Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Xác định moment quán tính bằng phương pháp dao động

Một trong những dạng chuyển động thường gặp trong thực tế và kĩ thuật là chuyển động quay của vật rắn quanh quanh một trực , nó được nghiên cứa ở một trong các phần của Cơ học NewTon_ Độ

BỘ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO

^ , we 2 é À ( ,

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA : LÝtr)e)t)tr2 A^2C5sC9CG4Œ5

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI

Giảng Viên hướng dẫn : Lương Hạnh Hoa

Sinh viên thực hiện =: Nguyễn Chí Nhân

Năm Học : 1998 - 2002

Sai Mi Btu

Cuộc cách mang KH-KT lẫn thứ hai diễn ra trong nửa sau của thé kỷ

20 dựa trên sự phát triển mạnh mẽ của nhiều ngành khoa học trong đó Vật lý

học chiếm một vị tri quan trong

Ở thời đại chúng ta, sự hiểu biết về Vật lý rất cần thiết cho mỗi người

để hình dung đúng đắn thế giới xung quanh mình _ Từ tính chất các hạt cơ

bản đến sự tiến hóa của vũ trụ Trong sự nhận thức đó,Cơ học Khoa học về

chuyển động và cân bằng của các vật thể có một vị trí trung tâm trong bức

tranh Vật ly thế giới Các định luật và những khái niệm của cơ học là nên

tảng xây dung lâu đài khoa học kĩ thuật của con người Nó cho phép nghiên

cứu các chuyển động khác nhau nhất của cơ cấu phức tạp cũng như các vậtthể vũ tru

Một trong những dạng chuyển động thường gặp trong thực tế và kĩ

thuật là chuyển động quay của vật rắn quanh quanh một trực , nó được nghiên

cứa ở một trong các phần của Cơ học NewTon_ Động lực học vật rắn Ở đây,

vai trò của gia tốc, lực và khối lượng là gia tốc góc, mômen lực và mômen

quán tính Trong đó , khát niệm mémen quán tính giữ vai trò quan trọng đặc biệt Nhiệm vụ của khóa luận này là giúp cho các bạn Sinh Viên Khoa Vật lý

hiểu rõ hơn về khái niệm và Mômen Quán Tính (MMQT) và ý nghĩa vật lý của

nó , biết thêm một phương pháp xác định MMQT bằng thực nghiệm Từ kết

quả do MMQT bằng thực nghiệm có thể so sánh nó với kết quả được xác định

trong lý thuyết đã học Thông qua nội dung của khóa luận, tác giả muốn

nhấn mạnh một phương pháp nghiên cứu cơ bản trong Vật lý là thực nghiệm ,

nghĩa là quan sát hiện tượng cân nghiên cứu trong điều kiện được kiểm tra

chính xác

Vì thời gian có hạn và kiến thức của sinh viên còn hạn chế, trong khuôn khổ của khóa luận này chắc còn nhiều thiếu sót Rất mong sự đóng góp

của các Thầy Cô giáo và các bạn Sinh Viên

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn sự tận tình chỉ bảo của cô Luong

Hạnh Hoa và thầy giáo phản biện Lý Vĩnh Bê Cảm ơn sự giúp đỡ của các

Thây Có phụ trách phòng Thí Nghiệm cùng các bam đã tạo diéu kiện cho em

hoàn thành khóa luận này.

Sinh Viên lý 4 khóa 24

Nguyễn Chí Nhân

MỤC LỤC

PHÁN I: LÝ THUYẾT

Trang

L.Giới thiệu chuyển động quay 2

HÍ.Chuyển động quay của vật ran quanh một trục cố định 2

IIL Phương trình chuyển động quay của vật rấn quay quanh

một trục cố định.

IV Mômen quán tính của vật rấn đối với trục cố định 9

V Sự tương tự giữa các phương trình chuyển động quay và 13

chuyển động tinh tiến

VỊ Mômen quán tính của một số vật rắn có hình dạng đặc biệt 15

VII Dinh lý về các trục quay song song (định ly huyghens-steiner) 25

VII Giới thiệu về con lắc xoắn 29

Luận Văn Tốt Nghiệp Ge= “Nguyễn Chí Nhân

+

PHÂNI: LÝ THUYẾT

1 GIỚI THIÊU CHUYỂN ĐỘNG QUAY

H, CHUYỂN DONG QUAY CUA VAT RAN QUANH

MOT TRUC CÔ ĐỊNH

Ill, PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN DONG QUAY CUA

VAT RAN QUAY QUANH MOT TRỤC CO ĐỊNH.

