Giáo trình Khí động lực học - Trần Văn Cúc.pdf

Giáo trình Khí động lực học - Trần Văn Cúc.pdf Giáo trình Khí động lực học - Trần Văn Cúc.pdf Giáo trình Khí động lực học - Trần Văn Cúc.pdf Giáo trình Khí động lực học - Trần Văn Cúc.pdf Giáo trình Khí động lực học - Trần Văn Cúc.pdf Giáo trình Khí động lực học - Trần Văn Cúc.pdf

PGS TS TRAN VAN CUC (Chi bién) ThS TRAN THI TRAM - ThS LE THI THAI

Gióo trinh KHÍ DONG LUG HOC

NHA XUAT BAN XAY DUNG

HÀ NỘI - 2016

GIÁO TRÌNH KHÍ ĐỘNG LỰC HỌC

PGS TS Trần Văn Cúc (Chủ biên), ThS Trần Thị Trâm, ThS Lê Thị Thái

NHÀ XUÁT BẢN XÂY DỰNG

37 LÊ ĐẠI HÀNH — QUẬN HAI BÀ TRƯNG — HA NOI

Điện thoại: 024.37265180 Fax: 024.39782533

Website: Nxbxaydung.com.vn

Email: sachdientu@nxbxaydung.com.vn

Văn phòng Đại diện tại Thành phố Hồ Chí Minh

Địa chỉ: Lầu 4 toà nhà văn phòng 159 Điện Biên Phủ, P 15, Q Bình Thạnh, TP Hồ Chí Minh

Điện thoại: 028.22417279

Chịu trách nhiệm phát hành xuất bản phẩm điện tử:

Giám đốc — Tổng Biên tập:

NGÔ ĐỨC VINH

Chịu trách nhiệm nội dung:

Giám đốc - Tổng Biên tập: NGÔ ĐỨC VINH

Biên tập viên: ĐINH THỊ PHƯỢNG

LỜI NÓI ĐÀU

Giáo trình “Khí động lực học” chúng tôi biên soạn ở đây là phần tiếp theo của

giáo trình “Cơ học chất lỏng” của tác giả Trần Văn Cúc đã được biên soạn và được

NXB ĐHQGIHN xuất bản năm 2003 Giáo trình này trình bày phần cơ bản của đặc

trưng và chuyển động chất khí, các mô hình toán học dựa trên các bài toán cơ bản

của khí động lực Giáo trình cung cấp cho người đọc các phương pháp nghiên cứu những bài toán tổng quát và nhiều bài toán cụ thê của khí động lực

Giáo trình được biên soạn dựa trên các bài giảng nhiều năm cho sinh viên, học viên

cao học, nghiên cứu sinh chuyên ngành Cơ học chất lỏng của khoa Toán - Cơ của trường đại học Tổng hợp Hà Nội trước đây và trường ĐHKHTN - ĐHQG hiện nay Giáo trình gồm: 8 chương

Chương I- Nhiệt động lực học

Chương này trình bày chủ yếu các định luật cơ bản của nhiệt động lực học

Chương II: Các phương trình cơ bản của khí động lực học Sự truyền kích động

bé trong khí lÿ tưởng

Chương này trình bày cách thiết lập các phương trình cơ bản của khí động lực học và trình bày một lời giải cho bài toán sự truyền kích động bé trong khí lý tưởng Chương III: Chuyên động hai chiều dưới âm với kích động bé

Phần này trình bày lời giải cơ bán của bài toán Chuyển động hai chiều dưới âm

với kích động bé

Chương IV: Dòng hai chiêu dưới âm - phương pháp tốc đô

Chương này trình bày lời giải bài toán Dòng hai chiều dưới âm bằng phương

pháp tốc đỗ

Chương V: Chuyển động vượt âm với kích động bé

Chương VI: Chuyến động vượt âm với kích động hữu hạn

Phần này trình bảy bài toán về dòng khí vượt âm với kích động bé và kích động

hữu hạn

Chương VII: Dòng vượt âm đối xứng trục

Phần này trình bay mét sé van dé về bài toán khí động lực phi tuyến

Chương VIII: Chuyển động một chiều không dừng

Phần này trình bày các phương trình cơ bản về bài toán khí động lực một chiều

không dừng

Giáo trình này đùng để giảng dạy, nghiên cứu cho sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh ngành Cơ học chất lỏng, tuy nhiên cũng có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho các chuyên ngành khác

Mặc đù đã rất có gắng trong biên soạn nhưng giáo trình này không tránh khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến của các độc giả để lần xuất bản sau tốt hơn

Các tác giả

Thí dụ: Khí trong ống rắn và pittông là một hệ nhiệt động lực lập thành mặt kín,

tính chất của nó được xác định tại mỗi điểm của vật Vỏ bọc có thể dẫn nhiệt hoặc

cách nhiệt, nó cũng có thể biến đạng và do đó sinh ra công đối với hệ Nó cũng có thể cho khối lượng của hệ

§2 CÁC THAM SỎ TRẠNG THÁI

Nếu hệ nằm ở trạng thái tĩnh trong một thời gian đủ lâu, nghĩa là nếu không

truyền cho nó nhiệt lượng, khối lượng và trong khoảng thời gian ấy không cung cấp cho no I công nào thì nó sẽ đạt trạng thái cân bằng, tất cả các đại lượng vĩ mô đo

đạc được sẽ không phụ thuộc vào thời gian Ví dụ: áp suất Pp, thé tich V va nhiét

động 9 có thê đo được và trong trạng thái cân bằng chúng không phụ thuộc vào thời gian Các đại lượng mà giá trị của chúng chỉ phụ thuộc vào dạng cụ thể của trạng

thái hệ đã cho được gọi là các thông số trạng thái, các biến như thế là p và V, đó là

cácbiến quen thuộc Để có sự mô tả hệ nhiệt động đầy đủ cần phải đưa vào các tham

số trạng thái mới chưa có trong cơ học, giả sử như từ thí nghiệm người ta biết rằng

ap suất không chỉ phụ thuộc vào thể tích của hệ, do đó phải đưa vào một tham số

trạng thái mới là nhiệt độ 9 Như vậy, đối với một hệ nhiệt động ta có:

Từ đó chúng ta có định luật nhiệt động thứ 0: “Tôn tại một tham số gọi là nhiệt

độ dé hai hệ nằm trong sự tiếp xúc nhiệt, nghĩa là hai hệ chia cắt bởi một vỏ dẫn nhiệt sẽ cân bằng chỉ trong trường hợp nếu tham số 9 trong cả hai hệ ấy là như nhau” Khi khảo sát vẫn đề về công do môi trường bên ngoài cung cấp cho hệ hoặc

sự truyền nhiệt lượng giữa môi trường và hệ ta cần phải đưa vào một tham số trạng thái E được gọi là nội năng của hệ, nó đo mức độ năng lượng dự trữ trong hệ Sau này, ta sẽ thấy tham số E được đừa vào nhờ định luật nhiệt động thứ 1 Ngoài ra, chúng ta phải đưa vào tham số trang thai S được gọi la entrôpi của hệ, ví dụ trong

việc khảo sát vấn đề ỗn định của trạng thái cân bằng, việc đưa vào tham số trạng thái

Š liên quan đến định luật nhiệt động thứ 2

Các tham số E và S là các hàm của p, V, 8, nhưng vì p = p(V,) nên:

Các hệ thức như (1.1), (1.2), (1.3) gọi là các phương trình trạng thái Phương trình (1.1) gọi là phương trình trạng thái Teemic, (1.2) và (1.3) gọi là phương trình trạng thái Caloric Mỗi vật chất cụ thể được đặc trưng bởi các phương trình trạng thái của nó Nhiệt động lực không thể xác định các phương trình ấy, dạng của chúng

chỉ có thể xác định nhờ đo đạc, hoặc đối với 1 mô hình phân tử cụ thể thì nhờ cơ học thống kê hoặc lý thuyết động học phân tử khí Mỗi trạng thái cân bằng của hệ xác định một cách đơn trị mọi tham số trạng thái Ví dụ một vật chuyển từ trạng thái cân

bằng A sang trạng thái cân bằng B khác thì hiệu nội năng không phụ thuộc vào đặc

điểm của quá trình chuyên Các tham số trạng thái E, V, S phụ thuộc vào khối lượng

của hệ Ví dụ: nội năng của một khối lượng khí nào đó sẽ tăng gấp đôi nếu khối lượng khí ấy tăng gấp đôi Trái lại, các tham số trạng thái p và 8 không phụ thuộc

vào khối lượng chung của hệ Đối với các tham số trạng thái phụ thuộc vào khối lượng của hệ, ví dụ như nội năng E, có thể đưa vào tham số e = E/M là nội năng tính trên một đơn vị khối lượng của hệ - Nội năng riêng Tương tự như vậy ta có đơn vị

thể tích rigng v= V/M vas = S/M

§3 DINH LUAT THU NHAT NHIET DONG LUC

Chúng ta hãy xét chất lỏng chứa trong một vỏ bọc cách nhiệt, bên trong bọc có một chân vịt chuyển động do sự rơi của một tải trọng, áp suất được giữ không đổi ở

trạng thái đầu A Người ta đo nhiệt độ 6 và thể tích V, sau đó cho tải trọng đi xuống

một khoảng cách cho trước và sau khi tất cả các loại chuyển động trong hệ đã tắt hệ lại đạt được trạng thái cân bằng mới Ta lại đo 9 và V, kết quả là hệ được cung cấp một công W bằng độ giảm thế năng của tải trọng Từ sự bảo toàn năng lượng ta suy

ra công ấy làm tăng năng lượng dự trữ của hệ Do đó, tồn tại hàm E(V,0) sao cho:

Chúng ta cũng có thể dùng công này gây nên một dòng điện và truyền cho hệ

dưới đạng nhiệt lượng tỏa ra từ một đây đốt nóng

Cá hai thí nghiệm ấy được Iun tiễn hành để nghiên cứu đương lượng cơ của nhiệt

Nếu ta biết được công cung cấp cho hệ là bao nhiêu thì luôn luôn thu được cùng một

độ biến thiên nội năng không phụ thuộc vào độ nhanh chậm dé thực hiện công cũng

như vào phương pháp thực hiện công Sau nữa chúng ta có thể bỏ giả thiết cách

nhiệt và giả sử có một nhiệt lượng Q nào đó đi qua vỏ bọc Định luật nhiệt động lực

có thể phát biểu như sau:

Tôn tại tham số trạng thái E được goi là nội năng nếu chuyển từ trạng thái cân bằng A sang trạng thái cân bằng B khác trong quá trình chuyến ấy môi trường

ngoài thực hiện một công xác định W và mất một nhiệt lượng xác định Q thì độ biến

thiên nội năng E bằng tổng các lượng Q và W nghĩa là:

Trong đó: ta xem dV > 0 nếu V tăng, với những độ biến thiên bé của các tham số

trạng thái thì hệ thức (1.5) có thể viết dưới dạng:

Chia 2 về của (1.9) cho khối lượng M của hệ có:

Trong đó: e là nội năng riêng, v là thể tích riêng, dp -2 là nhiệt lượng mà một

đơn vị khối lượng của hệ nhận được Chú ý rằng E là tham số trạng thái, Q và W phụ thuộc vào tính chất của quá trình hay trạng thái

§4 QUÁ TRÌNH KHÔNG THUẬN NGHỊCH VÀ THUẬN NGHỊCH

Sự thay đổi trạng thái của hệ chỉ có thể xảy ra với quá trình trong đó hệ thức (1.8)

được thỏa mãn Chú ý rằng định luật nhiệt động thứ nhất không đặt một sự hạn chế

7

nào khác vào các quá trình có thể xảy ra Tuy nhiên, rõ ràng trong thí nghiệm của

Jun với chân vịt không thể tiến hành quá trình theo hướng ngược lại vì không thể

làm chân vịt nâng tải trọng bằng cách lấy nhiệt lượng AE = E„ — E„ của hệ Quá trình

ấy là không thuận nghịch, trong thực tế tất cả các quá trình tự nhiên và không tự phát là không thuận nghịch, nghiên cứu của quá trình không thuận nghịch người ta thấy rằng tính chất lệch khỏi sự cân bằng của hệ trong thời gian quá trình có ý nghĩa quan trọng bậc nhất

