giao trinh dien dong luc hoc doan the ngo vinh 101 trang 9934

ĐỒN THẾ NGƠ VINH Giáo trình ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC Vinh, 2010 Mục lục Giới thiệu 1 Các phương trình trường điện từ 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Trường điện từ 1.1.2 Các đại lượng điện từ 1.1.3 Điện tích 1.1.4 Dòng điện 1.2 Định luật Coulomb 1.2.1 Định luật Coulomb 1.2.2 Dạng vi phân định luật tĩnh điện Gauss 1.3 Định luật dịng tồn phần 1.3.1 Định luật bảo tồn điện tích 1.3.2 Dòng điện dịch 1.3.3 Dạng vi phân định luật dịng tồn phần 1.4 Ngun lý tính liên tục từ thơng 1.5 Định luật cảm ứng điện từ Faraday 1.6 Định luật Ohm định luật Joule – Lentz 1.6.1 Dạng vi phân định luật Ohm 1.6.2 Dạng vi phân định luật Joule – Lentz 1.7 Hệ phương trình Maxwell 1.7.1 Hệ phương trình Maxwell dạng vi phân 1.7.2 Hệ phương trình Maxwell dạng tích phân 1.7.3 Ý nghĩa điều kiện áp dụng 1.8 Năng lượng trường điện từ 1.9 Xung lượng trường điện từ 1.10 Các điều kiện biên 1.10.1 Điều kiện biên véctơ B 1.10.2 Điều kiện biên véctơ D 1.10.3 Điều kiện biên véctơ E 1.10.4 Điều kiện biên véctơ H Trường điện từ tĩnh 2.1 Các phương trình trường điện từ tĩnh 2.1.1 Định nghĩa trường điện từ tĩnh 2.1.2 Các phương trình trường điện từ tĩnh 2.2 Thế vô hướng 2.2.1 Trường điện tĩnh môi trường đồng chất Thế vô hướng i 2 2 3 4 5 8 9 10 10 10 10 11 12 14 14 15 15 16 17 17 17 17 18 18 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.2.2 Phương trình vi phân vô hướng Điện hệ điện tích 2.3.1 Điện điện tích điểm 2.3.2 Điện hệ n điện tích điểm 2.3.3 Điện hệ điện tích phân bố liên tục 2.3.4 Điện lưỡng cực điện Vật dẫn trường điện tĩnh 2.4.1 Vật dẫn trường điện tĩnh 2.4.2 Điện dung vật dẫn cô lập 2.4.3 Hệ số điện dung hệ số cảm ứng hệ vật dẫn Điện môi đặt trường điện tĩnh 2.5.1 Sự phân cực điện môi 2.5.2 Thế vô hướng điểm điện môi 2.5.3 Mối liên hệ độ cảm điện môi hệ số điện môi Năng lượng trường điện tĩnh 2.6.1 Biểu diễn lượng trường điện tĩnh qua vô hướng 2.6.2 Năng lượng hệ điện tích điểm 2.6.3 Năng lượng hệ vật dẫn tích điện 2.6.4 Năng lượng hệ điện tích đặt điện trường Lực tác dụng trường điện tĩnh Trường điện từ dừng 3.1 Các phương trình trường điện từ 3.1.1 Trường điện từ dừng 3.1.2 Các phương trình trường điện từ dừng 3.2 Các định luật dịng điện khơng đổi 3.2.1 Định luật Ohm 3.2.2 Định luật Joule – Lentz 3.2.3 Định luật Kirchhoff thứ 3.2.4 Định luật Kirchhoff thứ hai 3.3 Thế vectơ Định luật Biot – Savart 3.3.1 Thế vectơ 3.3.2 Phương trình vi phân vectơ 3.3.3 Định luật Biot – Savart 3.4 Từ trường dòng nguyên tố 3.5 Từ môi từ trường không đổi 3.5.1 Sự từ hóa từ mơi 3.5.2 Thế véctơ từ trường có từ mơi 3.5.3 Mối liên hệ độ cảm từ độ từ thẩm 3.6 Năng lượng từ trường dừng 3.6.1 Biểu diễn lượng từ trường dừng qua véctơ 3.6.2 Năng lượng hệ dòng dừng Hệ số tự cảm hệ số hỗ cảm 3.7 Lực tác dụng từ trường dừng 3.7.1 Lực từ trường 3.7.2 Lực từ tác dụng lên dòng nguyên tố 3.7.3 Năng lượng dịng ngun tố đặt từ trường ngồi 3.7.4 Mơmen lực tác dụng lên dịng ngun tố ii 18 20 20 20 20 21 21 21 22 22 24 24 24 25 26 26 26 27 27 28 29 29 29 29 30 30 31 31 32 32 32 33 33 35 36 36 37 39 39 39 40 42 42 42 44 44 Trường điện từ chuẩn dừng 4.1 Các phương trình trường chuẩn dừng 4.1.1 Các điều kiện chuẩn dừng 4.1.2 Các phương trình trường chuẩn dừng 4.1.3 Thế véctơ vô hướng trường điện từ chuẩn 4.1.4 Các phương trình