Luận văn thạc sĩ Kỹ thuật xây dựng: Phân tích ứng xử động của tấm nindlin chịu tác dụng của hệ khối lượng-lò xo-cản di chuyển sử dụng phương pháp phần tử chuyển động-MEM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

TRƯƠNG TRỌNG CẦN

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ ĐỘNG CỦA TẤM MINDLIN CHỊU TÁC DỤNG CỦA HỆ KHỐI LƯỢNG – LÒ XO – CẢN DI CHUYỂN SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ CHUYỂN ĐỘNG - MEM

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã số: 8580201

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 07 năm 2022

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

3 TS Khổng Trọng Toàn – Phản biện 1 4 TS Thái Sơn – Phản biện 2

5 TS Lê Thanh Cường - Ủy viên

KỸ THUẬT XÂY DỰNG

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: TRƯƠNG TRỌNG CẦN MSHV: 1970671 Ngày, tháng, năm sinh: 01/01/1994 Nơi sinh: Hậu Giang Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã số: 8580201

I TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích ứng xử động của tấm Mindlin chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển sử dụng phương pháp phần tử chuyển động – MEM (Dynamic analysis of Mindlin plate subjected to a moving mass - spring - damping system using the moving element method – MEM)

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

1 Thiết lập các ma trận khối lượng, ma trận độ cứng và ma trận cản cho các phần tử kết cấu tấm Mindlin sử dụng phương pháp phần tử chuyển động

2 Phát triển thuật toán, lập trình tính toán bằng chương trình Matlab để giải hệ phương trình động tổng thể của bài toán

3 Kiểm tra độ tin cậy của chương trình tính bằng cách so sánh kết quả của chương trình với kết quả các bài báo tham khảo

4 Tiến hành thực hiện các ví dụ số nhằm khảo sát ảnh hưởng của các nhân tố quan trọng đến ứng xử động của kết cấu tấm, từ đó rút ra các kết luận và kiến nghị

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 06/09/2021 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : 17/06/2022

V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS TRẦN MINH THI

LỜI CẢM ƠN

Luận văn thạc sĩ Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp nằm trong hệ thống bài luận cuối khóa nhằm trang bị cho Học viên cao học khả năng tự nghiên cứu, biết cách giải quyết những vấn đề cụ thể đặt ra trong thực tế xây dựng Đó là trách nhiệm và niềm tự hào của mỗi học viên cao học

Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự cố gắng và nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự giúp đỡ nhiều từ tập thể và các cá nhân Tôi xin ghi nhận và tỏ lòng biết ơn đến tập thể và các cá nhân đã dành cho tôi sự giúp đỡ quý báu đó

Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy TS Trần Minh Thi Thầy đã đưa ra gợi ý đầu tiên để hình thành nên ý tưởng của đề tài và Thầy góp ý cho tôi rất nhiều về cách nhận định đúng đắn trong những vấn đề nghiên cứu, cũng như cách tiếp cận nghiên cứu hiệu quả

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô Khoa Kỹ Thuật Xây dựng, trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG Tp.HCM đã truyền dạy những kiến thức quý giá cho tôi, đó cũng là những kiến thức không thể thiếu trên con đường nghiên cứu khoa học và sự nghiệp của tôi sau này

Luận văn thạc sĩ đã hoàn thành trong thời gian quy định với tình hình dịch Covid căng thẳng bằng sự nỗ lực của bản thân, tuy nhiên không thể không có những thiếu sót Kính mong quý Thầy Cô chỉ dẫn thêm để tôi bổ sung những kiến thức và hoàn thiện bản thân mình hơn

Xin trân trọng cảm ơn

Tp HCM, ngày 17 tháng 06 năm 2022

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Luận văn nghiên cứu về ứng xử động của tấm Mindlin trên nền Pasternak chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển Kết cấu tấm được phân tích theo mô hình Reissner – Mindlin dựa trên phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method – MEM), tấm được mô hình hóa thành các phần tử đẳng tham số tứ giác 9 nút Một chương trình tính toán trên Matlab về ứng xử động lực học của tấm Mindlin chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển được đề xuất Chương trình này có độ tin cậy cao khi kết quả được kiểm chứng bằng việc so sánh với các kết quả được công bố trước đây Sau đó, ứng xử động của tấm Mindlin được khảo sát với các giá trị khác nhau của các thông số độ cứng lò xo và hệ số cản của hệ tải trọng

