Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Phương pháp đại số sử dụng hàm coulomb-green cho bài toán hệ nhiều hạt

Một trong những hướng nghiên cứu của phương pháp đại số nhằm mở rộng ứng dụng của lí thuyết nhiễu loạn là sử dụng hàm Green để giải quyết bài toán hệ nhiều hạt mang điện tương tácCoulomb

1 ——}—l

am Li

LUAN VAN TOT NGHIEP

PHƯƠNG PHAP ĐẠI SỐ SỬ DỤNG

HÀM COULOMB-GREEN CHO

BÀI TOÁN HỆ NHIÊU HAT

Covalent van der Waals radius radius

(0.062 nm) (0.14 nm)

TP HO CHi MINH

5-2004

Luận văn này được hoàn thành với sự

giúp đỡ rất nhiệt tinh của các thay cô trong khoa Vật Lí mà đặc biệt là thầy hướng dẫn

là thầy Nguyễn Khắc Nhạp và thầy Lê

Văn Hoàng cùng giáo viên phản biện là

thầy Đỗ Xuân Hội Luận văn này trình bày

một vấn đề mới mà khi bắt tay vào thực

hiện bản thân sinh viên chúng em mới

nhận thức được mình đã quên và còn thiếu

rất nhiều kiến thức Chính vì vậy mà trong

quá trình làm em đã gặp khá nhiều khó

khăn mà nếu không có sự nhiệt tình chỉ

dẫn của các thầy thì em đã không thể hoàn

thành đúng thời gian được Một lần nửa

em xin gởi đến các thầy lời cám ơn chân

thành nhất.

Đồng thời qua đây em cũng xin cám

ơn ban chủ nhiệm khoa Vật Lí đã luôn

quan tâm và tạo nhiều điều kiện thuận lợi

cho sinh viên chúng em hoàn thành luận

văn đúng kế hoạch.

MỤC LỤC

CHƯƠNGI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHAP HAM GREEN

TRONG LÍ THUYET NHIÊU LOAN

I-Tổng quan về phương pháp hàm Green

1) Phương pháp hàm Green giải phương trình ví phân

Không thuần NIiẾN:¿¿2:222214:266220022202660220222001261102ý0ndsaa-vi9

2) Ví dụ minh họa - «c1 HH HH HH tk 1159990996 10

II- Ứng dụng phương pháp hàm Green cho phương trình

Schrodinger

1) Biểu điễn hàm Green qua hệ các hàm riêng và

trị riêng của toán từ ese°sses 686666609046906666060066606086969609669 12

2) Đưa phương trình đạo hàm riêng về phương trình

tích DHÊ GsssssseooteooooooooooosotooooooeoCeoboobeboo6096600006096990900600096690%96020090069 Â 5

111 -Áp dụng phương pháp ham Green trong lí thuyết nhiễu

B00 Souessceseeonneeeeseoeeoeooooooooaseepoenoeoopoooetopooe voso0a6060026000009090925000 00099096 TP

CHUONG II MOI QUAN HỆ GIỮA HAM

COULOMB-GREEN VA HAM COULOMB-GREEN CUA

DAO DONG TU DIEU HOA

1) Mỗi quan hệ giữa hàm Coulomb-Green và hàm Green

của đao động tử điều hòa - « s-ce 4x e2 21

II) Phụ lục —m5".' 24

CHƯƠNGHII BIỂU DIEN ĐẠI SỐ TOÁN TỪ GREEN

CHO BÀI TOÁN COULOMB

I) Phương pháp đại số trên cơ sở biểu diễn các toán tử

BI We (036ã6007464000114(16760021016252620036926ãsgxv255Ssssy4ô3se2ss8% 30

Il ) Biểu diễn đại số của toán tử Green cho bài toán Coulomb 33

II) PB N¿tesesseeeovyeeseeeoveooeeoeeeeeoeeeoeooeoseoeoooceoeoeosoeeoeocre 35

CHƯƠNG IV TOAN TU COULOMB-GREEN CHO

BAI TOAN HE NHIEU HAT

1) Biểu diễn đại số toán tử Coulomb-Green cho bài toán

Bộ nh Nea uoyuïyc0a0406rt142021640)616146411021610106t08d6in06sa 51

II ) Bài toán tính bổ chính năng lượng và hàm sóng của

phân tử Hyđrô Ă Ăn eexx É6e6Ð6bese*s©eedese 55

Phy lục

SN NI GÀ ceseeeeesbeeeesees) 626664 teibsbpaninss bhoeasaniehiecenn sel 63

~Đưa hệ toán tử về dạng “normal” - ác c1 Y11 1 s6 67

~George Green nhà vật lí học, toán học «.-.-< «<< <579

NINH: oassc cass vicknasents acces a tiaineaas Nida caneweiieeasecss iamadeets 83

TAR LARD TEARS RAO ses coseess vasvosnescsnsccssavensevsctinsnoscon 84

Phasing phapy đc số sÈ dang him Coulomb-Green che bai loin he nhiéu hat

> A

Mo dau

Ngày nay, khoa học kĩ thuật ngày càng phát triển mạnh mẽ, các thí

nghiệm kiểm chứng lí thuyết cho những kết quả rất chính xác trong

nhiều vấn để mới trong vật lí như điện tử chuyển động trong từ

trường có one bất kỳ, quá trình ion hoá phân tử, hay ngay cả các

bài toán cỗ điển như bài toán hệ nhiều hạt mang điện tương tác

Coulomb với nhau Các bài toán này đã được xem xét bằng nhiềuphương pháp ( phương pháp biến phân, phép biến đổi Laplace ) và

được đăng trên nhiều công trình nghiên cứu khoa học Tuy vậy các bài

toán này có đặc điểm chung là chứa đựng một số lượng các phép tính

phức tạp đổ sô nên các kết quả tính toán chỉ dừng lại gần đúng ở cácbậc thấp Trong khi đó nhu cầu kiểm chứng độ chính xác các hing số

cơ bản, các hiệu ứng trong vật lí nguyên tử ngày càng cao, Chính vi

vậy mà việc xem xét lại các bài toán này bằng nhiều nhiều phương pháp

khác nhằm đơn giản hóa các tính toán và cho kết quả chính xác hơn vẫn

dang là van dé được nhiều người quan tâm.

