ON TAP TOAN 9 CHON LOC

c CA là phân giác của ·SCB Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD.. Đường tròn đường kính DC cắt BC tại các điểm thứ hai E; đường thẳng BD cắt đường tròn đường kín

Trang 1

Gi¸o viªn: Bïi V¨n H¶i THCS H¶i T©n

CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT

CHUYÊN ĐỀ 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ

Trang 2

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP:

1/ LOẠI 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC

CÓ NGHĨA:

Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa là tìm

điều kiện cho sự tồn tại của các biểu thức có

trong bài toán và suất hiện trong quá trình biến

đổi

Khi làm câu hỏi này cần chú ý:

+ Đối với phân thức

B

A

có nghĩa  B0+ Đối với căn thức A có nghĩa  A  0

2/ LOAI 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ:

Khi rút gọn biểu thức đại số ta cần đặt điều kiện

cho sự tồn tại của biểu thức

Sử dụng thành thạo , linh hoạt các phép biến đổi

C B

A

: )

Vậy M không phụ thuộc vào x

* Biến đổi biểu thức bên trong căn về dạng bình phương để khai phương

Ví dụ: Rút gọn biểu thức :

A a b c   ac bc  a b c   ac bc (a;b;c  0 )

Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức số:

Chú ý: Nếu biểu thức có dạng A 2 B Trong

2 3 ( 6 2

Trang 3

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức đại số tại giá

trị cho trước của biến (tính A(x) tại x = a)

+) Bước 1: Rút gọn A(x) nếu có thể

+) Bước 2: Thay giá trị của biến vào biểu thức đã

rút gọn rồi thực hiện phép tính

+) Bước 3: Kết luận

4/ LOẠI 4: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIẾN SỐ x

ĐỂ BIỂU THỨC A(x) THOẢ MÃN MỘT

ĐIỀU KIỆN NÀO ĐÓ.

VD: +) Tìm x để A(x) = m (m R) (1)

+) Tìm a để A(x) > m hoặc A(x)< m… (2)

Việc tìm x chính là tìm nghiệm của (1); (2)

Mở rộng: A(x) = B(x); A(x) > B(x); A(x) < B(x)

…

+) Tìm x để A(x) thoả mãn một số điều kiện

khác như:

Biểu thức A(x) nhận giá trị nguyên

Biểu thức A(x) đạt giá trịlớn nhất, nhỏ nhất:

Chú ý: +) Khi tìm được giá trị của biến số ta cần

kết hợp với điều kiện xác định của biểu thức để

kết luận

+ Sử dụng tính chất chia hết để tìm giá trị

nguyên của biểu thức:

VD: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A =







 3

) 2 )(

2 (

2

Z x

4

2 2

5/ LOẠI 5: CHỨNG MINH BIỂU THỨC

KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO GIÁ TRỊ CỦA

BIẾN SỐ X

C/m giá trị của biểu thức A(x) không phục thuộc

vào biến sốx nghĩa là ta đi rút gọn A(x) để kết

quả sau khi rút gọn không chứa biến

6/ LOẠI 6: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC A(X)= B(X)

Thông thường ta biến đổi từ vế phức tạp về vế đơn giản

Câu 3: a/ Giá trị của x để 5 = 70 là

a/

2

a

có nghĩa khi … b/  a có nghĩa khi …

Câu 5: Kết quả của phép khai căn : ( a 5 )2là

A a-5B 5-a C 5  a D cả 3 điều saiCâu 6: Kết quả của phép tính 9  4 5 là

A 3- 2 5 B 2  5 C 5  2 D cả 3 điều sai

Trang 4

Câu 7: Kết quả của phép tính : x-3 + x2  6x 9

2 2

2 3

2





bằng

1 9

5 3

20

4x  x  x  là:

Câu 14: Giá trị của biểu thức:





 5 7

5 7

15   

Câu 16: Giá trị của biểu thức:

3 2 3 2

2 5 3

2





b/

1 5

5 5 5 3

1 5 3

2 6

3 2 4



 e/ 3 2  6 6  3 3h/ 3  5 3  5 3  5 3  5

Bài 2 : Thực hiên phép tính

) 14 6 5 14 6 5 ) 13 30 2 5 4 2

Trang 5

x

x a a x

2 2

x x

x

) :

4 2

3



x x

a/ Tìm điều kiện xác định của A

xy x

x

x y

2

2 2

x

)a/ Rút gọn biểu thức A



0; 9; 25

x x xb) Tìm x Z để biểu thức A nhận giá trị nguyên

Bài 12: Cho biểu thức :

2 3

1 2(1 ) 2(1 )

x A

b) Tính giá trị của A khi a 2  3;b 2  3

Bài 15 : Cho biểu thức :

Trang 6

 thì N có giá trị không đổi

Bài 23 Cho biểu thức:

2

8 16 1

c Tính giá trị của A biết x2  9x 18 0 

Bài 4 : Cho biểu thức :

CÁC BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC, PHÂN THỨC

Phần 1: Biến đổi các biểu thức chứa số.

1) Rút gọn các biểu thức sau:

Trang 7

A  2 3 4 2 44 16 6   16) Cho

3 10 6 3 ( 3 1) x

Trang 8

Trang 9

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2000 - M



a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A xác định

b) Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất

c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị

c) C/m A 1

3

 18) Cho biểu thức

19) C/m biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x:

Trang 10

b) Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá

x  25) Cho biểu thức

b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2

27) Cho x, y là hai số thay đổi luôn thỏa mãn

là số nguyên

Trang 11

Chuyên đề: tứ giác nội tiếp

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường

tròn đợc gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (Gọi

tắt là tứ giác nột tiếp)

2) Định lí

- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc

đối diện bằng 1800

-Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện

bằng 1800 thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn

3) Dấu hiệu nhận biết (các cách C/m ) tứ giác

nội tiếp

- Tứ giác có tổng số do hai góc đối diện bằng

1800

- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc

trong của đỉnh đối diện

- Tứ giác có bón đỉnh cách đều một điểm(mà ta

có thể xác định đợc) Điểm đó là tâm đường tròn

ngoại tiếp tứ giác

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh

chứa hai đỉnh còn lại dới một góc a

c) CA là phân giác của ·SCB

Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường

tròn đường kính AD Hai đường chéo AC và BD

cắt nhau tại E Vẽ EF vuông góc với AD C/m :

a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp

b) CA là phân giác của éBCF

c) Gọi M là trung điểm của DE C/m tứ giác BCMF nội tiếp

Bài 3:Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC , BD cắt nhau tại

E Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F Đường thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai

là M Giao điểm của BD và CF là N C/m :

a CEFD là tứ giác nội tiếp

b Tia FA là tia phân giác của góc BFM

c BE DN = EN BD

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E Các đường thẳng CD ,

AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G C/m :

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đường tròn

c) AC song song với FG d) Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy

Bài 5: Cho tam giác vuông ABC ( A 900; AB

> AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không trùng với A và C) Gọi N và D lần lượt là giao điểm thứ hai của BC và MB với đơng tròn đường kính MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa

AD với đường tròn đường kính MC; T là giao điểm của MN và AB C/m :

a Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đường tròn

b CM là phân giác của góc BCS

b/ C/m LA là phân giác của ·MLN

Trang 12

c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA C/m MA2

= AI.AL

d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O) C/m

KN // AQ

e/ C/m KLN cân

Bài 7:Cho đường trũn (O; R) tiếp xỳc với đường

thẳng d tại A Trên d lấy điểm H không trùng với

điểm A và AH <R Qua H kẻ đường thẳng vuông

góc với d, đường thẳng này cắt đường trũn tại

hai điểm E và B ( E nằm giữa B và H)

a C/m góc ABE bằng góc EAH và tam giác

ABH đồng dạng với tam giác EAH

b Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của

đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K C/m

AHEK là tứ giác nội tiếp

c Xác định vị trí điểm H để AB= R

Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội

tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF

cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại

M,N,P C/m :

a Các tứ giác AEHF, nội tiếp

b.Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường

tròn

c AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

d H và M đối xứng nhau qua BC

e Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác

DEF

Bài 9: Cho DABC không cân, đường cao AH,

nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi E, F thứ tự

là hình chiếu của B, C lên đường kính AD của

đường tròn (O) và M, N thứ tự là trung điểm của

BC, AB C/m :

a Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đường tròn

tâm N và HE// CD

b M là tâm đường tròn ngoại tiếp DHEF

Bài 10: Cho đường tròn tâm O và điểm A ở bên

ngoài đường tròn Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và

cát tuyến ADE với đường tròn ( B và C là các

tiếp điểm) Gọi Hlà trung điểm của DE

a C/m A,B, H, O, C cùng thuộc một đường

tròn Xác định tâm của đường tròn này

b C/m : HA là tia phân giác BHC

c Gọi I là giao điểm của BC và DE C/m : AB2

= AI.AH

c BH cắt (O) tại K C/m : AE // CK

Bài 11:Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O)

vẽ hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó

a.Gọi E là trung điểm của dây CD C/m 5 điểm S,A,E,O,B cùng thuộc một đường tròn

b.Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao?

AB CD

AC BDBC DA

Bài 12:Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính

AB Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F (F ở giữa B và E)

a C/m AC AE không đổi

b C/m é ABD = é DFB

c.C/m CEFD là tứ giác nội tiếp

Bài 13:Trên đường thẳng d lấy ba điểm A,B,C theo thứ tự đó Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By cùng vuông góc với dt Trên tia Ax lấy I Tia vuông góc với CI tại C cắt By tại K Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P

a) C/m tứ giác CBPK nội tiếp đợc đường tròn b) C/m AI.BK = AC.CB

c) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm

C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất

AH, vẽ đường tròn đường kính AH, đường trònnày cắt AB tại E, cắt AC tại F

đường cao AD, BE, cắt nhau tại H Gọi O là tâmđường tròn ngoại tiếp tam giác AHE

a C/m tứ giác CEHD nội tiếp

Trang 13

b Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một

đường tròn

c C/m ED = 2

1BC

d C/m DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

e Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm

Bài 16:Từ điểm M ngoài đường trũn (O) vẽ 2

tiếp tuyến MA và MB Trờn cung nhỏ AB lấy 1

điểm C Vẽ CD AB; CE MA; CF MB Gọi

I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của

BC và DF C/m :

a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp được

b) CD2 = CE.CF

c) IK CD

Bài 17 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường

tròn (O) M là điểm di động trên cung nhỏ BC

Trên đoạn thẳng MA lấy điểm D sao cho MD =

MC

a) C/m DMC đều

b) C/m MB + MC = MA

c) C/m tứ giác ADOC nội tiếp đợc

d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di

động trên đường cố định nào ?

Bài 18: Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A

trên (O) kẻ tiếp tuyến d với (O) Trên đường

thẳng d lấy điểm M bất kì ( M khác A) kẻ cát

tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ

tiếp tuyến MB (B là tiếp điểm) Kẻ AC ^ MB,

BD ^ MA, gọi H là giao điểm của AC và BD, I

là giao điểm của OM và AB

a C/m tứ giác AMBO nội tiếp

b C/m năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên

theo thứ tự Vẽ đường tròn (O) bất kỳ đi qua B

và C (BC không là đường kính của (O) Kẻ từ

các tiếp tuyến AE và AF đến (O) (E; F là các tiếpđiểm) Gọi I là trung điểm của BC; K là trungđiểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D C/m:

a AE2 = AB.AC

b Tứ giác AEOF

c Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đường tròn

d ED song song với Ac

e Khi (O) thay đổi tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định

µ 450

Gọi H là gia điểm của BD và CE

a C/m tứ giác ADHE nội tiếp

b Tính tỉ số

DE BC

c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC C/

m OA ^ DE

Bài 21:Cho tam giác nhọn PBC Gọi A là chân đường cao kẻ từ P xuống cạnh BC Đường tròn đường kính BC cắt PB, PC lần lượt ở M và N Nối N với A cắt đường tròn đường kính BC ở điểm thứ hai E

a/ C/m : 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đường tròn Hãy xác định tâm và bán kính đườngtròn ấy

b/ C/m : EM vuông góc với BCc/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC C/m AM.AF = AN.AE

Bài 22 Cho tam giác vuông ABC ( A 900); trênđoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các điểm A và C) Đường tròn đường kính DC cắt

BC tại các điểm thứ hai E; đường thẳng BD cắt đường tròn đường kính DC tại điểm F (F không trùng với D) C/m :

a Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC

b Tứ giác ABCF nội tiếp đường tròn

c AC là tia phân giác của góc EAF

Trang 14

Bài 23:Cho hình thang cân ABCD (AB>CD;

AB//CD) nội tiếp trong đường tròn (O) Tiếp

tuyến với đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại

E Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và

1





Bài 24:Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính

AOB và COD vuông góc với nhau Lấy điểm E

bất kì trên OA, nối CE cắt đường tròn tại F Qua

F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng

Ey vuông góc với OA Gọi I là giao điểm của Fx

và Ey

a/ C/m I; E; O; F cùng nằm trên một đường tròn

b/ Tứ giác CEIO là hình gì? vì sao?

c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động

trên đường nào?

Bài 25: Cho nửa đường tròn đường kính BC bán

kính R và điểm A trên nửa đường tròn (A khác B

và C) Từ A hạ AH vuông góc với BC Trên nửa

mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường

tròn đường kính BH cắt AB tại E, nửa đường

tròn đường kính HC cắt AC tại F

a Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao?

b C/m BEFC là tứ giác nội tiếp

c Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác

AFHE có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn

nhất đó theo R

Bài 26: Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ

tự đó Một đường tròn (O) thay đổi đi qua hai

điểm M, N Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT’ với

đường tròn (O)

a C/m : PT2 = PM.PN Từ đó suy ra khi (O) thay

đổi vẫn qua M, N thì T, T’ thuộc một đường tròn

cố định

b Gọi giao điểm của TT’ với PO, PM là I và J

K là trung điểm của MN

c C/m : Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp

d C/m : Khi đường tròn (O) thay đổi vẫn đi qua

M, N thì TT’ luôn đi qua điểm cố định

e Cho MN = NP = a Tìm vị trí của tâm O để góc TPT’ = 600

Bài 27:Cho DABC vuông ở A Trên AC lấyđiểm M (M≠A và C) Vẽ đường tròn đường kính

MC Gọi T là giao điểm thứ hai của cạnh BC vớiđường tròn Nối BM kéo dài cắt đường tròn tạiđiểm thứ hai là D Đường thẳng AD cắt đườngtròn (O) tại điểm thứ hai S C/m :

a Tứ giác ABTM nội tiếp

b Khi M chuyển động trên AC thì ·ADM có số

đo không đổi

c AB//ST

Bài 28:Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt nhau tại A, B Đường vuông góc với AB

kẻ qua B cắt (O) và (O') lần lượt tại các điểm C,

D Lấy M trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng MB với đường tròn (O') là N và giao điểm của hai đường thẳng CM, DN là P

a Tam giác AMN là tam giác gì, tại sao?

