Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Phương trình Friedmann và ba mô hình vũ trụ

TENXƠ PHẢN BIẾN VÀ TENXƠ HIỆP BIẾN 1.Để đơn giản ta xét không gian hai chiểu phẳng với tọa độ xÌ,x” và hai Nếu hai trục tọa độ của ta không vuông góc nhau ta có hai cách mô tả vectd A 1.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP.HCM

Niên khóa

1998 - 2002

THLE WIEN |

LỜI NÓI ĐẦU

Tit ngắn xưa đến nay mỗi khi nhìn lén bấu trời con người thường tư hỏi «ái

gì ở trên đó? nó vó bất đầu và kết thúc ở đầu” Người Hylap cô dai cho rằng môi vì

suo là mốt lĩnh hon, còn bau trời gidng như cái vòm dude đỡ bởi than Atlat Tiếpthee người Trung Hoa cổ đại cho rằng mặt đất nằm trên hốn von rửa còn bau trời do

bà Nữ Oa tạo ra trên đó do ngọc hoàng thượng để và các than tiên song Dan với thi gian quản niềm về vũ trụ ngày càng thay đổi: Từ mô hình vũ trụ của ptolemy xem trái đất là trung tim, đến mô hình mặt trời là trung tâm của Copernic và

Galilei Trước đây người ta quan niệm vũ trụ là tĩnh, mãi đến năm 1929 khi Hubble

công bổ kết quả quan sit của mình thì quan niệm trên mới thay đổi và người ta nhận

thay rang vũ trụ dang pian nở, Năm 1915, Einstein đã có một công hiển vi đại cho

nhân loại là ông đã đưa ra thuyết tương đổi rng và sau đó rất nhiều người đà tìm

cúch đưa thuyết tương doi rộng vào nghiên cứu vũ trụ Trong luận văn này, em dựa

vào tiên để Friedmann, tiên dé Weyl và phương trình Einstein để xây dựng phương

trình Fricdmann và dựa vào nghiệm của phương trình để chứng tỏ vũ trụ của chúng

ta dang gin nở,

Luan van này gồm cúc phan sau:

Chương 1) Phép tinh tenxử.

Chương 2; Phương trình Einstein,

- Chương 3: Vũ trụ học tương đổi tính

Khi bắt tay thực hiện dé tài này, em gặp nhiều khó khăn vì phép tính tenxơcòn mới lạ đổi với sinh viên và tài liệu bằng tiếng Anh Mặc di đã được nhà trường

trang bị khá tốt vẻ ngoại ngữ nhưng em cũng gap nhiều khó khan khi đọc tài liệu

chuyên ngành bằng tiếng Anh Với sự nỗ lực của bản thân em sự hướng dan nhiệt

tình của thấy hướng dẫn cộng với kiến thức đã được học trong chuyên đẻ thuyết

tương đối rong, em đã cố gắng hoàn thành tất cả những yêu cấu mà thay hướng dẫn

đặt ra.

Em xin tỏ lòng biết ơn đến Thấy Lẻ Nam_ giảng viên khoa Vật Lý đã nhiệttình giúp đữ em hoàn thành luận văn này Xin chân thành cảm ơn Quý Thay có khoa

Vật Lý trường Dai Học Su Phạm Cảm ơn Ba mẹ, anh chi.ban hè những vị ân nhân

đã yêu thương piúp đỡ em có thể hoàn thành tốt luận van của mình

Với tất cá sự cổ pắng của mình em mong bài luận văn này sẻ là một món quả

kính Lang Quy Thấy có, Ba me, bạn bè với tấm lòng ghi ơn xâu xa

Ngày 10 tháng 5 nam 2002

Sinh viên thực hiệnNguyễn thị Hằng

ichi số lấy tổng gọi là chỉ số câm - dummy index.)

§2 MA TRAN CHUYỂN TOA ĐỘ

Xét không gian n chiều Ta có hai hệ tọa độ cũ và mới được ký hiệu như sau:

Hétoadocd : xÌ,xỶ, x”

Hệ tọa độmới : x! Xu."

