Giáo trình điện động lực học phần 2 đoàn thế ngô vinh

Chương Trường điện từ chuẩn dừng Trong chương chương nghiên cứu trường tĩnh trường dừng trường không biến thiên theo thời gian Đối với trường điện trường từ trường độc lập với ta khảo sát chúng cách riêng rẽ Sau ta nghiên cứu trường biến thiên theo thời gian Các phương trình Maxwell (1.33) (1.34) cho ta thấy mối liên hệ từ trường điện trường biến thiên theo thời gian, chúng không tồn độc lập với khơng thể khảo sát riêng rẽ Trong chương khảo sát trường điện từ chuẩn dừng, trường biến thiên chậm theo thời gian 4.1 4.1.1 Các phương trình trường chuẩn dừng Các điều kiện chuẩn dừng Trường chuẩn dừng trường biến thiên chậm theo thời gian, thỏa mãn hai điều kiện sau: Điều kiện chuẩn dừng thứ nhất: Dịng điện dịch nhỏ, bỏ qua so với dòng điện dẫn ∂D ~  |~j |max ∂t max (4.1) Điều kiện chuẩn dừng thứ hai: Trong miền quan sát bỏ qua hiệu ứng trễ, phụ thuộc vào vận tốc truyền hữu hạn sóng điện từ Xét ví dụ trường hợp thường gặp trường biến thiên điều hòa với tần số góc ω ~ =E ~ eiωt E ~ ∂D ~ eiωt ; ~j = λE ~ = λE ~ eiωt = iωεE ∂t Do điều kiện chuẩn dừng thứ viết lại ωε  λ ⇔ ω  45 λ ε 46 ĐỒN THẾ NGƠ VINH Đối với dây dẫn kim loại ε ≈ ε0 λ ≈ 107 Ω−1 m−1 λε ≈ 1018 s−1 , điều kiện chuẩn dừng thứ tương ứng với ω  1018 s−1 hay γ  1017 Hz bước sóng `  10−9 m Như dòng xoay chiều sóng vơ tuyến điện thỏa mãn điều kiện chuẩn dừng thứ Giả sử điện trường biến thiên kể truyền theo trục x với vận tốc c dạng sóng phẳng đơn sắc Điện trường điểm quan sát cách nguồn khoảng x n  x o n  ωx x o = E0 eiωt exp iω = E0 eiωt − i + ··· E(x, t) = E0 exp iω t − c c c ~ ~ iωt , hay ta bỏ Ta thấy ωx c  E(x, t) có dạng E = E0 e qua hiệu ứng trễ Khi ω 2π 2π = = c cT ` Trong T chu kỳ dao động sóng điện từ, điều kiện chuẩn dừng thứ hai có dạng x` Nghĩa kích thước miền quan sát phải nhỏ so với bước sóng khảo sát Dịng điện xoay chiều kỹ thuật có tần số cỡ 50Hz ứng với bước sóng 6000km sóng vơ tuyến điện thường có bước sóng từ vài chục mét đến vài nghìn mét phần lớn điện từ trường dùng vô tuyến điện kỹ thuật điện kỹ thuật thuộc lĩnh vực trường chuẩn dừng 4.1.2 Các phương trình trường chuẩn dừng Nếu bỏ qua dòng điện dịch so với dòng điện dẫn phương trình Maxwell viết cho trường chuẩn dừng có dạng: ~ ∂B ∂t ~ = ~j rotH ~ =ρ divD ~ =− rotE ~ =0 divB Các phương trình liên hệ ~ = εE; ~ D ~ = µH; ~ B ~ +E ~ (n) ) ~j = λ(E Phương trình liên tục trường chuẩn dừng có dạng  ~ ∂ρ ∂ ~ = div ~j + ∂ D ≈ div~j div~j + = div~j + (divD) ∂t ∂t ∂t ~ divj = (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 4.1.3 47 Thế véctơ vô hướng trường điện từ chuẩn dừng ~ = A(~ ~ r, t) hàm véctơ tọa độ thời gian thỏa mãn Nếu A ~ = rotA ~ B (4.6) ~ ta đặt gọi véctơ trường điện từ chuẩn dừng Đối với véctơ A điều kiện định cỡ ~=0 divA (4.7) Từ phương trình (4.2) rút  ~ ~ ∂B ~ + ∂ rotA ~ = rot E ~ + ∂A = = rotE ∂t ∂t ∂t   ~ + ~ véctơ mà E ~ + ∂ A~ véctơ Đặt E E ∂t − grad ϕ hay: ~ ~ = −gradϕ − ∂ A E ∂t ~+ rotE ~ ∂A ∂t = (4.8) ϕ = ϕ(~r, t) hàm vô hướng tọa độ thời gian gọi vô hướng trường điện từ chuẩn dừng Nó định cỡ giống vô hướng trường tĩnh điện 4.1.4 Các phương trình vi phân Phương trình vi phân vô hướng ∂ ∂t  ~ = ρ Thay E ~ (4.8) ta có div − gradϕ − Ta có divE ε ~ = ρ Sử dụng điều kiện định cỡ (4.7) ta có: divA ~ ∂A ∂t  = −∇2 ϕ − ε ∇2 ϕ = − ρ ε (4.9) (4.9) phương trình Poisson vô hướng trường điện từ chuẩn dừng, có dạng tương tự trường tĩnh điện Phương trình vi phân véctơ ~ = µ~j Thay B ~ (4.6) ta có rot (rotA) ~ = grad divA ~ − ∇2 A ~= Ta có rotB µ~j Sử dụng điều kiện định cỡ (4.7) ta có: ~ = −µ~j ∇2 A (4.10) (4.10) phương trình Poisson véctơ 4.2 4.2.1 Các mạch chuẩn dừng Hệ dây dẫn có cảm ứng điện từ Xét hệ gồm nhiều dây dẫn liên kết hỗ cảm với Do tượng cảm ứng điện từ, dòng điện chảy dây dẫn phụ thuộc vào dịng khác 48 ĐỒN THẾ NGƠ VINH dây dẫn khác Áp dụng định luật Ohm suy rộng (3.7) cho dây dẫn thứ i viết dạng tích phân tương tự (3.8) I ~ ~ I I j dl ~ d~l + ~ (n) d~l = E E `i λ `i `i (4.11) Theo (3.10) I ~ ~ j dl = Ii Ri `i λ Tích phân thứ hai vế phải (4.11) điện động ngoại lai dây thứ i I ~ (n) d~l = E(n)i E `i ~ = −gradϕ − Sử dụng E thể biến đổi thành: I ~ ∂A ∂t , tích phân thứ vế phải (4.11) có ~ d~l = − E `i I gradϕ d~l − `i I `i ~ ∂A d~l ∂t Để ý I gradϕ d~l = I dϕ = `i ~ ∂A d d~l = ∂t dt I `i I ~ d~l = d A dt `i `i Z ~ dS ~= d rotA dt Si Z ~ dS ~ = dφi B dt Si Trong φi từ thông qua mặt Si dây dẫn thứ i giới hạn Nên (4.11) viết lại dφi (4.12) Ii Ri = E(n)i − dt P Theo (3.65) ta có φi = k Lik Ik Do (4.12) viết thành: Ii Ri = E(n)i − X k Lik dIk dt (4.13) Nếu ta có hệ gồm N dây dẫn lượng Ri , Lik E(n)i cho trước, ta viết hệ phương trình theo kiểu (4.13) chứa N ẩn I1 , I2 IN Hệ phương trình cho phép tính cường độ dịng điện dây dẫn 4.2.2 Mạch điện có điện dung tự cảm Trên hình 4.1 mạch điện đơn giản có điện dung C độ tự cảm L lấy tích phân định luật Ohm suy rộng (3.7) dọc theo mạch điện từ đến tụ điện (từ điểm đến điểm 2) Z Z ~j d~l Z ~ ~ ~ (n) d~l = E dl + E λ 1 Hình 4.1: 76 ĐỒN THẾ NGƠ VINH Như từ trương vĩ mơ khơng phải giá trị trung bình từ trường vi mơ mà tỉ lệ với giá trị Hệ số tỉ lệ phu thuộc tính chất từ môi trường ~ 0i = hD ε0 ~ D ε (6.24) Như cảm ứng điện vĩ mô giá trị trung bình cảm ứng điện vi mơ mà tỉ lệ với giá trị Hệ số tỉ lệ phu thuộc tính chất điện mơi trường 6.2.3 Phép lấy trung bình mật độ dịng điện Trong mơi trường vật chất có ba loại dịng điện: dịng điện dẫn chuyển dịng động điện tích tự gây ra, dòng phân