Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Tính chất tương đối của chuyển động

Vậy trong tất cả các hé quy chiếu chuyển đông thẳng đều thì gia tốc của một vật chuyển động 1a như nhau, Thực nghiệm cho thấy lực tác động lên các vật va khối lượng của chúng không phụ t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

TÍNH CHẤT TƯƠNG ĐỐI

GVHD : TS-NGUYỄN TRAN TRAC

SVTH : PHAN LONG TAN

NIÊN KHOA: 2001 - 2005

MỤC LỤC

Chương 1: CHUYỂN ĐỘNG CUA VAT ĐIỂM TRONG

HE TOA ĐỘ TRUC GIAO

I, Những Quan Niệm Về Chuyển Động.

I Điều Kiện Trực Giao Của Hệ Toa Độ Cong.

IIL Vận Tốc - Gia Tốc Trong Hệ Toa Độ Trực Giao.

Chương 1: SỰ TONG HỢP CUA CÁC CHUYỂN ĐỘNG

I Sự Tổng Hợp Của Vận Tốc.

Il Sự Tổng Hợp Của Gia Tốc.

Chương Il: CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI CUA MOT VAT THE

I Hệ Qui Chiếu Quán Tính

II Chuyển Động Của Một Vật Trong Hệ Qui Chiếu Không Quán Tính,

Lực Quán Tính.

IIL Lực Quán Tính Tác Dụng Lên Vật Chuyển Động

** Các Bài Toán

Chương IV : SỰ CHUYỂN ĐỘNG CUỈA TRÁI ĐẤT VÀ MỘT SỐ TÁC DỤNG

I Chuyển Động Quay Quanh Trục Của Trái Đất.

II Sự Nghỉ Tương Đối Của Vật O Gắn Bé Mặt Trái Đất

III Ảnh Hưởng Chuyển Động Quay Của Trái Đất Lên Các Vật Chuyển Động.

IV Một Vật Chuyển Động Trong Hệ Qui Chiếu Gắn Với Tâm Trái Đất

V Một Số Hiện Tượng Biéu Kiến Trong Quan Sát Khi Đứng Trong

Hệ Qui Chiếu Chuyển Động

VỊ Chuyển Động Của Mặt Trăng, Trái Đất Trong Thái Dương Hệ

Chương V : ĐỘNG HỌC CỐ THỂ VÀ CÁC CỐ THỂ TIẾP XÚC NHAU.

LUẬN VAN TỐT NGHIỆP

LỜI MỞ ĐẦU

'Tương đối là tính chất phổ quát của các chuyển đông Các thuộc tính của chuyển

dong như vận tốc, gia tốc, qui dao của một vật thì không như nhau đối với các hệ cơ sở

từ đó ta quan sát chuyển đông Trong đông học, người ta phân biệt, tùy theo hệ quy

chiếu chuyển dong tuyệt đối, chuyển đông tương đối và chuyển đông theo Tuy nhiên,chuyển động “tuyệt đối” ở đây cũng chỉ có tính tương đối, dựa trên giả thiết hệ quy

chiếu ứng với chuyển động đó được coi là đứng yên, trong khi trên thực tế hấu như mọi

hệ quy chiếu déu chuyển động Tuy vậy, trong đời sống thực tế và kỹ thuật, nếu sựchuyển đông của hệ quy chiếu đưa đến các sai số nhỏ, có thể chấp nhận được, thì hệ

quy chiếu này được coi như cổ định.

Khoa luận tốt nghiệp này với chủ dé “Tinh chất tương đối của chuyển đông” sẽ khảo

sát chi tiết các tính chất chuyển động của một vật, quan sát từ các hệ quy chiếu khác

nhau, trong đó đặc biệt khảo sát kỹ chuyển động tương đối của vật, đồng thời khóa luận

cũng trình bày và giải thích một số hiện tượng biểu kiến vẻ chuyển động trong thiên

văn.

Nội dung khóa luận gồm các phan sau:

- _ Chuyển động của vật điểm trong hệ tọa độ trực giao.

- Su tổng hợp của các chuyển động

- Chuyển đông tương đối của một vật thể.

- _ Sự chuyển động của trái đất và một số tác dụng

- _ Động học cố thể và các cố thể tiếp xúc nhau.

Mặc dù rất cố gấn nhưng việc tìm hiểu và trình bày vấn để chắc chấn còn nhiều

thiếu sót Kính mong sự đóng góp của quý thấy, cô và các bạn sinh viên để vấn để trên

ngày một hoàn thiện.

LỜI CẢM ƠN

Trước hết em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến thầy Nguyễn Trần Trac Thay đã

tận tình chỉ dẫn để em hoàn thành khóa luận này

Nhân đây em gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn sinh viên, các bạn Khoa Vật Lý đã

động viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trường đai học Sư

Pham.

Sau cùng em chân thành cắm ơn các thấy cd trường dai học Sư Pham, Khoa Vật Lý

đã hết lòng giảng day em trong suốt khóa học vừa qua.