Trong những năm gần đây, computer đã trở thành một công cụ hỗ

trợ đắc lực cho việc nghiên cứu khoa học bởi khả năng xử lí ¡ lượng

tính toán khổng lỗ trong thời gian ngắn Vì vậy mà ngày càng có nhiềuphương pháp sử dụng computer trong các tính toán nhằm thu được

những kết quả ngày càng chính xác Tuy vậy khi sử dụng computer để

tính toán thì việc đầu tiên chúng ta phải làm là đơn giản hóa các tỉnh

toán tích phân, vi phân của toán tử bằng các tính toán đại số đơn giản

hơn và có khả năng lập trình trên máy tính được băng các ngôn ngữ

Matlab, Matle, Mathematica Chính vì vậy mà phương pháp đại số giải

các bài toán trong cơ học lượng tử và vật lí nguyên tử đã và đang được

rất nhiều nhóm nghiên cứu trên thế giới quan tâm phát trién.( xem [1],

[3], [4], [6] [8], [9], [10], [11], [12], [13], [18] và trích dẫn trong các

công trình này).

Một trong những hướng nghiên cứu của phương pháp đại số nhằm

mở rộng ứng dụng của lí thuyết nhiễu loạn là sử dụng hàm Green để giải quyết bài toán hệ nhiều hạt mang điện tương tácCoulomb với nhau Thật ra đây không phải là van dé mới, ngay từ

Coulomb-những năm 1982 đã có nhiều công trình khoa học về ứng dụng hàm

Coulomb-Green (xem [13] và các trích dẫn ) Tuy vậy phạm vi ứng

dụng của phương pháp này là chưa nhiều do những khó khăn về mặt

toán học phát sinh trong quá trình tính toán Những khó khăn chủ yếu là

các phép tính liên quan đến các thành phần ma trận phức trong sự tác

động lẫn nhau giữa các toán tử Chính điều này đã dẫn đến hang loạtchuối tính toán trong trường hợp phô gián đoạn và những tích phan

phức trong trường hợp phé liên tục

Từ đây đòi hỏi phải có nhiều phương pháp khác để đơn giản quá

trình tính toán và một trong những phương pháp được đưa ra là sử dụng

hàm Coulomb-Green cho hệ nhiều hat (xem [18] và các trích dẫn ) Tuy

vậy theo các công trình nghiên cứu trên thì một khó khăn nữa xuất hiện

là một khối lượng tính toán khổng lồ của những tích phân đa chiều của

các ham đặc biệt Sau đó một vải công trinh khác sử dụng phép khai

triển hàm Sturmian hay phép biến đổi Laplace để đơn giản tính toánnhưng cũng không đáng kẻ

Một trong những trường phái nghiên cứu và phát triển phương

pháp đại số là nhóm làm việc của giáo sư L.I Komarov ở đại họctông hợp Belarus Mục đích chính làm việc của nhóm phát triển

phương pháp đại số theo hướng vận dụng phương pháp toán tử vào

việc giải quyết các bài toán vật lý nguyên tử Sự thành công và tính

tiện ích của phương pháp này thể hiện qua cách giải quyết các vẫn đề

về vật lí nguyên tử (xem [8], [9], [10], [11], [12] và trích dẫn trong

các công trình này )

Một số nhóm nghiên cứu lớn trên thế giới như nhóm nghiên cứu

của giáo sư Alfred Maquet, Valérie Véniard, Tudor A Marian ở Đại học Pierre et Marie Curie ( Pháp) và Dai học Bucharest ( Rumania)

cũng đã sử dụng nhiều kết quả nghiên cứu ve t0ïnE pháp đại số của

các thành viên trong nhóm của giáo sư L.I Komarov ( xem [1] )

Năm 1989, dựa trên phép chuyển đổi từ không gian hai chiéu phức

sang không gian ba chiểu thực do Kuataanheimo-Stiefel xây dựng

mang tên phép biến đổi Kuataanheimo -Stiefel (KS.), đã có rat nhiềucông trình xây dựng và phát triển mối liên hệ giữa hàm Coulomb-Green

va ham Green cho đao động tử 2 chiều trong không gian phức Một

trong số đó đã xây dựng và phát triển cho trường hợp tổng quát như sau:

( xem chỉ tiết [12] )

Phutony fips dai sat dung ham Coalemb-Green che bai loin hi nbiéu hal

Tir phép bién đổi Kuataanheimo-Stiefel từ không gian bình thường

sang không gian phức 4 chiều được viết như sau:

=F (Oy) se Si

d=argé, (0<đ<2z)

Trong đó Ø; (A= 1, 2, 3) là các ma trận Pauli.

Ta định nghĩa các toán tử sinh hủy như sau:

< L2) 1 @

a+ |Ø[ er _ 1 9_ a 2 Se 9

as -($« Le) b, 1C 1s]

Trong đỏ [4,47 ]=5, [6,6° |=,

Theo cách này các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý đều có

thể biểu dién qua các toán tử sinh huỷ trên, nhờ đó mà các tính toán yếu

tố ma trận giữa các trạng thái nguyên tử Hydrô có thé dé dàng chuyển

về các phép biến đổi đại số dựa vào các giao hoán tử của các toán tử

sinh huỷ Mà ta đã biết bài toán dao dộng tử điều hòa có thể giải bằng

phương pháp toán tử sinh hủy của Dirac Từ đây mở ra phương pháp

giải bài toán tương tác Coulomb cho hệ nhiều hạt bằng biểu diễn thông

qua các toán tử sinh huỷ.

Mà trước hết muốn biểu diễn toán tử hàm Coulomb-Green qua các

toán tử sinh huỷ, ta phải tìm được mối liên hệ giữa ham Coulomb —

Green với hàm Green của dao động tử điều hòa Mối liên hệ này được

nghiên cứu trong các công trình của nhóm vật lý giáo sư Barut A O, các

bài giảng của giáo sư Kleinert Sau khi có mối liên hệ nay ta hoàn toàn

"' đại số hóa “ được toán tứ Coulomb- Green cho bai toán một hạt

Tuy vậy từ đây một van dé nữa xuất hiện là làm sao biểu diễn toán

tử Coulomb-Green cho hệ nhiều hạt thông qua toán tử Coulomb-Green

cho một hạt ?

Phutiny hip dai số su dung ham Coulemb-Green che bat loin Áệ nbiéu hal

Đây là van đề nghiên cứu của luận văn này Vi nếu biểu điễn được toán

tử Coulomb-Green cho hệ nhiễu hạt thông qua các toán tử sinh hủy thì

ta có thể giải bài toán hệ nhiều hạt hoàn toàn bằng phương pháp đại sốthuần túy Trong luận văn này, tác giả tiếp cận phương pháp này như

một công cụ mới và mục tiêu cụ thể là :

-Tìm hiểu cơ sở của phương pháp hàm Green, ứng dụng của

phương pháp này trong phương trình Schrodinger và trong lí

thuyết nhiễu loạn

-Xác định mỗi liên hệ giữa hàm Coulomb -Green với hàm Green

của dao động tử điều hòa Trên cơ sở đó phát triển mối liên hệgiữa ham Coulomb-Green của hệ nhiều hạt với hàm Coulomb-

Green của từng hạt riêng lẻ Đây là mục đích chính của luận văn.