Một xáo động bất kỳ, ví dụ khuấy chất lỏng, đều gây ra trong hệ các dòng, chữ dòng ở đây hiểu với nghĩa rộng ví dụ như dòng nhiệt lượng (khi có nhiệt độ),

dòng khối lượng (khi có hiệu nồng độ), dòng động lượng (khi có hiệu vận tốc)

Từ đó, ta đưa ra định nghĩa sau đây về trạng thái cân bằng: “Hệ ở cân bằng nếu trong hệ không có dòng, quá trình chuyên từ trạng thái này sang trạng thái khác là thuận nghịch nếu hệ giữ cân bằng trong toàn bộ quá trình, nghĩa là nếu công W và nhiệt lượng Q được đưa vào hệ sao cho trong hệ không phát sinh ra dòng, tuy trong

thực tế không tồn tại quá trình thuận nghịch tự nhiên và tự phát, nhưng chúng ta có

thể tiến hành những thí nghiệm mô tả với độ gần đúng rất tốt quá trình thuận nghịch.Chẳng hạn trong thí nghiệm của Jun nói trên ta cung cấp công cho hệ không phải bằng sự quay của chân vịt mà bằng sự dịch chuyên vô cùng chậm của pittông sao cho sự phân bố áp suất, nhiệt độ trong toàn hệ vẫn đều đặn trong toàn bộ quá trình

§5 KHÍ HOÀN HẢO

Từ những đo đạc các tính chất của chât khí, người ta thấy rằng với những giá trị tỉ

khối không quá lớn thì phương trình trạng thái của chất khí đều có gần đúng một

đạng là:

Hoặc nếu đưa vào p= —> p=pR(6+0,), ở đây lượng 0, là nhiệt độ đặc trưng

có cùng giá trị đối với tất cả các chất khí còn R là hằng số có giá trị khác nhau đối với

mỗi chất khí cụ thể khác nhau, chất khí thỏa mãn đúng phương trình (1.11) gọi là chất khí hoàn hảo (Trong sách nhiệt động: Khí lý tưởng) Nói đúng hơn (1.11) xác định

một hạng các khí hoàn hảo, mỗi chất khí như thế tương ứng với một số R xác định

Một chất khí bắt kì với tỷ khối không quá lớn có tính chất rất gần với khí hoàn hảo với

một giá trị R xác định Vì lượng 0, là như nhau đối với mọi chất khí nên có thể đưa

vào một định nghĩa mới của nhiệt độT = 0+6, Khi đó, (1.11) có dạng:

Có thể xem phương trình (1.13) là kết quả của thí nghiệm Tuy nhiên, từ sau ta sẽ

thấy rằng điều này có thể chứng minh được Thường người ta gọi khí hoàn hảo

Calorit nếu nội năng E(T) liên hệ bậc nhất với T:

tương ứng với áp suất, nhiệt độ, thê tích riêng của hệ

1) Nhiệt dụng riêng c được xác định bởi:

c= iP

dT

Nói cách khác, nhiệt dung riêng c là nhiệt lượng cần để nâng nhiệt độ của một

đơn vị khối lượng của hệ lên 1 độ Giá trị bằng số của c phụ thuộc vào tính chất của

quá trình xảy ra khi cung cấp nhiệt lượng vì e và p chỉ phụ thuộc vào v và

(1.15) |

T(e =e(e,T);p= p(e.T)) Nên mọi quá trình thuận nghịch đều có thể biêu diễn đưới

dang mét dé thi trén truc v, T Di nhién, cũng có thể biểu điễn trên hệ p, t hodic v, P-

Ta kí hiệu Cy là nhiệt dung riêng đăng tích và C, là nhiệt dung riêng đăng áp Nghĩa

la: C= (+) với v không đổi: C, = (#) với p không đổi

Riêng đối với khi hoan hao Caloric thi C, = const va C, = const vi déi với khí

hoan hao Caloric e = const T, dẫn tới h = const:

10

h=€CpT +const (1.25)

Chú ý rằng (1.24) và (1.25) chỉ đúng riêng đối với chất khí hoàn hảo Caloric,

(1.22) và (1.23) đúng với khí hoàn hảo

2) Quả trình thuận nghịch đoạn nhiệt:

Đó là quá trình mà trong đó hệ không thu và cũng không tỏa nhiệt và công được sản sinh ra một cách thuận nghịch, trong quá trình như thế có thể đùng phương trình:

de = —pdv hay dh = pdv

Tùy theo ta chọn biến độc lập là (v, T) hay (p, v) vì dq = 0 Từ (1.27) ta có:

de

dh Ly a arp

ue

pdv Déi voi khi hoan hao Caloric: C, = const, C, = const — y = const Tich phan

trình entropi p giữ giá trị không đôi

§7 ÁP DỤNG ĐỊNH LUẬT THỨ NHÁT VÀO CÁC QUÁ TRÌNH KHÔNG THUẬN NGHỊCH

Chúng ta sẽ đưa ra 3 ví dụ áp dụng định luật thứ nhất vào các quá trình không thuận nghịch Trong ví đụ 1 ta xét sự giãn nở đoạn nhệt của khí Hệ là khí nằm trong

một bình có thành rắn và cách nhiệt, được chia bởi một màng chắn thành 2 thể tích

V, va V2 Ca hai phan déu cùng một chất khí có cùng một nhiệt độ T, nhưng áp suất

khác nhau (giả sử pị > p;) Giả sử tại lúc t = 0 màng chắn bị lẫy tức thời, lập tức

trong hệ bị phát sinh một dòng khí rất mạnh do ảnh hưởng của tính nhớt và sự dẫn nhiệt dòng khí bị tắt dần Cuối cùng, khí lại ở yên tĩnh trong một trạng thái: cân bằng nhiệt động mới Nghiên cứu chuyên động của khí là một bài toán khí

động lực học, ở đây chúng ta chỉ quan tâm tới mặt nhiệt động của quá trình, Nghĩa là, chỉ xét sự thay đổi các tham số trạng thái của hệ ở trạng thái dau A va

trạng thái cuối B Bây giờ, ta áp dụng định luật thứ nhất vào việc kháo sát quá trình chuyển từ trạng thái đầu sang trạng thái cuối Vì môi trường ngoài không

cung cấp công và nhiệt lượng cho hệ này nên theo định luật thứ nhất nhiệt động

ta có: AE=E, -E, =0 > E, =E, Vậy trong quá trình dãn nở nội năng của khí giữ

không đỗi, nếu khí được xem là chất khí hoàn hảo nghĩa là E = E(T) thì có Tp = Tạ

