Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích ứng xử động của tấm nindlin chịu tác dụng của hệ khối lượng-lò xo-cản di chuyển sử dụng phương pháp phần tử chuyển động-MEM

GIỚI THIỆU

Giới thiệu sơ lược về đề tài luận văn

Theo nhịp phát triển kinh tế - xã hội của đất nước, việc xây dựng các tuyến đường giao thông, xây dựng và mở rộng các sân bay đang là điều cấp thiết Để tạo ra được các kết cấu mặt đường “bền – đẹp” thì cần có những nghiên cứu chuyên sâu về kết cấu mặt đường

Hình 1.1: Kết cấu mặt đường ô tô

Hình 1.2: Kết cấu mặt đường dẫn sân bay

2 Nhiều nghiên cứu đã được thực hiện để phân tích ứng xử của kết cấu tấm khi chịu nhiều loại tải trọng khác nhau di chuyển, cụ thể như tải trọng tập trung, tải trọng phân bố, tải trọng điều hòa, tải trọng hãm, … Tuy nhiên, một số kết cấu mặt đường vẫn bị hư hỏng, nứt nẻ sau khi thi công, vậy thì nguyên nhân là do đâu? Là do điều kiện thi công không tốt hay do chúng ta đã lựa chọn mô hình nghiên cứu chưa thực sự sát với thực tế?

Hình 1.3: Kết cấu mặt đường dẫn sân bay bị hư hỏng

Hình 1.4: Kết cấu mặt đường ô tô bị nứt nẻ

1.1.2 Tính cấp thiết của đề tài

Trong những năm gần đây, việc ứng dụng lý thuyết phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method – MEM) ngày càng rỗng rãi, đặc biệt là để để khắc phục những ngược điểm của các phương pháp trước đó như phương pháp phần tử hữu hạn

3 (Finite Element Method – FEM) trong những bài toán có xét ảnh hưởng của sự chuyển động của các vật thể

Việc phân tích ứng xử của các bài toán dầm và bài toán tấm trên nhiều loại nền khác nhau chịu tải trọng di chuyển sử dụng phương pháp MEM đã được nhiều tác giả nghiên cứu và ngày càng có tính thực tiễn cao hơn Luận văn này nhằm nghiên cứu sự ảnh hưởng của các thông số trong hệ tải trong chuyển động bên trên đối với ứng xử của kết cấu tấm được đặt trên nền chịu lực bên dưới

1.1.3 Tình hình nghiên cứu và tổng quan tài liệu

Phân tích ứng xử của của kết cấu dầm hoặc tấm chịu tải trọng di động đã được nghiên cứu rất nhiều trên thế giới Fang và Cheung (1984) [1] đã đề xuất phương pháp dãi hữu hạn cong để phân tích dao động của tấm mỏng với điều kiên biên phức tạp Puckectt và Lang (1986) [2] đã phân tích dao động của tấm liên tục đặt trên dầm và cột Kim và Reosset (1998) [3] đã khảo sát ứng xử của tấm trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng là hằng số và tải trọng điều hòa di chuyển Huang và Thambiratnam (2001-2002) [13-15] đã khảo sát ứng xử tĩnh và động của tấm trên nền đàn hồi chịu tải trọng tĩnh, tải trọng chuyển động đều và chuyển động có gia tốc Kim (2004) [4] đã phân tích ứng xử của tấm trên nền đàn hồi và nền hai thông số dưới tác dụng đồng thời của tải trọng nén và tải trọng di động Sun (2005) [5] đã xây dựng lời giải giải tích cho bào toán tấm mỏng Kirchhoff trên nền đàn nhớt dưới tác dụng của tải trọng tập trung điều hòa và tải trọng dạng đường điều hòa di chuyển

Các công trình nghiên cứu kể trên đang áp dụng phương pháp giải tích để giải phương trình vi phân chuyển động của tấm Phương pháp này có thể cho nghiệm chính xác nhưng trong các bài toán phức tạp, hệ có nhiều bậc tự do hay chuyển động có gia tốc thì để tìm được lời giải cho bài toán là rất khó khăn Nên phương pháp giải tích bị hạn chế sử dụng trong nghiên cứu phân tích động học của các kết cấu phức tạp trong thực tế Với sự phát triển vượt bậc của công nghệ máy tính, nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng phương pháp số để giải quyết bài toán động lực học kết cấu, cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn (Finite element method - FEM) Yoshida và Weaver (1971) [6] đã khảo sát ứng xử của tấm có biên tựa đơn dưới tác dụng của tải trọng di chuyển và khôi lượng di chuyển bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) Wu và

4 cộng sự (1987) [7] đã nghiên cứu phân tích ứng xử động của tấm phẳng chịu tác dụng của nhiều loại tải trọng khác nhau sử dụng FEM Trong các nghiên cứu này, ứng xử của tấm dưới ảnh hưởng của gia tốc, vận tốc ban đầu của tải trọng được khảo sát

Trong phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM), tất cả các ma trận kết cấu được thực hiện trên một hệ tọa độ cố định, khi tải trọng di chuyển từ phần tử này sang phần tử khác thì phải cập nhật lại các ma trận kết cấu và tải trọng có thể vượt khỏi biên bài toán Điều này là một nhược điểm rất lớn của FEM Để khắc phục các nhược điển trên của FEM thì phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method – MEM) được đề xuất và ứng dụng rộng rãi Koh và cộng sự (2006-2007) [8- 9] lần lượt đã phát triển phương pháp MEM cho bài toán phân tích ứng xử của tấm hình vành khăn và ứng xử của nền bán không gian đàn hồi chịu tải trọng di chuyển Xu và cộng sự (2009) [10] đã phát triển phương pháp MEM từ bài toán dầm cho bài toán tấm để phân tích ứng xử của tấm mỏng đặt trên nền đàn nhớt dưới tác dụng của tải trọng di chuyển Trong các công trình nghiên cứu này, phương trình chuyển động của tấm dựa trên lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt và nền Winkler được sử dụng để mô hình nền đàn nhớt Tran và cộng sự (2014-2017) [11-15] đã phát triển phương pháp MEM để phân tích ứng xử của tàu cao tốc trong nhiều trường hợp khác nhau Dai và cộng sự (2018) [16-18] đã phân tích ứng xử của tàu cao tốc với nhiều mô hình nền khác nhau Ở Việt Nam, trong những năm gần đây, việc ứng dụng phương pháp MEM vào phân tích ứng xử của tấm ngày càng nhiều và đạt được nhiều kết quả đáng tin cậy Cao và công sự (2015) [19] đã phân tích ứng xử của tấm dày Mindlin trên nền Pastenak chịu tác dụng của tải trọng di chuyển Cao và công sự (2016) [20] đã phân tích ứng xử động tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng điều hòa di động sử dụng phương pháp phần tử chuyển động Cao và công sự (2016) [21] đã xây dựng phương pháp tấm chiều lớp chuyển động cho bài toán phân tích ứng xử của tấm trên nền nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển Cao và cộng sự (2017) [22] đã phát triển phương pháp MEM từ mô hình 1D tàu cao tốc cho mô hình 3D tàu cao tốc

