Độ tin cậy trong thiết kế chế tạo máy và hệ cơ khí (Nguyễn Doãn Ý).pdf

Động lực học và chẩn đoán diesel tàu thủy bằng dao động - Đỗ Đức Lưu.pdfĐộng lực học và chẩn đoán diesel tàu thủy bằng dao động - Đỗ Đức Lưu.pdf

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

PGS TS NGUYỄN DOÃN Ý

Dộ TIN CÂY TRONG THIẺT KẺ CHẺ TẠO

MẢY VĂ HỆ Cơ KHl

了WIT v iẽ N

パ ， ” J イ

NHÀ XUẤT BẢN XÂY DựNG

HÀ NỘI 2004

LỜI NÓI ĐẦU

T ron g g ia i đ o ạ n k in h t ế thị trường hiện nay, người ta luôn m ong rằn g các h ệ thốn g k ĩ thu ật p h ả i được h o ạ t độn g với hiệu qu ả cao nhất, kin h t ế nhất, n h ằm th oả m ãn ngày càn g được n ân g cao về ch ất lượng sống củ a con người Đ ồng thời p h ả i đ ả m b ảo a n toàn, tin cậy như người

ta m on g m uốn đ ối với từng tnièt bị, hệ thống k ĩ thuật, đ ặ c biệt cần trán h được nhữ ng sự c ố ngẫu n hiên là m tổn h ạ i vô cùng lớn la o cho con người

T h í d ụ : th ả m h o ạ tầu vủ trụ C hallen ger, sự c ố n h à m áy đ iện h ạ t n h ân

C hernobyl.

Đe d ạ t được những m ục tiêu trên， việc thiết k ế ch i tiết， hệ tnong k ĩ thu ật trên cơ sở độ tin cậy (ĐTC) đ ã và đ a n g đ ặ c biệt được q u an tâm sử dụng Cuốn sá ch này trình bày nội du n g thiết k ế trên cơ sở tin cậy và ứng dụ n g vào các ngành k ĩ thu ật hiện đ ại, cách p h â n tích các thông sô gây hỏng theo tnơi g ia n và kiềm soát được tuổi thọ dự a theo độ tin cậy Tác g iả đư a các ví dụ á p dụn g n hằm giú p cho sin h viên, các ngnien cứu sinh, cá c n h à k ĩ thu ật d ễ d à n g g ia i quyết nhữ ng yêu cầu củ a thực t ế sản xuất đ ề ra.

Đê đ ộc g iả tìm h iểu thu ận lợi, cuốn sá ch củng trìn h bày tóm tắt những nội du n g toán học, thốn g kê, xác suất, vật lí học làm cơ sở tìm hiểu các lí thuyết về đ ộ tin cậy, đồn g thời cung cấp những qu an sát lin h

h oạt uề n hiều k h ía cạn h k h á c n h au như: độ tin cậy k ĩ th u ật’ độ tin cậy

cơ học V ai trò qu an trọng của việc kiểm tra, thử độ tin cậy đóng trong quá trình thiết ke vạn h à n h và tối ưu k h ả năng là m việc của thiết bị.

Tác g iả xin chân th àn h cám ơn G iáo sư - Viện sĩ Nguyễn Anh Tuấn đ ã nniệt tinh giú p đ ỡ trong qu á trình biên soạn cuốn sách này.

Chúng tôi hi vọng rằn g cuốn sách này cung cấp cho độc g iả các kien thức thiết thực trong q u á trình nghiên cứu và học tập.

r r \ ỵ • [Ị

lác giá

"Độ tin cậy là khả năng h oạt động của thiết bị, thực hiện chức năng của n ót trong khoang thời gian nhất định dưới những điểu kiện làm việc đặt ra trướcn.