Ta có phương trình liên hệ giữa tọa độ mới và cũ:

eae: SS f(t!,x? " )= #“(x) (hy

Như đã biết trong phan giải tích định thức Jacobi sẽ hằng không nếu vắc tow đồ mới

phụ thuộc tuyến tính với nhau.

Nếu các X” độc lập tuyến tính với nhau thì Jacobi sẽ khác zero.

trang |

Ox' dx? sax"

x ox? Ox’

ae ey fe "| (2)

ox" ) rm

ox' ox? phat ox"

Định thức của ma trận chuyển tọa độ gọi là Jacobi và ký hiệu là:

§3 TENXƠ PHẢN BIẾN VÀ TENXƠ HIỆP BIẾN

1.Để đơn giản ta xét không gian hai chiểu phẳng với tọa độ xÌ,x” và hai

Nếu hai trục tọa độ của ta không vuông góc nhau ta có hai cách mô tả vectd A

1 Chiếu vuông góc véctơ A lên hai trục ta được

A, = Acos®8, = Ad,

A, = Acos®, = AZ,

trang 2

Chiểu véctd A song song theo từng trục ta được A',A khi đó:

A=A'é, + Ae, Như vậy néu biết Ay, A, và A! A? ta déu xác định được véctớ A

A, Ay gọi là thành phan hiệp biến của véets A

A'.A gọi là thành phan phan biến của véctd A

Ta viết A=(A', A?) hoặc Ä=(A,.4;)

Vẻ thuật ngữ khi ta nói véctơ hiệp biến Á nào đó có nghĩa ta chỉ chú ý tới thành

phan hiệp biến của nó Tương tự cho véctd phản biến

Nói chung A” # A, Tuy nhiên trong không gian phẳng với hé trục toa để vuông

góc nhau thì thành phan hiệp biến và phản biến bằng nhau.-Không gian Euclide với

Trong hệ tọa độ cũ x`,X”, ,x” vectơ trên sẽ có thành phan là dix! div’ ,, dx”

Trong hệ tọa do mới X”,XỶ, ,X” các thành phẩn tương ứng của véctơ trên sé là

dx”

— Ẹ ex"

Do #“ =f (x! x?" )e ¥“(x) nên để“= ——.dx” (1)

Ox

Bây giờ ta định nghĩa:

Véctd phản biến hay tenxơ phản biến hạng | là tập hợp những dai lương X“

trong hệ toa độ x", xŸ, ,x” tại điểm P mà tuân theo quy luật.

ung ix" dx! dy? de

Vécus X có bốn thành phan a = Se tạo nén tenxd phan

dụ ` du’ dụ ` du

biến hạng |

trang 3

Từ đây ta tổng quát hóa:

Teaxởơ phản biến hạng 2 là tập hợp các đại lượng X“" wong hệ tou đô - x

Mà tuân theo quy luật biến đổi sau khi chuyển hệ tọa độ từ x” —> X°:

a h

X“= eS —.x" @)

_Ôy ax

Các đại lượng X “là thành phan của tenxơ hạng 2 trên nhưng tính trong hệ tọa độ - X”

Hoàn toàn tương tự ta có định nghĩa tenxơ hiệp biển hạng | (véctở hiệp biến!

Tenxơ hạng không là vô hướng và ta thường ký hiệu bằng chữ ®

3 Tại sao tenxơ lại được các nhà vật lý chú ý ?

Xét hai tenxơ X“® và Y““ương hệ tọa độ nào đó (với các nhà vật ly thì đó là hệ

quy chiếu) thỏa mãn tính chất:

Biểu thức (8) chính là phương trình (7) được xét trong hệ tọa độ mới (hệ quy chiếu mới)

