Động lực học giải tích (Động lực học của các hệ cơ và hệ cơ - điện) - Đỗ Sanh (Chủ biên), Đỗ Đăng Khoa.pdf

Động lực học giải tích (Động lực học của các hệ cơ và hệ cơ - điện) - Đỗ Sanh (Chủ biên), Đỗ Đăng Khoa.pdf Động lực học giải tích (Động lực học của các hệ cơ và hệ cơ - điện) - Đỗ Sanh (Chủ biên), Đỗ Đăng Khoa.pdf Động lực học giải tích (Động lực học của các hệ cơ và hệ cơ - điện) - Đỗ Sanh (Chủ biên), Đỗ Đăng Khoa.pdf

LỜI NÓI ĐẦU

Nhiệm vụ đầu tiên của người kỹ sư là xây dựng mô hình của bài toán khảo sát

và biểu diễn toán học mô hình được xây dựng Trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật (như đối với các hệ động lực), việc biểu diễn toán học như vậy yêu cầu thiết lập các phương trình chuyển động Như đã biết có nhiều cách tiếp cận khác nhau trong việc xây dựng phương trình chuyển động Ngày nay các kỹ sư đứng trước nhiều bài toán ngày càng phức tạp do yêu cầu của con người ngày càng đa dạng, tinh tế, đặc biệt các đòi hỏi từ tiện nghi cuộc sống Giờ đây máy móc không chi là công cụ cùa con người mà còn là trợ thủ, người đại diện, thậm chí trong tương lai có triển vọng sẽ trở thành người bạn tâm giao Những đòi hỏi này đặt ra các yêu cầu ngày càng cao đối với việc đào tạo

người kỹ sư: năng lực tư duy công nghệ, phương pháp tiếp cận và bản lĩnh xử lý.

Các kiến thức cơ bản và kỹ thuật cơ sở đóng vai trò cốt lõi trong vấn đề xây dựng năng lực tư duy Hiện nay kinh nghiệm đã được đúc kết qua các cẩm nang “sổ tay

kỹ sư” không đủ để người kỹ sư đáp ứng các đòi hỏi thay đổi chóng mặt của công nghệ, nên không chỉ cần sáng kiến mà còn cần sáng tạo và khả năng hoàn thiện (tối ưu) Trước các bài toán ngày càng phức tạp từ yêu cầu ngày càng cao của tiện nghi cuộc sống, cần phải có kiến thức đa lĩnh vực để có phương pháp tiếp cận tốt, không những chi cần các kiến thức đơn ngành sâu mà còn cần có những kiến thức tích hợp từ nhiều lĩnh vực, nhiều ngành nghề và để có bản lĩnh xử lý có hiệu quả tốt nhất cần các kiến thức từ kỹ năng mềm

Với sự phát triển mạnh mẽ của tin học, đặc biệt qua các phần mềm chuyên dụng giúp rất có hiệu quả cho người kỹ sư xử lý các phương trình chuyển động Việc xây dựng mô hình và thiết lập các phương trình chuyển động ngày càng trở nén bức thiết đối với các cán bộ khoa học trước các bài toán ngày càng phức tạp

Cuốn sách này mong góp phần vào việc xử lý các vấn đề nêu trên khi tiếp cận với các bài toán có thứ nguyên lớn và đòi hỏi độ chính xác cao Có thể thấy rõ điều này đối với các ngành công nghệ, ví dụ, ngành Cơ khí trong thời đại hiện nay: các máy gắn chặt với điều khiển và tự động hóa

Hướng vào mục tiêu đã nêu, cuốn sách trình bày một số nội dung cơ bàn cùa bài toán động lực của các hệ cơ và liên hệ với nó các tác nhân hệ điện tác động lên hệ cơ được gọi vắn tắt, hệ cơ - điện, nhằm giúp người kỹ sư tiếp cận với các vấn đề mang tính tích hợp từ hai lĩnh vực cơ khí và điều khiển tự động

về hệ cơ học, cuốn sách đã xây dựng mô hình toán học của một hệ cơ học không tự do và trình bày ba nguyên lý biến phân (các nguyên lý nền tàng của bài toán xây dựng, các phương trình và điều khiển các hệ cơ học) Bổ sung cho phương pháp truyền thống này, các tác giả đề xuất một phương pháp tổng quát xây dựng các phương

trình chuyển động cho các hệ chịu các ràng buộc (được gọi là không tự do) nhờ Nguyên lý Phù hợp và Tiêu chuẩn về tính lý tưởng của liên kết Thay vì tiêu chuẩn liên kết lý tưởng thường được trinh bày dưới dạng phương trình biến phân như trước đây, các tác giả đã đưa ra tiêu chuẩn dạng phương trình đại số và nhờ đó đã đại so hóa việc

xây dựng phương trình chuyển động Trên cơ sở ý tưởng này đã xây dựng phương trình chuyển động dạng ma trận (phương pháp ma trận truyền), phương pháp này áp dụng

rất có hiệu quả công cụ máy tính cùng với các phần mềm chuyên dụng như Maple, Matlab, Mathcad để xử lý các bài toán phức tạp Nguyên lý này tỏ ra rất có hiệu quà khi xử lý các hệ không tự do, thống nhất liên kết vật chất và liên kết chương trình, nhờ

đó xử lý bài toán điều khiển chương trình các hệ cơ học nhờ các phương pháp cơ học

Trong cuốn sách các tác giả cố gắng làm sáng tỏ mối liên hệ giữa các nguyên lý điều khiển và các nguyên lý cơ học: nguyên lý tác dụng tối thiểu (phương pháp biến phân cổ điển trong bài toán điều khiển tối ưu) với phương trình Lagrange loại hai, nguyên lý Pontryagin với phương trình chuyển động trong biến chính tắc Hamilton, nguyên lý Bellman với phương trình đạo hàm riêng Jacobi - Hamilton

Tất cả các cố gắng hên nhằm mục đích làm sáng tỏ mối liên quan chặt chẽ giữa phương pháp cùa cơ học giải tích và các phương pháp điều khiển tối ưu toán học và hy vọng sẽ góp phần minh chứng: các kiến thức cơ học thực sự là các kiến thức nền tảng cho người kỹ sư trong việc tiếp cận với nhiều bài toán kỹ thuật phức tạp, đặc biệt đối với bài toán điều khiển, trong đó phần điều khiển có thể được xem như bộ não để điều hành các hoạt động của máy, mà năng lượng cung cấp cho các hoạt động này là từ các động cơ, mà một phần không nhỏ là từ các động cơ điện Trong cuốn sách, các tác giả

cố gắng đưa vào các khái niệm cơ bản mang tính nhập môn cho việc tìm hiểu các hoạt động của hệ cơ với tương tác của mạch điện, phương trình mạch điện, phương trình hệ

cơ - điện trong quan hệ phi tuyến và quan hệ tuyến tính Tương tác cơ - điện sẽ có vai trò ngày càng lớn ttong hoạt động của các hệ thống máy móc, trong yêu càu ngày càng cao của môi trường

Cuốn sách bao gồm 9 chương

GS TSKH Đỗ Sanh viết các chương 1,2,3,6,7,9

TS Đỗ Đăng Khoa viết các chương 4, 5, 8

Cuốn sách này được xuất bản nhân dịp 60 năm ngày thành lập Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nơi tạo dựng cho con đường khoa học của các tác giả Nhân dịp này các tác giả kính gửi đến các thế hệ lãnh đạo của Trường, đến Phòng đào tạo Đại học, Viện Cơ khí, các đơn vị của trường, các thành viên Bộ môn Cơ học ứng dụng, đến các thầy của chúng tôi, các bạn đồng nghiệp, đến các lớp lớp sinh viên đã hình thành nên cộng đồng Đại học Bách khoa Hà Nội những lời tri ân chân thành

Đặc biệt, các tác già cảm ơn GS TS Đinh Văn Phong, PGS TS Phan Bùi Khôi

đã đọc bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến hữu ích

Các tác giả xin cảm ơn các Tiến sĩ Triệu Quốc Lộc (Viện Khoa học An toàn và Bảo hộ Lao động), Tiến sĩ Phan Đăng Phong (Viện Nghiên cứu Cơ khí), Tiến sĩ Trần Đức (Công ty Vianova) về sự cộng tác trong công tác đào tạo và nghiên cứu khoa học.

Nhà xuất bản Bách khoa Hà Nội đã tạo các điều kiện thuận lợi cho việc xuất bản cuốn sách vào dịp kỳ niệm kỷ niệm 60 năm thành lập trường Đại học Bách khoa Hà Nội, các tác giả xin chân thành cảm ơn

Cuốn sách chắc chắn còn nhiều thiếu sót Tập thể tác già chân thành cảm ơn các

ý kiến đóng góp của độc già cho sự hoàn thiện nội dung cuốn sách Ý kiến xin gửi về:

Đỗ Sanh, Bộ môn Cơ học ứng dụng, Đại học Bách khoa Hà Nội

Điện thoại: (04) 38693402; 01234154996

E-mail: sanh.do@hust.edu.vn; dosanhbka@gmail.com

Hà Nội, ngày 15 tháng 10 năm 2016

Thay mặt các tác già

GS TSKH Đỗ Sanh

Vô cùng biết ơn gia tộc nội ngoại:

Gia tộc họ Đỗ, Châu Sa, Tịnh Châu, Sơn Tịnh, Quàng Ngãi, Gia tộc họ Tôn, Phước Lộc, Tịnh Sơn, Sơn Tịnh, Quảng Ngãi

Các tác giả

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐÀU 3

Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM cơ BẢN VÈ cơ HỆ KHÔNG Tự DO 11

1.1 Định nghĩa về cơ hệ không tự do 11

1.2 Liên kết, phương trình liên kết, phân loại liên kết 11

1.2.1 Liên kết ? 11

1.2.2 Phương trinh liên kết 12

1.2.3 Phân loại liên kết 14

1.3 Di chuyển khả dĩ, di chuyển ảo và sổ bậc tự do cơ hệ 16

1.3.1 Di chuyển khả dĩ, di chuyển ảo và sổ bậc tự do của cơ hệ hôlônôm 16

1.3.2 Di chuyển khả dĩ, di chuyển ảo và số bậc tự do cùa cơ hệ không hôlônôm 18

1.4 Tọa độ suy rộng của cơ hệ 19

1.5 Di chuyển khả dĩ, dỉ chuyển ảo và số bậc tự do của hệ không hôlônôm trong tọa độ suy rộng 21

1.6 Lực suy rộng 21

1.7 Liên kết lý tưởng 26

Chương 2. CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN VI PHÂN 30 2.1 Nguyên lý công ảo 30

2.1.1 Nguyên lý 30

2.1.2 Điều kiện cân bằng cùa cơ hệ hôlônôm trong tọa độ suy rộng đủ 32

2.1.3 Điều kiện cân bằng cùa cơ hệ hôlônôm trong tọa độ suy rộng dư 32

2.1.4 Điều kiện cân bằng của hệ không hôlônôm 38

2.2 Nguyên lý D’ Alembert 39

2.3 Nguyên lý D ’ Alembert - Lagrange 41

2.3.1 Nguyên lý D’Alembert - Lagrange 41

2.3.2 Phương trình Lagrange trong tọa độ suy rộng 42

2.4 Nguyên lý Gauss 48

2.4.1 Nguyên lý Gauss 48

2.4.2 Phương trình Appell 49

2.5 Nguyên lý Phù hợp 52

2.5.1 Nguyên lý Phù hợp 52

2.5.2 Phương trình chuyển động của cơ hệ chịu liên kết trong tọa độ suy rộng 54

Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC HỆ HÔLÔNÔM 58

3.1 Phương trình Lagrange loại hai 58

3.1.1 Phương trình Lagrange trong tọa độ suy rộng đủ 58

3.1.2 Phương trình Lagrange loại hai dạng ma trận 60

3.2 Phương trình Appell 61

3.2.1 Phương trình Appell trong tọa độ suy rộng đủ 61

3.2.2 Sự tương đương phương trình Appell và phương trình Lagrange loại hai 62

3.3 Phương trình chính tắc Hamilton 63

3.3.1 Hệ biến chính tắc và hàm Hamilton 63

3.3.2 Phương trinh chính tắc Hamilton 65

3.4 Các tích phân đầu của phương trình chuyển động 67

3.4.1 Tích phân năng lượng 67

3.4.2 Tích phân cyclic 68

3.4.3 Tích phân các phương trinh chính tắc Hamilton 70

3.5 Định lý Jacobi - Hamilton 76

3.5.1 Phương trình vi phân đạo hàm riêng Jacobi - Hamilton 76

3.5.2 Định lý 77

Chương 4 PHƯƠNG TRÌNH CHUYẾN ĐỘNG CỦA HỆ KHÔNG HÔLÔNÔM 83 4.1 Cơ hệ với liên kết không hôlônôm 83

4.1.1 Liên kết không hôlônôm 83

4.1.2 Liên kết không hôlônôm tuyến tính đối với vận tốc 84

4.2 Phương trình chuyển động của hệ không hôlônôm dạng nhân tử 85

4.2.1 Phương trinh Lagrange loại hai dạng nhân tử 85

4.2.2 Phương trinh Appell 86

4.2.3 Khảo sát trạng thái cân bằng cùa hệ không hôlônôm 86

4.2.4 Phương trình chuyển động của cơ hệ chịu liên kết không hôlônôm tuyến tính dừng 87

4.2.5 Phương trình chuyên động của hệ với liên kết không hôỉônôm phi tuyến 90

4.3 Phương trình chuyền động của hệ không hôlônôm dạng ma trận 93

Chương 5 PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG Lực CỦA CÁC HỆ CHỊU

RÀNG BUỘC 99

5.1 Phương trình chuyển động cùa cơ hệ với liên kết vật chất lý tưởng 99

5.2. Xác định phản lực liên kết (các liên kết vật chất) 105

5.2.1 Xác định phản lực của các liên kết không hôlônôm 105

5.2.2 Xác định phản lực liên kết tại khớp động của các cơ cấu 107

5.2.3 Xác định trạng thái nội lực động lực 110

5.3. Chuyển động của cơ hệ với liên kết chương trình 115

Chương 6 CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN TÍCH PHÂN 120

6.1 Khái niệm biến phân 120

6.1.1 Biến phân đẳng thời 120

6.1.2 Biển phân không đẳng thời 123

6.1.3 Biến phân không đẳng thời của phiếm hàm 125

6.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu Hamilton 125

6.2.1 Tác dụng Hamilton 125

6.2.2 Bài toán và các giả thiết 126

6.2.3 Phương trình Lagrange loại hai 127

6.2.4 Phương trình chuyển động của hệ bảo toàn ưong dạng các biến chính tắc 128

6.3. Nguyên lý tác dụng dừng Lagrange 129

Chương 7 CÁC PHÉP BIÉN ĐÔI CHÍNH TÁC HAMILTON 133

7.1 Phép biến đổi chính tắc Hamilton 133

7.2. Hàm dẫn 134

7.3. Các dạng cơ bản của phép biến đổi chính tắc 136

7.4. Phép biến đổi chính tắc vô cùng bé 142

Chương 8 ĐỘNG Lực HỌC CỦA HỆ cơ - ĐIỆN 144

8.1. Các khái niệm và các định nghĩa về hệ cơ - điện 144

8.1.1 Trở kháng (Điện trở) 145

8.1.2 Tự cảm 146

8.1.3 Điện dung 149

8.1.4 Nguồn ngoài (Suất điện động) 152

8.2. Phương trình của mạch vòng 152

8.3 Phương trình trạng thái của mạch điện trong dạng Lagrange - Maxwell 158

8.4 Phương trình trạng thái đối với hệ cơ - điện 160

8.4.1 Phương trình Lagrange - Maxwell 160

8.4.2 Trường hợp mạch điện tuyến tính (các tham số của mạch là các hăng số) 165

8.5 Khảo sát động cơ điện một chiều (DC Motor) 167

Chương 9. NHẬP MÔN VỀ LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỐI Ưu _ 169 9.1 Phương pháp biến phân trong bài toán điều khiển tối ưu 169