Kết quả cho thấy mức độ ảnh hưởng đáng kể của các thông số độ cứng của lò xo và hệ số cản của hệ tải trọng đến ứng xử động của tấm Bên cạnh đó, nghiên cứu này cũng khảo sát các thông số cơ bản của bài toán ảnh hưởng đến ứng xử của tấm Mindlin như vận tốc di chuyển, chiều dày tấm, thông số nền và độ gồ ghề của bề mặt tấm

ABSTRACT

The paper investigates dynamic response of Mindlin plate subjected to a moving mass - spring - damping system Reissner – Mindlin plate theory is employed to study the plate structure based on the Moving Element Method (MEM) The plate is modeled by Izoparametric quadrilateral nice-node element

A Matlab propram of modeling response of Mindlin plate subjected to a moving mass - spring - damping system is proposed The program is highly accepted as the results were verified by comparing to previous results Then, dynamic response of Mindlin plate was investigated with different values of the parameters of spring stiffness and damping coefficient of the load system

Results also show that significant influences of spring stiffness and damping coefficient of the load system on plate structure In addition, influences of moving speed, plate thickness, foundation parameters and roughness of the plate surface on Mindlin plate response were investigated

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công việc do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của thầy TS Trần Minh Thi

Một số kết quả trong Luận văn được công bố trong tạp chí Người xây dựng (ISSN 0866 8531), cơ quan của Tổng hội xây dựng Việt Nam, tháng 5&6-2022, năm thứ XXXVI, mục DIỄN ĐÀN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, trang 78-89

Các kết quả trong Luận văn là đúng sự thật và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác ngoài công bố trên

Tôi xin chịu trách nhiệm về công việc thực hiện của mình

Tp HCM, ngày 17 tháng 06 năm 2022

Trương Trọng Cần

LỜI CAM ĐOAN v

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU 1

1.1 Giới thiệu sơ lược về đề tài luận văn 1

1.1.1 Đặt vấn đề 1

1.1.2 Tính cấp thiết của đề tài 2

1.1.3 Tình hình nghiên cứu và tổng quan tài liệu 3

1.1.4 Một số luân văn nghiên cứu ứng xử của tấm Mindlin đã thực hiện 5

1.1.5 Mục tiêu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5

1.1.5.1 Mục tiêu nghiên cứu 5

1.1.5.2 Đối tượng nghiên cứu 6

1.1.5.3 Phạm vi nghiên cứu 6

1.2 Giới thiệu cấu trúc của luận văn 6

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 8

2.1 Bài toán tấm chịu tải trọng di chuyển 8

2.1.1 Lý thuyết tấm Mindlin 8

2.1.2 Biến dạng của tấm và mối quạn hệ giữa ứng suất và biến dạng 9

2.1.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng 10

2.1.4 Mô hình nền đàn nhớt Pasternak 11

2.1.5 Tấm Mindlin trên nền đàn nhớt Pasternak 12

2.2 Phương pháp MEM cho bài toán tấm chịu tải trọng di chuyển 14

CHƯƠNG 3 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 29

3.1 Thông số đầu vào và thuật toán sử dụng 29

3.1.1 Thông số đầu vào 29

3.1.2 Giải bài toán theo dạng chuyển vị 30

3.1.3 Giải bài toán theo dạng gia tốc 30

3.1.4 Độ ổn định và hội tụ của phương pháp Newmark 30

3.2 Lưu đồ thuật toán 32

CHƯƠNG 4 KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ 33

4.1 Kiểm chứng chương trình Matlab 33

4.1.1 Bài toán 1: Kiểm chứng độ tin cậy của chương trình khi tính toán với bài

CHƯƠNG 5 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 52

PHỤ LỤC HÌNH

Hình 1.1: Kết cấu mặt đường ô tô 1

Hình 1.2: Kết cấu mặt đường dẫn sân bay 1

Hình 1.3: Kết cấu mặt đường dẫn sân bay bị hư hỏng 2

Hình 1.4: Kết cấu mặt đường ô tô bị nứt nẻ 2

Hình 2.1: Tấm Mindlin trên nền đàn nhớt Pasternak chịu tải trọng di chuyển 9

Hình 2.2: a) Phần tử Q9 trong hệ tọa độ tổng thể (x,y); b) Phần tử Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên (ξ,η) 15

Hình 2.3: Rời rạc tấm thành Ne phần tử và hệ tọa độ chuyển động (r,s) 18

Hình 2.4: Mô hình hệ khối lượng – lò xo – cản 25

Hình 4.1: Sự hội tụ của chuyển vị tại điểm đặt lực theo lưới chia phân tử 34

Hình 4.2: Chuyển vị của tấm theo phương x – lưới 30x10 35

Hình 4.3: Chuyển vị của tấm theo phương x 37

Hình 4.4: Sự hội tụ của chuyển vị theo các bước thời gian ∆t 39

Hình 4.5: Chuyển vị của tấm khi khối lượng m của hệ tải trọng thay đổi 40

Hình 4.6: Đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa chuyển vị tại tâm tấm với khối lượng m của hệ tải trọng 41