b C/m ACPD nội tiếp đợc đường tròn

c Gọi giao điểm thứ hai của AP với đường tròn (O') là Q, C/m BQ // CP

Bài 29:Cho ABC vuông tại A (AB < AC) H bất kỳ nằm giữa A và C Đường trũn (O) đường kính HC cắt BC tại I BH cắt (O) tại D

a) C/m tứ giỏc ABCD nội tiếp

b) AB cắt CD tại M C/m 3 điểm H; I; M thẳng hàng

c) AD cắt (O) tại K C/m CA là tia phân giác của KCB

Bài 30:Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3

AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C

là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C

Trang 15

không trùng với M, N và B Nối Ac cắt MN tại

E

a C/m tứ giác IECB nội tiếp

b C/m tam giác AME đồng dạng với tam giác

ACM

c C/m AM2 = AE.AC

d C/m AE AC - AI.IB = AI2

e Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách

từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

CME là nhỏ nhất

Bài 31:Cho nửa đường trũn (O;R) đường kính

AB, dây AC Gọi E là điểm chính giữa cung AC

bán kính OE cắt AC tại H, vẽ CK song song với

BE cắt AE tại K

a C/m tứ giác CHEK nội tiếp

b C/m KHAB

c Cho BC = R Tính PK

Bài 32:Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là

tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn

bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK

a C/m B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn

b C/m AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC

= 20, BC = 24

Bài 33:Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O ;

R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến

ADE đến đường tròn (O) Gọi H là trung điểm

2 Tính HI theo R

AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M

khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa

đường tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax tại

I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn

tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt

AM tại K

a) C/m : EFMK là tứ giác nội tiếp

b) C/m : AI2 = IM IB

c) C/m BAF là tam giác cân

d) C/m : Tứ giác AKFH là hình thoi

e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếpđợc một đường tròn

Bài 35:Cho hai đường tròn (O1), (O2) có bán kính bằng nhau và cắt nhau ở A và B Vẽ cát tuyến qua B không vuông góc với AB, nó cắt haiđường trũn ở E và F (E€ (O1); F € (O2))

CD lần lượt lấy điểm E, F sao cho EAF  450 Biết BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H C/m :

a ADFG, GHFE là các tứ giác nội tiếp

b DCGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau

Bài 37:Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA; trên tia đói của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tạiM; MD cắt AB tại K; MB cắt AC tại H

a C/m : BMD = BAC, từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp

b C/m : HK // CD

c C/m : OK.OS = R2

Bài 38:Cho đường tròn (O), một đường kính AB

cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI

= 2/3 AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN, sao cho

C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E

Trang 16

a C/m tứ giác IECB nội tiếp đợc trong một

đường tròn

b C/m AME đồng dạng với ACM và AM2 =

AE.AC

c C/m AE.AC  AI.IB = AI2

d Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng

cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác CME là nhỏ nhất

Bài 39Cho ba điểm A, B, C trên một đường

thẳng theo thứ tự ấy và đường thẳng d vuông góc

với AC tại A Vẽ đường tròn đường kính BC và

trên đó lấy điểm M bất kì Tia CM cắt đường

thẳng d tại D; Tia AM cắt đường tròn tại điểm

thứ hai N; Tia DB cắt đường tròn tại điểm thứ

hai P

a/ C/m : Tứ giác ABMD nội tiếp được

b/C/m : Tích CM CD không phụ thuộc vào vị trí

điểm M

c/Tứ giác APND là hình gì? Tại sao?

d/C/m trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên

một đường tròn cố định

Bài 40: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm

ngoài đường tròn Các tiếp tuyến với đường tròn

kẻ từ A tiếp xúc với đường tròn ở B và C Gọi M

là điểm tuỳ ý trên đường tròn (M khác B và C)

Gọi H; K; I lần lượt là chân các đường vuông

góc kẻ từ M xuống BC; CA; AB

a/ C/m : Tứ giác MHBI, MHCK nội tiếp.

b/ C/m : MHI· =MKH· .

c/ C/m : MH2 = MI.MK

Bài 41:Cho đường tròn (O) đường kính AB =

2R Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O)

tại A M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M≠A,

M≠Q, Q≠A Các đường thẳng BM và BQ lần

lư-ợt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N

và P C/m :

a Tích BN.BM không đổi

b Tứ giác MNPQ nội tiếp

c Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R

Bài 42:Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường

tròn tâm O và P là trung điểm của cung AB

không chứa C và D Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và F Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I, các dây BC và PD kéo dài cắt nhau tại K C/m :

a C/m MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB

b Gọi H là giao điểm của CD và AB C/m BE.BC = BH.BA

c C/m các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD

d Cho biết BAM  450 và BAE 300 Tính diệntích tam giác ABC theo R

Bài 44:Cho đường tròn (O) đường kính AB Mộtcát tuyến MN quay xung quanh trung điểm H của OB Giọi I là trung điểm của MN Từ A kẻ

Ax vuông góc với MN tại K Gọi C là giao điểm của Ax với tia BI

a/ C/m : BN// MCb/ C/m : Tứ giác OIKC là hình chữ nhậtc/ Tiếp tuyến Bt với đường tròn (O) cắt tia AM ở

E, cắt tia Ax ở F Gọi D là giao điểm thứ hai của tia Ax với (O) C/m : tứ giác DMEF nội tiếp

nhỏ hơn 600; trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC

a Tam giác BCD là tam giác gì? tại sao?

b Kéo dài đường cao CH của D ABC cắt BD tại

E Vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với CD tại F Qua C vẽ tiếp tuyến CG của đường tròn này C/

m : Bốn điểm B, E, C, G thuộc một đường tròn

d Các đường thẳng AB và CG cắt nhau tại M, tứgiác AFGM là hình gì? Tại sao?

e C/m : D MBG cân

Trang 17

Bài 46:Cho đường tròn (O) bán kính R, đường

thẳng d không qua O và cắt đường tròn tại hai

điểm A, B Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài

đường tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với

đường tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H là trung

điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K

d Một đường thẳng đi qua O và song song với

MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F Xác

định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác

CEF là nhỏ nhất

Bài 47:Cho BC là dây cung cố định của đường

tròn (O; R) (0 < BC < 2R) A là một điểm di

động trên cung lớn BC sao cho ABC nhọn

Các đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H (D

c Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O)

tại A Đặt S là diện tích ABC, 2p là chu vi 

DEF C/m : d // EF

S = p.R

đáy nhỏ BC nội tiếp trong đường tròn tâm O; AB

và CD kéo dài cắt nhau tại I Các tiếp tuyến của

đường tròn tâm O tại B và D cắt nhau tại điểm

K

a C/m các tứ giác OBID và OBKD là các tứ

giác nội tiếp

b C/m IK song song với BC

c Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì

để tứ giác AIKD là hình bình hành

Bài 49:Cho đường tròn (O;R) và một điểm A

nằm trên đường tròn Một góc xAy = 900 quay

quanh A và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đường

tròn (O) Gọi các giao điểm thứ hai của Ax, Ay với (O) tơng ứng là B, C Đường tròn đường kính AO cắt AB, AC tại các điểm thứ hai tơng ứng là M, N Tia OM cắt đường tròn tại P Gọi H

là trực tâm tam giác AOP C/m

a AMON là hình chữ nhật

b MN//BC

c Tứ giác PHOB nội tiếp

d Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác AMN có diện tích lớn nhất

Bài 50: Cho đường tròn (O) đường kính AB điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O) Kẻ dây