9.1.1 Sơ lược về các bài toán biến phân cổ điển 169

9.1.2 Phương pháp biến phân trong bài toán điều khiển tối ưu (dạng phương trình Euler) 170

9.1.3 Trường hợp các điều khiển là vận tốc 173

9.1.4 Phương pháp biến phân (dạng phương trình Hamilton) 178

9.1.5 Khảo sát điều kiện hoành (transversality) 181

9.2 Nguyên lý cực đại Pontryagin 184

9.2.1 Thiết lập bài toán 184

9.2.2 Nguyên lý 184

9.2.3 Lộ trinh giải bài toán tối ưu theo nguyên lý Pontryagin 186

9.3 Nguyên lý tối ưu Bellman — _ 189

9.3.1 Nguyên lý tối ưu Bellman 189

9.3.2 Thiết lập điều kiện đối với quỹ đạo tối ưu 190

9.4 Liên hệ giữa phương trình Bellman và phương trình biến phân 192

9.5 Liên hệ giữa phương trình Bellman và nguyên lý Pontryagin 194

9.6 Liên hệ giữa nguyên lý Pontryagin và phép tính biến phân 195

TÀI LIỆU THAM KHẢO _ 198

CHỈ MỤC 201

Chương CÁC KHÁI NIỆM Cơ BẢN

VÈ Cơ HỆ KHONG Tự DO

1.1 Định nghĩa về cơ hệ không tự do

Như đã biết, cơ hệ là tập hợp các chất điểm

giữa chúng có tương tác cơ học Chính các tương

tác này gây nên chuyển động cùa các chất điểm

[27] Loại cơ hệ mà giữa chúng chi có thuần túy

tương tác cơ học, gọi là lực, được gọi là cơ hệ tự

do Đối với cơ hệ tự do, di chuyển của mọi chất

điểm từ vị trí đang xét không bị bất kỳ cản trở nào,

ví dụ các thiên thể

Trái với cơ hệ tự do là cơ hệ không tự do, là

cơ hệ gồm tập hợp các chất điểm mà trong chuyển

động, ngoài lực tác dụng ra, vị trí và vận tốc của chúng còn bị ràng buộc bời một số điều kiện hình học và động học cho trước Ví dụ, cơ cấu bốn khâu là một cơ hệ không

tự do, ở đây ngoài các ngẫu lực m1(»í2 tác dụng lên các khâu OA, O\B, các trọng lực các khâu, còn có những điều kiện ràng buộc về mặt hình học, như điểm A chi có thể di

chuyển trên đường tròn tâm ơ, bán kính OA, điểm B di chuyển trên cung tròn tâm ớ], bán kính OịB, khoảng cách giữa hai điểm AvàB luôn luôn không đổi, các điểm o, Oi

cố định (hình 1.1) Các điều kiện này độc lập đối với các lực tác dụng lên cơ cấu và các điều kiện đầu của chuyển động cơ cấu và được đảm bảo trong suốt quá trình hoạt động của cơ cấu

1.2. Liên kết, phương trình liên kết, phân loại liên kết

1.2.1 Liên két

Là những điều kiện ràng buộc cơ hệ về mặt hình học và động học (vị trí, vận tốc

và có thể cả gia tốc cùng các đạo hàm bậc cao tùy ý theo thời gian của các thông số định vị của các chất điểm thuộc cơ hệ) Những điều kiện này độc lập với điều kiện đầu cùa chuyển động và các lực tác dụng lên cơ hệ đồng thời phải được đàm bào trong suốt quá trình hoạt động cùa cơ hệ Nói cách khác khi những động lực tác dụng lên cơ hệ

thay đổi hoặc thậm chí biến mất thì các điều kiện ràng buộc này vẫn tồn tại Các điều kiện ràng buộc này được gọi là các liên kết Trong cuốn sách này chì giới hạn khảo sát các cơ hệ chịu các ràng buộc đặt lên các tọa độ và vận tốc các chất điểm thuộc cơ hệ.

1.2.2 Phương trình liên kết

Là các phương trình và bất phương trình biểu thị về mặt toán học mối ràng buộc

về mặt hình học và động học đối với các chất điểm thuộc cơ hệ, chúng có dạng sau:

/aơ’x1.^p^ >^>yw»zw,jc1,j1,z1, ,xM,ỹJ,,zA,)ằO;a = l,5

Trong đó: s - chi số phương trình liên kết

Các phương trình liên kết được viết dưới dạng tắt sau:

(1.1)

(1.2)

Để minh họa, ta khảo sát các ví dụ sau

Ví dụ 1.1. Chuyển động của con lắc toán học gồm chất điểm M, khối lượng m,

buộc vào đầu dây mảnh, cỏ độ dài /, còn đầu kia được buộc vào một điểm o cố định, chuyển động trong mặt phăng đứng (hình 1.2)

tức điểm M luôn luôn chuyển động bên trong (kể cà biên) của mặt tròn tâm o, bán kính l, ở đây số phương trình liên kết bằng một, tức s = 1

Neu già thiết dây luôn luôn ở trạng thái căng, tức xem OM là một thanh mảnh cứng, thì phương trình liên kết có dạng:

Ví dụ 1.2 Khảo sát chuyển động của cơ cấu bốn khâu, các khâu quay OA \àOxB

có chiều dài tương ứng là rx và r2, khâu song phăng AB có chiều dài l (hình 1.1).

Vị trí của cơ cấu được xác định qua các tọa độ của điểm A và B

Điều kiện để điểm A không rời khỏi đường tròn tâm ơ, bán kính OA được biểu

thị qua phương trình sau:

Điều kiện để điểm B luôn luôn nằm trên đường tròn tâm ƠI, bán kính r2 được

viết thành phương trình:

Trong đó: a, b là các tọa độ của ƠJ, (ứ = OO\, b = 0)

Điều kiện ràng buộc về khoảng cách hai điểm A và B luôn luôn không đổi có thể

được viết thành:

Như vậy ta có ba phương trình liên kết biểu diễn các điều kiện ràng buộc đối với

cơ cấu bốn khâu, tức 5 - 3

Ví dụ 1.3. Khảo sát một đĩa tròn đồng chất, bán kính R làn không trượt theo đường nằm ngang (hình 1.4) Chuyển động của đĩa bị ràng buộc bời hai điều kiện:

a) Tâm của đĩa di chuyển dọc theo đường thẳng song song với trục Ox,

b) Vận tốc tiếp điểm giữa đĩa và đường thẳng bằng không

Hai điều kiện này được biểu diễn qua hai phương trình sau:

Trong đó X, y là các tọa độ của tâm c của đĩa, (p - góc định vị của một bán kính của đĩa so với phương ngang (chọn chiều dương của góc (Ị) tương ứng ngược chiều quay của kim đồng hồ), số phương trình liên kết băng 2.

Ví dụ 1.4 Hai chất điểm gắn vào hai đầu của một thanh có độ dài / không đổi chuyển động trong mặt phăng ngang Oxy sao cho vận tốc của điểm giữa thanh luôn hướng dọc thanh (bài toán Chaplygin trong mặt phăng) (hình 1.5)

Các phương trình liên kết đối với cơ hệ sẽ là:

*2-*i yi-y\

1.2.3 Phân loại liên kết

Dựa vào dạng của các phương trình liên kết người ta phân loại các liên kết như sau:

Liên két giữ và không giữ-, nếu các điều kiện ràng buộc được mô tả bằng những phương trình thì liên kết được gọi là giừ hay liên kết hai phía, còn trong trường hợp được mô tà bằng những bất phương trinh thì liên kết được gọi là không giữ hay liên kết một phía Ví dụ, con lắc chịu liên kết giữ khi OM được xem là thanh mảnh cứng và phương trinh liên kết có dạng (1.4) và chịu liên kết không giữ khi OM là dây mềm, phương trình liên kết có dạng (1.3) Các liên kết cùa cơ cấu bốn khâu khi các khâu là những khâu cứng (không bị biến dạng) đều là những liên kết giữ

Liên kết dừng và không dừng-, nếu phương trình liên kết không chứa rõ biến thời

gian thì liên kết được gọi là dừng, trong trường hợp ngược lại là liên kết không dừng Trường hợp con lắc có độ dài thay đổi theo thời gian, ta có liên kết không dừng, phương trình liên kết có dạng (1.5) Các liên kết đặt lên cơ cấu bốn khâu là các liên kết dừng

Liên kết hình học và liên kết động học: Liên kết hình học khi trong phương trình liên kết chi chứa các yếu tố vị tri, còn liên kết được gọi là động học khi trong các phương trình liên kết cỏ chứa cả các yếu tố vận tốc (liên kết dạng (1.10)).

