3. Nó dẫn trực tiếp đến hai hàm Hankel (Phần 2.3).
Bài tập
2.2.1. Chứng tỏ rằng các hàm Neumann Y,, (với n là số nguyên) thỏa mãn các hệ thức truy hỏi
oo 1() + Ynoi(2) = = Yale)2n
Yn-U(2) = Ynsi(x) = 2Y;(2).
Gợi ý: Các hệ thức này có thể được chứng minh bang cách lấy dao ham
các hệ thức truy hỏi đối với J, hoặc bằng cách sử dụng dạng giới hạn của
Y„, nhưng không chia mọi thứ cho không.
2.2.2. Chứng minh rang
Y_n(x) = (=1)"Yứ).
2.2.3. Chitng minh rang
Yo(z) = —Yi(z).
2.2.4. Nếu Y và Z là hai nghiệm bat kỳ của phương trình Bessel, chứng minh rằng F
Y„(#)Z¿(œ) — Y¿()Zu(z) = =
86
trong đó A, có thể phụ thuộc vào v nhưng độc lập với #.
2.2.5. Xác minh công thức Wronskian
J„(z)J-„+1(®) + J„(£)J„-¡(x) = 2sin 2.
TL
JAxz)Y'v(a) — Jj(+z)Y„(+) = =.
2.2.6. (a) Bang cách lay đạo ham và thay vào PTVP Bessel thường, chứng minh rang
II cos(x cosh ý) dt
0
là một nghiệm.
Gợi ý: Có thé sắp xếp lại tích phan cuối như sau
c9 —{xsin(ô cosh t) sinh Ê} đt.
p dt
(b) Chitng minh rang
(x) = -= / cos(x cosh t) dt
T 0
độc lập tuyến tính với Ja(z).
2.3. Khai triển tiệm cận
Thông thường. trong các bài toán vật lý cần phải biết hàm Bessel đã
cho hoạt động như thế nào đối với các giá trị lớn của đối số. tức là trạng thái tiệm cân. Day là trường hợp khi máy tính không hữu ích lắm, ngoai
trừ việc kết hợp các nghiệm số với các đang tiệm cận đã biết hoặc kiểm tra dự đoán một tiệm cận bang số. Một cách tiếp cận khả thi là phát triển
nghiệm chuỗi lũy thừa của PTVP (sử dụng lũy thừa âm). Day là phương
§7
pháp Stokes. Hạn chế là bắt đầu từ một số giá trị đương của đối số (đối
với chuỗi hội tu), ta không biết ta có hỗn hợp các nghiêm hoặc bội sé của một nghiệm đã cho. Van dé là liên hệ chuỗi tiém can (hữu ích cho các giá trị lớn của biến) với chudi lũy thừa hoặc định nghĩa liên quan (hữu ích cho
các giá trì nhỏ của biến). Mối quan hé này có thé được thiết lập bằng cách
giới thiệu phép biếu điễn tích phân phù hợp và sau đó sử dụng phương
pháp xuống đổi dốc nhất (the method of steepest descent) hoặc khai triển trực tiếp như được phát triển trong phần này.
Với các phép biểu diễn tích phân của ham Bessel (va Hankel), có lẽ thích hợp để hỏi tại sao ta quan tâm đến các phép biểu dién tích phân. Có ít nhất bốn nguyên nhãn. Đầu tiên, đơn giản là tính thẩm mỹ. Thứ hai, các phép biểu diễn tích phân giúp phân biệt giữa hai nghiệm độc lập tuyến tính. Thứ ba, các phép biểu diễn tích phân tạo điều kiện thuận lợi cho các thao tác phân tích và phát triển các hệ thức giữa các hàm đặc biệt khác nhau. Thứ tư, có vẻ là quan trọng nhất, các phép biểu diễn tích phân võ cùng hữu ích để phát triển các khai triển tiệm cận.
Các hàm Hankel được giới thiêu vì những lý do sau:
e Tương tự ham Bessel của e*"”, chúng hữu ích dé mô tả sóng lan truyền.
e Chúng thường là một định nghĩa thay thé (tích phân đường) của các ham Bessel.
Nhu một cách tiếp can trực tiếp, xét phép biểu điển tích phân (tinh phan
Schlaefli}.
J(z) = =— / mk melee (2.94)
với đường cong C' quanh điểm gốc theo chiều dương toán học được biểu dién trong Hình2.§. Công thức này tuân theo định lý Cauchy, áp dụng để
xác định PT (2.9) của hàm sinh đã cho bằng PT (2.16) dưới dang hàm mũ trong tích phân. Diéu này chứng minh PT (2.91) cho —# < argz < 2,
88
S(O
Hình 2.8. Đường biên ham Bessel.
nhưng chỉ với số nguyên. Nếu là số không nguyên thì hàm lay tích phân
không đơn trị và cần có một đường cắt trong mặt phẳng phức #. Chọn các trục thực âm làm đường cắt và sử dụng đường hiển thị trong Hình? §, ta có thé mở réng PT (2.94) đến không nguyên. Dỗi với trường hợp này, ta vẫn cần kiểm tra PTVP Bessel thường bằng cách thay thé phép biểu dién
tích phân (PT (2.94)),
z3.J"{(z), + z4j(z) + (2 — #)J,(z)
=— 2(z/2)(—1/t),—w—1 = “(¢--)-—v?l dt. (2.95 2m Io t l (:+;) M1 *) la (2.95)
trong đó, hàm lấy tích phan có thể được kiểm tra theo đạo ham chính xác
triệt tiêu khi £ => ooe="*:đit,
Do đó, tích phan trong PT (2.95) triệt tiêu va PTVP Bessel thường được thỏa mãn.
Bây giờ, ta làm biến dạng đường biên để nó tiếp cận điểm gốc đọc theo trục thực đương, như được thể hiên trong Hình2.9. Cách tiếp cận cu thé
89
RO
Hình 2.9. Cac đường biên ham Hankel.
này cho thấy đạo hàm chính xác trong PT (2.96) sẽ triệt tiêu khi £ + 0