Giải bài tập tài liệu giảng dạyđại số sơ cấp và thực hành giải toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM GIẢI BÀI TẬP TÀI LIỆU GIẢNG DẠY ĐẠI SỐ SƠ CẤP VÀ THỰC HÀNH GIẢI TOÁN TS... Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .... Bài toá

Khái niệm hàm số

Ví dụ (trang 2): Cho hàm số y  max ,   x x  Vẽ đồ thị hàm số này và tập xác định, tập giá trị của hàm số

Giải Hàm số y  max ,   x x  được xác định như sau:

Hàm số này là hàm giá trị tuyệt đối của x: y  x

Ví dụ (trang 2): a) Một thiết bị đã ghi lại vận tốc v(mét/giây) ở thời điểm t (giây) của một vật chuyển động như trong bảng sau: t (giây) 0,5 1 1,2 1,8 2,5 v (mét/giây) 1,5 3 0 5,4 7,5

Vì sao bảng này biểu thị một hàm số? Tìm tập xác định của hàm số này?

Một hàm số được định nghĩa là mối quan hệ giữa các giá trị, trong đó mỗi giá trị t thuộc tập xác định sẽ tương ứng với một giá trị duy nhất v thuộc tập số thực.

3 b) Ở góc của miếng đất hình chữ nhật, người ta làm bồn hoa có dạng 1

Diện tích bồn hoa hình tròn được tính bằng công thức A = πr², trong đó r là bán kính Bán kính bồn hoa có thể dao động từ 0,5m đến 3m, vì vậy tập xác định của hàm số này là r ∈ [0,5; 3] Để bồn hoa có diện tích bằng 0,5π m², bán kính cần đạt giá trị r = 0,5m.

Giải a) Gọi S là diện tích bồn hoa r là bán kính

Diện tích hình tròn là: r 2

S  4r Tập xác định: D   0,5;3  b) Ta có: 1 2

Vậy bán kính bồn hoa là 2.

Một phép biến đổi đồ thị

Ví dụ (Trang 3): Cho hàm số y x a) Hãy vẽ đồ thị của đường thẳng ( ) :d y x b) Từ đó suy ra đồ thị các đường thẳng sau:

Do đó tịnh tiến ( )G sang trái 3 đơn vị ta được đồ thị ( )d 1 của hàm số y x 3

Do đó tịnh tiến ( )G xuống dưới 2 đơn vị ta được đồ thị ( )d 2 của hàm số y x 2

Do đó tịnh tiến ( )G lên trên 2 đơn vị t được đồ thị ( )d 3 của hàm số y   (x 1) 3

Do đó tịnh tiến ( )G sang trái 1 đơn vị và xuống dưới 2 đơn vị ta được đồ thị của hàm số

Ví dụ (trang 4): Cho hàm số y  x 2 a) Hãy vẽ đồ thị của đường thẳng (P): y  x 2 b) Từ đó suy ra đồ thị các Parabol sau:

6 b)  P y x 1 :   2 3: tịnh tiến lên trên   P 3 đơn vị

  P y x 2 :   2 2: tịnh tiến xuống dưới   P 2 đơn vị

  P y 3 :     x 1 2  3: tịnh tiến sang phải  P 1 đơn vị và lên trên  P 3 đơn vị

  P y 4 :    x 1  2  2:tịnh tiến sang trái  P 1 đơn vị và xuống dưới   P 2 đơn vị

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Ví dụ (trang 4): Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y f x      2 x 3 trên đoạn  3;1 

Giải Cách 1: Vẽ đồ thị hàm số y 2x3 x 3 1 y 3 5

Vậy: miny  3khi x  3 maxy 5 khi x 1

Vậy: miny  3khi x  3 maxy 5khi x 1

      Vậy GTLN, GTNN của hàm số lần lượt là 1 và 0 Cách 2: Vẽ đồ thị

Gọi ( ) :C x 2  y 2 1 là đường tròn tâm O(0;0)và bán kínhR1

Dựa vào đồ thị, nếu 1 1

Vậy GTLN, GTNN của hàm số lần lượt là 1 và 0

Gọi y o là một giá trị của hàm số y  1x 2

Ta có: y o  1x 2    x 2 y o 2 1 0(1) Để phương trình (1) có nghiệm thì   4(y o 2      1) 0 1 y o 1 Với y o 1 thì (1) thành x 2   0 x 0.

      Vậy GTLN, GTNN của hàm số lần lượt là 1 và 0

Khi đó hàm số y  1x 2 thành y  1 cos 2 t  sin 2 t  sint

Vậy GTLN, GTNN của hàm số lần lượt là 1 và 0

Vậy GTLN, GTNN của hàm số lần lượt là 1 và 0

Cách 6: Bất đẳng thức Cô-si

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 1    x 1 x x 0.

Giả sử tồn tại x o sao cho y0.

Vậy GTLN, GTNN của hàm số lần lượt là 1 và 0

Ví dụ (ngoài TLGD): Tìm GTNN của hàm số y x 2 2x

Vậy GTNN của hàm số là 1khi x 1

Ví dụ (ngoài TLGD): Tìm GTLN của biểu thức: A  x 2 2y 2 4x  2y 6

Vậy GTLN của A là 1 khi 2

Ví dụ (ngoài TLGD): Tìm GTNN của biểu thức a) 1

Dấu “” xảy ra khi nào?

Do x0 nên áp dụng BDT Cosi:

Vậy MinA x  0 1 tại 1 x  2 b) Tìm GTNN của 2

Do t 0 nên áp dụng BDT Cosi: 2t 2 12 2 2t 2 12 t t

Do x   1 x 1 0 Áp dụng BDT Cosi ta được:

5 2 MinBx   tại x 3 c) Tìm GTNN của 1 2

Do 0 x 1nên áp dụng BDT Cosi: 1 2 3 2 (1 ) 2 3

Do 0 x 1 nên áp dụng BDT Cosi:

1.3.1 Tìm gái trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng

Ví dụ: (trang 5) Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) y 4x 1 5

Giải Cách 1: Dùng bảng biến thiên

Vậy GTNN của hàm số trên đoạn  0;  là y  9 tại x  1 2và không tồn tại GTLN Cách 2: Dùng bất đẳng thức Cô-si

18 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương4xvà1 x ta được:

   x  y 9 Vậy GTNN của hàm số trên đoạn  0;  là y  9 và không tồn tại GTLN b) 2 2 1

  (Dùng BBT và phương pháp miền giá trị)

GTNN của 1 y  3 khi x  1 Cách 2: Phương pháp miền giá trị:

Gọi y 0 là một giá trị của hàm số, ta có:

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi:  0

Kết hợp (1) và (2), ta có: 1 0 3

Vậy GTNN của 1 y  3 GTLN của y 3 sin 2 cos 1

: sin cos 2 sin cos 2 sin 2 cos 1

(1) Có nghiệm x D khi và chỉ khi a 2  b 2 c 2

Suy ra miền giá trị T   2;1, vậy max D y 1, min D y  2

     Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta được:

1.3.2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Ví dụ (trang 6): Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5cm có thể có diện tích lớn nhất là bằng bao nhiêu ?

Vì là tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 suy ra:

2 2 25 a  b Áp dụng BĐT Cô si suy ra:

1.3.4 Dùng bất đẳng thức Cô Si

Ví dụ (trang 7): a) Tìm GTNN của hàm số y 4x 1 5

  x trên khoảng  0;   b) Tìm GTLN, GTNN của hàm số f x( ) x 4 2

Vậy GTNN của hàm số là y 9 b)   3 3

Vậy GTLN của hàm số là 5 và GTNN của hàm số là 3

1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5

Giải a) Dựa vào đồ thị ta thấy max       1;6 f x     f 1 6;min       1;6 f x     f 5 1 b) Dựa vào đồ thị ta thấy max     3;3    g x    g 1 7;min     3;3    g x      g 1 1

2)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) 2 1 x 2 y  x trên đoạn    3;7 ;

Vậy min       3;7 y y   7 3;max       3;7 y y   3 7 b) ' 2cos2 ; ' 0 y  x y   x 2 vì 0;7 x   12

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) y x   3 3x 4trên nửa khoảng    3; 2  b) 3 2 2 4

Vậy hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng    1; 

4) Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4m Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)? Giải

Gọi a là chiều dài của cửa sổ hình chữ nhật(a> 0 ) b là chiều rộng của cửa sổ hình chữ nhật (0 b a)

Theo đề bài ta có, chu vi của cửa sổ hình chữ nhật là 4m

Diện tích của cửa sổ là: S=a*(2a)* a 2 là một hàm bậc 2 có hệ số âm Nên đỉnh của parabol này đạt giá trị lớn nhất tại 2

     b 2 a 1 Vậy khi chiều dài bằng 1m và chiều rộng bằng 1m thì cửa sổ có diện tích lớn nhất

5) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y 2 1 x 2 x 2

Giải Điều kiện xác định:1     x 2 0 1 x 1

Vậy: Hàm số đạt giá trị lớn nhất là 2 tại x=0

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là 1 tại x=-1 và x=1

6) Khối lượng q(kg) của một cửa hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán p (nghìn đồng /kg) theo công thức 15 1 p 2q Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức R=pq a) Viết công thức biểu diễn R theo p

26 b) Tìm giá bán mỗi kilogam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó

Giải a) Công thức biểu diễn R theo p là: (15 1 ) 15 1 2

R pq   q q  q q b) Ta có R 1 2 q2q là hàm số bậc 2 có hệ số âm nên giá trị lớn nhất của hàm số trùng với giá trị tại đỉnh parabol, tại điểm q= (15) 15

Giá bán đạt doanh thu cao nhất là p=7,5(nghìn đồng /kg)

Doanh thu cao nhất là R2,5(nghìn đồng)

7) Hộp sữa 1l được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất

Gọi y là chiều cao của hình hộp chữ nhật

Theo đề bài ta có thể tích của hộp là 1l:

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

Do hàm số bậc 2 có hệ số dương, giá trị nhỏ nhất của hàm số xảy ra tại đỉnh của parabol Do đó, khi x đạt giá trị cm, diện tích toàn phần của hộp sữa sẽ đạt mức tối thiểu.