-Để minh họa cho phương pháp này trong phan ứng dụng của luận

văn, chúng ta xem xét giải quyết bài toán tính bổ chính hàm sóng

và năng lượng của phân tử Hydro ở trạng thái cơ bản Day Ia bài

toán được rất nhiều người quan tâm và có nhiều công trình đăng

trên các tạp chí khoa học the giới (xem [2], [3], [6] ) Do vậy, việc

tính toán lại bài toán này ngoải dé minh họa cho phương pháp còn

dé cho thấy khả năng ứng dụng và phát triển mạnh mẽ của phươngpháp

- Bên cạnh đó hoàn thiện kĩ năng tính toán đại số với các toán tử

sinh hủy.

Trên cơ sở này, luận văn trình bày những van dé sau:

Chương I Áp dụng phương pháp hàm Green trong lí thuyết nhiễu

loạn

Trong chương này chúng ta làm quen với phương pháp hàm Green giải

phương trình vi phân không thuần nhất và những ứng dụng của phương

pháp này trong lí thuyết nhiễu loạn Chương này có 3 phần chính sau:

I Tổng quát về phương pháp hàm Green

II Áp dụng phương pháp hàm Green cho phương trình Schrodinger

II Áp dụng phương pháp ham Green trong lí thuyết nhiễu loạn

Chương II Mối quan hệ giữa hàm Coulomb-Green và ham Green

: của dao động tử điều hòaNội dung chính của chương này là sử dụng phép biến đổi

Kuataanheimo-Stiefel từ không gian bình thường sang không gian phức

4 chiều để tìm mối liện hệ giữa hàm Coulomb-Green và hàm Green của

dao động tử điều hòa theo công thức:

as

KŒ,fE)=s foo U{(F,?',ð~#:Z)

LJ

Trong đó K(7,7';E) là hàm Coulomb-Green và /(F,ø,7',#;Z) là dao

động tử điều hòa 2 chiều trong không gian phức

Chương HI Biểu diễn đại số toán tử Green cho bài toán tương tác

Coulomb

Nội dung chỉnh của chương này là tìm hiểu phương pháp đại số trên cơ

sở biểu diễn các toán tử sinh hủy sau đó chúng ta biêu dién đại số toán

tử Coulomb-Green thông qua hệ các toán tử sinh hủy này.

Khi giải phương trình đạo hàm riêng có dạng

(A-E) ự()=-Pw()

Ta đưa vẻ hình thức luận toán tử nghịch đảo:

w(7)=~=(H(f)=E)`Vw(F)

Dựa trên công thức xác định toán tử nghịch đảo của toán tử A như sau :

A“ =-i lim fa c-£t+IẤt

.c.“¿S°

Cuối cùng ta biểu điển đại số toán tử Coulomb-Green thông qua hệ các

toán tử sinh hủy theo công thức:

ÈŒ.E)=-¡ lìm + nường i Âm

U

co

Chương IV: Toán tử Coulomb-Green cho bài toán hệ nhiều hạt

Nội dung chính của chương nảy là giải quyết vấn đẻ làm sao biểu

diễn toán tử Coulomb-Green của hệ nhiều hạt thông qua toán tử

Coulomb-Green của một hạt vi trong chương III ta chỉ mới “ Dai sé

hóa” toán tử Coulomb-Green cho một hat.

Với việc sử dung công thức tích phân Fu-ri-ê: ổ(s —2) = = 2%

E> oA, ie+ H, -E, +a,

Trong đó (A, -£,+a,)'=K(% 3£,-@,) là toán tử Coulomb-Green

cho một electron có bán kính 7 Nhu vậy ta đã biểu diễn được toán tử

Coulomb-Green cho hệ nhiều hạt thông qua tích của từng toán tử

Coulomb-Green cho từng hạt.

Sau đó xét 1 ứng dụng của phương pháp là bài toán tìm bé chính năng

lượng và hàm sóng của phan tử Hydro.

Trong luận văn có những phan tính toán đại số tương đối dai, để

không làm ngất quãng quá trình tư duy của người đọc, tác giả đã để

những tính toán đó trong phụ lục Hơn nữa, để tiết kiệm công sức và

bảo đảm tính chính xác trong các phép toán có trong luận văn, đôi

khi tác giả cũng sử dụng ngôn ngữ tin học để vận dụng giải quyết các

vấn để vé toán học Ngôn ngữ tin học đó là ngôn ngữ lập trình

Mathematica 5.0 Đây là phần mềm ứng dụng rất tiện ích và đang

được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khoa học nói chung và vật lý

học nói riêng rất rộng rãi Cũng nhằm để người đọc có thể kiểm tra các

kết quả tính toán, tác giả cũng trình bảy rõ rang từng câu lệnh và kết quả

thu được của từng quá trình.

Như đã trình bày ở trên, phương pháp này còn nhiều hướng phát triển khác Tuy vậy trong khuôn cho phép của một luận văn tốt

nghiệp tác giả chỉ xin được trình bày phương pháp trên ở mức độ bắt đầu

tìm hiểu và mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của người đọc

dai số xé dung ham Coulomb-Green cho bai loin hé nhitu hel

CHUONG |

AP DUNG PHUONG PHAP HAM GREEN

TRONG Li THUYET NHIEU LOAN

I-TONG QUAT VE PHUONG PHAP HAM GREEN

Phương pháp ham Green được ứng dụng rộng rãi đểgiải các phương trình vi phân không thuần nhất

Phương trình thuần nhất là phương trình mà nếu có

nghiệm riêng f thì với mọi hằng số C ta luôn có C.f cũng

là nghiệm riêng, ngược lại là phương trình không thuầnnhất Đặc điểm của phương pháp này là đưa phương

trình đạo hàm riêng về phương trình tích phân hay nói

cách khác ta không giải trực tiếp mà tìm nghiệm của

phương trình khác tương ứng rồi biểu dién nghiệm cần

tìm thông qua nghiệm đó.

