Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Chùm tia Gauss và minh hoạ đường đi của tia sáng bằng phương pháp quang học ma trận

Trong đẻ tải này ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản vé quang học ma trận, khảo sát đường đi của tia sáng qua một cố quang cụ và hệ quang cụtrong phép gan đúng Gauss được minh họa bằn

Trang 1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP.HCM

KHOA VẬT LÝ

——

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Dé tai:

CHUM TIA GAUSS VÀ MINH HOA DUONG BI CUA TIA SANG

BANG PHUONG PHÁP QUANG HOC MA TRAN

Trang 2

Z7 19994994994 ÝLV.^.T *xv++****+*+*****^**`*^4^4+

LOI CẢM TA

Trong quá trình thực hiện Luận Văn Tốt Nghiệp này, em đã nhận được sự giúp đỡ rat nhiều của qui thay cô, gia đình vả bạn bè Trước hét

em xin chân thành cảm ơn TS Dd Xuân Hội đã hướng dẫn tận tinh, giúp

em hoản thành luận văn nay Chắc chan nếu không có sự giúp đờ qui báu

nay của thây, em đã không thé hoàn thành tốt được luận văn Đông thời

em cũng xin cảm ơn Ths Nguyễn Anh Tuân _ Thầy phản biện đẻ tài sẽ

giúp cho các vấn để trong luận văn được hoàn thiện hơn, sáng tỏ hơn.

Em xin cảm ơn qui Thay Cô đặc biệt là Thay Cô trong khoa Vật

lý đã truyền đạt cho em những kiến thức qui báu trong ngành nghề của mình Những bai học ma thay cô đã truyền đạt cho em trong suốt bốn nam đại học sẽ là hành trang cho em trong suốt quãng đường sư phạm

sau nảy.

Em xin chúc qui thay cô mạnh khỏe và luôn đạt được nhiều thành

công.

Tp HCM, ngảy 15 thang 5 nam 2003

SV Pham Thanh Tam

LOCO ECE CC CCC CCL CCC CE LCCC EEC CCE CCL E ECC CE LEE *ýévd###v#vvv#vv#vvv#v#vvývvvdévvvývvvvẻếứ ` ¬—¬—_—————>< %>.>>->>ề>>>ề>—>5—5"—`—>—-ẮX -———————

Trang 3

GIỚI THIEU

Irong chương trình phé thông cũng như chương trình dai học đại cương,

chúng ta đã được làm quen với phương pháp thông đụng nhất để khao sát

đường đi của tia sáng là quang hình học Tuy nhiên có một phương pháp khác

cùng rất dé hiểu và không kém phan tiện ich đó là phương pháp quang học ma

trận Trong đẻ tải này ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản vé quang học ma

trận, khảo sát đường đi của tia sáng qua một cố quang cụ và hệ quang cụtrong phép gan đúng Gauss được minh họa bằng phan mém matlab $.3 Dong

thời trong dé tài này còn gới thiệu một số lý thuyết cơ bản vẻ chùm Gauss,

dùng lý thuyết quang học ma trận dé khảo sát sự truyền của chim tia này.Khao sat sự truyền của chùm Gauss là một công việc hết sức ý nghĩa bởi vì nó

phục vụ cho nghiên cứu chim tia laser ứng dụng rất nhiều trong đời sống

của chúng ta.

Trong dé tai này gdm có ba phan chính:

_ Phan một sẽ nhắc lại sơ lược về lý thuyết quang học ma trận, thiết lập

lại ma trận chuyển hướng của một số quang cụ quen thộc làm cơ sở cho phản

sau.

_ Phan hai sẽ gới thiệu về hốc cộng hướng, lý thuyết chùm Gauss và

khảo sat sự truyền của nd bằng phương pháp quang học ma trận

_ Phan ba giới thiệu một số lập trình minh họa đường di của tia sáng qua

một số quang cụ và hệ quang cụ.

Trong khi phan lý thuyết về quang học ma trận, lý thuyết chùm Gauss vô

củng sâu rộng nhưng vì thời gian không cho phép vả kiến thức còn hạn hẹp

nên không tránh nhiều sai sót khi thực hiện đẻ tài Mong được sự ghóp ý, chỉ

dẫn của thầy cô và các bạn.