Hình 4.7: Chuyển vị tại tâm tấm khi độ cứng lò xo k của hệ tải trọng thay đổi 42

Hình 4.8: Chuyển vị của khối lượng m khi độ cứng lò xo k của hệ tải trọng thay đổi 42 Hình 4.9: Chuyển vị tâm tấm khi hệ số cản c của hệ tải trọng thay đổi 44

Hình 4.10: Chuyển vị của tấm khi vận tốc V của hệ tải trọng thay đổi 45

Hình 4.11: Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị chiều dày h thay đổi 46

Hình 4.12: Chuyển vị lớn nhất của tấm ứng với các giá trị độ cứng nền kwf thay đổi 47 Hình 4.13: Chuyển vị tại tâm tấm ứng với các giá trị hệ số kháng cắt ksf thay đổi 48

Hình 4.14: Chuyển vị tại tâm tấm khi biên độ gồ ghề y0 của bề mặt tấm thay đổi 49

Hình 4.15: Chuyển vị của khối lượng m khi thay đổi bước sóng gồ ghề của bề mặt tấm 50

PHỤ LỤC BẢNG

Bảng 2.1: Tọa độ và trọng số các điểm Gauss 18

Bảng 4.1: Thông số tấm Mindlin 33

Bảng 4.2: Thông số nền hai thông số Pasternak 34

Bảng 4.3: Chuyển vị tại tâm tấm Mindlin theo lưới chia phần tử 34

Bảng 4.11: Sự hội tụ của chuyển vị theo các bước thời gian ∆t 39

Bảng 4.12: Chuyển vị đứng tại tâm của tấm (điểm đặt tải trọng) khi khối lượng m của hệ tải trọng thay đổi 40

Bảng 4.13: Chuyển vị tại tâm của tấm khi độ cứng lò xo k của hệ tải trọng thay đổi 42 Bảng 4.14: Chuyển vị tại tâm của tấm khi hệ số cản c của hệ tải trọng thay đổi 43

Bảng 4.15: So sánh chuyển vị của tấm khi vận tốc V thay đổi 44

Bảng 4.16: So sánh chuyển vị của tấm khi chiều dày tấm h thay đổi 45

Bảng 4.17: So sánh chuyển vị của tấm khi hệ số độ cứng nền kwf thay đổi 46

Bảng 4.18: So sánh chuyển vị tại tâm tấm khi hệ số kháng cắt ksf thay đổi 48

Bảng 4.19: Tần số dao động khi hệ chuyển động với vận tốc V và bước sóng gồ ghề λtcủa bề mặt tấm (Hz): 51

MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT Chữ viết tắt

MEM Phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method) Q9 Phần tử tứ giác 9 nút (Quadrilateral nine-node element)

FEM Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method) FEM-9 Phương pháp phần tử hữu hạn sử dụng phần tử 9 nút DOF Bậc tự do (Degree of Freedom)

HSDT Lý thuyết biến dạng cắt bậc cao (Higher-Order Shear Deformation Theory)

FSDT Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (First-Order Shear Deformation Theory)

DAF Hệ số động (Dynamic Amplification Factor)

Ma trận độ cứng phần tử Ma trận khối lượng hiệu dụng Ma trận tải trọng hiệu dụng Ma trận độ cứng hiệu dụng

PeffKeff

Module chống cắt đàn hồi của vật liệu Hệ số Poisson của vật liệu

Trọng lượng riêng của vật liệu tấm Chiều dày tấm

k Hệ số độ cứng của nền

k Hệ số kháng cắt của nền Hệ số độ cản của nền

m Khối lượng của hệ tải trọng

k Độ cứng lò xo của hệ tải trọng

c Hệ số cản của hệ tải trọng

Fc Lực tương tác tại điểm tiếp xúc giữa hệ tải trọng và tấm

um Chuyển vị đứng của khối lượng của hệ tải trọng

Chương 1: Giới thiệu

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU 1.1 Giới thiệu sơ lược về đề tài luận văn

1.1.1 Đặt vấn đề

Theo nhịp phát triển kinh tế - xã hội của đất nước, việc xây dựng các tuyến đường giao thông, xây dựng và mở rộng các sân bay đang là điều cấp thiết Để tạo ra được các kết cấu mặt đường “bền – đẹp” thì cần có những nghiên cứu chuyên sâu về kết cấu mặt đường