Dạng toán 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên

Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1; 3] có bảng biến thiên được cung cấp Giá trị lớn nhất của hàm số này trong khoảng từ -1 đến 3 được ký hiệu là M Câu hỏi đặt ra là tìm giá trị của M.

Giải Dựa vào bảng biến thiên ta có:

 Giá trị lớn nhất của hàm số y f x ( ) là 5 tại x 0

Câu 2: Cho hàm số y f x( )xác định liên tục trên [ 2;3] có bảng biến thiên như hình bên Gọi

M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 2;3] Tính tổng

Giải Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [-1; 3] có đồ thị như hình vẽ Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn này Câu hỏi đặt ra là giá trị của M - m bằng bao nhiêu?

Giải Dựa vào đồ thị ta có:

Câu 4: Cho hàm số y f x ( )liên tục trên đoạn [ 2;3] và có đồ thị như hình vẽ bên dưới Gọi

M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f(2cos5x1) Giá trị của 2

Giải Dựa vào tính chất của hàm cosin, ta có:

Khi đó ta có hàm số y f t ( )với t  [ 1;3]

Dựa vào đồ thị hàm số, xét trong đoạn [ 1;3] ta có :

Câu 5: Cho hàm số y f x ( ) liên tục trên đoạn [ 1;3] và có đồ thị như hình vẽ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f (3sin 2 x 1)?

Giải Dựa vào tính chất của hàm sin, ta có:

Khi đó ta có hàm số y f t ( )với t  [ 1;2]

Dựa vào đồ thị hàm số, xét trong đoạn [ 1;2] thì giá trị lớn nhất của hàm số y f t ( ) là 2 tại 0 t 

Câu 6: cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn 1;3 và có bảng biến thiên bên dưới Tìm giá tri lớn nhất của hàm số y  f  3 cos x  1  ?

Ta có: cosx   0 : 1 3 cosx   1  1;2 Đặt t3 cosx 1

Khi đó ta xét f t( ) trên đoạn 1;2

Dựa vào bảng biến thiên ta có Maxf t( ) 2 trên đoạn 1;2 khi t  0

Vậy M 2 là GTLN của hàm số khicos 1 x  3 Câu 7: Cho hàm số y f x    liên tục trên đoạn 1;3 và có đồ thị như hình

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

  ( ) y f f x trên đoạn  -1; 0 Giá trị M-m bằng?

Xét hàm số y f t    trên đoạn    1;2

Dựa vào đồ thị hàm số quan sát trên đoạn    1;2 ta có M Maxf t     1 tại t  1 và

Câu 8: Cho hàm số y f x    xác định, liên tục trên đoạn   2; 2  và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới

Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y  f f x   ( ) trên đoạn  1;1  Tính giá trị của M - m ?

Xét hàm số y f t    trên đoạn 2;2

Quan sát đồ thì trên đoạn từ 2;2 ta được M Maxf t     4 tại t  2 và

Bài 9: Cho hàm số y f x ( )có đồ thị như hình dưới đây:

Tìm giả trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f x( ) trên đoạn [ 2,3] ?

Từ đồ thị hàm số đã cho ta lập được bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [ 2,3] : x 2 0 1 3

Từ bảng biến thiên ta có: max ( )[ 2;3]f x f(3) 3

Vậy hàm số đã cho có GTLN là 3 và GTNN là -2

Bài 10: Cho hàm số y f x ( ) có đồ thị như hình bên Hãy tìm giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn [ 1;2] ?

Từ đồ thị hàm số đã cho ta lập được bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [ 1;2] : x 1 0 x1 2

Từ bảng biến thiên ta có:

Vậy hàm số đã cho có GTLN là 5

Bài 11: Cho hàm số y  f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Cho biết giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ 1;1] là bao nhiêu?

Ta có bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [ 1;1] như sau: x 1 0 1

Từ bảng biến thiên ta có:

     Vậy hàm số đã cho có GTNN là 0

Bài 11’: Cho hàm số y f x ( ) xác định trên nửa khoảng 3 ;

 và có bảng biến thiên dưới đây: x 3

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

Giải Hàm số trên không có giá trị nhỏ nhất

Bài 12: Cho hàm số y  f x( ) có đạo hàm f x'( )tại mọi điểm x  Đồ thị của hàm số '( ) y  f x được cho như hình vẽ dưới đây

Biết rằng f(0)f(3) f(2)f(5) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của y f x ( )trên đoạn    0;5 ?

Từ đồ thị y  f x'( ) trên đoạn    0;5, ta có bảng biến thiên của hàm số y f x ( ) trên đoạn    0;5 x 0 2 5

Từ bảng biến thiên, ta có hàm số y  f x( )đồng biến trên    2;5

Bài 13: Cho hàm số y f x ( )liên tục trên và có bảng biến thiên như sau: x  1 2 

Tìm điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số trên?

Giải Điểm cực đại của đồ thị hàm số là (2;4) Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là ( 1; 2) 

Bài 14: Cho hàm số y f x ( ) xác định và liên tục trên đoạn 0;7

  có đồ thị hàm số y f x ( ) như hình vẽ

Hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;7

Vậy hàm số đã cho đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;7

  tại điểm x 3 Bài 15: Cho hàm số y f x ( ) xác định và liên tục trên  có bảng biến thiên như hình vẽ: x  0 1 

Giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng   ;1  là bao nhiêu?

Giải Dựa vào bảng biến thiên, giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng   ;1  khi x  1 và f (1) 1 

Bài 16: Cho hàm số y f x ( ) xác định và liên tục trên  có bảng biến thiên như hình vẽ:

Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y f x ( ) có giá trị nhỏ nhất?

Giải Dựa vào bảng biến thiên:

+ Khi m0: f x( ) có giá trị nhỏ hơn 0 khi x  

Vậy m 0hay có vô số m để hàm số y f x ( ) có giá trị nhỏ nhất

Bài 17: Cho hàm số y  f x   Đồ thị hàm số đạo hàm y  f x    như hình vẽ bên Đặt h x    3 f x     x 3 3 x Tìm giá trị lớn nhất của hàm số h x   trên  3; 3 ?

Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ giao điểm của hàm số y  f x    và hàm số y x 2 1

Vẽ đồ thị hàm số y x 2 1lên hình vẽ đã cho, ta được:

Do x 0 là nghiệm kép nên loại 3

Bài 18: Cho hàm số y f x    liên tục trên và có đồ thị hàm số f x   như hình vẽ bên

Tìm giá trọ nhỏ nhất của hàm số y f x    trên đoạn 1;2?

Từ đồ thị hàm số f x   , ta có BBT sau: x 1 1 2

Dạng toán 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Bài 1 (trang 14): Gọi M và m lần lượt là GTLN, GTNN của hàm số sin3 cos2 sin 2 y  x x  x Khi đó giá trị biểu thức M 2 m 2 bằng bao nhiêu?

3 3 2 3 2 sin cos2 sin 2 sin 1 2sin sin 2 sin 2sin sin 1 y  x x x  x  x  x  x x x

Suy ra max D y 5 M khi arcsin 1 2

M m         là giá trị cần tìm

Bài 2 (trang 14): Cho hàm số y e x  x  2  3  , gọi b  , 

e   là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  5; 2 Tính giá trị của biểu thức P a b 

Vậy 6e  3 là giá trị lớn nhất của hàm số này trên đoạn  5; 2

Vậy 9 là giá trị của biểu thức Pcần tìm

Bài 3 (trang 14): Giá trị lớn nhất của hàm số 2 sin 1 sin x 2 y  x 

Do   1 sin x   1  sin x  2  2  0 với mọi x  

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là y0khi x  6

Bài 4 (trang 14): Tìm m để hàm số y x  4x 2 mcó giá trị lớn nhất bằng 3 2

Giải Điều kiện xác định :   2 x 2

Dễ thấy giá trị lớn nhất của hàm số y  f x     x 4  x 2 là 2 2

Vậy m  2là giá trị cần tìm

Dạng toán 3 Bài toán thực tế

Bài 1 (trang 14) : Một vật chuyển động theo quy luật s  t 3 6t 2 42t 1với t(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s(mét ) là quãng đường đi được trong khoảng thời gian đó Hỏi trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc nhỏ nhất của vâtj đạt được bằng bao nhiêu?

Vậy trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động , vận tốc nhỏ nhất của vật đạt được bằng 30 / m s

Bài 2 (trang 14): Một vật chuyển động theo quy luật 1 3 9 2

Trong bài toán này, quãng đường S được mô tả bằng công thức S = -2t + t^2, trong đó t (giây) là thời gian kể từ khi vật bắt đầu chuyển động và S (mét) là quãng đường vật đi được Câu hỏi đặt ra là trong khoảng thời gian 10 giây, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu.