Trang 4

MỤC LUC

lrang

Phan I: Mo đầu quang học ma trận -sccrccce 4

Chương : Một số kiến thức cơ bản về ma trận 4

Chương I: Căn bản đại GỖ tra ERE cách toát 0b 22400a006246410266610,624 8

Chương Ul ; Tinh tương điểm _ Tính tương phẳng

Sự liên hợp cua các vật và các anh bicg24054)34599 8/2084 10

Chương IV : Sự biến đối ma trận của quang hình học - HH

Chương V : Tiêu cự và mat phẳng tiêu .- So 6sccsccrserrke 20

Chương VI : Hệ thức liên hợp Newton SShieeeirve 24

Chương Vil: Điểm chính và mặt phẳng chính 26

Chương VIII: Ma trận chuyển hướng của một sô quang cụ 38

Phan II: Chùm Gauss và sự lan truyền của chùm Gauss c 32

|, Phân tích sự truyền của tia sáng bằng phương pháp ma trận 32

2.Điều kiện én định của sự cộng hưởng . 25 5-522552 33

2 Gay HIẾU meena sci assailed baa Babs 42

4.Phương trình sóng gần tryc .c.cccsssssssecosesescsessveccnecsnsssccsececseeesvensusescoseetee 45

$.Phương thức TEMoo bậc thắp nhất s5 Ssseseeee 47

6.Sự mô tả vật lý của phép giải phương thức TEMạ„ - 2

7.Chùm tia Gauss là dạng sóng của hệ cộng hưởng gương cẳu $7

8.Sy truyền của chùm tia Gauss trong hệ quang học 63

Phan I]: Sử dụng phần mém Matlab dé minh họa đường đi của tia sáng

CÔ Si co Y — .Í LG uy 74

Tài liệu tham khảo

Trang 5

Luận văn tốt nghiệp Trang 3

PHAN I: MO DAU QUANG HỌC MA TRAN

CHUONG I: MOT SO KIÊN THỨC CƠ BAN VE MA TRAN

Trong phan này gới thiệu một số kiến thức cơ bản về ma trận mà có lên quan đến

các phản sau của đề tải.

I ĐỊNH NGHĨA

Ma trận cấp mxn là một bang vuông gồm mxn số được xếp thành m hàng, n cột

và được ký hiệu như sau :

a* là các phần tử ma trận, j là chỉ số thứ tự của hang, k là chỉ số thứ tự của cột

Ngoài ra chúng ta còn thường gặp ba loại ma trận :

Trang 6

Luận văn tốt nghiệp Trang Š

det A = |A{= Ay, Ay — Ay Ay

Il CÁC PHÉP TINH DAI SO TREN MA TRAN

A=B nếu (a), = (8),

2 Tông của hai ma trận

Tổng của hai ma trận củng cấp A và B là một ma trận cùng cấp C = A+B

Dé có tích của hai ma trận số cột của A phải bằng số hang của B

s T ích của hai ma trận vuông cap nxn là một ma trận vuông cap nxn

GVHD: TS Đỗ Xuân Hội SVTH: Phạm Thanh Tâm

Trang 7

VD: tích của hai ma trận vuông cấp 2

(4B) nh a Ie laces a

"Nay a3 fb, bạ ayb,, +44,b,, đạÖy; +d„;Ð,;

Lưu ý: phép nhan ma trận không có tính giao hoán.

La hai ma trận mà các phan tử có chỉ sô giông nhau khác không còn các phan

tử khác thi bang không.

Trang 8

Luận văn tốt nghié Trang 7

Trang 9

Chương II: CĂN BẢN ĐẠI SÓ MA TRAN

Trước đây ta đã làm quen với quang hình học cùng những qui tắc, những định lí

và nay quang hình học có thể được miêu tả lại một cách rõ ràng va dé dang bằng một

phương pháp đó là phương pháp dại số ma trận Đặc biệt ta có thế miêu tả trạng thái

của tia sáng bằng một phương trình tuyến tính với hai biến y,đ Ý nghĩa vật lý của

hai biển này lả gi ta sẽ xét trong chương sau, còn trong chương này ta sẽ xét sự liên

hệ giữa hai biến »’.@" khác với hai biến y.c.