SVTH: PHAN LONG TẤN aff.

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

CHUONG I:

CHUYEN DONG CUA VAT DIEM TRONG

HE TOA DO TRUC GIAO

I.NHỮNG QUAN NIEM VỀ CHUYỂN ĐỘNG

Chuyển động cơ học là dạng chuyển động cơ bản nhất của vật chất, bao gdm

chuyển đông của các vật thể và các phan của chúng đối với một vật khác

Chuyển động cơ học được xác định bằng sự thay đổi vị trí của các vật Nếu ta hìnhdung môi vật cô lập trong không gian, tức ở đó không có bất kì vat nào khác để đốichiếu thì ta không thể nói vật đó chuyển động hay không

Chuyển động của một vật trong các hệ quy chiếu khác nhau thì khác nhau Ví dụ:

trên một xe lửa đang tăng tốc, giả sử có một hành khách đi bộ dọc trên toa tau với vận

tốc là hằng số Như vậy, đối với thu người ấy chuyển động đều còn đối với mặt đấtngười ấy chuyển động nhanh dần

Để mô tả chuyển động của một vật ta phải chỉ ra vị trí và vận tốc của vật trong

không gian ở mỗi thời điểm.

Để biết một trạng thái cơ học của một hệ cơ học ta phải xác định vị trí và vận tốccủa tất cả các vật trong hệ Một bài toán cơ học tiểu biểu là xác định các trạng thái của

hệ ở mọi thời điểm t khi biết trạng thái của hệ ở một thời điểm tụ ban đầu và biết cácđịnh luật chỉ phối chuyển động

II DIEU KIỆN TRỰC GIAO CUA HỆ TOA ĐỘ CONG

Xét trường hợp tổng quát của một hệ toa độ cong Để xác định vị trí của một điểm

thay vì các tọa độ Đề-các, ta đưa vào các biến số q;, q; qx là các ham của tọa độ

Đê-CÁC x,y,z:

q, =@,(X,y,Z), Q; WO YZ) Gy = X.(X,Y,Z) (1.1) Ngược lai, có thể biểu diễn x, y, z đưới dang là các ham của q), q›, q› :

X =6(q, Gre Gs), Y = WÁQ:, Qz.Q;), Z= Z (Gi Gr, Gs) (1.2)Các hàm trên được giả sử là liên tục và các đạo hàm riêng phin bậc nhất của

chúng cũng liên tục.

Cho các biến mới nói trên các giá wi là các hằng số A, B, C, ta được ba họ của các

bé mặt Các phương trình của các họ bể mặt này là:

Wq(x,y,Z) =B (il)

“i (yy, Z=C (LI)

ƑT—Ừ—.———mmm——————c

SVTH: PHAN LONG TẤN =?

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Lấy hai bể mặt bất kỳ của hai họ khác nhau, thí dụ; của các họ (H) và (HH) Hai

mặt này sẽ cất nhau theo môi đường được xác định bởi các phương trình:

wrix,y.z) =B

Xr (X, y, Z) =CTrong đó B và C là các hằng số xác định Dọc theo giao tuyến của hai bề mặt này,

chỉ có biến q, thay đổi Như vậy, ta có thể coi giao tuyến trên là trục tọa độ q, Bằng

cách tương tư, ta có thể xác định các trục toa độ q› và q›.

Bây giờ, ta đi tính bình phương của độ dai ds trong hệ tọa độ mới:

ds’ = ác + dụ? +?

ds’ 4a † Seas + 2a, +{ Maa, _ + 2g] +

Lư sẻ Ì 3

+{ Fea + Ge, aa aah

Đây là một da thức đồng nhất bậc hai đối với đq;, dq, đq› Ta muốn Om diéu kiện

để đa thức này không chứa các số hạng có tích của các vi phân dq

Trong biểu thức (1.3), ta xét thành phan chứa tích dq), dq; Hệ số của thành phan

này là :

ôn ân, ôn Ôn, 24, 04, Điều kiện để đa thức (1.3) không chứa thành phần trên là hệ số (1.4) bằng không.

Bây giờ trong hệ tọa độ mới, ta xét một thể tích vi cấp được giới hạn bởi ba cặp bể

mặt Dinh A ứng với các tọa độ q), q;, Gs Doc theo cạnh AB chỉ có biến q¡ thay đổi, doc

theo cạnh AC chỉ có q; thay đổi, dọc theo cạnh AD chỉ có q; biến thiên.