Vậy với quá trình đãn nở không thuận nghịch của khí hoàn hảo, nhiệt độ trạng thái

đầu và cuối là như nhau

Trong ví dụ thứ 2 ta cũng xét một hệ như ở ví dụ 1 nhưng với áp suất p ở 2 phần

như nhau, nhiệt độ T thì khác nhau T; và Tạ Giả thiết thêm: Màn chắn không dẫn

nhiệt, nếu lay tức thời màn chắn thì nhiệt độ có xu hướng san bằng Trong hệ sinh

dòng và cuối cùng đòng sẽ tắt Cũng giếng như ở trên, ở đây ta lai cé: E, = Ep Ki hiệu: M¡ và Mạ là khối lượng tương ứng trong 2 phần ta có:

12

Chúng ta xét một ống cách nhiệt trong đó tại một tiết diện nào đây có một vật cản

địa phương Ví dụ như một van điều tiết hoặc một màn đục lỗ chất lỏng chảy qua lỗ cản từ trái sang phải Ta giả thiết dòng chất lỏng đủ chậm để có thể xem động năng

riêng (1⁄2.u^2) là có thể bỏ qua được so với h Hệ là khối chất khí nằm giữa 2 mặt

ĐA và ĐA ĐA ở bên trái ché can con YA 6 bén phai Cac mat YA va YA chuyén

động cùng với chất lỏng và thành ống lập thành vỏ bọc của hệ, phần chất lỏng còn

lại ở bên ngoài và vật cản địa phương là môi trường ngoài Chúng ta hãy xét trạng

thái của hệ tại 2 thời điểm tạ và tạ sao cho trong khoảng thời gian tg — tạ có một

đơn vị khối lượng chất lỏng qua vật cản Trong khoảng thời gian ấy nội năng của

hệ thay đổi một đơn vị khối lượng qua vat can Ae = e; —e©¡ Môi trường ngoài không truyền cho hệ một nhiệt lượng nào nhưng cung cấp cho hệ 1 công W vì các mặt

ĐA và ÿA dịch chuyên được những độ đài khác nhau Tổng công nhận được

là:w=w,+w, = [pdv+ [pdv=p,v,-p,v, Vậy theo định luật thứ nhất của nhiệt

dong: Ae=w > e,~¢€,=p,v,-—p,v, > e, + p,v, =e,+p,v, hay h, =h,

Vậy với sự chảy đoạn nhiệt qua vật cản địa phương h của khí phía trên và phía

dưới vật cản vẫn giữ giá trị không đổi Đối với khí hoàn hảo từ trên suy ra T; = Tị

§8 ENTROPI - ĐỊNH LUẬT NHIỆT ĐỘNG THỨ 2

Các quá trình khảo sát ở trên cũng như nhiều thí nghiệm khác, cũng như thí nghiệm của Jun với chân vịt đều có một nét chung là chúng chỉ xây ra theo một

hướng trong hệ đoạn nhiệt, áp suất và nhiệt độ tiến đén chỗ san bằng như đã thay

trong ví dụ về sự dãn nở khí hoặc trong ví dụ về sự địch-chuyên khối khí có nhiệt độ

khác nhau Khí chỉ chuyển qua vật cán địa phương với điều kiện áp suất phía trên

dòng lớn hơn phía dưới dòng Các quan sát chung loại ấy tạo nên cơ sở thực nghiệm cho định luật thứ 2 của nhiệt động lực chỉ cong phải dựa trên cơ sở quan sát

ấy tìm các phát biểu chính xác và theo một hình thức toán học thích hợp Muốn thế chúng ta đưa vào một tham số trạng thái mới được gọi là entropi Việc đưa vào một cách hình thức tham số s có thé được tiến hành như sau: Như ta đã biết với sự biến

thiên trạng thái thuận nghịch của hệ đoạn nhiệt thi theo định luật I nhiệt

déng dE =—pdV, hay p= -= nghĩa là áp suất bằng đạo hàm của nội năng theo thé

tich Nay sinh câu hỏi rằng có thể tìm được hệ thức tương tự đối với nhiệt độ T hay không? Mưễn thế, ta thử cho E là hàm 2 biến sao cho các đạo hàm riêng tương ứng

là bằng p và T, biến thứ 2 ấy kí hiệu là s

Vậy được Tds chính bằng nhiệt lượng yếu tế mà hệ nhận được trong quá trình

thuận nghịch Lấy tích phân (1.38) chúng ta có:

g E

Trong việc lấy tích phân phải chú ý quá trình thuận nghịch đi từ trang thai A sang trang thai B

Chúng ta hãy xét một quá trình không thuận nghịch đơn giản, chẳng hạn như

trong ví dụ 2 của §7 về chuyển dịch của khí hoàn hảo với nhiệt độ khác nhau lúc

đầu Trong đó, để đơn giản ta xem khối lượng ở 2 phần là bằng nhau Như đã thấy, sau khi mảng ngăn chia 2 phần bị lấy đi tức thời trong bình xảy ra quá trình không thuận nghịch làm san bằng nhiệt độ ở 2 phần đưa hệ từ trạng thái ban đầu A đang xét sang trạng thái cân bằng mới B Trong đó, đối với khí hoàn hảo Caloric ta đã rút

Đề xét hệ thức s„ —s„ ta hãy tưởng tượng một quá trình thuận nghịch đưa hệ từ

trạng thái B trở về trạng thái A Muốn thế, trước hết ta chia đôi bình nhờ một màng

chắn cách nhiệt Sau đó, ta đốt nóng một phía để đưa nhiệt độ lên T¡ và làm lạnh

phía kia dé dua nhiệt độ xuống T›, qua trình này phải là thuận nghịch nghĩa là thêm

nhiệt và lẫy nhiệt phải được tiến hành rất chậm Sau quá trình ấy nhiệt độ đã ứng với

trạng thái A, nhưng áp suất ở 2 bên đều khác nhau, giả sử tương ứng bằng p¡ và pa Tiếp theo cho màng chắn địch chuyến rất chậm về phía áp suất thấp cho đến khi áp suất ở 2 bên bằng nhau Giai đoạn cuối cùng này của quá trình phải được tiễn hành

sao cho nhiệt độ vẫn giữ không đổi, nghĩa là phải đưa thêm nhiệt độ vào hệ Chúng

Rõ ràng (+1) >1 trong khi đó đấu bằng chỉ xảy ra khi T, = T, >s, >s, Dau

a) Tổn tại tham số trạng thái S5 gọi là entropi và tham số T gọi là nhiệt độ tối đa

