Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Góc Euler-biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz

Một trường hợp riêng của nó là mối liên hệ giữa nguyên tử hydro năm chiểu và dao động tử tim chiểu sẽ được thiết lập nhờvào phép biến đổi Hurwitz [14].. Trong luận văn này, người viết sẽ

Trang 1

BỘ GIÁO ĐỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

THU VIEN

Trường ti ram |

TP HỒ-£¿ Í í, i

NIEN KHOA: 2001 - 2005

Trang 2

Khoảng thời gian hoc tập tại trường Dai học tuy rất ngấn so với đời người nhưng đây là thời kì rất quan trọng trong việc hình thành kiến thức và

năng lực làm việc của một con người Mỗi sính viên chúng em với mỗi cách

học riêng đều tích luỹ cho mình vốn kiến thức, tự rèn luyện các năng lực để

sau nay trở thành một giáo viên tốt Trong giai đoạn này, khả năng nghiên cứu,

khả nang tự học và làm việc với tập thể dẫn được phát triển trong mỗi sinh

viên Viết tiểu luận hay trình bày ở các buổi Seminar là hình thức rất tốt giúp

sinh viên học hỏi và rèn các kỹ năng về nghiên cứu khoa học Nghiên cứu khoa học ở trình độ cao hơn như việc viết luận văn tốt nghiệp đòi hỏi nhiều thời

gian, công sức và nhiều kiến thức mới Chính vì vậy, để hoàn thành bài luận

văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, em còn nhận được rất nhiều sự giúp đỡ

của thdy cô, bạn bè.

Cho em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thay Lê Văn Hoàng, thay

đã tận tình chỉ dẫn, truyền đạt kiến thức và hướng dẫn phương pháp làm việc

để em có thể hoàn thành luận văn

Em xin cảm ơn thấy Nguyễn Khác Nhạp, thấy Lê Nam đã tận tình truyền đạt những kiến thức, cung cấp tài liệu về cơ học lượng tử.

Cho phép em gửi lời cảm ơn đến tất cả Thấy, Cô trong khoa đã truyền

đạt kiến thức cho em trong suốt khoá học và tạo điểu kiện để em hoàn thành

luận văn này.

Kính chúc sức khỏe quý thấy cô nhà trường.

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thành Sơn

Trang 3

MỤC LỤC

Trang

0027100 3

CHƯƠNG I: PHÉP BIẾN ĐỔI HURWITZ 1.1 Một cách tổng quát hoá phép biến đổi Hurwitz 6

1.2 Dao động tử điều hoà 4 chiéu phức và nguyên tử hydro 5 chiều 10

Phy lục AI.1: Hệ ma trận Dirac 1g và các tính chất 12

Phu lục A1.2: Sử dung Mathematica chứng minh r= &é 544475 8i34a3x l6 Phụ lục A.1.3 :Phương trình Schrodinger cho dao động tử điểu hòa 4 chiều phức -. «-<<5 17 CHƯƠNG II: GOC EULER TRONG PHÉP BIẾN ĐỔI HURWITZ H:1SXây đ‹ng WB ta DÙN G206 G6 Ề00C00:2 20620 18 11 B1 bib SG Ích DA Gel eres 21 Phụ lục A.2.1: Tinh Se theo các giá trị X; và Ố, 26

Phụ luc A.2.2: Tinh các dao hàm riêng của Ó, đối với (i ÔNG 29 Phu lục A.2.3: Biểu diễn Hamiltonian trong không gian (*z:#,) 31