Các cosin định hướng của tiếp tuyến với cạnh AB tỉ lệ với:

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Các cosin định hướng của tiếp tuyến với cạnh AC tỉ lê với:

60 OY OH gy ỐC Oy ổc

oq, OY, Ân, đu; Ẩn; &q;

Ta thấy diéu kiện hệ thức (1.4) triệt tiêu tương đương với điều kiện hai cạnh AB và

AC trực giao Vậy, điều kiện để các hệ số của các tích dq) dq›, dq;.dq›, dq;.dq› trong

đa thức (1.3) triệt tiêu là các cạnh của thể tích vi cấp trên phải trực giao từng đôi một

Lưu ý rằng dọc theo mỗi cạnh của thể tích sơ cấp chỉ có một biến thay đổi từ (1.5)

ta được chiéu đài của các cạnh:

ds; =Hị.dqạy, ds; =H;đg; , ds; = Hy.dqyThể tích xơ cấp là dv = ds,.ds;.dsy = Hy H3.Hy dq) dq» dq›

trong đó ũ, là vectơ đơn vị của tiếp tuyến của cạnh tương ứng với biến qụ

SVTH: PHAN LONG TAN

-4-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

II VẬN TỐC - GIA TỐC TRONG HỆ TOA ĐỘ TRỰC GIAO

1 Vectơ vận tốc:

a |3 Vey Seo on, cà, (1.8)

Mặt khác,ku ýing Vl VIÊYV „1V Zev reve Ia

6, 204, 2Ô” âu, 2ô, 2%,

SVTH: PHAN LONG TẤN sồi~

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

3 2

Cuối cùng, ta được: y, "mà Ac) 2°

2H, | dt\ dq, ) aq,+ Trường hợp hệ toa độ câu:

V=ru, +rÖu¿ +rsinO@.ou,

Suy ra: V? =P +6? +r @’ sin’ 6

- Gia tốc của điểm M :

oH, ris âu

mỹ HE ¬ im! n 3.2 3H, | atl og, ) | 2Jai or) &

NNN nnn ne rr ar

SVTH: PHAN LONG TAN

=§-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

CHƯƠNG U:

SỰ TỔNG HỢP CỦA CÁC CHUYỂN ĐỘNG

Xét chuyển đông của một điểm M đối với một vật thể S Vật này lại chuyển động

với một hệ quy chiếu R;(O;x¡y;Z4) Ấy

- Chuyển động của S đối với R, được gọi Zo" y

là chuyển động theo bY o

- Chuyển đông của M đối với ;

S được gọi là chuyển động tương đối š

Trong đó a,b,c là thành phan của vecto OM trên các trục Ox,Oy,Oz.

i, ñ k là các vectơ đơn vị trên các trục này

lấy đạo hàm hệ thức trên , ta được:

-9-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

œ dar db- de; Os:

Viz +—j+—k= bj+ck S a acd ae ai+bj+c (2.5)

S : o Ail=œ—=—mare loa odt dt

Mặt khác vectơ di vuông góc với mặt phẳng (@ , 1), vậy ta có biểu thức:

10-LUẬN VAN TỐT NGHIỆP

II SỰ TONG HỢP CAC GIA TỐC

Theo định nghĩa ta gọi:

- Gia tốc tương đối của M là đại lượng 7, , diễn tả sự biến đối của vận tốc tương

đối V , chỉ xét trong chuyển đông tương đối

- Gia tốc theo của M là đại lượng Y,„ diễn tả theo sự biến đổi của vận tốc theo V ‹

chỉ xét trong chuyển động theo

Theo định nghĩa trên , khi xét gia tốc theo, ta không để ý đến sự biến thiên của vận

tốc theo Ve trong chuyển động tương đối.

Gia tốc tuyệt đối của chất điểm là:

~ dv, ”—— „10

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Y cor được gọi là gia tốc Coriolis

Vậy tạ có TY, = Tụ + 1 1: Tews (2.11)

-12-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

+Trường hợp chuyển động theo là chuyển động tịnh tiến :

Từ : V,=ái+bj+¿k,

(4F,) dĩ df dk

Srp his fog FS nde

ee it ae aa

(Trong chuyển động tinh tiến, phương của vectơ đơn vị ¡, j,k không đổi nên

di.dj,dk đều bằng không)

Mat khác:

Vậy trong trường hợp này ta có : tr =† +,

+Biểu thức của gia tốc Coriolis Trong trường hợp tổng quát, ta có:

SVTH: PHAN LONG TAN

=13-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

CHUONG III:

CHUYỂN ĐỘNG TƯƠNG ĐỐI CUA MOT VAT THE

I HE QUY CHIEU QUAN TÍNH

Cho đến bây gid ta khảo sát chuyển động của các vật thể trong hệ quy chiếu gắn

chặt với trái đất và trái đất được coi cố định Tuy nhiên, trên thực tế: Trái đất chuyển

động quay quanh mat trời với quỹ đạo elip và đồng thời quay quanh trục của mình Do

đó, giả thuyết trái đất cố định sẽ dẫn đến các sai số

Các định luật động lực học được phát biểu như nhau chỉ với các hệ quy chiếu quán

tính chuyển động thẳng đều đối với nhau Giả sử có hai hệ quy chiếu như hình 6, hệ I