Lương và cộng sự (2018) [23] đã phân tích ứng xử tĩnh và động của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt sử dụng phương pháp MEM Cao và cộng sự (2018) [24] đã sử dụng

5 phương pháp MEM để phân tích động học tấm composite trên nền Pasternak chịu tải trọng di chuyển Và gần đây nhất, Lương và cộng sự (2020) [25] đã phân tích ứng xử động của tấm biến đổi chức năng FGM trên nền Pasternak chịu tải trọng điều hòa di chuyển

1.1.4 Một số luân văn nghiên cứu ứng xử của tấm Mindlin đã thực hiện

Học viên Võ Hoàng Nhi: “Phân tích động lực học tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động”

Học viên Lê Văn Tư: “Phân tích động tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng hãm”

Học viên Lê Văn Tư: “Phân tích động tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng hãm”

Học viên Trần Trung Hiếu: “Phương pháp MPMM trong phân tích động lực học kết cấu tấm Mindlin chịu tải trọng điều hòa di động”

Học viên Nguyễn Trí Trung: “Phương pháp phần tử chuyển động trong phân tích động lực học tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng điều hòa di động”

Học viên Phan Huy Cường: “Phương pháp BEM-MEM trong phân tích ứng xử động lực học tấm nổi dày Mindlin chịu đồng thời sự thay đổi nhiệt độ và tải trọng di động” Đặc điểm chung của các đề tài nghiên cứu được nêu ở trên là ứng xử của tấm Mindlin được xét khi chịu một lực đặt trực tiếp lên tấm Tuy nhiên, trong thực tế trọng lượng của các phương tiện giao thông truyền xuống mặt đường thông qua các hệ thống treo, các hệ thống treo này làm việc như một hệ lò xo – cản Vì thế, nhằm xét đúng thực tế truyền tải của các phượng tiên giao thông xuống kết cấu mặt đường, trong luận văn này học viên có xét đến ảnh hưởng của hệ khối lượng – lò xo – cản

1.1.5 Mục tiêu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Thành lập chương trình tính toán mà cụ thể là chương trình Matlab tính toán chuyển vị của tấm Mindlin chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển bằng phương pháp MEM

6 Nghiên cứu các tham số để ước tính các yếu tố khác nhau của mô hình đề xuất

Từ đó tổng hợp, phân tích, so sánh kết quả với các phương pháp khác để khẳng định tính tối ưu, tin cậy của phương pháp và ứng xử của tấm Mindlin khi chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển

1.1.5.2 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là tấm Mindlin đặt trên nền Pasternak chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển với vận tốc cho trước không đổi dọc theo trục x của tấm với các thông số của hệ khối lượng – lò xo – cản, vật liệu và hệ số nền được xác định

Trong phạm vi Luận văn tốt nghiệp cao học thì đề tài nghiên cứu được thực hiện ở cấp trường

Quá trình thực hiện tại trường ĐH Bách Khoa – ĐHQG Tp.HCM qua hướng dẫn của giảng viên phụ trách và làm việc tại nhà của học viên

Thời gian thực hiện vào học kì I năm học 2021-2022.

Giới thiệu cấu trúc của luận văn

Nội dung trong Luận văn được trình bày như sau:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tấm Mindlin chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước cũng như mục tiêu đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Chương 2: Trình bày lý thuyết về tấm Mindlin, tấm Mindlin trên nền Pasternak, mô hình hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển, phương pháp phần tử chuyển động để phân tích động lực tấm Mindlin trên nền Pasternak chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển

Chương 3: Trình bày nội dung và phương pháp nghiên cứu, thông số đầu vào, lưu đồ thuật toán và chương trình Matlab

7 Chương 4: Trình bày các bài toán số, phân tích, so sánh với các nghiên cứu khác và thảo luận về kết quả

Chương 5: Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong Luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

Phụ lục: Một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong Chương

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Bài toán tấm chịu tải trọng di chuyển

Tấm là một kết cấu phẳng trong đó chiều dày h của tấm có kích thước rất nhỏ so với kích thước hai cạnh còn lại Tuy theo tỷ số giữa bề dày tấm và kích thước cạnh ngắn B của tấm mà có thể chia tấm thành hai loại sau (Chu [26]) :

 Tấm dày : trạng thái ứng suất ba trục được triển khai và được định nghĩa với bộ phương trình vi phân đầy đủ của lý thuyết đàn hồi ba chiều Tấm dày có tỉ lệ / 1/ 5 h B ;

 Tấm mỏng : có ứng suất màng rất nhỏ so với ứng suất gây ra bởi sự uốn do tải vuông góc với tấm gây ra khi tấm có độ võng nhỏ Tấm mỏng có tỉ lệ 1/ 5h B/ 1/ 80 và độ võng w max h/ 4

Tuy nhiên, tấm mỏng có độ võng lớn (w max h/ 4) thì ứng suất do uốn bị ảnh hưởng rất nhiều bởi ứng suất màng Khi đó, phải tính toán với lý thuyết tấm có biến dạng lớn

Lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff (hay còn gọi là lý thuyết tấm cổ điển) là lý thuyết tấm đơn giản nhất, lý thuyết này không để đến biến dạng trượt do ứng suất cắt trong tấm gây ra nên sẽ cho kết quả chuyển vị và tần số dao động không chính xác đối với tấm có tỉ lệ / 1/ 20 h B Đối với các tấm này thì sử dụng lý thuyết tấm Mindlin (lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất) sẽ cho kết quả chính xác hơn vì có kể thêm biến dạng trượt do ứng suất cắt trong tấm Lý thuyết tấm Mindlin được dựa theo các gải thuyết như sau :

 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm trước biến dạng sẽ vẫn thẳng nhưng không nhất thiết là vẫn vuông góc với mặt trung hòa khi biến dạng ;

 Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung gian không bị kéo và nén và là mặt trung hòa của tấm khi biến dạng ;

 Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng của tấm  z

Trong lý thuyết tấm Mindlin thì các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm vẫn thẳng trong quá trình biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt trung gian nữa và các góc vuông này bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt tủng bình gây ra bởi lực cắt Góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm hai phần, phần thứ nhất do độ

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

9 võng của tấm khi pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt trung bình gây ra và phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra

2.1.2 Biến dạng của tấm và mối quạn hệ giữa ứng suất và biến dạng

Hình 2.1: Tấm Mindlin trên nền đàn nhớt Pasternak chịu tải trọng di chuyển Xét tấm Mindin được đặt trên nền đàn nhớt Pasternak (chiều dài L, chiều rộng B, chiều dày h ) và có các đặc trưng vật liệu như module đàn hồi E, trọng lượng riêng ρ, hệ số Poison  chiu tải trọng di chuyển dọc theo phương x qua tâm tấm được thể hình trong

Hình 2.1 Trong đó, thành phần đàn hồi và thành phần đàn nhớt của nền được mô hình bởi các lò xo và các cản nhớt đặt trên bề mặt tấm, lần lượt được đặc trưng bởi các hệ số k wf và c f