Từ hai phương trình (1),(2) ta có một pương trình ma trận:

Nếu ta thay (1),(2) vào (4),(5) thi ta được:

¥" =e (by y + b,a) +e, (6,9 + bạ„@)

a" =¢,,(b,y+,a)+c,(6,y +520)

Ta cũng có:

l = (Bey + Ones )y + (Bye, + One, JaA" =(B,,63, +B C2.) + (ycyy + bn ey }#

GVHD: TS, Đỗ Xuân Hội SVTH: Phạm Thanh Tâm

Trang 10

Luận văn tốt nghiệ Trang 9

Gy, = CuÕiy +€yb,,

đạy = Cy bi, +Onby,

Trang 11

Chương U1: TÍNH TƯƠNG ĐIỂM _ TÍNH TƯƠNG PHANG

SỰ LIÊN HỢP CUA CÁC VAT VÀ CÁC ANH

I Tính tương điểm Khi mọi tia sang diqua một điểm vật A, thật hay ảo, sau khi đi qua một hệ quang học sẽ đi qua một điểm ánh 4”, thật hay ảo, thì hệ có tính tương điểm chính xác 4’

là ảnh của A qua hệ quang học, người ta nói rằng A va A’ là hai điểm liên hợp

II Tính tương phẳng

Cho một hệ quang học có trục đối xứng x gọi là quang trục Nếu với mọi vật AB

phẳng va vuông góc với x, có ảnh 48“ cũng phẳng va vuông góc với x thì hệ có tinh

tương phẳng.

Ill Các gần đúng Gauss

Các hệ cổ điển, như các gương hay các lưỡng chất câu hoặc phẳng là tương điểm

với nghĩa tương điểm gan đúng va tương phăng với các tia nghiêng ít và không xa

đối với quang trục

IV Các hệ quả trong điều kiện của Gauss

1 Hệ qual: Tương điểm

Trong các diéu kiện của Gauss, ảnh của một điểm cho bởi một hệ đồng trục là

một điểm Hệ bảo toàn tính tương điểm gần đúng

2 Hệ quả2: Tương phẳng

Trong các điểu kiện của Gauss, các phần khác nhau của một hệ đồng trục là

tương phẳng.

Một hệ đồng trục bảo toàn tính tương phẳng

Trong những chương sau , chúng ta sẽ xét các hệ quang học trong điều kiện

của Gauss.

Trang 12

Luận văn tốt nghiệp Trang lÌ

Chương 1V: SU BLEN ĐÔI MA TRAN CUA QUANG HÌNH HỌC

Trong chương nay ta sẽ định nghĩa hai biến y,@ mà ta da dé cập ở chương trước

1 Cách xác định phương của tia sáng bằng một ma trận

Ta xét tia sánh EF truyền trong một môi trường đồng nhất Tia tới làm thành

một góc nhỏ so với phương của trục x mà ta chọn là quang ttrục của hệ.

Chọn mặt phẳng PP vuông góc với trục quang học Ý nghĩa của hai biến y,ø

được thể hiện trên hình 1.

y: là độ cao của điểm giao tia sáng và mặt phẳng PP so với quanh trục

œ: là góc của tia sáng làm với quang trục.

Ta có thể dùng œ để miêu tả độ dốc cúa tia sáng khi nó di qua mặt phẳng PP

Trang 13

Luận văn tốt nghiệ Trang l2

e y>0 néu điểm giao giữa tia sáng va mặt phẳng nằm ở phía trên quang trục

e y<0 nêu điểm giao giữa tia sáng va mặt phẳng nằm ở phia dưới quang trục.

Il Ma trận khoảng (ma trận tịnh tiến _ the translation matrix)

PP va QQ vuông góc với trục quang học vả cắt trục này tại hai điểm 4,-4).

