Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Một vài ứng dụng của lí thuyết nhiễu loạn

Ta đã biết trong cơ học lượng tử hàm sóng không giữ một ý nghĩa vật lí nào, mà chính bình phương modul của nó moi có ý nghĩa, đó là xác suất để hệ ở một trang thái nào đó.. Trong khuôn k

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA VAT LÝ

no)

Dé tac:

MOT VAI UNG DUNG CUA

Li THUYET NHIEU LOAN

Bộ môn : Vật lý lý thuyết

: PGS.TS Nguyễn Khắc Nhạp: Dé Huy Bình

Niên Khoa: 2001 - 2005

LỜI CẢM ƠN

sQhe

Bốn năm học dai học thế là chuẩn bị kết thúc, chúng em s4p được đem kiến thức

mà mình đã được học ở giảng đường đại học để ứng dụng vào thực tiễn Làm sao

chúng em có thể quên được công ơn dạy dỗ của các giảng viên trường ĐHSP

TPHCM mà nhờ đó, chúng em đã dan dẫn hoàn thiện nhiều kĩ năng riêng cho bản

thân Cho em gởi lời cảm ơn đến tất cả quý thầy cô của trường ĐHSP TPHCM và đặc

biệt là các thầy cô trong khoa Vật lí

Để có thể tốt nghiệp khóa học, chúng em phải trải qua thời gian làm và bảo vệluận văn của mình Xin cho em gởi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Nguyễn KhấcNhạp, thầy đã tận tâm hướng dẫn và giúp đỡ em rất nhiều trong suốt quá trình em

làm luận văn.

Em xin gởi lời cảm ơn đến thầy Lê Nam, thầy đã tận tinh day dỗ chúng em trong

quá trình chúng em học môn cơ học lượng tử.

Cuối cùng em xin cảm ơn tất cả quý thấy cô trong khoa Vật lí đã tạo diéu kiện

để em có thể hoàn thành luận văn này

Xin cho em gửi lời chúc sức khỏe đến tất cả quý thầy cô

Sinh viên thực hiện

Đỗ Huy Bình

Luận văn tốt nghiệp Mục lục

MỤC LỤC

Trang

"471 Ắm ÔẴÔỎ 3

CHƯƠNG I: DUI CHUYỂN LƯỢNG TỬ DƯỚI ANH HƯỞNG CUA NHIÍU

BAN: BEN NGO AG cx ananonnnscananctansasemcesiamaaneiicqnmna numa iene 6

A Câc phương phâp gần đúng dĩ giải phương trình Schrodinger 6

I Nghiệm của phương trình Schrodinger trong Íe )} biểu diễn 7

I = Phương phâp gần đúng liín tiếp Seo 9

I Phương phâp gần đúng thế kỉ -2252+2EZ Sex cEzEzZxrerrererervrrreree 15

B Nhiễu loạn hình sin vă nhiễu loạn không đổi Ă - 2 2212257317502 c2 19

L Biểu thức tổng quât của xâc suất đời chuyển 5-5 5<- 19

Il Xâc suất dời chuyển sang phổ liín tục -2- 252 zcscztczeceececce 27

CHUONG II: TƯƠNG TAC CUA NGUYEN TU VỚI SÓNG ĐIỆN TU 32

L Hamilton tương tâc, quy Lấc lọc lựa -.‹ «<< s555sSssss2 32

II Kích thích cộng hưởng So sânh với mẫu electron liín kết đăn hồi cổ điển.47

WIR, SựhâpdN vâĐfCXepHÔ.(ee<eoceeseoiioscooeeani°soe=sses 53

CHUONG III: THOI GIAN SONG CUA CAC TRANG THAI KICH THICH VA

ĐỘ RONG CUA CÂC MUC NANG LUGQING - :ssssssssssesssscsesssssnsneseeseesesecneesenes 56

L Phương trình vi tích phđn tương đương với phương trình Schrodinger 57

IIT, Ý nghĩa của nghiệm ,(t) vă B(G,£) ccsccssesssecssssessssesscnsnsonsssssnsesssssensusnees 67

PHỤ LỤC: TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH THẾ KỈ BẰNG

TA TRE is 71

Kẩi Lindros HH HIẾN che BE 122 cau net rkaooaseonsaesor 80

Tải liệu tham THĐN: keck cu 6<schg06c 2206203 candies esos ances said iia 81

Luận văn tốt nghiệp Mở đầu

MỞ ĐẦU

Khi nghiên cứu thế giới vi mô, cơ học lượng tử phải giải quyết ba bài toán cơ

bản sau đây:

~ Tìm giá trị có thể có của các đại lượng vật lí

~ Tính xác suất để cho một đại lượng vật lí nhận một giá trị nào đó.

— Nghiên cứu sự thay đổi của một đối tượng vi mô theo thời gian.

Trong đó việc tính xác suất để cho một đại lượng vật lí nhận một giá trị nào đó

đóng một vai trò vô cùng quan trọng.

Hiện nay, khi khoa học kỹ thuật phát triển như vũ bão, sự đòi hỏi phải có những

lí thuyết cơ bản dẫn đường là một điều tất yếu Sự phát triển của công nghệ điện tử

dẫn đến sự ra đời của ngành điện tử học lượng tử Ứng dụng của nó vào thực tiễn đã

dẫn đến việc tạo ra các máy quang lượng tử phát ra tia lazer mà có vai trò rất quan

trọng trong khoa học kỹ thuật.

Để có thể tạo ra được các máy phát tia lazer, ta phải nghiên cứu xác suất đờichuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác, bởi vì thực tế sự phát ra tia lazer gắnlién với sự đời chuyển lượng tử Ta đã biết trong cơ học lượng tử hàm sóng không giữ

một ý nghĩa vật lí nào, mà chính bình phương modul của nó moi có ý nghĩa, đó là xác

suất để hệ ở một trang thái nào đó Trong vật lí chất rắn, việc nghiên cứu xác suất

đời chuyển lượng tử cũng có một ý nghĩa hết sức quan trọng (nó được ứng dụng rất

nhiều trong việc nghiên cứu vật liệu bán dẫn) Từ những dẫn chứng trên ta thấy việc

nghiên cứu xác suất dời chuyển giữ một vai trò rất quan trọng Do đó, tìm hiểu xác

suất đời chuyển gây ra bởi một nhiễu loạn thiết nghĩ cũng là một diéu cẩn thiết cho

một luận văn tốt nghiệp Trong khuôn khổ bài luận văn này, tác giả sẽ trình bày

những vấn để chung nhất của lí thuyết nhiễu loạn phụ thuộc thời gian dành cho trạng

thái không suy biến, và một vài áp dụng của nó Nội dung chính của luận văn chia

làm ba chương:

Chương I: đời chuyển lượng tử dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn bên ngoài.