1- Phương pháp hàm Green giải phương trình vi phân

không thuần nhất

Xét phương trình vi phân có dang:

Êu(r)=f(r) (1)

trong đó L là toán tử vi phân

Ta đưa ra hàm Green : G(r -r) là nghiệm của phương trình sau:

[Gự -?) = ðŒ -?) (2)

Ta dé dàng chứng minh nghiệm của phương trình (1) biểu thị qua

ham Green G(r -r) theo công thức sau :

u(t) = ÍG( -r) f(t)dr (3)

Thật vậy :

Cherny 1: hp dụng pheting phip ham Greon tong Ut thuyél nhidu logn

9

#uij« fi Gớ -Ð) f() a? = Ƒ¿ -Ð £9) d? =f@)

Tuy vậy ham G(r -r) được tim ở (2) cũng phải thỏa mãn | số điều kiện

nao đĩ vì hàm cẩn tìm u(r) phải thỏa mãn phương trình (1)

Vi vậy trong | số trường hợp người ta loại việc tìm điều kiện cho ham

G(F -r ) bảng cách giải phương trình thuần nhất trước: Zu (r) = 0

Gia sử nghiệm của phương trình thuần nhất nay cĩ dạng : 1 (r)

Sau đĩ áp dụng định lí nghiệm tổng quát của phương trình khơng thuần nhất; nghiệm tổng quát của phương trình khơng thuần nhất = nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất + nghiệm riêng Ta thu được dạng

nghiệm sau :

w@) = uy (+ [oe (dP

Theo cách này ta thấy ham Green : G(r -r) chi cần điều kiện biên là

GŒ -r) = 0 trên biên

Sau đây ta xét vai ví dụ minh họa áp dụng phương pháp nay để giải các

phương trình vi phân khơng thuần nhất :

2-Vi dụ minh họa

Xét phương trình Poisson.

AøfŒ) = -4xp(r)

Trong trường hợp này : Ì=A= + x tất

Vậy hàm Green trong trường hợp này được xác định từ phương trình sau:

nên ta có ngay dang cơ bản của ham Green : G(r -?) = E3

A: là hằng số, viêc còn lại là đi tìm A để G(r -f) thỏa mãn phương trình :

Dé cho đơn giản ta chọn gốc tọa độ tại vector’

Ta có: div grad = A => A [ei =|pajw ¬

Bên cạnh đó ta có : ƒ=lra|e - đan tas

Nghiệm của phương trình Poisson có dạng:

Churmy 1: Ap dang pluamg prhip ham Groon trong Ui thuyél nhibu đạn

il

= ts = 3 pr’) =

Kết luận: trong phan | nay chúng ta làm quen với một phương pháp mới

để giải các phương trình vi phân không thuần nhất : phương pháp hàm

Green Như đã trình bay ở trên va nhất là thông qua các ví dụ minh họa ta

thay rõ ưu điểm của phương pháp nảy 1a không giải trực tiếp các phuong trình vi phân phức tạp mà ta giải các phương trình tích phân tương ứng rồi

biểu diễn nghiệm cần tìm thông qua nghiệm của các phương trình tích phân

dé giải hon.Trong phân tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu cách ứng dụng của

phương pháp hàm Green cho phương trình Schrodinger.

H- UNG DỤNG PHƯƠNG PHAP HAM GREEN CHO

PHUONG TRINH SCHRODINGER

Phương trình Schrodinger là phương trình rất quen

thuộc và được dùng thường xuyên trong cơ học lượng

tử Đôi khi việc giải phương trình này gặp nhiều khó

khăn trong các bài toán cụ thể ( trong cơ học lượng tử

ta đã biết chỉ có thể giải chính xác bài toán dao động tử

điều hòa và nguyên tử Hydrô mà thôi ) trong khi

phương pháp hàm Green có thể tính toán gián tiếp nênđược ứng dụng rất rộng rãi trong nhiều bài toán cụ

thể.Trong phần này ta cùng xem cách ứng dụng của

phương pháp này vào phương trình Schrodinger.

1-Biểu diễn hàm Green qua hệ các hàm riêng và trị riêng

fir) là hàm số cho trước.

Phương trình (1.1) không phải là phương trình thuần nhất vì vế phải của

nó không chứa ham số can tìm u(r).

Ta sẽ tìm nghiệm phương trình này trong miễn không gian Q tho’ mãn

Chuamg 1: Ap dung plang phap him Groen hong lt thuyét nhidu logn

12

Phung phrifp dat số ub dang him Coulomb-Green cho baé loin hé nhieu hel

các điểu kiện biên cho trước,ví dụ diéu kiện u(r) = 0 như trong li thuyết

kim loại hay xét điều kiện biên tuần hoàn.

Trước hết với cùng điều kiện biên như phương trình (1.1) ta giải phương

trinh vi phân thuần nhất sau:

(Ê-3)u(r)=0 (1.2)

ta kí hiệu ,, là nghiệm riêng và A, trị riêng của phương trình (1.2) nghĩa

là:

(-3„)W,()=0 (1.3)

Dé đơn giản ta xét trường hợp khi các trị riêng A, chỉ nhận các gid trị

gián đoạn Lúc đó tập hợp các hàm riêng ,(r) tạo thành 1 hệ day đủ và ta

có thé phân tích các hàm u(r) và f(r) như sau:

u(r)= >a, ¥, (r) (1.4a)

Lúc nay ta nhân hai về phương trình (1.4b) cho ‘P".(r) và áp dụng

điều kiện trực giao, chuẩn hóa thì được:

b= ÍY:(0 f(r) dr (1.7)

Cheamy 1: Ap dung plang phip ham Green hong li thuyét nhida logn

13

thay gid trị b, vừa cỏ vào (1.6) rồi thay tiếp vào (1.4a) ta có:

` Jr:@toa ¬ suy Ý ——— foes 1)fŒ)d (1.8)

trong đó: 2 —

GEr.F; y= 2) “6h (19)

được gọi là hàm Green cho bài toán đang xét

Chú ý

Khi 4 bằng một trong những trị riêng của toán tử Ê ví dụ A =%„ Khi

đó từ phương trình (1.5) ta suy ra b„ phải bang 0

b„= ae ƒŒ)đr =0

Nếu điều kiện này thỏa mãn thi phương trình (1.1) có nghiệm (1.8)

nhưng trong tong theo n không có giá trị n = m Và khi đó trong định nghĩa

hàm Green ở (1.9) tổng theo n không có giá trị n = m.

Bây giờ ta tìm phương trình dé xác định hàm Green.

Xét phương trinh(1.1) với trường hợp riêng:

Trong đó G(r,r:)) có cùng điều kiện biên như u(r)

Như vậy, với việc đưa ra định nghĩa hàm Green thay vì giải phương

trình (1.1) chúng ta có thể giải phương trình (1.10) có cùng dạng như (1.1)

Chung 1: hp dang pling phip ham Green hong Ut thuyét nhida loan

14

2uahug php dai số ut dang him Coulomb-Green cho bai loin he nÁdẩ¿ hel

nhưng có cau trúc đơn giản hơn.Sau đó thé ham Green thu được vào phương

trình (1.8) ta thu được nghiệm cho phương trình (1.1)

2- Đưa phương trình đạo hàm riêng về phương trình tích

phân

a) Ứng dụng cho phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian

Xét phương trình Sehrodinger phụ thuộc thời gian có đạng tổng quát:

Phương trình hàm Green tương ứng là :

[ing - fi) Gre’) = ðŒ =r”)ð(t~=£)