Hệ trục tọa độ Oxyz được đặt với mặt phẳng Oxy trùng với mặt trung hòa của tấm và mô hình tấm có miền hình học  R 2 và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Gọi

0( , ), ( , ),0 0( , ) u x y v x y w x y lần lượt là chuyển vị theo phương x, y và z của một điểm thuộc mặt trung hòa của tấm và β  x ( , )x y  y ( , )x y  T là véc tơ góc xoay của pháp tuyến mặt trung hòa quanh trục Ox và Oy với quy ước chiều dương được cho như trong Hình 2.1

Trường chuyển vị tại một điểm bất kỳ thuộc mặt trung hòa của tấm Mindlin được cho bởi :

Các thành phần chuyển vị u, v, và w tại một điểm bất kỳ trong tấm theo phương x, y và z được biểu diễn thông qua trường chuyển vị tại điểm tương ứng thuộc trục trung hòa như sau :

Trong đó, nếu gọi  xz và  yz lần lượt là biến dạng cắt của tấm thì góc xoay của mặt trung hòa của tấm quanh trục y và x lần lượt được xác định như sau:

2.1.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng

Trường biến dạng của một điểm bất kỳ trong tấm theo lý thuyết tấm Mindlin được xác định như sau:

 ε m - là trường biến dạng màng của tấm được xác dịnh theo công thức :

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

 κ - là độ cong của tấm được xác định theo đông thức :

Ký hiệu “,” – thể hiện đạo hàm đối với biến là ký hiệu đi liền sau

Mối quan hệ giữa các thành phần ứng xuất và biến dạng trong tấm Mindlin tuân theo định luật Hooke, được trình bày như sau:

 Các hằng số vật liệu được xác định theo công thức :

 E – module đàn hồi của vật liệu ;

2.1.4 Mô hình nền đàn nhớt Pasternak

Mô hình Pasternak (được gọi là mô hình nền hai thông số) đã khắc phục hạn chế của nền Winkler bằng cách đề xuất thêm lớp kháng cắt liên kết đỉnh của các lò xo Phản lực của nền Pasternak lên kết cấu tấm được thể hiện dưới dạng toán học như đã được trình bày trong các nghiên cứu đã được công bố trước (Atmane và công sự [32], Zenkour và Radwan [33]) là:

  2 - đạo hàm cấp 2 theo phương x và phương y được xác định theo công thức :

 k wf – thông số nền thứ nhất (độ cứng theo phương đứng nền Winkler;

 k sf – thông số nền thứ hai (độ cứng lớp kháng cắt của nền Pasternak;

 c f – hệ số cản của nền;

 w – chuyển vị theo phương đứng của tấm;

 w - vận tốc của chuyển vị theo phương đứng của tấm

2.1.5 Tấm Mindlin trên nền đàn nhớt Pasternak

Phương trình chuyển động của tấm được thiết lập dựa trên nguyên lý công ảo: “ Nếu một vật thể ở trạng thái cân bằng thì tổng công nội ảo bằng tổng công ngoại ảo đối với bất kỳ chuyển vị khả dĩ ”

Công nội ảo của tấm được cho bởi công thức:

 D m - ma trận vật liệu liên quan đến biến dạng màng được xác định theo công thức :

 D mb - ma trận vật liệu kết hợp biến dạng màng và biến dạng uốn được xác định theo công thức :

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

 D b - ma trận vật liệu biến dạng uốn được xác định theo công thức :

 D s - ma trận vật liệu biến dạng cắt được xác định theo công thức :

 z  - hệ số điều chỉnh cắt

Tổng công ngoại ảo của tấm Mindlin trên nền Pasternak gồm: wf sf f k k c

 W E P - công ngoại ảo do tải trọng ngoài tác dụng được xác định theo công thức :

 b- véc tơ tải trọng tác dụng lên tấm được xác định theo công thức :

 P – lực tập trung di chuyển dọc theo trục x qua trong tâm tấm ;

 S – quãng đường di chuyển của taie trọng tại thời điểm t ;

 W E m - công ngoại ảo do lực quán tính được xác định theo công thức :

 u - véc tơ trường chuyển vị được xác định theo công thức ;

 u- véc tơ gia tốc của trường chuyển vị được xác định theo công thức ;

 m - ma trận khối lượng được xác định theo công thức :

 - khối lượng riêng trên đơn vị thể tích của vật liệu ;

 W E k wf - công ngoại ảo do lực đàn hồi của nền được xác định theo công thức : wf T k

 W E k sf - công ngoại ảo do lực kháng cắt của nền được xác định theo công thức : sf T 2 k

 W E c f - công ngoại ảo do lực cản của nền được xác định theo công thức : f T c

Cân bằng công nội ảo và công ngoại ảo của tấm, phương trình chuyển động của tấm được thiết lập như sau:

T T T T wf sf f d d w k wd w k wd w c wd d

Phương pháp MEM cho bài toán tấm chịu tải trọng di chuyển

2.2.1 Phần tử đẳng tham số

Trong phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), khi miền khảo sát là đường cong hoặc có biên là đường cong hay mặt cong, nếu ta sử dụng phần tử một chiều thẳng hay các phần tử hai chiều dạng tam giác hoặc tứ giác sẽ không đủ để đảm bảo độ chính xác của kết quả bài toán Để khắc phục điều này, nhiều nhà khoa học đã xây dựng và phát triển các phần tử có dạng hình học bất kỳ hơn với các biên là đường cong hay mặt cong Các

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

15 phần tử này được gọi là phần tử có biên cong hay phần tử đẳng tham số (Izoparametric element)

Khái niệm phần tử đẳng tham số dựa trên cơ sở phép biến đổi một phần tử được gọi là phần tử chuẩn (master element) trong hệ tọa độ tự nhiên Oξη thành phần tử thực tương ứng có dạng tùy ý trong tọa độ vuông góc Oxy Trong luận văn này, phần tử tấm tứ giác

9 nút (Quadrilateral nice-node element – Q9) thuộc loại đẳng tham số được sử dụng để mô hình hóa các bài toán tấm

Hình 2.2: a) Phần tử Q9 trong hệ tọa độ tổng thể (x,y); b) Phần tử Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên (,)

Các hàm nội suy Lagrange N i i (  1 9) của phần tử Q 9 được cho bởi công thức:

Vì phần tử đẳng tham số nên tọa độ của điểm bất kỳ trong phần tử được xác định bởi nội suy tuyến tính:

Trong đó: ( , )x y i i là tọa độ của nút thứ i i(  1 9) trong hệ tọa độ tổng thể Oxy

Các đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng như sau:

 u 0, i ,v 0, i ,w 0, i ,  x i , , y i , - lần lượt là các thành phần chuyển vị tại nút i của phần tử

 Ma trận Jacobi cho phép biến đổi tọa độ được cho trong dạng như sau :

 Quan hệ giữa đạo hàm của các hàm dạng N i trong hệ tọa độ tự nhiên Oξη và các đạo hàm trong hệ tọa độ tổng thể Oxy lần lượt là :