Tại mặt phẳng PP tia sáng được mô tả bởi ma trận: [;)

y'=y+* AiA,18(@,)= y+ Adyar, (đổi với góc nhỏ)

GVHD: TS Dé Xuân Hội SVTH: Phạm Thanh Tâm

Trang 14

Luận văn tốt nghiệp Trang l3

Ký hiệu của ma trận chuyển khoảng Ja^| ngược với phân tử đại số trong ma

trận là2,A, AA, dương theo chiều truyền của tia sáng (hay theo chiều của trục

quang học đã chọn như hinh vẽ) va âm theo chiều ngược lại

VD: giả sử tia sáng truyền qua thêm một mặt phẳng WW nữa, tai mặt phẳng

Trang 15

Luận van tốt nghiệp Trang l4

Từ đây ta nhận thấy rằng khi hai tia sáng truyền theo hai chiều nghược nhau va

cùng chuyển qua một khoảng thi ma trận khoảng của tia này sẽ bằng nghịch đảo ma

trận ma trận khoáng của tia kia.

Il Ma trận khúc xạ (the Refraction Matrix)

Ở mỗi bề mặt ngăn cách hai môi trường đồng nhất có chiết suất ",‹› khác nhau

(lưỡng chất) mà không có một hệ thống quang học nào, hướng của tia sáng có thé

thay đổi tuan theo định luật Snell_IDescartes (đối với góc nhỏ).

1 Ma trận khúc xạ của lưỡng chất phẳng

Ta xét một mặt phẳng PP ngăn cách hai môi trường đồng nhất chiết suất n, ø'.

Tia tới mặt phẳng PP được xác định bởi ma trận Ñ

Trang 16

Luan văn tốt nghiệp Trang lễŠ

Ma trận [7] biến đối tia tới thành tia 16 qua lưỡng chất phẳng nên [] gọi là ma

trận chuyển hướng (hay ma trận khúc xạ) của lưỡng chất phẳng và được xác định:

tI-|o +),

n

2 Ma trận khúc xa của lưỡng chất cầu

Tronh hình 5, VV miều tả một mặt cầu khúc xạ (hay một lưỡng chat cau) ngắn

cách hai môi trường đồng nhất chiết suất n và” khác nhau Giao của mặt cẩu vả trục

Trang 17

quang học là đỉnh O, ban kinh cong của mặt cầu là OC = # Tir đó ta xác định đối

với góc nhỏ vả tia sang gan trục biển y,# được xem như:

Hình 5

y=y+0œ nsin@ = nsinØ'

Vậy ma trận khúc xạ của lường chất câu:

Trang 18

WR rn

IV Ma trận chuyển vị

Ta xét một lưỡng chất AA (chẳng hạn như lường chất phẳng) ngăn cách hai

môi trường có chiết suất n và ø“ khác nhau Ta xét hai mặt phẳng PP và QQ bắt ky

vông góc với trục quang học và nằm trong hai môi trường trên Trong mục nảy ta xét một bai toán tổng quát.

Tia sáng tại mặt phẳng PP được miêu tả bởi ma trận ?

a,

Bây giờ ta xác định tia sáng khi nó đi qua QQ.

Ma trận chuyển hướnh của lưỡng chất phẳng được xác định ở phan trước:

Trang 19

lz,4J=|x7z}rz]

Như vậy bằng phương pháp ma trận ta có thể dé đàng xác định đặc điểm củatia ló nếu biết đặc điểm của tia tới và ngược lại nghĩa là ta có thể xác định chiều caocủa anh và góc 16 nếu biết chiều cao vật va góc tới hay ngược lại

Trong trường hợp tổng quát tia sáng qua nhiều lưỡng chất ngăn cách nhiều môi

trường có chiết suất khác nhau 1% enor tạ có thể áp dụng hệ thức

Chasles tổng quát bằng cách chen vào số ma trận khoảng và ma trận chuyển hướngcần thiết

[eal] - Lap, in | leer Wea]

Định thức của ma trận chuyển vị trong trường hợp tổng quát:

det AA fay Maat y Mea My By

ea mci iat wel

GVHD; TS Đỗ Xuân Hội SVTH: Phạm Thanh Tâm

Trang 20

Nhận xét: định thức của ma trận chuyến vị luôn băng ti số giữa chiết suất môi

trường vật n và chiết suất môi trường ảnh vn’, chiết suất của các môi trường trung

gian không còn ảnh hưởng nữa

- THỰ ~“VIỆM

Trang 21

Luận văn tỐt n hiệ Trang 20

Chương V: TIÊU CU VA MAT PHANG TIÊU

I Ma trận chuyển vị của tia sáng qua một hệ quang học bat kỳ

Trong mục này ta xét một hệ quang cụ bat kỷ Ta tìm ma trận chuyển vị của tia

sang qua quang hệ này.