tử liên quan với chuyển động electron phân tử dong liên kết (dong phân cực) điện tích liên kết gây h~j i = h~j 0d i + h~j 0f i + h~j 0l i (6.25) Gọi ei điện tích hại i ~v vận tốc nó, mật độ dịng điện dẫn trung bình X hj 0d i = ei~vi = ~j (6.26) i Chuyển động điện tích phân tử gây dịng phân tử Nếu mơi trường khơng bị từ hố dòng phân tử phân bố hỗn độn giá trị trung bình chúng khơng Khi mơi trường bị từ hố dịng phân tử định hướng, kết mật độ dịng phân tử trung bình xác định theo (3.46) h~jf i = rot I~ Véctơ phânPcực P~ môi trường P số mômen lưỡng cực đơn vị thể tích P~ = p~k , p~k = (ei~ri )k mơmen lưỡng cực phần tử i k k Vậy P~ = XX k (ei~ri )k (6.27) i Tổng lấy theo tất điện tích phần tử tất phần tử đơn vị thể tích Khi mật độ dòng liên kết X ∂ P~ = (ei~vi )k h~jl i = ∂t (6.28) i,k Như giá trị trung bình dịng vi mơ mơi trường vật chất có dạng ∂ P~ (6.29) h~j i = ~j + rotI~ + ∂t 6.2.4 Phép lấy trung bình mật độ điện tích Trong mơi trường vật chất tồn điện tích tự điện tích liên kết, nên mật độ trung bình hρ0 i = hρ0t i + hρ0l i (6.30) GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 77 ρ0t mật độ điện tích vi mơ tự do, ρ0l mật độ điện tích vi mơ liên kết Giá trị trung bình mật độ điện tích vi mơ tự mật độ điện tích vĩ mơ tự hρ0t i = ρ (6.31) Lấy trung bình phương trình liên tục ∂ hρ0l i + divh~jl0 i = ∂t Kết hợp với (6.29) ∂ (hρ0 i + divP~ ) = ∂t l hρ0l i = −divP~ + f (x, y, z) Dựa vào tính chất vật lý trường điện từ người ta chứng minh f (x, y, z) = hρ0l i = −divP~ (6.32) Như giá trị trung bình mật độ điện tích vi mô hρ0 i = ρ − divP~ 6.2.5 (6.33) Mối quan hệ phương trình Maxwell phương trình Maxwell – Lorentz Dựa vào phương trình (6.21) – (6.24) viết phương trình vi mơ (6.16) (6.17) thành rot ~ ∂ B ~ = h~j i + hε0 Ei µ0 ∂t ~ ) = hρ0 i div(ε0 E (6.34) (6.35) Thay (6.29) (6.33) vào phương trình ta có rot ~ ∂ B ∂ P~ ~ + hε0 Ei = ~j + rotI~ + µ0 ∂t ∂t ~ ) = ρ − divP~ div(ε0 E ~ = ε0 E ~ + P~ , H ~ = Sử dụng hệ thức D ~ µ0 B − I~ ta có ~ ∂D ∂t ~ =ρ divD ~ = ~j + rotH (6.36) (6.37) Như thu phương trình trường điện từ vĩ mơ cách lấy trung bình phương trình trường điện từ vi mơ 78 ĐỒN THẾ NGƠ VINH 6.3 Chuyển động điện tích tự trường điện từ 6.3.1 Phương trình chuyển động điện tích trường điện từ Nếu điện tích điểm e chuyển động với vận tốc ~v trường điện từ, lực Lorentz trường điện từ tác dụng lên điện tích
