PHAN II: CHUM TIA GAUSS VÀ SỰ TRUYEN CUA CHUM
1. Nhiéu xạ Fresnel: hai số hạng đầu của nhị thức mở rộng được giữ lại. Số hạng
thir ba rất nhỏ khi:
2 >> Zl (x-x)'+(y-y)' | (15)
Thay thé kr vào phương trình (13) và đặt r=z . Phép gần đúng thir hai nay được xem như phép gần đúng trục. Nó cho ta biết rằng sóng cầu chỉ được xem góc nhỏ
" (r-⁄Ÿ eleva) (16)
Phương trình (16) là tích phân nhiễu xạ Fresnel trong phép gần đúng trục.
2. Nhiéu xạ Fraunhofer: đây là giới hạn của nhiều xạ Fresnel khi khoảng cách
giữa mặt phẳng vào, E(xọ,y), và mặt phẳng quan sát lớn.Trong trường hợp này phép
gần đúng được cho bởi phương trình tích phân Fresnel (16). Ta có:
+{x-x,} +(v-ằ,Ơ]=+ x? + y?)-2xx, ~ 2y]2: 2:
GVHD: TS. Đỗ Xuân Hội SVTH: Phạm Thanh Tâm
Luận văn tốt nghiệp Trang 45
Khi z có gia trị lớn, số hạng S33 +y2) được xem là rat nhỏ so với các số hang
z
trong ngoặc vuông. Nếu mặt phẳng tới trải dài một khoảng cách a thì phép gần đúng
được viết là:
Hay: oe et (17)
Tich phân nhiễu xa Fresnel (phương trình 15) bây giờ được viết với phép gần đúng
Fraunhofer:
E(x,y,z) = de A 2Ì Cate, [yE(xy,y,,0)e20 59912 (18)
4. Phương trình sóng gin trục
Tích phân nhiễu xạ có thể được ứng dụng dé xác định mode hay sự tụ tạo mau
trưởng cua một hệ cộng hướng đóng.
Ta bắt đầu với phương trình sóng vô hướng phụ thuộc thời gian cho điện trường trong môi trường có chiết suất n:
2 n a
Vv E(x, ¥.2,) Say E(x, y,z,f) = 0
Phương trình sóng vô hướng không tính đến sự phân cực nhưng nó hoàn toản đầy đủ đối với hầu hết các áp dụng. Một trường dao động don sắc sẽ có dạng:
E(x, y,2,0) = E(x, y.z)eˆ“
Ta có phương trình Helmholtz:
V`E(x,y,z)— kK? E(x, y.z) =0 (19)
Với k=—
y
Đưa vào ký hiệu ÿ?, toán tử Laplacian, trong mặt phẳng ngang trong tọa độ Descartes (x,y) hay trong tọa độ trụ (r, g ), chủng ta có thé viết lại phương trinh (19):
GVHD: TS. Đỗ Xuân Hội SVTH: Pham Thanh Tâm
Luận văn tốt nghiệp Trang 46 V.E+CŠ +t'E=0 (20)SE
ee
O thời điểm này rat cần thiết dé ta tom tắt lại những đặc điểm quan trọng cua chùm
tia má ta dang tìm phương trình Helmholtz. Chùm tia này không phái là một sóng
phang vi khoảng rộng ngang là v6 hạn. Nó cũng không thẻ là song cau vì nó không theo một phương hướng duy nhất và nó không được xác định rõ tính chat tại điểm mà no xuất hiện đẻ tỏa ra. Trong thực tế, chùm laser có góc nghiêng nhỏ va khi qua một thấu kính lỗi thì nó hội tụ về ban kính nhỏ nhất va rồi sau đó lại lệch. Vì vậy ở một số điểm, bẻ mặt sóng sẽ 14 mặt phẳng. Khi sóng truyền nó duy trì sự chiều bức xạ vào nơi mà tích phân nhiều xạ Fraunhofer (phương trình 18) được áp dụng đó là sự phân bế biên độ sẽ tự thay đôi.
Ta có thé viết:
E(x, y,2) = EsW(x, y,z)e`”“ (21)
Vớ Eạ la biên độ cua trường tai X= ¥ =2=9 và 'Ÿ(x.⁄,2) xác định sóng khác với sóng phẳng như thé nào. Chọn Ey = 1, ta có:
v}E=|y`w}-*
Hoge
Thay thé vào phương trình (20) cho ta:
ov 23W
Viv -2jk—+—-=0 (22)J éz ôz
Vi chùm tia Gauss bị lệch ít nên ta cho rằng W biến đổi rất chậm theo z. Vectơ
sóng k là một số lớn đối với sóng quang và phép gan đúng trục trong dang khác có thể
viết:
ovTiss 4c (23)Oz
Do đó phương trình (23) có thé viết lại:
GVHD: TS. Đỗ Xuân Hội SVTH: Phạm Thanh Tâm
Luận văn tốt nghiệp Trang 47
oY
+
Phương trình này được xem là phương trình sóng gân trục vả có thé xem như một
Viv -2jk—=0 (24)
dạng khác của tích phân nhiễu xa Fresnel.