Chương II: tương tác của nguyên tử với sóng điện từ.

Chương III: thời gian sống của các trạng thái kích thích và độ rộng của các

mức năng lượng.

Trong chương I, tác giả chủ yếu trình bày những vấn dé tổng quát nhất của xác suất đời chuyển khi hệ chịu tác động của nhiễu loạn Trong đó, vấn để cẩn lưu ý nhất

3

Luận văn tốt ệp Mở đầu

là xác suất đời chuyển khi hệ chịu tác động của một nhiễu loạn hình sin dạng

SP (a ,,t) == Par EKB.EV |eÏ ‘(=

Trong chương II, tác giả sẽ xét một trường hợp đặc biệt của một nhiễu loạn phụthuộc thời gian #(t)= W sinax , đưa vào một số khái niệm quan trọng như: quy tắc lọc

lựa đối với sự hấp thụ hay phát xạ ánh sáng, sự đời chuyển của các moment lưỡng

cực điện, lưỡng cực từ và tứ cực điện:

Luận văn tốt nghiệp Mở đầu

Trong chương này, tác gid cũng đã tính được xác suất dời chuyển lượng tử đối

với các quá trình hấp thụ và bức xạ khi hệ chịu một kích thích cộng hưởng:

Trong chương III, tác giả mở rộng chương I cho một trường hợp quan trọng là

tìm xác suất đời chuyển từ một trạng thái gián đoạn đến một miễn liên tục các trạng

thái cuối Nội dung quan trọng của chương này là thành lập phương trình vi tích phân:

d s 17 ( + 1(E,~EXt-f hy fe

2r0()=~‡z |4EK)Jas b()

và giải nó để tìm xác suất để cho hệ vẫn còn ở trạng thái ban đầu:

cũng như tìm phương trình mô tả sự lấp đẩy trạng thái cuối |œ) :

trong nội dung của luận văn này, tác giả đã tìm hiểu và bước đầu sử dụng một số

lệnh cơ bản của Mathematica để tìm nghiệm cho phương trình thế ki trong phan phụ

luc Tuy rằng, phần ứng dụng của phan mềm này trong luận văn không nhiều, nhưngthông qua phẩn ứng dụng, tấc giả muốn nhấn mạnh một điểu là sự ứng dụng của

công nghệ thông tin vào vật lí là rất cần thiết

Vấn để lí thuyết mà tác giả khảo sát ở đây rất tổng quát, tác dụng của nó sẽ

được thấy rõ khi xét tương tác cụ thể với các nhiễu loạn cụ thể Một trong những hướng có thể phát triển thêm của để tài đó là ứng dụng lí thuyết thu được để nghiên

cứu về lazer, một trong những nghành mũi nhọn hiện nay của khoa học kỹ thuật.

Luận văn tốt nghiệp Chương I

Chương I:

DOI CHUYỂN LƯỢNG TỬ DƯỚI ANH HUGNG CUA NHIÊU LOAN

BÊN NGOÀI.

A Các phương pháp gần đúng để giải phương trình Schrodinger.

Xét một hệ với Hamiltonian Ho Trị riêng và véctơ riêng của Ho được kí hiệu là: E„ và |,) Ta có:

Để đơn giản ta xét trường hợp Hạ có phổ gián đoạn và không suy biến, kết quảthu được có thể mở rộng ra Giả sử Hạ không phụ thuộc một cách tường minh vào thời

gian Vì vậy trạng thái riêng là trạng thái dừng.

Ở thời điểm t=0 hệ chịu một nhiễu loạn Khi đó Hamiltonian của nó trở thành:

H()=H; + V(t) (-A-2)

Với: V{t)= ÀW(t) (I-A-3)

Trong đó A là một số thực không thứ nguyên, rất nhỏ so với 1, còn W(t) là một đại lượng quan sát được, bằng 0 khi t < 0.

Giả sử ban đầu hệ ở trạng thái dừng |g) là trạng thái riêng của Hạ ứng với trị

riêng E; Bất đầu từ thời điểm t=0, hệ chịu một nhiễu loạn, lúc này trạng thái lø,)không phải là trạng thái riêng của Hamiltonian chứa nhiễu loạn

Bây giờ chúng ta sẽ tính xác suất Pit) tìm thấy hệ ở trong một trạng thái riêng

lp,) nào đó của toán tử Hạ ở thời điểm t Nói một cách khác, chúng ta sẽ nghiên cứu

sự dời chuyển bị gây ra bởi nhiễu loạn V(t) giữa các trạng thái dừng của hệ không bị

nhiễu loạn.

Giữa hai thời điểm 0 và t, hệ đã biến đổi sao cho phù hợp với phương trình

Schrodinger :

Luận văn tốt nghiệ Chương I

¡h “lvt) = [Hạ + AW(:)Ìw(:) (I-A-4)

với điểu kiện ban đầu :

|w(t =0)) =|9,) (I-A-5)

điều kiện này là duy nhất

Bên cạnh đó ta có thể viết xác suất P„{Q như sau :

Py () as (o, Iw()Ï (I-A-6)

Bây giờ vấn dé cẩn giải quyết là tìm nghiệm của phương trình (I-A-4) ứng với

điểu kiện ban đầu (I-A-5) Tuy nhiên, ta không thể giải (I-A-4) một cách chính xác

được, do đó phải sử dụng phương pháp gan đúng Nếu như A đủ nhỏ, ta có thể tìm

nghiệm |ự(¿)) ở dạng chuỗi theo A Vì vậy ta có thể tính được nghiệm bậc một theo A,

và xác suất „4t tương ứng Kết quả thu được có thể được sử dụng để nghiên cứu trường hợp nhiễu loạn là một hàm hình sin hay là một hàm không đổi theo thời gian.

