Khóa luận tốt nghiệp Sư phạm Vật lý: Các hàm đặc biệt thường được sử dụng trong các bài toán Vật lý

chúng ta sẽ gặp một số phương trình vi phân thường mà nghiệm của nó là các hàm đặc biệt như đa thức Legendre, hàm cau, hàm Bessel....Í l].. Da thức Legendre xuất hiện trong nhiều bài toá

TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

Chuyên ngành: SƯ PHAM VẬT LÝ

Mã số sinh viền: 44.01.102.093

Thành phố Hồ Chí Minh - 2022

hoàn thành khóa luận này.

Tiếp theo, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thay Nguyễn Lê Anh,người thay trực tiếp hướng dẫn em trong suốt quá trình làm khóa luận.Thay đã luôn đồng hành giúp đỡ động viên khi em chin bước và chi dan

tận tâm khi em gặp vấn đề khó hiểu Ngoài ra, em còn nhận được từ thầy

sự tự tin, kinh nghiệm sống và niềm đam mê nghiên cứu khoa học

Và cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và tập thể lớp

44.01.LY.SPB đã luôn sẻ chia và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng

như trong cuộc sống.

Thành phố Hỗ Chí Minh, ngày 03 thang 04 năm 2022

Nguyễn Hữu Phát

il

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan day là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự

hướng dẫn của thay Nguyễn Lê Anh Các kết quả thu được trong khóaluận tốt nghiệp là hoàn toàn trung thực và khách quan.

Tác giảNguyễn Hữu Phát

ili

Mục lục

Lời cám ơn ii

Lời cam đoan ili

Muc luc iv

Danh sach bang vi

Danh sach hinh vé vii

Ki hiéu viét tat ix

114 Đa cực điện tuyến tinh 11

1.1.5 Khai triển vector 000002008 12

1.2 Các hệ thức truy hỏi và tinh chất đặc biệt 16

1.2.1 Các phương trình vi phân 19

iv

1.2.2 Giới han trên và dưới của P„(cosØ) 20

Ld TÍRH.Y€IAO : óc c c c co co co co Co bo co co 23 1.4 Định nghĩa dan dau của đa thức Legendre 35