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

J (2 39) Định thức ma trận Jacobi trong công thức tích phân được chuyển đổi như sau:

Công thức tích phân (2.42) có thể được giải bằng phương pháp giải tích, nhưng việc áp dụng đối với các hàm phức tạp lại rất khó khăn Đặc biệt, khi ξ, η biến thiên theo đường cong Phương pháp cầu phương Gauss được sử dụng rộng rãi trong phương pháp phần tử hữu hạn Công thức (2.40) được tính bằng phương pháp cầu phương Gauss trong mặt phẳng và có dạng như sau:

    i , j  - tọa độ điểm Gauss nằm trong phần tử ;

 w ,w i j - các trọng số tương ứng ;

 n – số điểm Gauss sử dụng trong phép cầu phương

Bảng 2.1 trình bày tọa độ và các trọng số tương ứng của các điểm Gauss

Bảng 2.1: Tọa độ và trọng số các điểm Gauss

Số điểm Gauss n Tọa độ điểm Gauss    i , j  Trọng số w ,w i j

2.2.2 Bài toán tấm Mindlin trên nền đàn nhớt Pasternak chịu tải trọng di chuyển

Tấm được rời rạc hóa thành N e phần tử tứ giác 9 nút đẳng tham số (Q 9 ) sao cho

  e và    ( ) i ( ) j    , i j như thể hiện trên Hình 2.3

Hình 2.3: Rời rạc tấm thành Ne phần tử và hệ tọa độ chuyển động (r,s)

Phương pháp phần tử chuyển động (MEM) là sử dụng hệ tọa độ chuyển dộng (r,s) có gốc tọa độ được gắn tải trọng và chuyển động cùng vận tốc với tải trọng như trên hình

4 Mối quan hệ giữa hệ tọa độ chuyển động (r,s) và hệ tọa độ cố định (x, y) như sau: r x S s y

Trong đó : S là quãng đường di chuyển của tải trọng tại thời điểm tức thời t

Khi tải trọng chuyển động với vận tốc ban đầu V o và gia tốc a thì mối qan hệ giữa hai hệ tọa độ được viết là :

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

Mối quan hệ vi phân của r theo t được xác đinh bởi:

Trong đó: v(V 0 at) là vận tốc của tải trọng tại thời điểm t

Mối quan hệ của trường chuyển vị giữa hệ tọa độ chuyển động (r,s) và hệ tọa độ cố định (x, y) là:

Sử dụng phép biến đổi tọa độ, mối quan hệ vi phân giữa hai hệ trục tọa độ lần lượt được viết như sau:

Phương trình vi phân chuyển động (2.27) của phần tử tấm được viết trong hệ tọa độ chuyển động (r,s) như sau:

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

T T T wf sf f drds r s r s r s r s v v a drds r r s r t w r s w r s w k wdrds w k wdrds w c v t r

Trong đó: b( , )r s là véc tơ tải trọng được biến đổi sang hệ tọa độ ( , )r s được xác định theo công thức:

Trường chuyển vị u và chuyển vị theo phương đứng w tại một điểm trong phần tử được nội suy từ các thành phần chuyển vị nút của phần tử lần lượt được viết là:

 N – ma trận hàm dạng được xác định bởi công thức :

 N w – véc tơ hàm dạng xác định bởi công thức :

 d ( ) e - véc tơ chuyển vị nút của phần tử được xác địn bởi công thức :

Các thành phần biến dạng màng, biến dạng uốn và biến dạng cắt của phần tử được trình bày ở dạng ma trận như sau:

 B m – ma trận gradient biến dạng màng xác định bởi công thức :

 B b – ma trận gradient biến dạng uốn xác định bởi công thức :

 B s – ma trận gradient biến dạng cắt xác định bởi công thức :

Thay công thức (2.60), (2.61), (2.65), (2.66) và (2.67) vào công thức (2.58) và thực hiện sắp xếp lại, phương trình chuyển động của phần tử tấm được viết như sau:

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

(2 71) Phương trình chuyển động của phần tử tấm được viết gọn lại là:

 M ( ) e - ma trận khối lượng của phần tử tấm chuyển động được xác định theo công thức :

 C ( ) e - ma trận cản của phần tử tấm chuyển động được xác định theo công thức:

 K ( ) e - ma trận độ cứng của phần tử tấm chuyển động được xác định theo công thức :

0 0 det det det det det e e e e e e m mb b

 P ( ) e - véc tơ tải trọng của phần tử tấm chuyển động được xác định theo công thức:

   ,r - đạo hàm bậc nhất theo r ;

   ,rr - đạo hàm bậc hai theo r ;

   ,ss - đạo hàm bậc hai theo s ;

Trong trường hợp tải trọng chuyển động đều với vận tốc V = hằng số và gia tốc a 0, ta có công thức (2.73) đến (2.76) được viết lại là:

0 0 det det det det e e e e e m mb b

Trong phương pháp MEM, do tải trọng được gán tại nút của lưới chia phần tử nên véc tơ tải trọng của phần tử P ( ) e là véc tơ 0

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

25 Ghép nối các ma trận phần tử vào ma trận tổng thể thì phương trình chuyển động tổng quát của tấm Mindlin được viết dưới dạng quan thuộc là:

 M - ma trận khối lượng tổng thể của tấm tấm;

 C - ma trận cản tổng thể của tấm;

 K - ma trận độ cứng tổng thế của tấm;

 P - véc tơ tải trọng tổng thể của tấm;

 d - véc tơ chuyển vị tổng thể của tấm;

 d - véc tơ vận tốc của chuyển vị tổng thể của tấm;

 d - véc tơ gia tốc của chuyển vị tổng thể của tấm

Trong bài toán phân tích ứng xử của tấm chịu tác dụng của tải trọng tĩnh thì phương trình (3.81) trở thành:

Kd P (2 82) Đối với bài toán phân tích dao động, tần số dao động tự nhiên của tấm được xác định từ bài toán trị riêng (Eignevalue Problen) của phương trình:

Với  là tần số dao động tự nhiên của tấm.

Mô hình hệ khối lượng – lò xo – cản

Hình 2.4: Mô hình hệ khối lượng – lò xo – cản Áp dụng nguyên lý D’Alambert viết phương trình cân bằng cho khối lượng m:

Lực tương tác giữa hệ khối lượng – lò xo – cản và tấm mindlin được xác định theo công thức :

 c- hệ số cản của hệ;

 k - độ cứng lò xo của hệ;

 u m - chuyển vị đứng của khối lượng;

 u m - vận tốc biến thiên chuyển vị đứng của khối lượng;

 u m - gia tốc biên thiên chuyển vị đứng của khối lượng;

 F c - lực tương tác tại điểm tiếp xúc giữa hệ tải trọng và tấm;

 w- chuyển vị đứng của tấm tại điểm tương tác;

 w - vận tốc của chuyển vị đứng của tấm tại điểm tương tác ;

 y t - chuyển vị phát sinh do độ gồ ghề của bề mặt tấm, được giả thuyết theo dạng hàm sin như sau :

 y 0 - biên độ gồ ghề của bề mặt tấm ;

  t - bước sóng gồ ghề của bề mặt tấm ;

 y t - tốc độ biến thiên chuyển vị phát sinh do độ gồ ghề của bề mặt tấm.