~ + [~v × B ~] F~ = e E Do phương trình chuyển động điện tích2   d~v ~ + [~v × B ~] =e E m dt (6.38) m khối lượng điện tích 6.3.2 Chuyển động điện tích trường tĩnh điện Xét chuyển động điện tích điểm e trường tĩnh điện, phương trình chuyển động điện tích m d~v ~ = −e grad ϕ = eE dt d~r dϕ d d~v = −e ⇐⇒ m ~v = −e grad ϕ dt dt dt dt mv + eϕ = const  (6.39) mv + eϕ  =0 (6.40) (6.40) diễn tả định luật bảo toàn lượng chuyển động hạt Số hạng thứ động hạt, số hạng thứ hai tương tác hạt với điện trường Nếu ban đầu hạt đứng yên (v0 = 0) sau qua hiệu điện ∆ϕ = V thì3 r mv 2 |e| V = eV ⇒ v = m Xét điện tích điểm e chuyển đông điện ~ Chọn trục Oy theo phương E ~ trường E giả sử t = điện tích điểm nằm gốc toạ độ O có vận tốc ban đầu ~v0 nằm mặt phẳng Oxy Chiếu (6.39) xuống cỏc trc to mă x=0 mă y = eE xét tác dụng trường điện từ, bỏ qua lực hấp dẫn nhỏ so với lực Lorentz, ta Hình 6.1: xét điện tích có khối lượng nhỏ electron, proton Đối với electron V = 1vol v = 600km/s Trong vật lý nguyên tử người ta dùng electron – Vol (eV) đơn vị lượng 1eV lượng electron qua hiệu điện 1V, 1eV = 1,6.10−19 J GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 79 Tích phân phương trình ta có phương trình chuyển động x = (v0 cos θ) t eE y= t + (v0 sin θ) t 2m (6.41) (6.42) Khử t ta phương trình quỹ đạo y= eE 2m (v0 cos θ) x2 + (tgθ) x (6.43) θ góc ~v0 trục Ox Như quỹ đạo hạt đường parabol Nếu ~ quỹ đạo nhánh (p) parabol điện tích dương ~v0 theo chiều4 E ~ Nếu ~v0 trái chiều với E quỹ đạo nhánh (p’) parabol Nếu chiều với quỹ đạo đường thẳng điện tích chuyển động nhanh dần chậm dần 6.3.3 Chuyển động điện tích từ trường dừng Phương trình chuyển động điện tích điểm e từ trường d~v ~] = e[~v × B dt   d~v d mv ~ m ~v = e[~v × B ]~v = ⇒ =0 dt dt mv = const m (6.44) (6.45) Như tác dụng từ trường khơng làm thay đổi động điện tích điểm khơng làm thay đổi độ lớn vận tốc điện tích điểm ~ Chọn trục Oz theo Xét điện tích điểm e chuyển động từ trường B ~ Chiếu (6.39) xuống trục toạ độ phng ca B eB y m eE yă = x m ză = x ă= (6.46) (6.47) (6.48) (6.48) có nghiệm z = z0 + v0z t (6.49) Trong v0z vận tốc ban đầu hạt theo phương Oz Như từ trường không làm ảnh hưởng đến chuyển động điện tích theo phương Oz (phương từ trường) Theo phương từ trường điện tích chuyển động qn tính khơng có trường góc góc ~ góc nhọn ~v0 E ~ góc tù ~v0 E 80 ĐỒN THẾ NGƠ VINH Tích phân hệ (6.46) (6.47) nhận được6 Trong ω0 = eB m, v0 = p x˙ = v0 cos (ω0 t + α) (6.50) y˙ = v0 sin (ω0 t + α) (6.51) x˙ + y˙ = q vx2 + vy2 vận tốc hật mặt phẳng Oxy, tức thành phần vận tốc vng góc với từ trường Tích phân (6.50) (6.51) nhận v0 sin (ω0 t + α) ω0 v0 y = y0 + cos (ω0 t + α) ω0 x = x0 + (6.52) (6.53) Như chuyển đông điện từ điểm theo phương Ox Oy dao động điều hoà với tần số góc ω0 = eB m Khử t Từ (6.52) (6.53) phương trình quỹ đạo mặt phẳng Oxy 2 (x − x0 ) + (y − y0 ) = v02 = R2 ω02 Hình 6.2: Như quỹ đạo điện tích điểm mặt phẳng Oxy đường tròn ω0 = eB m gọi tần số cyclotron phụ thuộc tỉ số v0 mv0 e m không phụ thuộc vận tốc điện tích điểm Bán kính quỹ đạo R = ω0 = eB , e phụ thuộc tỉ số m