Vậy nghiệm của phương trình (1.12) có dạng :

w(Œ,9= |GữŒ,Pt+) Vữ)Vvự*Ð dr'dt’

b) Ứng dụng cho phương trình Schrodinger dừng

Phương trình Schrodinger ở trạng thái dừng có dạng tổng quát:

(-e)W„()=0 (1.13)

A

Trong đó: H là toán tử Hamilton 7 =/?„ + V(7,0)

€ là trị riêng của toán tử Hamilton

\W„(r) là hàm riêng tương ứng trị riêng £

Như vậy phương trình (1.13) có thể viết lại như sau:

(—e)W„)=-P#„Œ) (1.14)

Cheamg 1: tp dụng pluany phapp ham Green trong lt thayél nhide loan

1§

Sử dụng phương pháp hàm Green như trên với f(r)= -P V(r) ta thu

Ở đây chú ý là là phương trình tích phân (1.14) chỉ đưa ra các nghiệm

đặc biệt của phương trình (1.13) mà thôi Để xây dựng nghiệm tổng quát của

(1,13) ta phải cộng thêm vào nghiệm ở (1.14) một nghiệm bat kì của phương

trình (1.17):

W(7)=@,()+ [e@z:2 V(r w(¬) dr’ (1.19)

Ví dụ minh họa

Hàm Green cho hạt chuyển động tự do

Hàm Green cho hạt chuyển động tự do được xác định bởi phương trình:

(V? +#`)GỨữ,r)= 5(r-r)

Ma ta có công thức:

8ữ~72 = JW) dg

Ta tiến hành đổi biến : x = lr-rÌ và lẫy tích phân theo các biến góc, ham

Green có thể đưa về dạng sau:

Chermg 1: dp dang Ác ng phip ham Greon trong Ui thuyll nhibu loan

16

1 fgeTM is

4x*ix Pag 4 K3

Sử dụng định li vẻ thặng dư đẻ tính tích phân này.

Ta nhắc lại định li cơ bản về thang dự: cho hàm f(z) giái tích trong miễn

K trừ ra hữu hạn các điểm : z,,z; z„ # K Khi đỏ với mọi chu tuyến

y trong K sao cho 2,,2) 2, €K, ta có:

G(x) =

[ronan = 2ni) re[/Œ).z,

Đề thu được nghiệm ham Green tương ứng với các sóng đi ra khỏi tâm

ta cần phải chọn đường lấy tích phân như hình vẽ :

k

Khi đó tích phân (**) bằng thặng dư của biểu thức dưới dấu tích phân

nhân với 2zi tại điểm cực duy nhất q = k nằm trong đường cong lấy tích

phân

Như vậy chúng ta tìm được :

củx

G,,,(x) = a

Bây giờ dé thu được nghiệm hàm Green tương ứng với các sóng hội ty,

ta tiến hành lấy tích phân (**) theo hình vẽ:

dai sế ue ham €oulomb-Gieen cho bit (ám đệ nhiéa hal

Khi đỏ tích phân (**) bảng thing dư của biểu thức dưới dau tích phân

nhân với 2, tại điểm cực duy nhất q = - k nằm trong đường cong lấy tích

sóng đi ra khỏi tâm G,,,(x) = a và sóng hội tụ G,_,(x) = a

Trong phan tiếp theo chúng ta sẽ tim hiểu cách áp dụng phương pháp

hàm Green trong lí thuyết nhiễu loạn.

IH- AP DỤNG PHƯƠNG PHAP HAM GREEN TRONG

LÍ THUYET NHIEU LOAN

Có thể nói phương pháp lí thuyết nhiễu loạn là một

trong những phương pháp tính gần đúng hữu hiệu

và được áp dụng rộng rãi để giải các bài toán cơ

học lượng tử Trong chương này ta sẽ nghiên cứu

phương pháp tính gần đúng các trị riêng và hàmriêng của toán tử bằng phương pháp lí thuyết nhiễuloạn sau khi sử dụng hàm Green để đưa các phươngtrình đạo hàm riêng về phương trình tích phân

Xét phương trình Schrodinger tổng quát có dạng:

(?-e)„ứ)=0 (3.1)

A

Trong đó: H là toán tử Hamilton

€ là trị riêng của toán tử Hamilton

\W_ (r) là hàm riêng tương ứng trị riêng £ với toán tử Hamilton # =H, + V(7,).

Ta có thể viết lại (3.1) như sau:

(#-e)#„()=-fW„() (3.2)

Cherny 1: Ap dang pheang phip ham Green trong lé theyél nhibu loan

18

Phang ÁÁ4 đạc số sit dang ham Coulomb-Green che bai loin hé nÁdẩu hal

Sử dụng phương pháp hàm Green giải phương trình (3.2) với

fŒ)= -V ¥,,(r) ta thu được:

(r)=ø,(r)+ [ore /(r)WwŒ dr’ (3.3)

trong đó 9,(F) là nghiệm của phương trình: (H, —£)¢,(7)=0

Ta giải phương trình (3.3) bằng phương pháp lí thuyết nhiễu loạn, ta đặt:

P(r) = P(r) + BHO (1) + BYP) + + BPO (DH (3.4)

e=e" + Bel + Pe” + + Bre + (3.5)

Với /Ø là hệ số đưa vào để phân biệt bậc lớn nhỏ của các bố chính.

Khi đó ta cần thay thế Ÿ (7)-»› ØŸW(P) rồi khi nhận được kết quả cuối cùng

so sánh các hệ số cùng số hang /* ta thu được nghiệm gần đúng tương ứng

Ở gần đúng bậc không ta có thé bỏ qua thành phan tích phân va thu được:

¥(@)= [owe £) VP) YR dP = | | G1) VE) G(„£;e)ŸŒ)ø,Œ)ár dy

tương tự như vậy ta có thể tính tiếp

Bồ chính bậc s của ham sóng như sau:

y(r) = }- [owen Ÿ() G(,r,;e)Ÿ(,) G(E „„ Ge) Ÿ()@ „(K) di, dr; đí,

ta tính bổ chính năng lượng bằng cách thé (3.5) vào phương trình

(H-e)¥_(r)=-P¥,,(7)

ta thu duge phuong trinh sau:

(A, (6 + Bel? + Be + Bre! +} (P(r) + BRO(r)+ }

Như vậy, qua chương I chúng ta đã tim hiểu tổng quát về

p pháp giải phương trình vi phân băng hàm Green Trong

phần tiếp theo của luận văn chúng ta cùng tìm hiểu ứng dụng của

phương pháp này trong việc đại sô hóa các tính toán phức tạp của

các bải toán trong cơ học lượng tử

Chuimg 1: hp dang pluany phip ham Groen trong Ui ÁÁ«ewếf white loan

20

Phating phips digi số su? dung ham€cudomb-Greon che bai tain hi nhidu hal

CHUONG II

VÀ HAM GREEN CUA DAO ĐỘNG TU

DIEU HOA

Dé sử dụng phương pháp đại số cho bai toán tương tácCoulomb của hệ nhiều hạt ta phải trãi qua nhiều giai

