/ a 2 + b 2 2ab , a, b. Dấu = xảy ra a = b b/ 2 a b b a + a > 0, b > 0. Dấu = xảy ra a = b III. phơng pháp tìm cực trị của tam thức bậc hai. Để tiến hành giải bài toán tìm cực trị ta có nhiều phơng pháp. Song để đơn giản hoá kiến thức chúng tôi thống nhất chọn phơng pháp nhóm so sánh để tìm cực trị của tam thức bậc hai. Dùng các phép biến đổi đại số để nhóm các số hạng và đa bất đẳng thức ban đầu về các dạng sau : p = A 2 + k k, p = -B 2 + l l, p = A 2 + B 2 + m m, p = A.B 2 + n n với A 0, p = A.B k.l với A k > 0, B l > 0. Tất nhiên là dấu đẳng thức phải xảy ra trong miền xác định của các biến số. Ngoài ra, đôi khi ta sử dụng các tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số, chẳng hạn : M N, a > 1 a M a N ; M N, 0 < a < 1 a M a N ; A B > 0, > 0 A B ; A B > 0, < 0 A B . Lu ý rằng nếu ta sử dụng nhiều bất đẳng thức so sánh thì dấu = xảy ra phải mang tính đồng thời ở các đẳng thức đó. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức : 1/ A = x 4 + 4x 2 3; 2/ B = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1; 3/ C = (x 1) 2 + (x 2 1) 4 + (x 3 1) 6 . Giải : 1/ Vì x 4 , x 2 0 nên suy ra A 0 + 0 3 A -3. Dấu = xảy ra x = 0 Vậy minA = -3 khi x = 0 Cách khác : Ta có A = x 2 (x 2 + 4) 3 3. Dấu = xảy ra x 2 (x 2 + 4) = 0 x = 0 Vậy minA = -3 khi x = 0 2/ Ta có B = (x 2 + x + 1) 2 = 16 9 4 3 2 1 x 2 2 + + Vì 4 3 4 3 2 1 x 2 + + , dấu = xảy ra khi x = 2 1 . Nên minB = 16 9 x = 2 1 . 3/ Dễ thấy C 0. Dấu = xảy ra khi (x 1) 2 = (x 2 1) 4 = (x 3 1) 6 = 0 x = 1 Vậy minC = 0, khi x = 1 Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = - x 2 + 2x + 6 Giải : Ta có B = - x 2 + 2x + 6 = -(x 2 2x) + 6 = -( x 1) 2 + 7 Vì -( x 1) 2 0 , x -( x 1) 2 + 7 7. Dấu = xảy ra khi x = 1 Vậy max B = 7 x = 1 IV. Một số bài tập áp dụng. Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x 2 x + 1 Giải : Ta có A = x 2 x + 1 = x 2 2x. 2 1 + 4 1 + 4 3 = 2 2 1 x + 4 3 Vì 2 2 1 x 0 x nên 2 2 1 x + 4 3 4 3 Dấu = xảy ra 0 2 1 x = 2 1 x = Vậy min A = 2 1 x = 2 1 Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = - x 2 + 4x + 5 Giải : Ta có B = -x 2 + 4x + 5 = 9 (x 2) 2 Vì - (x - 2 ) 2 0 x nên 9 (x - 2 ) 9 Dấu = xảy ra x 2 = 0 x = 2 Vậy max B = 9 x = 2 Bài 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : D = (x+1) 2 + (x + 3 ) 2 Giải : Ta có D = 2(x +2 ) 2 + 2 2 x Vì: 2(x + 2 ) 2 0 x 2(x +2 ) 2 + 2 2 Dấu "=" xảy ra x = -2. Vậy min D = 2 x = -2 Bài 4 : Tìm x N để 3x2 8x7 đạt giá trị lớn nhất. Giải : Đặt A = 3x2 8x7 2A = 3x2 16x14 = 3x2 5)3x2(7 + = 7 + 3x2 5 Nhận thấy A lớn nhất 2A lớn nhất 3x2 5 lớn nhất 2x 3 là số dơng nhỏ nhất. Mà x N nên 2x 3 dơng nhỏ nhất bằng 1 x = 2 Vậy max(2A) = 12 maxA = 6 x = 2. Bài 5 : Tìm x Z để M = 5x x7 đạt giá trị nhỏ nhất. Giải : Ta có M = 5x )7x( = 5x )25x( = -1 + 5x 2 Để M nhỏ nhất thì 5x 2 nhỏ nhất x 5 là số âm lớn nhất. Mà x Z nên x 5 = -1 x = 4 Vậy min M = -1 2 = -3 khi x = 4. Bài 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4x2x 1 2 + . Giải : Ta có P = 4x2x 1 2 + = 3)1x( 1 2 + Nhận thấy P nhỏ nhất (x 1) 2 + 3 nhỏ nhất. Mà (x 1) 2 0 với x (x 1) 2 + 3 3 Do đó (x 1) 2 + 3 đạt GTNN bằng 3 x = 1. Vậy min P = 3 1 x = 1. Bài 7 