1.5 Hàm Legendreliênkết 38

2 Ham Bessel 49 2.1 Các ham Bessel loaimét 880% 50 2.1.1 Hàm sinh cho bic nguyên 50

2.1.2 Ung dung của hệ thức truyhỗỏi 55

2.1.3 Phương trình vi phan Bessel 56

2.1.4 Phép biểu điễn tíh phân 58

205 THỈNH PFUGBIBO ce ete 62 216 Sựchuẩnhóa 22 ee ee 64 2.1.7 Chudi Besel 64

2.1.8 Hàm Bessel của bac không nguyén 76

2.2 Hàm Neumann, ham Bessel loaihai 79

2.2.1 Dinh nghĩa và dạng chui S0 2.2.2 Các dang khác - 82

2.2.3 Cac hé thitc truy h6i - 82

2.2.4 Công thức Vronskian 83

2.3 Khai triển tiệm cận 2 c c Q Q Q Q và 87 2.4 Hàm cầu Bessel 2.2 ee 95 2.4.1 Các giá trịgớibhạn - 99

2.4.2 Hệ thức truyhỏi 102

Kết luận và hướng phát triển 111

Tài liệu tham khảo 113

Vv

Danh sách hình ve

1.1 Thể tĩnh điện của điện tích g đặt cách gốc toa độ một khoảng

esas eats se eeadaeeaaaaeaa 4

1.2 Các đa thức Legendre P(x), Pạ(œ), P›(z) Pal) và Ps(x) — 5

13 Lưỡng cực điện ee 11

14 Tứ cực điện tuyển tính 15

1.5 Bat cực điện tuyến tính 15

1.6 Vật dan hình cầu trong trường đều 28

1.7 Vòng dây dẫn tích điện 31

2.1 Các hàm Bessel Jp(z), J\(#) Jo(x) và Jạ(+) 54

22_ Nhiễu xa Fraunhofer, khẩu độ tròn 60

2.3 Manh hình chữ nhật của màng dao động 65

2.4 Diéu kiện đầu với đao động mặt trống ban đẫu 70

2.5 Mặt trỗng với a= 1,c=0.l 71

2.6 Khoang cộng hưởng trụ ẶẶẶ 72 2.7 Các hàm Neumann Yq(z), Y1(z) và Ÿ¿(z) §0

2.8 Dường biên ham Bessel 89

2.9 Các đường biên ham Hankel 90

2.10 Tiệm cận gan đúng của Jp(#) 92

2.11 Các hàm cần Bessel 97

2.12 Các hàm cầu Ñeumamn 97

2.13 Sóng phẳng tới bị tan xa bởi thế W thành sóng cầu ra 104

vill

Mở đầu

Toán học là một ngành có tính ứng dụng rộng rãi trong khoa học và kỹ

thuật, nhất là trong vật lý Đặc biệt phương trình toán lý là ngành mới

đã hình thành vào thế kỷ XVIII Ngành toán học này giúp liên hệ giữa các

đại lượng vật lý trong tự nhiên rat phức tạp với nhau nhưng chúng có quy

luật Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình vi phân đạo hàm

riêng chúng ta sẽ gặp một số phương trình vi phân thường mà nghiệm của

nó là các hàm đặc biệt như đa thức Legendre, hàm cau, hàm Bessel Í l].

Da thức Legendre xuất hiện trong nhiều bài toán vật lý khác nhau.Trong cơ học lượng tử, chúng (thực chat là hàm cau) đại diện cho các

hàm riêng của toán tử moment động lượng quỹ dao [2| Bên cạnh đó, hàm

Bessel xuất hiện rộng rãi trong các bài toán vật lý Gần đúng

Wentzel-Kramers-Brioullin (WKB) trong co học lượng tử liên quan đến hàm Bessel

là một ví dụ Trong cơ học lượng tử, một giếng thé vuông trong déi xứngcầu được giải bằng hàm cầu Bessel Ngoài ra, việc tính toán độ lệch phatrong lý thuyết tán xạ lượng tử cũng xuất hiện các hàm cầu Bessel [3].

Nhờ có vật lý, các phép tính đạo hàm, vi phân và tích phân xuất hiệntrong giải tích như các công cụ hữu hiệu từ thế kỉ XVL Nhà vật lý ngườiDức Albert Einstein đã khang định “Toan bộ vật lé là toán học” Sự khácnhau giữa vật lý và toán học ở chỗ toán thi đùng tu duy logic trong khi vật

lý tính toán kết hợp suy dién hợp lý và các kết quả thực nghiệm Cho đếnnay, mặc dù vật lý vẫn đang tập trung nhiều vào các tính toán phức tạp

và thường sử dung các công cu máy tính để giải số chính xác, tuy nhiên việc sử dụng các hàm đặc biệt trong toán giải tích vẫn được sử dụng để tiên đoán các nghiệm gần đúng cho một số trường hợp cu thể [1]-[4].

Trong quá trình học chuyên ngành vật lý, người học phải trải qua các

học phần đòi hỏi tính toán nhiều như co lý thuyết, cơ học lương tử, điệnđộng lực học, vật lý thông kẻ, vật lý nguyên tử và hạt nhan, Trong đó,

chúng thường xuất hiện một số hàm và đa thức đặc biệt trong quá trìnhgiải các bài toán vật lý Do đó, một tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành

vật lý là thiết thực khi sinh viên tiếp cận các học phần kể trên cũng nhưphục vụ quá trình nghiên cứu khoa học sau này [5] Vì vậy, việc khảo sắt

và hệ thống một số hàm đặc biệt thường được sử dụng trong các bài toánvật lý là việc làm cần thiết và phù hợp với yêu cầu học tập Từ nhận thức

đó, dưới sự hướng dan của thay Nguyễn Lê Anh, em đã chon dé tài “Các

hàm đặc biệt thường được sử dụng trong các bài toán vật lý” làm khóa

luận tốt nghiệp của mình

Mục đích nghiên cứu là xây dựng một bộ tài liệu tham khảo liên quan

đến các hàm và các đa thức đặc biệt như một công cu học liêu giúp sinh

viên chuyên ngành vật lý.

Phương pháp nghiên cứu là tìm hiểu một số hàm đặc biệt thường gặp

trong các bài toán vật lý như đa thức Legendre, hàm cầu và hàm Bessel Tiếp theo là xây dựng lý thuyết và hệ thống các dạng bài tập thường gặptrong vật lý Ngoài ra, chúng tôi cũng xây dựng một số chương trình tínhtoán số để phục vụ cho việc tính toán và vẽ dé thị các hàm đặc biệt.

Cấu trúc khóa luận tốt nghiệp bao gồm 3 chương:

e Chương 1: Da thức Legendre và ham cau

e Chương 2: Ham Bessel.