Liên kết hôlônôm và không hôlônôm: nếu trong phương trình liên kết không chứa các yếu tố vận tốc hoặc có chứa các yếu tố vận tốc nhưng nhờ các phép tính tích phân đưa được về dạng không chứa các yếu tố vận tốc (tức các yếu tố vận tốc được loại trừ khỏi các phương trình liên kết) thì liên kết được gọi là hôlônôm Như vậy liên kết hôlônôm bao gồm những liên kết hình học và những liên kết động học có thể thay thế bằng những liên kết hình học nhờ các phép tính tích phân (còn được gọi là liên kết khả tích), ví dụ, liên kết (1.10) thuộc loại này vì nó cỏ thể được thay thế (với cách chọn gốc tọa độ thích hợp) có thể đưa về dạng:

Neu các phương trình liên kết chứa các yếu tố vận tốc nhưng không thể loại trừ chúng ra khỏi các phương trình liên kết nhờ các phép tính tích phân thì liên kết được gọi là không hôlônôm, ví dụ, liên kết dạng (1.12)

Các liên kết hôlônôm đặt các điều kiện ràng buộc lên vị trí và do đó đặt cả những điều kiện ràng buộc lên vận tốc các chất điểm của cơ hệ (liên kết động học khả tích), còn các liên kết không hôlônôm (liên kết động học không khả tích) không đặt những điều kiện ràng buộc lên vị trí các chất điểm của cơ hệ mà chi đặt những điều kiện ràng buộc lên vận tốc các chất điểm thuộc cơ hệ

Nói cách khác, đối với cơ hệ không hôlônôm, các chất điểm tại mọi thời điểm có thể có vị tri tùy ý, nhưng không thể có vận tốc tùy ý

Chú ý: Nếu có các điều kiện ràng buộc về vị trí thì kéo theo điều kiện ràng buộc

về vận tốc (đạo hàm hai vế phương trình liên kết theo thời gian) Tuy nhiên điều ngược lại không đúng: cỏ các ràng buộc về vận tốc, nhưng không tương đương với ràng buộc

về vị trí (liên kết không hôlônôm)

Tùy thuộc liên kết đặt lên cơ hệ là hôlônôm hay không hôlônôm mà cơ hệ được gọi là cơ hệ hôlônôm hoặc cơ hệ không hôlônôm

Các liên kết đặt lên cơ hệ hôlônôm cỏ thể viết dưới dạng:

Còn các liên kết đặt lên cơ hệ không hôlônôm sẽ có dạng:

Ạ(l\Jk>zk>ì*>À’zk) = ° ; /? = 1>r (IU)Lỉên kết không hôlônôm dạng (1.14) được gọi là những liên kết không hôlônôm phi tuyến đối với vận tốc, còn (1.12) - tuyến tính đối với vận tốc

Cơ hệ không hôlônôm có nhiều tính chất đặc biệt và tầm quan trọng của nó trong các lĩnh vực khác nhau của kỹ thuật hiện đại ngày càng tăng, đặc biệt trong các bài toán ổn định và ổn định hóa chuyển động, bài toán điều khiển.

1.3 Di chuyển khả dĩ, dl chuyển ảo và số bậc tự do cơ hệ

1.3.1. Di chuyển khả đĩ, di chuyển ảo và số bậc tự do của cơ hệ hôlônôm

a) Di chuyển khả dĩ: là tập hợp các di chuyển vô cùng bé của các chất điểm thuộc cơ hệ từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận phù hợp với các liên kết đặt lên cơ hệ

Từ định nghĩa ừên rút ra khái niệm di chuyển khả dĩ chi có ý nghĩa về mặt hình học, không có quan hệ với các lực tác dụng lên cơ hệ, nghĩa là khi cơ hệ thực hiện

di chuyển khả dĩ, hệ lực tác dụng lên cơ hệ không thay đổi Yêu cầu quan ưọng nhất đối với di chuyển khả dĩ là chúng phải phù hợp với các liên kết ràng buộc chuyển động

cơ hệ Nói khác đi chúng không được phá vỡ các liên kết đặt lên cơ hệ, hay nói cách khác, được các liên kết ràng buộc cơ hệ cho phép

Ngoài ra, khái niệm di chuyển khả dĩ gắn liền với một vị trí xác định nào đó của

cơ hệ, chúng là các di chuyển vô cùng bé (di chuyển nguyên tố)

chất điểm luôn luôn chuyển động

trên một mặt phăng, vị trí của nó

thay đổi theo thời gian Tại hai thời

điểm tvàt + dt mặt phăng có vị trí

p và P' (hình 1.6) Di chuyển cùa

chất điểm từ một điểm M trên mặt

phàng p đến một điểm nào đó

của mặt phăng P', được ký hiệu

qua drK, được gọi là di chuyển khả dĩ Như vậy di chuyển thật sẽ là một di chuyển xác

định nào đó trong tập các di chuyển khả dĩ (với điều kiện được xác định) Sau đi chuyển khả dĩ các phương trình liên kết vẫn được thỏa mãn, do đó

f'a(t + dt,xK + dxK,yK + dyK,zK +<ửJC) = 0; a = ỉ,s (1.15)

Từ (1.13) và (1.15) ta nhận được:

Ta xét cơ hệ hôlônôm với phương trình liên kết dạng (1.13).

Định nghĩa: Di chuyển ảo là hiệu của hai di chuyển khả dĩ bất ki của các chất điểm của cơ hệ, được kỷ hiệu qua ÕĨK(ỎXK,ôyK,ỔZK)

Theo định nghĩa ta có:

= drK — dĩK —ì ỖXK = dxK — dxK \ dyK = dyK — dyK \ ỎZK = dzK — dzK (1.17)

Trong đó: drk,drk là hai di chuyến khả dĩ bat kỳ của cơ hệ khi cơ hệ chuyên từ

*>| ƠXK ơyK ƠZK

Đây là điều kiện mà các di chuyển ảo phải thỏa mãn

Như vậy các di chuyển khả dĩ phải thỏa mãn các phương trình (1.16), còn các

di chuyển ảo phải thỏa mãn các phương trình (1.19) Các di chuyển ảo đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết biến phân Trong ví dụ nêu trên, các di chuyển vô cùng bé của điểm M từ vị trí M trong mặt phăng p là di chuyển ảo

Dễ dàng nhận xét rằng đối với các liên kết dừng, di chuyển khả dĩ trùng với

di chuyển ảo Do đó trong trường hợp cơ hệ với liên kết dừng (đa số cơ hệ gặp trong

kỹ thuật các liên kết có dạng này) thì không cần thiết phải phân biệt di chuyển ảo và

di chuyển khả dĩ

c) Số bậc tự do của cơ hệ

Đối với một cơ hệ tại mỗi vị trí có vô số các di chuyển ào Tuy nhiên do bị giới hạn cùa các liên kết đặt lên cơ hệ, số di chuyển ảo không độc lập vói nhau, cụ thể, các

di chuyển ảo phải thỏa mãn hệ phương trinh (1.19) Ta có hệ s phương trình, chứa 3N

ẩn [ôxK, ỗyK, 8 zk I (K = 1, N) Do đó chi có (3N - s) ẩn là độc lập, tức số di chuyển

ào độc lập bằng (3N - s) còn số di chuyển ào còn lại được biểu diễn qua (3N - s)

di chuyển ảo độc lập này số di chuyển ảo độc lập của cơ hệ mà tất cả các di chuyển ảo của cơ hệ đều được biểu diễn qua chúng, được gọi là số bậc tự do của cơ hệ Vậy:

Số bậc tự do cùa cơ hệ là số tối đa các di chuyển ảo độc lập tuyến tính cùa cơ hệ.Như vậy số bậc tự do của cơ hệ bằng số biến phân độc lập của các tọa độ thỏa mãn phương trình (1.19) Ký hiệu số bậc tự do của cơ hệ qua k, ta có:

Số bậc tự do của cơ hệ càng lớn thì mức tùy ý của các di chuyển ảo của cơ hệ càng lớn, nó phản ánh khả năng của cơ hệ thực hiện các di chuyển ảo độc lập phù hợp với liên kết đặt lên cơ hệ Trong thực tế, người ta xác định số bậc tự do của cơ hệ hôlônôm qua việc phân tích khả năng chuyển động độc lập của cơ hệ Trong các cơ cấu máy, số bậc tự do bằng sổ khâu dẫn

1.3.2 DI chuyển khả dĩ, dì chuyển ảo và số bậc tự do của cơ hộ không hôlônôm

Đầu tiên khảo sát các cơ hệ chịu liên kết không hôlônôm tuyến tính đối với vận tốc có dạng:

Khi chú ý rằng các liên kết

hôlônôm (1.13) có thể được thay thế

tương đương dạng (1.21), khi đạo

hàm theo thời gian hai vế của (1.13),

tức trong (1.21) ta thay:

Sử dụng tính chất tương tự này,

các di chuyển khả dĩ và di chuyển ảo

của các hệ không hôlônôm với liên

Trong trường hợp cơ hệ với các liên kết không hôlônôm phi tuyến đối với vận tốc và tuyển tính đối với gia tốc thì các định nghĩa về di chuyển khả dĩ và di chuyển ảo cần được mở rộng.vấn đề này sẽ được khảo sát chi tiết trong Chương 4, mục 4.2.5.

