ĐỀ TÀI : HƯỚNG DẪN HỌC SINH CÁC CÁCH CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀ ỨNG DỤNG CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP. I/ Đặt vấn đề : Học sinh biết cách chứng minh tứ giác nội tiếp từ kiến thức cơ bản ở SGK là cần thiết song từ kiến thức cơ bản đó nhiều HS còn chưa linh hoạt trong cách trình bày hoặc trình bày bài toán dài dòng ,mặc khác đa số HS chưa thể sử dụng được cách chứng minh tứ giác nội tiếp cho phù hợp một cách nhanh chóng,hơn nữa việc áp dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh bài toán có liên quan còn chưa định hướng rõ ràng .Để giúp HS nắm vững cách chứng minh tứ giác nội tiếp nhanh gọn và những ứng dụng của nó trong một số bài toán đặc trưng tôi xin được viết ra mạch kiến thức được suy diễn từ cơ bản ở SGK giúp HS giải toán nhanh chóng và biết rõ ứng dụng của tứ giác nội tiếp vào việc chứng minh bài toán khác . II/ Giải quyết vấn đề : Để HS nắm bắt được các cách chứng minh tứ giác nội tiếp và các ứng dụng của tứ giác nội tiếp hãy bắt đầu từ kiến thức cơ bản ở SGK , xây dựng và hình thành nên cách chứng minh tứ giác nội tiếp một cách nhanh chóng giúp HS nhớ và áp dụng. A/ Kiến thức cơ bản : 1) Tứ giác nội tiếp là tứ giác có 4 đỉnh nằm trên một đường tròn. 2) Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 . Đảo lại, nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn . Dựa vào kiến thức cơ bản trên GV hình thành các cách chứng minh tứ giác nội tiếp. Ba cách cơ bản sau : 1 A B C D . O Cách 1: Dựa vào định nghĩa Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) ⇔ OA=OB=OC=OD. Cách 2: Dựa vào tính chất về góc Tứ giác ABCD nội tiếp · · 0 BAD BCD 180⇔ + = ( hoặc · · 0 ABC ADC 180+ = ) Cách 3: Dựa vào cung chứa góc Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn . · · ADB ACB α = = ⇔ A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn. Nghĩ thêm được gì từ cách 2 ? Tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi góc ngoài ở một đỉnh bằng góc trong đối diện với đỉnh đó. Tứ giác ABCD nội tiếp · · CDx ABC⇔ = . 2 B A D O C C A B D A B x D C α α Dành cho HS khá -giỏi ( Suy diễn từ cách 3,quĩ tích cung chứa góc) Bài toán 1 Nếu tứ giác ABCD có hai cạnh đối AB và CD kéo dài cắt nhau tại M thỏa mãn hệ thức : MA.MB = MC.MD thì tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn . Hướng dẫn c/m : C/m được : Tam giác MAC đồng dạng với tam giác MDB · · ABD ACD⇒ = ⇒ A, B,C,D cùng thuộc một đường tròn. Bài toán 2 Nếu hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD cắt nhau tại P thỏa mãn hệ thức PA.PC = PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp. Hướng dẫn C/m : C/m được tam giác PAD đồng dạng với tam giác PBC ,suy ra A,B,C,Dcùng thuộc một đường tròn. HS khá -giỏi nắm được 2 bài toán bổ trợ trên giúp các em có định hướng C/m tứ giác nội tiếp một cách nhanh chóng. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP & ỨNG DỤNG CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀO CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN ĐẶC TRƯNG. • Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn . Nếu phải chứng minh 5 điểm A,B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn , ta có thể chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp ,suy ra 4 điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn ; c/m tứ giác ABCE nội tiếp, suy ra 4 điểm A,B,C,E cùng thuộc một đường tròn. Hai đường tròn này có 3 điểm chung A,B,C nên chúng trùng nhau , từ đó suy ra 5 điểm A,B,C,D,E cùng thuộc một đường tròn . 