Da thức Legendre xuất hiện trong nhiều bài toán vật lý khác nhau:

e Chúng có nguồn gốc là nghiệm của PTVP Legendre thường trong việc

tách biến đối với phương trình Laplace và các PTVP thường tương tự

trong hệ tọa độ trụ và can.

e Chúng xuất hiện từ hệ quả của việc yêu cầu một bộ hàm có tính day

đủ và trực giao trong đoạn [—], 1].

e Trong cơ học lượng tử, chúng (thực chat là hàm cau) đại điện cho các

hàm riêng của toán tử moment động lượng quỹ dao.

e Chúng được xác định bởi một hàm sinh: Chúng tôi giới thiệu đa thức

Legendre ở đây bằng cách đưa ra thé tĩnh điện của một điện tích điểm,

hoạt đồng như hàm sinh.

Hình 1.1 Thế tinh điện của điện tích g đặt cách gốc toa độ một khoảng

0.

1.1.1 Cơ sở vat lý: Tinh điện

Các đa thức Legendre xuất hiện trong khai triển của thế tĩnh điện trong

chuỗi xuyên tâm nghịch đảo Xét một điện tích g đặt trên truc z tai z =

Như hiển thị trong Hình1.1, thế tĩnh điện của điện tích ø là

1 q

@=——:— (Hệ đơn vị SI) 1.1

— ( ) (11)

chúng tôi muốn biểu thị thế tinh điện dưới dang hệ tọa độ tru và cau r và

0 (tọa độ ¿ không có do đối xứng phương vi, nghĩa là bat biến dưới phép

quay quanh trục z}, Sử dụng định lý cosine trong Hinh1.1, ta được

Hình 1.2 Các đa thức Legendre /\(œ), P›(+), P3(a), Pu(z) và Ps().

thừa của (a/r) Điều này mang lại hệ số 1 của (a/r}? = 1, cos Ø là hệ số

của (œ/r), Đa thức Legendre P,,(cos @) (Hình1.2) được định nghĩa là hệ

g(x.t) là hàm sinh cho Đ„(z) Đa thức P,(x) này được biểu diễn trong

Bang 1.1 Trong phần tiếp theo, cho thấy rằng |P,(cos@)| < 1, nghĩa là

chuỗi khai triển (PT (1.4)) hội tụ đỗi với |£Ì < 1 That vậy, chuỗi hội tụđối với |t| = 1 ngoại trừ tai z = +1, trong đó |P„(#+1)| = 1

ct

Trong các ứng dung vật lý, chang han như thế Coulomb hoặc thế hap

dẫn, PT (1.4) thường xuất hiện dưới dang vector

Một ứng dụng đơn giản và rộng rãi của hàm sinh ø là sử dụng cho các

giá trị đặc biệt (ví dụ x = £1), trong đó, ø có thể được tính rõ ràng Nếu

ta đặt z = 1, thì điểm z = a trên trục z dương, nơi mà thế có dang đơn

sử dụng khai triển nhì thức hoặc chuỗi hình học Tuy nhiên, PT (1.4) đốivới x = | xác định

So sánh hai chuỗi khai triển, ta có

P,(1) = 1 (1.9)

Nếu ta dat z = —1 trong PT (1.4), thi điểm z = —a trên trục z âm trong

Hinh1.1, nơi mà thế đơn giản, sau đó ta lấy tổng tương tự

nghĩa là các ham đa thức lẻ hay chan (đối với z = 0) theo chỉ số n lẻ

hay chin Đây là tính chat chin lẻ hay phan chiêu, đóng một vai trò quan

trọng trong cơ học lương tử Tính chin lẻ được bảo toàn khi Hamiltonianbat biến đưới sự phản chiều của các tọa độ r -> —r Đỗi với lực xuyêntam, chỉ số + là moment động lượng quỹ đạo (và n(n + 1) là trị riêng của

L?), do đó liên kết tinh chan lẻ va moment động lượng quỹ đạo Tinh chất

chăn lẻ này sẽ được xác nhận bởi nghiệm chuỗi và cho các trường hợp đặc

biệt được liệt ké trong Bang 1.1.

1.1.3 Chuỗi lũy thừa

Ta khai triển hàm sinh dưới đang

Dối với một số đa thức Legendre đầu tiên (ví dụ Py, Py và P2), ta cần

các hệ số của t®, t? và (° trong PT (1.17) Các lũy thừa này của t chỉ xuất

hiện trong các số hạng n = 0,1 và 2; do đó, ta có thể giới han sự chú ý

Sau đó, từ PT (1.4) (và tính đơn trì của chuỗi lũy thừa), ta thu được

3

P{z)=1, 7 Đ(z)=x+ P(x) = Da > (1.18)1

xác nhận dita vào Bảng 1.1 Ta lặp lại sự phát triển giới han này trong

một khung vector ở phan sau của phan này

Khi sử dụng phương pháp xử lý tổng quát ta nhận thấy rằng khai triển

nhị thức của thừa số (2z — £?)” mang lại chuỗi kép

Pa(z) = » 1) Pia Ain ae (1.21)