Hình 1.1: Kết cấu mặt đường ô tô

Hình 1.2: Kết cấu mặt đường dẫn sân bay

Nhiều nghiên cứu đã được thực hiện để phân tích ứng xử của kết cấu tấm khi chịu nhiều loại tải trọng khác nhau di chuyển, cụ thể như tải trọng tập trung, tải trọng phân bố, tải trọng điều hòa, tải trọng hãm, … Tuy nhiên, một số kết cấu mặt đường vẫn bị hư hỏng, nứt nẻ sau khi thi công, vậy thì nguyên nhân là do đâu? Là do điều kiện thi công không tốt hay do chúng ta đã lựa chọn mô hình nghiên cứu chưa thực sự sát với thực tế?

Hình 1.3: Kết cấu mặt đường dẫn sân bay bị hư hỏng

Hình 1.4: Kết cấu mặt đường ô tô bị nứt nẻ

1.1.2 Tính cấp thiết của đề tài

Trong những năm gần đây, việc ứng dụng lý thuyết phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method – MEM) ngày càng rỗng rãi, đặc biệt là để để khắc phục những ngược điểm của các phương pháp trước đó như phương pháp phần tử hữu hạn

Chương 1: Giới thiệu

(Finite Element Method – FEM) trong những bài toán có xét ảnh hưởng của sự chuyển động của các vật thể

Việc phân tích ứng xử của các bài toán dầm và bài toán tấm trên nhiều loại nền khác nhau chịu tải trọng di chuyển sử dụng phương pháp MEM đã được nhiều tác giả nghiên cứu và ngày càng có tính thực tiễn cao hơn Luận văn này nhằm nghiên cứu sự ảnh hưởng của các thông số trong hệ tải trong chuyển động bên trên đối với ứng xử của kết cấu tấm được đặt trên nền chịu lực bên dưới

1.1.3 Tình hình nghiên cứu và tổng quan tài liệu

Phân tích ứng xử của của kết cấu dầm hoặc tấm chịu tải trọng di động đã được nghiên cứu rất nhiều trên thế giới Fang và Cheung (1984) [1] đã đề xuất phương pháp dãi hữu hạn cong để phân tích dao động của tấm mỏng với điều kiên biên phức tạp Puckectt và Lang (1986) [2] đã phân tích dao động của tấm liên tục đặt trên dầm và cột Kim và Reosset (1998) [3] đã khảo sát ứng xử của tấm trên nền đàn hồi dưới tác dụng của tải trọng là hằng số và tải trọng điều hòa di chuyển Huang và Thambiratnam (2001-2002) [13-15] đã khảo sát ứng xử tĩnh và động của tấm trên nền đàn hồi chịu tải trọng tĩnh, tải trọng chuyển động đều và chuyển động có gia tốc Kim (2004) [4] đã phân tích ứng xử của tấm trên nền đàn hồi và nền hai thông số dưới tác dụng đồng thời của tải trọng nén và tải trọng di động Sun (2005) [5] đã xây dựng lời giải giải tích cho bào toán tấm mỏng Kirchhoff trên nền đàn nhớt dưới tác dụng của tải trọng tập trung điều hòa và tải trọng dạng đường điều hòa di chuyển

Các công trình nghiên cứu kể trên đang áp dụng phương pháp giải tích để giải phương trình vi phân chuyển động của tấm Phương pháp này có thể cho nghiệm chính xác nhưng trong các bài toán phức tạp, hệ có nhiều bậc tự do hay chuyển động có gia tốc thì để tìm được lời giải cho bài toán là rất khó khăn Nên phương pháp giải tích bị hạn chế sử dụng trong nghiên cứu phân tích động học của các kết cấu phức tạp trong thực tế Với sự phát triển vượt bậc của công nghệ máy tính, nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng phương pháp số để giải quyết bài toán động lực học kết cấu, cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn (Finite element method - FEM) Yoshida và Weaver (1971) [6] đã khảo sát ứng xử của tấm có biên tựa đơn dưới tác dụng của tải trọng di chuyển và khôi lượng di chuyển bằng phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) Wu và

cộng sự (1987) [7] đã nghiên cứu phân tích ứng xử động của tấm phẳng chịu tác dụng của nhiều loại tải trọng khác nhau sử dụng FEM Trong các nghiên cứu này, ứng xử của tấm dưới ảnh hưởng của gia tốc, vận tốc ban đầu của tải trọng được khảo sát