: IV MOMEN QUAN TÍNH CUA VAT RAN ĐỐI VỚI

TRUC CO DINH.

V SỰ TƯƠNG TỰ GIỮA CAC PHƯƠNG TRÌNH

CHUYỂN ĐỘNG QUAY VÀ CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN.

VI.MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT RẮN CÓ

Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Chí Nhân

Nếu ta quan sát một đoàn tàu chuyển động trên đường ray thẳng, ngoài chuyển động tịnh tiến (chuyển động theo một đường thẳng) chúng ta

còn bắt gặp một loại chuyển động khác: Đó là chuyển động quay của các

bánh xem kim đồng hồ đo vận tốc Không những thế, chúng ta còn thấy

chuyển động quay luôn tổn tại xung quanh chúng ta, chúng có ở mọi nơi như:

chuyển động quay của bánh răng, động cơ, kim đồng hồ, rôtô của động cơ,

phản lực, cánh quạt của máy bay lên thẳng, chuyển động của các electron

quay, nguyên tử quay, cơn bão, các hành tỉnh quay, các sao, các thiên hà,

của dién viên nhào lộn vận động viên nhảy cầu, của các nhà du hành trên

quỹ đạo.

Có thể nói, chuyển động quay là chuyển động phổ biến Trong khóa

luận này, chúng ta chỉ nghiên cứu sự quay của vật rin quanh một trục cố

định mà không xét đến su quay của những vật như mặt trời vì mặt trời là mộtquả cầu khí chứ không phải là một vật ran Mặt khác, chúng ta cũng khôngxét đến chuyển động của vật rắn quanh trục chuyển động.

II, CHUYỂN ĐỘNG QUAY CUA VAT RAN QUANH MỘT TRỤC

+ Vat rin được định nghĩa là tập hợp của nhiều chất điểm mà khoảng

cách giữa các chất điểm thay đổi không đáng kể theo thời gian.

+ Chuyển động quay: là chuyển động trong đó mọi điểm trên vật rấn

vẽ nên những quỹ đạo tròn có tâm nằm trên cùng một đường thẳng gọi là

trục quay (những điểm nằm trên trục quay có vận tốc bằng không).

1) Trục quay cố định - trục quay chuyển động :

+ Khi xét chuyển động của vật ta luôn căn cứ vào một hệ quay chiếu

nào đó (hệ quy chiếu quán tính - hệ quy chiếu không quán tính) Tùy theo hệ

quy chiếu mà trục quay của một vật cố định hay không cố định.

Ví dụ:

- Xét một hình trụ lăn không trượt trên mặt phẳng (như hình 1), trong

đó (K) là hệ quy chiếu đứng yên gắn với mặt phẳng (hệ quy chiếu quán

tính), (K`) là hệ quy chiếu gắn với trục quay (hệ quy chiếu không quán tính)

Rõ ràng đối với hệ (K) thì trục quay chuyển động còn đối với (K`) trục quay

cố định,

Trang 2

Luận Văn Tốt Nghiệ Nguyễn Chí Nhân

của trụ và mặt phẳng (vuông góc với mặt phẳng vẽ từ điểm A) đều có vận

tốc bằng không đối với hệ (K) Đường thẳng tiếp xúc này là trục quay tức thời của hình trụ ở thời điểm khảo sát Ta thấy ở các thời điểm tiếp theo thì

trục quay tức thời chuyển sang những điểm tiếp xúc khác của vật với mặt

phẳng.

3) Chuyển đông của vật rắn quay quanh một trục cố định:

+ Khi một vật rắn chuyển động quay chung quanh một đường thẳng

cố định A (gọi là trục quay) thì :

Y Moi điểm của vật rin vạch những đường tròn có cùng trục A

(những đường tròn mà mặt phẳng vuông góc với A và có tâm nằm trên A).

¥ Chất điểm nào càng xa trục quay A thì vòng tròn quỹ dao của nó

có bán kính càng lớn, trong cùng một khoảng thời gian quãng đường nó đi

được càng lớn.