Theo cong thức trên, khi k = 0 thi lũy thừa cao nhất của P„(z) là x",

và lũy thừa thấp nhất là x” = 1 đối với n chẵn và x đối với n lẻ Điều

này phù hợp với Ví dụ 1.1.3 và Bảng 1.1 Ngoài ra, déi với n chan, P„ chỉ

có lũy thừa chan của « và do đó, trang thái chan (xem PT (1.16)) va lũy

thừa lẻ và trang thái lẻ đối với n lẻ.

10

1.1.4 Đa cực điện tuyến tính

Quay lại điện tích trên trục z, ta chứng mình tính hữu ích và sức mạnh

của ham sinh bằng cách thêm một điện tích —q tại z = —a, như trongHinh1.3, sử dung nguyên lý chồng chất điện trường Thế trở thành

và bằng cách sử dụng định lý cosine, đối với r > a, ta có

11

trong đó căn thứ hai giống với căn thứ nhất, ngoại trừ a được thay bởi

—a Sau đó, sử dung PT (1.4), ta có

với ? rộng Phân tích này có thé được mở rộng bằng cách đặt các điện tích

bổ sung trên trục z để số hang P;, cũng như số hang Py (đơn cực) bi hủy

bỏ Ví dụ, các điện tích g tại z = a và z = —a,—2q tại z = 0 làm phát

sinh thế mà việc khai triển chuỗi bắt dau với P2(cos Ø) Day là một tứ cực

điện tuyến tính Hai tứ cuc tuyến tính có thé được đặt sao cho số hạng tứ

cực bị hủy bỏ, nhưng số hang bát cực điện P; vẫn ton tại Các khai

triển này là những trường hợp đặc biệt của khai triển đa cực tổng quát

cha điện thế,

1.1.5 Khai triển vector

Ta xét thế tĩnh điện được tạo bởi một điện tích phân bố p(ro):

pra) ễ

1.2!

— Greg ft} AI lr) - Ti 5)

12

Xét mẫu thức của hàm lấy tích phân, đầu tiên sử dụng định lý cosine và

sau đó khai triển nhị thức, thu được

ey(r,) =——— ra)đ7a 1.270É") Fai 0(r›)dTr› (1.27)

Tích phân chứa tổng điện tích Phần tổng thế này là một đơn cực điện.

Số hạng thứ hai cho kết quả

lr

yi(ri) = man rạø(ra)da, (1.28)

trong đó tích phan là moment lưỡng cực mà mật độ điện tích ø{r¿) được

gia trọng bởi một nhánh moment rg Ta có một thế lưỡng cực điện Đối

với các trạng thái nguyên tử hoặc hạt nhân có tinh chan lẻ xác định, ø(r;)

là một ham chin và tích phân lưỡng cực về bản chất là không Tuy nhiên, khi có điện trường tác dụng, sự chồng chat của trạng thái chẫn/1ẻ có thể phát triển để moment lưỡng cực cảm ứng tạo ra không còn bằng không

nữa Hai số hang cuối, cả hai thứ tự {r¿/r)” có thể được xử lý bằng cách

13

sử dung tọa d6 Cartesian.

Sự khai triển đa cực tĩnh điện tổng quát cũng cĩ thể được phát triển

bởi PT (1.25) cho thế (r4) và thay 1/(4z|rị — raÏÌ) bằng một chuỗi (kép)

của nghiệm gĩc của phương trình Poisson.

Trước khi kết thúc trường đa cực ta nhắn mạnh ba điểm:

e Thứ nhất, một đa cực điện (hoặc từ) cĩ giá trị khơng phụ thuộc vào

điểm gốc (điểm tham chiếu) chỉ khi tất cả các số hạng bậc thấp hơn

triệt tiên Ví du, thé của một điện tích q tai z = a được khai triển

trong chuỗi của đa thức Legendre Mặc đù ta để cập đến số hạng

P,(cos Ø) trong khai triển này là một số hạng lưỡng cực, can nhớ rằng

số hang này chỉ tén tai do sự chọn lựa tọa độ của ta Ta thực sự cĩmột đơn cực Py(cos Ø), số hạng của cường độ cao nhất.

e Thứ hai, trong các hệ vật ly, ta hiếm khi gặp phải đa cực thuần túy

Ví dụ thé của lưỡng cực him hạn (q tại z = a, —q tại z = —a) chứa

số hạng P3(cos@) Các số hang bậc cao này cĩ thé bị loại bỏ bằng cách thu nhỏ đa cực thành đa cực điểm, trong trường hợp này, giữ cho tích

qa khơng đổi (a > 0,q — 00) để duy trì cùng moment lưỡng cực.

e Thứ ba, sự khai triển đa cực khơng bị hạn chế đỗi với các hiện tượng

14

điện Cấu hình hành tinh được mô tả dưới dang đa cực khối lượng.