được coi là cố định, hệ 2 chuyển đông đối với hệ 1 với vận tốc không đổi V .Nhu vậy,

tất cả các vật ở trạng thái nghỉ đối với hệ 2 sẽ chuyển động với vận tốc Vo đối với hệ

| và những vật chuyển động với vận tốc Ý, đối với hệ 2 sẽ có vận tốc V = V,+V, đối

với hệ 1 (được giả sử là cố định) Vận tốc Vo là hing số, gia tốc của vật đối với hệ quy

vhiếu chuyển đông trùng với gia tốc đối với hệ quy chiếu cố định và ngược lại Vậy

trong tất cả các hé quy chiếu chuyển đông thẳng đều thì gia tốc của một vật chuyển

động 1a như nhau,

Thực nghiệm cho thấy lực tác động lên các vật va khối lượng của chúng không phụ

thuộc vào việc chọn một hệ bất kỳ nào trong các hệ quy chiếu này, mà lực phụ thuộcvào khoảng cách giữa các vật, vận tốc tương đối của chúng và thời gian Tất cả những

SVTH: PHAN LONG TẤN

-114 LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

đại lương này không thay đổi khi ta chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếukhác, khí hệ quy chiếu này chuyển đông thẳng đều đối với hệ quy chiếu kia

Nếu ta chọn một tập hợp tùy ý các hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều đối với

nhau và nếu biết rằng các định luật động lực học được thỏa cho những hệ quy chiếu này

thì các định luật động lực học (định luật | và định luật 2) sé được phat biểu giống nhaucho tất cả các hệ quy chiếu đã chọn, các hệ quy chiếu như vậy được gọi là các hê quy

chiếu quán tính (định luật quán tính Galileo chỉ đúng với những hệ quy chiếu này).

Một hệ quy chiếu chuyển động có gia tốc đối với hệ quy chiếu quán tính được gọi

là hệ quy chiếu không quán tính Một câu hỏi được đặt ra là: hệ nào trong các hệ quy

chiếu mà ta để cập tới là hệ quy chiếu quán tính ? Rất khó để có câu trả lời tổng quát

cho câu hỏi này Tuy nhiên, sự khảo sát những chuyển động có vận tốc nhỏ so với vậntốc ánh sáng cho thấy rằng một hệ tọa độ mà gốc gấn với khối tâm của hệ mặt trời và

các trục có các phương không đổi đối với các ngôi sao cố định có thể được coi là một

hệ quy chiếu quán tính.

II CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT VẬT TRONG HỆ QUY CHIẾU KHÔNG

QUÁN TÍNH LỰC QUÁN TÍNH

— —

Xét một chất điểm M chuyển động dưới tác dung của các lực FF, Fy „ta sẽ

khảo sát chuyển động của chất điểm này đối với hệ trục Oxyz trong khi hệ trục tọa độ

này lại chuyển động đối với một hệ trục cố định Ox;yZ,

-‡š-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Ma ta có

Ya = Ne TY FV cor

Từ (3.1) suy ra:

YR =mÍy +Y, +r„Ì (3.2)

Để cho gọn, trong phẩn này , ta đặt Y, =Y gọi là gia tốc tương đối của chất điểm

hay gia tốc của chất điểm trong hệ trục Oxyz.

Ta có: my = SẼ, -m7, -my,

Ta đưa vào các khái niệm sau; Fe = —=mY, : gọi là lực quán tính theo.

Fn = -m†c„ :gọi là lực quán tính Coriolis.

Suy ra : my= SẼ +! +R,

Đây là định luật chuyển động áp dụng cho chuyển động tương đốicủa một vật

Sự hiện diện của lực quán tính liên kết với chuyển động có gia tốc của hệ quy

chiếu mà ta khảo sát chuyển động của vật Lực quán tính được đưa vào để mô tả

chuyển động trong một hệ quy chiếu có gia tốc Trong ý nghĩa này, không có sự khácbiệt giữa chúng và các loại lực thông thường (là do sự tương tác giữa các vật) Sự khác

biệt chủ yếu của lực thông thường và lực quán tính nằm ở chỗ: không có các phản lực

tương ứng với các lực quán tính, điểu này có nghĩa là không có các vật thể thực gây ra

các lực quấn tính, đây là lý do vì sao đôi khi lực quán tính bị xem là những lực không có

thực Tuy nhiên, lực quán tính là những lực hoàn toàn có thực vì nó liên kết với tìnhhuống thực khí hệ toa độ mà ta để cập đến chuyển động có gia tốc Trong ý nghĩa này,

các lực quán tính không có gì là lực giả Sự khác biệt duy nhất với lực thông thường là

không có phản lực tương ứng với lực quán tính.

Ill LỰC QUAN TÍNH TÁC DỤNG LÊN VAT CHUYỂN ĐỘNG TRONG HỆ QUY CHIẾU CHUYỂN ĐỘNG QUAY

Ta khảo sát chuyển đông của một quả cầu nhỏ (viên bí) dọc theo một thanh dẫn

trên một dia quay Gọi , là vận tốc trong chuyển động tịnh tiến déu của quả cầu theo

một bán kính của đĩa.