đoạn biến đổi để cuối cùng biểu diễn được toán tử

hàm Coulomb dưới dạng các toán tử sinh hủy Dé làm

dyoc điều này trước hết chúng ta phải tìm được mối

liên hệ của hàm Coulomb — Green với hàm Green của dao động tử điều hòa (vì ta đã biết toán tir hàm Green

của đao động tử điều hòa có thể biểu diễn thông qua hệtoán tử sinh hủy) Trong một số công trình nghiên cứu

trước đó của nhóm vật lí đứng đầu là giáo sư Barut,

hay nhóm của giáo sư Kleinert đã xây dựng mối liên

hệ này bằng cách sử dụng tích phân đường Feyman vì

tượng chú ý chính là việc mở rộng các mô hình cho

phép tính chính xác bằng kỷ thuật tính toán củaFeyman Mục đích chính của luận văn là dựa trên mốiliên hệ này để ứng dụng tính tóan trong nguyên tử nêntrước hết ta chứng minh mối liên hệ này

I) Mối quan hệ giữa hàm Coulomb-Green và hàm Green

của dao động tử điều hòa

Chúng ta hãy xét phương trình xác định hàm Green cho dao động tử điều hoà

hai chiều phức với các biến số £,,£/ (s = 1,2):

12

23g, 06; + 201, c -z] U(£,;Z)= =ið(£ =n) ()

Ở đây việc lập lại các chí số là biểu thị lấy tổng theo các chỉ số đó.

21

Phang phi dai sist dang ham Ceutomb-Green che bai loin hé mhiée hal

U(E,n;Z) là hàm Green cho dao động tử điều hoa trong không gian £.

Ký hiệu ham delta ở về phải có nghĩa:

5(E =) = 5(E, =m, )5(E, ~?m)ð(› — 9, ) (Es =)ạ) với£, = Re£,, £, = Imỹ,.

Chuyển từ không gian š về không gian ba chiều thực bằng phép biến đổi

Kustaanheimo-Stiefel như sau:

6 = arg(6,), OS 6 < 2

Với o, (A =1,2.3) là các ma tran Pauli Góc ø cỏ thê xem như là một biến

số thừa, ta đưa vào vì trong không gian phức cé tới 4 biến số mà trong không

gian thực bình thường chỉ có 3 biến số x,.

Như vậy mọi ham sóng trong không gian š phải không phụ thuộc vào ¢,

tức là thoả mãn điều kiện

rte) 9 (3)

Như vậy sau phép biến đổi (2), các ham sóng nao thöa mãn điều kiện

eo sẽ chỉ phụ thuộc vào r ta gọi là hàm sóng "vật lý" Và chúng ta

chi làm việc với các him sóng “ vật li” nay ma thôi.Những ham sóng không

thỏa mãn điều kiên (3) không thuộc phạm vỉ nghiên cứu của mục này

Ta cũng chứng minh được: (xem phụ lục [A-II-2} )

đệ d& dé, dé;=<-ds, dc, de, dể

từ đó suy ra

ð(§—m) ð(f—m) ð(;—m) ð(;-n;)=8r ð(Ƒ-F) ð(6-#) (4)

vớir = J(x,)? +(x;)* +(x;)°„ (F469) là các biến số khi chuyển 7 vẻ không

gian thực qua phép bién đôi (2).

Phương trình ;

Ly 4 Số, z}uemz)- iô(£—n)

qua phép biến đổi (2) với việc sử dụng kết qua (4) có dạng :

Mét quan đệ gúên ham Coulomb-Green wa ham Green của dao động le dibu hea

22

Phung phdp dai số sat dang hamboulemb-Green che bai tein hg nhiéee hat

[A-II-3] cuối chương

Điều đáng chú ý ở (5) chính là toán tử về trái chỉ phụ thuộc vào góc ý

thông qua toán từ = cho nên ham Green U(7,¢,7',g':Z) chỉ phụ thuộc

vào ¢ thông qua đại lượng - ø' Điều này suy ra hàm số được định nghĩa

như sau

ae

KŒ,5E)~s fae U(r.r,ó-#:Z) (6)

0

sẽ không phụ thuộc vào góc ¢.

Với kết quả nảy, tích phân hai về phương trình (5) theo ø” ta thu được

L8 Z a sy p\ area

| 2a, Ì K{F.?';E)=-iôữ -7') (7)

với ký hiệu E=~2.eẺ.

Dễ dàng thấy từ phương trình (7) K(F,7';E) chính là hàm Green cho

bài toán Coulomb trong biểu diễn năng lượng (hàm Coulomb-Green) và như

vậy hệ thức (6) chỉ ra mối quan hệ giữa hàm Coulomb-Green với hàm Green

của dao động tử điều hoa trong không gian hai chiều phức.

Đối với các ham sóng “vat lý" thoà min điều kiện (3) thì dấu tích phân

theo ø“ sẽ không còn tác dụng vì vậy ứng dụng của hệ thức nảy là chúng ta

có thể sử dụng ham Green của dao động tử điều hoa trong các tinh toán liên

quan đến hàm Coulomb-Green

23

Il ) Phụ lục

A-H-I Phép Biến Đổi KS

Phép biến đổi này đã được Kustaanheimo-Stiefel xây dựng nhằm tìm ra mối quan hệ giữa hai bài toán dao động tử diéu hòa bốn chiều thực và bài

toán Kepler trong không gian ba chiều thực Phép biến đổi này cũng rất

hữu dụng khi giải một số bài toán nguyên tử.

Phép biến đổi này được viết như sau

b) Phép biểu diễn £ ,£` theo các biến số xvà g

Từ hai phương trình đầu ta suy ra được

mi Cad 68, (x, + &, Je”

"W rat r "tư Ox, Tư 22 rƒữ+x

4 x; (%, Ở by, Je" vú Sã _ (r+x,)e*

ox, ỘTT r+x,; _2/2 rfir+x,? ox, 2J2rjz+x;

08, (r+x,Xx +ix ye* đặ (r+x Xx,Ở,)e*

A-II-3 Đưa phương trình của dao động tử điều hòa về dạng

phương trình của nguyên tử hydro

Phương trình Schrodinger của dao động tử điểu hoà trong không gian hai

Để chuyển phương trình (1) theo các biến số x, và ằ ta tiến hành chuyển

các đạo hàm riêng theo x, và 2.