~

Bai tap

1.1.1 Khai triển thé tĩnh điện của dãy các điện tích được hiển thị Day

là một tứ cực điện tuyến tính (Hình1.4).

1.1.2 Tính thế tĩnh điện của dãy các điện tích được hiển thị trong

Hình!.5 Day là một ví dụ về hai lưỡng cực bằng nhau nhưng có hướng

1.1.4 Sử dụng E = —Vợ xác định thành phần của điện trường tương

ứng với thế lưỡng cực điện (thuẫn)

2aqP; (cos 0)

v(r) ~ 4mcqr?

Ỏ day, ta giả sử rang r > a.

dag cos Ø „244 sin Lễ

———, Fạ=+———

Dap án: FE, = + T 3

Ager 4x Eqr E, = 0.

Lư

5 Một lưỡng cực điện có cường độ p được đặt tại vị trí z a;

lưỡng cực điện thứ hai có cường độ bằng nhưng ngược chiều với lưỡng cực

điện thứ nhất tại gốc tọa độ Giữ cho tích pa không đối, giả sử a > 0.

Chứng tỏ rằng diéu này dẫn đến một tứ cực điền

1.2 Các hệ thức truy hồi và tính chất đặc

Ham sinh da thức Legendre cung cap cho ta một cách thuận tiện để xácđịnh các hệ thức truy hồi và một số tính chất đặc biệt Nếu ham sinh (PT

(1-4)) được lay vi phân theo ¢, ta được

ô— (-2at+ eye =3 nh) nt" (1.30)

16

các tổng riêng lẻ và sử dung các chỉ số lấy tổng thích hợp như sau:

Với hệ thức truy hồi ba số hang nay, ta có thể dé dang xây dung các da

thức Legendre cao hơn Nếu ta lay n = 1 và thém vào các giá trị Po(a) và

P.(z) (PT (1.21)), ta được

3aP\(x) = 23Pạ(+) + Po(x), hoặc P›(z) = (30° - 1).

Quá trình này có thé được tiếp tục một cách võ han; một vài da thức

Legendre đầu tiên được liệt kê trong Bang 1.1.

Rac rối có thể xuất hiện lúc đầu, phương pháp này thực sự hiệu quả cho may tính hơn là kiểm tra trực tiếp chuỗi (PT (1.21)) Để có độ én định

cao hơn (để tránh sự tích tu quá mức và sư tăng của lỗi làm tròn), PT

(1.33) được viết lại thành

Pryi(a) = 2aP,, (2) — Pya(a) — [#£Pa(#) — Pa-i(£)]/(n+ 1) (134)

Một khởi đầu với Po(x) = 1, Pi(#) = x và tính các giá trị số của tat cả

P„(#) cho một giá tri nhắt định z, lên đến Py(a) mong muốn Các giá trị

P,(x),0 <n < N có sẵn nhĩ một lợi ích phụ.

Dé luyện tap, ta hãy suy ra một hệ thức truy hồi khác từ hàm sinh.

17

Ví dụ 1.2.1: Công thức truy hồi

Xét tích

g(t, x)g(t, —x) = (1 — 3zt + 1?)*!⁄2(1 + 2t + PF)?

=Í(+ PP - 4077]? = [et + 2(1 = 222) + 1,

và nhãn ra hàm sinh, khi thay t? — †, 2z? — 1 — z Sử dụng PT (1.4) và

so sánh các hệ số của chuỗi lũy thừa theo mà ta đã suy ra trước đó

1.2.1 Các phương trình vi phần

Có thể thu được thêm thông tin về trạng thái của các đa thức Legendre

nếu bây giờ ta lấy vi phân PT (1.4) theo x Ta có

F2a(£) + P;_¡(z) = 2aP) (x) + Pa(+) (1.39)

Một hệ thức hữu ích hơn có thể được tìm ra bằng cách lẫy vi phân PT

(1.33) theo x và nhân với 2 Dé làm được điều này, ta thêm (2n + 1) lần

PT (1.39), khử số hạng P/ Kết qua là

Prya(t) — Py_y() = (2n + 1)Pa(z) (1.40)