Số gia của entropi trong quá trình thuận nghịch từ trạng thái A sang trạng thái

Đối với khí hoàn hảo § có thể biểu diễn qua T, V cũng giống như nội năng E và

entanpi H, entropi S được xác định sai một hằng số

Các hệ thức trên đúng với chất khí hoàn hảo Tecmic

Nếu khí hoàn hao 1 Caloric (C, và Cụ không đổi) thì Entropi S sẽ bằng:

§9 CÁC HỆ THỨC TƯƠNG QUAN

Từ dạng vi phân của định luật nhiệt động thứ 2 ta có thể rút ra hệ thức giữa các

phương trình trạng thái Caloric và Tecmic:

(1.43) gol là hệ “9 ØTôV aver ý

Đôi với khí hoàn hảo Teemic:

pYv=RT= qe Be p= =p-p=0e=e(T) (chỉ là hàm của T)

Vv

17

Trong chương trình này, chúng ta xét chủ yếu các phương trình đoạn nhiệt của

chất khí hoàn hảo và lí tưởng, bỏ qua khối lượng Trong giáo trình cơ sở cơ học chất

lỏng, chúng ta đã rút ra các phương trình cơ bản biểu thị các định luật bảo toàn khối lượng và bảo toàn năng lượng Chúng ta có dạng sau:

kiện biên và điều kiện ban đầu, chúng sẽ xác định các hàm chưa biết là các vectơ

¥(u,v,w).7, pp

18

§2 SỰ TRUYÊN KÍCH ĐỘNG BÉ TRONG KHÍ LÝ TƯỞNG SÓNG ÂM

1 Phương trình sóng

Giả thiết rằng chất lỏng chảy ra vô cùng về mọi phía, chất lỏng và lí tưởng và áp

hướng (Barotrốp), giả thiết thêm rằng sự liên hệ p= p(S) 1a kha vi va tỷ khối tăng

nguyên vận tốc mà ý nghĩa vật lý ta sẽ làm sáng tỏ dưới đây Bây giờ, ta xét sự truyền kích động bé trong chất lỏng yên tĩnh, đặc trưng bởi các tham

86: P= Po.P = Pyv=0 Gia thiét kich động bé nghĩa là p'= p— jạ;Ø`= Ø— øy nhỏ và

chúng ta có thê bỏ qua tích của chúng hoặc tích của chúng với các đạo hàm của chúng Khi đó, phương trình liên tục (2.1) có dạng:

Như vậy với giả thiết kích động bé từ 2 phương trình phi tuyến (2.1), (2.2) ta có 2

phương trình tuyến tính (2.5) và (2.6) Tiếp tục biến đổi có:

=> „ = mal grad (alive): =—a, (ai +rot (ron))

Theo định lý Laprange ro =0 trong suốt quá trình chuyên động

19

(2.9)

ag Tĩm lại, các hàm p, p và v đều thỏa mãn phương trình dạng: c7 =ø¿Aø Đây là phương trình sĩng

1.1 Trong trường hợp một chiều, lời gidi D’alambe:

Giá sử, tất cá các hạt lỏng chuyển động theo cùng một phương, chẳng han

phương x thì khi đĩ: z= w(x,/);v= w =0: p= p(x.!):ø= ø(x.!) Các phương trình

Biểu thức (2.12) chúng tỏ rằng giá trị ø(x./) tại x xác định và tại thời điểm t cho

trước chỉ phụ thuộc vào các kích động ban đầu f và g cho trong khoảng (x—az„/) đến

(x+ay/) Mà khơng phụ thuộc vào những kích động ban đầu tại những thời điểm khác Để dễ đàng nghiên cứu nghiệm của (2.12) ta giá sử g(x) =0 cịn

f(x) =0 bên ngồi [A; B] của trục x [ 4: B| = (—c <x< c)

20

Trong khoảng này ø(x,f) =2/ Ta) Hoàn toàn tương tự cho phía trái Tại một

thời điểm t cố định, kích động @ sẽ bằng 0 trong 3 khoáng:

Toàn bộ bức tranh chuyển động có thể mô tá như sau: Kích động ban đầu f{x) độ đài 2c, tách ra thành 2 phần mỗi phần cũng có độ dài 2c, nhưng chiều cao chỉ còn

2 chiều cao f{x) Một phần chuyển động về bên phái với vận tốc a3 phan kia chuyén

động về bén trai v6i van téc ap Vay ay c6 thé goi 1a: Van téc truyén các kích động bé

trong khí yéh tinh

Loại kích động bé điển hình đối với không khí ở trạng thái yên tĩnh là các tín hiệu

âm vì thế ao thường được gọi là vận tốc âm

Từ công thức: zj = (2) ta thấy rằng vận tốc âm phụ thuộc vào tính chất áp

9

hướng của quá trình, nghĩa là dạng của thé của hàm p= p(S) Nếu ta giả thiết chất

lỏng là không nén được (p =consÐ) thìzy =œ Điều đó về phương diện vật lý có

_ nghĩa là các kích động trong mô hình của chất lỏng không nén được truyền với vận cốc lớn vô cùng Nói cách khác, sự thay đổi của các yếu tố chẳng hạn như: Áp suất _ tại một vị trí nào đó của dòng phải ảnh hưởng tức thời đến bất kì một vị trí khác trong một số trường hợp giả thiết ấy cho một độ gần đúng đủ dùng để tính toán thực

tế, nhưng trong nhiễu trường hợp khác phải dùng mô hình chiều Khí nén được với vận tốc truyền âm hữu hạn Đối với chất khí hoàn hảo, xét quá trình kích động bé là

đoạn nhiệt(p = #27) Ta có:

Kết quá tính toán theo công thức (2.13) phù hợp với thí nghiệm chứng tỏ quá

trình truyền âm là quá trỉnh đoạn nhiệt

21

Từ (2.13) chúng ta thấy rằng vận tốc truyền âm chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ Dựa

theo nghiên cứu (*) nhận thấy rằng ø(x,/)= const dọc theo các đường đặc trưng

X— đ;f = cons/; x + a,f = consf của phương trình sóng (2.10) Các kích động bé truyền dọc theo các đường đặc trưng

tị (t¡ đủ nhỏ) thì mặt cầu S¡ chưa cắt D Kích động tại p chỉ khác 0 khi mặt cầu có 2

khoảng cách tại đó S¡ và Sa tiếp xúc với miễn D

h aA, as 9, #0 voit; St<t Voit <t, kích động chưa tdi P, t 2 t kich

động đã vượt qua P

Nếu như chúng ta xét miền kích động tại thời điểm t xác định thì kích động sẽ có

tại những điểm cách miền D một khoảng aạt Nếu như miễn D thu về một điểm thi

kích động chỉ cảm thấy ở P(x, y, z) đúng vào lic t= os ‘

0

Tại thời điểm t xác định kích động sẽ nằm trên mặt cầu bán kính R = aụt Qua phân tích trên suy ra trong trường hợp 3 chiều kích động bé cũng truyền đi với vận tốc ao Vậy kích động bé phát sinh trong chất lỏng lý tưởng áp hướng lúc đầu yên

tĩnh sẽ truyền theo mọi phương với vận tốc không đổi ay = &

9

dp

22

Để xét sự thay đổi cường độ kích động theo thời gian ta hãy xét một trường hop đơn giản sau đây: Giả sử miền kích động D là một hình cầu bán kính C, và giả sử f

Tại điểm t xác định kích động œ được tính theo công thức (2.17) với những khoảng

cách r thỏa mãn: aạt — c <r < apt + c Nói cách khác, tại thời điểm t xác định kích động

chỉ khác không trong miễn giữa hai hình cầu bán kính r = aạtT— c và r = aạt +c

Trén 8, (ban kinh r = apt — ¢); 9 = _ Ue -

2(agt—c) Trên mặt cầu Soi r= aot: 9 =0

Trên mặt cầu S¿: r = agt + c: @ = _ ve

2(ayt+c)

Ta thấy c không đổi khi t tăng nhưng miễn kích động càng tăng khi t ting, cuong

độ kích động giảm Đây là điều khác cơ bản so với trường hợp 1 chiều (Do năng lượng lúc đầu là không đổi, khi t tăng thì năng lượng này phân bố trong khối không khí càng lớn)

2 Sự truyền kích động trong dòng thuần nhất; Chuyển động dưới âm và vượt

âm, số Ma-khơ, đường Ma-kho

Bây giờ, ta xét sự truyền kích động bé trong dòng chất lỏng lý tưởng thuần nhất

và áp hướng, nghĩa là vecto v = vụ, p = pos P =po Nếu ta xét sự truyền kích động đối

23

với hệ tọa độ chuyên động với vận tốc vọ thì vấn đề trở thành bài toán vừa mới xét

về sự truyền kích động trong chất khí yên tĩnh

Phân biệt 3 trường hợp:

1) Vo <a Tại các thời điểm t khác nhau R = aat, kích động nằm trên mặt cầu bán kính R tâm O'(OO? = vạt) Các mặt cầu này đều chứa điểm O bên trong —

kích động truyền ra mọi hướng, tuy rằng vận tốc truyền theo hướng khác nhau

có khác nhau

2) vg > ag Cac mat cau có bán kính R = aot không chứa các điểm O Các hình cầu

ấy đều nằm bên trong hình nón điểm là O, với nửa góc mở ơa thỏa mãn:

sinœo = aạt Từ đó, suy ra khác hẳn với trường hợp trên Trong trường hợp này

kích động chỉ truyền được bên trong một hình nón và kích động không thể đạt

đến những điểm bên ngoài hình nón Hình nón ấy gọi là hình nón Ma-khơ

Góc œạ định nghĩa như trên gọi lài góc Ma-khơ Tý số My = ne gọi là số

Ma-khơ Đây là một đặc trưng không thứ nguyên đóng vai trò qua trọng trong

chất khí nén được — sinoy = x „ Mẹ là số Ma-khơ

0 3) Vp = ao Hình nón Ma-khơ suy biến thành mặt phẳng qua tâm O các mặt cầu đều

tiếp xúc với mặt phẳng ấy — kích động chỉ truyền tới nửa không gian Như vậy,

ta thấy có sự khác nhau sâu sắc trong sự truyền kích động bé ở các trường hợp

Vo < ap Va Vo > ao Đối với dòng đều mà vo < ay (My < L) Người ta gọi là dòng

dưới âm (gofbykoboe merehue) Trong truéng hop vo > ag (My > 1) ta gọi là đòng vượt âm (cbepxfbykoboe merehue) Truong hop vo ay (Mo = 1) ta goi 1a dong gan 4m (okorofbykoboe merehue) Trudng hop My >> 1 (vp >> a) ta gọi

la dong siéu 4m (trurepflykoboe merehue) (Chu y: khdc voi dong siéu 4m trong vật lý: yrhmakoboe là dòng âm có bước sóng không lọt được vào tai)!

Người ta còn đùng những định nghĩa trên trong ý nghĩa rộng dài hơn: Nếu p, p, v

là vận tốc, áp suất, tỷ khối tại một điểm nào đó của một dòng bắt kỳ thì các đại

tốc âm địa phương, số Ma-khơ địa phương và góc Ma-khơ địa phương

24

Chương THII

CHUYEN DONG HAI CHIEU DƯỚI ÂM

VỚI KÍCH DONG BE

§1 CAC PHUONG TRINH CHUYEN DONG

1 Phương trình đối với thế vận tốc

Trong chương này, chúng ta xét chuyển động đừng 2 chiều không xoáy, đẳng Entropi của chất khí hoàn hảo và lý tưởng Chúng ta đã biết rằng với chuyển động không xoáy tồn tai thé vận tốc I(x, y); ÿ = gradŒ Trước hết, ta viết phương trình liên tục, trong chuyên động đang xét phương trình liên tục có dạng:

25

Đối với chuyển động đang xét bài toán đưa về việc xác định thế vận tốc ® thỏa

mãn (3-2) trong đó vận tốc âm a được biểu điễn qua ® ở (3.3) Đấy là một phương trình phi tuyến, việc tìm nghiệm chính xác của nó cho những bài toán thực tế gặp những khó khăn toán học rất lớn Vì thế, người ta thường nghiên cứu theo 2 phương hướng:

Tìm nghiệm chính xác của một số bải toán đơn giản nhất để hiểu một cách định

tính bán chất của những dòng phức tạp hơn trong thực tế

Tìm những nghiệm gần đúng thích hợp với các bài toán thực tế Trong chương nảy, chúng ta đi theo hướng 2, bằng cách xem kích động trong dòng là bé Trong nhiều vấn đề thực tế vận tốc kích động gây nên trong dòng đều bởi một vật đặt trong đòng là bé nếu vật rất mảnh Ví dụ như: profữn của cách nâng máy, cánh quạt, cánh nâng tuabin

2 Phương trình tuyến tính hóa

Bây gid, ta chuyển sang việc rút ra phương trình chuyển động tuyến tính hóa Giả thiết rằng: vận tốc dòng đều V„ là không đổi và hướng theo trục x bao quanh 1 bản mỏng, các thành phần vận tốc kích động u, v gây nên trong dòng do sự tồn tại

của vật được giả thiết là bé so với V„ Vì vậy, thế vận tốc ® = v„ x + @(%X, Y); V„ X

gọi là thế vận tốc dòng đều; (x, y) goi 14 thé van tốc kích động; u= @„; V= 0y

Ro rang: ó, =F,„+Ø, =f„ + HỒ, =0, =H,:Ó, = 0, = V;iỐy = 0y =V,IÚy =0, =H,

Ta xấp xỉ các hệ số của phương trình (3.2) đề tuyến tính hóa phương tình này:

Chú ý rằng: Đỗi với dòng 3 chiều có kích động bé, trong đó dòng đều cũng

hướng song song trục x Tương tự ta cũng có phương trình:

B° xx + Pyy + Pex = 0 (3.13)

B* duge xdc dinh theo (2.12), ngoài các diéu kién (3.10), (3.8)

3 Tuyến tính hóa hệ số áp suất

Nghiên cứu sự phân bố áp suất trong dòng là điều quan trọng thực tế bậc nhất

Biết sự phân bố áp suất mới biết được các lực và momen của đòng tác đụng lên vật

Trong khí động lực học người ta thường quan tâm đến một hệ số áp suất định nghĩa

§2 DONG BAO QUANH

Chúng ta sẽ nghiên cứu một nghiệm riêng của phưởng trình tuyến tính héa (3.11)

Ý nghĩa thực tế của nghiệm này là: Bằng một con đường tương đối đơn gián ta nêu

lên các ảnh hưởng định tính và định lượng của tính nén được vào dòng và vào sự

os») =" hsinl 2 Jer h,1 = const (3.18)

~aapŸ

thay e “ñy=l— Phương trình của thành sẽ là:

Đây là phương trình của đường cong có dạng sóng biên độ h, chu ki / Nhu vay,

thế vận tốc (3.18) là thế vận tốc của đòng đều bao quanh thành hình sóng Chú ý

thêm rằng: Khi xa dần khỏi thành theo chiều ngang biên độ của các đường đòng

30

dạng sóng cũng giảm dần nghĩa là các đường dòng càng xa thành cảng có xu hướng thẳng dần, khi y —> © đường dòng là đường thẳng song song trục x Từ (3.19) và (3.21) thay rằng y ~ œ thì u =0, v= 0 ở cách xa thành theo chiều ngang dòng thành dòng đêu với vận tốc vạ ||Ũx

So sánh (3.23) và (3.26) ta thấy rằng áp suất là cực đại cao nhất ở chân dạng sóng

và cực tiêu ở đỉnh của chân dạng sóng

4 Ảnh hưởng của số Ma-khơ:

Bây giờ, ta xét ảnh hưởng của tính nén được vào dòng Giả sử, hình dạng của

thành cho theo (3.23) với h, 1 là cố định Nhưng theo (3.12) thì với M„„ lớn —> B bé,

ngược lại với M„ — 0 thì 8—> 1 Do đó, trước hết thấy rằng: Áp suất trên tường tăng

cùng sô Ma-khơ theo thửa sô — =

B AjI-MỆ

Từ (3.25) ta thấy rằng tăng số M„ (giảm B) thi kích động do thành gây nên đối

với dòng bị giảm chậm hơn khi đi xa khỏi thành theo chiều ngang Vậy tăng số Mụ„ không chỉ làm tăng hệ số áp suất tác động lên vật rắn mà ảnh hưởng còn cảm thấy ở những khoảng cách lớn hơn theo chiều ngang

§3 ĐỊNH LUẬT GÔ-TƠ, ĐỊNH LUẬT PRAN-GLAOE

Trong mục này chúng ta sẽ nêu lên các biểu thức đưa dong nén được bao quanh một profin nào đó về dong không nén được bao quanh một profn khác suy từ profin trên bằng phép biến đổi Afin

1 Phép biến đối thế vận tốc

Tại œ là v„ hướng song song true x đến bao quanh một profin mỏng Khi đó, như

đã biết ọ thỏa man:

Và các điều kiện biên sau đây:

đối với dòng chảy không nén được Muốn thế, ta xét các phép biến đổi Afin sau đây:

x=x; y'=y8; 0(x.y)= 8`ø(x.y)

Say gi Poy =e Pry

Thay các hệ thức này vào (3.27):

Bài toán (3.30) (3.31) (3.32) là bài toán bao quanh proñn 8’ boi dong chất lỏng không nén được với vận tốc ở œ là v„ Bài toán này đã được khảo sát ở giáo trình

CƠ SỞ

2 Sự biến dạng các yếu tổ hình học của profin

Trước hết, ta đưa ra các yếu tố hình học của profn

Dây cảnh: Là bán kính đường tròn tâm tại điểm góc B, tiếp tuyến với điểm mũi

A Khoảng cách AB =/ - độ đài dày cánh Đường AB là đường dùng đề tính góc tới

Ta vạch các đoạn thẳng L với dây cánh AB và giới hạn bởi phần trên, phần đưới

profñn Cực đại t„ạ, của các độ dài đoạn thẳng ấy gọi là độ dày của cánh Quỹ tích của các điểm giữa các đoạn thẳng ấy gọi là đường ñ;X của cánh Khoảng cách cực