Giả sử tai mặt phẳng PP một tia sáng có độ cao y góc tới œ và ma trận chuyển

ay, ay

hướng của hệ quang cy là:

Ta có phương trình ma trận:

ˆ( TT vel T E4

Trang 22

Luận văn tốt nghiệp Trang 2Ì

HH Tiêu điểm ảnh tiêu điện ảnh

Ta xét một chùm tia tới song song qua một hệ quang học và chim tia ló hội tụ vẻmột điểm (hoặc hân kỷ nhưng có hướng đi qua một điểm) Tương tự khi xét các

chùm tia tới khác song song khác nhau (có góc tới khác nhau) thì chùm tia ló sẽ hội

tụ tại cá điểm khác nhau nhưng tất cả các điểm nay đều nằm trên một mặt phẳng

vuông góc với trục quang học gọi là mặt phẳng tiêu Nếu chùm tủa tới là song song

với quang trục thì chùm tia ló sẽ hội tụ tại một điểm gọi 1a tiêu điểm ảnh Mặt phẳng

tiêu qua tiêu điểm ảnh và vuông góc với trục quang học gọi là tiêu diện ảnh được

minh họa trong hình 8.

Bây giờ tiêu điểm ảnh xác định vị trí của tiêu điểm ánh ,F', bởi ma trận [he

Tiêu điểm ảnh xét mặt phẳng QQ là tiêu diện ảnh Xét mặt phăng PP bat kỷ va takhông quan tâm đến chiéu cao y là bao nhiêu, Chùm tia ló đều đi qua một điểm có độ

cao y` năm trong tiêu điện ảnh

Trong chùm tia tới song song với mọi tia sáng có độ cao bắt ky, tia ló đều có

độ cao y' taj tiêu diện ảnh Như vậy y' độc lập với y vả y' chi phụ thuộc vảo góc tới

a,

Theo (4.1) ta co:

lM -(* +OF'ay, - OF a,, + OF ay +a, salena’ a, - OF a,, +a, a

Trang 23

~y = ya, + OF ‘ay, P L OF (a,, +O'F' ay, Ì- ayy +O'F ay, k

Vi ¥ độc lập với y nên:

a,, +0 FT, =0

— ax (4.2)

Ta xét chùm tia tới xuất phát từ một điểm cho chùm tia 16 song song với nhau

thì điểm này nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục quang học gọi là tiêu diện

vật được minh họa trong hình 9 Néu chùm tia sáng song song với trục quang học thì

điểm này gọi là tiêu điểm vật ,F, nằm trên trục quang học

Ta xét mặt phẳng PP qua F, vuông góc với trục quang học va mặt phẳng QQ

nằm ở vị trí bắt ky phía bên phải Ø“, Ta chú ý thấy rằng chim tia lỏ đều qua QQ với

một góc @' mặc dủ các góc tới œ là khác nhau.

GVHD: TS Dé Xuân Hội SVTH: Phạm Thanh Tâm

Trang 24

Như vậy ta nhận thấy y chi phụ thuộc #ˆ ma không phụ thuộc vào @,

Trang 25

Chương VI: HE THỨC LIÊN HỢP NEWTON

Hình 10 minh họa một đểm ảnh có độ cao »“ của một điểm vật có độ cao y qua

hệ quang học OO’ Hai mặt phẳng PP, QQ vuông góc với trục quang học va lần lugt

qua điểm vật, điểm ảnh Hai tiêu điểm của hệ là F và #* có thể được xác định nhưtrong chương trước Ma trận chuyển tia sáng từ F đến F’ là:

F 0 -f

; 0 a,+fa

Ta có phương trình ma trận cho tia sáng từ mặt phẳng PP đến mặt phẳng QQ:

Trang 26

Luận văn tốt nghiệ Trang 2Š

Vi mọi tia sáng có góc tới @ khác nhau xuất phat tir vật (tại mặt phẳng PP) có độ

cao y đều di qua ảnh (tại mặt phẳng QQ) có độ cao y' nên y“ chỉ phụ thuộc vào y.