vi phân 4.2 Các mạch chuẩn dừng 4.2.1 Hệ dây dẫn có cảm ứng điện từ 4.2.2 Mạch điện có điện dung tự cảm 4.2.3 Các ví dụ 4.3 Hiệu ứng mặt 4.4 Năng lượng mạch chuẩn dừng dừng 45 45 45 46 47 47 47 47 48 50 52 54 Sóng điện từ 56 5.1 Các phương trình trường điện từ biến thiên nhanh 56 5.1.1 Các phương trình trường biến thiên nhanh 56 5.1.2 Thế vô hướng vectơ trường điện từ biến thiên nhanh 57 5.1.3 Phương trình vi phân vơ hướng vectơ 57 5.1.4 Nghiệm phương trình Thế trễ 58 5.2 Sự xạ lưỡng cực 59 5.2.1 Định nghĩa lưỡng cực xạ 59 5.2.2 Thế vô hướng lưỡng cực xạ 60 5.2.3 Thế véctơ lưỡng cực xạ 60 5.2.4 Điện từ trường dao động tử tuyến tính 61 5.2.5 Tính chất điện từ trường dao động tử tuyến tính 63 5.2.6 Lưỡng cực xạ tuần hoàn 63 5.3 Trường điện từ tự 64 5.3.1 Các phương trình trường điện từ tự 64 5.3.2 Sóng điện từ phẳng 65 5.4 Sóng điện từ phẳng đơn sắc 65 5.5 Sóng điện từ chất dẫn điện 67 5.6 Sự phản xạ khúc xạ sóng điện từ 68 5.6.1 Điều kiện biên véctơ sóng 68 5.6.2 Các định luật phản xạ khúc xạ sóng điện từ 69 5.6.3 Hệ số phản xạ khúc xạ 70 Tương tác điện tích điện từ trường 73 6.1 Các phương trình thuyết electron 73 6.1.1 Đặc điểm điện động lực học vĩ mô vi mô 73 6.1.2 Các phương trình thuyết electron 73 6.2 Mối quan hệ điện động lực học vĩ mô vi mô 75 6.2.1 Giá trị trung bình hàm số 75 6.2.2 Phép lấy trung bình điện từ trường 75 6.2.3 Phép lấy trung bình mật độ dòng điện 76 6.2.4 Phép lấy trung bình mật độ điện tích 76 6.2.5 Mối quan hệ phương trình Maxwell phương trình Maxwell – Lorentz 77 6.3 Chuyển động điện tích tự trường điện từ 78 iii 6.3.1 6.4 Phương trình chuyển động điện tích trường điện từ 6.3.2 Chuyển động điện tích trường tĩnh điện 6.3.3 Chuyển động điện tích từ trường dừng Chuyển động electron nguyên tử đặt vào từ trường 6.4.1 Ảnh hưởng từ trường lên dao động xạ nguyên tử 6.4.2 Chuyển động tiến động electron Điện môi từ môi 7.1 Sự phân cực điện môi điện trường 7.1.1 Sự phân cực điện mơi có phân tử không cực 7.1.2 Sự phân cực điện mơi có phân tử có cực 7.1.3 Nhận xét 7.2 Thuyết cổ điển tán sắc 7.2.1 Hiện tượng tán sắc 7.2.2 Hiện tượng tán sắc thường tán sắc dị thường 7.3 Nghịch từ thuận từ 7.3.1 Nghịch từ 7.3.2 Thuận từ 7.4 Thuyết cổ điển sắt từ iv 78 78 79 81 81 82 85 85 85 87 89 89 89 90 92 92 93 94 Giới thiệu Điện động lực học thuyết trường điện từ liên hệ với điện tích dòng điện Điện động lực học cổ điển xét theo hai quan điểm vĩ mô vi mô Điện động lực học vĩ mô nghiên cứu tượng điện từ khơng quan tâm tới tính gián đoạn điện tích cấu trúc phân tử, nguyên tử môi trường vật chất Các vật thể coi mơi trường liên tục, điện tích coi phân bố liên tục không gian Điện động lực học vĩ mô dựa hệ phương trình Maxwell, xem tiên đề tổng quát, từ suy luận logic phương pháp chứng minh toán học chặt chẽ để rút kết luận khác tượng điện từ Điện động lực học vi mô nghiên cứu tượng điện từ có xét đến cấu trúc phân tử, ngun tử mơi trường vật chất tính gián đoạn điện tích Ở dựa hệ phương trình Maxwell – Lorentz để khảo sát Phương pháp cho phép giải thích cấu hiểu chất nhiều tượng điện từ mà điện động lực học vĩ mơ mơ tả mặt hình thức Điện động lực học vi mơ có quan hệ với điện động lực học vĩ mơ qua việc lấy trung bình đại lượng điện từ vi mô để nhận đại lượng điện từ vĩ mơ tương ứng Trong giáo trình phần điện động lực học vĩ mơ trình bày năm chương đầu Chương Các phương trình