Từ đây ta phát biểu: Nếu phương trình tenxơ hay đẳng thức tenxơ đúng trong hệ

tọa độ nào thì cũng đúng trong hệ tọa độ bất kỳ khác

Nói cách khác phương trình tenxơ không phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tinh

hay không quán tính Như vậy tenxơ là công cụ toán học rất phù hợp để xây dung

thuyết tương đối rộng(thuyết tương đối tổng quát).

trang 4

§4 ĐẠI SỐ TENXƠ

1 Phép cộng được thực hiện với các tenxơ cùng loại với các chỉ số giống

nhau:

Yu +22 =Xj,

2 Phép nhân tenxơ - phép nhân ngoài - outer product

Tenxơ loại h nhân với tcnxơ oil h sẽ cho ta tenxơ loại lh ae |

% q: +4)

Yh Leg = Xu

Tenxở hạng hai nhân với tenxơ hang 2 cho ta tenxơ hạng 4 Néu ta có vect A

Và vécts A thì nhân tenxơ giữa hai vectơ trên được ký hiệu như sau:

A@B=A"B" ˆ Nếu cả hai đều là vectd phản biến

3 Phép nhân trong - inner preduct.

Y/Z„ =X, cho ta tenxơ hang 2

Hoặc ta có: T°®U,„ =V, cho ta tenxơ hạng |

Nhận xét: Hai tenxd nhân với nhau, nếu tất cả các chỉ số khác nhau thì ta có phép

nhân ngoài còn nếu ta có các cập chỉ số giống nhau thì ta có phép nhân trong

4 Phép rút gọn tenxơ - contraction.

Cho tenxd Ry, khi ta cho chỉ số a=c thì Rj.) thì là tenxơ hiệp biến hạng 2 Vì

vậy ta ký hiệu: R ưu = Reg

Hoặc ta có: OR = Row = Rw

5 Tenxơ là đối xứng với hai chỉ số trên hoặc dưới nếu ta hoán vị các chỉ số đó

cho nhau mà tenxơ không đổi: Xp =Xw

Nếu không gian của ta là n chiều thì ta có thể biểu diễn tenxơ trên đưới dạng ma

n{n + I

trận n hàng n cột Do các phần tử của ma trận là tenxơ đối xứng nên ta có )

thành phần độc lập

Tenxơ là phản đối xứngnếu X „ = -ÄX„,

Từ đây ta suy ra Xia =-X„ © ÄX „=0

=> Nghĩa là các thành phần nằm trên đường chéo chính bằng zero Như vậy tenxơ

§5 TENXƠ METRIC

| Xét không gian n chiéu Ta chọn hệ toa độ chuẩn ÄÌ,XŸ, #” sao cho độ dai

vô cùng bé nối hai điểm lận cận nhau có dạng:

ds? = dx" dx" a)

Vi du: ta có biểu thức quen thuộc ds* =dx? + dy? +d2 trong tọa độ Descartes

trong không gian 3 chiếu,

Bây giờ ta Nó" ay ) sang hệ toa độ mới xx?

„,„ gọi là tenxơ metric hiệp biến.

g ” tenxơ metric phản biến được xác định từ biểu thức

Ta viết tích vô hướng của hai vectơ nhờ tenxơ metric:

A.B = g„A"B° = g”A,B, = A°B, = A,B" (6)

3 Ta định nghĩa không gian Riemann :

Không gian với hệ tọa độ (x )es ds* = g ,dx“dx" gọi là không gian Riemann.

Ví dụ: bể mat của qui đất là không gian Riemann 2 chiều nằm trong không gian

ba chiều thông thường Độ .Ta có khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên mặt cầu

ds và được tính theo công thức;

ds? = r?402 +r? sin? Od? = gạ„y40? + gu;dè?

2

= 7? cin?

§ou = 822 = : B= 8 =Ũ : By =8 =P sim 9

trang 6

§6 ĐẠO HAM LIE

1_ Cho đại lượng vô hướng ®_ Rõ ràng vô hướng © không thay đổi khi chuyển

hệ toa độ

Nếu tại mỗi điểm của không gian Riemann ứng với một giá trị của) thi tá được

mội trường vô hướng hay trường tenxơ hạng không.