.Đ ,S, Đ Đô SN SN

0&, a ax, ôặ, ag ea,

Méi quan đệ gids ham Coulomb-Groen wa ham Green của dao ding ti dibu hea

26

aE" OE, dx, 06 OE, OF Ax, ag

Ta lần lượt đi tính các thaàh phần A, B, C dựa vào phép biến đổi KS.

sử dụng tính chất của ma trận Pauli (0,0,), = 5,,/, +i£„„(Ø,)„

Với Ey,» = 1 nếu À/,y xếp theo thứ tự 1,2,3 hoặc 2,3,1 hoặc 3,1,2

€„„„ = 0 nếu ít nhất hai trong ba số bằng nhau.

€x„„ = -Ì trong các trường hợp còn lại.

Sau đó ta tách Ha ra làm hai phan bằng nhau:

ax, Ôx, 1 dx, Ox, Ox, dx

ax, &,

aa

Từ đây suy ra A= —.n' ——— (3)y suy eZ ae” te oe,

Méi quan Áệ gitta ham Coulomb-Green wa him Green cia dao déng le dit hea

27

Phetrng frhiipp cai số ud dang ham€eulomb-Green che bi loin hi nhiéu hat

Với thành phần B ta nhận thấy do ¢ chi phụ thuộc vào £,.£' nên

~ OE BE, ax, 0G OE, OE Ox, 86 OE BE, ô£, ô£ ax, ôó

Tinh phần trong dấu ngoặc

Ox, OF | Gx, 0ó _ Ox, OF Or, OP _ by “4L

OE OF, Đồ 0g Ob OG 0g, Og | HEM) Fass CV

Pheting pips dạt số set dụng ham Coutomb-Green che bei loin hi whiée hol

4 =x , + :

BAI TOAN TUONG TAC COULOMB

Trong chương II chúng ta đã tìm hiểu mối liên hệ giữa

hàm Coulomb-Green với hàm Green của dao động tử

điều hòa hai chiều phức Mà ta đã biết bài toán dao động

tử có thé sử dụng phương pháp biểu diễn qua các toán tử

sinh hủy Dirac Chính vì vậy trong chương này trứơc hết

chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp đại số trên cơ sở biểudiễn các toán tử sinh hủy sau đó chúng ta biểu diễn đại

số toán tử Green thông qua hệ các toán tử sinh hủy này

1) Phương pháp đại số trên cơ sở biểu dién các toán tử

sinh huỷ

Từ kết quả ở chương 2 sau khi tìm được mối liên hệ giữa hàm Coulomb-Green với hàm Green của dao động tử điều hòa hai chiều phức,

ROS 2 00 le Cece ci Ries Sire on Bae se Ere

có thé chọn từ các hàm sóng của dao động tử điều hoà trong không gian hai

chiéu phức thoả mãn điều kiện (3) Mà ta đã biết với bài toán dao động tử

điều hoà trong không gian thực ta có thé sử dụng biểu diễn qua các toán tử

sinh huỷ Dirac, một cách tương tự như vậy ta định nghĩa các tóan tử sinh

hủy trong bải toán đao động tử hai chiều phức như sau:

Phutny phip dai số sÈ dang him Coatomb-Sreen che bai loin hé nbiéu hal

Các toán tử tương ứng với dai lượng vật lý sau khi chuyển về không gian

š vả qua biểu diễn (8) đều có thé biểu diễn qua hệ các toán tử sau:

Dựa vào (9) có thé chứng minh các hệ thức giao hoán sau: (Xem chi tiết phần

chứng minh trong phụ lục (A-III-4] cuối chương )

[M M*']=N+2,[M , N+2]=2M,[N+2, M*]=2M°

[M , nị + ]=2m, ,[M , nị—n‡ ]=0 [ni+m , M*]=2m; ,[nz—n} , ` ]=0

Pheany phip dại sé ut dung hem Coalomb-Sreen che bai loin hé máđẩu hal

[m, ý M` |=nj +n; ; [w ; m; | = n +n

[mz om, ]= 2£ Hộ, [nim ]=—2¡<„„ mẻ

[ai +», V]=0., [mị —n‡, N =0

Như vậy từ các hệ thức giao hoán trên ta thấy 15 toán định nghĩa ở (10)

tạo thành một đại số kín Điều nảy cho phép chúng ta chuyển các toán tử

dang mũ ví dụ như :

exp it Sp + ivr) = on} -H{(-2 Jo + Mys{ os” v` ls 2Ì

(13)

Vẻ dạng “bình thường” (normal ) như sau: (Chi tiết xem phụ lục {A-IH-3],

[A-III-5] cuối chương )

() «| ul rp ST (@-iv)’ =(@+ iv)’ exp(-vt)2

x exp{ “Lew +2)+(N+ 2a aoa

x na u} (14ií)

(@~ iv}” = (@+ w}ˆ exp(—vf)

Chung 3: Biba dién dai số đám đề Green cho bai đoán Coulomb

32

Phutny hip dai số ut dung him Coatemb-Green che bai loin hi nbiéu hal

II- Biéu diễn đại số của toán tử Green cho bài toán

Coulomb

Khi giải phương trình đạo ham riêng có dạng

(~E) y(Œ)=-wŒ) (14)

Chúng ta có thé đưa vẻ dạng phương trình tích phân bằng phương pháp

hàm Green theo công thức:

yŒ)=- [ervey Vy ("yar (15)

Trong đó K(Z,Z';E) là hàm Green và sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cho chính phương trình nảy để tính toán (xem chương II )

Tuy nhiên trong thực tế tính toán chúng ta có thể sử dụng hình thức luận

của toán tử nghịch đảo như sau Từ phương trình (14) ta có :

w(F)=-(f(F)-E)''ự(f) (16)

Từ 2 phươngtrình (14) và (16) ta nhận thấy mỗi quan hệ sau:

(WŒ)~E)'Py()= [KE FSB) Ủy"

œ(#Œ)-E)'yŒ)= [Kơ.r:Ðvưz' (7)

Ở đây ta đặt toán tử K(F;E)=(A(F)-E)' dyoc gọi là toán tử nghịch

đảo của toán tử: (#(F)~ E) và phương trình (17) có thể biểu diễn đưới dang

Ê(Œ,EjyŒ)= [xŒ.7:Evứ5z'

Đây chính là công thức xác định mối liên hệ giữa hàm Coulomb-Green

K(Ƒ,F';E) và toán tir Coulomb-Green K(7,£)

Ta định nghĩa công thức xác định toán tử nghịch đảo của toán tử A như

A‘ =-i lim fa as

~

£ “%5

Chung 3: Bibu diễn dai oố (án led Green che bai đoán Coulomé

33

Phuang (AM, clad số s4È dang ham €oatomb-Green che bai loin Á@ nhitu hel

Tương tự như trên ta định nghĩa toán tử Coulomb-Green :