trường điện từ Chương Trường điện từ tĩnh Chương Trường điện từ dừng Chương Trường điện từ chuẩn dừng Chương Sóng điện từ phần điện động lực học vi mơ trình bày hai chương cuối Chương Tương tác điện tích điện trường Chương Điện môi từ môi Để học học phần người học phải trang bị kiến thức sở toán cao cấp đặc biệt giải tích véctơ, điện đại cương, học đại cương, học lý thuyết Mặc dù có nhiều cố gắng giáo trình không tránh khỏi hạn chế Tác giả chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp từ độc giả để giáo trình ngày hồn thiện Mọi ý kiến xin gủi Đồn Thế Ngơ Vinh, Khoa Vật lý, Đại học Vinh, email: doanvinhdhv@gmail.com TP Vinh, tháng năm 2010 Đồn Thế Ngơ Vinh Chương Các phương trình trường điện từ 1.1 1.1.1 Các khái niệm Trường điện từ Trường điện từ khoảng không gian vật lý có tồn lực điện lực từ Tại điểm trường điện từ đặc trưng bốn véctơ: véctơ cường độ điện trường E, véctơ cảm ứng điện (còn gọi véctơ điện dịch) D, véctơ cường độ từ trường H, véctơ cảm ứng từ B Bốn véctơ hàm tọa độ thời gian, chúng không biến thiên cách mà tuân theo quy luật định, quy luật mơ tả dạng phương trình Maxwell mà ta nghiên cứu chương 1.1.2 Các đại lượng điện từ Các đại lượng véctơ E, D, H B nói chung hàm tọa độ thời gian, chúng xác định q trình điện từ chân khơng môi trường vật chất Đối với môi trường đẳng hướng ta có: D = εE (1.1) B = µH (1.2) Trong ε µ tương ứng hệ số điện thẩm hệ số từ thẩm mơi trường, hệ số nói chung hàm tọa độ, thời gian cường độ trường điện từ Tuy nhiên để đơn giản xét trường hợp ε µ số Trong hệ đơn vị SI đại lượng có đơn vị thứ nguyên sau: E D H B ε µ Vm−1 Cm−2 Am−1 T Fm−1 Hm−1 [m.kg.s−3 A−1 ] [m−2 s.A] [m−1 A] [kg.s−2 A−1 ] [m−3 kg−1 s4 A2 ] [m.kg.s2 A−2 ] GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC Trong chân không ε0 = 4π 9.10−9 Fm−1 ; µ0 = 4π.10−7 Hm−1 Thực nghiệm chứng tỏ ε0 µ0 = c12 , c vận tốc ánh sáng chân khơng1 Ngồi người ta cịn định nghĩa: ε µ ε = ; µ = ε0 µ0 hệ số điện mơi tỷ đối hệ số từ thẩm tỷ đối mơi trường Chúng đại lượng khơng có thứ nguyên 1.1.3 Điện tích Trong điện động lực học vĩ mơ điện tích coi phân bố liên tục khơng gian Nếu điện tích phân bố liên tục thể tích V đó, ta định nghĩa mật độ điện tích khối điểm là: ρ = lim ∆V →0 ∆q ∆V (1.3) Trong ∆V thể tích nhỏ bao quanh điểm quan sát, ∆q lượng điện tích chứa thể tích Đơn vị mật độ điện tích khối Cm−3 Nếu điện tích phân bố liên tục mặt S ta định nghĩa mật độ điện tích mặt điểm là: ∆q ∆S→0 ∆S σ = lim (1.4) ∆S diện tích nhỏ bao quanh điểm quan sát, ∆q điện tích có ∆S Đơn vị mật độ điện tích mặt Cm−2 Đối với điện tích điểm điện tích tập trung điểm, mật độ điện tích dần tới vơ nơi có điện tích điểm Khi ta biểu diễn mật độ điện tích dạng hàm Delta2 ρ= qi δ (r − ri ) (1.5) ri bán kính véctơ điện tích cịn r bán kính véctơ điểm quan sát Do định nghĩa trên, giá trị điện tích ngun tố viết: 1.1.4 dq = ρ dV (1.6) dq = σ dS (1.7) Dịng điện Trong điện động lực học vĩ mơ dòng điện xem phân bố liên tục khơng gian dịng chuyển dời có hướng điện tích Nếu dịng điện phân bố liên tục thể tích đó, ta định nghĩa mật độ dòng điện khối j điểm hệ thức: j = lim ∆S→0 ∆I ∆S tốc ánh sáng chân không xấp xỉ 3.108 ms−1 ∞ (r = ri ) Hàm Delta δ (r − r ) = i (r = ri ) vận (1.8) ĐỒN THẾ NGƠ VINH ∆I cường độ dòng điện chạy qua mặt nhỏ ∆S chứa điểm quan sát vng góc với phương dòng điện điểm quan sát Phương chiều