Phương pháp Newmark

Luận văn sử dụng phương pháp số Newmark để giải bài toán chuyển động Ý tưởng của phương pháp là từ giá trị của nghiệm đã biết tại thời điểm n suy ra giá trị của thời điểm tại n1 bằng các giả thiết khác nhau về sự biến thiên của gia tốc trong từng bước

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

27 thời gian Phương pháp Newmark có hai cách tìm nghiệm: dạng gia tốc và dạng chuyển vị

Bằng cách xấp xỉ sự biến thiên của gia tốc trong mỗi bước thời gian, biểu thức của vận tốc và chuyển vị trong mỗi bước thời gian được suy ra thông qua các phép tích phân từ phương trình vi phân gia tốc Giá trị của vận tốc và chuyển vị được đề xuất bởi các phương trình sau:

1 n n n t 2 t n t n d  d   d   d   d  (2 88) Trong đó: Độ lớn bước thời gian là t; giá trị gia tốc tại các thời điểm t, t t tương ứng kí hiệu chỉ số lần lượt là n , n1 được kí hiệu lần lượt là d n , d n 1

Thay hai phương trình (2.86), (2.87) vào phương trình chuyển động đã được rời rạc tại các thời điểm cuối bước thời gian, chỉ số là n  1 như sau:

Kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là gia tốc tại thời điểm cuối của bước thời gian d n  1 có dạng:

Với M eff là khối lượng hiệu dụng và P eff là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian, chúng được xác định bởi các biểu thức sau:

P P  Kd  C K  d C   d K   d (2 92) Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.89), (2.90) và (2.91) thu được giá trị của gia tốc d n  1 tại cuối bước thời gian là n1 Thay giá trị gia tốc d n  1 vừa tìm được vào phương trình (2.86) và (2.87) suy ra được giá trị của vận tốc d n  1 và chuyển vị d n  1 tại thời điểm n  1

28 Một phương pháp khác để giải phương trình chuyển động theo phương pháp Newmark mà không dùng cách nghịch đảo ma trận khối lượng hiệu dụng M eff trong (2.90) như trong dạng gia tốc mà nghịch đảo ma trận độ cứng hiệu dụng để suy ra chuyển vị nên gọi là dạng chuyển vị để tìm nghiệm phương trình

Từ hai phương trình trong (2.86) và (2.87), suy ra biểu thức của gia tốc d n  1 và vận tốc d n  1 tại thời điểm cuối của bước thời gian n  1 theo các đại lượng còn lại như sau:

Thay hai phương trình trong (2.92) và (2.93) vào phương trình chuyển động đã được rời rạc tại các thời điểm cuối bước thời gian n  1 (2.88), kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số là chuyển vị tại điểm cuối bước thời gian d n  1 có dạng là:

K d   P (2 95) với K eff là độ cứng hiệu dụng và P eff là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian theo dạng chuyển vị và chúng được xác định bởi các biểu thức dưới đây:

Giải phương trình đại số tuyến tính (2.94) thu được giá trị của chuyển vị d n  1 tại cuối bước thời gian n1 Thay giá trị chuyển vị d n  1 vừa tìm được vào các phương trình (2.92) và (2.93) suy ra giá trị của vận tốc d n  1 và gia tốc d n  1

NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Thông số đầu vào và thuật toán sử dụng

Luận văn sử dụng phương pháp Newmark gia tốc trung bình tìm nghiệm ở dạng chuyển vị Các bước để giải phương trình chuyển động trong luận văn theo phương pháp Newmark được trình bày như sau:

 Xác định các dữ liệu của bài toán gồm: các thông số của hệ khối lượng – lò xo – cản gồm khối lượng m, độ cứng lò xo k, hệ số cản c và di chuyển với vận tối V; các thông số kết cấu tấm Mindlin bên trên gồm trọng lượng riêng , module đàn hồi E

, hệ số Poission  của tấm, kích thước  L B , , h ; các thông số của đất nền lần lượt là: k wf , k sf , c f Các thông số lần lượt được liệt kê trong các Bảng 3.1, Bảng 3.2 và Bảng 3.3

Bảng 3.1: Tọa độ và trọng số các điểm Gauss

Module đàn hồi (N/m 2 ) Hệ số

Bảng 3.2: Thông số nền hai thông số Pasternak

Hệ số độ cứng (N/m 3 ) Hệ số kháng cắt (N/m) Hệ số cản nền

Bảng 3.3: Thông số tải trọng Khối lượng Độ cứng lò xo Hệ số cản Vận tốc

 Thiết lập các ma trận khối lượng M, các ma trận độ cứng K, ma trận cản C của kết cấu tấm và nền bằng cách ghép nối ma trận

 Xác định ma trận tải trọng tác dụng lên tấm cần khảo sát Sau đó thiết lập phương trình chuyển động và chọn bước thời gian  t

 Nhập điều kiện ban đầu d 0 ,d 0 và d 0  M  1  P 0  Cd 0  Kd 0 

 Rời rạc hóa vectơ tải trọng theo biến thời gian

Giải phương trình chuyển động bằng phương pháp tích phân Newmark Giải bài toán theo dạng tìm chuyển vị, xuất các kết quả, vẽ biểu đồ và lập bảng thống kê để phân tích các yếu tố ảnh hưởng đến chuyển vị của tấm Mindlin trên nền Pasternak Từ đó rút ra nhận xét, đánh giá và kết luận

3.1.2 Giải bài toán theo dạng chuyển vị

 Xác định ma trận khối lượng hiệu dụng

 Tính vectơ tải trọng hiệu dụng tại thời điểm n  1

 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.89) để tìm gia tốc tại thời điểm n  1 là

 Tìm các giá trị vận tốc và chuyển vị tại thời điểm n  1 theo các phương trình (2.86) và (2.87)

3.1.3 Giải bài toán theo dạng gia tốc

 Xác định ma trận độ cứng hiệu dụng

 Tính vectơ tải trọng hiệu dụng tại thời điểm n  1

 Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.94) để tìm chuyển vị tại thời điểm n  1 là d n 1

 Tìm các giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm n  1 theo các phương trình (2.92) và (2.93)

3.1.4 Độ ổn định và hội tụ của phương pháp Newmark

Như đã đề cập trong mục 2.4, phương pháp Newmark với 1

  4 còn gọi là phương pháp gia tốc trung bình cho sự ổn định không điều kiện và độ chính xác tốt

Chương 3: Nội dung phương pháp nghiên cứu

Do đó Luận văn này sử dụng phương pháp Newmark gia tốc trung bình với 1

  4 để giải bài toán Sự hội tụ sẽ được tiến hành kiểm tra trong Luận văn

Trong Luận văn này sử dụng phương pháp Newmark và ngôn ngữ lập trình Matlab phiên bản (R2019a) để tìm nghiệm

KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ

Kiểm chứng chương trình Matlab

4.1.1 Bài toán 1: Kiểm chứng độ tin cậy của chương trình khi tính toán với bài toán tĩnh

Xét tấm Mindlin có các thông số kích thước và vật liệu lấy theo bài toán đã được công bố của T N T Cao và cộng sự [19], được trình bày trong Bảng 4.1, bốn biên liên kết ngàm Tấm được đặt trên nền Pasternak có hệ số độ cứng nền, hệ số kháng cắt nền và hệ số cản nền được trình bày trong Bảng 4.2 Để khảo sát sự hội tụ của bài toán, phần tử tấm được rời rạc hóa theo phương x và y lần lượt là 6x2, 12x4, 24x8, 30x10, 36x12 và 42x14 Tải trọng tập trung đứng yên đặt tải tâm của tấm P 00N

Luận văn tiến hành so sánh kết quả với các lời giải từ phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử 9 nút (FEM-9) và kết quả đã được công bố của T N T Cao và cộng sự [19] sử dụng phương pháp MEM

Bảng 4.1: Thông số tấm Mindlin

34 Bảng 4.2: Thông số nền hai thông số Pasternak

Hệ số độ cứng k wf (N/m 3 ) Hệ số kháng cắt k sf (N/m) Hệ số cản nền c f

Bảng 4.3: Chuyển vị tại tâm tấm Mindlin theo lưới chia phần tử x10 -3 mm

6x2 12x4 24x8 30x10 36x12 42x14 MEM (Luận văn) -1.109 -1.799 -2.187 -2.248 -2.286 -2.314 FEM-9 -1.109 -1.799 -2.187 -2.248 -2.286 -2.314 T.N.T.Cao và cộng sự [19] -1.109 -1.799 -2.187 -2.248 -2.286 -2.314 Sai số so với lưới 42x14 (%) - - - 2.852 1.210 1

Hình 4.1: Sự hội tụ của chuyển vị tại điểm đặt lực theo lưới chia phân tử

Từ bảng 4.3 và hình 4.1 cho thấy kết quả tính toán bằng thuật toán MEM sử dụng trong luận văn so với phương pháp FEM-9 và kết quả đã công bố của T N T Cao và cộng sự [19] gần như là bằng nhau Đồng thơi, kết quả cũng cho thấy khi lưới chia của phần tử càng chia mịn thì giá trị của chuyển vị tại tâm tấm càng gần nhau và dần tiến tới hội tụ, với lưới phần tử 30x10 (tương ứng phần tử có kích thước 1mx1m) cho kết

Chương 4: Kết quả phân tích số

35 quả sai khác so với nghiệm hội tụ là 2.85%, do hạn chế của cấu hình máy nên trong luận văn sử dụng lưới phần tử có kích thước 1mx1m để khảo sát các bài toán

Hình 4.2: Chuyển vị của tấm theo phương x – lưới 30x10

Hình 4.2 thể hiện đồ thị chuyển vị của tấm theo phương x với lưới chia 30x10 của phương pháp MEM, phương pháp FEM-9 và kết quả đã được công bố của T N T Cao và công sự [19], các đường đồ thị này trùng khích với nhau vì cả 3 phương pháp đều dùng phần tử 9 nút để giải và khi chuyển vị của tải trọng bằng 0 thì cách giải của phương pháp MEM và FEM là như nhau

4.1.2 Bài toán 2: Kiểm chứng độ tin cậy của chương trình khi tính toán với bài toán động Để kiểm chứng độ tin cậy của chương trình, luận văn xét đến trường hợp đơn giản nhất của bài toán (không xét đến độ cứng và hệ số cản của hệ tải trọng, khối lượng chỉ chuyển động với vận tốc không đổi) nhằm so sánh với kết quả đã công của của Huang và Thambiratnam [31] sử dụng phương pháp dải hữu hạn và V.H Luong và công sự [23] sử dụng phương pháp MEM

Luận văn tiến hành khảo sát bài toán với các thông số được trình bày trong Bảng 4.4, Bảng 4.5 Trong bài toán này, mô hình tắm đặt trên nền đàn hồi với hai cạnh ngắn có biên tựa đơn cố định và hai cạnh dài có biên tự do được khảo sát

Chiều dài tấm theo phương x (m)

Luận văn FEM C.T.N.Than và cộng sự

36 Bảng 4.4: Thông số tấm Mindlin

Bảng 4.5: Thông số nền hai thông số Pasternak

Hệ số độ cứng k wf (N/m 3 ) Hệ số kháng cắt k sf (N/m) Hệ số cản nền c f

Bảng 4.6: Thông số hệ tải trọng Khối lượng m Độ cứng lò xo k Hệ số cản c Vận tốc V

Mô hình tính toán của tấm trong phương pháp MEM phải có chiều dài đủ lớn để mô hình chiều dài vô hạn và khi đó ảnh hưởng của điều kiện biên ở hai đầu của tấm là không đáng kể Bảng 4.7 thể hiện kết quả khảo sát hội tụ của chuyển vị tại tâm tấm (điểm đặt tải trọng) khi thay đổi chiều dài L của tấm Từ kết quả cho thấy, chiều dài L

= 30m là đủ để cho kết quả chuyển vị hội tụ

Bảng 4.7: Hội tụ chuyển vị tại tâm tấm khi chiều dài L thay đổi x10 -3 mm

Phương pháp Chiều dài của tấm L (m)

MEM (Luận văn) -4.82916 -4.78365 -4.78365 -4.78365 Sai khác (%) so với L = 40m 0.95100 0.00000 0.00000 0.00000 V.H.Luong và công sự [23] -4.82920 -4.78370 -4.78370 -7.78370

Chương 4: Kết quả phân tích số

37 Hình 4.3: Chuyển vị của tấm theo phương x

Bảng 4.7 và Hình 4.3 cho thấy kết quả tính toán của thuật toán sử dụng trong luận văn khá trùng khớp với kết quả đã được công bố của V.H Luong và công sự [23] và Huang và Thambiratnam [31] Như vậy kết quả so sánh này cho thấy thuật toán sử dụng trong luận văn là đáng tín cậy.