1.4. Tọa độ suy rộng của cơ hệ

Tập hợp các thông sổ đủ để xác định được vị trí của cơ hệ trong một hệ quy chiếu xác định, được gọi là các tọa độ suy rộng của cơ hệ

Các tọa độ suy rộng được ký hiệu là ,ạn| • Các tọa độ suy rộng có thể là các tọa độ Đề-các của các chất điểm thuộc cơ hệ, có thể là góc quay của các vật rắn, các tọa độ cong,

Bàn chất vật lý của tọa độ suy rộng là bất kỳ, do đó thứ nguyên của nó có thể không phải là độ dài như tọa độ Đề-các

Vị trí của cơ hệ cần được xác định qua các tọa độ suy rộng, nên các tọa độ Đề-các của các chất điểm của cơ hệ phải được biểu diễn qua các tọa độ suy rộng (đây

là điều kiện để khẳng định tập hợp các thông số được chọn là các tọa độ suy rộng):

ZK = XK(t’<ỉl’<Ỉ2’-’<ỉn')

hoặc viết ở dạng rút gọn:

='x(í>^i>?2>">í«) (1-26)Nếu các tọa độ suy rộng là độc lập ta có tọa độ suy rộng đủ, chúng được ký hiệu

qua {q.} (j = ĩ, n) Trường hợp ngược lại, ta có tọa độ suy rộng dư j = 1, m > n).Như vậy giữa các tọa độ suy rộng đủ không tồn tại bất kỳ hệ thức liên hệ nào, còn giữa các tọa độ suy rộng dư tồn tại các hệ thức cũng được gọi là các phương trình liên kết

Ta xét trường hợp con lắc kép (hình 1.7) Để xác định vị trí của con lắc kép ta có thể dùng một trong các tập hợp của các thông số sau:

Các tọa độ Đề-các của các chất điểm của cơ hệ, tức {xA,yA,xB,yB}, đều biểu diễn được qua một trong các tập hợp nêu trên Trong ba tập hợp của các tọa độ nêu trên thỉ hai tập hợp đầu các thông số là không độc lập với nhau

Thực vậy, đối với tập hợp {xA,yA,xB,yB } ta có:

XA + y\ -OA = 0, (xB - xa )2+ (yB -yA)2- AB2 = 0

Còn đối với tập hợp [xA, yA,ụr} thì:

x2 A+y2 A-ÕÃ2=0

Chi có tập hợp thứ ba {(f), các thông số (p và y độc lập với nhau Các tọa độ

Đề-các của các chất điểm của cơ hệ được biểu diễn qua chúng bời các hệ thức sau:

XA = ƠTÍsin (p , yx = ỡ/ícos (p

XB = OAsin (Ọ + ,45sin \f/

yB=OAcos<p + ABcos^r

Vậy là các tọa độ suy rộng đủ cùa cơ hệ con lắc kép; các tập hợp

ỉxA>yA’xB>yB } và (xA,yA,ụr}, là các tọa độ suy rộng dư.

Khi thay (1.25) vào (1.13), các phương trình liên kết hôlônôm của cơ hệ sẽ cỏ dạng:

= a = l,y,5'<5 (1.13)’Như vậy giữa các tọa độ suy rộng dư sẽ tồn tại một số hệ thức (1.13)’, chúng cũng được gọi là các phương trình liên kết Lẽ dĩ nhiên trong trường hợp của các tọa độ suy rộng đủ thỉ không tồn tại một hệ thức nào có dạng (1.13)’

Trong dạng tọa độ suy rộng dư, thay vì các hệ thức (1.16) và (1.19) (tức điềụ kiện các di chuyển khả dĩ và di chuyển ào cần thỏa mãn), ta có các hệ thức sau:

Hiển nhiên khi các tọa độ suy rộng là đủ ịm = ri) thì các phương trình (1.13)’

được thỏa mãn đồng nhất, vì nếu không, các tọa độ suy rộng được chọn không độc lập với nhau, tức chúng không phải là những tọa độ suy rộng đủ Nói khác đi, khi m = n,

1.5 Di chuyển khả dĩ, di chuyển ảo và số bậc tự do cùa hệ không

hôlônôm trong tọa độ suy rộng

Khi chú ý đến (1.25), các liên kết không hôlônôm tuyến tính dạng (1.21) trong tọa độ suy rộng đủ sẽ được viết trong dạng sau:

j=l

Trong đó các hệ số bfii,bp(Ị = l,n ;/? = l,r) là những đại lượng phụ thuộc vào

các tọa độ suy rộng đù q, (ỉ = 1, rỉ) và thời gian, còn q s ; (i = 1, n) là các vận tốc

suy rộng

Sử dụng tính chất tương tự (1.23) giữa các liên kết không hôlônôm tuyến tính và liên kết hôlônôm được viết trong dạng tuyến tính(l 16), có thể suy trực tiếp các điều kiện mà các di chuyển khả dĩ và di chuyển ảo phải thỏa mãn trong trường hợp liên kết không hôlônôm (1.27), tương tự (1.18)’, (1.19)’ Đó là:

i=l

i=lCác hệ thức (1.28), (1.29) vẫn có hiệu lực (với định nghĩa mở rộng về di chuyển khả dĩ và di chuyển ào) trong trường hợp liên kết không hôlônôm phi tuyến đối với vận tốc và tuyến tính đối với gia tốc [7,16],

Số bậc tự do trong trường hợp khảo sát (cơ hệ không hôlônôm trong các tọa độ suy rộng độc lập) sẽ bằng:

k = n-r

Trong trường hợp cơ hệ không hôlônôm với tọa độ suy rộng dư {ặ/} (J = ĩjn> n)

thì các di chuyển khả dĩ phải thỏa mãn cả (1.18)’ và (1.28), còn các di chuyển ảo phải thỏa mãn (1.19)’ và (1.29) số bậc tự do cùa cơ hệ trong trường hợp này (có m tọa độ suy rộng dư, 5 liên kết hôlônôm và r liên kết không hôlônôm) sẽ bằng:

& = m —s-r

1.6 Lực suy rộng

Công của lực trong di chuyển ảo, được gọi tắt là công ảo của lực

Cho cơ hệ di chuyển ảo Theo công thức tính công nguyên tố biểu thức của công

ào sẽ là:

Chọn các tọa độ suy rộngj (ỳ = l,ffí) Từ biểu thức (1.25) ta tính được:

được gọi là lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng q

Công thức (1.32) đúng cho cà trường hợp tọa độ suy rộng dư và cho trường hợp tọa độ suy rộng đù

Chú ý rằng lực suy rộng là đại lượng vô hướng Thứ nguyên của lực suy rộng là:

Bản chất vật lý của lực suy rộng phụ thuộc vào thứ nguyên của tọa độ suy rộng tương ứng, chăng hạn, nếu tọa độ suy rộng là độ đài thì lực suy rộng là lực, nểu tọa độ suy rộng là góc thì lực suy rộng là ngẫu lực

Dưới đây chúng ta trình bày các phương pháp tính lực suy rộng

Phương pháp thứ nhất Để tính lực suy rộng có thể dựa trực tiếp vào biểu thức

(1.32) Muốn vậy cần tìm hình chiếu các lực trên các trục tọa độ Đề-các và biểu thức các tọa độ Đề-các của các điểm đặt của các lực theo tọa độ suy rộng, sau đó áp dụng công thức (1.32)

Để minh họa ta tính lực suy rộng cùa các lực hoạt động gồm lực F và các trọng lượng và của các thanh OA và AB cùa con lắc kép Cho OA = R; AB = /; OC\ = Sp

OC2 = s2, trong đó C ị và C2 là các trọng tâm của các thanh OA và AB

Chọn các tọa độ suy rộng đủ là ợ? và y/

Chọn hệ trục Oxy như hình 1.7

Các lực hoạt động P,Q,F tương ứng có các điểm đặt là C1(X1, yi); C2(X2, J2);F(x3,y3):

y2 = Pcosộ? + s2cos ip x3 = 7?sinỹ> + /sin^

Phương pháp thứ hai Sử dụng công thức (1.31) để tính lực suy rộng Muốn vậy

ta tính công ảo cùa các lực trong tọa độ Đề-các, biểu diễn các tọa độ Đề-các theo tọa độ suy rộng, tính các biến phân của tọa độ Đề-các theo các biến phân của tọa độ suy rộng

và thay vào biểu thức của công ào Các đại lượng đứng trước các biến phân của các tọa

độ suy rộng trong biểu thức công ảo chính là các lực suy rộng

Để minh họa, ta trở lại trường hợp của con lắc kép

Biểu thức công ảo của các lực có dạng:

= FRcos <p - (QR + Psi)sin <p; Q y = Ficos lự - ỘS2SĨn ip

Phương pháp thứ ba Trong trường hợp các tọa độ suy rộng được chọn là các tọa độ suy rộng đủ Các tọa độ suy rộng đù là độc lập, nên các biến phân của chúng là độc lập với nhau Dựa vào tính chất đó, ta tính từng lực suy rộng riêng rẽ nhờ việc chọn

các di chuyển ào đặc biệt Ví dụ, để tính lực suy rộng Qị ứng với tọa độ suy rộng q.,

ta chọn di chuyển ảo đặc biệt như sau:

Để minh họa, ta trở lại trường hợp con lắc kép Để tính lực suy rộng Q p ta chọn

di chuyển ào: ỏ(p > 0; ổ\ị/ = 0, tức cho thanh OA di chuyển quay quanh trục qua o

với góc ỗ(p, còn thanh AB tịnh tiến Công ào của các lực trong di chuyển ảo đã chọn bây giờ là:

2 ÔA(ô<p) = -Pissin (p õ(p -QR sin (pScp + FRcos (pô(p

L’ Sọ [FẤCOS (p - (Ps ị + gẨ)sin (p ]

Để tính lực suy rộng Q y, ta chọn di chuyển ảo như sau: õ(p = 0; ÔI// > 0, tức

giữ cố định thanh OA, còn cho thanh AB quay góc ỗy/ quanh trục qua A Công ảo cùa

các lực trong trường hợp này được tính như sau:

^ỖA(Si//) = -Q s 2 sin y/ổụ/ + Ficos

Do đỏ:

Ổl// = (Ficos y/ - Qs2 sin ựr)

Các phương pháp thứ hai và thứ ba thường được sử dụng để tính toán.

Đặc biệt đối với hệ nhiều bậc tự do, phương pháp thứ ba rất thuận tiện, khi các tọa độ suy rộng được chọn là đủ

Xét trường hợp cơ hệ chuyển động trong trường lực thế Như đã biết giữa hàm

thế năng TC và các lực tác dụng lên các chất điểm có mối liên hệ:

Trong trường hợp các lực tác dụng lên cơ hệ gồm các lực có thế với hàm thế

năng 71 và các lực không có thế, có thể tính riêng lực suy rộng của lực có thế Qị và lực

suy rộng của các lực không có thế Q° Lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng qt sẽ là:

Trong đó hàm thế năng được tính qua các tọa độ suy rộng, còn Qp được tính

khi cơ hệ chi chịu tác dụng của các lực không có thế Để minh họa ta trở lại trường hợp con lắc kép (hình 1.7), lực có thế là các trọng lực với hàm thế năng (chọn gốc thế năng làO):

7Ĩ = -Psỵ cos (p - Q(R cos (p+s2 cos (/)

Lực không thế là lực F có công ảo bằng;

ỎA = FỎXB = F(R sin <p&p+l sin ụ/ôì/p)

Do đó:

Q°=FRcos<p ; Q°= Flcosy/

Từ đó ta tính được:

Qp =

= [FR cos <p - (PSị + QR) sin y>];

dy/ +-Ộ® = F/cos^z-g^ sinự/

R k - lực liên kết tác dụng lên chất điểm M K thuộc cơ hệ;

Sr - di chuyển ảo cùa chất điểm M

Trong thực tế nếu bỏ qua được ma sát và tính đàn hồi của các vật thể tạo thành

cơ hệ, thì đa số các liên kết thường gặp đều lý tưởng, như: gối cố định không ma sát, hai vật rắn luôn luôn tựa vào nhau trong quá trinh chuyển động và ma sát giữa chúng

bỏ qua được, hai vật trượt không ma sát hoặc lăn không trượt với nhau hoặc nối bản lề không ma sát, liên kết dây mềm không dãn nổi giữa các vật hay vắt qua ròng rọc, puli không bị trươt, hoặc xảy ra trượt nhưng bỏ qua được ma sát giữa chúng,

Các lực suy rộng của các phản lực liên két lý tưởng ứng với các tọa độ suy rộng

đủ luôn luôn bằng không Thực vậy, tính công cùa các phản lực liên kết trong

Vì {ợ } (í = 1,/í) là các tọa độ suy rộng đủ, nên chúng độc lập với nhau, do đó các {£<?, } (i = l,n) cũng độc lập với nhau.

ý=l M ý=l i=lĐiều kiện lý tưởng cùa liên kết (1.13)’ sẽ là:

Qi = ịíQ'jdji=Q;i = ỉ,n-k = m-s (1.39)j=i

Trong trường hợp hệ không hôlônôm tuyến tính dạng (1.27), mặc dù các {ợ,),j = l,n,là các tọa độ suy rộng độc lập, nhưng các di chuyên ảo {ốợ,}; j = l,n, không độc lập với nhau do tồn tại (1.29) Nhờ các hệ thức (1.29) có thể tính các hệ số

dlơ trong biểu thức của các di chuyển ào {£<?,},/ = l,n, khi biểu diễn chúng qua các di chuyển ảo độc lập (ổqơ},ơ = ì,k = n-r, tức:

r - số liên kết không hôlônôm;

k - số bậc tự do của cơ hệ không hôlônôm

Cần nhấn mạnh răng công thức (1.41) thiết lập đối với cơ hệ không hôlônôm, được mô tả trong các tọa độ hôlônôm (tọa độ độc lập) chịu r liên kết không hôlônôm tuyến tính (1.27)

Công thức (1.41) vẫn đúng đối với trường hợp các liên kết không hôlônôm phi tuyến đối với vận tốc, các liên kết không hôlônôm tuyến tính đối với gia tốc Công thức này vẫn đúng trong trường hợp với các liên kết không hôlônôm có dạng được kể ở trên

và được mô tả trong hệ tọa độ suy rộng dư

Trong dạng ma trận hệ thức (1.39), (1.41) có thể được viết như sau [9, 16, 18, 19,24]:

cỡ (m X n), còn trong trường hợp hệ không hôlônôm tuyến tính với n tọa độ độc lập và

r liên kết không hôlônôm(k = n-r) là ma trận (n X k)

Một cách thuận tiện hơn, ma trận Do là ma trận các hệ số khi biểu diễn các vận tốc (tổng quát hơn là gia tốc) qua các vận tốc (gia tốc) độc lập nhờ việc sử dụng các phương trình liên kết Ký hiệu T ở góc phải phía trên chi phép chuyển vị ma trận Trong cuốn sách này vectơ được xem như ma trận cột và ma ưận được ký hiệu qua chữ nét đậm Để thuận tiên sau này ta sử dụng ký hiệu D = Dg Do đó hệ thức (1.42) được viết trong dạng sau

Các liên kết không thỏa mân điều kiện (1.37), (1.39) đối với các hệ hôlônôm và (1.41) đối với hệ không hôlônôm hoặc dạng ma trận (1.43) được gọi là những liên kết không lý tưởng Các ví dụ về các liên kết không lý tưởng trong kỹ thuật (hệ vật tuyệt đổi rắn) là những liên kết ma sát [21]

Những liên kết được thực hiện nhờ những vật cụ thể được gọi là những liên kết vật chất, nỏ được tạo nên do tương tác trực tiếp giữa các vật hoặc giữa cơ hệ được khảo sát và môi trường Các tương tác đó được thể hiện qua các đại lượng được gọi là các lực liên kết (các phản lực liên kết) Tuy nhiên ngày nay với sự phát triển mạnh mẽ của lĩnh vực điều khiển, khái niệm liên kết được mở rộng, chúng là những điều kiện về các yêu cầu (là những điều điện ràng buộc hay được gọi vắn tắt là những ràng buộc)

đối với quỹ đạo và vận tốc các chất điểm cùa cơ hệ trong quá trinh chuyển động, thậm chí các ràng buộc này có thể thay đổi theo thời gian (không dừng) dưới tác động của những điều khiển Những liên kết trong ý nghĩa như vậy được gọi là liên kết điều khiển, trong số đó có các liên kết chương trinh [14, 16, 19, 21, 24, 27], mà nhờ chủng,

cơ hệ thực hiện những chương trình định trước (ví dụ, các tay máy công nghiệp mà các bàn kẹp của chúng phải thực hiện các công việc theo một lộ trình định trước Khác với các liên kết vật chất mang tính thụ động, những liên kết điều khiển có tính chủ động Việc nghiên cứu chuyển động các cơ hệ với những liên kết điều khiển đang ngày càng được quan tâm [5, 8 - 12, 15, 16, 21, 22, 27, 29],

Chương 2 CÁC NGUYÊN LỶ BIẾN PHÂN VI PHÂN

Để khảo sát các hệ cơ học, trước tiên cần thiết lập các điều kiện cân bằng, các phương trình chuyển động (đưa ra các phương pháp tích phân chúng, tìm các tích phân đầu, ) Một phương pháp tổng quát và cơ bản cho vấn đề này là khảo sát các trạng thái

“có thể” của cơ hệ, so sánh chúng để từ đó tìm được trạng thái thực của chuyển động của cơ hệ trong số tất cả trạng thái “cỏ thể” Việc so sánh như vậy có thể khảo sát tại một thời điểm (phương pháp biến phân vi phân) hoặc so sánh trong một khoảng thời gian (phương pháp biến phân tích phân)

2.1 Nguyên lý công ảo

Trong mục này sẽ thiết lập điều kiện cân bằng tổng quát của cơ hệ, từ đó rút ra điều kiện cân bằng của vật rắn được xem là trường hợp riêng [14,18,20]

Tĩnh học vật rắn được trình bày trong phần Tĩnh học dựa vào hai đặc trưng hình học của hệ lực là vectơ chính và mô men chính của nỏ được gọi là Tĩnh học hình học Tĩnh học cơ hệ được trình bày ở đây dựa trên Nguyên lý công ảo được gọi là Tĩnh học giải tích

2.1.1 Nguyên lý

Ý tưởng của nguyên lý công ảo là khi mà khả năng sinh công của tất cả các lực theo mọi di chuyển ảo (tức mọi khả năng di chuyển của cơ hệ) từ vị trí khảo sát đều bằng không thì cơ hệ không thể nào ra khỏi vị trí cân bằng này Điều này hoàn toàn dễ hiểu vỉ muốn chuyển động phải được cung cấp năng lượng, mà năng lượng cơ học là

do công cơ học của các lực Khi mà theo bất kỳ phương nào từ vị trí khảo sát đều không được cung cấp công thì cơ hệ không thể nào thoát ra khỏi vị trí đó, tức cơ hệ phải cân bằng

Nguyên lý Đối với cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng và lý tưởng, điều kiện cần và đủ để cơ hệ cân bằng tại một vị trí đang xét là tổng công nguyên tố của các lực hoạt động tíong mọi di chuyển ảo của cơ hệ từ vị trí đang xét đều triệt tiêu

(2.1)Trong đó:

F k - lực hoạt động (hợp lực) tác dụng lên chất điểm MK thuộc cơ hệ;

SrK - di chuyển ảo của chất điểm MK.

Chú ý là, lực hoạt động còn được gọi là lực đặt vào (applied forces)

Nguyên lý trên được gọi là Nguyên lý công ảo, còn được gọi là Nguyên lý

Lagrange Phương trình (2.1) được gọi là phương trình công ảo

Chứng minh điều kiện cần Giả thiết cơ hệ năm cân bằng tại vị trí đã cho Xét một chất điểm MK thuộc cơ hệ chịu tác dụng lực hoạt động FK và lực liên kết RK

Vì cơ hệ cân bằng nên mọi chất điểm phải cân bằng, tức:

^K+^K=ữ

Cho cơ hệ một di chuyển ảo và tính công của tất cả các lực tác dụng lên

cơ hệ trong di chuyển ảo này, nó có dạng:

Chứng minh điều kiện đủ Già thiết cơ hệ chịu liên kết hôlônôm, giữ, dừng và

lý tưởng, đang nằm cân bằng tại vị trí khảo sát và tổng công ảo của tất cả các lực hoạt động triệt tiêu trong di chuyển ào của cơ hệ từ vị trí này Sẽ chứng minh răng cơ hệ tiếp tục nằm tại vị trí cân bằng đang xét

Thực vậy, giả sử có chất điểm MK (ít nhất là có một) của cơ hệ dưới tác dụng của lực hoạt động FK và lực liên kết RK không cân bằng mà lại chuyển động từ trạng

thái nằm yên đang xét Di chuyển cùa các chất điểm này được ký hiệu bời drK (rK là

vectơ định vị của chất điểm MK), có cùng phương, chiều với lực tác dụng lên chất điểm là ộk -F k +R k vì chất điểm chuyển động từ trạng thái đầu đứng yên Do các liên kết đặt lên cơ hệ là dừng, nên phương cùa di chuyển thực trùng với phương của một trong các di chuyển ào Chọn di chuyển ảo của các chất điểm không cân bằng trùng với các di chuyển thật đã xảy ra, ta có:

ỈK^K = + &K)SrK = FKSrK + RKSrK > 0

Lấy tổng hai vế đối với tất cả các điểm thuộc cơ hệ và chú ý đến điều kiện

lý tưởng của các liên kết đặt lên cơ hệ, ta nhận được:

Ễ^>0

K=\

Điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy không thể có một chất điểm nào của cơ

hệ chuyển động từ vị trí cân bằng Đó là điều cần chứng minh

2.1.2 Điều kiện cân bằng của cơ hệ hôlônôm trong tọa độ suy rộng đủ

Giả sử cơ hệ hôlônôm có n bậc tự do, vị trí của nó được xác định băng n tọa độ suy rộng đủ ỢpỢ2,—>9n • Như đã biết, biểu thức công ào của các lực hoạt động trong tọa độ suy rộng đủ có dạng:

JT=I *■=! Í=ITrong đó: Q - lực suy rộng của các lực hoạt động ứng với tọa độ suy rộng đủ 4,0’ = 1,«);

Điều kiện cân bằng của cơ hệ theo nguyên lý công ảo sẽ là:

Định lý Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết hôlônôm giữ, dừng và

lý tưởng cân bằng tại một vị trí nào đó là tất cả các lực suy rộng ủng với các tọa độ suy rộng đủ tính đổi với vị trí đang xét, phải đồng thời triệt tiêu

Trong trường hợp các lực hoạt động là những lực có thế và hàm thế năng có

dạng Jt = , theo công thức (1.34), Chương 1:

Ta có định lý sau:

Định lý. Đối với các cơ hệ hôlônôm bảo toàn với liên kết giữ, dừng và lý tưởng, điều kiện cần và đủ để cơ hệ cân bằng tại một vị trí nào đó là hàm thế năng đạt cực trị tại vị trí đó:

2.1.3 Điều kiện càn bằng cửa cơ hệ hôlônôm trong tọa độ suy rộng dư

a) Phương pháp nhăn tử Lagrange

Đối với một số cơ hệ, việc xác định vị trí cơ hệ nhờ các tọa độ suy rộng đủ không thuận tiện, đặc biệt đối với các cơ cấu dạng chuỗi đóng Trong những trường hợp như vậy việc chọn các tọa độ suy rộng dư là thích hợp [18-20]

Giả sử cơ hệ hôlônôm có n bậc tự do, vị trí của nó được xác định nhờ m tọa độ

suy rộng dư 1; (j = 1, m > n) Như đã biết, giữa các tọa độ suy rộng dư và các biến phân của chúng tồn tại các hệ thức dạng (Chương 1, (1.13)’ và (1.19)’)

Đe giải quyết bài toán, ta có thể sử dụng phương pháp nhân tử chưa xác định thường được gọi là phương pháp nhân tử Lagrange Dựa vào 5 phương trình liên kết (2.7), ta đưa vào s nhân tử còn chưa được xác định {Aa}; a = ì,s Nhân các nhân tử này với vế trái của (2.8), lấy tổng theo a và cộng vào vế trái của đăng thức (2.10) Cuối cùng ta nhận được:

(2.11)

Đây là một phương trình biến phân, nó tương đương với hệ các phương trình (đại số) Để tách các phương trình đại số từ phương trình biến phân (2.11), ta tiến hành các bước như sau:

Đầu tiên xác địrih s đại lượng {2a}(a = 1,5) từ í phương trình sau (s - số

phương trình liên kết):

Nỏ cùng với r phương trình (2.7) cho phép xác định được vị trí cân bằng

,m và 5 các nhân tử Lagrange [Ằaj;a = 1,5 Dễ dàng nhận xét rằng dựa vào các nhân tử Lagrange [Ằa } ta tính được các lực suy rộng của các phản lực liên kết:

(2.16)

b) Phương pháp ma trận [21, 24,26,27J

Các hệ thức (2.8) thiết lập s (ít = 1,5) phương trinh đại số chứa m ẩn

(Mí j = l,m > s Số ẩn vượt số phương trinh nên sỗ có k - m - s biến phân là độc

lập Không làm giảm tính tổng quát, ta ký hiệu các biến phân độc lập này qua

{ổqơ};ơ = ỉ,k = m-s.

