Động lực học giải tích (Động lực học của các hệ cơ và hệ cơ - điện) - Đỗ Sanh (Chủ biên), Đỗ Đăng Khoa.pdf

Động lực học giải tích (Động lực học của các hệ cơ và hệ cơ - điện) - Đỗ Sanh (Chủ biên), Đỗ Đăng Khoa.pdf Động lực học giải tích (Động lực học của các hệ cơ và hệ cơ - điện) - Đỗ Sanh (Chủ biên), Đỗ Đăng Khoa.pdf Động lực học giải tích (Động lực học của các hệ cơ và hệ cơ - điện) - Đỗ Sanh (Chủ biên), Đỗ Đăng Khoa.pdf

CÁC KHÁI NIỆM cơ BẢN VÈ cơ HỆ KHÔNG Tự DO

Định nghĩa về cơ hệ không tự do

Cơ hệ là tập hợp các chất điểm có sự tương tác cơ học với nhau, và chính những tương tác này tạo ra chuyển động cho các chất điểm trong hệ.

Cơ hệ tự do là loại cơ hệ mà giữa các chất điểm chỉ có tương tác cơ học thuần túy, được gọi là lực Trong cơ hệ này, mọi chất điểm có thể di chuyển tự do từ vị trí đang xét mà không bị cản trở, như trường hợp của các thiên thể.

Cơ hệ không tự do là tập hợp các chất điểm mà chuyển động của chúng bị ràng buộc bởi các điều kiện hình học và động học nhất định, bên cạnh các lực tác dụng Ví dụ, cơ cấu bốn khâu là một dạng cơ hệ không tự do, nơi các ngẫu lực và trọng lực tác động lên các khâu, đồng thời có những ràng buộc hình học như điểm A chỉ có thể di chuyển trên đường tròn với bán kính OA, và điểm B di chuyển trên cung tròn với bán kính OB Khoảng cách giữa hai điểm A và B luôn được giữ cố định, trong khi các điểm O và Oi là cố định Những điều kiện này là độc lập với các lực tác động và được duy trì trong suốt quá trình hoạt động của cơ cấu.

Liên kết, phương trình liên kết, phân loại liên kết

Các điều kiện ràng buộc trong cơ học liên quan đến hình học và động học, bao gồm vị trí, vận tốc và gia tốc của các chất điểm trong hệ Những điều kiện này không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu của chuyển động và các lực tác dụng, mà vẫn tồn tại trong suốt quá trình hoạt động của hệ Khi các lực tác động thay đổi hoặc biến mất, các điều kiện ràng buộc vẫn giữ nguyên Những điều kiện này được gọi là các liên kết, và trong cuốn sách này, chúng tôi sẽ tập trung khảo sát các cơ hệ chịu ràng buộc đối với tọa độ và vận tốc của các chất điểm.

Các phương trình và bất phương trình trong cơ học thể hiện mối ràng buộc về mặt hình học và động học đối với các chất điểm trong hệ thống Chúng có dạng toán học cụ thể, giúp mô tả các quy luật chuyển động và tương tác của các chất điểm trong không gian.

/aơ’x1.^p^ >^>ywằzw,jc1,j1,z1, ,xM,ỹJ,,zA,)ằO;a = l,5

Trong đó: s - chi số phương trình liên kết.

Các phương trình liên kết được viết dưới dạng tắt sau:

(1.2) Để minh họa, ta khảo sát các ví dụ sau.

Con lắc toán học bao gồm một chất điểm M có khối lượng m, được gắn vào đầu dây mảnh với chiều dài l Đầu dây còn lại được cố định tại một điểm o, cho phép con lắc chuyển động trong mặt phẳng đứng.

Điều kiện ràng buộc cho chuyển động của con lắc là chất điểm M luôn luôn cách điểm cố định O một khoảng không lớn hơn l Về mặt toán học, điều kiện này được diễn tả bằng công thức sau:

/0,x,y) = x2+y2-/2x2+y2-/2=0 (1.4) tức trong quá trình chuyển động điểm M không thể rời khỏi đường tròn tâm o, bán kính /.

Khi chiều dài của dây thay đổi theo thời gian, tức là \(L = L(t)\) và dây luôn ở trạng thái căng, phương trình liên kết có thể được diễn đạt như sau: (hình 1.3).