véctơ j trùng với phương chiều dòng điện điểm quan sát Đơn vị mật độ dòng điện Am−2 Nếu dòng điện phân bố liên tục mặt Ta định nghĩa mật độ dòng điện mặt i điểm hệ thức: |i| = lim ∆l→0 ∆I ∆l (1.9) ∆I cường độ dịng điện mặt chạy qua đoạn ∆l chứa điểm quan sát vng góc với dịng điện điểm quan sát Phương, chiều véctơ i trùng với phương chiều dòng điện điểm quan sát Do định nghĩa trên, giá trị dòng điện nguyên tố là: dI = j dS = jn dS = jdS cos α (1.10) dI = i dl = in dl = idl cos α (1.11) α góc hợp véctơ j (hoặc véctơ i ) với pháp tuyến n dS (hoặc dl ) 1.2 Định luật Coulomb 1.2.1 Định luật Coulomb Lực tác dụng hai điện tích điểm q q đặt mơi trường đồng có hệ số điện thẩm ε cho F = qq 4πε r2 (1.12) r khoảng cách hai điện tích Trên sở lý thuyết trường tương tác hai điện tích điểm q q giải thích: (a) điện tích điểm q tạo quanh điện trường có cường độ điện trường E= q r 4πε r2 r (1.13) r bán kính véctơ tính từ điện tích q đến điểm tính trường (b) điện tích điểm q đặt điện trường chịu tác dụng lực F =qE (1.14) Có thể coi (1.14) cách biểu diễn khác định luật Coulomb, phù hợp với nguyên lý tác dụng gần, cho trường hợp không phụ thuộc vào nguyên nhân gây điện trường E Còn (1.12) phù hợp với nguyên lý tác dụng xa, biểu diễn tương tác tức thời hai điện tích trường hợp điện tích chuyển động chậm khoảng cách chúng không lớn Theo (1.13) cường độ điện trường phụ thuộc vào phân bố điện tích khơng gian hệ số điện thẩm mơi trường Để thuận tiện tính tốn người GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC ta đưa vào véctơ cảm ứng điện hay véctơ điện dịch theo (1.1) Đối với điện tích điểm q ta có q r D= (1.15) 4π r2 r Véctơ cảm ứng điện phụ thuộc vào phân bố điện tích khơng gian mà khơng phụ thuộc tính chất mơi trường 1.2.2 Dạng vi phân định luật tĩnh điện Gauss Giả sử mặt kín S có lượng điện tích q Theo định luật tĩnh điện Gauss ta có N= D dS = q (1.16) S N thông lượng véctơ cảm ứng điện D gửi qua mặt kín S Ta có q = dq = V ρ dV nên (1.16) trở thành D dS = S ρ dV V Mặt khác S D dS = V divD dV nên V divD dV = tích V bao bọc chọn nên divD = ρ V ρ dV Do mặt S thể (1.17) dạng vi phân định luật tĩnh điện Gauss Từ (1.17) thể tích V mà ρ = thơng lượng véctơ cảm ứng điện gửi qua mặt kín S bao thể tích V không, nghĩa đường sức véctơ D không bắt đầu không kết thúc V Tại điểm có ρ = đường sức véctơ D bắt đầu (ρ > 0) kết thúc (ρ < 0) Như mật độ điện tích ρ nguồn véctơ D 1.3 1.3.1 Định luật dịng tồn phần Định luật bảo tồn điện tích Xét thể tích V khơng đổi giới hạn mặt kín S khơng đổi, chứa điện tích q = V ρ dV Giả sử điện tích V thay đổi theo thời gian, đơn vị thời gian biến đổi lượng dq d = dt dt ρ dV = V V ∂ρ dV ∂t Điện tích bảo tồn nên phải có dịng điện tích (dịng điện) chảy qua mặt kín S Dịng điện chảy vào điện tích V tăng, chảy điện tích V giảm Xét nguyên tố mặt dS mặt kín S Trong đơn vị thời gian điện lượng chảy qua dS (chính cường độ dịng điện chảy qua dS) dI = ρv dS = j dS Với v vận tốc điện tích dS Do j = ρv (1.18) ĐỒN THẾ NGƠ VINH Điện lượng chảy qua mặt kín S đơn vị thời gian I= dI = ρv dS = j dS S S Do chiều dương mặt S hướng từ nên cường độ dịng điện dương chảy từ ngồi âm chảy từ vào Định luật bảo tồn điện tích viết dạng dq = −I dt V Mặt khác S j dS = V nên ta có V ∂ρ dV = − ∂t divj dV j dS S ∂ρ V ∂t dV = − ∂ρ = −divj ∂t ∂ρ =0 divj + ∂t V divj dV Do thể tích (1.19) Tại điểm điện tích