Từ các PT (1.39) và (1.40), nhiều phương trình bổ sung có thé được

phát triển, bao gồm

Pr s(0) = (n+ 1)P,(ø) + eF2(e), (1.41) P¿ (2) = —nP,(2) + #Pj(e), (1.42)

(1 - zÈ)P/(z) = nP,-1(x) — nzP„(z) (1.43)

(1 — z?)P/(£) = (n + 1)+Pa(+) — (n + 1)Prai(z) (1.44)

Bang cách lay vi phân PT (1.43) và sử dụng PT (1.42) để khử Pƒ_¡(+), ta

19

thấy rằng P„(z) thỏa PTVP thường tuyến tính bậc hai

(1 —2°)P"(x) — 2zP2(z) + n(n + 1)P„(z) = 0.

hoặc

4 a —# xa + mí + 1)P,(z) = 0 (1.45)

Ö dang thứ hai, PT VP thường ty liên hợp Các phương trình trước đó (các

PT (1.39)-(1.11)) déu là PTVP thường bậc nhat nhưng với các đa thức

của hai chỉ số khác nhau Cái giá để có tắt cả các chỉ số giống nhau là một

PTVP bậc hai PT (1.45) là PTVP Legendre thường Bây giờ, ta thấy

rằng đa thức f„(#) được tao ra bởi chuỗi lũy thừa cho (1 = 2at + /2)ˆ1⁄2

thỏa phương trình Legendre, tắt nhiên, đó là lý do tại sao chúng được gọi

là đa thức Legendre.

Trong PT (1.45) là phép lay vi phân theo x (= cosØ) Thông thường,

ta gặp phương trình Legendre được biểu thị đưới dang phép lay vi phân

theo @:

sind do (sino) ) + n(n + 1)P,(cos Ø) = 0 (1.46)

1.2.2 Giới hạn trên và dưới của #„(cos0)

Cuối cùng, ngoài các kết quả này, hàm sinh cho phép đặt giới hạn trên

với tất cả các hệ số déu dương Da thức Legendre P,(cos@) vẫn là hệ số

của f", bây giờ có thể được viết dudi dang tổng của các số hạng có dang

1

g8m(e +e") = a, cos m, (1.48)

với moi a,,, dương Sau đó

P,,(cos 8) = > tạ COS mA, (1.49)

m=0 hoặc |

Chuỗi này (PT (1.49)) dat cực dai khi @ = 0 va moi cosm# = 1 đều là cực

đại Tuy nhiên, đối với # = cosØ = 1, PT (1.9) cho thay P,,(1) = 1 Do đó

|Fn(cosØ)| < P,(1) = 1 (1.50)

Lợi ích phụ của PT (1.49) là nó chỉ ra rằng đa thức Legendre là một tổ

hợp tuyến tính của cosrnØ Điều này có nghĩa là đa thức Legendre tạo

thành một bộ đầy đủ cho bất kỳ hàm nào có thể được khai triển theo

chuỗi cos mé@ trên trong đoạn |0, 7)

Tém tắt

Trong phần này các tính chất hữu ích khác của đa thức Legendre được

suy ra từ hàm sinh (PT (1.4)) Phép biểu diễn chuỗi (PT (1.21)) đưa ra

một cách tiếp cận thay thế và đôi khi wu việt hơn.

biểu thị các hệ số a; dưới dang vector cột a và các hệ số a; dưới dang

vector cột a và xác đình các ma trận A và B sao cho

Aa=a và Ba=a.

Kiểm tra tính toán bằng cách chứng minh rang AB = 1 (ma trận đơn vi).

Lặp lại cho trường hợp lẻ

a Cos 8 + a3 cos® 0 + as cos’ 0 + a; cos” Ø = ai Dị + a3 Ps + a5Ps + ay.

1.2.2 Bằng cách lay vi phan hàm sinh g(f, #) theo #, nhân với 2t và sau

đó cộng với g(†, +), chứng minh rằng

1-¢ ~

n=0

Kết quả này rat hữu ich trong việc tính toán điện tích cảm ứng trên một

qua cầu kim loại nối dat bằng một điện tích điểm g.

1.2.3 Suy ra PT (1.35)

(1 — 2°) Pi(x) = (n+ 1)£Pa(z) — (n + Puua(2).

1.2.4 Một bát cực điện điểm có thể được xây dựng bang cách đặt một

tứ cực điện điểm (cường độ cực pf? theo hướng z) tai z = a và một tứ

cực điện điểm khác bằng nhau nhưng ngược chiều tại z = 0 và sau đó đặt

a —> (l, tuân theo ø'?' = hằng số Tim thé tĩnh điện tương ứng với một

bát cực điện điểm Từ cau tạo của bát cực điện điểm, chứng minh rang

thế tương ứng có thé thu được bằng cách lấy vi phân thế tứ cực điểm.