Trang 27

bó 04, C4 L1, 012, ee! od

Chương VI: DIEM CHÍNH VÀ MAT PHANG CHÍNH

I Ma trận chuyên vị của hai diem liên hợpTheo khái niệm của hai điểm liên hợp ta thấy nếu A và 4 là hai điểm liên hợp

thi mọi tia sáng xuất phát từ A (có độ cao y) đều qua 4” (có độ cao y')

Ta xét hai điểm liên hợp A, 4’ nằm trên trục quang học nên y=0 y“=0

Gia sử ma trận chuyển vị của hai điểm liên hợp là:

Là hai mặt phẳng liên hợp có độ phóng đại k=1

Ma trận của hai mat phẳng chính liên hợp ¿/,;/, có dạng tổng quát:

wae.ay

Trang 28

Trang 29

Chương VHI: MA TRAN CHUYEN HƯỚNG CUA MỘT SỐ

QUANG CỤ

Trong các chương trước ta đã nằm được cách xác định sự thay đối của tia sángtrong môi trường hoặc qua một hệ quang học nảo đó bằng phương pháp ma trận

Nhưng để xác định sự thay đổi của tia sáng qua một hệ quang học nảo đó bằng

phương pháp ma trận ta phải năm được ma trận chuyển hướng hay ma trận chuyển vị

của các quang cụ đó Trong chương nảy ta sẽ xác định ma trận chuyển hướng của

một số quang cụ thường gặp dựa vào hai dạng ma trận đã biết đỏ là ma trận khoảng

va ma trận chuyển hướng của lưỡng chất phẳng hay lưỡng chất cầu

1 Lưỡng chất cầuNhư ta đã thành lập trong chương trước, ma trận chuyển hướng của lưỡng chat

Trang 30

Hay ta có thé thành lập ma trận trên bằng cách lý luận lường chất phăng là trường

hợp đặc biệt của lưỡng chất cầu khi # = SC =0.

Bản mặt song song là trường hợp ghép hai lưỡng chất phẳng Giả sử ta có một

bản mặt song song chiết suất n, môi trường tới có chiết suất 1, môi trường ló chiết

suất "2 Ta thành lập ma trận chuyển hướng của bản mặt song song:

4 Gương phẳngGương phăng được xem như một lưỡng chất phăng trong đó môi trường ảnh và

môi trường vật có cùng chiết suất Nhưng để phan biệt lưỡng chất phẳng (cho tiasáng truyền qua) và gương phẳng (cho tia sáng phản xạ ngược trở lại) thì người ta quiước # =1, Vậy ta có ma trận chuyển hướng của gương phẳng là:

El-{, 5)

Hoặc ta có thẻ thành lập theo cách khác Theo hình vẽ ta thấy:

welts aleVậy ta cũng có ma trận chuyển hướng cia gương phẳng:

< ARON

af 5)

Trang 31

Luân văn tốt nghiệp Trang 30

Trang 32

Luận văn tốt nghiệp Trang 3Ì

Trang 33

PHAN II: CHUM TIA GAUSS VÀ SỰ TRUYEN CUA CHUM

GAUSS

Trong phan này có các mục chính như sau:

\ Phân tích sự truyền của tia sáng bằng phương pháp ma trận.

Điều kiện én định của sự cộng hưởng.

Sự nhiều xạ.

Phương trình sóng gắn trục.

Phương thức TEMop bậc thấp nhất

Sự mô tả vật lý của phép giải phương thức TEMạ,.