Phụ lục A.2.4: Tính chất của hệ vectd 4„(?) - 48

Phu lục A.2.5 : Phép quay các góc Euler Hàm cầu suy rộng 50

Phụ lục A.2.6: Hàm riêng của toán tử momen động lượng 55

Phu lục A.2.7: Tính chất của hệ toán tử Ô, -c55-5 58

Phụ lục A.2.8: Sử dụng Mathematica để tìm thế vectơ a,() 60

KẾT LUẬN 2 22222221122100010111110100210.1.00700 0 63

TÀI LIEU THAM KHẢO 22222222s4212212222221212222222771222222222 72 64

Trang 4

Luận văn tốt nghiệp

MỞ ĐẦU

Nguyên tử hydro và dao động tử diéu hoà là hai bài toán cơ bản của cơ

học lượng tử Đây là một trong số rất ít các bài toán mà phương trình

Schrodinger của nó có lời giải chính xác Vì vậy, mối quan hệ giữa hai bài

toán này là vấn để được sự quan tâm rất lớn và là đối tượng nghiên cứu quan

trong của nhiều nhóm nghiên cứu vật lý trên thế giới (xem [1-2] và các tríchdẫn trong đó) Ngoài ra nó còn được ứng dụng trong nhiều tính toán nguyên tử

(xem trong {3-4]) Đặc biệt trên cơ sở mối liên hệ này phương pháp đại số đã

được xây dựng [5-6] và là phương pháp chính của nhóm nghiên cứu khoa vật

lý trường Đại học Sư phạm dưới sự hướng dẫn của thấy Lê Văn Hoàng

Phương pháp này không những được ứng dụng thành công trong vật lý nguyên

tử [7-9], vật lý chất rắn [10], mà còn trong vật lý các hệ thấp chiều [11-13]

Bản thân sự tổn tại mối quan hệ giữa hai bài toán cơ bắn của cơ học

lượng là một điều rất thú vị Một trường hợp riêng của nó là mối liên hệ giữa

nguyên tử hydro năm chiểu và dao động tử tim chiểu sẽ được thiết lập nhờvào phép biến đổi Hurwitz [14] Khởi điểm, phép biến đổi Hurwitz là sự thiếtlập hệ thức liên hệ giữa không gian 5 chiều và không gian 8 chiểu như sau:

LÊ P Vi Và K~ K N cg

X, = uy +M; + Hy ty —M; us —M) — Hạ „

X; =2(M,M, +;W, — My; — MyM,),

x, = 2(M,M, —M;M, #* My, =M,My),

X, =2(M,M +yM, ® Hy, +Uyu,),

X, = 2(uju, — ty; — uu, + ,,).

Ở đây, chúng ta thấy có sự bất cân đối về chiểu trong phép biến đổi

trên Trong công trình [15] sự mất cân đối đã giải quyết bằng cách đưa racác "biến số phụ” ¢,,¢,,¢, là 3 góc Euler, Lúc này phép biến đổi trở thà nh :

Trang 3

Trang 5

(X,,X; X:.Ø,.Ø,.Ố, ) > (,,; vty )

Nhờ đó mối liên hệ giữa dao động tử điều hoà 8 chiều với nguyên tử hydro 5

chiểu được khảo sát một cách cụ thể hơn Và thật như vậy, sử dụng kết quả

công trình [15] bằng cách thêm vào 3 góc Euler như trên, công trình [16] đã

phát hiện một điều thật thú vị Đó là dm thấy một đơn cực “ non-abelian” ẩntrong đao động tử diéu hòa khi đưa toán tử Hamilton của nó vé dang toán tử

Hamilton của nguyên tử Hydro Sự xuất hiện một trường mới trong trường hợp

này được giải thích bằng “ly thuyết topo” Khi chuyển từ không gian 8 chiều

sang 5 chiều thì 3 chiều còn lại bị "cất” mất Do đó, 3 chiều còn lại phải ẩnbên trong, đặt trưng cho spin đồng vị của hạt

Trong luận văn này, người viết sẽ đưa ra lý thuyết xây đựng các biến

số phụ trong phép biến đổi Hurwitz mà trường hợp riêng là các góc Euler.