biến đổi theo thời gian phải có dịng điện chảy tới điểm từ điểm chảy (1.19) dạng vi phân định luật bảo tồn điện tích, cịn gọi phương trình liên tục 1.3.2 Dịng điện dịch Đối với dịng điện khơng đổi mật độ điện tích điểm không phụ thuộc vào thời gian (1.19) trở thành divj = 0, nghĩa đường sức véctơ j khép kín, khơng có điểm đầu khơng có điểm kết thúc Đối với dịng điện biến đổi divj = ∂ρ ∂t = Đường sức véctơ j khơng khép kín mà xuất phát kết thúc nơi có mật độ điện tích biến đổi theo thời gian Xét mạch điện có tụ điện, dịng điện khơng đổi đường sức khép kín nên dịng điện khơng đổi khơng thể chạy mạch Còn dòng điện biến đổi chảy qua mạch này, đường sức bắt đầu kết thúc hai tụ điện, nơi có điện tích thay đổi theo thời gian Do véctơ j liên quan tới chuyển động điện tích nên gọi mật độ dịng điện dẫn Giữa hai tụ khơng có điện tích chuyển động nên khơng có dịng điện dẫn, dịng điện chạy mạch Do cần giả thiết tồn q trình hai tụ tương đương với có mặt dịng điện dẫn Người ta nói hai tụ tồn dịng điện dịch Nó có nhiệm vụ khép kín dịng điện dẫn mạch Ta tìm biểu thức dịng điện dịch Đạo hàm (1.17) theo thời gian div ∂∂tD = ∂ρ ∂t = −divj hay div Từ (1.20) ta có Do ∂D ∂t ∂D ∂t ∂D +j =0 ∂t (1.20) có thứ nguyên j (thứ nguyên mật độ dòng điện) gọi véctơ mật độ dòng điện dịch khép kín gọi véctơ mật độ dịng tồn phần ∂D ∂t + j véctơ có đường sức GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC Như trường dịng điện tồn khơng có nguồn, nghĩa đường sức dịng tồn phần phải đường khép kín vơ cực Do đó, nơi đường sức dòng điện dẫn gián đoạn đường sức dịng điện dịch nối tiếp với chúng Mặc dù dòng điện dẫn dòng điện dịch có tên gọi “dịng điện” nhau, chúng khái niệm vật lý khác Đặc trưng tổng quát chúng chỗ chúng gây từ trường Dòng điện dịch dịng điện dẫn có chất vật lý hồn tồn khác Dịng điện dẫn tương ứng với chuyển động điện tích, cịn dịng điện dịch tương ứng với biến thiên cường độ điện trường không liên quan đến chuyển động điện tích hay hạt vật chất khác 1.3.3 Dạng vi phân định luật dòng tồn phần Đối với dịng điện khơng đổi định luật dịng tồn phần3 phát biểu “Lưu thơng cường độ từ trường quanh đường cong kín L tổng đại số dịng điện xun qua đường cong kín ” Dạng toán học H dl = I (1.21) L I tổng đại số dòng điện xuyên qua đường cong kín, chiều dương đường cong hợp với chiều dương dòng điện theo quy tắc vặn nút chai (Hình 1.1) Ta có I= j dS S H dl = L Hình 1.1: rotH dS S (1.21) viết lại rotH dS = j dS S S Do mặt S nên rotH = j (1.22) (1.22) dạng vi phân định luật dịng tồn phần dịng điện khơng đổi Đối với dịng biến đổi ngồi dịng điện dẫn cịn có dịng điện dịch Dòng điện dịch gây xung quanh từ trường xốy dịng diện dẫn Vì (1.22) cần tổng qt hố dạng rotH = j + ∂D ∂t (1.23) (1.23) dạng vi phân định luật dịng tồn phần, có ý nghĩa vật lý: giống dòng điện dịch biến thiên điện trường theo thời gian sinh từ trường xốy Định lý Ampere ĐỒN THẾ NGƠ VINH 1.4 Ngun lý tính liên tục từ thông Đường sức từ trường liên tục nghĩa khơng có điểm xuất phát điểm kết thúc Xét mặt kín S số đường sức vào mặt S phải số đường sức khỏi mặt S Nghĩa tổng đại số đường sức xuyên qua mặt kín S Hay φ= B dS = (1.24) S (1.24) biểu diễn ngun lý tính liên tục từ thơng Ta có S B dS = V divB dV = nên divB = (1.25) (1.25) dạng vi phân nguyên lý tính liên tục từ thông So sánh (1.25) với (1.17) dễ dàng thấy khác điện trường từ trường Đường