Tương tư tenxơ 7}„ được xác định tại mỗi điểm trong vùng nào đó thuộc không

gian Riemann thì kết quả ta có trường tenxơ hạng tương ứng.

2 Cho hai trường vectơ bất kỳ X và Y, giao hoán tử Lie của hai veetd trên tác

dụng lên hàm /ˆ được định nghĩa:

[x.Y]/ =(xy - rx)/ = X(Yƒ)- Y(X/) a)

[X.Y Jœ + B/a)= ø[X, Y]⁄4 + B[X, Y]% (2)

Với /¡, /; hai hàm bất kỳ : œ,Ð = const thực, va Lie giao hoán tử thỏa mãn:

[X.Y Kf.e)= /Íx.Y] + a[X.YÌ] 3)

Từ ba biểu thức trên, ta thấy giao hoán tử Lie là toán tử tuyến tính và toán tử này

Bây giờ ta xét thành phan thứ a của giao hoán tử Lie

[x.Y]'/ =(XY - YXY ƒ =(X*a,Y* -Y"a,X*)ƒ

Đạo hàm Lie một tenxở theo hướng X là đạo hàm riêng mà không cần sử dụng

tenxơ métric (không can sử dụng hệ số liên thông)

§7.ĐẠO HÀM HIỆP BIẾN

1.Khái niệm địch chuyển song song

Trong không gian phẳng dịch chuyển song song một vectơ có nghĩa là di chuyển

nó sao cho lúc nào vectd cũng song với chính nó Nói cách khác, ta dịch chuyển sao

cho độ lớn và hướng của nó không thay đổi

Trong không gian cong Remann dịch chuyển song một vectơ dọc theo nghĩa là dich chuyển nó sao cho góc tạo giữa nó và đường cong C luôn không đổi Lúc này các thành phan của vectơ sẽ thay đổi cho dù độ lớn của nó không thay đổi.

2 Đạo hàm hiệp biến

Xét một trường vectd phản biến bất kỳ A“ Tại điểm P tương ứng với toa độ x”

vectd có giá trị là 4“

A š At + dA" DA“

P A” +dA "

Tại điểm Q ứng với toa độ x“ + dx" vectơ có giá trị là A“ + dA“

Bây giờ ta dịch chuyển song song vectơ A” đến điểm Q Vectơ sẽ thay đổi một

lượng được ký hiệu dA"

Ta lập hiệu: A“ + dA“ —(A“ + 8A“ }= [dA* -5A“)= DA“ (1)

Đại lượng 5A” hoàn toàn có thể đặt bằng: -I%, A‘ ‘dx? (2)

Trong đó : ['?, là một hàm nào đó phụ thuộc vào hệ tọa dé ta chọn Có thể bằng

không hoặc khác không I“, có tên là hệ số liên thông hay ký hiệu Christoffel loại

hai.

Còn dấu (-) hoàn toàn là do quy ước của ta

Thay (2) vào (1): ĐÁ” =dA* ~ (-r r,A‘ dx’)

Phan trong ngoặc | +T“ nA‘ }: V.,A“ gọi là đạo hàm hiệp biến của

vects phản biến A“

trang 8

ee 1A cage sess =

Và ký hệu : VVA“=A“» Hal cha (5)

x

(dau chấm phẩy (;) có nghĩa là đạo hàm hiệp biến)

Ta có thể xây dựng phép đạo hàm phản biến (xem Landau trang 310)

3.Đạo hàm hiệp biến vectơ hiệp biến

Như đã biết nếu ta dịch chuyển song song một vô hướng thì đại lượng này không

thay đổi Nói cách khác tích vô hướng của hai vectơ sẽ không thay đổi khi dịch

chuyển song song

Xét tích võ hướng của hai vectd A,B" Do không thay đổi khi dịch chuyển song

xong nên:

8(A,B")= 0 => B“ãA, + A,3B" = 0

=> B"ãA, =-A,BB" =-A,(_—T“B'dx")= +F*“⁄A,B' dx" (7)

về mat cấu trúc:

"4A, Bo dx” =P ubAB" dx”

nén tạ viết lụi (7):

B“ãA, =T “2A, B“dx?