Trang 3

Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Chí Nhân

Y Trong cùng một khoảng thời gian, mọi điểm của vật rắn đều quay

* Tại một thời điểm, vectơ vận tốc thẳng ( V) và vectơ gia tốc tiếp

tuyến ( a, ) của một chất điểm bất kỳ của vật rắn cách trục quay (A) một

khoảng r được xác định bởi công thức:

Luận Văn Tốt Nghiệp - Nguyễn Chí Nhân

II PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN DONG QUAY CUA VAT RAN

QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH : (Phương trình cơ bản)

Trong mục này, chúng ta sẽ thiết lập những phương trình cơ bản mô tảchuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục Nhưng trước tiên ta xét

một đại lượng đặc trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay.

1) Mômen lực :

Giả thiết có lực Etác dụng lên vật rắn quay xung quanh trục A, dat tại

một điểm M Trước hết ta phân tích ra hai thành phần :

F=F,+F, (3.1)

trong đó , £.vuông góc với trục A, F:song song với trục A Lực F, nằm

trong mặt phẳng vuông với trục A di qua M lại được phân tích ra hai thành

phần:

F,=F,+F, (3.2)

Trong đó, F, vuông góc với bán kính OM, nghĩa là nằm tiếp tuyến với

đường tròn tâm O bán kính OM, còn F, nằm theo bán kính OM Kết quả ta

CÓ :

—

F =F +F,+F, (3.3)Trên (hình 3) ta thấy rằng:

Trang 5

Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Chí Nhân

# Thành phần E› không gây ra chuyển động quay, chỉ có tác dụng làm cho vật rắn trượt doc theo trục quay A, chuyển động này không thể có vì

theo giả thuyết vật rắn chỉ quay xung quanh trục A

# Thanh phan E, không gây ra chuyển động quay chỉ có tác dụng

làm vật rắn đời khỏi trục quay A, chuyển động này cũng không thể có.

Như vậy, trong chuyển động quay, tác dụng của lực F tương đương

với tác dung của thành phan F, của no Ta rút ra kết luận :

4 Trong chuyển động quay của vật rấn quay xung quanh một trục

chỉ những thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo tại điểm đặt mới có tác

dung thực su.

4 pé đơn giản, trong các đoạn sau đây ta có thé giả thiết các lực tác dụng lên vật rắn chuyển động quay là lực tiếp tuyến.

2) Mômen của lực đối với trục quay :

Xét tác dụng của một lực tiếp tuyến E, đặt tại một điểm M ứng với

bán kính OM =r Thực nghiệm cho thấy tác dung của lực F không những

phụ thuộc cường độ của nó mà còn phụ thuộc vào khoảng cách r, khoảng

cách này càng lớn thì tác dụng của lực càng mạnh Để đặc trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay, người ta đưa ra một đại lượng gọi là

Theo định nghĩa này, vectơ M có phương vuông góc với mặt phẳng

chứa z và # nghĩa là phương của trục quay có chiều thuận đối với chiều

Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Chí Nhân

Vì trong chuyển động quay tác dụng của lực F tương đương với tácdung của lực F và tương đương với tác dung của lực 7 nên người ta cũng

định nghĩa M_ là vectơ mômen của F hay của £ đối với A, Ta cũng có thể

viel:

M=rAEF (3.6)

Nhân xét:

» Mômen của lực £ đối với trục A sẽ bằng không khi lực đó bằng

không hoặc khi lực đó đồng phẳng với A.

» Mômen M của E đối với A là mômen của £ đối với điểm 0; giao điểm của A và mặt phẳng chứa E, vuông góc với A.

3) Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn :

Xét một vật rin có hình dạng bất kỳ có thể quay quanh trục A (nhưhình 4) Ta hình dung vật bao gồm các phan tử (chất điểm) có khối lượng m,

Khi vật quay thì tất cả các phần tử ấy đều vẽ nên những vòng tròn nằm trong

mặt phẳng vuông góc với trục quay, bán kinh r,.