22

1.2.5 Làm các phép toán trong hệ tọa độ tru và cầu, chứng minh rằng

Ø [H(cosØ)| _ P,+\(cos 8)

Oz putì | ~ (n + 1) pnt °

Dây là bước quan trọng trong lập luận toán học rằng đạo hàm của một

đa cực dan đến đa cực cao hơn tiếp theo

1.3 Tinh truc giao

PTVP Legendre thường (PT (1.15)) có thé được viết dưới dạng

“i — x) P!(x)] + n(n + 1)P,(x) = 0, (1.51)

rõ ràng là nó tu liên hợp Khi đó thy thuộc vào việc thỏa các điều kiệnbiên nhất định, ta biết rằng các nghiệm hàm riêng P,{a) trực giao Ham

trọng lượng w(x) = 1, L = (d/dx)(1—a7)(d/dx), p(x) = 1-2? và trị riêng

A = n(n + 1) Các giới han tích phan trên x là +1, trong đó p(+1) = 0.

So sánh các hệ số chuỗi lũy thừa của các PT (1.ã5) và (1.57), ta phải có

P„(z)]°d+z = a

[ DU luân mn +1 (1.68)

Kết hợp PT (1.52) với PT (1.58), ta có điều kiện trực chuẩn

[ Pola) Palayte = Am (1.59)La m4] Ÿn vn Tai ”

Do dé, P, không được chuẩn hóa để đơn nhất Ta quay lại cách chuẩn hóa

này trong Phan 1.5, khi ta xây dựng hàm cầu trực chuẩn.

Ngoài tính trực giao, lý thuyết Sturn-Liouville chỉ ra rằng đa thức endre tạo thành một bộ đầy đủ Vì vậy, ta giả sử răng chuỗi

Leg-S2anPa(z) = f(x), hoặc |ƒ}= S `aa|P,), (1.60)

n=0

định nghĩa ƒ(z) theo nghĩa hội tu trong giá trì trung bình trong đoạn

(—1.1] Điều này đồi hỏi f(x) và f'(a) ít nhất phải liên tục từng phầntrong đoạn này Các hệ số a, tìm được bằng cách nhân chuỗi với P,,(x)

và lấy tích phân theo số hạng Sử dung tính chất trực giao được biểu thị

trong các PT (1.53) và (1.59), ta thu được

n= f Pols) \f(x)dz = (Palf) = Dank P„|P,) (1.61)

Khai triển này trong một chuỗi đa thức Legendre thường được gọi là chuỗi

Legendre Các tính chat của nó khá giỗng với chuỗi Fourier Đặc biệt, ta

có thể sử dụng tính chất trực giao (PT (1.59)) để chứng tỏ rằng chuỗi là

đơn trì.

O mức độ trừu tượng hơn, PT (1.62) cho phép biểu dién của f(x) trong

không gian vector một chiều của đa thức Legendre

PT (1.62) cũng có thể được giải thích dưới dạng toán tử hình chiếu của lý thuyết lượng tử Ta cũng có thể xác định một toán tử hình chiếu

Toán tử P,, chiếu ra thành phan thứ m của hàm ƒ.

Ví dụ 1.3.1: Khai triển Legendre

Khai triển f(x) = #(œ + 1)(œ — 1) trong đoạn =1 < @ < 1.

Vì f(x) là hàm đưới trang thái lẻ và là đa thức bậc ba, ta chỉ mong đợi

26

P,, P; Tuy nhiên, ta kiểm tra tat cả các hệ số:

PT (1.3) dan trực tiếp đến định nghĩa ham sinh của da thức Legendre,

là một khai triển Legendre của 1/r¡ Vượt ra ngoài trường Coulomb đơn

giản, 1/712 thường được thay bằng thế V(|rrs|) và nghiệm của bài toán

một lin nữa được thực hiện bởi khai triển Legendre.

Chuỗi Legendre (PT(1.60)) được coi là một ham f(a) đã biết mà ta

đã chọn tùy ý để khai triển chuỗi của đa thức Legendre Đôi khi nguồn

gốc và bản chất của chuỗi Legendre là khác nhau Trong các ví dụ tiếp

theo, ta xét các hàm chưa biết mà ta biết các hàm này có thể được biểu

điễn bằng một chuỗi Legendre vì PTVP các hàm chưa biết thỏa mãn Như

trước đây, bài toán xác định các hệ số chưa biết trong khai triển chuỗi.