sức véctơ D khơng liên tục, nguồn điện tích tự Cịn đường sức véctơ B liên tục 1.5 Định luật cảm ứng điện từ Faraday Xét diện tích S giới hạn đường cong kín L Nếu từ thơng qua S biến thiên theo thời gian L xuất suất điện động cảm ứng E =− dφ dt (1.26) E suất điện động cảm ứng xuất đường cong kín L Chiều dương L chiều dương mặt S chọn theo quy tắc vặn nút chai Dấu trừ chiều suất điện động cảm ứng φ thông lượng véctơ cảm ứng từ B qua mặt S, tính theo (1.24) Mặt khác suất điện động cảm ứng công lực điện F dịch chuyển điện tích dương đơn vị dọc theo L vòng F = q E = (+1)E nên E= F dl = L E dl L Do (1.26) trở thành E dl = − L d dt B dS (1.27) S Áp dụng định lý Stokes ta có rotE dS = − S S ∂B dS ∂t Do S nên ∂B (1.28) ∂t Nếu từ trường biến thiên theo thời gian gây điện trường xoáy (1.28) dạng vi phân định luật cảm ứng điện từ Faraday rotE = − GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 1.6 1.6.1 Định luật Ohm định luật Joule – Lentz Dạng vi phân định luật Ohm Định luật Ohm đoạn dây dẫn có dạng ∆ϕ = IR (1.29) ∆ϕ hiệu điện hai đầu dây, R điện trở dây I cường độ dòng điện chảy qua dây Gọi λ l điện dẫn suất ta có R = λS , l S chiều dài Hình 1.2: tiết diện dây Xét điểm P lòng vật dẫn có cường độ điện trường E Lấy hình trụ vô nhỏ bao quanh P cho đường sinh song song với E, chiều dài tiết diện hình trụ ∆l ∆S (Hình 1.2) Hình trụ vơ nhỏ nên coi E, I, λ không đổi Áp dụng định luật Ohm cho đoạn dây hình trụ ∆ϕ = IR = I ∆l λ∆S Mặt khác I = j∆S; ∆ϕ = E∆l, nên ta có j = λE hay j = λE (1.30) (1.30) dạng vi phân định luật Ohm 1.6.2 Dạng vi phân định luật Joule – Lentz Định luật Joule – Lentz đoạn dây dẫn có dạng ∆Q = I R∆t (1.31) ∆Q nhiệt lượng toả dây thời gian ∆t Xét điểm P lịng vật dẫn có véctơ mật độ dịng điện j Xét hình trụ vô bé bao quanh điểm P tương tự mục trước coi j, λ khơng đổi Ta có ∆V ∆t ∆l ∆Q = (j∆S) ∆t = j λ ∆S λ ∆Q Với ∆V thể tích hình trụ nhỏ, gọi q = ∆V.∆t = đơn vị thể tích đơn vị thời gian q = jE (1.32) dạng vi phân định luật Joule – Lentz j2 λ nhiệt lượng toả (1.32) 10 ĐOÀN THẾ NGƠ VINH 1.7 1.7.1 Hệ phương trình Maxwell Hệ phương trình Maxwell dạng vi phân divD ∂B ∂t ∂D = j+ ∂t = ρ divB = rotE rotH 1.7.2 = − (1.33) (1.34) (1.35) (1.36) Hệ phương trình Maxwell dạng tích phân E dl = − L d dt H dl = I + L B dS (1.37) S d dt D dS (1.38) S D dS = q (1.39) B dS = (1.40) S S Các phương trình Maxwell với phương trình liên hệ D = εE B = µH tạo thành hệ đủ phương trình Maxwell 1.7.3 Ý nghĩa điều kiện áp dụng Các phương trình (1.33) (1.37) diễn tả định luật cảm ứng điện từ Faraday, phương trình (1.34) (1.38) diễn tả định luật dịng tồn phần Các phương trình trình cịn diễn tả mối quan hệ điện trường từ trường: điện trường biến thiên theo thời gian sinh từ trường xoáy ngược lại từ trường biến thiên theo thời gian sinh điện trường xốy Các phương trình (1.35) (1.39) diễn tả định luật tĩnh điện Gauss, chúng cho biết đường sức véctơ cảm ứng điện xuất phát kết thúc điện tích Các phương trình (1.36) (1.40) có nghĩa đường sức véctơ cảm ứng từ khơng có điểm xuất phát kết thúc, chúng khép kín xa vơ tận Hệ đủ phương trình Maxwell cho phép xác định trạng thái trường điện từ cách đơn giá Điều kiện áp dụng • Các vật thể đứng yên chuyển động chậm điện từ trường • ε; µ không phụ thuộc thời gian véctơ đặc trưng cho từ trường • Trong điện từ trường khơng có nam châm vĩnh cửu sắt từ GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 1.8 11 Năng lượng trường điện từ Thực nghiệm cho biết muốn tạo trường điện từ cần tiêu tốn lượng định Ngược lại trường điện từ có khả cung cấp lượng (ví dụ nhiệt ) Ta khảo sát mặt lý thuyết điện từ trường có lượng không lượng trường điện từ bảo toàn Nếu trường điện từ có lượng lượng phân bố liên tục không gian với mật độ lượng w Nói chung w hàm toạ độ thời gian Năng lượng trường điện từ thể tích V W = w dV V Giả sử lượng trường điện từ bảo tồn phải tn theo định luật có dạng tốn học phương trình liên tục Đặt P véctơ mật độ dịng lượng ta phải viết phương trình định luật bảo tồn lượng dạng ∂w + divP = (1.41) ∂t Xuất phát từ hệ phưng trình Maxwell ta tìm lại (1.41) Ta có ∂B ∂B ⇔ HrotE + H =0 ∂t ∂t ∂D ∂D rotH = j + ⇔ −ErotH + E + j.E = ∂t ∂t rotE = − Cộng vế hai phương trình ta có HrotE − ErotH + H ∂B ∂D +E + j.E = ∂t ∂t Mặt khác HrotE − ErotH = div[E × H ]; ∂D ∂E ∂(εE ) ∂ = εE = = (E D ); ∂t ∂t ∂t ∂t ∂B ∂(µH) ∂(µH ) ∂ H =H = = (B H ) ∂t ∂t ∂t ∂t E Do ∂ ED + BH ∂t + div[E × H ] + j E = Ba số hạng vế trái (1.42) phải có thứ nguyên Thứ nguyên số hạng thứ ba mật độ lượng lượng = (thể tích).(thời gian) thời gian Vì hai số hạng đầu phải có thứ nguyên vậy, đó: (1.42) 12 ĐỒN THẾ NGƠ VINH Số hạng 12 (E D + H B ) phải có thứ nguyên mật độ lượng Ta gọi ED + H B w= (1.43) mật độ lượng trường điện từ Số hạng [E × H ] phải có thứ ngun (mật độ lượng).(độ dài) = (mật độ lượng).(vận tốc) thời gian người ta gọi véctơ mật độ dịng lượng, cịn gọi véctơ Umơp Poynting P = [E × H ] (1.44) Phương trình (1.42) trở thành ∂w + divP + j E = ∂t (1.45) Lấy tích phân theo thể tích V d dt w dV + V divP dV + V dW + dt j E dV = V P dS + Q = (1.46) S Nếu lượng điện từ trường V biến thiên theo thời gian phải có dịng lượng chảy qua mặt kín S bao thể tích V phải có nhiệt lượng Joule – Lentz toả V Nếu có điện từ trường, khơng có dịng điện (j = 0) ∂w + divP = ∂t (1.47) Tại điểm bất kì, mật độ lượng điện từ trường thay đổi theo thời gian phải có dịng lượng từ nơi khác chảy đến từ điểm chảy Như lượng trường điện từ bảo tồn, chuyển từ nơi đến nơi khác chuyển hóa thành nhiệt lượng Joule – Lentz 1.9 Xung lượng trường điện từ Xét vật tích V mang điện tích tương tác với trường điện từ, ngồi khơng có tương tác khác Lực Lorentz tác dụng lên nguyên tố thể tích dV mang điện tích ρ dV chuyển động với vận tốc v điện từ trường dF = ρE dV + [(ρv dV ) × B ] Định nghiã mật độ lực Lorentz f= dF = ρE + [ρv × B ] dV (1.48) GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC Để ý ρv = j = rotH − ∂D ∂t ; 13 ρ = divD nên rotH − f = E divD + ∂D ×B ∂t Mặt khác divB = 0; rotE = − ∂∂tB ∂ ∂D ∂B = [D × B ] = ×B + D× ∂t ∂t ∂t ∂D − × B = [rotE × D ] − ∂t ∂D × B + [rotE × D ] ∂t ∂ [D × B ] ∂t f = E divD + H divB + [rotE × D ] + [rotH × B ] − ∂ [D × B ] ∂t (1.49) Chiếu (1.49) lên trục Ox fx = Ex divD + Hx divB + [rotE × D ]x + [rotH × B ]x − ∂ [D × B ]x (1.50) ∂t Dễ thấy số hạng đầu vế phải (1.50) dive véctơ X X Ex Dx + Hx Bx − (E.D + H.B); Ey Dy + Hx By ; Ex Dz + Hx Bz (1.50) viết lại fx = divX − ∂ [D × B ]x ∂t Trong chân khơng [D ì B ] = à0 [E ì H ] = thể tích V theo phương Ox Fx = divX dV − fx dV = V V c2 [E d dt V (1.51) × H ] nên lực tác dụng lên [E × H ]x dV c2 Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss fx dV + V d dt V [E × H ]x dV = c2 X dS (1.52) S Chọn S mặt bao tồn điện