MN vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N khác B) Nối

AC cắt MN tại E C/m :a) Tứ giác IECB nội tiếp

b) AM2 = AE.ACc) AE.AC – AI.IB = AI2

Bài 51:Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB

và hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn sao cho cung AC nhỏ hơn 900 và góc COD = 900 Gọi M

là một điểm trên nửa đường tròn sao cho C là điểm chính giữa cung AM Các dây AM, BM cắt

OC, OD lần lượt tại E, Fa) Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao?

b) C/m : D là điểm chính giữa cung MB

c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đườngtròn tại M và cắt các tia OC, OD lần lượt tại I, K C/m các tứ giác OBKM và OAIM nội tiếp đợc

d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S Hãy xác định

vị trí của C và D sao cho 5 điểm M, O, B, K, S cùng thuộc một đường tròn

Bài 52: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) sao cho đường thẳng AB không đi qua tâm O Trên tia đối của tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm của dây cung

AB Các điểm K và I theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng OM vàOH

Trang 18

Bài 53:Cho đường tròn (O) đường kính AC

Trên bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C

) Gọi M là trung điểm của đoạn AB Qua M kẻ

dây cung DE vuông góc với AB CD cắt đường

tròn đường kính BC tại I

a/ C/m tứ giác BMDI nội tiếp

b/ C/m tứ giác ADBE là hình thoi

c/ C/m BI // AD

d/C/m I, B, E thẳng hàng

e/C/m MI là tiếp tuyến của đường tròn đường

kính BC

Bài 54:Cho đường tròn (0) và một điểm A nằm

ngoài đường tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,

AC và cát tuyến AMN với đường tròn (B, C, M,

N thuộc đường tròn và AM < AN) Gọi E là

trung điểm của dây MN, I là giao điểm thứ hai

của đường thẳng CE với đường tròn

a C/m : Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc một

đường tròn

b C/m : góc AOC bằng góc BIC

c C/m : BI // MN

d Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích

tam giác AIN lớn nhất

Bài 55:Cho đường tròn (O) có tâm O, đường

kính AB Trên tiếp tuyến của đường tròn O tại A

lấy điểm M (M không trùng với A) Từ M kẻ cát

tuyến MCD (C nằm giữa M và D; tia MC nằm

giữa tia MA và tia MO) và tiếp tuyến thứ hai MI

(I là tiếp điểm) với đường tròn (O) Đường thẳng

BC và BD cắt đường thẳng OM lần lượt tai E và

F C/m :

a Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đường

tròn

b IABAMO

c O là trung điểm của FE

Bài 56:Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB,

M thuộc cung AB, C thuộc OA Trên nửa mặt

phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vuông gócvới AB Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By tại P và Q AM cắt CP tại E, BM cắt

M là điểm trên (O), đường thẳng AM cắt xy tại

E, đường thẳng BM cắt xy tại F, tiếp tuyến tại M cắt xy tại I, đường thẳng AF cắt (O) tại K Nối E với K

a C/m : IM = IF

b C/m : 4 điểm E, M, K, F cùng thuộc một

đường tròn

c C/m : IK là tiếp tuyến của (O).

d Tìm hợp tâm đường tròn ngoại tiếp AMH khi M di động trên (O)

Bài 58: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB; điểm I nằm giữa hai điểm A và O Kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại I, đường thẳng này cắt đường tròn (O; R) tại M và N Gọi

S là giao điểm BM và AN Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AM lần lượt ở K và H Hãy C/m :

a) Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK=HA.HM

b) KM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)c) Ba điểm H; N; B thẳng hàng

Bài 59:Cho đường tròn (0; R), một dây CD có trung điểm M Trên tia đối của tia DC lấy điểm

S, qua S kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn Đường thẳng AB cắt các đường thẳng SO ;

Trang 19

d Khi BC // SA C/m tam giác ABC cân tại A

e Xác định vị điểm S trên tia đối của tia DC để

C, O, B thẳng hàng và BC // SA

Bài 60:Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB,

M là một điểm chính giữa cung AB K thuộc

cung BM ( K khác M và B ) AK cắt MO tại I

a C/m : Tứ giác OIKB nội tiếp đợc trong một

đường tròn

b Gọi H là hình chiếu của M lên AK C/m : Tứ

giác AMHO nội tiếp

c Tam giác HMK là tam giác gì ?

d C/m : OH là phân giác của góc MOK

e Xác định vị trí của điểm K để chu vi tam giác

OPK lớn nhất (P là hình chiếu của K lên AB)

Bài 61: Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội

tiếp đường tròn (0) Tia phân giác trong của góc

B, góc C cắt đường tròn này thứ tự tại D và E,

hai tia phân giác này cắt nhau tại F Gọi I, K theo

thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB,

AC

a) C/m : các tam giác EBF, DAF cân

b) C/m tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB

c) Tứ giác AIFK là hình gì ? Tại sao ?

d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác

AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp 3

lần diện tích tứ giác AIFK

Bài 62:Cho đường tròn (O), một đường kính AB

cố định, trên đoạn OA lấy điểm I sao cho

AI =2/3 OA Kẻ dây MN vuông góc với AB tại

I Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C

không trùng với M, N, B) Nối AC cắt MN tại E

a.C/m : Tứ giác IECB nội tiếp

b C/m : Các tam giác AME, ACM đồng dạng

và AM2 = AE AC

c C/m : AE AC - AI IB = AI2

d Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng

cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác CME là nhỏ nhất

Bài 63: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

(O;R)(AB < CD) Gọi P là điểm chính giữa của

cung nhỏ AB ; DP cắt AB tại E và cắt CB tại K ;

PA 4R 

Bài 54:Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh là a E là điểm đi chuyển trên đoạn CD (E khác D), đường thẳng AE cắt đường thẳng

BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K

a C/m DABF = DADK từ đó suy ra DAFK vuông cân

b Gọi I là trung điểm của FK, C/m I là tâm đường tròn đi qua A , C, F , K

c Tính số đo góc AIF, suy ra 4 điểm A, B, F, I cùng nằm trên một đường tròn

Bài 65:Cho góc vuông xOy , trên Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB M

là một điểm bất kỳ trên AB Dựng đường tròn tâm O1 đi qua M và tiếp xúc với Ox tại A, đường tròn tâm O2 đi qua M và tiếp xúc với Oy tại B , (O1) cắt (O2) tại điểm thứ hai N

a C/m tứ giác OANB là tứ giác nội tiếp và ON

là phân giác của góc ANB

b C/m M nằm trên một cung tròn cố định khi

a) C/m năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một đường trũn

b) C/m HA là tia phõn giỏc của BHC.c) DE cắt BC tại I C/m : AB2  AI.AH

Trang 20

Bài 67:Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường

trịn tâm O Đường phân giác trong của gĩc A ,

B cắt đường trịn tâm O tại D và E , gọi giao

điểm hai đường phân giác là I , đường thẳng DE

cắt CA, CB lần lượt tại M , N

a C/m tam giác AIE và tam giác BID là tam

giác cân

b C/m tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI //

BC

c Tứ giác CMIN là hình gì ?