vận tốc v0 Từ ta có mv02 = eBv0 R Nghĩa lực quán tính ly tâm phải cân với lực Lorentz tác dụng lên điện tích điểm Như vận tốc hạt khơng có thành phần song song với từ trường chuyển động trịn mặt phẳng vng góc với từ trường Nếu vận tốc hạt có thành phần song song với từ trường ngồi chuyển động trịn điện tích điểm cịn chuyển động thẳng theo phương từ trường, quỹ đạo đường xoắn đinh ốc (Hình 6.2) Đặt ω0 = eB , m nhân hai vế (6.47) với đơn vị phức i cộng vế với (6.46) ta có x ă + iă y = i0 (x + iy) ˙ d (x˙ + iy) ˙ = −iω0 (x˙ + iy) ˙ dt −iω0 t x˙ + iy˙ = ae a số phức, đặt a = v0 e−iα , v0 số thực Ta có x˙ + iy˙ = v0 e−i(ω0 t+α) = v0 [cos (ω0 t + α) + i sin (ω0 t + α)] tần số cyclotron tần số quay quỹ đạo hạt mang điện từ trường GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 81 6.4 Chuyển động electron nguyên tử đặt vào từ trường 6.4.1 Ảnh hưởng từ trường lên dao động xạ nguyên tử Xét nguyên tử gồm hạt nhân đặt gốc toạ độ electron8 Theo thuyết cổ điển nguyên tử xạ coi dao động điều hoà, electron dao động xung quanh hạt nhân điện tích liên kết đàn hồi Gọi ~r bán kính véctơ xác đinh vị trí electron, phương trình dao động viết dạng phức ~r = ~r0 e−iω0 t (6.54) Trong ω0 tần số dao động electron tần số xạ Có thể coi electron dao động tác dụng lực đàn hồi9 F~d = −me ω02~r, me khối lượng electron10 Do phương trình chuyển động electron me~ră = me 02~r (6.55) ~ v chn trc Oz theo phương Nếu đặt nguyên tử vào từ trường B ~ B Khi ngồi lực đàn hồi cịn có lực Lorentz tác dụng lên electron Phương trình chuyển động electron |e0 | ˙ ~ [~r ì B ] = ~ră + 02 ~r me (6.56) (− |e0 |) điện tích electron11 Đặt ωL = |e0 | B 2me (6.57) ωL gọi tần số Larmor Chiếu (6.56) xuống cỏc trc to x ă + 02 x + L y = yă + 02 (6.58) y L x = (6.59) 02 (6.60) ză + z=0 Dễ thấy nghiệm (6.60) z = z0 eiω0 t (6.61) Như từ trường ngồi khơng ảnh hưởng lên dao động electron theo phương Oz Tức theo phương từ trường nguyên tử xạ với tần số ω0 chưa có từ trường nguyên tử Hydro ion tương tự ta khơng cần xét đến lực hãm không làm ảnh hưởng đến tần số xạ 10 khối lượng electron 9, 1.10−31 kg 11 giá trị điện tích electron −1, 6.10−19 C 9Ở 82 ĐỒN THẾ NGƠ VINH Tìm nghiệm hệ (6.58) (6.59) dạng x = x0 eiωt ; y = y0 eiωt Thay vào (6.58) (6.59) ta có
ω02 − ω x0 + 2iωωL y0 =
−2iωωL x0 + ω02 − ω y0 = Để x0 6= 0; y0 6= (để cho x 6= 0; y = 0) định thức hệ phương trình x0 y0 phải
2 ω02 − ω − (2ωωL ) = q ω = ±ωL ± ω02 + ωL (6.62) Tần số electron nguyên tử cỡ tần số ánh sáng ω0 = 1015 s−1 Đối với từ trường khoa học kỹ thuật ln có ωL  ω0 Do (6.62) trở thành ω = ±ωL ± ω0 Do tần số phải dương nên ω = ω0 ± ωL (6.63) Kết nghiệm hệ (6.58) (6.59) có dạng x = x0 ei(ω0 ±ωL )t (6.64) i(ω0 ±ωL )t (6.65) y = y0 e Như theo phương vuông góc với từ trường ngồi ngun tử bác xạ hai tần số ω = ω0 + ωL ω = ω0 − ωL Hiện tượng gọi hiệu ứng Zeemann thường Khoảng cách hai vạch xạ ∆ω = 2ωL = |e0 | B me (6.66) 0| Khoảng cách hai vạch xạ cho phép xác định tỉ số |e me electron Thực nghiệm cho thấy vật chất thể khí đặt từ trường xạ cho vạch ba (tam tuyến) (6.66) phù hợp với thực nghiệm độ xác cao Thực tế phần lớn trường hợp vạch xạ bị suy biến cách phức tạp12 khơng thể giải thích phạm vi điện động lực học cổ điển 6.4.2 Chuyển động tiến động electron Khảo sát chuyển động electron nguyên tử Để đơn giản ta xét nguyên tử gồm hạt nhân gốc toạ độ và electron quay quanh nhân với vân tốc ~v Mơmen xung lượng electron ~ = me [~r × ~v ] L (6.67) Do electron chuyển động theo quỹ đạo khép kín nên mơmen từ electron I I I ~ M= [~r × d~r ] = [~r × ~v ] ρ dV 2 12 hiệu ứng Zeemann dị thường GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 83 Trong Id~r = ~j dV = ~v ρ dV mật độ điện tích ρ có giá trị âm Trong ngun tử có electron nên khơng có dịng liên tục, cường độ dịng điện I đại lượng lấy trung bình theo thời gian Do ρ [~r × ~v ] dại lượng lấy trung bình Chúng khơng phụ thuộc toạ độ nên đưa ngồi dấu tích phân Do Z ~ = [~r × ~v ] ρ dV = − |e0 | [~r × ~v ] (6.68) M 2 Từ (6.67) (6.68) rút ~ = − |e0 | L ~ M 2me (6.69) Mômen từ mômen xung lượng electron hai véctơ phương ngược chiều Nếu nguyên tử có nhiều electron, electron có mơmen ~ i M ~ i mơmen từ mơmen xung luợng tồn từ mơmen xung lượng L phần X X ~i ~i ; L ~ = ~ = L M M i i (6.69) thoả mãn ~ chọn Oz trùng với B ~ Nếu nguyên tử đặt từ trường không đổi B ~ = [M ~ ×B ~ ] Do ta Theo (3.76) mơmen lực tác dụng lên dịng ngun tử N có ~ dL ~ = [M ~ ×B ~ ] = − |e0 | [L ~ ×B ~ ] = [~ ~] =N ωL × L (6.70) dt 2me Trong ω ~L = ~ |e0 | B 2me (6.71) ~ có độ lớn tần số Larmor véctơ phương chiều với B So sánh (6.70) với phương trình chuyển động quay vật rắn quanh trục cố định với vận tốc góc ω ~ d~r = [~ ω × ~r ] dt ~ quay quanh phương từ dễ thấy véctơ L trường với vận tốc góc tần số Larmor (Hình 6.3) Điều nghĩa chưa có từ trường ngồi electron chuyển động quay quanh trục Oz với vận tốc góc ω ~ Khi có từ trường ngồi electron tham gia hai chuyển động; chuyển động quay xung quanh hạt nhân (chuyển động quay quanh gốc O) với vận tốc ω ~ ; hai chuyển động quay xung quanh phương từ trường (chuyển động quay quanh trục Oz) với vận tốc ω ~ L Chuyển động electron gọi tiến động Larmor Tất electron nguyên tử chuyển động Hình 6.3: 84 ĐỒN THẾ NGƠ VINH tiến động với vận tốc góc chiều Khi chiếu (6.70) lên phương song song với từ trường (trục Oz) ta thấy electron dao động với tần số ω0 chưa có từ trường ngồi Cịn chiếu (6.70) lên phương vng góc với từ trường (mặt phẳng Oxy) tần số dao động electron thay