Hay nói khác hơn sẽ đưa ra một cách tổng quát hóa phép biến đổi Hurwitz

Ngoài ra, trong luận văn lần đầu tiên đưa ra được phép tách biến phụ ra khỏi

phương trình mô tả chuyển động của đơn cực non-abelian trong trường Coulomb Về nguyên tắc, 3 biến số phụ mô tả spin đồng vị chuyển động trong

trường Coulomb cộng với trường điện từ có dang thế đơn cực tir, Cho nên việc

tách biến số phụ ra khỏi phương trình Schodinger là tách sự phụ thuộc vào spin

đồng vị của hạt

Với hướng phát triển như trên, nội dung của luận văn sẽ được trình bày

như sau:

Chương I: Phép biến đổi Hurwitz

Nội dung chương này trước hết là giới thiệu về phép biến đổi Hurwitz, sau đó

phát triển các kết quả của công trình [15-16] về phép biến đổi này để đưa ra

lý thuyết tổng quát xây đụng các biến số phụ Cũng trong chương này, kết quảcủa công trình [16] được trình bày lại vé mối liên hệ giữa dao động tử 8 chiéu

và đơn cực “non-abelian” trong trường Coulomb năm chiều

Trang 6

Luận vẫn tốt nghiệp

Chương II: Góc Euler trong phép biến đổi Hurwitz

Nội dung chương này là thiết lập các biến số góc theo các điều kiện đã đặt ra

ở chương I, từ đó biểu diễn toán tử Hamilton trong không gian mới Việc biểu

diễn toán tử Hamilton trong không gian mới làm xuất hiện trường đơn cực từDirac Sau đó, tiến hành phân ly biến số góc ra khỏi phương trình Schrodinger

trên cơ sở sử dụng hàm cầu suy rộng Sau đó ta xác định trường xuất hiện

trong phép biến đổi khi đã tách biến số góc ra khỏi hàm sóng Kết quả thu

được là phương trình Schodinger cho hạt chuyển động không spin đồng vị

trong trường Coulomb và trường điện từ có dạng thế đơn cực từ 5 chiểu

Mục tiêu của việc làm luận văn là thông qua đó học hỏi được các bước

cơ bản của việc nghiên cứu khoa học Cụ thể là:

- Hoàn thiện kỹ năng tính toán.

Học sâu hơn một số vấn để liên quan đến môn cơ học lượng tử Timhiểu các vấn để liên quan đến phép biến đổi Hurwitz, Kustannhiemo-Stiefel, van dụng một số vấn để cơ ban của cơ học lượng tử để tìm

hiểu và phát triển phép biến đổi trên.

Trau dối kỹ năng tìm kiếm thông tin, rèn luyện kỹ năng đọc và dịch

thuật các tài liệu từ tiếng Anh

Học và vận dụng ngôn ngữ lập trình Mathematica để xử lý một số

công đoạn tính toán phức tạp.

Trong luận văn này một số kiến thức, tính toán phức tạp sẽ được trình

bày ở phẩn phu lục sau mỗi chương để logic của vấn để được lién mạch và

người đọc có thể tiện theo dõi

Trang 7

CHƯƠNG I

PHÉP BIẾN ĐỔI HURWITZ

Chương này chúng ta sẽ giới thiệu phép biến đổi Hurwitz Đây là phép biến

đổi được rất nhiều sự quan tâm và là đối tượng nghiên cứu có tính thời sự 16] Đây là trường hợp riêng của phép biến đổi Kustannheimo-Stiefel,biểu thị

[15-mối quan hệ giữa nguyên tử Hydro (24-!) chiều với dao động tử điều hoà 2*

chiều Trong phép biến đổi Hurwitz, chúng ta sẽ nghiên cứu mối quan hệ giữa

nguyên tử Hydro 5 chiéu với dao động tử điểu hoà 8 chiểu Nội dung của

chương này là phát triển các công trình ở trên để đưa ra lý thuyết tổng quát về

phép biến đổi Hurwitz cụ thể là lý thuyết xây dựng biến số phụ trong phép

biến đổi nà y

1.1 Một cách tổng quát hóa phép biến đổi Hurwitz:

Các ma trận Dirac có thể biểu diễn qua các ma trận Pauli như sau :

Đối với các ma trận Dirac, ngoài các tính chất đã biết như:

Chương l: Phép biến đổi Hurwitz Trang 6

Trang 8

Ÿ⁄\ =ữi,

Y,V\, + VY, = 20,7 , (1 là ma trận đơn vị cấp 4 ) (1.2)