VI vậy ĐTC được coi như là phép đo thời gian hoạt động thành công của thiết bị ĐTC bao gồm quá trình hình thành, hoạt động, từ thiết kế, chế tạo sản xuất, vận tải, lắp đặt và bảo dưỡng, bảo hành đến thay thế, sửa chữa ĐTC là ngành khoa học ứng dụng tổ hợp nhiều ngành khoa học, toán, vật lí, cơ học và kĩ thuật sản xuất ĐTC cũng còn là một công cụ quan trọng để phát hiện những nguyên nhân gây hỏng và đề ra được những hiện pháp khắc phục.

1.2 Ý NGHĨA CỦA ĐỘ TIN CẬY

Trong quá trình phát triển của kĩ thuật, người ta đã phải chứng kiến biết bao nhiêu sự

eo, Ihí dụ: vào nãm 1940, cây cầu Tacoma Narrows đổ sập sau 4 tháng đưa vào sử dụng,

do tác động cua cơn gió 42m/phút gây ra dao động xoắn.

Vào nảm 1943, tầu chở dầu Schenectaly bị gãy làm đỏi do hỏng mối hàn; vào tháng 1-1986 tầu vũ trụ Challenger bị nổ, cùng nãm này, lò phản ứng hạt nhân Chernobyl bị rò rỉ chất phóng xạ Tầm quan trọng của ĐTC cũng được nhận ra ngay trong cuộc sống hàng ngày, từ những sản phẩm trong gia đình như tivi, tủ lạnh đến

xe máy, ỏtô, tàu hoả, máy bay

Trong nghiên cứu ĐTC, việc phân loại thành chi tiết, cơ cấu, nhóm, cụm chi tiết hay máy, hệ thống tuỳ thuộc vào quan điểm ứng dụng nhất định Thí dụ: có thể coi 1 xe máy

là một hệ thống gồm các thành phần (cơ cấu) động cơ, thân, hộp số ; Nhưng cũng có thể coi một động cơ là một hệ thống gồm: pitton, xilanh, vòng gãng, trục khuỷu

Đối với những sản phẩm tiêu dùng như： quạt điện, tivi, máy giặt, ĐTC được đánh giá theo các tiêu chí sử dụng cụ thể và thời gian sử dụng cụ thể Vì vậy ĐTC luôn liên quan đến kinh tế, tức là liên quan đến giá cả.

5

Nhà sản xuất và ngươi tiêu dùng cùng chung một mục tiêu là tối uu hoá sử dụng thiết

bị sao cho kinh tế nhất.

Trong thực tế, ĐTC bị giảm, không phải lúc nào cũng từ các khâu thành phần phức tạp mà ngay cả từ các khâu thành phần đơn giản Vì vậy ĐTC của hệ thống cần phải được kể đến ảnh hưởng của các khâu thành phần, kể cả íchâu đơn giản nhất.

1.3 NGUYÊN NHÂN HỎNG

Trong thực tế các nguyên nhân hỏng do cơ học, lí học, hoá học, do đó ĐTC của thành phần hay hệ thống gắn liền với độ bền của nó Hỏng xảy ra tuân theo các quy luật ngẫu nhiên mà nguyên nhân chính là mối quan hệ giữa độ bền và tải trọng tác dụng lên chúng, ở đây tải trọng mang nghĩa rộng, tức là ảnh hưởng của các yếu tố cơ,

lí, hoá, điện.

1.3.1 Hỏng và tốc độ hỏng

Nếu xét khâu thành phần cơ, điện,

thì tốc độ hỏng của chúng được chia

thành 3 giai đoạn biểu thị ở hình 1.1:

giảm; ổn định; tăng Dạng đường cong

là một dạng hình chậu Nhìn chung, ở

giai đoạn ổn định, tốc độ hỏng nhỏ, khi

xuất hiện hỏng ở giai đoạn này hoàn

toàn mang tính ngẫu nhiên, đột ngột,

nhân hỏng để khắc phục, sửa chữa xử lí

sao cho đảm bảo ĐTC Thí dụ 1.1 minh hoạ số liệu hỏng và đồ thị hỏng của má phanh ôtồ.