Vậy trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động , vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng 54 / m s

Bài 3 (trang 14): Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm Để bán được số tivi đó, cửa hàng đặt hàng từ Nhà máy sản xuất thành nhiều lần trong năm, số tivi đặt cho nhà máy là như nhau cho các lần đặt hàng Mỗi lần lấy hàng từ nhà máy về cửa hàng chỉ để trưng bày được một nửa, một nửa số hàng còn lại phải lưu kho Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái Cửa hàng đặt bao nhiêu lần trong một năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí mà cửa hàng phải trả là nhỏ nhất?

Giải Gọi x là số tivi mà cửa hàng đặt mỗi lần  x  1;2500  đơn vị: cái

Số lượng tivi trung bình gởi trong kho là

2 x nên chi phí lưu kho tương ứng là: 10 5

Số lần đặt hàng mỗi năm là 2500 x và chi phí đặt hàng là: 2500 20 9x x   

Khi đó chi phí mà cửa hàng phải gửi trả là: C x    2500 x  20 9  x   5 x  5 x  50000 x  22500

Vậy cửa hàng đặt 25 lần một năm, mỗi lần đặt 100 cái

Dạng toán 4 Tìm GTLN, GTNN của hàm nhiều biến

Ví dụ (trang 15): Cho x y, là hai số không âm thỏa mãn x y 2 Giá trị nhỏ nhất của

Mà x y, là hai số không âm nên 0 x 2

Vậy GTNN của P là -1 khi x   1 y 1

Ví dụ (trang 15): Cho x y R,  thỏa mãn x y  x 1 2y2 Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2  y 2 2(x 1)(y 1) 8 4 x y Tính M+m

 Giá trị lớn nhất là M= 25 Giá trị nhỏ nhất là m = 18

Ví dụ (trang 15): Cho các số thực không âm x y, thỏa mãn x y 1.Hãy tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức S (4x 2 3 )(4y y 2 3 ) 25x  xy

Các khái niệm cơ bản

Ví dụ (trang 16): Giải các pt sau:

Vậy 11 x 4 là nghiệm của phương trình cho. b) TXD: D=R

Vậy pt đã cho vô nghiệm c) (x 2  3x 2) x 3 0 ĐK: x   3 0 x 3

Vậy x 3là nghiệm của phương trình cho

1 (trang 16 – 17) Tìm điều kiện của phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của chúng:

Giải Điều kiện xác định của phương trình là

Vậy tập xác định của phương trình là D    2

Vậy hàm số chỉ xác định tại x 2

Thay x 2 vào phương trình ta được 6 6 (đúng)

Do đó tập nghiệm của phương trình là S    2 b)    x 2   y 1 2  xy    x 1   y  1

Giải Để phương trình đã cho có nghĩa khi:    x 2  y 1  2  0

    (*) Thay (*) vào phương trình đã cho ta được: 0=0 (đúng)

Vậy     x y ,   0, 1 là nghiệm của phương trình đã cho

Giải Điều kiện xác định của hàm số là

Vậy tập xác định của phương trình là D 

Do tập xác định của phương trình là D = ∅, nên hàm số không có giá trị nào với mọi x ∈ R Điều này có nghĩa là không tồn tại giá trị x nào để hàm số bằng không.

Vì thế tập nghiệm của phương trình là S    

Giải Điều kiện xác định của phương trình là:

Vậy hàm số xác định khi và chỉ khi x 3,y 1

Thay x 3,y 1 vào phương trình ban đầu ta được 4 4 (Đúng)

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là x 3,y 1

2 (trang 16 – 17) Giải các phương trình sau:

     x 0 Vậy x  0 là nghiệm của phương trình

           Vậy x  5 là nghiệm của phương trình c) 1 10 2 2 3 2 1

Vậy phương trình vô nghiệm e)  x 2   2 x 2  x   1 0

Với x  1 thì phương trình cho

Vậy S     1;1 là tập nghiệm phương trình cho f) 1

Với x 1 thì phương trình cho

Vậy S    2 là tập nghiệm phương trình cho g) x x     1  x 2  2

Giải +Xét với x 1phương trình cho

+Xét vớix 1 phương trình cho

+Xét với x 1 phương trình cho

Kết luận: S   là tập nghiệm phương trình cho

3 (trang 17) Giải phương trình hệ quả để tìm nghiệm các phương trình sau: a)   

Thay x 3 vào phương trình đã cho  8 8 (thoả) Thay x  3 vào phương trình đã cho  2 8 (vô lí) Vậy x 3 là nghiệm của phương trình b)   

Thay x 2 vào phương trình đã cho  3 3 (thoả) Thay x  2 vào phương trình đã cho  3 1 (vô lí)

Thay  8 21 x 21 vào phương trình đã cho 13 21 21 = 29 21 21 (vô lí)

Thay  8 21 x 21 vào phương trình đã cho 13 21 21 = 13 21 21 (thoả)

8 2121 x x là nghiệm của phương trình

4 (trang 17) Giải các phương trình sau theo phương trình tương đương và phương trình hệ quả:

Giải bằng phương trình tương đương: Điều kiện xác định:x   2 0 x 2

  vậy nghiệm của phương trình đã cho là x=5

Giải bằng phương trình hệ quả: 2 4 2 2

Thử lại, với x=5 thay vào phương trình 2 4 2 2

59 với x=0 thay vào phương trình 2 4 2 2

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 5

+Giải theo phương trình tương đương: Điều kiện: 2 3 0

Với điều kiện trên phương trình (1)  x1 (x   1) ( 3x 1)(2x3)(2) Khi x  1, phương trình (2)  (x 1)(x   1) ( 3x 1)(2x3)

+Giải theo phương trình hệ quả:

Thử lại ta nhận nghiệm 11 65 x  14 và 11 65 x  14

Thử lại thế 2 2 x  và x 11 vào (1) ta được cả 2 nghiệm không là nghiệm của phương trình

Giải Phương trình tương đương: Điều kiện xác định của phương trình là:

Vậy tập xác định của phương trình là:

Vậy tập nghiệm của phương trình là S    3;11 

Thay x  3 vào phương trình ban đầu ta được 0 0 (nhận) Thay x 11 vào phương trình ban đầu ta được 8 7 8 7 (nhận) Vậy tập nghiệm của phương trình là S    3;11 

Vậy PT (*) có một nghiệm: x 1

1 x  là ngiệm của phường trình, x 0không là ngiệm của phương trình

Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

2.2.1 Cách giải và biện luận phương trình bậc nhất

Ví dụ (ngoài TLGD): Giải và biện luận phương trình: 2

Vậy: phương trình (1) có nghiệm nếu m2(  x 1)

Bài 1 (trang 19): Giải và biện luận các phương trình sau: a) 3(m1)x  4 2x 5(m1)(1)

Thay vào phương trình (2)  2 03  (vô lí)

Với 1 m 3thì phương trình (1) vô nghiệm

Kết luận: Với 1 m 3thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất 5 1

Với 1 m 3thì phương trình (1) vô nghiệm b)    

Khi m  1 thì pt (*) 0 6 (vô lý) nên pt (*) vô nghiệm hay pt (1) vô nghiệm TH2: Nếu m  1 0 m  1

Khi đó pt (*) có nghiệm duy nhất 

6 1 x m là nghiệm của pt (1) khi thỏa ĐKXĐ, tức là:

1 2 m m thì pt (1) có nghiệm duy nhất 

Nếu 1 m 2thì   2  0 x  8, phương trình   2 vô nghiệm

Nếu 4 1 0 1 m    m 4thì   3  0 x  3, phương trình   3 vô nghiệm

Nếu 1 m  2và 1 m 4thì phương trình   1 có 2 nghiệm là 8

Nếu 1 m 2thì phương trình   1 có 1 nghiệm là x 2

Nếu 1 m 4thì phương trình   1 có 1 nghiệm là x  16 d) mx  1 3x m 2

 thì pt(*) có 2 nghiệm x 1 và 1

Kết luận : Với m 3, pt(*) có nghiệm với x 

Với m  3, pt(*) có 1 nghiệm lầ x 1

 , pt(*) có 2 nghiệm là x 1 và 1 m3 x  m

Bài 2 (trang 19): Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm:

Vậy khi m 2 hoặc m 3 thì phương trình (1)vô nghiệm ) b Để phương trình đã cho xác định: 1

Vậy khi m3 thì phương trình (2) vô nghiệm,

) c Ta có thể biến đổi phương trình như sau:

Vậy m 1 thì phương trình vô nghiệm

Vậy m 1 thì phương trình vô nghiệm

Khi đó, phương trình   * trở thành: 0 2m1

Lúc này, để phương trình vô nghiệm thì 1 m 2 Vậy để phương trình (3) vô nghiệm thì m 1

Bài 3 (trang 19) Tìm m để các phương trình sau có tập nghiệm là  (vô số nghiệm):

Phương trình vô số nghiệm khi:

  là giá trị cần tìm

Bài 4 (trang 20): Tìm m để phương trình có nghiệm: a) m x 2 ( 1) 4 x 3m2 (1) với x  0