đổi lượng ωL Tần số tăng thêm hay giảm lượng ωL phụ thuộc vào chiều quay ban đầu electron chiều hay ngược chiều với chuyển động tiến động Như tiến động Larmor nguyên nhân gây hiệu ứng Zeemann Chương Điện môi từ môi 7.1 Sự phân cực điện môi điện trường 7.1.1 Sự phân cực điện môi có phân tử khơng cực Các phân tử vật chất nói chung trung hồ điện Nếu mơmen lưỡng cực phân tử khơng khơng có từ trường ngồi phân tử khơng có cực Các điện tích phân tử khơng thể dịch chuyển tự điện môi Khi đặt điện môi vào điện trường ngồi, điện tích phân tử dịch chuyển ít, phân tử bị biến dạng phân tử xuất mômen lưỡng cực p~ Các điện tích dương dịch chuyển theo chiều điện trường ngồi cịn điện tích âm dịch chuyển theo phương ngược lại, mơmen lưỡng cực p~ chiều với điện trường ngồi Đối với điện mơi có mật dộ vật chất nhỏ (ví dụ khí lỗng) coi ~ trường điện trường tác dụng lên phân tử điện trường vĩ mô E ~ hợp E không lớn ~ p~ = α0 ε0 E (7.1) Trong α0 gọi độ phân cực phân tử Do đơn vị thể tích có N phân tử véctơ phân cực ~ P~ = N α0 ε0 E (7.2) So sánh với (2.33) ta có độ cảm điện mơi α = N α0 Khi hệ số điện mơi có dạng ε = ε0 (1 + N α0 ) (7.3) Độ phân cực α0 phân tử phụ thuộc vào tính chất nội phân tử mà không phu thuộc đaik lượng vĩ mô (mật độ vậ chất, nhiệt độ, áp suất ), trường hợp ε hàm tuyến tính mật độ vật chất N Đối với trường hợp điện mơi có mật độ vật chất lớn (ví dụ khí đặc, chất lỏng) tượng xảy điện trường tác dụng lên phân 85 Hình 7.1: 86 ĐỒN THẾ NGƠ VINH ~ ∗ tổng điện trường điện trường tử E phụ điện môi phân cực gây ~∗ = E ~ +E ~0 E (7.4) ~ lấy mặt cầu vĩ mơ nhỏ có tâm phân tử xét (Hình Để tính E ~ gồm E ~ điện môi phân cực hình cầu gây E ~ 7.1) Như E điện mơi phân cực ngồi hình cầu gây ~0 = E ~1 + E ~2 E (7.5) ~ sử dụng phương pháp điện động lực học vĩ mô, tức coi Để tính E điện mơi mơi trường liên tục Vì hình cầu nhỏ nên coi mơi trường ~ điện tích liên kết ρl bề xung quanh hình cầu phân cực E mặt hình cầu gây Nếu tách bỏ hình cầu khỏi mơi trường xét điện tích ρl = p1n − p2n = p1n (7.6) Hướng trục Oz theo véctơ phân cực P~ ta có ρl = p1n = p cos θ (7.7) Mặt khác điện tích vi phân diện tích dS mặt cầu dq = ρl r2 sin θ dϕdθ r bán kính mặt cầu Điện tích gây theo phương Oz điện trường dq cosθ (7.8) dE2 = dEz = 4πε0 r2 Thay (7.7), (??) vào (7.8) E2 = p 4πε0 2π Z Z dϕ π cos2 θ sin θ dθ = p 3ε0 (7.9) Đó trường điện tích phân cực ngồi hình cầu gây Ta tính điện trường điện tích hình cầu gây trường hợp riêng phân tử nằm nút mạng lập phương Đặt gốc tọa độ phân tử xét hướng trục tọa độ x, y, z theo trục ~ ta sử dụng (2.20) mạng lập phương Để tính E E1 = pi~ri )~ri − p~i~ri2 X 3(~ 4πε0 i ri5 (7.10) tổng lấy theo tất phân tử có hình cầu Do tính đối xứng lập phương mạng nên X x2 i i ri5 = X y2 i i ri5 = X z2 i i ri5 ; X xi yi i ri5 = X zi yi i ri5 = X xi zi i ri5 =0 Chiếu (7.10) lên trục Ox tất pi = p nên E1x