SVTH: PHAN LONG TẤN 46s

Hình 8

Chuyển động của tâm quả cẩu trong hệ tọa độ cố định Oxy gắn với bàn (hệ quychiếu quán tính) có quỹ đạo dạng xoắn ốc, gia tốc của viên bi phụ thuộc một cách phứctạp vào chuyển động trên quỹ đạo Để xác định các lực quấn tính tác dụng lên vật

chuyển động trong hệ quy chiếu quay trước hết ta phải tìm gia tốc của vật đối với hệ

tọa độ cố định Oxy,

Ở thời điểm t, tâm viên bí cách trục quay một khoảng R Vị trí của tâm viên bi

trong hệ toa độ cố định được xác định bằng bán kính vectơ 2 Vận tốc của viên bỉ trong

hệ Oxy được phân ra làm hai thành phẩn : một thành phẩn bằng với , (van tốc của

viên bi đối với đĩa) dọc theo bán kính R và một thành phẩn vuông góc với R nim

trong Oxy và bằng với ØA R, trong đó @ là vận tốc góc của chuyển động quay của đĩa.

Bây giờ ta tìm phương va độ lớn của các thành phin vận tốc ở thời điểm t + dt, với

dt rất bé Trong thời gian dt, đĩa quay được một góc da rất bé.

Ta có : da =adi

Giá trị tuyệt đối của thành phần hướng theo bán kính không thay đổi và giá trị tuyệt

đối của thành phắn tiếp tuyến (vuông góc với bán kính) thay đối một lượngodR = øl dt, bồi vì, trong thời gian dt, khoảng cách từ viên bí đến trục quay thay đổi

một lượng ; dR =V,dt.

Hình 9a biểu diễn các thành phan vận tốc ở thời điểm t va t + dt trong hệ Oxy gấn

với bàn Sự tăng của vận tốc của viên bi trong thời gian dt được chia thành tổng của 3 vectơ (IV), (dV);, (dV)y Trong đó (dV), (dV); vuông góc với bán kính và theo phương song song với thành phẩn tiếp tuyến OAR của vận tốc và (dV), có chiéu

hướng đến trục quay.

——————

SVTH: PHAN LONG TAN

-17-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Chú ý khi xác định phương và độ lớn của những vectơ này, cần lưu ý rằng thời gian

dt rất bé nên da và các độ lớn (dV),, (đV); (dV); cũng rất bé so với độ lớn của những

Bây giờ, ta dùng hình 9b để xác định (dV),, (đV);, (dV)y.

(1) (dV), do sự quay của vectơ V, của viên bi chuyển động đọc theo bán kính :

(2) (dV); do sự tăng khoảng cách từ điểm chuyển động đến trục quay, sự tăng này

sẽ dẫn đến sự tăng vận tốc vuông góc với bán kính :

(dV); = ø(R + dR)— OR = oW,dt (3.4)

(3) (dV), xuất hiện do sự quay của đĩa dẫn đến chuyển động của điểm trên một đường tròn, do đó thành phần vận tốc vuông góc với bán kính Ø^ # thay đổi phương :

(dV), =@Rda = wRandt = oF Rdt

Để tim gia tốc chuyển động của điểm chuyển động ta chia độ tăng vân tốc cho thời

gian dt Thành phan tiếp tuyến của gia tốc (vuông góc với bán kính) bằng tổng (3.3) và

(3.4) chia cho thời gian dt Đó chính là gia tốc Coriolis ¥¢,, :

Voce = a = 20V,

- thành phan doc theo bán kính được gọi là gia tốc hướng tâm Kí hiệu Y có độ

lon:

V : ;(dV), _® Rdt aig ip

dt dt Ke

ea

SVTH: PHAN LONG TAN si§~

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Như vậy độ lớn của gia tốc Coriolis bằng hai lần tích số của vận tốc góc của đĩa

nhân với vận tốc Vạ của viên bi đối với đĩa

Viên bi có gia tốc đối với hệ quy chiếu Oxy nên theo định luật II Newton, Viên bi

này chịu tác dung của một lực Lực này có hai thành phần, một thành phần có độ lớn là

: f = mo°R do gia tốc hướng tâm tạo ra, có chiểu hướng vào tâm đĩa Và thànhphấn thứ hai có đô lớn là : F = 2m@ V,, do gia tốc Coriolis tạo ra, vuông góc với

bán kính của dia Điều này có nghĩa là khi viên bi chuyển động trên thanh din gấn vào

dia quay, thanh sẽ tác động lên viên bi một lực vuông góc với bán kính,

Gia tốc Coriolis có thể viết đưới dạng vectơ như sau :

Hình 10

Công thức (3.5), đúng cho mọi phương của Ÿ, đối với đĩa quay Trong trường hợp

tống quát, công thức này có thể suy ra từ hình 10a : thành phần vận tốc Ÿ, của viên bi đối với đĩa có giá trị hằng số Vận tốc của viên bi trong hệ toa độ cố định ở thời điểm t