để có thể sử dung các tính toán cụ thể, trong phan phụ lục A.1.1 ta sẽ chứng

minh thêm một tính chất quan trọng như sau:

trong đó: ofl Kho là các biến của không gian 4 chiểu phức; -ái là liên hợp phức

của €,: /(€) là các hàm số tùy ý theo các biến phức €

Với cách đặt như vậy các giá trị X; được xác định tường minh như sau:

Đây chính là cách viết dưới dang phức của phép biến đổi Hurwitz Còn các

biến số phụ é,.ø,,ø, được đưa vào như một cách tổng quát hoá phép biến đổi này Trong công trình [15] các góc này được đưa ra cụ thể như định nghĩa các

góc Euler và nó được sử dụng trong công trình [16] để thu được kết quả vật lýrat lý thú Trong phan này ta sẽ đưa ra lý thuyết tổng quát xây dưng các biến

số phụ này Hay nói khác hơn ta sẽ đưa ra các tiêu chí để xác định các hàm số

ƒ,(ễ) Một trong những tính chất quan trọng của phép biến đổi Hurwitz là nó

Chương I: Phép biến đổi Hurwitz Trang 7

Trang 9

Luân văn tốt nghiệp

cho ta hệ thức liên hệ giữa khoảng cách trong không gian 5 chiéu và trong

không gian 8 chiéu Tính chất này liên hệ qua đẳng thức :

=x¿x¿ =€7ế, (821,234) (1.5)

được chứng minh bằng Mathematica trong phần phụ lục A 1.2

Bây giờ ta xây dựng các toán tử vi phân bậc một trong không gian Ễ, sao cho

khi chuyển về không gian thực nó chỉ phụ thuộc vào các biến số phụ 4,.é đ,.

Để như vậy ta phải có những điều kiện nhất định cho các hàm f,(€) (i=1,2,3) Điều kiện đầu tiên là //(£) phải thoả mãn phương trình sau:

số: | ag" $, é Yu\ ¢, 2e" z chi phụ thuộc vào các biến số

góc, không phụ thuộc vào các biến X; hay nói khác hơn, ta có thể kí hiệu như

Với điểu kiện (1.8) và nhờ vào tính chất phản đối xứng của các ma trận YY, ,

chúng ta xây dung các toán tử 7,,7, như sau:

a ae) a

Trang 10

Từ (1.10) chúng ta có thể xem các biến số ¢,.¢,,¢, như là các góc Euler ứng

với các toán tử của phép quay là 7,,7,,7, Đối với các góc Euler , chúng ta

cần phải xây dung các toán tử Ô,,Ô Ô, [17] sao cho:

Bây giờ chúng ta đi tìm toán tử động lượng trong không gian mới Sử dung

(1.3) và qua một vài phép biến đổi ta được:

300.5 tế, '£])ˆ {ova neo.) (1.13)

` # ca Gh,

voi: 4„(.6)=—(,)„| £, ‘ 1.14I (7.¢) xin) ba az +é %,) (1.14)

Từ (1.13) chúng ta có thể viết toán tử động lượng như sau:

Trang 11

Luận văn tốt nghiệ

ă Oe sys h)

, =-i—- A, 7.¢)—.

P i : a’ Đặc

Để thuận tiện cho việc phân ly biến số góc , chúng ta viết lại toán tử xung

lượng như sau:

Điều kiện cuối cùng đối với các hàm /(£) là chúng phải được chọn sao cho

A, chỉ phụ thuộc vào biến tọa độ X; Với điều kiện này, ta viết được toán tử

động lượng dưới dạng sau:

ñ, =-L—+ 4u (ĐÔ, ri 2c] (1-17)

Vậy, chúng ta đã có được phép biến đổi Hurwitz tổng quát Trong phép biến

đổi chúng ta đã có những điều kiện cụ thể và tổng quát để xây dựng ra 3 biến

Trang 12

- | @

2 06,06, +2 6,6,

Với Z là trị riêng của 7] ứng với hàm riêng yw (xem phụ luc A.1.3).