Với m 2thì pt (*) 0 0(đúng) nên pt (*) có vô số nghiệm pt (*) có nghiệm x 0 Với m  2thì pt (*) 0 12(vô lý) nên pt (*) vô nghiệm

Khi đó pt (*) có nghiệm duy nhất   

Lại có: xlà nghiệm của pt (1)               

Vậy khi m1 thì phương trình3 2 2 2 1

2.2.2 Cách giải phương trình bậc hai

Bài 5 (trang 21): Giải và biện luận phương trình sau: a)  m  1   x 2   2 m x    1 0 (1)

Giải TH1: Nếu m   1 0 m 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x 1

+ Nếu    0 m 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép

 + Nếu    0 m 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1  m 2    m 2  1 m   1

  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1

Vì    ' 0, m nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Nếu m 0thì  ' 0 nên (2) có hai nghiệm phân biệt

+ m0: Phương trình (1) nghiệm nghiệm kép x 0

+ m0: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Bài 6 (trang 21): Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

Giải Để pt (1)có 2 nghiệm phân biệt 0 1 0( ) 2 2 1

Vậy với 1 ; m 2 thì pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt

73 Để pt (2)có 2 nghiệm phân biệt

Vậy với m     24 1;    \ 0  thì pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt

Bài 7 (Trang 21): Cho phương trình: x 3   2 m  1  x 2  mx m   0 Tìm mđể phương trình có 3 nghiệm phân biệt

     Để phương trình   1 có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình   * phải có 2 nghiệm phân biệt khác

Vậy m     ;1    0; 1 3       1 3 ;    thoả yêu cầu đề bài

Bài 8 (trang 21): Cho phương trình: x 3  2  m  1  x 2   7 m  2  x   4 6 m  0 (2) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm dương phân biệt

Phương trình đã cho trở thành:  x  2   x 2  2 mx  3 m   2  0

Phương trình (2) có 3 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi x 2 2mx3m 2 0 có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2:

Vậy m     2 ;1 2; 3      thì phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt

Bài 9 (trang 22): Cho phương trình: mx 3 (m4)x 2  (4 m x m)  0(*) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm

75 Để (*)có 2 nghiệm thì (1)cần 1nghiệm phân biệt khác 1 hoặc (1) có 2 nghiệm và có 1 nghiệm là 1

Kết luận m  2 và m0 là giá trị cần tìm

2.2.3 Ứng dụng của định lí Viet

Bài 1: Gọi x x 1 , 2 là nghiệm của phương trình x 2   x 5 0(1) a) Tính A =x 1 2 x 2 2 , B =x 1 x 2 , C =x 1 3 x 2 3 , D =(2x 1  x 2 )(2x 2 x 1 ) b) Hãy lập một phương trình bậc hai mà các nghiệm là: 2x 1 x 2 và 2x 2 x 1

Giải Áp dụng định lý Viét vào phương trình (1) ta được:

Thay (2) vào D ⟺ D  2.1       5 3 b) Đặt phương trình bậc hai có dạng: ax 2   bx c 0

Gọi m,n lần lượt là các nghiệm 2x 1 x 2 và 2x 2 x 1

Vậy phương trình cần tìm là: x 2   3x 3 0

Bài 2: Cho phương trình: x 2  2 1 2   m x    3 4 m  0 1   a) Tìm m để phương trình   1 có hai nghiệm x x 1 , 2 b) Tìm hệ thức độc lập đối với mgiữa các nghiệm x x 1 , 2 c) Tính theo m biểu thức A x  1 3 x 2 3

77 d) Tìm m để phương trình cho có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia Vậy với thì phương trình cho có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia

Giải a) Phương trình   1 có hai nghiệm khi:   ' 0 1 4m4m 2  3 4m 0

2 2 m       thì phương trình   1 có hai nghiệm x x 1 , 2 b) Phương trình   1 có hai nghiệm khi:   ' 0 1 4m 4m 2  3 4m 0

Theo định lý Vi-et ta có: 1 2

Vậy hệ thức độc lập đối với mgiữa các nghiệm x x 1 , 2 là x x 1   2  x 1  x 2   1 c) Theo định lý Vi-et ta có: 1 2

Vậy biểu thức A    2 4 m   3  3 3 4  m  2 4  m  d) Theo định lý Vi-et ta có: 1 2

  thì phương trình cho có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia

Bài 3: Cho phương trình: x 2 2(m1)x m 2 3m0 (1) a) Tìm mđể phương trình (1) có một nghiệm x 1 0 Tính nghiệm còn lại b) Tìm hệ thức độc lập với m giữa các nghiệm x x 1 , 2 c) Tìm mđể phương trình có hai nghiệm x x 1 , 2 thỏa: x 1 2  x 2 2 8

Phương trình có 2 nghiệm khi        ' 0 m 1 0 m 1 a) Áp dụng định lý Vi-et ta được:

Vậy với x 1 0ta có thể có x 2  2 hoặc x 2 4 a)

Vậy hệ thức độc lập là x 1  2 x 2 c) 2 1 2

1 2 ( 1 2) 2 1 2 8 x  x x x  x x  Áp dụng định lý Viet ta được:

Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán

Bài 4: Tìm các giá trị của m để phương trình: x 2    4x m 1 0 có 2 nghiệm x x 1 , 2 thỏa:

80 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì:

  Theo định lí Viet ta có:

Theo đề bài ta có: x 1 3 x 2 3 40

  Kiểm tra lại điều kiện với m3, thì m 1

Vậy giá trị m cần tìm là m 1

Bài 5: Cho phương trình x 2 (m 2 3 )m x m 3 0 a) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm bằng bình phương nghiệm kia b) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm bằng 1, tính nghiệm còn lại

Xét hàm số y m( )m m 2 ( 1)(m9)có bảng xét dấu: x  0 1 9  ( ) y m + 0 + 0 - 0 +

Do đó phương trình cho có nghiệm khi: m     1;9    0

Gọi x x 1 , 2 là nghiệm của phương trình cho, theo đề bài ta có: x 1 x 2 2

Theo định lí Vi-et:

Vậy m 0hoặc m1 b) Thay x 1vào phương trình cho ta được m 3 m 2 3m 1 0

Vì phương trình cho có nghiệm là 1 nên theo Vi-et nghiệm còn lại sẽ bằng m 3 Với m1thì x 1

Bài 6: Tìm m để phương trình: x 2 2(m1)x m  1 0(1) có 2 nghiệm x x 1 , 2 và

1 2 6 1 2 x  x x x đạt giá trị nhỏ nhất

Phương trình (1) có 2 nghiệm khi và chỉ khi 0

       Áp dụng định lý Vi-et ta có: 1 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số (1) là 4 tại m2

Bài 7: Tìm m để phương trình: x 2 2(m3)x m  13 0 có 2 nghiệm x x 1 , 2 và

1 2 1 2 x x  x x đạt giá trị lớn nhất

Bài 8:Tìm a để phương trình: ax 2  (a 1)x  4 a 0(*) có 2 nghiệm x x 1 , 2 thỏa:

Giải Để phương trình (*) có 2 nghiệm:

Vậy để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa: x 1 5  x 2 5 0thì a1

Bài 9: Cho pt: x 2  (2 m  3) x m  2  2 m  0 1   a) xác định để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt b) Với giá trị nào của m thì pt (1) có 2 nghiệm mà tích của chúng bằng 8 Tìm các nghiệm trong trường hợp đó

Giải a) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi: 0

Vậy 9 m 4 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt b) Pt có 2 nghiệm khi: 9 m 4 ycbt: x x 1 2 8

Bài 10: Cho phương trình bậc hai: 3x 2 2(m1)x 3m 5 0 Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba lần nghiệm kia Tính các nghiệm trong trường hợp đó (ĐS: m = 3, m =7)

Giả sử pt đề cho có 2 nghiệm sao cho x 1 3x 2

Theo định lý Vi-et:

Thay x 1 3x 2 và x 2  m 6  1 vào (2) ta được:

+ Với m  3 thì pt đề cho x 1 2;x 2  23 Suy ra, m  3 nhận

+ Với m 7 thì pt đề cho  1  4; 2  4 x x 3 Suy ra, m 7 nhận

Vậy m  3, m 7 là các giá trị cần tìm

Bài 11: xác định m để phương trình x 2   m  1  x   12 0   * y  có 2 nghiệm x x 1 , 2 thỏa mãn:  x 1  2 x x 2  2  2 x 1   10

Giải Để phương có 2 nghiệm x x 1 , 2 thì 0

Theo định lý Vi-et, ta có:

 thì phương trình   * có 2 nghiệm thỏa mãn :  x 1  2 x x 2  2  2 x 1   10

Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

2.3.1 Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn

2.3.2 Giải và biện luận hệ phương trình

Bài 1 (trang 25): Giải và biện luận các hệ phương trình sau: a) 3

TH1: D  0 (1 m)(1m) 0   m 1 hệ (1) có nghiệm duy nhất

Vậy là nghiệm duy nhất của hệ

   nên hệ có vô số nghiệm

Với m  1 thì hệ có nghiệm duy nhất

Với m 1 hệ có vô số nghiệm

Với m  1 hệ vô nghiệm b) mx (m 2)y 2 x my m

D   m m      mm hệ (1) có nghiệm duy nhất

 là nghiệm duy nhất của hệ

    nên hệ vô nghiệm Kết luận

 thì hệ có nghiệm duy nhất

Với m 1 và m  2 thì hệ vô nghiệm

Bài 2 (trang 25): Tìm m để hpt sau vô nghiệm 2 1

   Để phương trình (1) vô nghiệm thì

Vậy khi m=0 thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 3 (trang 25): Cho hệ phương trình: 2

 a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Tìm hệ thức giữa các nghiệm x y, độc lập đối với m b) Tìm m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên

D y m 2  m 2m m 2 m Để hệ có nghiệm duy nhất  D  0 m 2   1 0 m  1

Hệ phương trình có nghiệm

Vậy: m 1 thì hệ có nghiệm duy nhất Hệ thức giữa các nghiệm x y, độc lập đối với mlà

1 x y  b) Để hệ có nghiệm duy nhất   m 1

  Để nghiệm của hệ là nghiệm nguyên thì 1

 thì thỏa yêu cầu đề bài

Bài 4 (trang 25):Giải các hệ phương trình sau:

Lấy phương trình (1)- (2) ta được:

Thay phương trình (4) vào phương trình (3) ta được:

Thay x 1 vào phương trình (1) và (2) ta được hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Lấy phương trình (1) –(2) ta được:

Thay phương trình (4) vào phương trình (3) ta được:

Thay 5 y  2 vào phương trình (1) và (2) ta được hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của mđể phương trình x 4  2  m  1  x 2  2 m   1 0 1   có 4 nghiệm phân biệt lập thành CSC

Phương trình   1 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình   * có 2 nghiệm dương phân biệt t 2  t 1 0:

Giả sử phương trình   * có 4 nghiệm phân biệt  t 2 ; t t t 1 ; 1 ; 2 theo thứ tự lập thành CSC khi đó: 2 1 1 2 1 2 1

Theo định lý Vi-et ta có: 1 2   

  thì phương trình   1 có 4 nghiệm phân biệt lập thành CSC.

ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT ĐẲNG THỨC

Ví dụ (trang 27): Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : x   2y 4 0 và 2 điểm A  1;4

, B   8;3 Tìm M d  sao cho MA MB  có độ dài nhỏ nhất

 Avà Bcùng phía so với đường đường thẳng d

Gọi d' là đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d  A A  2 '   I A ' 1;0   

Ta có: MA MB MA MB A B  '  ' 3 10

Dấu bằng xảy ra khi M A B, ', thẳng hàng

Vậy M   2;1 thì MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 3 10

Vậy M   2;1 thì MA MB  đạt giá trị nhỏ nhất và bằng 3 10

Ví dụ (trang 27): Giải phương trình : x 2   2x 5 x 2  2x 10  29(1)

Mặt khác áp dụng BĐT vector ta có a b   a b

Dấu “=” xảy ra khi a cùng hướng với b

Vậy 1 x  5 là nghiệm của phương trình

Ví dụ (trang 27): Chứng minh rằng với mọi x y x, ,  ta có:

Nên x 2   xy y 2 x 2   xz z 2 y 2  yz z 2 (đpcm)

Ví dụ (trang 27): Tìm giá trị nhỏ nhất của P  x 2   2x 2 x 2  8x 25

Theo bất đẳng thức vectơ, ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 5

Bài 1 (trang 27): Cho a b c, , là ba số thực tùy ý Chứng minh rẳng: a 2     b 2 c 2 3 2  a b c   

Vậy a 2     b 2 c 2 3 2  a b c    với mọi số thực a b c, ,

Bài 2 (trang 27): Cho a,b,c là ba số thực tùy ý Chứng minh rằng: a 2      b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e     

Dấu “=” xảy ra khi a b c d e2     Vậy a 2      b 2 c 2 d 2 e 2 a b c d e      với mọi số thực a, b, c, d, e

Bài 3 (trang 27): Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãna b c d   1 Chứng minh rằng:

Giải Áp dụng BĐT Bunnhiacốpski cho 2 bộ số  a b c d , , ,  và  1,1,1,1  ta có:

Dấu “=” xảy ra khi 1 a b c d   2 Vậy: a 2    b 2 c 2 d 2 1 thỏa a b c d   1

Bài 4 (trang 27): Chứng minh rằng:

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a 2    1 1 a 0

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

Bài 5 (trang 28): Cho x,y là các số thực lớn hơn hay bằng 1 Chứng minh rằng:

1 1 1 xy xy x y xy x xy y x xy y xy xy xy x y xy x y x y xy xy xy xy y x x y xy x y xy x y

Bài 1 (trang 28): Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng   1  a (1  b )(1    c ) (1 3 abc ) 3

1 ( ) ( ) a b c b a ab c c b bc a ac ab abc a b c ab bc ac abc

        Áp dụng BĐT Cô-si ta được:

1 (   a b c) (ab bc ac  )abc 1 3.1 abc 3.1 a b c abc

Bài 2 (trang 28): Cho a b c, , là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Nhân vế theo vế của các bất đẳng thức trên

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a c b a b c b c a a b c a b c b c a a c b

Vậy bất đẳng thức đã được chứng minh

P x yz y xz z xy x x y y z z yz xz xy x y z y x z z x y xz xy yz xy yz xz Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương, ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của Plà 9

2 2 2 x y z xz xy y yzx xyz x y z z x y yz xz

Bài 4 (trang 29): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C x 9 x

 Áp dụng BĐT Cauchy, ta được:

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức C x 9 x

Bài 5 (trang 29): x 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D 3x 4 3 16 x

       Áp dụng BĐT Cauchy, ta được:

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức D 3x 4 3 16 x

Bài 6 (trang 29) : 2 x 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 9 2

  Áp dụng BĐT Cauchy, ta được:

1 x   loại vì không thỏa đề bài

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức 9 2

Tìm GTNN của biểu thức 6 34

Gọi y 0 là một giá trị của H

Phương trình (1) có nghiệm khi:

Do đó y 0  10 không thõa mãn vì điều kiện t 0

Từ y 0 là một giá trị của H và y 0 10 nên GTNN của là H 10

   t Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số:

 , dấu bằng xảy ra khi nào? Giải

Do đó bất đẳng thức luôn có nghĩa Đặt d a b    a b d

Nhận xét: b d, ,bd1 0 Áp dụng bđt Cô si:

Dấu bằng xảy ra khi:

 , dấu bằng xảy ra khi a2,b1 Bài tập tương tự: (Trang 31)

1) Cho x0,y 0 và x y 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N 5x 3y 12 16 x y

Kỹ thuật chọn điểm rơi: x 1 2 3 4 5 y 5 4 3 2 1

Ta có x=2,y=4 thì giá trị nhỏ nhất N 2

2) Cho a0,b0 và 5 a b  4 Chứng minh rằng: 4 1 5

4 a  b  Dấu “=” xảy ra khi nào? Giải

8 16 0 4 a b b a b aab ab b a a b ab a b ab b a ab ab a ab b

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  4 b

3) Cho a b c d, , , 0 và a b c d   1 Chứng minh rằng:

Kỹ thuật chọn điểm rơi:

Từ a 2 ở vế trái, để có aở vế phải ta áp dụng BDT Cosi cho 2 số:

Theo đề cho, dấu “” xảy ra khi 1 a b c d    4

Do a b c d, , , 0 áp dụng BDT cosi ta được : 2 2 2

4) Cho a, b, c >0 Chứng minh ab 2  bc 2 4ac 2  a 3b

Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương, ta có:

Vậy ta có điều phải chứng minh

5) Cho x y z, , 0 và 3 x y z   4.Chứng minh rằng:

Giải Áp dụng bất đặng thức Co-Si:

Cộng vế theo vế ta được:

6) Choa b c, , 0 và abc  1 Chứng minh rằng:

Nhận xét: Do vai trò của a b c, , như nhau nên ta dự đoán dấu “=” khi a   b cmà

1 1 abc    a b c Áp dụng bất đẳng thức Co-Si

Cộng vế theo vế ta được:

7) Chox y z, , 0 và x y z  3 Chứng minh rằng:

Dự đoán dấu “=” khi x   y z 1 nên xyz 1 Áp dụng bất đẳng thức Co-Si

Cộng vế theo vế ta được:

8) Cho x y z, , 0 thỏa mãn xy  yz  zx 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của

       Áp dụng BĐT Buniakovsky phân thức ta có:

Vậy giá trị nhỏ nhất của 1

Kỹ thuật đặt ẩn phụ

VD (trang 33): Chứng minh rằng: 3

                     Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

VD (trang 33) : Cho  ABC có các cạnh là a b c, , Chứng minh rằng:

Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành:    2   2  2

2 2 2 yz xz xy yz zx zx xy yz xy x y z x y y z x z

Bài 1 (trang 33): Cho a, b, c > 0 và a b c  1 Chứng minh rằng:

3 ab bc ca 2 c ab   a bc   b ca  

GọiP  c abab  a bcbc  b caca  P c.1abab  a.1bcbc  b.1acac

Do a b c d   1 thế vào P ta được:

P  ac bc cc ab  aa ab ac bc  ab bb bc ac

      (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương)

Lấy vế cộng vế ta được:

3 a c a b b c ab ac ac bc ab bc b c ab bc ac bc ab bc a b c a ba a cb ab ac ab bc ac bc a c b c

Bài 2 (trang 33): Cho a  1,b 1 Chứng minh rằng:

Giải Áp dụng BĐT Cô-Si ta có:

Chứng minh tương tự ta được: 1 1 4

Nhân các BĐT (1) và (2) theo vế ta được:

Bài 3 (trang 33): Cho a b c, , 0 và ab bc ca  3 Chứng minh rằng:

Giải Áp dụng BĐT Cô-Si ta có:

Từ đó ta có: 1  a b c 2 (   ) abc a b c  2 (   ) a ab bc ca (   ) 3  a

Chứng minh tương tự ta có:

Cộng các BĐT (1), (2), (3) ta được:

1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ab bc ca a b c abc abc a b c b c a c a b

Bài 4 (trang 34): Cho x y z, , 0 và xyz 1 Chứng minh rằng:

Chứng minh tương tự ta có:

Cộng các BĐT (1), (2), (3) theo vế ta được:

Kỹ thuật nhớ một vài bất đẳng thức đơn giản

Ví dụ (trang 34): Cho a  0, b0 Ta dễ dàng chứng minh được:   a b    a b 1 1     4 (*)

Giải Cách 1: BĐT AM-GM

   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương b a và a b ta được:

Chứng minh được bất phương trình (*)

Cách 2: BĐT Cauchy-Schwarz Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz cho 2 bộ số  a b ,  và     a b 1 1 ,     ta được:

Ví dụ (trang 34): Cho a  0, b0, c  0 Ta dễ dàng chứng minh được:

Giải Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz cho 2 bộ số  a b c , ,  và     a b c 1 1 1 , ,     ta được:

Bài 1 (trang 35): Cho a b c, , 0 và a b c  1 Chứng minh rằng:

Giải Cho a b c, , 0 và a b c  1 Chứng minh rằng: 2 1 2 1 2 1 9

Mà a b c, ,  0 nên x y z, , 0 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:

Bài 2 (trang 35): Chứng minh rằng nếu x y z, , 0 và x y z  1 thì:

        Áp dụng bất đẳng thức Cauchy  x y z , ,  0  ta được:

Bài 3 (trang 35):Cho x y z , , là các số dương thỏa mãn: 1 1 1 4 x y z   Chứng minh rằng:

Giải Với a b c d, , , tùy ý vàx y z t, , , 0, ta có:

(x y z t) ax by cz dt B C S x ax y by z cz t dt (a b c d)2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c d x   y z t

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 4

BẤT PHƯƠNG TRÌNH

3.3.1 Xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai

Ví dụ (trang 36): Giải các bất phương trình sau: a) x 9 51 x  b) 2 3 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S      ;1    7,  b) 2 3 1 2 3 1 (2 ) 0 5 1 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 ;2

Bảng xét dấu: x   3 3  3 x  0 + │ + 3 x   │  0 + (x3)(x 3) + 0  0 + Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S      ; 3    3; 

Ví dụ (trang 37): Giải các bất phương trình sau:

Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là S  

Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là S    ( ;3) (3; ).

Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là S   27 ;1 

Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là S       4; 2    2;0

3.3.2 Bài toán về dấu của các nghiệm của phương trình bậc hai

1 Cho phương trình x 2  6 x  m   2 0 (1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi:

Vậy m (2;11) thì phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt

 11 Để (1) có 2 nghiệm dương phân biệt thì mcắt f x   tại 2 điểm phân biệt:

Vậy m    2;11 thì phương trình cho có 2 nghiệm dương phân biệt

2 Cho phương trình x 2  x 2m 3 0 (1) a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt

Giải a) Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu 0

Vậy 3 m2 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu b) Phương trình (1) có 2 nghiệm âm phân biệt

2 m 8 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm âm phân biệt

3 Cho phương trình: x 2 (2m3)x m 2 2m 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

PT cho có 2 nghiệm dương phân biệt

Vậy 2m  94thì pt cho có 2 nghiệm dương phân biệt

4 Cho phương trình: mx 2  2( m  3) x m   0 Xác định m để phương trình: a) Có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu b) Có 2 nghiệm âm phân biệt

Phương trình có 1 nghiệm duy nhất: x  0 (loại)

TH2: m0 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu:

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu khi: 3

Phương trình có 1 nghiệm duy nhất: x  0 (loại)

TH2: m 0 Để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt:

Vậy phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt khi:  m  0

3.3.3 So sánh số với 2 nghiệm của phương trình bậc hai

Bài 1 (trang 38): Tìm m để phương trình ( m  1) x 2  ( m  3) x m    1 0có 2 nghiệm x x 1 , 2 sao cho: a) x 1  1 x 2 b) 2 x 1 x 2

Giải Cách 1: a) TH1: m   1 phương trình có 1 nghiệm duy nhất x 0 (loại)

TH2: m   1 để phương trình có 2 nghiệm x x 1 , 2 sao cho: x 1  1 x 2 thì:

Theo Vi-ét ta có: 1 2

Vậy phương trình thỏa mãn điều kiện đề bài khi và chỉ khi: 1 1 m 3

   b) TH1: m   1 phương trình có 1 nghiệm duy nhất x 0 (loại)

TH2: m   1 để phương trình có 2 nghiệm x x 1 , 2 sao cho 2 x 1 x 2 thì:

 Ta có bảng xét dấu: m  7

 Ta có bảng xét dấu:

Vậy phương trình thỏa mãn điều kiện đề bài khi và chỉ khi: m

Cách 2: a) TH1: m   1 phương trình có 1 nghiệm duy nhất x  0 (loại)

Vậy phương trình thỏa mãn điều kiện đề bài khi và chỉ khi: 1 1 m 3

   b) TH1: m   1 phương trình có 1 nghiệm duy nhất x  0 (loại)

Từ (2) ta có bảng xét dấu: m  7

Vậy phương trình thỏa mãn điều kiện đề bài khi và chỉ khi: m

Cách 3: a) TH1: m   1 phương trình có 1 nghiệm duy nhất x  0 (loại)

TH2: m   1 phương trình có 2 nghiệm x x 1 , 2 sao cho: x 1  1 x 2 1

Phương trình có 2 nghiệm x x 1 , 2 sao cho: x 1  1 x 2

Phương trình (*) có 2 nghiệm t t 1 , 2 sao cho: t 1  0 t 2

Vậy phương trình thỏa mãn điều kiện đề bài khi và chỉ khi: 1

   b) TH1: m   1 phương trình có 1 nghiệm duy nhất x  0 (loại)

TH2: m   1 phương trình có 2 nghiệm x x 1 , 2 sao cho:

Phương trình có 2 nghiệm x x 1 , 2 sao cho: 2 x1 x2

Phương trình (**) có 2 nghiệm t t 1 , 2 sao cho: 0 t 1 t 2

 Ta có bảng xét dấu: m  7

 Ta có bảng xét dấu: m  11

Vậy phương trình thỏa mãn điều kiện đề bài khi và chỉ khi: m

Bài 2 (trang 38): Tìm m để phương trình x 2  (2 m  1) x m  2  2 m   1 0 có 2 nghiệm x x 1 , 2 sao cho: x 1  3 x 2

Phương trình có 2 nghiệm x x 1 , 2 sao cho: x 1  3 x 2

Theo Vi-ét ta có: 1 2 2

Thay vào (*) ta được: m 2  2 m   1 3(2 m     1) 9 0 m 2  8 m     7 0 1 m  7 Vậy phương trình thỏa mãn điều kiện đề bài khi và chỉ khi: 1 m 7

Phương trình có 2 nghiệm x x 1 , 2 sao cho: x 1  3 x 2  af(3) 0

Vậy phương trình thỏa mãn điều kiện đề bài khi và chỉ khi: 1 m 7

Phương trình có 2 nghiệm x x 1 , 2 sao cho: 1 2 1

Phương trình có 2 nghiệm x x 1 2 , sao cho: x 1  3 x 2

Phương trình (*) có 2 nghiệm t t 1 , 2 sao cho: t 1  0 t 2

Vậy phương trình thỏa mãn điều kiện đề bài khi và chỉ khi: 1 m 7

Bài 3 (trang 38): Tìm mđể phương trình x 2  2  m  2  x  5 m   4 0có hai nghiệm x x 1 , 2 sao cho:

Bài 4 (trang 38): Tìm m để bất phương trình: 3x 2 2(m1)x2m 2 3m 2 0  x 2

Ta có; f x   là một hàm số bậc 2 có đỉnh ' ; ' 1 ; 7  2 1 

Kết hợp (1) và (2), ta có: 2 3 m 2

Vậy   2 m 32 là nghiệm của bất phương trình

Phương trình f x    0 có 2 nghiệm phân biệt: x 1  x 2 2

Vậy   2 m 32 là nghiệm của bất phương trình

Bài 5 (trang 38): Cho bất phương trình:  m  2  x 2  2 4 3   m x   10 m   11 0 Tìm điều kiện của m để bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x <  4

 i ' 0   1 m 6 Để thỏa yêu cầu bài toán thì: 4

Từ (1),(2),(3) và (4) ta được ;3 m   2 thì thỏa yêu cầu bài toán

Bài 1 (trang 39): Giải các bất phương trình sau: a) 2 3 2 0

 x x là tập nghiệm của hệ phương trình b)    

Bài 2 (trang 39): Giải hệ bất phương trình:

Vậy S = ( 1;2] là tập nghiệm của hệ phương trình b)

là tập nghiệm của hệ phương trình

Từ đề bài suy ra

Từ Bảng xét dấu suy ra

Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Bài 3 (trang 39): Tìm tập xác định của hàm số: 2 2 5 4