được phân ra thành hai thành phẩn V, vad ^ R tại điểm Ở thời điểm t+dt, viên bi ở điểm B vận tốc của nó được phân ra làm hai thành phẩn Ÿ, và ö a(R + dR) Trong

|

SVTH: PHAN LONG TAN

-19-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

—>——xd

2 ~ V :

thời gian dt viín bi đi từ A đến B, tức vectơ R quay một góc (@ + nO! trong đó V

Fe : Vv

lă thănh phan của Vụ (đối với đĩa) vuông góc với bân kính Góc (@ + Tết cũng lă

vóc lăm bởi câc vectd G AR vắ A(R + dđÑ).

Trín hình 10b, câc vectơ biểu diễn câc thănh vận tốc của viín bi văo câc thời điểm

! vă t+ dt, đối với hệ quy chiếu cố định được vẽ từ một điểm gốc chung

Tổng của ba vectơ bằng độ tăng vận tốc trong thời gian dt vă được biểu diễn trín

hình 10c - vectơ thứ nhất vă vectơ thứ ba vuông góc với Ÿ,„, vă có độ lớn bằng nhau,

còn vectd thứ hai hướng về tđm đĩa Chia tổng của thứ nhất vă thứ ba cho dt ta được gia

tốc Coriolis Yo, = 20 Ÿ,, tương tự, chia vectơ thứ hai cho dtta được gia tốc

hướng tđm bằng -@°R

Chú ý rằng khi một vật chuyển động trong hệ quy chiếu chuyển động quay theo

phương song song với trục quay (V,// @ ) không sinh ra gia tốc Coriolis vì trong

trường hợp năy, vectơ V, không đổi phương trong không gian Trong trường hợp tổng

quât, gia tốc Coriolis luôn luôn bằng ÿƒc,=2GAV,, vì nếu ta viết

V, = V_+V¥,,: trong đó V,, song song với trục quay nín ö A Ÿ„ = 0, còn Ÿ,

vuông góc với trục quay, suy ra @AV, = 6 A Ÿ,.

Trở lại thí nghiệm hình 8, chúng ta sẽ khảo sât chuyển động của viín bi trong hệ

quy chiếu gấn với đĩa quay: vì viín bi chuyển động thẳng đều đối với đĩa nín theo câc

định luật thông thường của động lực học không có lực tâc dụng lín viín bi hoặc câc lực

tâc dụng cđn bằng nhau Tuy nhiín ta đê thấy có hai lực tĩc dụng lín viín bi: lực

f ==mø@ R hướng vĩ tđm đĩa vă lye F = 2mG A , vuông góc với bân kính.

Lực f được tâc dụng văo viín bi do sợi chỉ buộc văo viín bi Sợi chỉ vòng qua rênh

một một ròng roc gấn ở gắn tđm đĩa vă cuốn văo một tay quay ở trín Lực F lă do

thanh dẫn tâc dụng văo viín bi theo chiều quay của đĩa Hai lực năy thường trực tâc

dụng lín viín bi Độ lớn của f tăng theo khoảng câch từ viín bi đến tđm đĩa trong khi

F có độ lớn không đổi vì Vạ vă œ lă câc hằng số.

el

SVTH: PHAN LONG TAN

-20-LUẬN VAN TỐT NGHIỆP

wit

|Z ees

Hinh 11

Độ lớn và phương của f vAF không phụ thuộc vào việc chuyển động được xét

trong hệ quy chiếu cố định hay hệ quy chiếu quay Do đó ta đưa lực quán tính vào để

mô tả quy luật chuyển động thẳng đều của viên bi trên đĩa quay: theo chiều quay của

đĩa có lực F tác dụng lên viên bi theo phương vuông góc với trục quay và Ÿ,, lực này

được cân bằng bởi lực quán tinh Coriolis F, = -2m@ a V, (hình 11a) Doc theo bán

kính, viên bi chiu tác dụng của lực f được sinh ra bởi sợi chỉ Lực f cho viên bi một gia

tốc hướng tâm lực này được cân bằng bởi lực quán tính ly tâm f=mo’R, làm

căng sợi chi, Kết quả trong hệ quy chiếu không quán tính gắn với tâm đĩa quay, tổng lực tác dụng lên viên bi bằng không nên viên bi chuyển động thẳng đều.

Cũng như tất cả các lực quán tính khác, lực quấn tinh Coriolis xuất hiện khi vật

chuyển đông đối với một hệ quy chiếu quay Khi chuyển động tương đối của vật là

chuyển đông thẳng đều, lực này cân bằng với các lực tác động lên vật bởi những vật

khác.