Ta viết lai (1.18) dưới dang khác:

G Đất: wince 1.19

( 22 ngô, Ale) gu vie) thiết

và sau đó ta chuyển (1.19) vé không gian Tà Bằng cách sử dụng (1.17) ta

tính được toán wt p’=p,p, trong không gian € và tương tự như vậy, từ

(1.6)(1.91(1.11) ta tính được Ở° trong không gian này Tổng hợp lại, ta có

trong đó £ = -ø' xem như là năng lượng của hạt

Từ phương trình (1.20) nếu chúng ta tìm được hệ nghiệm sao chochúng không chứa các biến số góc nghĩa là chúng thoả mãn các phương trình:

Ow = Ow = Oy =0 (1.22)

thì (1.21) chính là phương trình Schrodinger cho nguyên tử hydro trong không

gian 5 chiểu Trong trường hợp tổng quát thì phương trình (1.21) mô tả hạt có

spin đồng vị chuyển động trong trường Coulomb và trường thế đơn cực từ [16]

Chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ phương trình này trong chương II.

Trang 13

PHU LUC A.1.1: HỆ MA TRAN z, VÀ TÍNH CHAT

Với cách xác định như ở (1,1) ta có dang tường minh của hệ ma trận 7%, như

Với tính chất | ta dé dang nhận thấy khi viết hệ ma trận dưới dang tường minh

như ở trên Ta đi chứng mính tính chất 2, 3.

Trang 14

Từ hệ ma trận Z¿ xác định ở trên,ta tiến hành tính toán bằng cách biểu

diễn các ma trận dưới tập hợp các phần tử như sau :

Trang 15

(y,),, = (-16,,6,, - ið,;ổ,y + iổ,yổ,; + i,„ổ,,).

Trang 16

Ta viết lại biểu thức trên:

W.)„Ú,)„ =26„ð„— ô„õ„ +2(—¡ÿ„(—?P„.

Vậy: (y, )„Úứ, lễ = 26,6, - 6,5, T rs eS °

Chương |: Phép biến đổi Hurwitz Trang 15

Trang 17

PHỤ LUC A.1.2: CHUNG MINH r = £ Š,

Để chứng minh biểu thức này chúng ta sẽ sử dung Mathematica, mặt dù việc

chứng minh biểu thức trên bằng tính toán thông thường là không quá khó khăn

và phức tạp, nhưng việc tính toán với 50 số hạng trong biểu thức trên cũng

khá dài và mệt mỏi Trong khi đó, Nếu sử dụng Mathematica thì chỉ cần nhậpvào 5 biểu thức là ta có kết quả

Nhập các biểu thức của x, (i=1,2,3,4,5) Sau đó dùng lénh Simplify dé tinh va

làm gon biểu thức xf + xỶ + xp +x] +x?

minty wal Obl vÉs~1«€S«e€y€1«€jxsÉsc1«€ wks,

taiaje Mp we Epo Sy + E20 Sy + Ệ3 vẾ¿ - €4 a Er;

tiến Xã m =1 *Ếi sếa +1 «€3 *Éc«+1+€3 xế: -1 «€3 sa,

ri." Mem ED + Ex + 2 + Sa + €3 + €i + EG *Ế2:

zine Ms ỆT *Ết + Ê2 *Ê¿ - €3 *€a - She Fa;

noe Simplify[x,*2 + X¿^2 + Xi^2 + X¿^2 + Xs^2]

2x+/"j= tết (Ế' « Biel ~s (6y " eee

= (gre, + #;£; + điều + ¿2£ Ì

Vậy: r =£;É,.

Chương I: Phép biến đổi Hurwitz Trang l6

Trang 18

PHU LUC A.1.3:

XAY DUNG PHUONG TRINH SCHRODINGER

CHO DAO DONG TU DIEU HOA

TRONG KHONG GIAN 4 CHIEU PHUC.

