bdt chung minh bang luong giac

Tổ Toán Trường THPT Lê Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức mà các số bị ràng buộc với nhau bởi các điều kiện nhất định chẳng hạn: • Nếu có hệ thức thì có thể đặt x = cosa; y = sina. • Nếu có hệ thức xy=1 thì có thể đặt: x = tana; y = cota; Ghi chú: Ở đây không ngoại trừ bài toán sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác với các quan hệ lượng giác. BÀI TẬP ÁP DỤNG. BÀI TẬP 1. Cho bốn số thực x, y, u, v thoả mãn: CMR: GIẢI. Đặt: và Khi đó : u(x – y) + v(x + y) = cosb(cosa-sina)+sinb(cosa+sina) = cos(a-b)+sin(b-a) = ) 4 cos(2 π −− ab Do đó bài toán chưa thấy ngay yếu tố để ta chuyển về dạng lượng giác, cần qua một quá trình biến đổi và đặt ẩn phụ thích hợp mới có thể chuyển về dạng lượng giác thuận lợi cho quá trình giải. Ví dụ : BÀI TẬP 2. Cho 4 số dương a, b, c, d. CMR: (1) GIẢI Với bài này ta có thể sử dụng BĐT BunhiaCopski với 4 số , tuy nhiên chúng ta có thể dùng phương pháp lượng giác để giải bài này. Các yếu tố để chúng ta chuyển về dạng lượng giác vẫn chưa xuất hiện. Chúng ta cần biến đổi để làm xuất hiện yếu tố đó. Ta có : (1) tương đương với. 1 )1)(1()1)(1( 1 1 ))(())(( ≤ ++ + ++ <=>≤ ++ + ++ b c a d ab cd b c a d cbda cd cbda ab Đặt b c y a d x == 22 tan;tan Ta có 1)cos(sin.sincos.cossin.sincos.cos 2222 ≤±=+=+= yxyxyxyxyxVT BĐT cuối đúng, do đó (2) được CM. Suy ra (1) được CM. Năm học: 2008 – 2009 Tổ Toán Trường THPT Lê Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng Nếu so sánh với cách giải này với cách dùng BĐT cổ điển thì quả thật cách này là khá dài và hơi phức tạp. Tuy nhiên nó cho ta một hướng mới để nhìn nhận một bài toán. BÀI TOÁN 3. Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn CMR GIẢI. Giả thiết tương đương với c ab b ac a bc c ab b ac a bc abc abc abc abacbc abcabacbc 2.3.6236 36236 36236 =++⇔= ++ ⇔=++ Trong tam giác ta có: 2 cot. 2 cot. 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot CBACBA =++ Đặt ; 2 cot3; 2 cot2 B b caC c ab == từ giả thiết suy ra 2 cot6 A a bc = Với A,B,C là 3 góc của tam giác ABC Vậy 2 cot1 1 . 2 cot1 1 . 2 cot1 1 222 CBA VT +++ = BÀI TẬP 4. Cho a,b,c, dương và 2009ac+ab+bc=2009 Tìm Max P= 1 3 2009 2 1 2 222 2 2 + + + − + cb b a GIẢI. Năm học: 2008 – 2009 Tổ Toán Trường THPT Lê Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng Từ giả thiết ta có: 1. 20092009 . =++ c bb aac Đặt 2 tan 2009 ; 2 tan BbA a == với A; B∈( 0;π)thay vào giả thiết ta có 2 tan C c = với A,B,C là 3 góc của tam giác ABC. Nên 3 10 2 cos 3 1 2 sin3 2 cos 3 1 3) 2 sin1(3coscos 2 cos3 2 sin2 2 cos2 2 tan1 3 2 tan 1 1 2 2 tan1 2 2 22 222 2 2 2 ≤       − −− − +=−++= +−= + + + − + = BACBAC BA CBA C B A P BÀI TẬP 5. cho x,y thay đổi thoả mãn Tìm Max ,Min của Z=y-2x+5 GIẢI Đặt ax sin 6 5 = thì từ giả thiết ta có ay cos 4 5 = . Nên 5cos 2 5 sin 6 5 5cos 2 5 sin 6 5 −=−⇔+−= ZaaaaZ (*) Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi ( ) 6 37 6 23 36 49 4 5 36 5 5 2 ≤≤⇔=+≤− ZZ BÀI TẬP 6. CMR Với a,b thỏa mãn GIẢI Đặt a=sinx; b=siny. Ta có ( ) yxyxxyyVT 2222 sin1)sin1(sin.(sin3sin1sinsin1sin −−−+−+−= TH1. cosx ≥ 0 và cosy ≥ 0 ta co 2) 3 sin(2)cos(3)sin( ≤−+=+−+= π yxyxyxVT BÀI TẬP 7. Chứng minh rằng: GIẢI Đặt a=tanx; b=tany ta có Năm học: 2008 – 2009 Tổ Toán Trường THPT Lê Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng ( )( ) ( )( ) 2 1 )(2sin 2 1 )cos()sin( tan1tan1 tan.tan1tantan 22 ≤−=−−= ++ −− = yxyxyx yx yxyx VT BÀI TẬP 8. Chứng minh rằng: GIẢI. Đặt a=tanx; b=tany; c=tanz: BĐT tương đương với )sin()sin()sin( tan1.tan1 tantan tan1.tan1 tantan tan1.tan1 tantan 222222 zxzyyx zx zx zy zy yx yx −≥−+− ++ − ≥ ++ − + ++ − Thật vậy )sin()sin()sin()sin()sin( zxzyyxzyyx −≥−+−≥−+− đfcm BÀI TẬP 9. Cho a, b, c dương, thỏa mãn a.b+bc+ca=1 Chứng minh 2 33 111 222 ≥ + + + + + c c b b a a GIẢI. Đặt 2 tan; 2 tan B b A a == từ giả thiết suy ra 2 tan C c = ; với A, B, C là 3 góc của tam giác nhọn ABC BĐT tương đương với 2 33 )tantan(tan 2 1 ≥++ CBA luôn đúng BÀI TẬP 10. Cho a, b, c>0 và abc+c+2b=2a. Chứng minh rằng 2 3 411 1 2 2 2 2 2 ≤ + + + + + c c b b a GIẢI. Đặt a=tanA; B b tan 1 = . Từ giả thiết suy ra được C c tan 2 = . Với A,B,C là 3 góc của tam giác nhọn ABC. Nên BĐT tương đương với 2 3 coscoscos ≤++ CBA . Luôn đúng BÀI TẬP 11 Cho a, b, c thuộc (0;1). Ch ứng minh rằng GIẢI. Đ ặt a=sin 2 x; b= sin 2 y; c=sin 2 z. ta c ó s inx.siny.sinz+c os Năm học: 2008 – 2009 Tổ Toán Trường THPT Lê Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng Năm học: 2008 – 2009 . Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức mà các số bị ràng buộc với nhau bởi. −−−+−+−= TH1. cosx ≥ 0 và cosy ≥ 0 ta co 2) 3 sin(2)cos(3)sin( ≤−+=+−+= π yxyxyxVT BÀI TẬP 7. Chứng minh rằng: GIẢI Đặt a=tanx; b=tany ta có Năm học: 2008 – 2009 Tổ Toán Trường THPT Lê Hữu Trác1. ) 2 1 )(2sin 2 1 )cos()sin( tan1tan1 tan.tan1tantan 22 ≤−=−−= ++ −− = yxyxyx yx yxyx VT BÀI TẬP 8. Chứng minh rằng: GIẢI. Đặt a=tanx; b=tany; c=tanz: BĐT tương đương với )sin()sin()sin( tan1.tan1 tantan tan1.tan1 tantan tan1.tan1 tantan 222222 zxzyyx zx zx zy zy yx yx −≥−+− ++ − ≥ ++ − + ++ − Thật