Trong quá trình giải bài toán có hai trường hợp sẽ được xem xét: trường hợp thứ

nhất phổ của Ho là gián đoạn; trường hợp thứ hai mà ta xét đó là trạng thái đầu |ø,)

chuyển đến một miễn liên tục các trạng thái cuối

Ở đây bài toán được đặt ra rất tổng quát Ta có thể xét hệ với một chỉ số chạy tùy

ý và một toán tử nhiễu loạn V(t) là hàm tùy ý theo t diéu này giải thích tại sao ta chỉ

có thể thu được nghiệm gần đúng trong trường hợp tổng quát.

I Nghiệm của phương trình schrodinger trong {9,)} biểu diễn.

Để tìm nghiệm của phương trình Schrodinger (I-A-4) ta biểu diễn {y/(r)) theo

{e,)} cơ sở (vì các hàm sóng |ø,) tạo thành một hệ đủ các hàm, nên bao giờ ta cũng

có thể khai triển |ự(t)) theo |ø,) được).

Gọi c,(t) là các thành phan của ket véctơ |w(:)) trong {ø, )} cơ sở, ta có:

lự(:) = Xe (t}ø,) (I-A-7)

Luận văn tốt nghiệp Chương I

trong đó:

c„(t)= (ø, |w(t)) (I-A-8)

Kí hiệu ,,(r) là phân tử ma trận của toán tử nhiễu loạn W(t) trong cùng một cơ sở

như vậy, ta được:

(9, |W (to, ) = M4 (r) (I-A-9)

và Họ được biểu diễn trong {e.)) bằng một ma trận chéo:

(0, Ho|Ø,) = E„ô„ (I-A-10)

Thế (I-A-7) vào (I-A-4) với chi số chạy là k ta được:

mộ Xe (}ø,)=[n,+Aw()Še.(}ø,)

- nS lla) Se ()+e,() lø | >e,()E,|ø,)+ DAM (ek he.)

Do |g,) không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên:

m3 |ø,)2,e()=3«,()E,|ø,)+ Dawe er)

Nhân vé bên trái hai vế của phương trình trên cho (g,| đổng thời áp dụng

S(ø,|ø,)=ð„ và (-A-9) ta được:

má e()=e,()E, + AS Wm (Ces (-A-11)

Hệ (I-A-l 1) được viết cho các giá trị khác nhau của n, đó là một hệ phương trình viphân tuyến tính cấp một theo t của c„(t), nó cho phép ta xác định các thành phân của

véctơ |w(r)) trong (o )} cơ sở Trong đó các phần tử không chéo của ma trận À#„(:)

liên hệ c„(t) với tất cả các hệ số c„(t) khác.

Luận văn tốt nghiệ Chương I

Khi AW « (¿)= 0, (I-A-1 1) sẽ trở nên rất đơn giản:

in“c,(t)= E,c,(t)

suy ra;

iE /

c,(t)=b,e ^* (I-A-12)

Trong đó b, là một hằng số phụ thuộc vào diéu kiện ban đầu Nếu AW, (:) #0 nhưng

AW,, (t) vẫn rất nhỏ so với Hạ (do A<<1), thì nghiệm của phương trình (1-A-1 1) sẽ rất

giống (1-A-12) Ta có thể tìm nghiệm (1-A-1 1) dưới dang:

«ibs /

c,(t)=5,(t)e 2 (I-A-13)

Trong đó b,(t) là một ham biến đổi rất chậm theo thời gian

Thay (I-A-13) vào (I-A-11) ta được:

=iE„t

¡he ` -b,(t)+ E,b,(t}e ^ =

E.b, (te m ay Pe ‹ W oa (), () (I-A-14)

Nếu nhân hai vế của (I-A-14)với e_^ và đưa vào tin số góc Bohr:

Luận văn tốt nghiệp Chương I

Nghiệm của phương trình (I-A-16) cũng như của (1-A-4) không thé nào giải mộtcách chính xác được Do đó ta sẽ giải nó bằng phương pháp gần đúng liên tiếp bằng

cách sử dụng diéu kiện A<<1 Khai triển b,(t) thành chuỗi theo A ta được:

b, (1) = BL (t)+ Ab (0) + VEO (t+ = Lo," (I-A-17)

Đặt chuỗi này vào (1-A-16) ta được:

Luận văn tốt nghiệp Chương I

Chúng ta thấy rằng với phương trình (I-A-19) và (I-A-20) kết hợp với diéu kiện ban đầu của (1-A-4) ta sẽ thu được nghiệm gần đúng bậc một Thế nghiệm gin đúng

bậc một vào (I-A-21) ta sẽ thu được nghiệm gần đúng bậc hai, làm tương tự như vậy

sẽ xác định được nghiệm gắn đúng bậc r của b,(t)

Ta giả sử rằng lúc t<0 hệ ở trong một trang thái nào đó với véctơ sóng lø,) Khi

đó trong tất cả các hệ số của b,(t) chỉ có hệ số b(t) là khác không (hay nói cáchkhác, b,(t) không phụ thuộc thời gian khi t<0) Bắt đầu từ t=0 hệ chịu tác dung củamột nhiễu loạn AW(r), nếu AW(c) vẫn hữu hạn thì nghiệm của phương trình

Schrodinger phải liên tục tại t=0, tức ta có:

Hay ta có thể viết b,(t=0)=5,, (I-A-23)

Hệ thức (I-A-23) đúng với mọi A Do đó hệ số trong chuỗi (I-A-17) phải thỏa diéu

Như vậy ta đã xác định được nghiệm bậc không của b,(t).

Kết quả (I-A-26) cho phép ta xác định nghiệm gắn đúng bậc một của b„(t) nếu đặt

S(t) vào (I-A-20):

il

Luận văn tốt nghiệp Chương I

b„(f)= ỗ„ + nem W w(t jit’ (1-A-30)

Thế b,(t) vào (I-A-13) ta thu được c,(t):

c()=e Ề +A few W sb (-A-31)

0

Thế c„(t) vào (I-A-7) ta được:

l(t) = ze, + _1 0ý W„(t}# Jo (I-A-32)

cho phép ta xác định trang thái |(r)) của hệ ở thời điểm t, trong gần đúng cấp một

theo A.