Phân tích động lực học tấm Mindlin trên nền Pasternak chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển

của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển

Xét tấm Mindlin đặt trên nền Pasternak chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di động dọc theo chiều dài tấm, 4 cạnh của tấm là liên kết ngàm Hệ tải trọng di chuyển với vận tốc V dọc theo trục x Ngoại trừ các thông số riêng được khảo sát trong từng bài toán, thông số kích thước tấm, thông số nền và thông số hệ tải trọng lần lượt được cho trong Bảng 4.8, Bảng 4.9 và Bảng 4.10 Tấm được rời rạc hóa thành các phần tử có kích thước 1mx1m

Chiều dài tấm theo phương x (m)Luận văn V.H.Luong và cộng sự [23]

38 Bảng 4.8: Thông số tấm Mindlin

Trọng lượng riêng  (kg/m 3 ) Độ gồ ghề

Bảng 4.9: Thông số nền hai thông số Pasternak

Hệ số độ cứng k wf (N/m 3 ) Hệ số kháng cắt k sf (N/m) Hệ số cản nền c f

Bảng 4.10: Thông số hệ tải trọng Khối lượng m Độ cứng lò xo k Hệ số cản c Vận tốc V

4.2.1 Bài toán 3: Khảo sát sự hội tụ của chuyển vị theo bước lặp thời gian t Để lựa chọn bước lặp thời gian hợp lý nhằm sử dụng cho các bài toán của luận văn, cần khảo sát sự hội tụ của phương pháp được sử dụng Tiến hành thực hiện khảo sát một nghiệm cụ thể bài toán với các bước lặp thời gian t thay đổi: 0.01s, 0.005s, 0.004s, 0.0025s và 0.001s Chuyển vị đứng khi tính toán trong từng bước thời gian được thể hiện trong Bảng 4.11 và Hình 4.4

Chương 4: Kết quả phân tích số

39 Bảng 4.11: Sự hội tụ của chuyển vị theo các bước thời gian t x10 -3 mm

Thông số Bước thời gian t (s)

0.01 0.005 0.004 0.0025 0.001 Chuyển vị tại tâm tấm -3.7424 -4.0951 -4.114 -4.1270 -4.1288 Độ lệch (%) so với t=0.001s 9.3593 0.8148 0.355 0.0455 1.000

Hình 4.4: Sự hội tụ của chuyển vị theo các bước thời gian t

Kết quả khảo sát cho thấy khi giảm bước thời gian lặp t thì chênh lệch kết quả có xu hướng càng nhỏ Điều này cho thấy khi bước thời gian lặp t càng nhỏ thì kết quả càng hội tụ về một trị số nghiệm Với tấm được chia thành các phần tử có kích thước 1mx1m, có thể thấy rằng chênh lệch kết quả giữa bước lặp thời gian t= 0.0025s và 0.001s là rất nhỏ (0.0445%) Do đó, có thể kết luận rằng việc sử dụng bước lặp thời gian t = 0.0025s và kích thước phần tử 1mx1m là đủ để đạt nghiệm chính xác và sẽ được sử dụng cho việc khảo sát các bài toán trong Luận văn

4.2.2 Bài toán 4: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm Mindlin khi thay đổi khối lượng m của hệ tải trọng

Trong bài toán này, ảnh hưởng của khối lượng m của hệ tải trọng đến ứng xử động lực học của tấm được xem xét trong 4 trường hợp M 1 = 0.5m, M 2 = m = 200kg, M 3 =

C hu yển v ị tại tâm tấm ( m m )

40 2m, M 4 = 4m Chuyển vị của tấm dọc theo trục của tải trọng di chuyển được thể hiện trên Hình 4.5

Hình 4.5: Chuyển vị của tấm khi khối lượng m của hệ tải trọng thay đổi

Bảng 4.12: Chuyển vị đứng tại tâm của tấm (điểm đặt tải trọng) khi khối lượng m của hệ tải trọng thay đổi x10 -3 mm

Thông số Khối lương m của hệ tải trọng (kg)

Tỉ số chuyển vị so với M 4=4m 3.534 2.596 1.695 1.000

Chiều dài của tâm theo phương x(m)

Chương 4: Kết quả phân tích số

41 Hình 4.6: Đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị tại tâm tấm với khối lượng m của hệ tải trọng

Hình 4.6 và Bảng 4.12 cho thấy khi khối lượng m của hệ tải trong tăng dần thì chuyển vị của tấm cũng tăng dần Cụ thể khi khối lượng m của hệ tải trong tăng 8 lần thì chuyển vị của tấm tăng 3.534 lần Từ kết quả này cho thấy, chuyển vị của tấm tăng tuyến tính phương trình y = Ax + B (với A, B là hằng số) khi tăng khối lượng m của hệ tải trọng, điều này cho thấy sự khác biệt với các bài toán tấm chỉ chịu một lực tập trung di chuyển đã được nghiên cứu trước đây thì chuyển vị của tấm tăng tuyến tính theo phương trình y = Cx (với C là hằng số) khi tăng lực tác dụng Sự khác biệt này là do ảnh hưởng của độ cứng lò xo k và hệ số cản c của hệ tải trọng trong bài toán mà luận văn đang xét

4.2.3 Bài toán 5: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm Mindlin khi thay đổi độ cứng lò xo k của hệ tải trọng

Trong bài toán này, ảnh hưởng của độ cứng lò xo k của hệ tải trọng đến ứng xử động lực học của tấm được xem xét trong 4 trường hợp K 1 = 2.0x10 6 N/m, K 2 = 4.0x10 6 N/m,

C hu yển v ị tại tâm tấm ( m m )

Khối lượng m (kg) y=Ax+B (Luận văn) y=Cx

42 Bảng 4.13: Chuyển vị tại tâm của tấm khi độ cứng lò xo k của hệ tải trọng thay đổi x10 -3 mm

Thông số Độ cứng lò xo k của hệ tải trọng (x10 6 N/m)

Tỉ số chuyển vị so với K 1 1.000 1.302 1.909 2.533 3.128

Hình 4.7: Chuyển vị tại tâm tấm khi độ cứng lò xo k của hệ tải trọng thay đổi

Hình 4.8: Chuyển vị của khối lượng m khi độ cứng lò xo k của hệ tải trọng thay đổi

C hu yển v ị tại tâm tấm ( m m ) Độ cứng lò xo k (x10 6 N/m)

C hu yển v ị củ a kh ối lượn g m (m m ) Độ cứng lò xo k (x10 6 N/m)

Chương 4: Kết quả phân tích số

43 Hình 4.7 và Bảng 4.13 cho thấy khi độ cứng lò xo k của hệ tải trọng tăng dần thì chuyển vị của tấm cũng tăng dần, cụ thể khi độ cứng lò xo k của hệ tải trọng tăng 8 lần thì chuyển vị lớn nhất tại tâm tấm tăng 3.128 lần Chứng tỏ rằng lực tương tác tác dụng xuống tấm tăng dần khi độ cứng lò xo k tăng dần, điều này là phù hợp với biểu thức xác định lực tương tác (2.85), lực tương tác tỉ lệ thuận với độ cứng lò xo k của hệ tải trọng

Hình 4.8 cho thấy, khi độ cứng của lò xo tăng thì chuyển vị của khối lượng m của hệ tải trọng giảm dần Điều này là phù hợp với phản ứng động của hệ tải trọng, khi lò xo càng cứng thì độ biến dạng của lò xo càng nhỏ dẫn đến chuyển vị của khối lượng m càng nhỏ

4.2.4 Bài toán 6: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm Mindlin khi thay đổi hệ số cản c của hệ tải trọng

Trong bài toán này, các trường hợp C 1 = c = 3.7x10 3 N.s/m, C 2 = 4c, C 3 = 16c, C 4 32c được sử dụng để khảo sát sự ảnh hưởng của hệ số cản c của hệ tải trọng đến ứng xử của tấm Chuyển vị của tấm dọc theo trục của tải trọng di chuyển được thể hiện trên Hình 4.9