Để đơn giản, trước hết ta xét đối với không gian | chiéu phức:

Age Ox OE" 0£ Ox OE ốc Ox x Oy âm Op

Như vậy ta có thể viết lai như sau:

Ñ Ø' 1 se

a +— *2u0gÐ£" 2 fea, SE

Đây chính là Hamiltonian cho dao động tử điểu hoa | chiéu phức Với hệ đơn

vị nguyên tử ta có thể viết lại:

2

= ô - +},

20j£ 2

Tổng quát hóa lên ta có dao động tử trong không gian 4 chiéu phức tương ứng

với dao động tử điều hoà trong không gian 8 chiéu thực và có dạng như sau:

Trang 19

Luận vân tốt nghiệp

CHUONG I

GOC EULER TRONG PHEP BIEN DOI HURWITZ

Ở chương này chúng ta sẽ xác định các giá trị đ,,é,,ó, bằng cách chon các hàm

⁄.,./,./, sao cho nó thoả mãn các điều kiện mà chương I đã để ra Sau khi tìm được

các biến số góc này chúng ta sẽ biểu dién Hamiltonian trong không gian (2%) từ đó

xuất hiện trường đơn cực từ Dirac trong Hamiltonian Nghiệm của phương trình

Schrodinger lúc này là các hàm sóng phụ thuộc vào các góc Euler, chúng ta sé tiến

hành tách han sự phụ thuộc vào 3 góc Euler của các hàm sóng này Khi đó chúng ta

sẽ có các hàm sóng chỉ phụ thuộc vào tọa đô, đó là nghiệm cho bài toán nguyên tử

hydro 5 chiều trong trường Coulomb và trường điện từ có dạng thế đơn cực từ 5 chiều

H.1 Xây dựng biến số góc:

Ở phẩn này chúng ta sẽ xác định các góc ở,.é,.é,, từ đó chúng ta sẽ biểu diễn toán tử

Hamilton trong không gian (Xa›Ø,),

Dựa vào những điều kiện ở chương I chúng ta chon ƒ,, /;, /, có dang sau:

Chon: F, (£,£;) = 0, ta được các giá trị góc như sau:

Chương Il: Góc Euler trong phép biến đổi Hurwitz Trang 18

Trang 20

Các góc này trùng với kết quả của công trình đã được xác định trong [15]

Khi đó bán kính vectơ trong không gian x, thỏa mãn công thức:

Đây là 3 toán tử momen động lượng của một hạt bất kỳ chuyển động trong trường

xuyên tâm khi được biểu diễn qua 3 góc Euler ó, với

Trang 21

Trong phụ lục A.2.7 ta chứng minh các các tính chất giao hoán của cấc toán tử nàynhư sau :

Trang 22

Lúc này ta thấy vai trò của £ và £ : & và & đổi chỗ cho nhau Hay nói cách khác nếu ta xem £ là £, ; £, là & thì phép biến đổi lúc này rất giống với phép

biến đổi trong trường hợp 1, ta chỉ việc thay thé x, bằng -x, ; xs bằng -x; thì ta có

ngay kết quả phép biến đổi mới Với trường hợp này, dạng của 3 toán tử Ô, không

thay đổi, trong khi đó hệ thế vectơ 4„ chuyển thành:

|

Ay = Pr i as a aloe (2.7)

|

A,; = PR TC Kiên Suy :

Ta nhận thấy rằng hệ thế vectơ ở (2.7) và (2.4) tương đồng với nhau Sự khác nhau

ở đây là dấu của 7 trên trục x; (tại điểm kì dị) Hay nói cách khác, đối với trường hợp | điểm kì di là tập hợp trên trục Ox; trong khi ở trường hợp 2 nó là trục =Øx; Như

vậy, giá trị góc xác định ở (2.6) đã làm thay đổi chiểu của 7 tại điểm kì dị Từ đây ta

có nhận xét rằng: Nếu ta đặt các giá trị ¢,¢,,¢, thích hợp thì kết quả chúng ta sẽ tìm

được giá trị của 7 tại điểm kì dị của hệ vectơ là cả trục xs, Và như vậy, kết quả sẽ có một trường thế mới với tính chất topo khác biệt như của đơn cực từ Vấn để này là để

tài của một nghiên cứu khác.