12

Luận văn tốt nghiệp Chương |

2 Nghiệm gần đúng bậc r

Bây giờ ta sẽ tìm b,(t) với bậc cao hơn.

Thay (1-A-28) vào (I-A-21) :

nh Slew W ou (hfe W u(t ue (I-A-35)

Thế (I-A-35) vào (I-A-13) ta sẽ thu được c,(t) Khi thay c,(t) vào (I-A-7) ta sẽ thu

được |y(r)) ở thời điểm t trong gắn đúng cấp hai theo A.

Bây giờ, nếu ta thay (I-A-34) vào (I-A-21) ta sẽ thu được nghiệm với độ chính xáccấp ba Cứ tiếp tục như vậy ta sẽ thu được nghiệm gần đúng bậc r theo A Cụ thể:

13

Luận văn tốt nghiệp Chương I

Ta viết lại (I-A-34):

Thế b!(c), bE (e), b/°{:), k(t) vào (I-A-L7) ta sẽ thu được b,(t), tương tự ta cũng

thu được |w(:)) với gần đúng bậc r

3 Xác suất đời chuyển trong gần đúng cấp một.

Từ (I-A-6) và (I-A-8) ta suy ra xác suất đời chuyển:

P„(t)=|c;(t (-A-37)

mà ct) có cùng modul với b/(t) nên:

14

Luận văn tốt nghiệp Chương I

py(t)=|b, (} (I-A-38)

trong đó:

b, (t)= ðƒ°(t)+ AbY (t) + VBP (1) + (I-A-39)

Bây giờ giả sử rằng trạng thái |ø ) và lø,) khác nhau Nghĩa là ta chỉ xét những

đời chuyển gây ra bởi nhiễu loạn ÂJW(¿) giữa hai trang thái phân biệt của toán tử Hp

thỏa Nếu như t trở nên lớn hơn thì các hiệu chỉnh bậc hai, bậc ba sẽ không được bỏ

qua trong các tính toán trên.

Luận văn tốt nghiệp Chương I

t<<— (I-A-42)

Xét động thái của một hệ chịu ảnh hưởng của một nhiễu loạn cộng hưởng Khi

nghiệm bậc một không đủ để mô tả hệ, ta phải tính đến các số hạng cao hơn trong

khai triển:

P, (t.e)=|Ab†"(t)+ À*bˆ!()+ A'0"()+ ] (I-A-43)

Nếu tính bằng phương pháp gần đúng liên tiếp như phin H với các số hạng bổ

chính bậc cao thì các tính toán vô cùng phức tạp Trong phần này ta sẽ giải bài toánnhiễu loạn bằng một phương pháp khác gọn và ít phức tạp hơn

Ta thấy rằng, điều kiện cộng hưởng w=, kéo theo chỉ có hai trạng thái |ø,) và

|ø,) là chịu ảnh hưởng của #(;) Bởi vì vào thời điểm ban đầu hệ ở trạng thái |ø,)

[5,(0)= 1] nên biên độ xác suất b, (1) trong việc tìm thấy hệ ở trạng thái |ø,) ở thời

điểm t có thể tinh được Hay nói cách khác, tất cả các hệ số # (:) (trong đó nzi, f) sẽ

rất nhỏ so với | khi chúng không thỏa diéu kiện cộng hưởng Đây là cơ sở của

phương pháp mà ta sử dụng.

1 Hệ phương trình thế kỉ.

Trong phần trước, ta đã thế tất cả các thành phin của »,(¿) bằng 5,(0) tại thời

điểm t=0 vào vế phải của (I-A-11) Còn trong phan này ta không xét tất cả các thànhphan 4, (+) với kei, f mà sẽ biểu diễn ø,() »„(¿) một cách tường minh Dé xác định

b,(£) va 4, (¿) ta trở lại công thức (1-A-16):

Luận văn tốt nghiệp Chương I

với W,, (0) có dạng:

W(t)=W « sỉn œ = = -e \W „ (I-A-45)

thì:

trong đó ta đã thế AW = 1.

Lam tương tự ta cũng thu được 4, (1):

nỗ -b/(t)= afer =e“%u ()+(e= =e*“Y„s,(0Ì (I-A-46b)

Ở vế phải của các phương trình của »(c) và »,(:) ta thấy có các hệ số chứa

el" đạo động chậm theo thời gian khi w= ø„ Còn những hệ số chứa e*"“ hoặc c”°**% thì đao động rất nhanh Dựa vào đặc điểm này ta sẽ sử dụng một phương

pháp gin đúng bao gồm việc bỏ qua các số hạng chứa e* và e**% gọi là phương

pháp gần đúng thế kỉ, các số hạng được giữ lại gọi là “số hạng thế kỉ", là những số

hạng mà hệ số của nó tiến điến một hằng số khi w= œ„ Diéu này có nghĩa là khitích phân theo thời gian, các số hạng thế kỉ tham gia vào sự biến thiên của các thànhphan #,() và »,(), còn các số hạng khác được bỏ qua bởi vì chúng biến thiên quá

Nghiệm của chúng rất giống với nghiệm của (I-A-46), nhưng tinh dé hơn

2 Nghiệm của hệ phương trình thế kỉ.

17

Luận văn tốt nghiệp Chương I

Ta bất đầu xét trường hợp @ = w, Lấy vi phân (1-A-47a):

Nghiệm của (I-A-48) thoả (1-A-49) và (I-A-50) là:

Từ đó nghiệm của ð, (t) suy ra từ (I-A-47a) là:

Luận văn tốt nghiệp Chương I

b„(t)=e”” zi | (I-A-52)

trong đó ea argument của W,, Vì thế, xác suất tìm thấy hệ trong trạng thdilg, )

ở thời điểm t là ;

W |

P, ((:e =O, ) = sin’ Dị (-A-53)

Khi @ khác œ, (nhưng hiện tượng cộng hưởng vẫn còn xảy ra), hệ phương trình

(I-A-47) vẫn có thể giải được, tuy nhiên trong giới hạn của luận văn này ta không xétcách giải chính xác nó [có thể xem cách giải trong Fạy Quantum mechanics volum

one, Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu Franck Laloẻ].