Trong ví du ta khảo sát ở trên, viên bi chịu tác dụng của lực quấn tính lí tâm tỷ lệ

với bán kính, Nếu ta cất sợi chỉ và để cho viên bi chuyển động tự do đọc theo bán kính

không có tác diụng của lực f , viên bi sẽ không chuyển động đều nữa mà có gia tốc Độ

lớn của gia tốc: được xác định bởi độ lớn f = mo của lực quán tính và tăng với

R Lực quán tính Coriolis cũng tăng khi vận tốc tương đối của viên bi đối với đĩa tăng.

Trong trường (hợp này khoảng cách giữa viên bi và tâm đĩa tăng theo công thức :

SVTH: PHIAN LONG TẤN

-21-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

_——TyT——ỶỶŸỶ-=——————E——E——E—Er-r-r.-mm

R = acoshet trong đó a là khoảng cách giữa viên bi và tâm dia ở thời điểm t=0khi vận tốc của viên bị bằng 0.

Tác đông của lực quán tính Coriolis có thể được chứng minh bằng thí nghiệm của

giáo sư S.E.Khaikin (hình 11b), Doc theo đường kính của đĩa quay được đặt một ống

cao su Cho nước chảy qua ống khi đĩa quay Nước chuyển động đều đối với đĩa và nước

bị tác dụng bởi lực quán tính Coriolis Lực này làm ống bị cong đi theo chiều ngược vớichiếu quay của vectd vận tốc của các hat nước Thực nghiệm cho thấy ống cong cằngnhiều khi vận tốc quay của đĩa cảng tăng Hiện tượng xảy ra tương tự khi vận tốc của

nước trong Ong tăng.

Ta có thể dùng một phương pháp khác để suy ra công thức về mối liên hệ giữa các

gia tốc của vật chuyển động trong hệ tọa độ cố định và hệ trong hệ tọa độ quay

Xét một vectơ A đồng thời ở trong một hệ quy chiếu quay và một hệ quy chiếu cố

định.

Nếu vectøÁ không đổi đối với hệ toa 46 quay(các thành phẩn của A trên các trục

toa đô này là các hằng số) thì các thành phẩn của nó trong hệ tọa độ cố định sẽ thay

đổi Đô thay đổi của A trong thời gian dt là :

Nếu A thay đổi trong hệ toa độ quay và tăng lên một lượng (dA ), trong thời gian

dt, thi đạo hàm của A trong hệ tọa độ cố định được viết :

-?9-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Hình 12

Ap dụng công thức (3.6) cho vectơ R nối một điểm cố định O trên trục quay của

hạt chuyển động với điểm này (hình 12), thì đối với

hệ toa độ cổ định ta có :

dR (dR), | s

—s +@AR

dt dt

trong đó = V là vận tốc của điểm này trong hệ tọa độ cố định và

V, = _ là vận tốc tương đối của nó đối với hệ tọa độ quay Vận tốc Ÿ, có

phương bất kỳ Lấy dao hàm biểu thức của vectơ vận tỐc :

Ÿ=ŸỞ,+ö^Ñ (3.7)

| ee

Ta có gia tốc trong hệ tọa độ cố định: = ——* + @ A —— (3.8)

Với diéu kiên là @ = const

dV, _ (dŸ,), P _

theo công thức (3.6) ta có : a at GAV,

(dV,), là dO biến thiên của Ÿ, trong chuyển động đối với hệ tọa độ quay

LUA\N VAN TỐT NGHIỆP

Thà¡nh phan thứ nhất ÿ,„ =- — gọi là gia tốc của hat đối với hệ tọa độ

t

quay, thành phẩn thứ hai 2ö 4 Ÿ, chính là gia tốc Coriolis và thành phẩn thứ ba

6 ^ (ð ^ R)= =0 ”ổ là gia tốc hướng tâm Như vậy trong trường hợp © = const ta

có Ý=Ÿ, +2öAŸ,-eœ!ö (3.10)

Cong tute (3.10) là công thức liên hệ giữa các gia tốc.

Việc: đưa vào lực quán tính có thể được giải thích theo các quan điểm khác nhau

Để tránh: hiểu sai ta sẽ thảo luận hai phương pháp khả dĩ :

Thứ nhất: không sử đụng lực quán tính Trong phương pháp này các định luật một

và hai của động lực học không thể 4p dụng cho hệ quy chiếu không quán tính và các

lực tương tác giữa các vật không xác định đẩy đủ gia tốc của vật chuyển động Vì vậy cẩn phảii thực hiện các phân tích động lực học về chuyển động của vật trong hệ quy

chiếu quián tính và sau đó xác định chuyển động của vat đối với hệ qui chiếu không

quán tính.

Thứ hai: sử dung các lực quán tính Trong phương pháp này việc công thêm các lực

quán tinth vào các lực tương tác khiến ta có thể áp dụng các định luật một và hai của

động lực học vào một hệ qui chiếu không quán tính Khi hệ không quán tính chuyển động tink tiến, các lực quán tính thì như nhau với mọi điểm và không phụ thuộc vào vận tốc chuyển đông của vật đối với hệ này Trong trường hợp hệ không quán tính chuyển

đông quay cắc lực quán tính khác nhau đối với những điểm khác nhau: các lực quán

tính ly tâm phụ thuộc vào các vị trí của các điểm bị lực tác dụng và lực quán tính

Coriolis phụ thuộc vào vận tốc tương đối của chuyển động.