1L.2 Phân ly biến số góc:

Ta biết rằng trong phẩn trước, toán tử Hamilton có chứa các góc Euler ¢,,¢,.¢, thông

qua các toán tử Ô, Do đó, nghiệm riêng của phương trình (1.21) có chứa 3 góc Euler.

Mục đích của chúnhg ta là tách hẳn sự phụ thuộc của nghiệm riêng phương trình

Schodinger vào 3 góc Euler, khi đó chúng ta sẽ có một hàm sóng chỉ phụ thuộc vào

tọa độ, đó là nghiệm của nguyên tử Hydro 5 chiéu trong trường Coulomb và trường

thế dạng đơn cực từ

Như ở phẩn trước chúng ta đã nói, các toán tử Ô, có cấu trúc đại số tương tự như cấu

trúc đại số của toán tử momen động lượng trong không gian 3 chiều biểu diễn qua các

góc Euler Nghiệm riêng của Ô ,Ở, là hàm cẩu suy rộng Ø/ „(ế,) đối với các biến

ó,uố ø, (hay còn gọi là hàm Wigner)(xem phụ lục A2.6):

Ta có:

Chương II: Góc Euler trong phép biến đổi Hurwitz Trang 21

Trang 23

2(4,:)+/4,;(2))-Khi đó, ta viết lại như sau :

A, =A,(Œ)Ô, + Ay, FIO + A, (FIO (2.12)

Bây giờ chúng ta sẽ tim các hệ số g,(Z) sao cho G,,(7,¢,) thỏa mãn hệ thức sau :

A,G„(F.6,) = a,(F)G „(E.é,) (2.13) Tác dụng các toán tử Ô ,Ó, lên hàm G„(Z,đ,) sử dụng (2.8) và (2.11), ta có:

Trang 24

Đưa các phương trình (2.1 1),(2.12) vào (2.13) ta được :

(Ay 70, + A, (ĐÔ, +4, (3Ô ) Š8,00/,(6)= a,Œ) D8, (P02 (6,)

Ta thực hiện biến đổi chi số chạy g dé được biểu thức đồng nhất chứa ø/ (,)

AuŒ) Š`4,4ø2,(6,)+ Ay, FD 8,0 O=4+DÐ+4X/,(6,)

Với mỗi giá trị của 2(1,2.3,4,5), chúng ta có hệ (2j+/) phương trình có dang như sau:

A, PVG = 4+ + a8, 47) = la, 7) ~ 9A, Fle, F)+

4, PVG +9+ DG - 8,7) =0, (2.16)

Trang 25

trong đó g==/.=/ +l / =l,/, ứng với mỗi giá trị của j ta có một phương trình Tậphợp các phương trình này ta được hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, hệ phươngtrình này được biểu diễn qua ma trân sau:

Để phương trình (2.16) có nghiệm không tâm thường thì de(h,)=0 — (2.17)

Từ điều kiện (2.17) dẫn đến một phương trình bậc 2j+/ theo ẩn a,(7), từ đó ta tìm

được z,(7) Thế a,(F) tìm được vào phương trình (2.16), ta có được (2/+!) phương

trình theo g,(7) ứng với mỗi giá trị của A(1,2,3,4,5) Từ đó ta có thể tìm thành phần

không chứa góc của hàm sóng G,,(F,¢,) Bây giờ, đưa (2.10) vào phương trình (1.21),

và sử dụng các phương trình (2.13) (2.14) (2.15), ta thu được phương trình:

:

HỆ +000) + Ae ui 2,04 EY, @) (2.18)

2 * r

Như vay, chúng ta đã xây dựng được mối liên hệ giữa dao động tử diéu hoà trong

không gian 4 chiểu phức (tương đương với 8 chiểu thực) và nguyên tử hydro trong

không gian 5 chiểu đặt trong trường điện từ (am MY +»).

rỉ

Trong phương trình (1.21) ta chỉ có 5 biến số toa độ, các biến số góc ứng với 3 chiéu không gian mất đi đã được chuyển vào cấu trúc bên trong của hat_goi là spin đồng vi.