* Như vậy:

Khi @=@,, với nhiễu loạn nhỏ, sự dời chuyển có thể xảy ra hoàn toàn từ trạng

thái |ø,) sang trạng thái |e,) Hay nói cách khác, nếu nhiễu loạn không cộng hưởng,

xác suất P,(r;@) luôn luôn nhỏ hơn 1.

So sánh kết quả thu được ở phần này với kết quả thu được ở phẩn phương pháp

gần đúng liên tiếp, ta thấy rằng với tất cả các giá trị của t, xác suất P, (t;@) sẽ có giá

trị nằm trong khoảng 0 đến | Lí thuyết gần đúng ở đây cho phép ta tránh được những

khó khăn gặp phải trong phần II (sẽ được bàn kĩ trong phần sự đúng đắn của nhiễu

loạn khảo sát phân B) Khi ta cho t gần bằng 0 trong (1-A-53) sẽ ta thu được (1-B-18)

(được tính ở phần B).

B Nhiễu loạn hình sin và nhiễu loạn không đổi.

I Biểu thức tổng quát của xác suất đời chuyển

Giả sử rằng W(t) có một trong hai dạng đơn giản sau:

W(t)=W sinar (I-B-1) W(t)=W cosax (I-B-2)

Luận văn tốt nghiệp Chương I

trong đó W là một đại lượng không phụ thuộc thời gian và œ là một hằng số.

Với trường hợp đặc biệt (1-B-1) của toán tử nhiễu loạn W(r), phẩn tử ma trận „(t)

Bây gid ta xét hệ trong gần đúng bậc một theo A Nếu ta đặt (I-B-3) vào công thức

tổng quát (I-A-28) ta được:

Luận văn tốt nghiệp Chương I

V 2

P,(t,@)= ae I—e* +o 1 “|

+

=a fo eT (1-B-7)

Ta lại thấy rằng W cosa sẽ không phụ thuộc thời gian nếu ta chọn œ=0, khi đó hệ

sé chịu một nhiễu loạn không đổi V, xác suất đời chuyển Py dé dàng thu được khi

thay (0=0 vào (I-B-7):

Luận văn tốt nghiệp Chương I

trường hợp đầu, xác suất P„{U có thể tính được, còn ở trường hợp thứ hai ta chỉ tính

được mật độ xác suất ồP,át) mà thôi.

1 Hiện tượng cộng hưởng, phản cộng hưởng.

Bây giờ ta xét trường hợp cộng hưởng đối với nhiễu loạn hình sin, tuy nhiên kết

quả có thể suy ra được cho trường hợp nhiễu loạn không đổi.

Ta thấy rằng trong công thức (I-B-6) và (I-B-7) Pidt,o) sẽ đạt giá trị rất lớn nếu OW,hoặc œ=-œ Tại một thời điểm xác định (tức t cố định), xác suất đời chuyển chỉ là

một hàm theo biến số œ, hàm nay đạt cực đại khi @=@, hoặc W=-W, Khi đó ta có

hiện tượng cộng hưởng xảy ra (nói cách khác hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi tin

số của nhiễu loạn bằng với tần số Bohr trong dời chuyển giữa hai trạng thái |g,) và

le,)) Nếu ta chọn @20 thì œ=e và (=-w„ sẽ ứng với trường hợp œ„>0 và œ<0.

Trong trường hợp một hệ đi từ trạng thái có năng lượng thấp E; lên trạng thái có

nang lượng cao E; bằng cách hấp thụ một lượng tử năng lượng hw Trong khi trường

hợp hai hệ đi từ trạng thái có năng lượng cao E, đến trạng thái có năng lượng thấp E;

kèm theo sự phát ra một lượng tử năng lượng Aw Ta xét trường hợp >0 (trường

cộng hưởng xảy ra Tương tự trong (1-B-10), A, sẽ đạt cực đại khi œ=-(œ, lúc nay A,

sẽ đóng vai trò quan trọng hơn 4_ trong (I-B-6), (I-B-7) Gọi A_, A, lan lượt là các

số hạng cộng hưởng phản cộng hưởng Xét A (4, có thể xét tương tự)

Luận văn tốt nghiệp Chương I

2 Hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian

Theo (I-B-13) nếu ta cố định t thì Đ„(t@) sẽ chỉ là hàm biến đổi theo w P„Át,0)

sẽ cực đại khi w=, và bằng la|`z?/4? Khi œ thay đổi ra xa œạ, P„(t, ©) sẽ giảm,

nó giảm đến 0 khi |ø=œ,|=2/: Nếu |ø=ø,| tiếp tục tăng, P„(t@) sẽ dao động

giữa Ova |⁄„|` /A*(ø=eo,)` (hình 1).

Luận văn tốt nghiệp Chương I

Hình 1: sự biến thiên theo œ của xác suất dời chuyển p4) trong gần đúng bậc một,

khi t cố định Giá trị cực đại của xác suất này tỉ lệ thuận với Ở, còn độ rộng của nó thì

tỉ lệ nghịch với t.

Xét cực đại thứ cấp đẩu tiên của P„@@©), khỉ (a, -a)/ =3tf và

Py(t.0)=|V„||r` /9x?h? Suy ra:

Pz(t,0)

= 5% = p’(t,w) = 5% p„ (t,o)

Pylt, 0) 7

Vay P'z(Q0) sẽ rất nhỏ so với P„{t@) Ta có thể chỉ xét Pi t,@) quanh @=,

Độ rộng Aw có thể được xác định gắn đúng là khoảng cách ngấn nhất giữa hai

điểm bằng 0 của P„{t@) quanh cực đại chính Pidt,@) khi œ=œ„; trên trục œ (hình 1)

Ta có thể viết:

ax

Ao~ 4⁄ (I-B-15)

Như vậy, t càng lớn thi Aw càng nhỏ, nó tương tự như hệ thức bất định giữa năng

lượng và thời gian Giả sử ta muốn đo hiệu năng lượng giữa hai mức E£, - £, =ho

bằng cách tác động một nhiễu loạn có tấn số (œ vào hệ và điểu chỉnh sao cho hiệntượng cộng hưởng xảy ra Nếu nhiễu loạn tác động suốt thời gian t, độ bất định AE

của £, - £, sẽ được xác định theo (I-B-15):

24

Luận văn tốt nghiệp Chương I

AE = hÁ@~

Đây cũng chính là hệ thức bất định giữa năng lượng và thời gian, nó cho thấy rằng

độ bất định tAE không thể nào bé hơn fh, mặt dù thời gian t ở đây không phải là thờigian đời chuyển riêng của hệ mà là thời gian của tác động của nhiễu loạn bên ngoài

3 Sự đúng đắn của nhiễu loạn khảo sát

a Sự đúng đắn gần đúng cộng hưởng

Khi sử dụng giả thiết œ=œ ta đã bỏ qua A, so với A_ Vì vậy ta phải so sánh

modul của 4, và 4 để khảo sát tính đúng đắn khi bỏ qua như vậy.