Sau khi giản ước B*ở hai vế : 8A, =P upA_dx” (8)

Tương tự như (1): DA, = dA, -ồA, (9)

1A 8 z

Thay (8) vào (9) DA, = 2 : dx” =T TA ax" -(% -l"„A, just (10)

Ox Ox

Phần trong ngoặc gọi là dao hàm hiệp biến vectơ hiệp biến

VA, - ẤN TA, = A,»

Tương tự ta chứng được đạo ham hiệp biến các tenxd hạng cao hơn:

4 Ta tìm sự liên hệ giữa đạo ham Lie và đạo hàm hiệp biến:

LyY" SEXO, Y "=F "a Xo H=X'V iY" =F VX"

để trả lời câu hỏi trên ta xét:

trang 9

VY" =ụ,Y° +0 mY (14)V,X" =é,X” +[”ằX' (15)

nhõn từ trỏi (14) với X” và (15) với Y” rồi trừ cho nhau:

X'V/í“-—ŸˆV,Xđôe ROY" VOX alley KY")

Ta chỉ xột cho hệ số liờn thụng :-T, = 4, nờn hai số hang cuối cựng cú cựng cấu

trỳc.

Do vậy chỳng triệt tiều nhau Cuối cựng ta được:

X°V,Y"“—Y°V,X" = X°ụ,Y" -Y°õ,X“ (16)

Trong biểu thức của dao ham Lie ta cú thể thay đạo hàm thường bằng đạo hàm

hiệp hiển Với điều kiện là [⁄„ đối xứng với hai chỉ xố dưới

chuyển song song sao cho nó trùng với vects A" tại điểm mới Trường hợp này chỉ

xảy ra khi đường cong x” = x“(u) là đường rất đặc biệt gọi là đường trắc địa còn

vectd AW lúc này sẽ là vectơ tiếp tuyến với đường trắc địa

Ở phần sau bằng nguyên lý tác dụng tối thiểu ta chứng minh được rằng đường

ngắn nhất giữa hai điểm trong không gian Riemann là đường trắc địa và phương

trình của nó trùng với (9)

§9.KÝ HIỆU CHRISTOFFEL VA TENXƠ METRIC

1 Xoắn - Torsion

Xét trường vô hướng ©

Mặc dù : 00,2 =Ô,Ê„® nhưng trong trường hợp tổng quát chưa chắc

V,V,@=V,V,® Khi đó: (VV, -V,V, )}® =? qa)

Nếu ta đặt : Ÿ,@® = ô,® = V,

VV, =ê„V,„ -T,V, = ô,„ô„@® - [7„ô,® (2)

Lấy (3) - (2):

(V,V, - V,V,„}b = (3,0, =8,Ê„}Ð +(T, - Tạ, V,®

(V„V, -V,V„}Ð = (Pu -F°}V,®

trang II

Lin — 7 = tcnxơ xoắn T7, (4)

Nếu khong gian cong của ta không xoắn thì 7}, =0

=P wh =P na ký hiệu Christoffel đối xứng với hai chỉ xố dưới

gu, = Ö => O8ub ~ re8a = I, Buu =0 (7)

Ta lấy (5)-(6)-(7) và chú ý tới tính đối xứng của Ki

2 i Ruta = C8» —Öh&& = Ề, Sup = 0

1

Pe Reus = 3 (8u, + C.Rup = 0,8» )

Nhân cả hui vế với ¢TM

1 da a ^

rz "ie (8,80 + Ê,8„ — Ê„#„ ) (8)

4

HG (Anca +Ê, 8ø —Ô„#„, (9)

Vay nếu V g, = 0 thì FY có dang như (9) Ta có thể nói ngược lại : Nếu như

be có dạng như (9) thì sau khi tính toán trực tiếp ta thấy Vig, =0

§10 DUONG TRAC DIA

|, Trong mục này ta tim phương trình cho đường trắc địa xuất phát từ nguyên lý

tác dung tối thiểu Trong cơ học , cơ hệ sẽ chuyển đông từ P đến Q sao cho biến

phân của hàm tác dụng bằng 0.