Ở đây, spin đồng vị là cấu trúc nội tại của hạt được biểu diễn qua 3 toán tử của phép

quay ứng với 3 góc ø,.é;.é, Nhưng trong (2.18), chúng ta đã tách hẳn sự phụ thuộc

vào 3 góc Euler, nghĩa là tách hẳn sự phụ thộc vào spin đồng vị của hạt Phương trình

Trang 26

Luận van tốt nghiệp

(2.18) lúc này là Schrodinger cho nguyên tử hydro 5 chiéu trong trường Coulomb vàtrường thế dang đơn cực từ 5 chiều

Để tìm ø,() chúng ta sẽ giải phương trình (2.17) Việc giải phương trình (2.17) mộtcách tổng quát rất khó khan và mất nhiều thời gian Tuy nhiên với việc sử dụng phan

mềm Mathematica chúng ta sẽ giải quyết bài toán này một cách dễ dàng Vì vậy chúng ta sẽ giải phương trình này với các trường hợp cụ thể j=!,2.3,4,5 bằng

Mathematica (xem phụ lục A2.8) Từ các trường hợp cụ thể này chúng ta nhận thấy

rằng trong trường hợp tổng quát a,(Z) tìm được như sau:

Từ hệ vectơ 4, ở( 2,4) ta tìm đuợc :

ate kÝ3 t3 +32 a@)<kÝ® t3) +3:

k r(r+x,) : k r(ir+x,) ,

3 2 2 2 2 3sisi, sử) P1 ti (2.19)

Trang 27

PHY LUC A.2.1: TÍNH & THEO CÁC GIA TRI x, VÀ Ó,

Từ phép biến đổi Hurwitz ta viết các biến x,, Ổ, theo ¢, như sau:

x, = ig; &, ~i€,€, +ig;é, +i, ' (1)

= -i€ §, +iG 36, +i, -i&€,, (3)

Trang 28

Luận văn tốt nghi

LAG, +#,)+ 8É, ~4)]= Skea +P +: al] 26 (& + 626)

Trang 29

5=-== = le x )sin (ix, +x, eos“ e MÌ

Hoàn toàn tương tự cho Os , ta tính được:

c= Tartaglia sine” ~ám —a,kesfte |

Trang 30

PHỤ LỤC A.2.2

TÍNH CÁC DAO HAM RIÊNG CUA ý, ĐỐI VỚI £,.£}

Tính các đạo hàm của Ó,„Ó;, đối với £,,£,

Trang 31

Luận văn tốt nghi

Trang 32

PHỤ LỤC A.2.3: BIỂU DIỄN TOÁN TỬ HAMINTON

TRONG KHÔNG GIAN (%;Ỉ:ố,)

Toán tử Haminton trong (2.2) được viết:

Suy ra:

@ _ Ox, Đ &, 0 0, Ô14 24 8 2

ôặ,đặ, 2 OE; ax, Ộ5 ỹ,ôx, OẠ,0Ạ; my Ộ OE, ag,

_ Ox, 0 o&, (dH, 2 4, Ale 2b 2 2

ôỮ,ôẬ, ae, ag | Bự, ox, 8g, Og, JOx, 0,0) ôó,

Ấ 96 | &, 2 26 8) a

Tae 0g, Ox, OG, 0ó, ag,

_ Ox, ô âu, ở Ấ24 6 , 26 2H, &

_ ôgAặ Oe, aE OE, âu â, O6,0E 0ý | OE aE, 0404,

(3 ag, ee SS

06; 8, 8; OE, ) dx, O4,

Bây giờ ta tinh từng số hạng trong biểu thức trên:

Trang 33

Tiêu đề	Góc Euler-biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz
Tác giả	Nguyen Thành Sơn
Người hướng dẫn	TSKH. Lê Văn Hoàng
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Vật Lý
Thể loại	luận văn tốt nghiệp
Năm xuất bản	2001 - 2005
Thành phố	TP. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	66
Dung lượng	65,59 MB