œ Giả sử tác dụng lên mỗi phân tử có ngoại lực tiếp tuyến F, (ta

không cần xét đến nội lực vì chúng từng đôi một trực đối nên tổng mômen

bằng không) Theo định luật II Newton :

F, =m,a, (3.7)

a, : Vectd gia tốc tiếp tuyến

Nhân hữu hơng hai vế của (3.7) với bán kính vectơ 7 =OM ta được :

Luận Văn Tôi Nghiệp Nguyễn Chí Nhân

4 SM, = M, : Tổng hợp mômen các ngoại lực tác dung lên vật rắn.

“3 m.r`=l : Mômen quán tinh của vat rắn đối với trục A cố định.

M.uø,ƒj : có phương dọc theo trục quay (các vectơ trục) Chiểu

được xác định bằng quy tắc bàn tay phải

+ Trong trường hợp vật rấn quay nhanh din thì Öcùng chiểu ©

Ngược lại, vật rấn quay chậm dẫn thì œ ngược chiều fi.

+ Trong mọi trường hợp j cùng phương, cùng chiểu 7

phương trình (3.13) được viết lại:

M=Ij (3.14)

Phương trình (3.14) nói lên mối liên hệ giữa tác dụng của ngoại lực

làm thay đổi trạng thái chuyển động quay của vật rắn, đặc trưng bởi vectơ

M và sự thay đổi trạng thái của chuyển động quay của vật rắn, đặc trưng bởi

vectơ gia tốc góc B.

Trang 8

Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Chí Nhân

Ta thấy phương trình (3.14) tương tự với phương trình :

F=ma (phương trình định luật II Newton),

Mômen quán tính I đóng vai trò khối lượng m, gia tốc góc j đóng

vai trò là gia tốc dài a, mômen của ngoại lực tác dụng vào vật đóng vai trò

là ngoại lực tác dụng vào vật.

1) Khái niệm mômen quán tính của chất điểm :

Một chất điểm A có khối lượng m cách trục quay A cố định một

khoảng r thì mômen quán tính của chất điểm A đối với trục quay A cố định

được định nghĩa:

l=m.r (4.1)

I: mômen quán tinh của chất điểm A có khối lượng m cách trục quay A

một khoảng r.

m: khối lượng chất điểm.

r: khoảng cách giữa chất điểm đến trục A.

2) Khái niệm mômen quán tính của hệ chất điểm :

Trang 9

Luận Văn Tôt Nghiệp - Nguyễn Chí Nhân

Một hệ chất điểm có khối lượng m;, m;, mạ, my (có n chất điểm) cách

truc quay A cố định một khoảng lần lượt là r; r›, rạ r„ Khi đó mômen quán

tính của hệ chất điểm đối với trục A cố định được định nghĩa:

quán tính của phan tử đó đối với trục quay A cố định là:

di =r'dm (4.3)

mômen quan tính của vật rắn đối với trục quay A cố định.

I= fal= [rdm = [pr`dv (4.4)

trong đó:

+ dm = p.dv ( p : còn gọi là khối lượng riêng, p =m/v ; m

khối lượng của vật, V là thể tích của nó )

§) Tính chất của mômen quán tính :

Ta có biểu thức tính mômen quán tính của vật đối với trục nào đó:

5 m.rẺ =] (4.6)

Phương trình (4.6) cho thấy:

Trang 10

Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Chí Nhân

» Khái niệm mômen quán tính được ta đưa vào khi nghiên cứu sự

quay của vật rấn Tuy nhiên đại lượng này tồn tại không chỉ đối với sự quay.Momen quán tinh mỗi vật không phụ thuộc vào diéu là nó quay hay đứng

nghỉ Mômen quán tính của vật xác định đối với một trục bất kỳ: tương tựnhư một vật có khối lượng không phụ thuộc vào điều nó chuyển động hay

đứng yên.

» Mômen quán tính là đại lượng cộng được có nghĩa là mômen quán

tính của một vật bằng tổng các mômen quán tính của các phần của nó.

» Mômen quán tính của vật rắn không những phụ thuộc vào khối

lượng mà còn phụ thuộc vào khoảng cách từ vật rắn đến trục quay.

» Mômen quán tính của mỗi vật chỉ thể hiện khi có mômen ngoạilực tac dung lên vật.