Còn trong hình học: đường cong nối hai điểm P và Q sẽ ngắn nhất khi biến phân

của hàm tác dụng bằng 0

trang 12

Tái chọn hàm L có đặc trưng độ dài Như đã biết:

Phuương trình (5) trùng với phương trình (8) - §8.

Thidng số u trong trường hợp này gọi là thông số Affine, thường ký hiệu bang chữ

x hoiäc +

a b

Né&u ta đặt L=g, al a 24% YL vi : gọi là hàm Lagrange

du duThì phương trình Lagrange- Euler vẫn có dang:

du\ Bi* ) Gx"

2.Wectơ X“ và Y” trực giao nhau khi

ÄX.P=g„X"Y° =0 (6)

Nếu: g„„X*“X” =O thì vectd X” gọi là veets null

Ve:ctơ null có độ dai bằng không nhưng các thành phan của nó khác không trong

khi wects zero có độ dài bằng không với tất cả các thành phin bằng không

dx" dx" dx"

Khi 2⁄ = g„ SES = +1 => vecta —— có độ dai bằng đơn vi

duc du du

Dor với vặt m chuyển đồng với van tốc < ¢ ta cũng áp dung phương trình

Lagranyge-Euler (phương trình đường trắc dja) nhưng:

“ ẽ.-h

Chú ý: Nếu ta chọn dấu của métne go) = (+ — -)

Thi +) lấy dấu +

Nếu ta dâu của métric Suu = (- +++)

Trong đó: RA, = OTK, OP +r - 8, (4)

Nếu không gian của ta không xoắn nghĩa là : [“, = [ƒ thì Ry, goi là tenxơ

Riemann - Christoffel, Goi tất là tenxo Riemann.

Nếu: [72 = 0 tại mọi điểm trong toàn không gian thì không gian gọi là phẳng

Tà có định lý : điều kiện cẩn và đủ để không gian là phẳng là tenxd Riemann=0

§ 13 TENXO RICCI

Ta viết lai định nghĩa tenxơ Riemann

Ri =€ Tây — GT, +The ~E KT; (1)

a 1 ˆ ~ ˆ Với ` =e (Ê;„&„ +O 8p — Can, ) 3ì

Nhìm vào định nghĩa ta nhận ra ngay tcnxở độ cong Riemann phan doi xứng với

hai chỉ xố cuối:

a _— a

Rhu =~ Rue (3)

ec c _

= BeuaR ew = Beara => LỚN ~ —# Nhu (4)

Tromg phần bài tập ta chứng minh được :

Bang cách chọn hệ toa độ trắc địa cho biểu thức (1) sau đó đạo ham hiệp biến rồi

hoán wi vòng quanh các chỉ số ta nhận được đồng nhất thức Bianchi:

V Rice + Vu + Ve Racan = 9

Ta có: Rig = cho a=c

Rint = Ring = ““ Robes

R,, =e Tj, —0,7 7, + Í

TH Ring = Regan suy ra tenxơ Ricci đối xứng

Ru = R ; độ cong vô hướng, hay võ hướng Ricci

Ten›xơ Einstein được định nghĩa như sau:

Gp = Lộ = aha ( |0)

he PER, - goilàtenxơRicei (9)

trang 1S

Do v“(À,n) là đường trấc địa và u" là veetơ tiếp tuyến của nó nên đạo hàm

tuyệt didi của 6” sẽ bằng không; Vu" = Ú

Tác dụng trếp Vụ lên (1)