Dạng của |4 (@}“ được cho bởi hình | Bởi vì |4,(@]Ï =|4 (—-ø}” do đó |4.(@]' có thể thu được bằng cách lấy đối xứng |4 (@]” tương ứng qua trục tung =0 Nếu

khoáng cách giữa hai cực đại của hai đường cong tương ứng rất lớn so với Aw, thi

trong lân cận của @=W, modul của 4, có thể bỏ qua so với 4_ Vi thế điểu kiện củagần đúng cộng hưởng là:

2|;| >> A@ (I-B-16)

Sử dung (I-B-15) ta được:

‘>> “a = = (1-B-17)

Vì vậy kết quả của (I-B-13) chỉ đúng khi thời gian t tác động của nhiễu loạn hình sin

lên hệ phải rất lớn so với ~ Ý nghĩa vật lí của điều kiện này là: trong suốt khoảng

thời gian (0 t}, nhiễu loạn gây ra rất nhiều dao động hình sin trong hệ, ngược lại,

nếu t nhỏ hơn +, nhiễu loạn sẽ không có thời gian để dao động và khi đó nó sẽ

tương ứng với một nhiễu loạn tuyến tính với thời gian hoặc một nhiễu loạn không

Luận văn tốt nghiệ Chương I

này ha: số hạng 4, và A_ bằng nhau, nó cho thấy rằng khi (I-B-17) không được thỏa

thì số hing phản cộng hưởng 4, không được bỏ qua.

Sự biến thiên của xác suất Pit) tương ứng với năng lượng hw, (trong đó t cố

định) được biểu diễn ở hình 2 Nhiễu loan này sẽ đạt cực đại khi (=0, nghĩa là cộng

hưởng :ảy ra khi œ=0 khi nay Pit) sẽ có dạng tương tự như hình | nhưng cường độ

của nó tăng gấp bốn lin (bởi vì có sự tham gia của số hạng phản cộng hưởng giao thoa vớ: số hạng cộng hưởng).

Hình 2: sự biến thiên của xác suất đời chuyển cộng hưởng theo Ww, dưới tác dung củamột nhiễu loạn không đổi, khi t không đổi P, (¿) đạt cực đại khi @=Wp, dang đường

cong của P,(r) tương tự như hình |, nhưng cường độ của nó thi gấp bốn lần.

b Giới hạn trong phép gần đúng cấp một

Trong phan chú ý của §II-A ta đã bàn về tính đúng đắn của khai triển cấp một theo A, nếu như t trở nên quá lớn để b,(t) không còn khác ít sao với b,(0), thì các kết quả trong khai triển cấp một không dùng được nữa Do đó ta phải đặt diéu kiện cho t

để có thể ứng dụng được các kết quả trên.

Trong biểu thức (1-B-13), khi có cộng hưởng ta có:

V ?

| Al t (I-B-18)

Pi (t,a@= oO )=

Luận văn tốt nghiệp Chương I

Hàm này sẽ tiến điến vô cùng khi 1 =>, điểu này là vô lí vì xác suất không bao giờ

lớn hơn Ì.

Như vậy để cho gin đúng cấp một vẫn đúng trong trường hợp cộng hưởng xác

suất (I-B-18) phải nhỏ so với |, nghĩa là:

(<< — (I-B-19)

Trường hợp t không thỏa (I-B-19) đã được khảo sắt trong §A-HH bằng phương

pháp gần đúng thế ki

Il Xác suất đời chuyển sang phổ liên tục.

Giả sử hạt dời chuyển từ trạng thái |y(r)) có năng lượng E, sang một miễn liên tục

các trạng thái cuối Giả sử trạng thái cuối được đặt trưng bởi xung lượng p cho trước, trong đó xung lượng và năng lượng có mối liên hệ:

là hàm xung lượng trong biểu dién toa độ

Theo các nguyên lí cơ bản của cơ học lượng tử, trong trường hợp hạt dời chuyển

sang các trạng thái có phổ liên tục thì (I-A-6) chỉ cho ta mật độ xác suất trong dời

chuyển này.

2

Nếu chuyển sang biểu dién xung lượng cho trạng thái cuối thì (aly) chính là

mật độ xác suất trong dời chuyển xét ở trên, trong đó hàm |ự(/)) giả sử đã được

chuẩn hóa.

Gọi Dy là miễn giá trị của p trong không gian xung lượng thì:

Luận văn tốt nghiệp Chương I

dÌp = dp,dp dịp, = p’dpdQ (I-B-23)

2

Ì (I-B-22)

với:

trong đó dQ là phan tử góc khối ứng với năng lượng hạt có giá trị trong khoảng dE,

Ta có thể viết lại (I-B-23) như sau:

khoảng 5é, với tâm điểm là £, = a.

Trong trường hợp tổng quát trang thái riêng của Họ được biểu diễn qua đại lượng œ

mà có giá trị thuộc một miễn liên tục Dy với tâm điểm là œ Điều kiện trực giao cho

ta:

(œ|œ') = ô(œ - `) (I-B-27)

trong đó vécto |\(:)) giả sử đã được chuẩn hóa

Theo các nguyên lí cơ bản của cơ học lượng tử, xác suất tìm thấy hạt trong một

miền liên liên tục các trạng thái cuối là:

28

Luận văn tốt nghiệp Chương I

â(œ,„)= [4elœlw()Ï (I-B-28)

acD,

Ở trên ta đã sử dung phương pháp đổi biến số và đưa vào mật độ trạng thái của trạng

thái cuối, bây giờ ta cũng sẽ làm tương tự như vậy Thay vì mô tả trạng thái cuối

bằng tham số a, ta sẽ sử dụng năng lượng E và một tham số j3 khác Ta có thể biểu

điển da qua dE và dB như sau:

da = p(B, E)\dBdE (1-B-29)

Lúc này mật độ trạng thái cuối đã xuất hiện [trong trường hợp tổng quát mật độ

trạng thái cuối phụ thuộc vào cả B và E, tuy nhiên thông thường ta hay gặp p chỉ phụ

thuộc vào E (ví dụ mục a)].