6) Ý nghĩa vật lý của mômen quán tính :

Từ phương trình (3.14) suy ra :

p-TM (4.7)

? Dưới cùng một mômen ngoại lực tác dụng nếu mômen quán tinh |

của vật càng lớn thì B của nó càng nhỏ nghĩa là vật chống lại biến thiên trạng thái chuyển động càng nhiều Vậy mômen quán tính là thước đo quán

tính của vật thể trong chuyển động quay Do đó, nó giữ vai trò như khối lượng trong chuyển động tinh tiến

7) Ứng dụng của mômen quán tính :

Khái niệm momen quán tính được sử dụng rộng rãi khi giải các bài

toán cơ học và ứng dụng kĩ thuật.

Cụ thể ta xét ứng dụng của momen quán tính trong kĩ thuật:

Khi khảo sát tốc độ của động cơ điện thay đổi trong quá trình kéo cơ cấu sản

xuất (tải), người ta đã đưa ra được phương trình chuyển động cơ bản của hệ

thống truyền động điện (truyền động điện được hiểu là sử dụng máy điện để

kéo cơ cấu sản xual) :

da

TM : dt Trong d6:My,,, :là momen xuất hiện cho đến khi động cơ đạt tốc độ ổn định.

I : momen quán tính đã qui đổi về trục động cơ.

œ : tốc độ của động cơ

M, : momen cản trên trục động cơ.

M : momen trên trục động cơ.

Trang I 1

Luận Văn Tối Nghiệp ¬ Nguyễn Chí Nhân.

Từ phương trình (4.8) người ta dùng để khảo sát các đường đặc tính

cơ ( là đường biểu dién mối quan hệ giữa momen và tốc độ của động cơ hoặc

cơ cấu sản xuất trên hệ trục tọa độ ) và đặc tính cơ điện ( được suy từ đặc

tính cd) Thông qua đường đặc tính cơ này người ta khảo sát các chế độ hãmnhư sau : hãm tái sinh , hãm ngược, hãm động năng Từ các chế độ hãm này,

người ta ứng dụng ra thực tế

Chúng ta xét vài ví dụ sau :

 vidul:

Khi dùng động cơ điện một chiéu để kéo tải có trọng lượng P và

hạ tải Khi động cơ nâng tải lên với tốc đô œ¿, lúc này động cơ làm việc ở

chế độ động cơ nhưng khi đảo chiều điện áp nguồn để động cơ quay ngược

lại ( ha tải) thì có một đoạn động cơ sẽ quay với tốc độ œ;> Wy (œ tốc độ không tải lý tưởng ) Đoạn này là đoạn động cơ làm việc ở chế độ hãm Tùy

thuộc vào sự thay đổi các hệ số trong phương trình đặc tính cơ mà người ta có

thể hạ tải theo tốc độ œ; mong muốn

Luận Văn Tối Nghiệp _ Nguyễn Chí Nhân

Ngoài ra, từ phương trình (4.8) người ta ứng dụng để khảo sát quá

trình quá độ của hệ thống truyền động điện ( quá trình quá độ chính là

khoảng thời gian mà động cơ đi từ trạng thái ổn định này sang trạng thái ổn

định khác).

ví du : để khảo sát quá trình quá độ cơ học với M, , I =const và đặc

tinh cơ có dang đường thẳng người ta tìm dược phương trình thể hiện mối

quan hệ giữa @ và t như sau:

© =(@,, -0,,)eTM +O, (4.11)

Wpg : tốc độ ban đầu của động cơ.

og : tốc độ ổn định của động cơ.

Đặt T= i : hằng số thời gian cơ học

M, : momen ngắn mạch của động cơ ứng với @ = 0

4 vidu2: Tinh thời gian để khởi động từ œ = 0 đến ©, :

Ở đây khi tốc độ động cơ đạt tốc độ ổn định thì œ = (0.95 -> 0.98)

0„„ và thời gian mở máy chỉ phụ thuộc vào I, M,, œ„ mà không phụ thuộc vào

momen can trên trục Ứng dung quá trình quá độ để xác định thời gian nhằm vào các mục đích khác nhau Tóm lại momen quán tính được sử dụng nhiều trong kỉ thuật đặc biệt trong “Truyền động điện”.

V SƯ TƯƠNG T

QUAY VÀ CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN :

Công thức trong chuyển động tịnh tiến.