Bài 68:Cho tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn (AB <

AC) ẹửụứng troứn ủửụứng kớnh BC caột AB,

AC theo thửự tửù tái E vaứ F Bieỏt BF caột CE

tái H vaứ AH caột BC tái D

a) Chửựng minh tửự giaực BEFC noọi tieỏp vaứ

AH vuõng goực vụựi BC

b) Chửựng minh AE.AB = AF.AC

c) Gói O laứ tãm ủửụứng troứn ngóai tieỏp

tam giaực ABC vaứ K laứ trung ủieồm cuỷa BC

Bài 69:Cho (O) đường kính AB = 2R, C là trung

điểm của OA và dây MN vuơng gĩc với OA tại

C Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là

giao điểm của AK và MM

a CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp

b Tính AH.AK theo R

c Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB)

đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đĩ

Bài 70:Cho hai đường trịn (O1) và (O2) cắt nhau

tại A và B Một đường thẳng đi qua A cắt đường

trịn (O1) , (O2) lần lượt tại C,D , gọi I , J là trung

điểm của AC và AD

a C/m tứ giác O1IJO2 là hình thang vuơng

b Gọi M là giao diểm của CO1 và DO2 C/m

a/ MAOH là tứ giác nội tiếpb/ Tia HM là phân giác của gĩc AHBc/ Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt

MA, MB lần lượt tại E, F Nối EH cắt AC tại P,

HF cắt BC tại Q C/m QP // EF

điểm D nằm giữa A và B Đường trịn đường kính BD cắt BC tại E Các đường thẳng CD ,

AE lần lượt cắt đường trịn tại các điểm thứ hai F, G C/m :

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp đợc trong một đường trịn

c) AC song song với FG d) Các đường thẳng AC , DE và BF đồng quy

Bài 75:Cho đường trịn tâm O Từ một điểm P ở ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA,

PC (A, C là tiếp điểm) với đường trịn (O)

a C/m PAOC là tứ giác nội tiếp đường trịn

Trang 21

b Tia AO cắt đường tròn (O) tại B; đường thẳng

qua P song song với AB cắt BC tại D Tứ giác

AODP là hình gì?

c Gọi I là giao điểm của OC và PD; J là giao

điểm của PC và DO; K là trung điểm của AD

Chứng tỏ rằng các điểm I, J, K thẳng hàng

Bài 76:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn

tâm O M là một điểm trên cung AC ( không

chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vuông

góc với BC

a) C/m tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp

b) C/m AMB HMK 

c) C/m D AMB đồng dạng với D HMK

Bài 77:Cho nửa đường trũn đường kính AB Kẻ

tiếp tuyến Bx với nửa đường trũn Gọi C là điểm

trên nửa đường trũn sao cho cung AC bằng cung

CB Trờn cung CB lấy điểm D khác C và B Các

tia AC, AD cắt Bx lần lượt tại E và F

a, C/m ABE vuông cânABE vuông cân

b, C/m ABF ~ BDFABE vuông cân ABE vuông cân

c, C/m tứ giác CEFD nội tiếp

d, C/m AC.AE = AD.AF

Bài 78:Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở

trên nửa đường tròn đường kính AD, tâm O Hai

đường chéo AC và BD cắt nhau tại E Gọi H là

hình chiếu vuông góc của E xuống AD và I là

trung điểm của DE C/m :

a Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc;

b E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH;

c Năm điểm B, C, I, O, H nằm trên một đường

tròn

Bài 79: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn

đường kính AD Hai đường chéo AC , BD cắt

nhau tại E Hình chiếu vuông góc của E trên

AD là F Đường thẳng CF cắt đường tròn tại

điểm thứ hai là M Giao điểm của BD và CF là

N C/m :

a) CEFD là tứ giác nội tiếp

b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM

  ), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB

và AC lần lượt tại B và C Trên cung nhỏ BC lấymột điểm M (M không trùng với B và C) rồi hạ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tơng ứng BC, CA, AB

a Chỉ ra cách dựng đường tròn (O)

b C/m tứ giác BIMK nội tiếp

c Gọi P là giao điểm của MB và IK; Q là giao điểm của MC và IH C/m PQMI

Bài 81:Cho DABC có ba góc nhọn nội tiếp trongđường tròn tâm O, bán kính R Hạ các đường cao

AD, BE của tam giác Các tia AD, BE lần lượt cắt (O) tại các điểm thứ hai là M, N C/m :

a Bốn điểm A,E,D,B nằm trên một đường tròn Tìm tâm I của đường tròn đó

b MN// DE

c Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyểntrên cung lớn AB C/m độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp DCDE không đổi

Bài 82:Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O

Kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn (B , C

là tiếp điểm ) M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ

BC ( M ạ B ; M ạ C ) Gọi D , E , F tơng ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB , AC , BC ; H là giao điểm của MB và

DF ; K là giao điểm của MC và EF 1) C/m a) MECF là tứ giác nội tiếp

b) MF vuông góc với HK 2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích

a/Tứ giỏc AIMK là hỡnh gỡ?

b/ A, I, M, H, K thuộc một đường trũn Tỡm tõmđường trũn đó

c/ B, M, H thẳng hàng

Trang 22

Bài 84: Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn)

Hai đường cao AD và BF gặp nhau tại H

a/ C/m tứ giác DHFC nội tiếp đợc đường tròn

Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác

b/ Gọi CK là đường cao còn lại của tam giác

ABC; KD cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác

DHCF tại E C/m gócEFH = góc KBH

c/ Giả sử CH = AB Tính số đo của góc ACB

Bài 85:Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp

trong đường tròn (O) Tiếp tuyến tại A và tiếp

tuyến tại D của đường tròn (O) cắt nhau tại E

Gọi I là giao điểm của AC và BD C/m :

Bài 86:Cho đường trũn tõm O đường kính AC

Trên AC lấy điểm B , vẽ đường trũn tõm O’

đường kính BC Gọi M là trung điểm của AB

Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt

đường trũn tõm O tại D và E Nối DC cắt đường

e/ Tứ giácc DMBI nội tiếp

Bài 87:Cho tam giác ABC vuông tại A Trên AC

lấy một điểm D, dựng CE vuông góc với BD

a C/m tứ giác ABCE nội tiếp đường tròn

b C/m AD.CD = ED.BD

c Từ D kẻ DK vuông góc với BC C/m AB,

DK, EC đồng quy tại một điểm và DKEABE

Bài 88:Từ một điểm A ở ngoài đường tròn(O), ta

kẻ các tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O) (B,

C là các tiếp điểm) M là một điểm trên cung nhỏ

BC, M B M; C Từ M hạ các đường vuông

góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, AB

Gọi P là giao của MB và IK; Q là giao của MC

A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đường tròn (O1), (O2) thứ tự tại C, D Đường thẳng CE và đường thẳng DF cắt nhau tại I

a C/m IA vuông góc với CD

b Chúng minh tứ giác IEBF là tứ giác nội tiếp

c C/m đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF

Bài 91:Cho đường trũn tõm O và cỏt tuyến CAB(C ở ngoài đường trũn) Từ điểm chính giữa của cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I,

CM cắt đường trũn tại E, EN cắt đường thẳng

AB tại F

a C/m tứ giỏc MEFI là tứ giỏc nội tiếp

b C/m gúc CAE bằng gúc MEB

c C/m : CE.CM = CF.CI = CA.CB

Bài 92:Cho tam giác ABC vuông ở A và có AB

> AC, đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ

BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính

BH cắt AB tại E, vẽ nửa đường tròn đường kính

HC cắt AC tại F

a C/m tứ giác AEHF là hình chữ nhật

b C/m AE.AB = AF.AC

c C/m BEFC là tứ giác nội tiếp

Bài 93:Cho đường tròn (O) đường kính BC Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O và