Bảng 4.14: Chuyển vị tại tâm của tấm khi hệ số cản c của hệ tải trọng thay đổi x10 -3 mm

Thông số Hệ số cản c của hệ tải trọng (N.s/m)

Tỉ số chuyển vị so với C 1 1.000 1.029 1.483 2.266

Hình 4.9 và Bảng 4.14 cho thấy khi hệ số cản c của hệ tải trọng tăng dần thì chuyển vị của tấm cũng tăng dần, cụ thể khi hệ số cản c của hệ tải trọng tăng 32 lần thì chuyển vị lớn nhất tại tâm tấm tăng 2.266 lần Chứng tỏ rằng lực tương tác tác dụng xuống tấm tăng dần khi hệ số cản c tăng dần, điều này là phù hợp với biểu thức xác định lực tương tác (2.85), lực tương tác tỉ lệ thuận với hệ số cản c của hệ tải trọng

44 Hình 4.9: Chuyển vị tâm tấm khi hệ số cản c của hệ tải trọng thay đổi

4.2.5 Bài toán 7: Khảo sát ảnh hưởng vận tốc của hệ tải trọng V đến ứng xử động lực học của tấm Mindlin

Bài toán tiếp theo, ảnh hưởng của vận tốc V của hệ tải trọng đến ứng xử của tấm được xét đến trong các trường hợp vận tốc V thay đổi 10m/s, 20m/s, 30m/s và 40m/s Hệ số cản nền c f = 1x10 4 Ns/m 3 Bảng 4.15 trình bày giá chuyển vị tại tâm tấm khi thay đổi vận tốc V

Bảng 4.15: So sánh chuyển vị của tấm khi vận tốc V thay đổi x10 -3 mm

Hệ số cản nền Vận tốc V của hệ tải trọng (m/s)

Tỉ số chuyển vị so với Vm/s 1.000 1.093 1.183 1.792

Kết quả thể hiện trong Bảng 4.15, chuyển vị của tấm tăng khi vân tốc của tải trọng tăng Cụ thể, chuyển vị tại tâm tấm tăng từ 4.568x10 -3 mm đến 8.188x10 -3 mm (tăng 1.792) lần khi vận tốc của hệ tải trọng tăng từ 10m/s đến 40m/s Điều này có thể được giải thích như sau: khi hệ tải trọng chuyển động càng nhanh thì tải trọng động tác dụng xuống điểm tương tác càng lớn dẫn đến chuyển vị của tấm tăng dần khi vận tốc di chuyển của hệ tải trọng tăng dần

C hu yển v ị tại tâm tấm ( m m )

Hệ số cản c của hệ tải trọng (x3.7x10 6 Ns/m)

Chương 4: Kết quả phân tích số

45 Hình 4.10: Chuyển vị của tấm khi vận tốc V của hệ tải trọng thay đổi

4.2.6 Bài toán 8: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm Mindlin khi chiều dày tấm h thay đổi

Trong bài toán này, ảnh hưởng của chiều dày tấm đến ứng xử động lực học của kết cấu tấm được xem xét trong 6 trường hợp h1=0.05m, h2=0.1m, h3=0.2m, h4=0.3m, h5=0.4m và h6=0.5m Bảng 4.16 trình bày giá trị chuyển vị tại tâm tấm khi chiều dày tấm thay đổi từ 0.05m đến 0.5m

Bảng 4.16: So sánh chuyển vị của tấm khi chiều dày tấm h thay đổi

Chiều dày h (m) Chuyển vị (x10 -3 mm) Chênh lệch so với h1 (%) h1=0.05 -0.0336 0 h2=0.1 -0.0208 -38.95 h3=0.2 -0.0118 -65.73 h4=0.3 -0.0077 -77.77 h5=0.4 -0.0055 -84.24 h6=0.5 -0.0041 -88.13

Từ kết quả được cho trong Bảng 4.16, khi chiều dày tấm tăng dần thì chuyển vị giảm dần, cụ thể hơn khi h tăng từ 0.05m đến 0.5m thì chuyển vị giảm 88.13% Kết quả này hoàn toàn phù hợp với tính chất vật lý của kết cấu khi chiều dày tấm tăng thì đồng nghĩa với việc độ cứng của tấm tăng do đó chuyển vị của tấm sẽ giảm đáng kể

C hu yển v ị tại tâm tấm ( m m )

Vận tốc V của hệ tải trọng (m/s)

46 Hình 4.11: Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị chiều dày h thay đổi

Hình 4.11 cho thấy khi chiều dày của tấm còn bé (0.05-0.2m) thì chiều dày tấm ảnh hưởng đáng kể đến chuyển vị (khi chiều dày tấm tăng từ 0.05m đến 0.2m thì chuyển vị giảm 2.85 lần) nhưng khi chiều dày của tấm càng lớn (trên 0.2m) thì chiều ảnh hưởng của chiều dày tấm đến chuyển vị giảm dần Điều này chứng tỏ rằng, khi độ cứng của tấm đủ lớn mà tải trọng tác dụng lên tấm có giá trị không đổi dù có tăng chiều dày tấm lên thì chuyển vị của tấm cũng thay đổi không đáng kể Do vậy, bài toán tối ưu chiều dày tấm rất quan trọng nhằm tránh lãng phí

4.2.7 Bài toán 9: Khảo sát ứng xử động lực học của tấm Mindlin khi hệ số độ cứng k wf của nền thay đổi

Trong bài toán này, ảnh hưởng của độ cứng nền đến ứng xử động lực học của kết cấu tấm được xem xét trong 4 trường hợp K wf1 = k wf = 1x10 7 N/m 3 , K wf2 = 2k wf , K wf3 = 4k wf ,

K wf4 = 6k wf và K wf5 = 8k wf Bảng 4.17 và Hình 4.12 thể hiện chuyển vị lớn nhất của tấm khi thay đổi giá trị của độ cứng nền

C hu yển v ị tại tâm tấm ( m m )

Chương 4: Kết quả phân tích số

47 Bảng 4.17: So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số độ cứng nền k wf thay đổi x10 -3 mm

Thống số Độ cứng nền k wf (m/s) k wf 2k wf 4k wf 6k wf 8k wf

Chuyển vị tại tâm tấm -7.115 -6.219 -5.265 -4.720 -4.346

Tỉ số chuyển vị so với k wf 1.000 1.144 1.351 1.507 1.637

Hình 4.12: Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị độ cứng nền k wf thay đổi

Từ kết quả được cho trong Bảng 4.15 và Hình 4.12 nhận thấy rằng khi hệ số độ cứng nền tăng dần thì chuyển vị giảm dần, cụ thể hơn khi k wf tăng 8 lần thì chuyển vị giảm 1.64 lần Kết quả này hoàn toàn phù hợp với tính chất vật lý của kết cấu tấm, do vậy muốn giảm lún cho kết cấu mặt đường thì phải gia cố nền nhằm tăng độ cứng cho nền