Tuy nhiên, ở đây, các hệ số không được tìm ra bởi PT (1.61) Thay vào

đó, chúng được xác định bằng cách đòi hỏi chuối Legendre phải khớp vớinghiệm đã biết tại biên Dây là các bài toán biên

< ©

Hình 1.6 Vật dẫn hình cầu trong trường đền

Ví dụ 1.3.2: Quả cầu trong trường đều

Một mình họa khác của việc sử dụng đa thức Legendre được đưa ra bởi

bài toán quả cầu dan điện trung hòa (bán kính ro} được dat trong điệntrường déu (trước) (Hình 1.6) Bài toán là tìm thé tĩnh điện mới, nhiễuloạn Thế tĩnh điện V thỏa

V}V =0, (1.63)

Phương trình Laplace Ta chọn hệ tọa độ tru và cau vì vật dẫn có dang

hình cầu (Điều này sẽ đơn giản hóa việc áp dụng điều kiện biên tại bề mặt

vật dan.) Ta có thể viết thế chưa biết V{r,Ø) trong vùng bên ngoài quả

cầu như một tổ hợp tuyến tinh của các nghiệm của phương trình Laplace.

được gọi là đa thức điền hòa:

P„(cos 0)

Ví.) = 5 ant + P, (cos 6) ya 5, alee coos) (1.64)

r etl

n= n=0

Không có sự phụ thuộc y xuất hiện vì tinh đối xứng trục (góc phương vi)

của bài toán (Tam của quả cầu dan được lấy làm gốc và trục z được định

hướng song song với trường đều ban đầu.)

Ở đây có thể lưu ý rằng n là một số nguyên vì chỉ + nguyên thì su phụ

thuộc Ø mới hoạt động tốt tại cos 8 = +1 Đối với n không nguyên, nghiệm

của phương trình Legendre phân kỳ tại các điểm cuối của đoạn [—], 1],

các cực Ø = 0,Z của quả cầu Chính vì lý do này mà nghiêm bat thường

của phương trình Legendre cũng bị loại trừ.

Bay giờ ta chuyển sang các điều kiện biên (Dirichlet) để xác định a„ và b„ chưa biết của nghiệm chuỗi (PT (1.64)) Nếu trường tĩnh điện ban đầu

không nhiễu loan là By = |Ea| thì ta đòi hỏi như một điều kiện biên

V(r œ) = — Eùz = - Eụr cos Ø = — Eụr Pì(cos 6) (1.65)

Vì chuỗi Legendre là đơn trị, ta có thể tinh bằng hệ số của P,,(cos 0) trong

PT (1.64) (r —= 90) và PT (1.65) để có được

a, =0, n>l và n=0, ai = —Ep (1.66)

Nếu a„ z# 0 đối với n > 1, các số hang này sẽ chiếm ưu thế khi r lớn và

có thể không thỏa diéu kiện biên (PT (1.65)).

Như một diéu kiện biên thứ hai, ta có thể chon quả cầu dẫn và mặt

phẳng Ø = z/2 có thế bằng không, nghĩa là PT (1.64) lúc này trở thành

Thế tĩnh điện (bên ngoài quả cau) là

kurỷ rg > Pi(cos @) = —Epr Pi (cos @) 1 2) (1.70)

V = -EarP,(cos8)+ m “3

Có thé chỉ ra rằng nghiệm của phương trình Laplace thỏa các diéu kiên

biên trên toàn bộ biên là đơn trị Thể tĩnh điện V được cho bởi PT (1.70),

là một nghiệm của phương trình Laplace Nó thỏa các điều kiện biên và

do đó là nghiệm của phương trình Laplace đối với bài toán này.

Nó có thé được trình bày thêm (Bài tập 1.3.8) là có một mat độ điện

Hình 1.7 Vòng day dan tích điện.

Ví dụ 1.3.3: Thế tĩnh điện của một vòng dây tích điện

Như một ví dụ khác, xét thể tĩnh điện được tạo ra bởi một vòng dẫn

mang tổng điện tích g (Hình1.7) Từ tĩnh điện, thế thỏa phương trình

Laplace Tách các biến trong hệ tọa độ trụ và cầu, ta được

Ifa — — ¬ a” 13

w(r,0) = 32 pat Pn(cos 4), r>a, (1.73)

n=0

trong đó ø là bán kính của vòng được giả sử nam trong mặt phẳng Ø = 7/2.

Không có sự phụ thuộc ¿ (góc phương vị) vì tính đối xứng trụ của hệ Các

số hạng có số mũ đương trong sự phu thuộc xuyên tâm đã bị loại bỏ dothé phải có trạng thái tiệm can

|

=, r>a (1.74)