Luận Van Tốt Nghiệp - Nguyễn Chí Nhân

MeIlp

—= dœ

he M=l.— 5.2ay dt (5.2)

từ (5.1) và (5.2) ta thấy dạng của chúng giống nhau Rõ rang các

công thức về chuyển động quay (và ngược lại), nếu ta thay khối lượng m

bằng mômen quán tính I, gia tốc dài B bằng gia tốc góc a van tốc dài v

bằng vận tốc góc œ lực F bằng mômen lực M

Hơn nữa , có sự tương tư về các phương trình chuyển động thì cũng

có sự tương tự về các tích phân của chúng và như vậy dưới tác dụng của lực không đổi vật chuyển động theo định luật:

tốt Nghiệp _ ¬ Nguyễn Chí Nhân

+ Đối với cơ học Newton các vật chuyển động với vận tốc nhỏ rất

nhiều so với vận tốc ánh sáng (c = 3.10°m/s) Từ (5.1) - (5.2) ta có nhận xét:

+ Khối lượng m không thay đổi, nếu ta có hai vật có cùng khối lượng

m, cho hai vật tham gia chuyển động, một tham gia chuyển động quay, một

vật tham gia chuyển động tịnh tiến Vật chuyển động tịnh tiến có m không

đổi (vì V << c), còn vật chuyển động quay có mômen quán tính thay đổi tùy theo trục quay mà ta chọn, ngoài ra, mômen quán tính còn thay đổi khi m

thay đổi.

=> như vậy, mômen quán tinh I ~ m, tỷ lệ với khoảng cách từ vật đến

trục (hay chính là vị trí của trục quay).

VI MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT RẮN CÓ HÌNH

DANG ĐẶC BIỆT :

1) n quán tính của môi thanh :

Giả sử thanh AB đồng tính, có chiéu dài |, khối lượng m Ta tính mômen quán tính của thanh đối với trục A đi qua đầu A của thanh, vuông

góc với thanh.

Trang 15

Luận Văn Tối Nghiệp ¬ Nguyễn Chí Nhân

Lấy một phần tử dx của thanh cách A một đoạn x Khối lượng dm củaphan tử dx.

Với dm = A dx.

Trong đó: A=m / 1: khối lượng tính cho một đơn vị dai của thanh

(mật độ khối lượng đài)

* Mômen quán tinh dl của phần tử dx theo (4.3) :

* Độ dài vành tròn | = 2xR và khối lượng của nó là m= Al = 12xR

* Muốn tính MMQT của vành tròn ta lấy tích phân dl từ 0 -> 2zR

theo (4.4) :

Trang 16

Luận Van Tốt Nghiệp Nguyễn Chí Nhân.

3) VROTT 1ì GUAT 111111 Cu THe tì? lật! đồi! Í ry aE COLL: am ) HỒ

* Xét một dia tròn có bán kính R, đồng tính, chiều dày b, khối lượng

m Tính mômen quán tính của đĩa đối với trục A đi qua tâm của nó

| Hình 8 : Dia tròn đồng tính - Hình 9 : Hình trụ đặc |

* Chia đĩa thành những vành tròn đồng tâm chiều rộng dr, tất cả các

điểm trên vành tròn cách đều tâm đĩa một đoạn r

* Thể tích của vành tròn: dv = b.2zr dr.

* Khối lượng của vành tròn ứng với thể tích dv => dm=pdv.

*p: khối lượng tính cho một đơn vị thể tích của vat.

* Mômen quán tính đối với trục A theo (4.3) :

dl=r dm

=r pdv

* Mômen quán tinh của đĩa đến trục A đi qua tâm theo (4.4):

Trang !7

Luận Văn Tốt Nghiệp ` - Nguyễn Chí Nhân

* Ta gọi những vật tròn xoay là những vật mà bể mặt ngoài của chúng

được tạo thành bởi sự quay của đường cong phẳng quanh một trục nằm trong

mat phẳng chứa đường cong đó.

* Trên (hình 10) ta có hình tròn xoay tạo bởi đường cong f(h) khi nó quay quanh trục A, Chúng ta sẽ tính mômen quán tính của hình tròn xoay này

đối với trục A khi biết sự phụ thuộc hàm f(h) và mật độ p

* Ta chia vật thành những dia mỏng chiéu cao dh Mômen quán tinh dl

của mỗi đĩa:

dĩ=ˆ2 Păm =2xof'ữh

2 2

trong đó: dm = xpf” : khối lượng của đĩa.