Gọi 58; và SE; là khoảng giá trị của B và E trong miền Dy ta thu được:

* Quy tắc vàng của Fermi

Những tính toán của §H-A và những ứng dụng của nó trong §I-B vẫn đúng trongtrường hợp trạng thái cuối của hệ có phổ liên tục

Xét trường hợp V không đổi trong (I-B-8), ta sẽ tim mật độ xác suất |(8.£|w())|`

cho gắn đúng cấp một cho trường hợp này Viết lại (1-B-8):

(ø.£lv(0Ï =azl8.EVieÏ2{(z”-] (B-)

trong đó E, E; lần lượt là năng lượng ứng với trạng thái |6,£) và |ø,} F là hàm được

định nghĩa theo (I-B-9):

Luận văn tốt nghiệp Chương I

{abst sin sin [E-EY,,| Ey, 1Á ain J,~ MT

h l#- E, VAI ma & Al (I-B-32)

Ham {Ae biến thiên nhanh khi E=E; Nếu t đủ lớn (gốc thời gian là lúc bắt

đầu đặt nhiễu loạn vào) Ung dụng tinh chất hàm Delta Dirac, ta có:

lim F} +, : - = zä|(E ~&, Yen = 2mhô(E - E, (I-B-33)

Thế (1-B-31) vào (I-B-30) ta được:

ôP(œ,.)= = '- j4øáEp(B.E}(8.E | |ø,) r(« ell (I-B-34)

“-Giả sử t đủ lớn để ham p(B, E)(8.E|Y|e,)| biến thiên rất chậm theo E trong khoảng

4% quanh điểm E=E, Thế (1-B-33) vào (1-B-34) và giả sử 5B, rất nhỏ để có thể bỏ

qua việc lấy tích phân theo B Ta thu được:

- Kai E, thuộc miễn 5E;:

ôP(p,,œ,,t)= rô, ““ “| B.E, = E,|rls.Ï p(8.E, = E,) (I-B-35) ¬

- Kai E; không thuộc miễn SE;

ôP(p,,œ,,t)=0

trong đóta đưa g, vào SP (a ,,t) để lưu ý rằng hệ bắt đầu từ trạng thái ø,.

Như «dy, ta thấy rằng một nhiễu loạn không đổi chỉ có thể gây ra dời chuyển giữahai trang thái có năng lượng bằng nhau Điều này giải thích tại sao E; không nimtrong mitn SE; thì xác suất đời chuyển bằng không.

Xác suất(1-B-35) tuyến tính với thời gian t nên:

Luận văn tốt nghiệp Chương I

ôW (,,œ„Ì= < §(0,.0,,1) (I-B-36)

là xác suất đời chuyển trên một đơn vị thời gian, và không phụ thuộc vào thời gian

Nếu ta lấy xác suất trên một đơn vị thời gian chia cho một khoảng biến số 5; ta

Í8.E, =E, v\9,)' p(8.E, =E) (LB3?)

kết quả này gọi là quy tắc vàng của Fermi.

31

Luận văn tốt nghiệp Chương II

Chương II:

TƯƠNG TÁC CỦA NGUYÊN TỬ VỚI SÓNG ĐIỆN TỪ

Trong chương I, chúng ta đã nghiên cứu trường hợp đặc biệt của một nhiễu loạn

phu thuộc thời gian: W(1)= sinex Chúng ta cũng đã gặp hiện tượng cộng hưởng

xẩy ra khi œ gắn bằng tin số Bohr w, =(£, - £,)/h của hệ khảo sát.

Một ứng dụng quan trọng của lí thuyết này đó là khảo sát sự tương tác của nguyên

tử với một sóng điện từ đơn sắc Trong chương này chúng ta sẽ xét ví dụ cụ thể minh

họa cho những vấn để cơ bản của chương | và giới thiệu một số khái niệm quan

trọng như quy tắc lọc lựa lưỡng cực và tứ cực; cường độ dao động.

Trong chương I, chúng ta đã dừng lại ở gắn đúng bậc một Ta sẽ tiếp tục sử dụng

kết quả này để xét tương tác của nguyên tử với sóng điện từ (hiệu ứng phi tuyến)

Chúng ta sẽ bất đầu bằng cách phân tích Hamiltonian tương tấc giữa nguyên tử với trường điện từ, Diéu này cho phép chúng ta tách ra được các số hạng lưỡng cực

điện, lưỡng cực từ, và tứ cực điện, và nghiên cứu quy tắc lọc lựa tương ứng Sau đó ta

sẽ tính toán momen lưỡng cực điện gây ra bởi một sóng tới không cộng hưởng và so

sánh những kết quả thu được với mẫu electron liên kết đàn hồi cổ điển Cuối cùng ta

sẽ nghiên cứu quá trình hấp thụ và bức xạ xuất hiện trong sự kích thích cộng hưởng

của nguyên tử.

I Hamiltonian tương tac, quy tắc lọc lựa

1 Trường và thế liên kết với một sóng điện từ phẳng.

Xét một sóng điện từ phẳng, có véctơ sóng là £ và tin số góc là œ=ck Điện

trường của sóng trùng với trục 0z và từ trường trùng với trục 0x (hình 3).

32

Luận văn tốt nghiệp Chương II

Hình 3: điện trường và từ trường của một sóng phẳng có vectd sóng k

Với một sóng đã cho, ta luôn luôn có thể chon một hệ đo sao cho thế vô hướng

7] bằng 0 Thế véctơ Ar.) khi đó cho bởi hệ thức:

Art }= dy cael) + A ener (1-1)

trong đó Ao là một hing số phức mà acgument của nó phụ thuộc vào việc chọn gốc

thời gian Khi đó chúng ta có:

afr lo Gia e,e'0-5) _ jet, c„ eth¬=) (1-2)

Ä{+) Vx Ấ?+) ikA, e, e (9-2) — ¡k4 c.e-<) (I-3)

Ta chọn thời điểm ban đầu sao cho A là thuần ảo, và đặt:

Luận văn tốt nghiệp Chương H

= Be cos(ly — ax) (11-8)

E va B là biên độ của điện trường và từ trường của sóng phẳng mà ta xét.