Vậy tập xác định của hàm số là:D       ; 4     1 2 ;  

Bài 4 (trang 39): Tìm các giá trị của a sao cho với mọi x ta có: 1 2 2 5 7

Bài 5 (trang 39): Tìm m để phương trình:  m  2  x 2  2  m  1  x  2 m   6 0 có: a) 2 nghiệm dương phân biệt

Giải Để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thì:

 Để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt thì 3 m 11 b) 2 nghiệm trái dấu

Giải Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì 0

Vậy để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì m      1;2  3;11

Bài 6 (trang 39): Tìm tất cả các giá trị của m để biểu thức

Giải ( ) 0 f x   x khi và chỉ khi:

Vậy m  2;6 thỏa yêu cầu đề bài

Bài 7 (trang 39): Tìm tất cả các giá trị của m để biểu thức

Giải ( ) f x luôn dương với mọi x khi và chỉ khi:

Bài 8 (trang 39): Tìm tất cả các giá trị của m để biểu thức

TH Nếu a  0 thì biểu thức có nghiệm đúng  x 

Vậy với 32 ;4 m  11  thì biểu thức f x     m  4  x 2   5 m  20  x  2 m     1 0 x 

Bài 9 (trang 39): Tìm m để hàm số y  (m4)x 2 (m4)x2m1 xác định với mọi x 

Bài 10 (trang 39): Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm: (m1)x 2 2mx(m 3) 0

Giải vô nghiệm khi: ( m  1) x 2  2 mx  ( m     3) 0 x    1

Bài 11 (trang 39): Tìm m để hàm số sau có tập xác định là :y m m( 2)x 2 2mx2

Giải Điều kiện để hàm số xác định: m m( 2)x 2 2mx 2 0

Kết luận: hàm số có tập xác định là  khi:        m m 0 4

Bài 12 (trang 40): Tìm m để bất phương trình: mx 2   4x m 0  x 

Giải TH1: Nếu m0thì 4x 0  x  (sai)

TH2: Nếu m0thì bất phương trình nghiệm đúng với  x 

Vậy: m2 thì thỏa yêu cầu đề bài

Bài 13 (trang 40): Tìm m để phương trình: x 2 mx 1 3m0 có 2 nghiệm trái dấu

Giải Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì :

Vậy 1 m3 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu

Bài 14 (trang 40): Tìm m để phương trình:  m  2  x 2  2 m m    3 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Ta có: (m2)x 2 2m m  3 0 (*) có 2 nghiệm dương phân biệt khi:

Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt khi: 3

Câu 15 (trang 40): Tìm m để phương trình x 4 2mx 2 4m 3 0 (*) có các trường hợp nghiệm sau: a) 4 nghiệm phân biệt b) 3 nghiệm phân biệt c) 2 nghiệm phân biệt

151 a) Đặt t x t 2 ( 0) Phương trình (*) trở thành t 2 2mt4m 3 0 (1) Để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm t dương phân biệt

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán, với m thuộc khoảng từ 1/3 đến 4/3, ta đặt t = x² (với t ≥ 0) Phương trình (*) được chuyển thành t² - 2mt + 4m - 3 = 0 Để phương trình này có 4 nghiệm phân biệt, cần có một nghiệm t dương và một nghiệm t = 0.

Với điều kiện 3m = 4, ta có thể xác định rằng bài toán đã được thỏa mãn Đặt t = x² (với t ≥ 0), phương trình (*) trở thành t² - 2mt + 4m - 3 = 0 Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, ta cần xem xét hai trường hợp nghiệm khác nhau, trong đó có trường hợp 2 nghiệm t trái dấu.

Vậy với 3; 1; 3 m 4 m m  thì thỏa yêu cầu bài toán.

Dạng cơ bản

Giải các phương trình sau (trang 40):

Giải Điều kiện xác định 1 0 _1 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S {8,120}

Giải Điều kiện xác định x  1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S  { 1}

+Thế x  5 vào phương trình (1)ta được:

+Thế x  6 vào phương trình (1)ta được:

+Thế 11 x   2 vào phương trình (1)ta được:

S     2 là nghiệm của phương trình.

Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai

Giải các phương trình sau (trang 40):

Giải Phương trình đề cho     x 2 5x 2 2 3 x 2    5x 2 6 0

Đưa về hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Giải các phương trình sau (trang 40):

Từ đề bài, ta được : u   7 u   7  u   7 u  2  7 2

Vậyx 1 và 1 x  3 là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là

Đưa về phương trình chứa giá trị tuyệt đối

Cách 1:(Đưa về hằng đẳng thức phù hợp với học sinh lớp 9)

Giải Với x 1 thì phương trình (1)

Xét ( có thể trình bày ở nháp ):

Bảng giá trị tuyệt đối: x 1 5 10

Vậy 5 x 10 là nghiệm của phương trình

Cách 2:(Đặt ẩn phụ, lập bảng xét dấu phù hợp với học sinh lớp 10)

Vậy 5 x 10 là nghiệm của phương trình

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta được   1 x 0

Vậy 1   x 0 là nghiệm của phương trình

Ta có thể giải theo một cách khác ở : x   1 1 1 x1 có dạng A  A

4.2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Giải các phương trình sau:

Đặt ẩn phụ

Giải Bất phương trình cho  x 2   5x 4 5 x 2  5x 28(1)

Khi đó bất phương trình (1) trở thành:

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  ( 9;4)

4.3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

4.3.1 Phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ (trang 42): Giải các phương trình sau: a) 2cos sin 1

Vậy các nghiệm của phương trình là

Vậy phương trình vô nghiệm

Ví dụ (trang 42): Giải các phương trình sau: a) sin5 sin 3 x   x3 b) 2 sin  x  30    1

Vậy các nghiệm của phương trình là: 6  

Vậy các nghiệm của phương trình là:      x x 30  75 165  k 360  k 360  k  

4.3.2 Các phương trình lượng giác khác

Bài 1 (trang 44): Giải các phương trình và bất phương trình sau: a) 2x 3 x  1 3x2 2x 2   5x 3 16

Khi đó phương trình (1) trở thành:

Thử lại ta nhận nghiệm x 3và x 143

Vậy tập nghiệm của phương trình là S {3;143} b) 123 x x 2  x  1 x

Khi đó phương trình (1) trở thành:

Thử lại ta nhận cả hai nghiệm trên

Vậy tập nghiệm của phương trình là S {0;1} c)x 2  x 5 5  *

Vậy phương trình   * có 4 nghiệm là

Bài 2 (Trang 44-45): Giải các phương trình lượng giác sau a) sin cos 2 0

Ta có: sin4 cos 3 2 0 sin4 cos 3 2 sin sin 2

Vậy các nghiệm của phương trình là 10 8

Ta có: sin 2 2 xcos 3 2 x  1 cos 3 2 x  1 sin 2 2 x cos 3 2 x cos 2 2 x

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là x k   5  k   

Ta có: tan 1 tan tan

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là x  4 k  k    f) cot 3 tan

Ta có: cot 3 tan cot 3 cot

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là 13 x  48 k  k    g) 2 sin 2 x 1 cos 3x 0

Ta có: 2 sin 2 x 1 cos 3x   0 cos2xcos 3x 0

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm 2 ( ) x k 5 k h) 2 sin 2 x 1 cos 3x 0

Ta có: 2 sin 2 x 1 cos 3x   0 cos2xcos 3x 0

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm 2 ( ) x k 5 k k) 1 sin xcosx sin2xcos2x 0

Ta có: 1 sin x cosxsin2x cos2x 0

 sin x cos x  2 cos 2 x sin 2 x sin x cos x 0

 sin x cos x   2 cos x sin x  cos x sin x  sin x cos x 0

 sin cos  sin cos cos sin 1  0

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x   4 k; 2 2 x   3 k (k ) i)sinxsin cosx x cosx 1 0

Giải sinxsin cosx x cosx  1 0 sin (1 cos ) cosx  x  x 1 0

  là nghiệm của phương trình

Bài 3: Số nghiệm của phương trình 3 sinx 2 0 trên đoạn100 ;100  là bao nhiêu?

3sin 2 0 sin sin sin arcsin

Vậy với họ nghiệm arcsin 2 2 x  3 k , có 100 nghiệm trên đoạn 100 ;100 

Vậy với họ nghiệm arcsin 2 2 x   3 k , có 100 nghiệm trên đoạn 100 ;100 

Kết luận: có200nghiệm của phương trình 3 sinx 2 0 trên đoạn100 ;100 

Bài 4 (trang 45): Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos2 cos x  x3 là bao nhiêu?

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là x  9 , nghiệm dương nhỏ nhất là x  3

Bài 5 (trang 45): Số nghiệm của phương trình sin 2

  trên đoạn     5 ;20      là bao nhiêu?

Có 13 giá trị khay có 13x

Có 12 giá trị hhay có 12x

Vậy số nghiệm của phương trình sin 2

Bài 6 (trang 45): a) Tại các giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y  sin( ) x và y  cos( )x giao nhau?

Giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  sin( ) x và y  sin( ) x : sin( ) cos( ) sin( ) sin x  x  x  x 2

Tại các giá trị x = -π/4 + kπ (k ∈ ℤ), đồ thị của hàm số y = sin(x) và y = cos(x) giao nhau Bên cạnh đó, đồ thị của các hàm số y = sin(x) và y = sin(x) cũng cắt nhau tại nhiều điểm khác nhau.