Do đó tất cả các biến phân [ôqjI; j = ỉ,m, đều có thể biểu diễn tuyến tính qua các biến phân độc lập này Nói khác đi, chúng ta có:

Hệ thức (2.19) có thể được viết trong dạng ma trận nếu ta đưa vào các ma trận

Ví dụ 2.1. Sơ đồ của máy ép trục khuỷu được

cho trên hình 2.1 Tính lực ép Nđược tạo ra

Cơ hệ có một bậc tự do Các tọa độ suy rộng

được chọn là góc quay của vít và góc mở của khung, ký

hiệu tương ứng qua (p, a Đây là các tọa độ suy rộng

dư vì cơ cấu chi có một bậc tự do Phương trình liên kết

có dạng:

ộ?+—— sin« = o

h

Hình 2.1

Trong đó:

h - bước của vít;

L - chiều dài của thanh khung ép

Từ phương trình liên kết ta tính được:

Sa = — - - ỗ<pILxcosa

TTCOtanơ

N = - —Mh

Ví dụ 2.2. Khảo sát cơ cấu máy bào

ngang Độ dài tay quay OA = r, cần lắc OịB = l,

khoảng cách giữa hai trụcOO) = h Tính mô men

động cơ M để cân bằng với lực F (tải)

Chọn ba tọa độ suy rộng: (ft,(fa,X hệ có

Từ các phương trinh liên kết tính được biểu thức các gia tốc phụ thuộc ộ?2 > X theo gia tốc độc lập ỉị\:

_ rcosfo-fl) _ » +

2 rcos(<p2-<pt)-hcos<p2 1

x = r/cos(g>2-ff,) +rcos(ự>2-^)-Acos^2 1Trong đó, các số hạng không viết không chứa các gia tốc

Từ đây tính được các biến phân của các biến phụ thuộc theo biến phân độc lập

r cos(ọ>2 - q\) - h cos (p2 r cos(ỹ>2 - <f\) - h cos <p2

Để tính các lực suy rộng ứng với các tọa độ suy rộng (dư), ta tính tổng công ảo của các lực F và ngẫu lực M;

2.1.4. Điều kiện cân bằng của hộ không hôlônôm

a) Khảo sát cơ hệ với các tọa độ suy rộng độc lập chịu các liên két không hôlônôm tuyển tính dạng

/=1

Như đã biết, các di chuyển ảo thỏa mãn các hệ thức sau:

(2.23) /=1

Điều kiện cân bằng cùa cơ hệ có dạng (2.10), trong đó các biến phân

; i = 1, n thỏa mãn các hệ thức (2.23) Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange,

điều kiện cân bằng cùa cơ hệ được viết như sau:

Ta nhận được (n + r) phương trình (2.24) và (2.25) chứa n ẩn {ợ.Ị và r ẩn

I • Nghiệm của hệ phương trình này có các trị số I; í = 1, M xác định vị trí cân bằng cơ hệ và I xác định phàn lực liên kết của các liên kết không hôlônôm (2.23) lên cơ hệ, đó là:

Tại vị trí cân bằng không có hệ thức (2.25), nên vị trí cân bằng được xác định

chỉ nhờ n phương trình (2 24), chứa (n + r) ẩn Trong trường hợp này vị trí cân bằng

của hệ phụ thuộc vào r thông sốPp(jì = 1,r), tức vị trí cân bằng của cơ hệ không được

xác định duy nhất mà có một đa tạp các vị tri cân bằng, còn được gọi là một siêu diện

các vị tri cân bằng, cần nhấn mạnh đây là một đặc điểm cùa hệ không hôlônôm,

có vai trò quan trọng trong việc khảo sát ổn định của các cơ hệ không hôlônôm và cà trong một số bài toán về ổn định, ổn định hóa của các hệ được điều khiển, điều chỉnh (liên quan đến độ nhạy).

Có thể áp dụng phương pháp ma trận đã nêu trên vào việc khảo sát trường hợp

cơ hệ không hôlônôm với liên kết (2.22)

Để làm điều này từ (2.22) ta viết biểu thức các vận tốc qua các vận tốc độc lập trong dạng sau:

nhờ các hệ số dia (Ị = \,n\ơ = \,k) Do đó ta thiết lập được ma trận D trong (2.21) cho

trường hợp cơ hệ không hôlônôm

Chú ý: Biểu thức của phản lực liên kết (2.16) đối với hệ hôlônôm sử dụng tọa độ

dư và (2.26) đối với hệ không hôlônôm tuyến tính đổi với vận tốc có thể viết trong dạng ma trận:

Trong đó Q* là ma trận của các phản lực liên kết suy rộng Q’:

(2.30)

ứng với các tọa độ suy rộng qt (i = l,n)

Bài toán cân bằng của cơ hệ được xem xét trong quan điểm tổng quát đã được trình bày trong [14, 16]

gọi là lực quán tính của chất điểm, nó không phải là lực tác dụng lên chất điểm, mà là

lực từ chất điểm M tác dụng lên phần tử buộc nó chuyển động với gia tốc ã Phương

trình (2.31) được viết như sau:

(2 32)

Trong đó, R là phản lực của liên kết tác dụng lên chất điểm.

Phương trình (2.32) diễn tả nội dung của nguyên lý D’Alembert đối với chất điểm không tự do

Nguyên lý' Tại mỗi thời điểm, hệ lực gồm các lực tác dụng lên chất điểm và lực quán tính của chất điểm tạo thành hệ lực cân bằng

Trong trường hợp chất điểm tự do, nguyên lý D’Alembert được viết như sau:

Cỏ thể xem dạng (2.33) là chung cho cả hai trường hợp, nếu trong (2.33) xem

lực F là hợp lực của tất cả các lực thật (trong đó bao gồm cả phản lực liên kết) tác dụng

lên chất điểm

Như vậy bằng cách đưa vào các lực quán tính của các chất điểm thuộc cơ hệ, ta

có một hệ lực gồm các lực thật và các lực quán tính tạo thành một hệ lực cân bằng (hệ lực từng đôi một trực đối nhau) theo nghĩa cân bằng hình học (vectơ chính và mô men chính của hệ lực đối với một điểm bất kỳ triệt tiêu) và theo nghĩa giải tích (tổng công của tất cả các lực tíong mọi di chuyển ảo triệt tiêu) Điều này được khẳng định dựa vào

hệ lực được tạo nên gồm từng đôi một trực đối và có cùng điểm đặt Ta có:

Nguyên lý D’Alembert đối với cơ hệ:

Tại mỗi thời điểm, hệ lực gồm các lực thật tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ

và các lực quán tính cùa các chất điểm thuộc cơ hệ tạo thành hệ lực “cân bằng”

Chú ý: "Cân bằng" ở đây theo ý nghĩa hình học (vectơ chính và mô men chính cùa hệ lực đối với một điểm bất kỳ triệt tiêu) và giải tích (tổng công của tất cả các lực trong mọi di chuyển ảo triệt tiêu)

Đối với cơ hệ tự do, nguyên lý được khai thác điều kiện cân bằng dạng hình học,

ở đó lực thật gồm các ngoại lực và nội lực, do vectơ chính và vectơ mô men chính hệ nội lực đối với một điểm bất kỳ triệt tiêu, nên chi quan tâm đến hệ các ngoại lực Liên quan đến quan điểm này ta có phương pháp rất cỏ hiệu quả, đặc biệt đối với việc xử lý bài toán thứ hai của động lực học: xác định các lực (chủ yếu là các lực liên kết) khi đã xác định được chuyển động của cơ hệ Phương pháp này được gọi là phương pháp Tĩnh

hình học - Động lực, nó là một phương pháp rất quan trọng để giải quyết các bài toán

cơ kỹ thuật Ý tưởng của phương pháp này là sử dụng phương pháp hình học tĩnh học (phương pháp Poinsot - các phương trình cân bằng tũih học) để giải các bài toán động lực học