Trong phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM), tất cả các ma trận kết cấu được thực hiện trên một hệ tọa độ cố định, khi tải trọng di chuyển từ phần tử này sang phần tử khác thì phải cập nhật lại các ma trận kết cấu và tải trọng có thể vượt khỏi biên bài toán Điều này là một nhược điểm rất lớn của FEM Để khắc phục các nhược điển trên của FEM thì phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method – MEM) được đề xuất và ứng dụng rộng rãi Koh và cộng sự (2006-2007) [8-9] lần lượt đã phát triển phương pháp MEM cho bài toán phân tích ứng xử của tấm hình vành khăn và ứng xử của nền bán không gian đàn hồi chịu tải trọng di chuyển Xu và cộng sự (2009) [10] đã phát triển phương pháp MEM từ bài toán dầm cho bài toán tấm để phân tích ứng xử của tấm mỏng đặt trên nền đàn nhớt dưới tác dụng của tải trọng di chuyển Trong các công trình nghiên cứu này, phương trình chuyển động của tấm dựa trên lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt và nền Winkler được sử dụng để mô hình nền đàn nhớt Tran và cộng sự (2014-2017) [11-15] đã phát triển phương pháp MEM để phân tích ứng xử của tàu cao tốc trong nhiều trường hợp khác nhau Dai và cộng sự (2018) [16-18] đã phân tích ứng xử của tàu cao tốc với nhiều mô hình nền khác nhau

Ở Việt Nam, trong những năm gần đây, việc ứng dụng phương pháp MEM vào phân tích ứng xử của tấm ngày càng nhiều và đạt được nhiều kết quả đáng tin cậy Cao và công sự (2015) [19] đã phân tích ứng xử của tấm dày Mindlin trên nền Pastenak chịu tác dụng của tải trọng di chuyển Cao và công sự (2016) [20] đã phân tích ứng xử động tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng điều hòa di động sử dụng phương pháp phần tử chuyển động Cao và công sự (2016) [21] đã xây dựng phương pháp tấm chiều lớp chuyển động cho bài toán phân tích ứng xử của tấm trên nền nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển Cao và cộng sự (2017) [22] đã phát triển phương pháp MEM từ mô hình 1D tàu cao tốc cho mô hình 3D tàu cao tốc

Lương và cộng sự (2018) [23] đã phân tích ứng xử tĩnh và động của tấm Mindlin trên nền đàn nhớt sử dụng phương pháp MEM Cao và cộng sự (2018) [24] đã sử dụng

Chương 1: Giới thiệu

phương pháp MEM để phân tích động học tấm composite trên nền Pasternak chịu tải trọng di chuyển Và gần đây nhất, Lương và cộng sự (2020) [25] đã phân tích ứng xử động của tấm biến đổi chức năng FGM trên nền Pasternak chịu tải trọng điều hòa di chuyển

1.1.4 Một số luân văn nghiên cứu ứng xử của tấm Mindlin đã thực hiện

Học viên Võ Hoàng Nhi: “Phân tích động lực học tấm Mindlin trên nền đàn nhớt

chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động”

Học viên Lê Văn Tư: “Phân tích động tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng

hãm”

Học viên Lê Văn Tư: “Phân tích động tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng

hãm”

Học viên Trần Trung Hiếu: “Phương pháp MPMM trong phân tích động lực học kết

cấu tấm Mindlin chịu tải trọng điều hòa di động”

Học viên Nguyễn Trí Trung: “Phương pháp phần tử chuyển động trong phân tích

động lực học tấm Mindlin trên nền đàn nhớt chịu tải trọng điều hòa di động”

Học viên Phan Huy Cường: “Phương pháp BEM-MEM trong phân tích ứng xử động

lực học tấm nổi dày Mindlin chịu đồng thời sự thay đổi nhiệt độ và tải trọng di động”

Đặc điểm chung của các đề tài nghiên cứu được nêu ở trên là ứng xử của tấm Mindlin được xét khi chịu một lực đặt trực tiếp lên tấm Tuy nhiên, trong thực tế trọng lượng của các phương tiện giao thông truyền xuống mặt đường thông qua các hệ thống treo, các hệ thống treo này làm việc như một hệ lò xo – cản Vì thế, nhằm xét đúng thực tế truyền tải của các phượng tiên giao thông xuống kết cấu mặt đường, trong luận văn này

học viên có xét đến ảnh hưởng của hệ khối lượng – lò xo – cản

1.1.5 Mục tiêu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

1.1.5.1 Mục tiêu nghiên cứu

Thành lập chương trình tính toán mà cụ thể là chương trình Matlab tính toán chuyển vị của tấm Mindlin chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển bằng phương pháp MEM