Giải Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y  sin( ) x và y  cos( )x : sin( ) cos( ) sin( ) sin x  x  x  x 2

Có 4 giá trị khay có 4x

Vậy số giao điểm của hai đồ thị hàm số y sin( )x và y cos( )x trên đoạn 2 ;5

  là 4 giao điểm c) Hãy giải bài toán: “Số nghiệm của phương trình cos   x  0 trên đoạn 5 5;

  là bao nhiêu” theo 3 cách?

Có 6 giá trị khay có 6x

Vậy số nghiệm của phương trình cos   x  0 trên đoạn 5 5;

Cách 2: Đồ thị hàm số

Số giao điểm của đồ thị hàm số y  cos   x và y  0 trên đoạn 5 5;

Vậy số nghiệm của phương trình cos   x  0 trên đoạn 5 5;

Cách 3: Đường tròn lượng giác

GXét đường tròn lượng giác: 0 x 2thì:

 là một vòng tròn thêm

  là một vòng tròn (theo hướng ngược kim đồng hồ) thêm

Vậy số nghiệm của phương trình cos   x  0 trên đoạn 5 5;

Bài 7 (trang 45): Số nghiệm của phương trình sin 3x 0trên đoạn 5 ;5 là bao nhiêu?

Vậy: phương trình sin 3x 0có 31 nghiệm trên đoạn 5 ;5 

Câu 66 (trang 46): Một cây cầu dạng cung ABcủa đồ thị hàm số

Trong hệ trục tọa độ với đơn vị là mét, phương trình 8y = x được mô tả như trong Hình 38 Sà la chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật cao 3m so với mực nước sông, đảm bảo sà lan có thể đi qua gầm cầu Để chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hóa phải nhỏ hơn 12,5m, ta cần phân tích kích thước và điều kiện của cầu và sà lan.

Với mỗi điểm M nằm trên mặt cầu, khoảng cách từ điểm M đến mặt nước tương ứng với giá trị tung độ y của điểm M

Xét phương trình: 4,2.cosx8 3 cosx8  75 Do x   4 ;4 nên 8 x    2 2   ;  

Khi đó, ta có: cos 5

Do sà lan có thể đi qua được gầm cầu nên chiều rộng của khối hàng hóa là:

Bài 7 (trang 46): Trong Hình 10, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy' một khoảng HO 1 km Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ

Với tốc độ 10 rad/s, hai luồng ánh sáng được chiếu ra theo hướng đối diện Khi đèn xoay, điểm M mà ánh sáng từ hải đăng chiếu vào bờ biển sẽ di chuyển dọc theo bờ.

(Theo https://www.mnhs.org/splitrock/learn/technology)

Để xác định hàm số biểu thị tọa độ y của điểm M trên trục Oy theo thời gian t khi luồng sáng trùng với đường thẳng HO, ta cần viết hàm số tương ứng Ngoài ra, với ngôi nhà N có tọa độ y N = -1 (km) nằm trên bờ biển, cần tìm các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà này.

Giải a) Sau tgiây điểm M quét được một góc lượng giác có số đo:

Xét tam giác HOM vuông tại O, ta có: tan 1 tan(10 )

Vào các thời điểm t = 5 và t = 10, đèn hải đăng sẽ chiếu sáng vào ngôi nhà Theo câu 67 trên trang 47, số giờ có ánh sáng mặt trời của thành phố A được mô tả bằng một hàm số cụ thể.

Thành phố A có 12 giờ ánh sáng mặt trời vào ngày xuân phân và thu phân Vào ngày hạ chí, thành phố A trải qua 15 giờ ánh sáng mặt trời, trong khi vào ngày đông chí, chỉ có 9 giờ ánh sáng mặt trời.

Giải Gọi k là số giờ sáng trong ngày t

Vậy ngày có đúng 12 giờ có ánh sáng là ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm b) với k 9

Vậy ngày có đúng 9 giờ có ánh sáng là ngày thứ 353 trong năm c) Với k 15

Vậy ngày có đúng 15 giờ có ánh sáng là ngày thứ 171 trong năm

Hội Lim, diễn ra vào mùa xuân tại tỉnh Bắc Ninh, nổi bật với trò chơi đánh đu Trong trò chơi này, khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ giúp họ dao động quanh vị trí cân bằng, tạo nên những khoảnh khắc thú vị và hấp dẫn.

Nghiên cứu trò chơi này cho thấy khoảng cách m từ vị trí người chơi đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t, với t ≥ 0, theo hệ thức h = d.

Để giải bài toán, ta có phương trình 3cos(2t) = π/3 - d, với quy ước d > 0 khi vị trí cân bằng nằm sau lưng người chơi đu, và d < 0 trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020) Cần xác định thời gian t khi khoảng cách h đạt giá trị 3m và 0m.

Giải Khi khoảng cách từ vị trí cân bằng đến người chơi đánh đu là 3m  h 3

Khi khoảng cách từ vị trí cân bằng đến người chơi đánh đu là 0m  h 0

Khi điều kiện 3 + 1k2t = h = 3, và 5 + 3t = 4 + 2k thì h = 0 Theo câu 69 (trang 47), khi tia sáng di chuyển từ không khí vào nước, một phần tia sáng sẽ phản xạ trên bề mặt, trong khi phần còn lại sẽ bị khúc xạ, như thể hiện trong Hình 1.26 Góc tới i có mối liên hệ với góc khúc xạ.

182 xạ r bởi Định luật khúc xạ ánh sáng 2

Áp dụng định luật khúc xạ ánh sáng, ta có công thức 2 sin sin i n r = n, trong đó n1 và n2 lần lượt là chiết suất của không khí (n1 = 1) và nước (n2 = 1,33) Với góc tới i = 50°, chúng ta cần tính toán góc khúc xạ r.

2 sin sin i n r n s in50 1,33 sin 1 sin 0,575

Câu 71 ( trang 48): Một cây cầu có dạng cung OAcủa đồ thị hàm số 4,8.sin

Trong hệ trục tọa độ với phương trình 9y = x, chiều rộng của con sông được xác định là độ dài đoạn thẳng OA, và cần tìm chiều rộng này với kết quả làm tròn đến hàng phần mười Đối với một sà lan chở hàng hóa hình hộp chữ nhật cao 3,6m so với mực nước sông, cần chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hóa phải nhỏ hơn 13,1m để sà lan có thể đi qua gầm cầu Ngoài ra, với một sà lan khác chở khối hàng hóa có chiều rộng 9m, cần chứng minh rằng chiều cao của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 4,3m để đảm bảo sà lan có thể đi qua gầm cầu.

Giải a) Tại vị trí O và A ta có: y0

Do đồ thị y cắt trục hoành tại 2 điểm O và A liên tiếp với nhau với x 0

Vậy chiều rộng của con sông là 28,3m b) Do sà lan có chiều cao 3,6m nên khi sà lan đi qua cầu thì y 3,6

 Chiều rộng của khối hàng hóa 20,6 7,6 13   m

Vậy chiều rộng của khối hàng hóa nhỏ hơn 13,1m c)

Giả sử sà lan chở khối hàng được mô tả bởi hình chữ nhật BCDE Khi đó, ta có:OA28,3, 9

Mà OE ED DA OA  

Vậy chiều cao của khối hàng hóa nhỏ hơn 4,3m

NHẮC LẠI HÁI NIỆM LOGARIT

5.1.4 Công thức đổi cơ số

Bài 1 (trang 50): Cho m log 3 2 ,n log 5 2 Tính theo m và n giá trị của: a) log 0,3 2

2 log 0,3 log 2 3 5 log 0,3 log 2 log 3 log 5

2 log 135 log 2 3 5 log 135 log 2 log 3 log 5 log 135 1 m 3n

Vậy: log 135 2 3 = 1 m3n Bài 2 (trang 50): Cho alog 2 3 , blog 5 3 Tính theo a và b giá trị của: a)log 37,5 3 b)log 1,875 3

3 log 37,5 log 3.2 5 log 37,5 log 3 log 2 log 5 log 37,5 1 a 2b

3 log 1,875 log 3 2 5 log 1,875 log 3 log 2 log 5

Ví dụ (trang 50): Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y log (2 2 x1) b)y 3x 2 lnx4 sinx

1) Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

2) Tìm tập xác định của các hàm số sau:

3) Cho số p2 756839 1 là một số nguyên tố Hỏi nếu viết trong hệ thập phân, số đó có bao nhiêu chữ số ?

Ta có: p 1 2 756839 log(p 1) log(2 756839 )log(p 1) 756839.log(2)

Vậy số p có 227831 chữ số.

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Vậy tập nghiệm của pt cho là 5 65 5; 65

Vậy tập nghiệm của pt cho là 4 5 4 5;1;

Giải các phương trình sau:

Vậy pt đã cho có 2 nghiệm

Vậy pt đã cho có 2 nghiệm là:

Vậy pt đã cho có 2 nghiệm là:

Ta có:  5  24 5   24     1  5 24 5   x  24  x  1 Đặt t    5 24 ,(  x t    0)  5 24  x  1 t Khi đó phương trình đã cho trở thành:

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: 1

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là

195 Đặt t    2 3 ,(  x t    0)  2 3  x  1 t Khi đó phương trình đã cho trở thành:

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x 0

 là nghiệm của phương trình