đại K giữa đường ñ;Ä và dây cánh được gọi là độ võng của cánh Tỷ số y = 7 gọi là

tỷ số độ võng của cánh

32

Xét hai cánh §, §' trong mặt phẳng (x, y) va (x’, y’) có được từ phép biến đổi

Afin Quan hệ giữa các độ dốc profin cảnh ay: wy 5 Lá, = A

dy, / dx, B

Từ đó ta thấy rằng: Quan hệ giữa các tỷ số độ dày, tỷ số độ võng và tý số góc tới

œ cũng theo quy luật tương tự Nghĩa là: o = " = = 2 i ,

Ta thấy ngay sự biến dạng của profin cánh:

2 Hệ thức giữa các lực tác động lên profin

Vậy theo định luật này: Nếu ta muốn tìm hệ số lực nâng chẳng hạn của một

profin với số Ma-khơ M„ cho trước: Trước tiên ta tìm bằng lý thuyết và thí nghiệm

hệ số lực nâng trong dòng không nén được được bao quanh proñn có các tý số độ võng, tỷ số độ dài và góc tới bé hơn các giá trị tương ứng của proiin nguyên thể 6 lần, sau đó, nhân hệ số lực nâng này lên với ra ta sẽ có hệ số lực nâng với dòng

Gye a = cưới HH Ea pố mộội cảnh xâp xi: = Ce St = 8, Vì vậy, ta có

ở w y " a " C C C

định luật như sau:

“Đối với 2 proofin hình dạng như nhau với cùng góc tới thì các lực tác động lên profin ấy trong dòng nén được (không có dấu phảy) và trong dòng không nén được (có 2 dấu phảy) liên hệ với nhau theo công thúc:

Cy Cy Œ, 1

Cc ps » Cp * Cy B

Từ đó, ta thấy rằng đối với cùng một cánh và với cùng một góc tới, hệ số ap suat,

hệ số lực nâng và hệ số momen đều chịu ảnh hưởng của số Ma-khơ theo quy luật tỷ

lệ với thừa số:

Chương IV

DONG HAI CHIEU DƯỚI ÂM - PHƯƠNG PHÁP TÓC ĐỎ

Trong chương III chúng ta thấy việc khảo sát đòng 2 chiều dưới âm dẫn đến việc

giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến, đối với thế vận tốc ÿ Vì việc giải

phương trình phi tuyến gặp rất nhiều khó khăn về toán học nên chương trình chúng

ta nghiên cứu bằng cơn đường tuyến tính hóa phương trình Trong chương này, húng

ta sẽ thấy rằng dùng phương pháp tốc đồ có nghĩa là chọ các thành phần v:6

(môdun của vận tốc và góc của véctơ vận tốc làm với trục x) làm biến độc lập Ta sẽ

dẫn được phương trình phi tuyến nói trên sang phương trình tuyến tính đối với thế vận tốc ộ hoặc với hàm dòng và đo đó, có thể dùng phương pháp chồng nghiệm để xây dựng các nghiệm phức tạp từ các nghiệm đơn giản

Tương tự như vậy, phương trình liên tục sẽ được thỏa mãn nếu đưa vào hàm dòng

ự(z,y) được định nghĩa như sau:

Xét chất lỏng chuyên động giữa 2 đường dòng 1 = C¡ và ự = C¿ Lấy Mì, Mạ trên 2 đường dòng (thực chất là 2 mặt dòng) Ký hiệu: Q - là lượng chất lỏng chảy

qua mặt (M¡, Mạ) Lưu lượng:

Theo trén thi: g = e(x,y);v =v (x,y); 0 =O(x, y)

Ta giá sử có thể giải ra: x = x(w,Ø):y = y(v,0) > 9 = (v.60)

36

Bây giờ, nếu biết được @ và ự ta sẽ suy ra được x và y theo ,Ø Lấy đạo hàm

(4.6) ta CÓ: x„¿ =Xz„; J„; = y¿„ nên †a có:

Ø Ì 8 Ø d{1 pp

=|=— -+— =v| —| ——— 4.12

Từ trước đến nay, ta mới giả thiết rằng: liên tục, không xoáy Bây giờ, chúng ta

sử đụng tích phân Béenuli (thay cho phương trình chuyển động Ơle) dưới dang:

37

> Vy, + rÍI on “fi aa =0 (4.14) [Str dung (*)]

Các công thức (4.13) và (4.14) là một phương trình đạo hàm riêng cấp 2 tuyến

tính của hàm đòng=ự(v,Ø) Các biến v,Ø được gọi là các biến tốc đồ (Phương

pháp này được làm đầu tiên bởi Saplugin)

Chúng ta sẽ tìm ự =ự/(v,Ø) thỏa mãn (4.14) và những điều kiện xác định tùy từng

bài toán cụ thê Sau đó, ta sẽ xác định @(v, 9) từ (4.11) Từ (4.6) và (4.7) chúng ta sẽ xác

định được x=zx(v,Ø); y= „(v,Ø) Giải ngược ra: —> v = v(x, y);Ø = Ø(x, y) Áp suất

được xác định từ tích phân Bécnuli

Bắt lợi của phương pháo tốc đồ là ở chỗ bài toán về dòng bao quanh proñn cho trước không được đặt ra một cách trực tiếp bằng phương pháp tốc đồ (vì điều kiện biên được cho trong mặt phăng dòng (x, y)) Trong khi đó, hàm phải tìm phụ thuộc

vào các biến tốc đồ w,Ø

Một điểm quan trọng cần chú ý là: Muốn cho ø(x.y):/(x,y) thực sự là thế vận

tốc và hàm dòng thì v,Ø phải liên hệ đơn trị với x, y Nghĩa là, định thức Jacobien:

Ta thấy:

D(ø,v) Dv ay eve Ye as call“ Hwa tue |: nh

Khắp nơi trong miền, định thức trên khác #0;và # 00 nếu1— 2 >0;z<1 (Nếu

1—¿ <0 thì xác định tồn tại một đường v = (6) mà trên đó định thức = 0) Từ đây,

suy ra phương trình chỉ dùng được với dòng dưới âm

Trong công trình nỗi tiếng của mình về lý thuyết luồng khí dưới âm Saplughim