* Mômen quán tính của toàn bộ vật tròn xoay

Trang 18

Luận Văn Tốt Nghiệp — _ Nguyễn Chí Nhân

Luận Văn Tổi Nghiệp

-* Trước tiên ta tính mômen quán tinh |, của nửa hình cấu đối với trục

A qua tâm của nó (hình 12).

luận Văn Tốt Nghiệp — _ SỐ Nguyễn Chí Nhân

đường kính bất kỳ :

+ Xét quả cầu rỗng, bán kính R, khối lượng m (Hình 13).

+ Mômen quán tính của quả cầu đối với trục z

l= fiw +y")dm

Trong đó (x* +y”) là bình phương khoảng cách từ dm đến trục z.

+ Tương tự mômen quán tính đối với các trục x, y

Nhưng: r° = x*+y*+z’, lấy dm = ods <=> dm = ơr sinô.d0.dọ là khối

lượng của yếu tố ds, o : mật độ khối lượng mặt (x, y, z là ba cạnh của một

tam diện vuông tại điểm 0).

+ Mômen quán tính của quả cầu rỗng đối với đường kính bất kỳ

+ Với cách tương tự như trên ta cũng có thể tinh được mômen quán

tính của hình cầu đặc đối với trục A đi qua tâm của nó

Trang 2]

Luận Văn Tốt Nghiệp _ Nguyễn Chí Nhân

dS= rän@lqrdô dV= dSdr

dV= rsin€dgrdédr

Trang 22

Luận Văn Tốt Nghiệp `

Chú ý: khối lượng của khối đặc m = p.a.b.c

p: mật độ khối lượng khối.

Trang 23

Luận Văn Tốt Nghiệp ` Nguyễn Chí Nhân

* Ta chia tấm hình chữ nhật thành nhiều yếu tố vi cấp, mỗi yếu tố vicấp có diện tích ds = dx dy , khối lượng dm =o ds = 0 dx dy (ơ: mật độ

Ở mục (VI) này ta đã khảo sát mômen quán tính của một số vật có

hình dang đặc biệt đối với trục (A) của nó Nếu vật có hình dạng phức tap

làm cách nào ta có thể tính được mômen quán tính của nó, chúng ta có thể sử

dụng phương pháp thực nghiệm, cụ thể: thực hành vật lý đại cương chúng ta

cũng đã tiến hành xác định mômen quán tính của một số vật bằng thực

nghiệm.

Trang 24

Luận Văn Tối Nghiệp — - — Nguyễn Chí Nhân

Vil ĐỊNH LÝ VỀ CÁC TRỤC QUAY SONG SONG : ( ĐỊNH LÝ

HUYGHENS-STEINER ).

1) Phát biểu định lý:

+ Mômen quán tính của một cơ hệ (vật rắn) đối với một trục nào đó

bằng mômen quán tính của nó đối với một trục song song đi qua khối tâm

công với tích số khối lượng (M) của vật với bình phương khoảng h giữa hai

trục.

Công thức:

I=le + MhỶ (7,1)

Trong đó:

M: khối lượng của vật.

h: khoảng cách vuông góc giữa hai trục.

le: mômen quán tính của vật đối với trục đi qua khối tâm.

2) Chứng minh định lý:

+ Trước hết ta nhắc lại sơ lược định nghĩa khối tâm

Xét hai hạt có khối lượng m; và m2, cách nhau một đoạn d ta chọn tùy

ý gốc của trục x trùng với mạ Ta định nghĩa vị trí của khối tâm hệ hai hạt

+ Tổng quát chon hat nằm trên trục x Khi đó khối lượng toàn phần M

=m, + mạ+ m, và vị trí của khối tâm.

Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Chí Nhân

+ Đối với vật rắn (vật chất phân bố liên tục) thì tọa độ được định nghĩa

như sau:

a) Chứng minh:

+ Gọi O là khối tâm của một vật, hình dang bất kỳ, có tiết điện nhưhình 18 Đặt gốc tọa độ tại O

+ Xét một trục đi qua O, vuông góc với mặt phẳng của hình và một

trục khác đi qua điểm P và song song với trục thứ nhất Gọi tọa độ của P là a,

b.

+ Gọi dm là khối lượng nguyên tố, có toa độ x, y Quán tính của vật

quanh trục đi qua P theo (4.4).