từ trường điện tích Trên mặt S E = D = B = H = 0, (1.52) trở thành fx dV + V d dt V [E × H ]x dV = c2 (1.53) Tương tự chiếu (1.49) lên trục Oy Oz d dt d fz dV + dt fy dV + V V V V [E × H ]y dV = c2 [E × H ]z dV = c2 Y dS (1.54) Z dS (1.55) S S 14 ĐỒN THẾ NGƠ VINH Với vectơ Y Z cho Y Ey Dx + Hy Bx ; Ey Dy + Hy By − (E D + H B); Ey Dz + Hy Bz Z Ez Dx + Hz Bx ; Ez Dy + Hz By ; Ez Dz + Hz Bz − (E D + H B) Chọn S mặt bao tồn điện từ trường điện tích d dt d fz dV + dt fy dV + V V V V [E × H ]y dV = c2 [E × H ]z dV = c2 (1.56) (1.57) (1.53), (1.56) (1.57) viết gộp lại dạng phương trình véctơ f dV + V d dt V [E × H ] dV = c2 (1.58) Gọi Gh xung lượng toàn phần hạt điện tích V d Gh = F = dt f dV V (1.58) trở thành d Gh + dt V [E × H ] dV c2 =0 hay Gh + V −−−→ [E × H ] dV = const c2 (1.59) c2 (1.60) Đặt Gt = [E × H ] dV V phải có thứ nguyên xung lượng, người ta gọi xung lượng trường điện từ thể tích V (1.59) viết lại −−−→ Gh + Gt = const (1.61) Đối với hệ cô lập có điện từ trường tương tác với điện tích xung lượng tổng cộng hạt tích điện xung lượng trường điện từ đại lượng khơng đổi 1.10 Các điều kiện biên Các phương trình Maxwell áp dụng môi trường vật chất liên tục, đại lượng ε, µ số hàm toạ độ biến thiên liên tục từ điẻm sang điểm khác Trong trường hợp môi trường không liên tục, mặt giới hạn chúng đại lượng ε, µ biến đổi không liên tục véctơ E, D, B, H biến đổi khơng liên tục Các phương trình xác định biến thiên véctơ mặt giới hạn gọi điều kiện biên 1.10.1 Điều kiện biên véctơ B GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 15 Xét điểm P mặt phân cách hai môi trường 2, quy ước pháp tuyến mặt phân cách hướng từ môi trường sang mơi trường Lấy một hình trụ vơ nhỏ chưa điểm P có trục song song với pháp tuyến P , đáy S1 nằm môi trường đáy S2 nằm môi trường (Hình 1.3) Ta có B dS = S B1 dS + S1 Hình 1.3: B dS = B2 dS + S2 Sxq Do hình trụ vơ nhỏ nên coi véctơ B khơng đổi mặt đáy, giới nội mặt xung quanh B1 dS + S1 B dS = −B1n S1 + B2n S2 + BSxq = B2 dS + S2 Sxq Cho chiều cao hình trụ h → S1 → S0 ; S2 → S0 ; Sxq → B2n S0 − B1n S0 = B2n − B1n = (1.62) n.(B2 − B1 ) = (1.63) Dạng véctơ 1.10.2 Điều kiện biên véctơ D Lập luận tương tự véctơ B, ta có hình trụ S1 S2 D dS = q, với q điện tích D dS = −D1n S1 + D2n S2 + DSxq = q D2 dS + D dS + D dS = S S Sxq Cho chiều cao hình trụ h → D2n S0 −D1n S0 = qm hay D2n −D1n = qSm0 qm Do = σ nên S0 D2n − D1n = σ (1.64) Dạng véctơ n.(D2 − D1 ) = σ (1.65) σ mật độ điện tích mặt mặt phân cách 1.10.3 Điều kiện biên véctơ E Xét điểm P mặt phân cách hai mơi trường 2, pháp tuyến mặt phân cách P n hướng từ môi trường sang môi trường τ véctơ tiếp tuyến P Xét hình chữ nhật Hình 1.4: vơ nhỏ chứa điểm P nằm mặt phẳng tạo n τ Hai cạnh l1 l2 hình chữ nhật song song với mặt phân ... ngày hồn thiện Mọi ý kiến xin gủi Đồn Thế Ngơ Vinh, Khoa Vật lý, Đại học Vinh, email: doanvinhdhv@gmail.com TP Vinh, tháng năm 2010 Đồn Thế Ngơ Vinh Chương Các phương trình trường điện từ 1.1... phần, có ý nghĩa vật lý: giống dòng điện dịch biến thiên điện trường theo thời gian sinh từ trường xốy Định lý Ampere ĐỒN THẾ NGƠ VINH 1.4 Ngun lý tính liên tục từ thơng Đường sức từ trường liên... thơng qua S biến thiên theo thời gian L xuất suất điện động cảm ứng E =− dφ dt (1.26) E suất điện động cảm ứng xuất đường cong kín L Chiều dương L chiều dương mặt S chọn theo quy tắc vặn nút chai