VyV,u" =0

Công trừ hai vế với V,,V ya

VyV,u” + VụV gu“ = V„V vu” = 0Nhờ «dao ham Lie ta chứng minh được trong trường hợp đặc biệt của tá Char vectd

u” và on”) đạo hàm tuyệt đối sé bằng đạo hàm riêng nén ta có:

(VyV —VyVy a! = Ry yun’ ul

Ban dioc có thể tham khảo trong Hughton va Tod - trang 79

hang: mô tả gia tốc tương đối giữa hai hat

trang 16

Tương tự cho tenxơ hạng cao hơn Với tenxơ tương đối trong công thức biến đổi

luôn có thêm thức số J" Ta nói ‘CT - tenxơ mật độ với trọng lượng w (Tensor

density of weight w ).

Ta chấp nhận mà không chứng ninh quy tắc dao hàm hiệp biến tenxơ mật độ:

VG" = các số hạng giống như 'G" là tenxơ thường - wld TG"

Dinh thức mêtric g theo định nghĩa là mật độ vô hướng với trọng lượng +2, do giáo

trình của ta các mêtric có negative signature nên định thức g sẽ âm vậy ta viết:

trang 17

A" phần phụ đại số của a,

Nghia là 4 = 0 a,A" (khai triển theo hang i) (9)

Đạo hàm (9)

c :

— = my A‘ =A" viếttheo kiểu mới không có S`

lýNếu «a= dÍa, (x' ) a

Gas Ga Oa Ga, 0a,

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH EINSTEIN

§1.CÁC NGUYÊN LÝ TRONG THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG

1.Nguyên lý Mach:

Sự phân bố vật chất xác định tính chất hình học của không gian quanh nó, Nói

cách khác,vật chất sẽ nói cho không gian biết phải cong như thế nào còa không gián sé nói

cho vat chất biết phải chuyển động ra sao-John Wheeler

2.Nguyén lý tương đương -The principle of Equivalence

Thí nghiệm trong máy Einstein:

Thang máy đứng yên tai mặt đất,phi hành gia thả quả táo, quả táo sé rơi tư do

xuống với gia tốc Ở.

Thang máy chạy thật êm tại khoảng không vũ trụ với gia tốc đ = —@ Phi hành

gia thả quả táo, quả táo vẫn rơi xuống sàn giống như trường hợp đứng yên tại matdat Nếu động cơ thang máy chạy thật êm thì sẽ có lúc phi hành gia không phânbiệt được lúc nào thang máy đứng yên tại mặt đất lúc nào thang máy chuyển đôngvới gia tốc @ = —ổ trong khoảng không vũ trụ.

Chuyển động tự do trong hệ qui chiếu không quán tính giống như chuyển động

của vật trong hệ qui chiếu quán tính có trường ngoài là trường hấp dẫn

Nếu thang máy quay ,ta luôn có thể thay thế bằng trường hấp dẫn tương đương có

bản chất đã tính đến lực ly tâm và lực Coriolis.

Chú ý :

Không thể áp dụng nguyên lý này cho toàn không gian vì tại vô cùng trường hấp

dẫn thật sẽ —> Otrong khi trường hấp dẫn tương đương có thể tiến tới vô cùng lớn

(chuyển đông quay chẳng hạn)

Nguyên lý này áp dụng cho vùng không gian hẹp.

3 Nguyên lý hiệp biến tổng quát

Mọi phương trình vật lý đều được diễn tả bởi phương trình hiệp biến (dưới dạng

Tenxơ) Nghia là nó có dạng như nhau trong mọi hệ quy chiếu Điều này không có

nghia mọi hệ quy chiếu là tương đương nhau trong toàn không gian Kết quả dođược sé khác nhau nhưng dạng của phương trình thì không đối

Einstein lý luận rằng mọi người quan sát -quán tính hay không quán tính - đều cókhả năng tìm ra các định luật vật lý Nếu điều đó không đúng thì rò ràng chúng ta