#Œ;E)=-¡ lim fa FHKE) ~~ Ep (18)

é-> 0

0

Viin dé còn lại là biễu điển toán tử Coulomb-Green này thông qua hệ các

toán tử sinh hủy đã trình bay ở phan I

Muốn như vậy trước hết ta phải xét mối liên hệ giữa toán từ

Coulomb-Green và toán từ Coulomb-Green của dao động tử điều hòa 2 chiều phức vì ta biết hàm

Green của dao động tử 2 chiều trong không gian phức có thé biéu diễn thông

qua hệ toán tử sinh hủy

Trong chương II ta đã có mỗi liên hệ:

le

K(7,r';E)= š fee U(?,7',.¢-¢5Z)

Sử dụng công thức : K(7,E)w(7)= |KŒ.?,E)wŒ')#'

Ê(,E)yŒ)= | | | | U(§:n:2)v (n)n,i)4nidndn;an; =Ô(#:Z)£,£€'v()

Hay khái quát ta có:

&Œ,E)=0(4.Z)*,£

Chính vì điều nay mà trong phan | ta đã xem xét đưa về dạng toán tử sinh

hủy của toán tử Green cho đao động tử điều hòa bằng cách nhân thêm r:

r(A(F)-E).

Điều này gợi ý cho chúng ta thay vì giải phương trình (14) ta có thể xét

phương trình mới băng cách nhân trên dưới phương trình (16) với r :

w(F)==(r A(F)-Ery' Vy?)

Chung 3: Bibu dién dai vố đám đề Green cho bad đán Coulomb

34

Phung phips dai si ut dang him Coulomb-Green các bai loin đệ nhibe hat

Và như vậy trong tính toán cụ thé sử dung toán tử Coulomb-Green như sau

K(7,E)= -j lim, fa e Sti H(F)- EM (19)

0

Sau khi chuyển qua biểu diễn toán tử sinh huỷ 4,(@),ô} (@), 5,(@), 5 (@)

đồng thời sử dụng các công thức giao hoán tử (12) ta được:

W{F)~ Ey=Lrp*— gr—z | ®_-E af 2.8: i

r(H(F) B)=;rp Er-—Z (3 mi (N+2) ($+) (M+M`)-Z

Trong trường hợp E=.e` toán tử Green sẽ là toán tử trung hoà có dạng

“bình thường” thuận tiện cho việc tác dụng lên các trạng thái.

exp ~i( Lo? tạ | 2 =s|-4|(-e+2) + uy+(os jew + 2Ì)

và như đã trình bày ở phan 1 ta cũng có thé đưa về dạng "bình thường” ( 14i)

và (14ii) thuận tiện cho các tinh toán đại số.

Toán tử (19) với trường hợp riêng (20) hoặc tổng quát hơn với dang thừa

số (14) chính là biểu diễn đại số của toán tử hàm hàm Coulomb-Green qua

ima Ta xét ví dy ứng dụng của toán tử Green này qua chương

Phasing hip dad xố st dang ham Coulemb-Green che bai loin Áệ mbita hat

2 A BC]- =ABC-BCA=ABC-BAC+BAC- 8ÈÂ={ Ã.8 |ê+ Bf AC]

3° B e^=8+|Â BTA (A B))+ ALAA By}.

A-HI-2 Giao hoán tử của các toán tử thông dung

A-III-3 Dang “ bình thường “ ( Normal ) của biểu thức toán tử

Dạng normal của một biểu thức toán tử được định nghĩa là dạng đã

được biến đổi sao cho toán tử hủy luôn vé phía bên phải của biểu thức,

toán tử sinh luôn về phía bên trái của biểu thức.

ae

trai

Mục đích của việc đưa các biểu thức toán tử về dang normal là giúp

cho việc tính toán trong các bài toán chứa nhiều loại toán tử được dễ dàng

hon rất nhiều Vì khi biểu bién tất cả trạng thái qua trang thái cơ bản |0}

Chung 3: ibu dién dad aố loin tie Green che bai đám Coulomb

36

Phung phi dai số sb dang ham CoulembGreon che bai đoán he mÁđễw hal

thì sử dụng tinh chất |0) = 0, chúng ta sẻ biểu diễn tất cả trạng thái còn

lại qua biểu thức chỉ còn một loại toán tử sinh tác dụng vả ngược lại.

Đối với biểu thức gồm các toán tử sinh hủy với số mũ luỹ thừa ta chỉ

cin áp dụng các tính chất của giao hoán tử trên là có thể đưa vé dang

“normal”.

Ví du: Đưa toán tử a? â*” vé dang normal ta thực hiện như sau:

a’ a" =âââ"*â" =ã(â°â+I)â*

=â*ãââ* + 244° = â*â(â*â +l) + 2ââ '

=â*ââ*â+â*â +2ââ" = â*(ã°â+l)â+â”â+ 242”

^s2a a+ an eels mee

=â"ˆâ?+2â*â + 2aa° = a* â? +4â*â+2

Các phép biến đổi trên thường được áp dung khi các biểu thức toán tử có

dạng như các đa thức.

Đối với dạng khác như hàm e mũ thì khi vận dụng phép biến đổi trên

sẽ gặp khó khăn Vì các toán tử sinh hủy trên mũ khi khai triển để đưa về

dang normal sẽ có bậc luỹ thừa rất cao Nên ta phải áp dụng phương pháp

biến đổi khác như dưới đây.

Dang e tt)

Vì ta có hệ thức giao hoán [â,â* ]= l nên từ đây các toán tử â â” và số 1

tạo thành một đại số kín Như vậy ta có thể viết:

e (â* tio, Rat e Bt) h(t) „ F(t)

Đạo hàm hai vế theo biến số t ta có:

(at + ay of + ery at E() + BW) FO At h{)F()

Nhân hai vế cho F(t) với F “le” h() „~ g()â 8ê"

(theo định nghĩa F.F‘=1) Thu gọn các số hạng ta được:

(at ear nats g(0.eÑĐÔ ¿ «~ÑĐ” say (1)

Chang 3: Bibu dién dai số lodn tit Green cho bad đám Coulomb

37

Phuting phiip dc sé sở dung him Coulemb-Green che bai lodn hi nbidu hal

Dựa vào biểu thức ban đầu

o t(â*+â)_„ f()â* „ g(0â HO ~ g (

Ta có điều kiện khi t = 0 thì f(t) = g(t) = h(t) =0.

Suy ra C,=C,=C,=0

a+

-Như vậy dang normal của cwâ *8) là,

e

eta’ +i) =etðet i,7

A-III-4 Bảng giao hoán tử

Ta có định nghĩa các toán tử sau:

N =â*â+Ê*Ä, M =a,b, M* =a! 5Chung 3: Bibu diin dat oố loin đè Green che bai đán Coulomb

38