Chùm tia Gauss là dạng sóng của hệ cộng hưởng gương cau.

t

1 Phân tích sự truyền của tia sáng bằng ma trận

Như chúng ta đã biết, trong quang hình học sự truyền của sóng được biểu diễn bởi

một tia sáng ký hiệu bằng một hình mũi tên cho hướng truyền Nhưng chính bản thân

tia sáng đó không cho chúng ta biết gì về biên độ của sóng, sự phân cực hay sự phân

bố năng lượng của chùm Sự chuyến pha dọc theo hướng của tỉa sáng được tính từ số

dao động của trường điện từ và điều nay rat hữu dụng cho việc xác định điều kiện hinh

thành vân trong dụng cụ đo giao thoa Người ta đã sử dụng phương pháp quang ma

trận dé nghiên cứu sự truyền của tia sáng, đây là một phương pháp vô cùng tiện ích va

dé hiểu như chúng ta đã biết trong những chương đầu.

Trong khi phân tích ta xem như tia sáng là gần với trục quang học và lệch một góc

nhỏ đây gọi là phép Gần đúng trục

Trong phan nay ta xác định ma trận truyền của tia khi nó đi qua một khoảng cách d

và qua thấu kính.

Ta có ma trận chuyến tia sáng qua khoảng cách d:

Trang 34

2 Điều kiện ôn định của sự cộng hưởng

Chúng ta có thể dùng ma trận để mô tả tỉa sáng trong một hốc cộng hưởng dùng

cho laser Hình 3 và 4 cho ta thấy hai trường hợp tỉa sáng gần trục truyền và phản xạ

trong một hdc gồm hai gương cầu.

Hình 1 1.

Trong hình 11 ta thấy hốc có thể giữ được tia sáng, sau môt sé lần phản xạ tia sáng

lại trở vẻ vị trí ban đầu và tiếp tục một chu ky phản xạ trong hốc Trường hợp nảy hốc

được xem là ôn định và tia sáng được gọi là tia quay trở lại (re-entrant ray).

Trang 35

Luan văn tốt nghiệp Trang 34

Mat khác trong hình 12, tia sáng có thể rời khỏi hốc sau một số lần phán xạ va hốc

nay được gọi là hốc không ồn định Trong kỹ thuật laser người ta cần sử dụng một hốc

ôn định nên diéu rất quan trọng đó là ta phải tìm điều kiện để một hốc 1a ôn định Ta sẽ

xác định điều kiện này bằng phương pháp sử dụng ma trận ABCD

Một gương cẳu lém (concave mirror) được xem như là một thấu kinh lồi (convex lens) có cùng tiêu cự Như vậy mỗi gương được xem như một thấu kính lỗi và hệ quang học lúc nảy là sự nối tiếp của các thấu kính gọi là dẫn sóng bằng thấu kính (lens

waveguide) được mô tả trong hình 13 Từ thấu kính thử nhất sang thấu kính thứ hai rồi

trở lại thấu kính thứ nhất ta gọi là một tế bào đơn vị (unit cell) Trong mỗi tế bao đơn

vị tia sáng sẽ thực hiện một chu trình (roundtrip).

Trang 36

Tia sáng trong hình 13 bắt đầu tại thấu kính 1 có tiêu cự f,=b,/2 qua một đoạn d tới

và qua thâu kính 2 có tiêu cự f;=b;/2 sau đó qua một đoạn d rồi qua thấu kính | Tới

đây là tia sáng đã thực hiện một chu trình.

Dùng định luật ABCD cho mỗi tế bao đơn vị (đơn vị truyền) ta có:

d d

1-2 a+di-4

LẺ

Hinh 14 cho ta thấy tọa độ của tia sáng có thể thay đổi khi nó liên tục đi qua mỗi tế

bào đơn vị của héc, Ta sử dụng ma trận (3) dưới một dạng khác Ví dụ cho tế bao thứ s

Trang 37

Đường nỗi các điểm trong hình 14 không phải là một tia sáng Có hai loại đường

có thẻ có trong một hóc:

- Trong một hốc ổn định, tia sáng đi đến vị trí xa nhất rồi lại trở vẻ vị trí ban đầu Trong hình 14 đường biểu diễn vị trí của tia sáng trên là đường nét liễn và được xem

như hinh sin.