đã không thé tìm ra định luật vật lý nào hết vì quả đất của ta là hệ qui chiếu không

quán tính

Hệ toạ độ trong phép tenxơ = Hệ qui chiếu bất kỳ trong vật lý

er

THUS =VIEN i trang 19

Trường tài Wes Bes Pinon

TR 04 Sot an nges = j

4+.Ngutyén lý tương ứng-The correspondence principle

Gcnerral relativity _———œ Newton theory of gravitation

|

Special relativity ——————® Newton mechanics in the absence of gravitation

5, Hé qua từ nguyên lý tương đương :

F=ma m: khối lượng quán tính

m - 48

F=G 2 =m,.2 m,, : khối lượng hấp dan

Do ta có thể thay thế lực gây gia tốc @ bằng lực hấp dẫn gây ra g = a nên khối

lượng quần tinh tự nó phải bằng khối lượng hấp dẫn

M Quán tính = 177 Hấp dẫn

-Dikce tai Princeton và Braginski tại Moscow đã đo và kết quả của sự sai khác giữa

hai lozai khối lượng trên gần bằng 10°".

Lúc: này tenxd Riemann sé có dang:

Chui ý: trong hệ toa độ trắc địa đạo ham của hệ số liên thông sẽ khác không mặc

dù bain thân hệ số liên thông bằng không

Bâyy giờ ta thực hiện phép thay đổi sau:

i, og = + (4)

OV ::biến phân của hệ số liên thông.Ta cũng chứng minh được bản thân hệ số liên

thông không phải là tenxơ nhưng biến phân của nó là tenxơ

Từ s¿ự thay đổi này dẫn đến sự thay đổi của tenxơ Riemann:

Ra > Ra = Roca + OR yea (5)

ôR¿.„(P) = O(O Th, -— 6,0) =O (Tf) - 8, (Tf) (6)

Mặt khác VX" =0.X° +TfX° =8.X°

Nên tthay vào(6);

ORS g(P)=V (Of) -V Te) (7)

Do AY la tenxơ nên V (dT) cũng là tenxơ

trang 20

=phtương trình (7) là phương trình tenxơ Phương trình tenxd này đúng trong hệ tou

đồ trdic địa nhưng cũng đúng trong hệ toa độ bất kỳ Ta có thể tổng quát hóa;

Nhân: 2 vế của (8) với ở,” hay nói cách khác cho ở = €

hư = Ẩhụ

OR, =V„(ðf)— V„(ð17,Ì (0ì

(8) var (9) có tên là phương trình Palatini.

§3 HAM TÁC DỤNG CUA PHƯƠNG TRINH HAP DAN

Ta nhớ lại thuyết tương đối hẹp:

Từ ý tưởng trên ta sẽ xây dựng hàm tác dung cho trường hấp dẫn

I.Do Jphân bố vật chất quyết định tính chất hình học của không - thời gian mà tínhchất hình học của không -thời gian lại được đặc trưng bởi các tenxd metric Ø,„ nên

ta phải: tính đến sự có mặt của các Ø„„.

2.Tenxơ Riemann của ta có chứa đạo hàm riêng 2 lần của metric nên ta hy vọngphươmg trình trường hấp dẫn sẽ có mặt tenxơ /Ê„„ ( phương trình 2 Newton có đạo

hàm haai lần qui đạo theo 0)

3.Hàm Lagrange của ta sẽ phải là vô hướng giống như trong thuyết tương đối hẹp

và troimg điện - từ trường

Ta chọn: 4; = (- gì? R = vô hướng (1)

Ta chon — g vì không ~ thời gian của ta có g âm.

Hàm tác dụng của trường / = Í(-ø)'? RdQ = Í(—g)'”e“”R „đo (2)

2 2

\

Ham 4 =(— g) 1# gọi là ham Einstein Lagrange.

(day không phải là cách chọn duy nhất Eddington chon kiểu khác nhưng

vách c:uia Einstein là đơn giản nhất)

trang 21