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Q = 1x 3x4 2 + + . Giải : a/ Ta có Q = 1x 1x4x4x 2 22 + ++ = 1 1x )2x( 2 2 + + Do 1x )2x( 2 2 + + 0 với x Q -1 với x. Dấu = xảy ra x = -2 Vậy min Q = -1 x = -2 b/ Ta có Q = 1x 1x4x44x4 2 22 + ++ = 1x )1x2()1x(4 2 22 + + = 1x )1x2( 4 2 2 + Do 1x )1x2( 2 2 + 0 với x Q 4. Dấu = xảy ra x = 2 1 Vậy maxQ = 4 x = 2 1 Bài 8 : Tìm GTNN của M = 1x2x 6x8x3 2 2 + + . Giải : ĐKXĐ : x 1 Ta có M = 2 2 )1x( 1)1x(2)1x2x(3 ++ = 2 2 )1x( 1)1x(2)1x(3 + = 2 )1x( 1 1x 2 3 + Đặt y = 1x 1 , khi đó M = 3 2y + y 2 = (y 1) 2 + 2 2 Dấu = xảy ra y = 1 1x 1 = 1 x = 2 Vậy min M = 2 x= 2 3. Một số nhận xét. a/ Cho tam thức bậc hai: P = ax 2 + bx + c (a 0) Ta có P = ax 2 +bx + c = a(x 2 + a b x) + c (do a 0) = a (x + a2 b ) 2 + c - a4 b 2 = a (x + a2 b ) 2 + a4 bac4 2 Đặt a4 bac4 2 = k Do (x + a2 b ) 2 0 nên - Nếu a > 0 thì a.(x + a2 b ) 2 0 do đó P k min P = k x + a2 b = 0 x = - a2 b - Nếu a < 0 thì a.(x + a2 b ) 2 0 do đó P k max P = k x = - a2 b - Từ đó ta đi đến kết luận : Mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất) b. Khi giải toán cực trị của hàm phân thức, học sinh cần phải biết biến đổi linh hoạt để tách phần nguyên. Có những biểu thức tồn tại cả GTLN và GTNN nh bài toán đã trình bày ở ví dụ 10, cho nên học sinh cần định hớng cách phân tích bài toán để làm xuất hiện những tình huống theo yêu cầu bài toán nêu. Phần III : Kết luận Trong chuyên đề này chúng tôi đã nêu phơng pháp tìm cực trị của tam thức bậc hai thờng gặp trong chơng trình toán 8 Do thời gian có hạn và tài liệu tham khảo cha đầy đủ nên đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót . Chúng tôi mong rằng tài liệu này sẽ góp phần vào việc giúp học sinh lớp 8 nói chung và học sinh giỏi lớp 8 nói riêng học tốt hơn về toán cực trị , phát triển t duy , sáng tạo thúc đẩy niềm say mê hứng thú học toán của học sinh Mong có đợc sự đóng góp ý kiến của các bạn đồng nghiệp. Phần iV : Hớng đề xuất. a- Đối với giáo viên: Phải nhận thức đúng vị trí quan trọng của bộ môn toán trong toàn bộ hệ thống kiến thức cơ bản của bậc THCS. Xác định đợc tầm quan trọng của toán nâng cao trong việc bồi dỡng học sinh giỏi. - Giáo viên phải thờng xuyên nghiên cứu, học tập, trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, có kinh nghiệm trong giảng dạy đối tợng học sinh giỏi . b- Đối với nhà trờng: - Trớc hết tổ chuyên môn phải là chỗ dựa vững chắc, tin cậy cho giáo viên trong việc trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, cần phải tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên về các điều kiện giảng dạy nh: có đủ sách tham khảo cần thiết để nghiên cứu. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn ! Thái Thịnh, ngày 5/3/2006 T/M tổ Tổ trởng Hoàng Thế Việt Giáo án dạy thực nghiệm Lớp 8A Trờng THCS Thái Thịnh Bài giảng : Tìm cực trị bằng phơng pháp tam thức bậc hai A - Mục đích yêu cầu : - Học sinh nắm đợc nội dung tìm cực trị bằng phơng pháp tam thức bậc hai - Biết cách biến đổi đa biểu thức về dạng : k [ f(x)] 2n ( n N * ) để tìm đợc giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức - Rèn cho học sinh kĩ năng sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ và kĩ năng biến đổi đại số trong quá trình thực hiện B - Nội dung - phơng pháp : I - Tổ chức II - Kiểm tra Giáo viên gọi 2 học sinh lên bảng, mỗi học sinh làm một phần sau : HS1: chứng minh x 2 - x + 1= ( x - 1/2 ) 2 + 3/4 HS2: chứng minh 2x - x 2 + 5 = - ( x - 1 ) 2 + 6 III - Dạy học bài mới 1) Lý thuyết Cho tam thức bậc hai : P(x) = ax 2 + bx + c , a ; b ; c R , a 0 Ta có P(x) = a + x a b x 2 + c = a ++ 2 2 2 a4 b a2 b .x2x + c - a4 b 2 = a a4 bac4 a2 b x 2 2 + + Đặt a4 bac4 2 = k = const . Ta có 0 a2 b x 2 + với mọi x + Nếu a > 0 thì a 0 a2 b x 2 + => P(x) k => min P(x) = k <=> x = - a2 b + Nếu a <0 thì a 0 a2 b x 2 + => P(x) k => max P(x) = k <=> x =- a2 b 2) Ví dụ Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Để tạo sự lô gíc cho phần tiếp theo GV lấy hai ví dụ ở phần kiểm tra A =x 2 - x + 1 Giải : A = x 2 - x + 1 = ( x - 1/2 ) 2 + 3/4 GVhớng dẫn HS cách lập luận : Vì ( x - 1/2 ) 2 0 với x nên ( x - 1/2 ) 2 + 3/4 3/4 Cho biết biểu thức A luôn " " Dấu bằng xảy ra <=> x = 1/2 số nào ? vì sao ? Vậy min A = 3/4 <=> x = 1/2 Khi nào dấu "=" xảy ra ? Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 2x - x 2 + 5 Giải Tơng tự HS lên bảng thực hiện B = - ( x -1) 2 + 6 ví dụ 2 [...]... toán tìm cực trị của một phân thức về bài toán tìm cực trị của một đa thức , từ đó áp dụng phơng pháp tam thức bậc hai * Luyện tập : 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : a) E = x2 - 4x + 9 b) F = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 3 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : H = - 5 x2 - 4x + 1 IV Hớng dẫn về nhà - Học kĩ phơng pháp biến đổi tỏng quát - Xem lại các ví dụ đã thực hiện trong bài 1- Tìm giá trị nhỏ... thế làm xuất hiện ở M = (x - y)2 + ( y - 2 )2 + 1 1 đúng x y= 0 dấu bằng xảy ra x= y= 2 y 2= 0 Cho biết dấu bằng xảy ra khi nào? Vậy min M = 1 x = y= 2 từ đó cho biết min M Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của N = 2 x 6 x + 10 2 GV : để áp dụng phơng pháp tam thức bậc hai ở ví dụ này ta cần Ta có N = 2 2 2 = = 2 2 x 6 x + 10 x 6x + 9 + 1 ( x 3) + 1 phải có lập luận nh thế nào 2 Do ( x -...Vì - ( x -1)2 0 , x => - ( x -1)2 + 6 6 HS dấu bằng xảy ra x = 1 có ) vậy max B = 6 x = 1 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2 + 2y2 - 2xy - 4y + 5 VD3 Giải : nào để M = ( x2 - 2xy + y2) + (y2 - 4y + 4) + 1 các bình phong GV nhận xét bài làm của ( uốn nắn sai sót nếu Đối với đa thức nhiều biến... Hớng dẫn về nhà - Học kĩ phơng pháp biến đổi tỏng quát - Xem lại các ví dụ đã thực hiện trong bài 1- Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức : a) A = 4x2 - 4x + 5 b) B = x2 - 2x + y2 + 4y + 5 2- Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức a) - 2x2 - 4x + 1 b) - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y +5 c) 9 x 2x + 11 2 . kết luận : Mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất) b. Khi giải toán cực trị của hàm phân thức, học sinh cần. niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của bài toán cực trị dạng tam thức bậc hai. - Có kĩ năng vận dụng linh hoạt và sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị