sang kien kinh nghiem 2012

Sở Giáo dục và đào tạo Hải Phòng Trờng THPT Quang TRung Chuyên đề: Phân loại và phơng pháp giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số đối với học sinh yếu. Bản cam kết I.Tác giả Họ và tên : Phạm thị mai Hơng Sinh ngày 31-12-1974 Đơn vị : Tổ toán Trờng THPT Quang TRung Điện thoại : 0313694409 II . Sáng kiến kinh nghiệm : Phân loại và phơng pháp giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số đối với kỳ thi tốt nghiệp THPT. III.Cam kết : Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm là sản phẩm của cá nhân tôi, nếu có xảy ra tranh chấp về quyền sở hữu đối với một phần và toàn bộ sáng kiến kinh nghiệm , tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trớc lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo sở giáo dục và đào tạo về tính trung thực của bản cam kết này. Tháng 3 năm 2010 Ngời cam kết Phạm thị mai Hơng 2 Tác giả :Phạm thị Mai Hơng Chức vụ : Tổ phó tổ toán Đơn vị : Trờng THPT Quang Trung Ngày 5 tháng 3 năm 2010 I. Đặt vấn đề Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là bài toán bắt buộc trong các kì thi tốt nghiệp THPT , song song với nó là các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số nh : viết phơng trình tiếp tuyến của một đờng cong, sự tơng giao giữa hai đồ thị , .Đó là những kiến thức không thể thiếu đợc trong các kì thi tốt nghiệp THPT kể cả trong các kì thi Đại học cao đẳng . Thấy đợc tầm quan trọng của nó cho nên khi ôn tập mảng Các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số của Giải tích 12 cơ bản , tôi rất băn khoăn nên làm nh thế nào để giúp các em học sinh tái hiện lại kiến thức đã học , phân loại các dạng bài tập và phơng pháp giải các bài toán đó một cách có hiệu quả, đặc biệt đối tợng học sinh của tôi là lớp 12C12 là lớp có khả năng nhận thức chậm , nhanh quên và tính toán kém , quả là một thách thức ! Tôi đã suy nghĩ rất nhiều và đa đến một quyết định nh sau : để dạy đối tợng học sinh này một cách có hiệu quả thì phải đảm bảo ba yêu cầu sau đây: 1, Cơ bản 2, Phù hợp với đối tợng học sinh 3, Phù hợp với kì thi tốt nghiệp Tôi tiến hành xây dựng chơng trình và nội dung giảng dạy cho học sinh lớp 12C12 theo bố cục sau đây: 1. Phân loại các dạng bài tập 2. Nêu phơng pháp làm cụ thể và tỉ mỉ đối với từng loại bài 3. Mỗi dạng bài lấy ví dụ minh hoạ 4. Bài tập đề nghị học sinh làm 5. Kiểm tra việc làm bài tập và chữa vào vở cho học sinh . Tôi chia thành các nhóm bài tập : Nhóm 1: Lập phơng trình tiếp tuyến của một đờng cong Nhóm 2: Sự tơng giao giữa hai đồ thị Nhóm 4: Cực trị của hàm số Nhóm 5: Tính diện tích hình phẳng Nhóm 6: Tính thể tích khối tròn xoay 3 II.Nội dung thực nghiệm: A. Phân dạng và ph ơng pháp giải Dạng 1: Lập ph ơng trình tiếp tuyến của một đ ờng cong Để làm đợc các bài toán về viết phơng trình tiếp tuyến của một đờng cong y = f(x) các em cần nắm đợc kết quả quan trọng sau đây: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là một đờng cong (C) . M 0 (x 0 ,y 0 )là một điểm thuộc (C) . Phơng trình tiếp tuyến của (C) tại M 0 (x 0 ,y 0 ) là: y y 0 = f(x 0 )(x x 0 ) (*) Từ đó ta có các bài toán viết phơng trình các tiếp tuyến của đờng cong y = f(x) sau đây: Bài toán 1: Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) thuộc đồ thị hàm số Phơng pháp : -B 1 : Tính đạo hàm cấp 1 f(x) , tính f(x 0 ) -B 2 : áp dụng công thức (*) , đa phơng trình về dạng y = ax+b Bài toán 2: Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ x 0 Phơng pháp : -B 1 : Thay x=x 0 vào y=f(x) để tìm y 0 -B 2 : Tính đạo hàm cấp 1 f(x) , tính f(x 0 ) -B 3 : áp dụng công thức (*) , đa phơng trình về dạng y = ax+b Bài toán 3: Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ là y 0 Phơng pháp: -B 1 : Thay y=y 0 vào y=f(x) để tìm x 0 -B 2 : Tính đạo hàm cấp 1 f(x) , tính f(x 0 ) -B 3 : áp dụng công thức (*) , đa phơng trình về dạng y = ax+b Bài toán 4: Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) song song với đờng thẳng y = ax+b Phơng pháp: -B 1 : Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đờng thẳng y = ax+b nên nó có hệ số góc là a 4 _B 2 : Tính đạo hàm cấp 1 f(x) , giải pt f(x) = a để tìm x 0 -B 3 : Tìm y 0 -B 4 : áp dụng công thức (*) Bài toán 5: Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) vuông góc với đờng thẳng y = ax+b Phơng pháp: -B 1 : Vì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đờng thẳng y = ax+b nên nó có hệ số góc là -1/a _B 2 : Tính đạo hàm cấp 1 f(x) , giải pt f(x) = -1/a để tìm x 0 -B 3 : Tìm y 0 -B 4 : áp dụng công thức (*) Bài toán 6: Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm M 1 (x 1 ,y 1 ) Phơng pháp: -B 1 :Đờng thẳng đi qua M 1 và có hệ số góc k có dạng y= k(x-x 1 )+y 1 (*) -B 2 : Đờng thẳng này là tiếp tuyến của đờng cong y = f(x) khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm: =+ = )2)(()( )1()(' 11 xfyxxk xfk -B 3 :Giải hệ phơng trình ta tìm đợc k và x 0 -B 4 : Thay k và x 0 tìm đợc vào (*) ta đợc phơng trình tiếp tuyến cần tìm *Chú ý : Số tiếp tuyến tìm đợc bằng số nghiệm của hệ phơng trình trên *Những sai lầm mà học sinh hay mắc phải đó là : các em thay toạ độ điểm M 1 vào y = f(x) thấy thoả mãn , các em sử dụng bài toán 1 để làm dẫn tới bài toán thiếu nghiệm . Do đó khi dạy cần nhấn mạnh để các em phân biệt sự khác nhau cơ bản giữa hai bài toán 1 và bài toán 6: Bài toán 1: - Tiếp tuyến t ại một điểm ( Chỉ có một đáp số) Bài toán 6 : -Đi qua một điểm , điểm đó có thể nằm trên hay không nằm trên đờng cong (Có thể ra nhiều đáp số) Cho nên khi làm bài các em không cần thử toạ độ của điểm đó vào ph- ơng trình của đờng cong mà chỉ cần chú ý hai từ tại hoặc đi qua để lựa chọn bài toán 1 hoặc bài toán 6 Ví dụ áp dụng: 1.Cho hàm số y = 4x 3 -6x 2 +4x -1 có đồ thị là (C) a, Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ là 2 b, Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đ- ờng thẳng (d) : y=4x-1 c, Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. H ớng dẫn giải 5 Phơng trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y y 0 = y(x 0 )(x x 0 ) a, Thay x 0 = 2 và phơng trình của (C) ta đợc y 0 = 15 Ta có y = 12x 2 -12x+4 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là y(2) = 28. Vậy phơng trình tiếp tuyến tại điểm (2,15) là y=28x-41 b, Vì tiếp tuyến song song với đờng thẳng y = 4x-1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = y(x 0 ) = 4 ta có : y(x 0 ) = 4 12x 2 0 -12x 0 +4 = 4 x 2 0 -x 0 =0 == == 11 10 00 00 yx yx Phơng trình tiếp tuyến tại (0,-1) là y = 4x-1(loại vì trùng với (d)) Phơng trình tiếp tuyến tại (1,1) là y = 4x-3thoả mãn Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = 4x-3 c, Hệ số góc của tiếp tuyến tại x 0 là 12x 2 0 -12x 0 +4>0 với mọi x 0 , do đó không thể tồn tại hai điểm x 1 , x 2 để y(x 1 ).y(x 2 )=-1 , nghĩa là trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau. 2. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) : 1 2 )( == x x xfy biết : a, Tiếp tuyến vuông góc với đờng phân gíac của góc phần t thứ hai b, Đi qua điểm (0 , -2) H ớng dẫn giải Phơng trình tiếp tuyến có dạng y y 0 = y(x 0 )(x x 0 ) a, Với x 1 , ta có y= 2 )1( 1 x Vì tiếp tuyến vuông góc với đờng phân giác của góc phần t thứ hai là y = -x nên ta có : (-1).f(x 0 )=-1 f(x 0 )=1 1 )1( 1 2 0 = x (x 0 -1) 2 =1 == == 02 20 00 00 yx yx Vậy có hai tiếp tuyến là y=x+2 và y=x-2 b, Phơng trình đờng thẳng đi qua (0; -2) có dạng y = kx 2. Với x 1, là tiếp tuyến của ( C ) khi và chỉ khi hệ phơng trình sau có nghiệm: = = )2( )1( 1 )1(2 1 2 2 k x kx x x 6 Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta đợc: = 1 2 x x 2 )1( 2 x x suy ra 3x 2 8x + 4 = 0 x= 3 2 hoặc x = 2. Với x = 2 thì k = 1: ta có tiếp tuyến y = x 2. Với x= 3 2 thì k = 9: ta có tiếp tuyến y = 9x 2 Dạng 2: Sự t ơng giao giữa 2 đồ thị Bài toán 1: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phơng trình g(x) = 0 theo tham số m. - Bớc 1: Đa phơng trình g(x) = 0 về dạng f(x) = h(m) (1) với f(x) là đồ thị hàm số vừa khảo sát ở trên. - Bớc 2: (1) là phơng trình hoành độ điểm chung của đồ thị (c) và đờng thẳng y = h(m), số nghiệm của (1) là số giao điểm của (c) và đừong thẳng y = h(m) - Bớc 3: Dựa vào đồ thị để biện luận ( sử dụng các điểm cực đại, cực tiểu) * Chú ý: Bài toán có thể chỉ hỏi một trờng hợp: chẳng hạn dựa vào đồ thị để tìm m để phong trình có 3 nghiệm phân biệt. Bài toán 2 : Biện luận theo tham số số giao của đồ thị hàm số y = f(x) và đờng thẳng có hệ số góc k 0 . Phơng pháp: - Lập phơng trình hoành độ giao điểm. - Đa phơng trình hoành độ về những pt quen thuộc đã biết cách giải nh pt bậc nhất , phơng trình bậc hai , phơng trình bậc bốn trùng phơng, -Biện luận Ví dụ 1: Cho hàm số y = - x 3 + 3x + 1 (c) a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b/ Dựa vào đồ thị (c) biện luận số nghiệm của phơng trình sau theo m x 3 3x + m = 0 H ớng dẫn giải: a/ Học sinh tự làm. 7 b/ Phơng trình x 3 3x + m = 0 - x 3 + 3x + 1 = m + 1 là phơng trình hoành độ điểm chung của đồ thị (C) và đờng thẳng (d) y= m + 1. Số nghiệm của phơng trình bằng số giao điểm của (c) và (d) Dựa vào đồ thị ta thấy: + Nếu m+1<-3 hoặc m+1>3 tức là m<-4 hoặc m>2 thì (c) cắt (d) tại 1 điểm do đó phơng trình có một nghiệm duy nhất + Nếu m + 1 = -3 hoặc m + 1 = 3 tức là m =-4 hoặc m =2 thì phơng trình có 2 nghiệm. + Nếu -3 < m+1 < 3 - 4 < m < 2 thì phơng trình có 3 nghiệm phân biệt. Ví dụ 2:Chứng minh rằng dồ thị (C) của hàm số y = 1 1 + x x luôn cắt đờng thẳng y = m x m H ớng dẫn (c) luon cắt (d) nếu phơng trình )1(1 1 1 = + m x x có nghiệm m Ta có xm x x = + 1 1 += 1 )1)((1 x xxmx =+ 1 01)2( 2 x mxmx (2) Xét phơng trình (2) có = m 2 + 8 > 0 m và x = -1 không thoả mãn (2) nên phơng trình luôn có hai nghiệm -1. Vậy (c) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt. * Chú ý : yêu cầu học sinh chỉ cần làm đợc các bài tập tơng tự nh hai ví dụ trên Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi m hàm số y = x 3 -mx 2 -2x+1 luôn có một cực đại và một cực tiểu H ớng dẫn giải y =3x 2 -2mx-2 , có =m 2 +6 >0 với mọi m Do đó y luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m Vậy hàm số có hai cực trị : một cực đại và một cực tiểu. Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m+1)x 4 -2(m-1)x 2 . Tìm m để hàm số đạt 3 cực trị. Tại gốc toạ độ là điểm cực đại hay cực tiểu? H ớng dẫn giải 8 Ta có y = 4(m+1) 3 -4(m-1)x =4x[(m+1)x 2 -(m-1)] y = 0 =+ = 1)1( 0 2 mxm mx Hàm số đạt ba cực trị khi và chỉ khi > + + 0 1 1 01 01 m m m m 0 1 1 > + m m m>1 hoặc m<-1 Vậy với m<-1 hoặc m>1 thì hàm số có 3 cực trị. Khi đó hoành độ các điểm cực trị là: x 1 =0 , x 2,3 = 1 1 + m m y=12(m+1)x 2 -4(m-1) y(0)=-4(m-1) Nếu m>1 thì y(0) <0 do đó gốc toạ độ là điểm cực đại Nếu m<1 thì y(0) >0 do đó gốc toạ độ là điểm cực tiểu. Ví dụ 3: Cho hàm số y = )1()3()2()1( 3 1 23 ++++ mxmxmxm Tìm m để hàm số nhận gốc toạ độ làm điểm cực tiểu? H ớng dẫn giải Ta có y = (m+1)x 2 -2(m+2)x+m+3 y= 2(m+1)x-2(m+2) Hàm số đạt cực tiểu tại O(0,0) khi và chỉ khi: > = 0)0('' 0)0(' y y >+ =+ 0)2(2 03 m m <+ = 02 3 m m m=-3 Vậy với m=-3 thì đồ thị hàm số nhận gốc toạ độ làm điểm cực tiểu. Dạng 4: Diện tích hình phẳng Đối với các em học sinh yếu yêu cầu các em nắm đợc hai bài toán cơ bản sau đây và phơng pháp giải chúng: Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng là: dxxfS b a = )( 9 Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng : = = = = bx ax xgy xfy )( )( là: dxxgxfS b a = )()( Chú ý :- Để tính các tích phân trên ta cần phai phá dấu GTTĐ , có hai cách để bỏ đợc dấu GTTĐ cách 1: Xét dấu biểu thức trong dấu GTTĐ trên đoạn [a,b] cụ thể: +Nếu f(x)-g(x)>0 với mọi x thuộc đoạn [a,b] thì )()()()( xgxfxgxf = +Nếu f(x)-g(x)<0 với mọi x thuộc đoạn [a,b] thì )()()()( xfxgxgxf = cách 2 : Dùng đồ thị : Trên đoạn [a,b] đồ thị nào nằm phía trên thì hàm số đó có giá trị lớn hơn trên đoạn [a,b]. Giả sử trên đoạn [a,b] mà đồ thị hàm ssố y= g(x) nằm phía trên đồ thị hàm số y = g(x) thì )()()()( xfxgxgxf = - Các tích phân phải có kết quả là những số dơng - Nếu cha đủ 4 đờng ta phải giải các phơng trình hoành độ giao điểm là f(x) = 0 hoặc f(x) g(x) =0 - Nên sử dụng đồ thị sẽ giúp các em xác định hình phẳng cần tính diện tích và định hớng đợc dễ dàng hơn . Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho hàm số 43 3 1 23 + = xxxy a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số b, Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đờng thẳng y=0 , x= -1 và x=1 H ớng dẫn giải a, Học sinh tự làm 10 . 0313694409 II . Sáng kiến kinh nghiệm : Phân loại và phơng pháp giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số đối với kỳ thi tốt nghiệp THPT. III.Cam kết : Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm là sản. của cá nhân tôi, nếu có xảy ra tranh chấp về quyền sở hữu đối với một phần và toàn bộ sáng kiến kinh nghiệm , tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trớc lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo sở giáo dục và đào