3 A C B D M P D C B A Bài tập minh họa : Cho góc xAy vuông .Trên Ax lấy điểm B cố định, trên tia Ay lấy điểm C di động Vẽ đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,F . Hai đường thẳng DE và OA cắt nhau tại G. Chứng minh 5 điểm O,D,G,B,O cùng thuộc một đường tròn . ( HS có thể xét trường hợp điểm G nằm giữa 2 điểm D và E c/m tương tự ) . Hướng dẫn giải : Ta dễ dàng thấy tứ giác OFBD nội tiếp đường tròn đường kính OB tức là 4 điểm O,F,B,D cùng thuộc một đường tròn.Ta cần chứng minh tứ giác OFGD nội tiếp. Ta c/m được · · ( )OGF OGE ccc GFO GEO= ⇒ = V V Mà tam giác OED cân tại O · · ODE GEO⇒ = Suy ra · · ODE GFO= ,do đó tứ giác OFGD ( Có góc ngoài bằng góc đối trong) nên nội tiếp đường tròn tức là 4 diểm O,F,G,D cùng thuộc một đường tròn. Hai đường tròn qua 3 điểm O,F,D trùng nhau .Vậy 5 điểm O,F,B,G,D cùng thuộc một đường tròn . (Trong bài toán trên ta đã sử dụng bài toán cung chứa góc đặc biệt 90 0 và cách c/m tứ giác nội tiếp bằng cách chỉ ra "Góc ngoài bằng góc đối trong" ). 4 C E A F B D G O y x • Chứng minh đường tròn đi qua một điểm cố định . Phương pháp: Nếu phải chứng minh đường tròn (ABC) đi qua một điểm cố định , ta có thể chọn thêm điểm D cố định nào đó, rồi c/m tứ giác ABCD nội tiếp ,từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bài toán minh họa : Từ một diểm A ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB,AC với đường tròn ( B,C là các tiếp điểm ).Lấy điểm D bất kỳ nằm giữa B,C. Vẽ dường thẳng vuông góc với OD tại D cắt AB,AC lần lượt tại E,F . Khi điểm D di động trên BC , chứng minh rằng đường tròn (AEF) luôn đi qua một điểm cố định khác A. Hướng dẫn giải : Tứ giác ODEB nội tiếp đường tròn đường kính OE · · BEO BDO⇒ = (cùng chắn cung BO) Tứ giác ODCF nội tiếp đường tròn đường kính OF · · BDO CFO⇒ = ( góc ngoài bằng góc đối trong) Do đó · · BEO AFO= Suy ra tứ giác A FOE nội tiếp ; có điểm O cố định nên đường tròn (AEF) luôn đi qua điểm O cố định khi D di dộng trên BC. Bài toán trên ta đã sử dụng : quĩ tích cung chứa góc; tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi góc ngoài bằng góc đối trong . 5 A E B O D C F Chứng minh hai góc bằng nhau hoặc bù nhau . Ta có thể chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn rồi suy ra : - Hai góc đối bù nhau. - Góc ngoài bằng góc đối trong . - Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau. Bài toán minh họa : Cho đường tròn (O) đường kính AB .M là một điểm nằm trên tiếp tuyến xBy . AM cắt đường tròn tại C .Lấy điểm D nằm giữa B ,M ; AD cắt đường tròn tại I. Chứng minh tứ giác CIDM nội tiếp đường tròn. Hướng dẫn giải : Tứ giác ABIC nội tiếp đường tròn (O),ta có : · · AIC ABC= (Góc nội tiếp cùng chắn cung AC) Lại có : · · CMD ABC= (cùng phụ với góc BAC) Suy ra : · · AIC CMD= . Do đó tứ giác MCID nội tiếp. (góc ngoài bằng góc đối trong). (Hoặc chỉ ra · · BDI MCI= ) Hãy chỉ ra các góc bằng nhau ,các góc bù nhau trên hình vẽ -giải thích rõ vì sao ? III/ CÁCH THỰC HIỆN: Qua các bài tập minh họa GV khắc sâu phương pháp giải. GV giao bài tập có nội dung sử dụng các phương pháp đã nêu ,để HS học tập theo nhóm ở nhà,tìm tòi nhiều cách giải và chọn cách giải tối ưu để trình bày. Trong các tiết luyện tập và ôn tập GV nên khuyến khích HS sử dụng các cách chứng minh đã nêu nhằm nâng cao hiệu quả học môn hình học. IV/ KẾT LUẬN: HS nắm được kiến thức cơ bản ở SGK là quan trọng, song để chứng minh bài toán hình học nhanh chóng phải định hướng phương pháp giải đặc trưng từng loại . HS nắm bắt được các cách giải một cách linh hoạt ,là phương tiện tốt để các em trình bày bài giải ngắn gọn ,phát huy được tính tích cực trong học tập,tìm tòi ,sáng tạo trong lời giải,giúp các em học tốt hơn và yêu thích bộ môn hình học . Qua thực tế giảng dạy tôi đã thực hiện theo cách tôi đã nêu và nhận thấy rằng các em rất hứng thú trong học tập bộ môn hình học& thu được kết quả khả quan ,chất lượng môn hình học được nâng lên rõ rệt . GV: Lê Thịnh 6 A B D x C I O y M . nhanh chóng. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP & ỨNG DỤNG CỦA TỨ GIÁC NỘI TIẾP VÀO CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN ĐẶC TRƯNG. • Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên. thể sử dụng được cách chứng minh tứ giác nội tiếp cho phù hợp một cách nhanh chóng,hơn nữa việc áp dụng tứ giác nội tiếp vào chứng minh bài toán có liên quan còn. dụng của tứ giác nội tiếp vào việc chứng minh bài toán khác . II/ Giải quyết vấn đề : Để HS nắm bắt được các cách chứng minh tứ giác nội tiếp và các ứng dụng của