- Vj trí của tia sang dan dan tăng lên và không bao giờ trở lại vị tri ban đầu nữa Nó

thoát khỏi hdc sau một số lằn phản xạ Tọa độ của tia sáng, x, được xem như gia tang

theo qui luật hàm mũ (đường nét đứt).

Phương trình (4) phải làm sao cho phù hợp với cả hai khả năng trên đồng thời định

nghĩa được tiêu chuẩn của một hốc ổn định Vì vậy ta giả sử x, có dang sau:

x, =x,e/*

Với xạ là tọa độ lúc đầu của tia sáng (tức là s=0)

@ là hang số hình học của hốc và sẽ mang giá trị thực đối với hốc ổn định.

Thay vào phương trình (4) ta được:

xyÍe“}*” -x,(4+ Dye” J" +x¿e®} =0

xe’ (e” =(4+ De” +1)=0

Trong trường hợp tông quát *> *9 và e” #0 nên ta sẽ có:

e'® -(4+ De” +1=0

Phương trình trên được xem như phương trình bậc hai của e”” Ta có nghiệm:

Trang 38

Ta có công thức Euler:

e” =cos0 + /sin0

So sánh hai về của hai phương trình ta thu được:

cœ«ø= 4+2

(5)

Như vậy Ø chi phụ thuộc vào ma trận ABCD của hốc Vi x, là một đại lượng dang

chú ¥ nên nó phải có tính thực tế, nó bao gồm cả lượng liên hợp phức (complex

conjugate), phương trinh hoàn chỉnh đó 1a:

x, = x,e“e’* +xye se

Với @ là hằng số góc xác định vị trí vào của tia sáng

Khi @ thực x, sẽ đao động:

Với x„„„ là sự di chuyển cực đại của tia sáng trong hốc

Điều kiện cho một héc ổn định tir phương trình (5) là:

A+D -l< <+l

Œ) te

Thay A va D từ phương trình (3) cho ta điều kiện ổn định của hốc hai gương cầu

Trang 39

k2 Hốc gồm hai gương phăng song song, tức là 4, = Ở; =® nên 8 = 8; =!

3 Hốc gồm hai gương cầu có tâm trùng nhau, tức là 4 = ở, +: nên:

&: “7 va 8: “3

Viviy: gg, =l

Nhưng loại héc này không thường dùng trong thực tế

4 Hốc bán cầu: bao gồm một gương phẳng và một gương cầu có tâm nằm ở phía

bên kia của gương phăng, hdc trở nên không ôn định nếu d = b.

Trang 40

Đường đi của những tia quay trở lại (Re-entrant rays paths)

Khi phân tích tia sang người ta đưa ra điều kiện én định của một hdc đó là đối

với tia gắn trục sau khi thực hiện một số chu trình nó sẽ trở vẻ vị trí ban đầu Từ đây

một câu hỏi được đặt ra đó là thực sự sẽ có bao nhiêu chu trình xảy ra?

Phân tích tia sáng thực hiện trên cả mặt phẳng xz Tuy nhiên đối với những tia

nghiêng sẽ được chiếu trên cả hai mặt phẳng xz, yz và điều kiện ổn định của hốc sẽ

được áp dụng đông thời cho cả hai.

Sự hỏi chuyển (hay quay trở lại) của tia sáng trong một hốc dn định có thé thấy được qua phương trình (6) có dạng hình sin và đối với tia sáng nghiêng bat kỳ sẽ có

dang hình sin trên cả hai mat phẳng Điều này được mô tả bởi phương trình:

Tiêu đề	Chùm Tia Gauss Và Minh Họa Đường Đi Của Tia Sáng Bằng Phương Pháp Quang Học Ma Trận
Tác giả	Pham Thanh Tam
Người hướng dẫn	TS. Đỗ Xuân Hội, ThS. Nguyễn Anh Tuấn
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm TP.HCM
Chuyên ngành	Vật lý
Thể loại	luận văn tốt nghiệp
Năm xuất bản	1999-2003
Thành phố	Tp HCM

Định dạng
Số trang	134
Dung lượng	26,26 MB