Trang 23

B), vẽ đường tròn (O') đường kính AC Đường

tròn đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và

vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại D và E

Gọi F là giao điểm thứ hai của CD với đường

tròn (O'), K là giao điểm thứ hai của CE với

Bài 94:Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau

tại A và B Đường tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt

(O) tại điểm M; đường tiếp tuyến với (O) vẽ từ A

cắt (O') tại N Đường tròn tâm I ngoại tiếp tam

giác MAN cắt AB kéo dài tại P

a C/m tứ giác OAO'I là hình bình hành

b C/m bốn điểm O, B, I, O' nằm trên một đường

tròn

c C/m : BP = BA

Bài 95:Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ

hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn (O) (M,

N là tiếp điểm) Đường thẳng đi qua điểm P cắt

đường tròn (O) tại hai điểm E và F Đường thẳng

qua O song song với PM cắt PN tại Q Gọi H là

trung điểm của đoạn EF C/m :

a Tứ giác PMON nội tiếp đường tròn

Trang 24

Chuyên đề 5: hàm số và đồ thị

BÀI 1: HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG

1 Khái niệm hàm số:

Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x

thay đổi sao cho: với mỗi giá trị của x ta luôn

xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì

y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến

số Kí hiệu y = f(x)

Chú ý: Khi x thay đổi mà y chỉ nhận một giá

trị không đổi thì y được gọi là hàm hằng

2 TXĐ của hàm số:

Là các giá trị của biến x làm cho hàm số xác

định (tức là biểu thức f(x) của hàm số có nghĩa)

Chú ý: Khi vẽ đồ thị từ trái sang phải, nếu đồ thị

đi lên thì hàm số đồng biến, nếu đồ thị đi xuống

thì hàm số nghịch biến

4 Đồ thị của hàm số:

+ Khái niệm: Là hợp các điểm biểu diễn các cặp

giá trị tương ứng (x;y) trên mặt phẳng toạ độ

+ Vẽ đồ thị: Là việc biểu diễn các cặp giá trị

tương ứng (x;y) trên mặt phẳng toạ độ

+ Điểm thuộc đồ thị: Điểm M(x0;y0) thuộc đồ thị

Cách thứ hai:

Chú ý: Điểm (x0;y0)  d  y0 = ax0 + b

4 Quan hệ tương giao của hai đường thẳng:

- (d)//(d/)  a = a/ và b  b/ hệ (I) và (*) vô nghiệm

độ là -2 và 1 Viết phương trình đường thẳng MN

Xác định hàm số y = a.x +b biết rằng đồ thị (d) của nó song song với đường thẳng MN và chỉ cắt(P) tại 1 điểm

Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua 2) và tiếp xúc với (P)

Trang 25

2) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có

hoành độ là -2; 1 Viết phương trình đường thẳng

2) Lập phương trình đường thẳng (D) qua A(2;

1) Tìm m sao cho đồ thị (P) của y = x2 và đồ thị

(D) của y = x + m có hai giao điểm phân biệt A

và B

2) Tìm phương trình của đường thẳng (d) vuông

góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P)

3)a) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa

hai điểm theo tọa độ của hai điểm ấy

b) Áp dụng:Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai

2) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) ( ở câu 1)

và tìm tọa độ tiếp điểm

3) Gọi B là giao điểm của (D) ( ở câu 2) với trục

tung C là điểm đối xứng của A qua trục tung

Chứng tỏ rằng C nằm trên (P) và tam giám ABC

đồ thị và kiểm tra lại bằng phép toán2) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua

A Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm được.3) Tìm phương trình của đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A

Bài 545Cho (P) là đồ thị của hàm số y =ax2 và điểm A(-2; -1) trong cùng hệ trục

1) Tìm a sao cho A thuộc (P) Vẽ (P) với a tìm được

2) Gọi B là điểm thuộc (P) có hoành độ là 4 Viếtphương trình đường thẳng AB

3) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB

Bài 546Cho Parabol (P): y = 2

4

1

x và đường thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lượt

là -2 và 41) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên

2) Viết phương trình của (D)3) Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tương ứnghoành độ) x [-2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất

Bài 547Trong cùng hệ trục vuông góc, cho Parabol (P):

y = -1/4x2 và vẽ đường thẳng (D): y = mx – 2m 1

-1) Vẽ (P)2) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)3) Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm

cố định A thuộc (P)Bài 548

Trong cùng hệ trục vuông góc có Parabol (P): y

= 4

3

có

hệ số góc m

Trang 26

1) Vẽ (P) và viết phương trình của (D)

2) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)

3) Tìm m sao cho (D) và (P) có hai điểm chung

3) Tìm tọa độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó

đường tiếp tuyến của (P) song song với (D)

Bài 550

Cho họ đường thẳng có phương trình: mx + (2m

– 1)y + 3 = 0 (1)

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2; 1)

b) C/m các đường thẳng trên luôn đi qua một

điểm cố định M với mọi m Tìm tọa độ của M

Bài 551

Cho hàm số ; y = f(x) =

4

8 8 2 2

2

2 3

đường thẳng (d1) song song với đường thẳng

(d2); biết rằng (d2 ) qua hai điểm A(1; 2) và B(-3;

3) C/m đường thẳng (D) luôn luôn cắt (P) tại haiđiểm phân biệt A, B với mọi m # 0

4) Gọi H và K là hình chiếu của A và B lên trục hoành C/m tam giác IHK là tam giác vuông.5) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn AB > 4 với m # 0Bài 8:

Cho đường thẳng d có phương trình :

3 2 2

a, Xác định M để d đi qua điểm a (2,-1)

b, Với giá trị nào của m thì d song song với đường thẳng d

3

2 1 ) 2

M (4,3)Bài 10:

Cho hàm số yx 2  3  x

a, Vẽ đồ thị (T) của hàm số trên

b, Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 2  3  x m

c, gọi d là đường thẳng có phương trình y=m cắt

đồ thi (T) tạo thành một hình thang Tìm m để diịen tích hình thang bằng 28

Bài 11: Cho hệ phương trình:

) 1 ( 3

m y x

m là tham số

1 giải hệ phương trình trên với m =2

Trang 27

2.Gọi (D1); (D2) là các đường thẳng có phương

c Xác định giá trị của m để OM= 10

Bài 12: Cho hệ phương trình

y x

2

2 1

Giải hệ phương trình trên với m=2

Với m =3 Vẽ các đường thẳng có phương trình

(1) và 2) Xác định giao điểm của chúng

Biện luận theo m số nghiệm của hệ pơhương

c y 2x 1  2 4  3x

d

1 2

b Tìm giá trị bé nhất của hàm số trên

c Dùng đồ thị T của hàm số, biên luận số nghiệm phương trình sau theo m:

1 1 2

8 Cho hàm số yx m

2 có đồ thị là (dm) và y 4

2 (

0 2

y x y x

m y x

a Với m=1 Giải hệ phương trình trên

b Biên luận theo m số nghiệm của hệ phương trinh đã cho

y x

2 1

a Giải hệ phương trình với m=1

b Tìm giá trị của m để hệ có nhiều nghiẹm nhất

14 Cho góc vuông xOy Một hình chữ nhật OABC có chu vi không đổi là 4cm Giả sử A, C

là hai điểm di động lần lượt trên Ox, Oy CMR:

Trang 28

đường vuông góc kẻ từ B vuông góc với đường

chéo AC luôn đi qua một điểm cố định Xác định

2) Chứng tỏ rằng với mọi m, (D) luôn luôn cắt

(P) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm quỹ tích

trung điểm M của AB

3) Với giá trị nào của m thì AB ngắn nhất? Tìm

giá trị nhỏ nhất đó

Bài 556

Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị (P)