Nghiên cứu các tham số để ước tính các yếu tố khác nhau của mô hình đề xuất Từ đó tổng hợp, phân tích, so sánh kết quả với các phương pháp khác để khẳng định tính tối ưu, tin cậy của phương pháp và ứng xử của tấm Mindlin khi chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển

1.1.5.2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là tấm Mindlin đặt trên nền Pasternak chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển với vận tốc cho trước không đổi dọc theo trục x của tấm với các thông số của hệ khối lượng – lò xo – cản, vật liệu và hệ số nền được xác định

Thời gian thực hiện vào học kì I năm học 2021-2022

1.2 Giới thiệu cấu trúc của luận văn

Nội dung trong Luận văn được trình bày như sau:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tấm Mindlin chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước cũng như mục tiêu đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Chương 2: Trình bày lý thuyết về tấm Mindlin, tấm Mindlin trên nền Pasternak, mô hình hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển, phương pháp phần tử chuyển động để phân tích động lực tấm Mindlin trên nền Pasternak chịu tác dụng của hệ khối lượng – lò xo – cản di chuyển

Chương 3: Trình bày nội dung và phương pháp nghiên cứu, thông số đầu vào, lưu đồ thuật toán và chương trình Matlab

Chương 1: Giới thiệu

Chương 4: Trình bày các bài toán số, phân tích, so sánh với các nghiên cứu khác và thảo luận về kết quả

Chương 5: Đưa ra một số kết luận quan trọng đạt được trong Luận văn và kiến nghị hướng phát triển của đề tài trong tương lai

Tài liệu tham khảo: trích dẫn các tài liệu liên quan phục vụ cho mục đích nghiên cứu của đề tài

Phụ lục: Một số đoạn mã lập trình Matlab chính để tính toán các ví dụ số trong Chương 4

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Bài toán tấm chịu tải trọng di chuyển 2.1.1 Lý thuyết tấm Mindlin

Tấm là một kết cấu phẳng trong đó chiều dày h của tấm có kích thước rất nhỏ so với kích thước hai cạnh còn lại Tuy theo tỷ số giữa bề dày tấm và kích thước cạnh ngắn B

của tấm mà có thể chia tấm thành hai loại sau (Chu [26]) :

 Tấm dày : trạng thái ứng suất ba trục được triển khai và được định nghĩa với bộ phương trình vi phân đầy đủ của lý thuyết đàn hồi ba chiều Tấm dày có tỉ lệ

/1/ 20

h B Đối với các tấm này thì sử dụng lý thuyết tấm Mindlin (lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất) sẽ cho kết quả chính xác hơn vì có kể thêm biến dạng trượt do ứng suất cắt trong tấm Lý thuyết tấm Mindlin được dựa theo các gải thuyết như sau :

 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm trước biến dạng sẽ vẫn thẳng nhưng không nhất thiết là vẫn vuông góc với mặt trung hòa khi biến dạng ;  Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung gian không bị kéo và nén và là mặt trung hòa của tấm khi biến dạng ;

 Bỏ qua ứng suất pháp vuông góc với mặt phẳng của tấm z

Trong lý thuyết tấm Mindlin thì các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm vẫn thẳng trong quá trình biến dạng nhưng không còn vuông góc với mặt trung gian nữa và các góc vuông này bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt tủng bình gây ra bởi lực cắt Góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm hai phần, phần thứ nhất do độ

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

võng của tấm khi pháp tuyến vẫn còn vuông góc với mặt trung bình gây ra và phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra

2.1.2 Biến dạng của tấm và mối quạn hệ giữa ứng suất và biến dạng

Hình 2.1: Tấm Mindlin trên nền đàn nhớt Pasternak chịu tải trọng di chuyển

Xét tấm Mindin được đặt trên nền đàn nhớt Pasternak (chiều dài L, chiều rộng B, chiều dày h ) và có các đặc trưng vật liệu như module đàn hồi E, trọng lượng riêng ρ, hệ

số Poison  chiu tải trọng di chuyển dọc theo phương x qua tâm tấm được thể hình trong

Hình 2.1 Trong đó, thành phần đàn hồi và thành phần đàn nhớt của nền được mô hình bởi các lò xo và các cản nhớt đặt trên bề mặt tấm, lần lượt được đặc trưng bởi các hệ số

kwf và cf

Hệ trục tọa độ Oxyz được đặt với mặt phẳng Oxy trùng với mặt trung hòa của tấm và

mô hình tấm có miền hình học  R2 và trục z vuông góc với mặt phẳng tấm Gọi

0( , ), ( , ),00( , )

mặt trung hòa của tấm và β x( , )x y y( , )x y T là véc tơ góc xoay của pháp tuyến

mặt trung hòa quanh trục Ox và Oy với quy ước chiều dương được cho như trong Hình