** CÁC BÀI TOÁN

Bài 1 : Tinh (tong hệ cơ sở[ 7, / ] ) vận tốc và gia tốc của điểm P trong hệ quy khi

hệ có vị trí như hình, biết rằng P chuyển động với vận tốc không đổi Vo doc theo một

khe trên đĩa có tâm A Khi đó, thanh OA quay xung quanh O với vận tốc góc không

đổi ø theo chiểu ngược kim đồng hổ, đĩa D cũng quay ngược chiéu kim đồng hồ với vận

tốc góc không đổi @, đối với thanh OA Thanh OA có chiéu dai |, khoảng cách từ tâm

A của đĩa đến khe là b.

SVTH: PHAN LONG TẤN “Din

Hình bai 1

Tại thời điểm khảo sát Ta có :

[To |, = [Fy |, + Our AFne *[ 4ø |, (1)

[Pa], = Mod

Oy) ¢ = (@ +0, )k

SVTH: PHAN LONG TAN

-25-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Thế vào (1) ta có vận tốc tuyệt đối của điểm P đối với F là :

Lal =V,j +(@ + ø, bj ~ hỉ)+ œ,(IcosØ j -!sin Ø7)

= =[(@, + ø, )h + cal sin Ø]ï +[V, + (@, + @,)b + a! cos Ø] j

Vậy: | [Z„„] =~[(e@ +a,)h+aysinØ]f +[f, +(e +e,)b+ a4! cos0]7

Ngoài ra ta có công thức tính gia tốc như sau :

Opp (Oye ATs) +[ Geo ji

a, = (4, NI =0 w L7 XI (vận tốc tương đối, của P đối với đĩa B) là vectơ

-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Thế vào (2) ta có biểu thức của gia tốc tuyệt đối P đối với F là :

Bài 2 = Một con mèo đang đuổi bất một con chuột, con chuột đang chạy dọc trên một đường thẳng với vận tốc u = const.Vận tốc của con mèo có giá trị bằng hằng số

v>|u| và di theo hướng con chuột, lúc đấu vận tốc của mèo và chuột vuông gốc với

nhau và khoảng cách gifamèo và chuột là / Hỏi sau bao lâu thì con mèo bắt được con

chudt.

SVTH: PHAN LONG TAN

-27-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

¥, là van tốc của M (chudt) đối với hệ toa độ cực gốc là C

ta có : Ÿ, =#u, +rÖ,us (ñ,,i, các vectơ đơn vị trên CM và đường vuông góc CM )

Chiếu (1) xuống CM và Mi ta có :

=wcosđØ—vw

rÖ = —u sin Ø vậy : #(wcos+ V) — Ổu sin Ø =u? — vŸ

hay Ê im cos+ w)]=w —vỶ (2)

dt

lấy tích phân phương trình số (2) và kết hợp điều kiện ban đầu khi t=0 : r(0) =1,

0(0) = > nên ta cd:

r(ucos+ v)—vil =(u? —v* yt (3)

khí mèo bắt được chuột thi r = 0, từ (3) suy ra thời gian để mèo bất được chuột là :

SVTH: PHAN LONG TẤN „38=

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Bài 3; Mội vành tròn đồng nhất (tâm K, khối lượng M, bán kính r) có gấa mot

viên bí nhỏ (coi như một chất điểm có khối lượng m) ở điểm A trên vành Vành trònnày lăn không trượt trên một đường thẳng cố định nằm ngang của hệ qui chiếu gấnvới trái đất R(Oxyz) sao cho mặt phẳng của vành luôn luôn nằm trong mặt phẳng

thắng đứng Oxy Trục Oy thẳng đứng, hướng lên.

a Tìm phương trình vi phân của chuyển động theo góc @ bằng cách áp dung

định lí động nang vào điểm I,

b Tìm chu kì của các chuyển động nhỏ

Bài giải

Lưu ý : Với moment động lượng Z, (đối với một điểm cố định O), ta có định

di,

-lý „ (“)

Với một điểm O không cố định trong hệ qui chiếu galilê, ta có :

L= OA, amy, = 5> 00 ams, +304, amv,

=> £,=00 A> mJ, +L, =00 AP +L, với P=3`mƑ,

Định lý moment đối với O : ty =F) = =p, +00 A$

Hay £ (i +00 ^? = jy +00 aS

L) = = =~ dP - — s “ SANG dV.

Se +í,^P+0Ö ^^, = ny +00 nS [z->ã-==:]

Vậy ta có định lý moment đối với điểm O là

a tẺ.AP= n(Ê") ( F* là ngoại lực)

if

SVTH: PHAN LONG TAN -