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Tìm quỹ tích những điểm M qua đó có thể vẽ

được 2 đường thẳng vuôn góc với nhau và cùng

3) Vẽ (D) và (P) vừa tìm được ở câu 1 và câu 2

3

và có hệ

số góc m

a) Viết phương trình của (d)

b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đường thẳng

(d) tiếp xúc với (P) ở câu 2 và vuông góc với

nhau

Bài 558Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) trong mặt phẳng toạ độ 0xy

1) Vẽ (P)2) Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lượt

có hoành độ 1 và 2 C/m tam giác 0AB vuông.3) Viết phương trình đường thẳng (D) song song với AB và tiếp xúc với (P)

4) Cho đường thẳng (d): y = mx + 1 ( với m là tham số)

a) C/m (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m

b) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm

có hoành độ x1, x2 thoả mãn : 1 12 11

2

2 1

c) Với giá trị nào của x thì y  4?Bài 560

2) Viết phương trình các đường tiếp tuyến từ điểm A(2; -2) đến (P)

3) Tìm hợp các điểm mà qua đó có hai tiếp tuyếnvuông góc đến (P)

Bài 561Cho hàm số : y = 2x2 : (P)a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số b) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho qua M có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc và cùng tiếp xúc với (P)

Bài 562Trong cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P): y

= -x2 + 4x – 3 và đường thẳng (D) : 2y + 4x – 17

= 01) Vẽ (P) và (D)

Trang 29

2) Tìm vị trí của A thuộc (P) và B thuộc (D) sao

cho độ dài đoạn AB ngắn nhất

Bài 563

Cho Parabol (P): y = -x2 + 6x – 5 Gọi (d) là

đường thẳng đi qua A(3; 2) và có hệ số góc là m

a) C/m với mọi m, đường thẳng (d) luôn luôn

cắt (P) tại hai điểm phân biệt B, C

b) Xác định đường thẳng (d) sao cho độ dài đoạn

2 1

1 C/m với mọi m, (d) luôn luôn đi qua một

điểm cố định

2 C/m với mọi m, (d) luôn luôn cắt (P) tại hai

điểm phân biệt M, N Tìm quỹ tích trung điểm I

của đoạn thẳng MN

Bài 565

Cho hai đường thẳng (d1): y = (m2 + 2m )x

(d2): y = ax (a # 0)

a) Định a để (d2) đi qua A(3; -1),

b) Tìm các giá trị m để cho (d1) vuông góc (d2) ở

m2 + m là một đường thẳng song song với (d1)

Vẽ (d2) với m vừa tìm được

c)Gọi A là điểm trên đường thẳng (d1) có hoành

độ x=2 Tìm phương trình đường thẳng (d3) đi

qua A vuông góc với cả hai đường thẳng (d1) và

c) C/m đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi

Bài 568Cho Parabol (P): y = ax2 và hai điểm A(2; 3), B(-1; 0)

a)Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm M(1; 2) Khảo sát và vẽ (P) với a tìm được

b) Tìm phương trình đường thẳng AB rồi tìm giao điểm của đường thẳng này với (P) ( ở câu a)

c) Gọi C là giao điểm có hoành độ dương Viết phương trình đường thẳng qua C và có với (P) một điểm chung duy nhất

Bài 569a) Cho Parabol (P): y = ax2; cho biết điểm A(1; -1)  (P) Xác định a và vẽ (P) với a tìm được.b) Biện luận số giao điểm của (P) với đường thẳng (d) y = 2mx – m + 2

c) C/m , I(1/2; 2) thuộc (d) với mọi m Tìm phương trình các đường thẳng qua I và có với (P)điểm chung duy nhất

Bài 570a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số y =

b) C/m (d) là một tiếp tuyến của (P)c) Biện luận số giao điểm của (P) và (d’): y = x –

m bằng hai cách ( đồ thị và phép toán)

Bài 571Cho Parabol (P) y =

4

2

x và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B thuộc (P) có hoành độ lần lượt

là 2 và -4a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d)c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất

Trang 30

d) Tìm trên trục 0x điểm N sao cho NA + NB

nhỏ nhất

Bài 572

Cho Parabol (P): y = ax2 và hai điểm A(-2; -5) và

B(3; 5)

a) Viết phương trình đường thẳng AB Xác định

a để đường thẳng AB tiếp xúc với (P) Tìm toạ

độ tiếp điểm

b) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm được

c) Một đường thẳng (D) di động luôn luôn vuông

góc với AB và cắt (P) tại hai điểm M và N Xác

định vị trí của (D) để MN =

2 5

m = 1 Tìm toạ độ giao điểm B của chúng

Qua 0 viết phương trình đường thẳng vuông góc

với (D1) tại A Xác định A và tính diện tích tam

giác AOB

b) C/m các đường thẳng (D1) và (D2) đều đi qua

những điểm cố định Tìm toạ độ của điểm cố

(d1) : y = x- 1(d2) : y = 4x + 2Hãy viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A

và cắt các đường thẳng (d1), (d2) tạo thành tam giác vuông

Bài 577Cho Parabol (P): y = 3x2 – 6x + 1 Viết phương trình tiếp tuyến với (P) và đi qua điểm M(0; 1).Bài 578

Bài 579Cho Parabol (P): y = x2 và điểm A(3; 0) Điểm M

có hoành độ a thuộc (P)

a) Tính khoảng cách AM theo a Xác định a để cho AM có độ dài ngắn nhất

b) C/m ; khi AM ngắn nhất thì đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại điểm M.Bài 580

Cho Parabol (P): y =

2

x

a) Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc m

và đi qua điểm A trên trục hoành có hoành độ là

1 Gọi là (D)b) Biện luận theo m số giao điểm của (P) và đường thẳng (D)

c) Viết phương trình đường thẳng (D) tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm

d) Trong trường hợp (D) vắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm quỹ tích trung điểm I của AB

Trang 31

e) Tìm trên (P) các điểm mà đường thẳng (D)

không đi qua với mọi m

Bài 581

Cho Parabol (P): y = x2 – 4x + 3 và điểm A(2; 1)

Gọi (d) là đường thẳng đi qua A có hệ số góc m

a) C/m ; (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân

a) C/m ; với mọi m, đồ thị (P) luôn luôn cắt trục

hoành tại hai điểm phân biệt

b) C/m ; khi m thay đổi, đỉnh của Parabol luôn

luôn chạy trên một đường thẳng song song với

trục hoành

Bài 583

Cho hàm số y = x2  4x 4  4x2  4x 1 ax

a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến

b) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua điểm B(1;

6) Vẽ đồ thị (C) với a tìm được

c) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm

của phương trình :

m x x

x x

trên đường thẳng (d) có phương trình : y = 2x +

9 6 2

Trong hệ trục toạ độ vuông góc xOy:

a) Vẽ hợp các điểm M(x; y) mà toạ độ (x; y) thoảmãn:

1 2

1   

 y x

b) Tìm m sao cho hệ phương trình sau đây có nghiệm

1 (

) (

) 1 ( 1 2 1

2 m x y x y y

x

y x

Bài 587a) Vẽ hợp các điểm M(x; y) mà toạ độ (x; y) thảomãn phương trình:

x

( m là tham số)Bài 588

6 1

Trang 32

Chuyên đề 4: giải bài toán bằng cách lập phương trình-hệ

phương trình

A KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG

Bài1:

Một ô tô đi từ A đến B Cùng một lúc ô tô thứ

hai đi từ B đến A với vận tốc bằng

3

2vận tốc của

ô tô thứ nhất sau 5 giờ chúng gặp nhau Hỏi mỗi

ô tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu?