( , , ) ( , ) ( , )

( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) , ,2 2( , , ) ( , )

Trong đó, nếu gọi xz và yz lần lượt là biến dạng cắt của tấm thì góc xoay của mặt

trung hòa của tấm quanh trục y và x lần lượt được xác định như sau:

( , )

wx y

2.1.3 Biến dạng của tấm và mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng

Trường biến dạng của một điểm bất kỳ trong tấm theo lý thuyết tấm Mindlin được xác định như sau:



Chương 2: Cơ sở lý thuyết

x xy yx yy x

Ký hiệu “,” – thể hiện đạo hàm đối với biến là ký hiệu đi liền sau

Mối quan hệ giữa các thành phần ứng xuất và biến dạng trong tấm Mindlin tuân theo định luật Hooke, được trình bày như sau:

QQ

 kwf – thông số nền thứ nhất (độ cứng theo phương đứng nền Winkler;

 ksf – thông số nền thứ hai (độ cứng lớp kháng cắt của nền Pasternak;

 cf – hệ số cản của nền;

 w – chuyển vị theo phương đứng của tấm;

 w - vận tốc của chuyển vị theo phương đứng của tấm

2.1.5 Tấm Mindlin trên nền đàn nhớt Pasternak

Phương trình chuyển động của tấm được thiết lập dựa trên nguyên lý công ảo: “Nếu

một vật thể ở trạng thái cân bằng thì tổng công nội ảo bằng tổng công ngoại ảo đối với bất kỳ chuyển vị khả dĩ ”

Công nội ảo của tấm được cho bởi công thức:

hm

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

 - công ngoại ảo do tải trọng ngoài tác dụng được xác định theo công thức :

 TP

 - công ngoại ảo do lực quán tính được xác định theo công thức :

 u- véc tơ trường chuyển vị được xác định theo công thức ;

 u- véc tơ gia tốc của trường chuyển vị được xác định theo công thức ;  m- ma trận khối lượng được xác định theo công thức :



Chương 2: Cơ sở lý thuyết

phần tử này được gọi là phần tử có biên cong hay phần tử đẳng tham số (Izoparametric element)

Khái niệm phần tử đẳng tham số dựa trên cơ sở phép biến đổi một phần tử được gọi

là phần tử chuẩn (master element) trong hệ tọa độ tự nhiên Oξη thành phần tử thực tương ứng có dạng tùy ý trong tọa độ vuông góc Oxy Trong luận văn này, phần tử tấm tứ giác

9 nút (Quadrilateral nice-node element – Q9) thuộc loại đẳng tham số được sử dụng để mô hình hóa các bài toán tấm

Hình 2.2: a) Phần tử Q9 trong hệ tọa độ tổng thể (x,y); b) Phần tử Q9 trong hệ tọa độ tự nhiên (,)

Các hàm nội suy Lagrange N ii(  1 9) của phần tử Q9 được cho bởi công thức:

(2 29)

Trong đó: ( , )x yii là tọa độ của nút thứ i i(  1 9) trong hệ tọa độ tổng thể Oxy

Các đại lượng chuyển vị độc lập của phần tử được nội suy theo các chuyển vị nút tương ứng như sau:

xix ii

yiy ii

 u0,i,v0,i,w0,i, x i,, y i, - lần lượt là các thành phần chuyển vị tại nút i của phần tử

 Ma trận Jacobi cho phép biến đổi tọa độ được cho trong dạng như sau :

 Quan hệ giữa đạo hàm của các hàm dạng Ni trong hệ tọa độ tự nhiên Oξη và các

đạo hàm trong hệ tọa độ tổng thể Oxy lần lượt là :

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

Công thức tích phân (2.42) có thể được giải bằng phương pháp giải tích, nhưng việc

áp dụng đối với các hàm phức tạp lại rất khó khăn Đặc biệt, khi ξ, η biến thiên theo

đường cong Phương pháp cầu phương Gauss được sử dụng rộng rãi trong phương pháp phần tử hữu hạn Công thức (2.40) được tính bằng phương pháp cầu phương Gauss trong mặt phẳng và có dạng như sau:

1 1

111 1

ijijii

 n – số điểm Gauss sử dụng trong phép cầu phương

Bảng 2.1 trình bày tọa độ và các trọng số tương ứng của các điểm Gauss Bảng 2.1: Tọa độ và trọng số các điểm Gauss

Số điểm Gauss n Tọa độ điểm Gauss  i, j Trọng số w ,wij1 q10.00000 00000 2.00000 00000 2 q q1, 2  0.57735 02691 1.00000 00000

     như thể hiện trên Hình 2.3

Hình 2.3: Rời rạc tấm thành Ne phần tử và hệ tọa độ chuyển động (r,s)