X 3(px xi + py yi + pz zi )xi − px x2i + yi2 + zi2 = =0 4πε0 i ri5 GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 87 Tương tự ta có E1y = E1z = Do ~1 = E (7.11) ~∗ = E ~ + p~ E 3ε0 (7.12) Từ kết ta có (7.12) gần trường phân tử không trường lưỡng cực, mạng điện mơi khơng đối xứng lập phương mômen lưỡng cực phân tử khơng phải hồn tồn giả thiết ~ (7.2) E ~ ∗ theo (7.12) ta có Thay E  ~  ~ ∗ = N α0 ε0 E ~+ P P~ = N α0 ε0 E 3ε0 N α ~ P~ = ε0 E − N3α0 (7.13) ~ = ε0 (ε0 − 1) E ~ ta có Mặt khác ta có P~ = αε0 E 3N α0 − N α0 3N α0 ε =1+ − N α0 α= (7.14) (7.15) (7.15) công thức Lorent – Lorentz Đối với mơi trường có mật độ vật chất nhỏ ε0 ≈ 1, ε0 − = N α0 hay ε = ε0 (1 + N α0 ) (7.16) (7.15) phù hợp tốt với thực nghiệm Tuy nhiên khơng áp dụng cho điện mơi rắn vật rắn tương tác phân tử lớn, chưa tính đến (7.15) 7.1.2 Sự phân cực điện mơi có phân tử có cực Phân tử gọi có cực mơmen lưỡng cực khác khơng khơng có điện trường Trong tự nhiên tồn nhiều phân tử có mơmen lưỡng cực p khơng đổi1 ~ Mômen lưỡng cực p~ đặt điện trường E ~ U = −~ pE Trạng thái bền vững phân tử trạng thái có lượng cực tiểu nên mômen lưỡng cực phân tử quay trùng với phương điện trường Tuy nhiên chuyển động nhiệt phân tử làm phã vỡ định hưỡng mômen lưỡng cực Do cuối có trạng thái cân động Thơng thường phân tử có mơmen lưỡng cực khoảng từ 10−28 đến 10−29 C.m 88 ĐOÀN THẾ NGƠ VINH Chọn trục Oz theo phương điện trường ngồi, ta có U = −pE cos θ = −pz E (7.17) Như công thức Boltzmann đặc trưng cho phân bố hạt theo lượng trở thành công thức đặc trưng cho phân bố mômen lưỡng cực theo góc Nếu gọi dN số phân tử có mơmen lưỡng cực nằm góc khối dΩ  W   pE cos θ  dN = N0 exp − dΩ = N0 exp sin θdϕdθ kB T kB T (7.18) kB số Boltzmann2 Do giá trị trung bình pz   Rπ R θ cos θ sin θdθ p exp pEkBcos pz dN T   hpz i = R = R π dN exp pE cos θ sin θdθ kB T Đặt a = pE kB T ta có π π J= exp (a cos θ) sin θdθ = exp (a cos θ) ... phương trình điện động lực học vi mơ mơi trường • Các phương trình điện động lực học vi mơ cho chân không lẫn môi trường vật chất GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 6 .2 6 .2. 1 75 Mối quan hệ điện động lực. .. 4πR (5 .24 ) GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 5 .2. 5 63 Tính chất điện từ trường dao động tử tuyến tính ~ R, ~ t) Theo (5 .23 ) (5 .24 ) điểm quan sát P điện trường E( ~ ~ từ trường H(R, t) dao
động tử... (phương trình d’ Alembert) Trường điện từ tự tồn dạng sóng điện từ, khơng có trường điện từ tự tĩnh GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 5.3 .2 65 Sóng điện từ phẳng Xét trường hợp đơn giản trường điện