Bài 2:

Một ô tô du lịch đi từ A đến C Cùng một lúc từ

địa điểm B nằm trên đoạn đường AC, có một ô

tô vận tải cũng đi đến C Sau 5 giờ hai ô tô gặp

nhau tại C Hỏi ô tô du lịch đi từ A đến B mất

bao lâu, biết rằng vận tốc của ô tô vận tải bằng

5 3

vận tốc của ô tô du lịch?

Bài3:

Đường sông từ thành phố A đến thành phố B

ngắn hơn đường bộ 10 km Để đi từ A đến B,

canô đi hết 3 giờ 20 phút, ô tô đi hết 2 giờ Vận

tốc của canô kém vận tốc ô tô 17 km/h Tính vận

tốc của canô?

Bài4:

Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách

nhau 50km Sau đó 1giờ30phút, một người đi xe

máy cũng đi từ A và đến B sớm hơn 1giờ Tính

vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp

2.5 lần vận tốc xe đạp?

Bài5:

Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc

trung bình 30km/h Khi đến B, người đó nhỉ

20phút rồi quay trở về Avới vận tốc trung bình

25km/h Tính quãng đường AB, biết rằng thời

gian cả đi lẫn về là 5giờ30phút

Bài6:

Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận

tốc trung bình 40 km/ h Lúc đầu ô tô đi với vận

tốc đó, khi còn 60 km nữa thì được một nửa

quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc

10 km/ h trên quãng đường còn lại, do đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định Tính quãng đường AB

Bài 8:

Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoànthành xong một công việc đã định Họ làm chungvới nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều đi làm việc khác, tổ thứ 2 làm nốt phần công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?Bài 9:

Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất được

800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ một sản xuất vượt 15%, tổ 2 sản xuất vượt mức 20%, do

đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiếtmáy Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhấnản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Bài 10:

Một đội công nhân hoàn thành một công việc vớimức 420 công thợ Hãy tinh số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.Bài 11:

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau

5

4 4giờ bể đầy Mỗi giờ lượng nước của vòi một chảy được bằng

2

1

1 lượng nước chảy được cua vòi 2 Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể?

Bài 12:

Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ

Trang 33

phải bơm được 10m3. Sau khi bơm được

3

1 dungtích bể chứa, người công nhân vận hành cho máy

bơm với công xuất lớn hơn, mỗi giờ bơm được

15m3 Do đó, bể được bơm đầy trước 48phút so

với thời gian quy định Tính dung tích của bể

chứa?

Bài 13:

Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4

triệu Dân số tỉnh A năm nay tăng 1.2%, còn tỉnh

B tăng 1.1% Tổng số dan của hai tỉnh năm nay

là 4045000 người Tính số dân của mỗi tỉnh năm

ngoái và năm nay

Bài 14:

Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp thành

từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng nhau

Nếu số dãy tăng thêm một và số ghế của mỗi dãy

cũng tăng thêm một thì trong phòng có 400 ghế

Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và

mỗi dãy có bao nhiêu ghế?

Bài 15:

Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời

gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h

thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc

50km/h thì đến sớm hơn một giờ Tính quãng

đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu?

Bài16:

Hai canô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách

nhau 85 km và đi ngược chiều nhau.Tính vận tốc

riêng của mỗi canô, biét rằng vận tốc của canô đi

xuôi dòng thì lớn hơn vận tốc của canô đi ngược

dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/ h

Bài 17:

Hai người thợ cùng làm một công việc trong

16giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm3giờ và

người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25%

công việc Hỏi mỗi người làm công việc đó một

mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc?

Bài 18:

Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc

và dự định làm xong trong 12 ngày Họ cùng làm

vởi nhau được 8 ngày thì đội một được điều

động làm việc khác , còn đội hai tiếp tục làm Docải tiến kĩ thuật, năng xuất tăng gấp đôi nên đội 2

đã làm xong phần công việc còn lại trong 3 ngày rưỡi.Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong công việc nói trên (với năng xuất bình thường) ?

Bài 19:

Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau 1giờ

20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong

10 phút và vòi thứ 2 trong 12 phút thì đầy

15

2

bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể?

Bài20:

Hai vậi chuyển động trên một đường tròn có đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ cùngmột điểm Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20giây lại gặp nhau Nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4giây lại gặp nhau Tính vận tốc của mỗi vật

Bài 21:

Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A Sau 5giờ20phút, một canô chạy từ bến A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20km Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng canô chạy nhanh hơn thuyền 12km1giờ ?

Bài 22:

Quãng đường AB dài 270km Hai ô tô khởi hànhcùng một lúc đi từ A đếnB Ô tô thứ nhất chỵ nhanh hơn ô tô thứ hai 12km/h, nên đến trước ô

tô thứ hai 40phút Tính vận tốc của mỗi xe

Bài 24:

Cho một số có hai chữ số Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu

Trang 34

thêm 25 vào tích của hai chữ số đó, sẽ được một

số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho

Bài 25:

Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80km,

cả đi và về mất 8giờ20phút Tính vận tốc của tàu

thuỷ khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của

Hai canô cùng khởi hành một lúc và chạy từ bến

A đến bến B Canô I chạy với vận tốc 20km/h,

canô II chạy với vận tốc 24km/h Trên dường đi,

canô II dừng lại 40phút, sau đó tiếp tục chạy vơí

vận tốc như cũ Tính chiều dài quãng sông AB,

biết rằng hai canô đến b cùng một lúc

Bài 28:

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m

Người ta làm một lối đi quanh vườn (thuộc đất

trong vườn) rộng 2 m Tính kích thước của vườn,

biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là

4256 m3

Trang 35

Chuyên đề 5: hệ Thức vi ét

Các kiến thức cần nhớ J

1) Định lí Vi ét:

Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a≠0) Nếu

ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 thì:

-3) Tìm hai số khi biết tổng và tích:

Hai số x; y có: x + y = S; x.y = P thì hai số x; y

là nghiệm của phơng trình:

4

3 5;

x

x và

1 2

x

x f)

1 1

1

x x

+

và

2 2

1

x x

+

g)

1 2

1

x x

+

và

2 1

1

x x

+h)

+

và 2 1

1

x x

+j) 2

1 2

x + và 1

1 2

x +

Bài 3: Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình: x2+px- 5=0 Không giải phơng trình, hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là:

x

x và

1 2

x

x f)

1 1

2

x x

và

2 2

2

x x

-g)

1 2

3

x x

- +

và

2 1

3

x x

Trang 36

j) x12 và 2

+l) x12x2 và x1x22Bài 4: Gọi p; q là hai nghiệm của phơng trình

2

3x + 7x+ = 4 0 Không giải phơng trình Hãy

lập một phơng trình bậc hai với các hệ số nguyên

p q- và 1

q p-

C/m nếu 2p2- 9q=0 thì pt có hai nghiệm và

nghiệm này gấp đôi nghiệm kia

Dạng thứ hai: Tìm tổng và tích các nghiệm:

Bài 1: Cho phơng trình: x2- 5x+ =3 0 Gọi x1;

x2 là hai nghiệm của phơng trình không giải

a) Tổng bình phơng các nghiệm b) Tổng nghịch đảo các nghiệm

c) Tổng lập phơng các nghiệm d) Bình phơng tổng các nghiệm

nghiệmBài 4: Cho pt: x2+ 4 3 x + = 8 0 có hai

nghiệm x1; x2 Không giải pt hãy tính:

Định dạng
Số trang	73
Dung lượng	3,55 MB