Phương pháp phần tử chuyển động (MEM) là sử dụng hệ tọa độ chuyển dộng (r,s) có

gốc tọa độ được gắn tải trọng và chuyển động cùng vận tốc với tải trọng như trên hình

4 Mối quan hệ giữa hệ tọa độ chuyển động (r,s) và hệ tọa độ cố định (x, y) như sau:

 

 

Trong đó : S là quãng đường di chuyển của tải trọng tại thời điểm tức thời t

Khi tải trọng chuyển động với vận tốc ban đầu Vo và gia tốc a thì mối qan hệ giữa hai

hệ tọa độ được viết là :

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

   

 

Trong đó: v(V0at) là vận tốc của tải trọng tại thời điểm t

Mối quan hệ của trường chuyển vị giữa hệ tọa độ chuyển động (r,s) và hệ tọa độ cố định (x, y) là:

( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )( , ) ( , )

(2 45)

Sử dụng phép biến đổi tọa độ, mối quan hệ vi phân giữa hai hệ trục tọa độ lần lượt được viết như sau:

Phương trình vi phân chuyển động (2.27) của phần tử tấm được viết trong hệ tọa độ

chuyển động (r,s) như sau:

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

( , ) ( , ) ( , ) ( , )2

  u b

Trường chuyển vị u và chuyển vị theo phương đứng w tại một điểm trong phần tử

được nội suy từ các thành phần chuyển vị nút của phần tử lần lượt được viết là:

( )e

( )ew

( )em  m

( )eb

( )es

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

( )e ( )e  ( )e ( )e  ( )e ( )e  ( )e

Trong đó:  ( )e

M - ma trận khối lượng của phần tử tấm chuyển động được xác định theo công thức :

  ,rr - đạo hàm bậc hai theo r ;

  ,ss - đạo hàm bậc hai theo s ;

Trong trường hợp tải trọng chuyển động đều với vận tốc V = hằng số và gia tốc a = 0, ta có công thức (2.73) đến (2.76) được viết lại là:

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

Ghép nối các ma trận phần tử vào ma trận tổng thể thì phương trình chuyển động tổng quát của tấm Mindlin được viết dưới dạng quan thuộc là:

 d - véc tơ chuyển vị tổng thể của tấm;

 d - véc tơ vận tốc của chuyển vị tổng thể của tấm;  d - véc tơ gia tốc của chuyển vị tổng thể của tấm

Trong bài toán phân tích ứng xử của tấm chịu tác dụng của tải trọng tĩnh thì phương trình (3.81) trở thành:

Với  là tần số dao động tự nhiên của tấm

2.3 Mô hình hệ khối lượng – lò xo – cản

Hình 2.4: Mô hình hệ khối lượng – lò xo – cản

Áp dụng nguyên lý D’Alambert viết phương trình cân bằng cho khối lượng m:

 um- chuyển vị đứng của khối lượng;

 um- vận tốc biến thiên chuyển vị đứng của khối lượng;  um- gia tốc biên thiên chuyển vị đứng của khối lượng;  Fc- lực tương tác tại điểm tiếp xúc giữa hệ tải trọng và tấm;

 w- chuyển vị đứng của tấm tại điểm tương tác;

 w - vận tốc của chuyển vị đứng của tấm tại điểm tương tác ;

 yt - chuyển vị phát sinh do độ gồ ghề của bề mặt tấm, được giả thuyết theo dạng hàm sin như sau :

 yt- tốc độ biến thiên chuyển vị phát sinh do độ gồ ghề của bề mặt tấm

2.4 Phương pháp Newmark

Luận văn sử dụng phương pháp số Newmark để giải bài toán chuyển động Ý tưởng của phương pháp là từ giá trị của nghiệm đã biết tại thời điểm n suy ra giá trị của thời điểm tại n1 bằng các giả thiết khác nhau về sự biến thiên của gia tốc trong từng bước

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

thời gian Phương pháp Newmark có hai cách tìm nghiệm: dạng gia tốc và dạng chuyển vị

Bằng cách xấp xỉ sự biến thiên của gia tốc trong mỗi bước thời gian, biểu thức của vận tốc và chuyển vị trong mỗi bước thời gian được suy ra thông qua các phép tích phân từ phương trình vi phân gia tốc Giá trị của vận tốc và chuyển vị được đề xuất bởi các phương trình sau:

Với M là khối lượng hiệu dụng và eff P là tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời eff

gian, chúng được xác định bởi các biểu thức sau: 2