5. Phương thức TEMy bậc thấp nhất
Toán tử Laplacian trong phương trình (24) có thê được biêu diễn trong tọa độ trụ (r,?.z) hoặc là tọa độ cầu (x,y,z), do đó có hai cách giải quyết. Để thuận tiện, ban dau,
ta chọn cách giải quyết nào phủ hợp với quan sát thực nghiệm của tia đơn giản nhất đó là quan sát chùm tia theo mặt cắt, nó sẽ trở nên biểu kiến và sau này nó được xem như phương thức TEMoo bậc thắp nhất.
Lý thuyết nhiễu xạ có thể biểu điển sự phân bố biên độ Gaussian sẽ được duy tri khi nó truyền càng xa trường (nhiễu xạ Fraunhofer). Đây là kết quả của phép khai triển
Fourier của ham Gaussian là một ham Gaussian khác. Một cách xử lý toán học hoàn
chinh hơn cho thấy sự phân bố biên độ Hermite-Gaussian không thay đổi trong trường gan (tức là nhiễu xạ Fresnel). Tính chất tự khai triển đảm bảo rằng chùm Gaussian có độ lệch nhỏ nhất với một đường kính cho trước, với bán kính giới hạn của chùm.
Viết lại phương trình Laplacian trong tọa độ trụ , phương trình (24) trở thành:
12,28), 25g] _ oto (25)
ror\ a ag ôz
Chim tia Gauss có tính đối xửng cầu nên trong phương trình (25) những sự thay đổi với ỉ ta xem như bang 0. Từ đõy ta dựng ký hiệu *ứ: để nhắc ring ta dang sử dụng phương pháp đơn giản nhất đã được nói ớ trên. Phương trình (25) trở thành:
r Or gy ˆ
Từ thực nghiệm quan sát chùm tia Gauss người ta dé xuất một phương trình:
\„ = exp(-j/P(z))ex (27)p(-/P(z)) o(- Oat aljkr”
GVHD: TS. Đỗ Xuân Hội SVTH: Pham Thanh Tâm
Luận văn tốt nghiệp Trang 48
Hai thừa số P(z) và q(z) sẽ được tìm thay khi thay vao phương trình (26). P(z) sé xúc định sự khác nhau như thé nào giữa pha dọc của sóng so với sóng phẳng. Số hang thứ hai q(z) bao gém sự phân bố biên độ Gauss theo bán kinh là thực và bán kính pha
là ảo. Do vậy q(z) sẽ có phan thực và phần áo.
Taco:
on ote. _ (2| — jp(;)-—=// 24)
~ pas jal JP(z)- a) ah
i __ rka'(2) | 28 = s4 ()-E Fe ly, (28)
= ` TẾ) eS) ee _ jkr?
: irl — D75 la jr =)
Be) seen a jlr*Sale ine irae 2G =
OY, b
& giz) `
Do đó:
aW, kr?
= Taye
é oe) =) ra kr rai _j 2h y, (29)
al @ ) /a@l/a@| `" ae)”
ra) eal
Thay thé phuong trinh a vao (26) ta duge:
[fey -2[P0- Se =
-> je z rˆ-2 z)+— = [eye] rere}, -0 60)
Vi sự, khác không cho nên:
GVHD: TS. Dé Xuân Hội SVTH: Phạm Thanh Tâm
Luận văn tốt nghiệp Trang 49
: =
.g#)- 1)=0
3| Pte) 2c) =0
#(z)=l :
= `. (31)
P=
Vì q'(z)=1>q(z)=q +2 (32a)
Với %o là giá trị của q tai z = 0.
Trong phương trình (27),số hạng e “”?*%' xác định sự phân bố biên độ nhờ phần
thực của nó va xác định bán kính pha (hay độ cong bề mặt sóng) nhờ phần ảo. Khi một tia laser được tụ vào bởi một thấu kính, đường kính của chùm tia giảm tới tối thiếu tai tiêu điểm và độ cong bé mặt sóng, như một hệ quả nó phải thay đổi khi di qua điểm này. Trong quanh hình học, khi xét tia sáng đi tới một điểm nào đó người ta đã bỏ qua nhiễu xạ nhưng chính nhiễu xạ là yếu tế mà ta cần kể đến trong phan nay. Vi vậy tại điểm nơi mà đường kính của tia sáng nhỏ nhất thi bề mặt sóng phải là mặt phẳng. Để thuận tiện ta chon tại điểm có z = 0. Tại điểm z = 0 ta có thể giải quyết van đề về mat phẳng sóng và tạo ra một bán kính thực. Để làm điều này ta cho #s là một số ảo. Đặt
Go = /z„- với Zz là một thông số thực có thứ nguyên của chiéu dài, ta có:
q(z)=z + jz, (32b)
1 1 z z
> ee = = oe . (33)
Ta đưa vào hai ham của z đó là R(z) và w(z). phương trình (33) được viết dưới
dạng:
. ke 2