Trang 26

Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Chí Nhân

[= fr'dm = fi(x a)’ +(y - bŸ lim

Ta có thể xếp thành

I= Í»' +y°ÌIm ~ 2a [xdm ~2b [ydm + [lw +b’ im (7.2)

Theo định nghĩa khối tâm, ta thấy hai tích phân ở giữa (7.2) cho ta toa

độ của khối tâm vật (nhân với hằng sd)

Vì x? + yŸ`= RỶ, trong đó R là khoảng cách từ O — dm nên tích phân

thứ nhất đơn thuần là |, quán tính quay của vật quanh một trục đi qua khối

tâm Số hạng cuối cùng trong (7.2) là M.hỶ (M: khối lượng toàn phần của vật,

h là khoảng cách giữa hai trục đi qua hai điểm O và P)

Như vậy, phương trình (7.2) rút lại thành phương trình (7.2) là hệ thức

ta phải chứng mình.

Nhân xét: Định lý Huyghens - Steiner cho ta cách tính mômen quán

tính đối với một trục tùy ý bằng cách đưa về cách tính mômen quán tính đối

với trục đi qua khối tâm.

b) Ví dụ áp dụng 1:

+ Xét một thanh mỏng đồng tính khối lượng M và độ dài L (hình 19)

=> Momen quán tính của nó quay quanh một trục vuông góc với thanh

và đi qua khối tâm nó là bao nhiêu?

Trang 27

Luận Van TétNghigp —- — Nguyễn Chí Nhân

+ Ta chọn nguyên tố khối lượng là một phần tử dx của thanh Tâm của

phần tử dx ở vị trí x, khối lượng dm của nguyên tố dx:

dm = Adx với: A = M/L : mật độ khối lượng dài.

—Momen quán tính của thanh quay quanh một trục vuông góc với

thanh, đi qua một đầu thanh là bao nhiêu?

Luận Văn Tốt Nghiệp — - " Nguyễn Chí Nhân

- Công thức (6.3) cho ta mômen quán tính của hình trụ đặc đối với trục

đi qua khối tâm.

+ Mômen quán tính của vật đối với trục (A) cũng chính là quán tính

quay của vật đối với trục (A)

+ Phan tử dm cũng chính là yếu tố vi cấp dm và cũng chính là nguyên

tố khối lượng

Trục quay là Trục quay qua

đưỡng siah của khối tầm

hình trụ

VIIL GIỚI THIÊU VE CON LAC XOAN.

+ Con lắc xoắn là một dao động tử điều hòa góc đơn giản

+ Dao tử điều hòa là quá trình biến thiên của một đại lượng nào đó

theo thời gian và có quy luật dạng sin hoặc cosin

+ Đại lượng x thực hiện một dao dong diéu hòa khi:

Luận Văn Tốt Nghiệp Nguyễn Chí Nhân

x: pha ban đầu của dao động

(ot + a) pha của dao động.

+ (Hình 21) trình bay một dạng khác của dao động từ tuyến tinh đơn

giản: yếu tố có tính lò xo hay tính đàn hổi thì liên kết với sự xoắn của day

treo, chứ không phải với sự giãn dài và sự nén của một lò xo => con lắc

xoắn.

+ Nếu quay cái đĩa trên (hình 21) kể từ vị trí nghỉ (đánh đấu bằng một

đường mốc ghi số 0) rồi thả ra, thì đĩa dao động quanh vị trí đó, theo một

chuyển động điều hòa góc đơn giản Khi quay đĩa một góc 8 theo một

phương bất kỳ nào cũng gây ra mômen quay kéo về cho bởi

M=-K.0 (8.1)

trong đó K (chữ Hy lap Kappa) là một hằng số gọi là hằng số xoắn, nó

phụ thuộc vào độ dài, đường kính và chất liệu của dây treo

+ Nhắc lại sơ lược định luật Hooke (1635 - 1703), Nếu một thanh đànhồi chiểu dai 1, tiết điện ngang S chịu một lực căng hoặc nén F thì nó dai

thêm hoặc co lại AI Hooke nói rằng: ứng suất pháp tuyến ‹ tỷ lệ với độ

Tổng quát, khi nén hoặc giản thì lực đàn hồi xuất hiện và tọa độ Al

luôn có các dấu khác nhau (trên cùng một mục)

Fđh = - K Al (8.2)

Trang 30