Cuối cùng ta tính véctơ Poynting G liên kết với sóng phẳng (là thông lượng của

năng lượng xuyên qua một diện tích dS):

Gu ec ExB (H-9)

Thế i rt) + if ra) 8 (1-7) va (II-8) vào (II-9) ta được:

Gu lec? EBcos(ky — ax)le y (II-10)

Lấy trung bình (II-10) và thé (II-6) vào ta được:

+ Lê

Ô=scS—°, (H-11)

2 Hamiltonian tương tác ở giới hạn cường độ thấp

Sóng điện từ ở phần trước tương tác với một electron (có khối lượng m và điệntích q) nằm cách điểm 0 một khoảng r và liên kết với điểm này bằng một thế V(r)

(gây ra bởi hạt nhân giả sử đứng yên) Hamiltonian tương tác của electron này có thể

viết:

Luận văn tốt nghiệp Chương II

H= | ZC) +¥(R)-£8 BR.) (I-12)

số hạng cuối của (1-12) biểu dién tương tác của moment từ spin của electron với từ

trường đao động của một sóng phẳng 44] và if Re) là những đại lượng thu được

bằng cách thay thế x, y, z trong hệ cổ điển (II-1) và (II-3) bằng X,Y,Z

Trong khai triển bình phương xuất hiện ở vế phải của (I-12) ta phải nhớ rằng P

không giao hoán với #, khi 4 song song với 0z, chỉ có thành phẩn p, là tham gia vào kết quả; Py giao hoán với thành phần Y của R trong công thức (II-1) Chúng ta

là Hamiltonian điều hòa va:

vi)=-Spd Bu) -25H &, :Ì* #42 Ì (1-15)

là Hamiltonian tương tác của electron với sóng phẳng tới (phẩn tử ma trận của V(t)gần bằng không khi Ao gần bằng không)

Hai số hạng đầu tiên của vế phải (II-15) phụ thuộc tuyến tính vào Ao, còn số hạngthứ ba phụ thuộc bậc hai theo Ap Với một nguồn sáng cho trước với cường độ đủ nhỏ

để cho ảnh hưởng của số hạng 4ÿ có thể bỏ qua so với số hạng A, thì ta có thể viết

(I-15) hại:

V{t)= E,(t)+ V„ (t) (H-16)

Với:

E,(t)= £74 he | (11-17)

Luận văn tốt nghiệp Chương II

v, (1) = 43H Ru] (11-18)

m

Chúng ta sé ước lượng bậc của các phần tử ma trận của V(t) và Vụít) giữa hai trạng

thái liên kết của electron Bậc của Ss được ước lượng là bậc của A và bậc của B là

kAo vì vậy:

= fico I-19

Theo hệ thức bất định, a có bậc là kích thước của nguyên tử (kí hiệu là bán kính

Pp

Bohr, a, = 0.54) Còn k bằng 2m/A, trong đó À là bước sóng của sóng tới Trong các

miễn của phổ nguyên tử (miễn quang học, miền sóng Hertz), A rất lớn so với a,, vì

vậy:

3 Hamiltonian lưỡng cực điện.

a Gần đúng lưỡng cực điện.

Sử dung hệ thức (II-1) cho qi } chúng ta có thể đặt V(t) đưới dang:

V,(t)= -1Lp [Ae en + Ae" e'*| (I-21)

Luận văn tốt nghiệp Chương I

ta thu được một sự gần đúng chấp nhận được cho Vị khi giữ lại chỉ số hang đầu của

(11-22).

Đặt Vope(t) là đại lượng thu được bằng cách thế e*”” =1 vào vế phải của (II-21) và

sử dung (I1-4) ta được:

điểu đó có nghĩa là nếu chúng ta thế V,(r) bằng V,, (0), thì sự dao động của electron

giống như nó chịu một điện trường hình sin đồng nhất £ e,cosax mà biên độ là biên

độ của điện trường của sóng phẳng tới tại điểm 0.

Để hiểu rõ tác động của moment lưỡng cực điện, ta xét sự biến thiên của (#0.

Dinh li Ehrenfest cho ta:

Luận văn tốt nghiệp Chương I

a

<(k)= ~-L(Vf(R))+ Lod cos at de? m m

đ` [2 ;m= (2) =—(VV(R))+gEe.cosat (H-27)

Kết qua này cho thấy: tâm của bó sóng liên kết với electron chuyển động như một

hạt khối lượng m, điện tích q chịu ảnh hưởng của lực hướng tâm của nguyên tử (số hang thứ nhất) và một điện trường đồng nhất (số hạng thứ hai của (I1-27)).

Nhân xét: hệ thức (11-24) cho Hamiltonian tương tác lưỡng cực điện khá giống cho trường hợp một hạt có điện tích q tương tấc với một điện trường đồng nhất

E(t)= Ee: cosa Ta có thé viết Hamiltonian tương tác dưới dạng:

Vi, (t)= = D Elt)= ~ạEZ cosax (1-28)

trong đó D« ạR là moment lưỡng cực điện liên kết với electron

Thực vậy, hệ thức (II-24) và (11-28) là tương đương Ta có thể chứng một trong hai

bằng phép biến đổi sau: Từ (II-1) và (H-4), (1-5) ta đã có:

Luận văn tốt nghiệp Chương II

A’ = At Vy= é: = [sin( ay - @x}+ sin œ]

Trong đó Hạ là Hamiltonian diéu hòa cho bởi (II-14) và:

V'()= au{ hu} =~qZ2E cose = V;,(r) (11-34)

La dang được dùng trong (11-28) của Hamiltonian tương tác lưỡng cực điện.

Lại có, trạng thái của hệ không còn được mô tả bởi cùng một ket véctơ nữa khi

chúng ta đi từ hệ đo (II-29) đến (11-31) Việc thay V,,.(¢) bằng V;,(t) phải kèm theoviệc đổi luôn cả vectơ trạng thái, ý nghĩa vật lí tất nhiên sẽ không thay đổi