Trong ví dụ 1.2, chúng ta khảo sát chuyển động của cơ cấu bốn khâu, trong đó các khâu quay OA và OxB có chiều dài lần lượt là rx và r2, còn khâu song phăng AB có chiều dài l như minh họa trong hình 1.1.

Vị trí của cơ cấu được xác định bởi tọa độ của hai điểm A và B Để đảm bảo điểm A không rời khỏi đường tròn có tâm ơ và bán kính OA, cần tuân theo phương trình sau:

Z=^+^-'i2=0 (1-6) Điều kiện để điểm B luôn luôn nằm trên đường tròn tâm ƠI, bán kính r2 được viết thành phương trình:

Trong đó: a, b là các tọa độ của ƠJ, (ứ = OO\, b = 0). Điều kiện ràng buộc về khoảng cách hai điểm A và B luôn luôn không đổi có thể được viết thành:

Như vậy ta có ba phương trình liên kết biểu diễn các điều kiện ràng buộc đối với cơ cấu bốn khâu, tức 5 - 3.

Khảo sát một đĩa tròn đồng chất với bán kính R không trượt trên đường nằm ngang cho thấy rằng chuyển động của đĩa bị ràng buộc bởi hai điều kiện quan trọng: thứ nhất, tâm của đĩa phải di chuyển dọc theo một đường thẳng song song với trục Ox; thứ hai, vận tốc tiếp điểm giữa đĩa và đường thẳng phải bằng không.

Hai điều kiện này được biểu diễn qua hai phương trình sau:

Trong đó, X và Y đại diện cho tọa độ tâm c của đĩa, p là góc định vị của bán kính đĩa so với phương ngang, với chiều dương của góc được tính ngược chiều kim đồng hồ Số phương trình liên kết là 2.

Hai chất điểm được gắn vào hai đầu của một thanh có độ dài không đổi, chuyển động trong mặt phẳng Oxy Vận tốc của điểm giữa thanh luôn hướng dọc theo thanh, minh họa cho bài toán Chaplygin trong mặt phẳng.

Các phương trình liên kết đối với cơ hệ sẽ là:

Dựa vào dạng của các phương trình liên kết người ta phân loại các liên kết như sau:

Liên kết giữ và không giữ được phân loại dựa trên các điều kiện ràng buộc Nếu các ràng buộc được mô tả bằng phương trình, liên kết được gọi là giữ hay liên kết hai phía Ngược lại, nếu mô tả bằng bất phương trình, liên kết được gọi là không giữ hay liên kết một phía Ví dụ, con lắc có liên kết giữ khi OM được coi là thanh cứng, với phương trình liên kết dạng (1.4), và liên kết không giữ khi OM là dây mềm, với phương trình liên kết dạng (1.3) Tất cả các liên kết của cơ cấu bốn khâu khi các khâu là cứng (không bị biến dạng) đều là liên kết giữ.

Liên kết dừng được định nghĩa là liên kết không chứa biến thời gian trong phương trình, trong khi liên kết không dừng có sự xuất hiện của biến thời gian Đối với con lắc có độ dài thay đổi theo thời gian, liên kết sẽ là không dừng với phương trình liên kết dạng (1.5) Ngược lại, các liên kết trong cơ cấu bốn khâu thường là các liên kết dừng.

Liên kết hình học và liên kết động học là hai khái niệm quan trọng trong cơ học Liên kết hình học xuất hiện trong các phương trình liên kết có chứa các yếu tố vị trí, trong khi liên kết động học bao gồm cả các yếu tố vận tốc, được thể hiện trong các phương trình liên kết dạng (1.10).

Liên kết hôlônôm là loại liên kết trong đó phương trình không chứa yếu tố vận tốc, hoặc có thể được biến đổi thành dạng không chứa yếu tố vận tốc thông qua các phép tính tích phân Các liên kết này bao gồm liên kết hình học và liên kết động học có thể thay thế bằng liên kết hình học, được gọi là liên kết khả tích Ví dụ, liên kết (1.10) có thể được thay thế bằng cách chọn gốc tọa độ thích hợp, dẫn đến dạng x + R