Bảng 1.1 Những tỉ lệ hỏng tiêu biểu của một số bộ phận cơ đỉện

(/triệu giờ) Bộ phận điện

Lần hỏng (/triệu giờ)

Hình 1.1: Đường cong hỏng dạng "bồn tắm"

B ản g 1 1 (tiếp theo)

(/triệu giờ) Bộ phận điện

Lần hỏng (/triệu giờ)

T h í dụ 1 1 : Số liệu được căn cứ theo tuổi thọ (thời gian hoạt động) má phanh của

một ôtỏ lấy làm mẫu.

Tuổi thọ của má phanh hoạt động có hiệu quả (tính theo km)

Biểu đồ tần số tương quan thể hiện sự phân bố hoạt động (tuổi thọ) của má phanh

và độ lệch chuẩn trong hoạt động của má phanh.

Sự phân bố thời gian làm việc của má phanh (tuổi thọ) (TT) được bieu diễn dưới dạng

đồ thị hình 1.2a; các số liệu được xử lí theo các bước sau:

1 Giá tĩị nhỏ nhất và cao nhất là 2 6 lOOkm và 86.300km,lấy tròn là 25.000 và 90.000km Như vậy dải tuổi thọ làm việc là 90.000 - 25.000 = 65000km.

2 Chia dải TT thành 13 khoảng, ứng mỗi khoảng 5000km.

3 Số lần TT xẩy ra nằm trong mỗi khoảng tương ứng bảng sau:

Khoảng tuổi thọ

(km hoạt động)

Số lần hỏng được quan sát trong khoảng thời gian

Khoảng tuoi (km hoạt động)

Số lần hong được quan sát trong khoảng thơi gian

5 Hình 1.20 biểu thị tỉ lệ phần trăm của TT má phanh.

6 Hình 1.2c biểu thị xấp xỉ của TT má phanh, thành một đường cong liên tục.

Giá trị trung bình của TT má phanh là:

Độ lệch bình phương trung bình là:

Hình 1.2: Độ bên của má phanh (tính theo ngàn km)

1.3.2 Hỏng cơ và cấu trúc

Nhìn chung các chi tiết máy đều có một thời gian làm việc ổn định nhất định, chi tiết này bị hỏng khi nó không tuân theo điều kiện làm việc ban đầu đặt ra Nguyên nhân chính là do độ lớn và loại tải trọng gây ra, có thể coi chúng gồm 3 loại chính sau: tải trọng tĩnh, động và chu kì, ngoài ra còn các tải trọng khác tác động như： rão, chùng, rạn nút, gẫy, đứt ăn mòn, mài mòn

4 Hỏng do bị ăn mòn, dưới tác dụng của hoá học, môi trường.

5 Hỏng do mài mòn: dưới tác dụng của chuyển động tương đối lăn, xoay, và trượt.

6 Hỏng do mất ổn định, mặc dù tải tác động nhỏ.

Trong thực tế, chi tiết trải qua nhieu dạng hỏng to hợp từ khuyết tật khi chế tạo, đến lắp ráp, vận hành, sửa chữa, môi trường, đến các loại tải trọng khác nhau.

1.4 ĐỘ TIN CẬY VÀ HỆ SỔ AN TOÀN

Trong thiết kế các công trình và máy móc, thông thường người ta đưa thêm hệ số an toàn, thể hiện tỉ số độ bền và khả năng tải; nhưng trong thực tế ca hai thông số này đều phân tán, chúng gồm các phần độc lập và phần giao thoa với nhau, chính vùng này gây

ra những sự cố hỏng ngẫu nhiên của cơ cấu, hệ thống.

Điều đó chứng tỏ, các phương pháp thiết kế thông thường chỉ dựa vào hệ số an toàn là chưa hợp lí Vì ngay cả khi hệ số an toàn giống nhau vẫn xẩy ra ĐTC khác nhau.

Để chứng tỏ điều đó, ta thử xét một khớp nối bằng bulông Nếu các kết quả thực nghiệm về độ bền và tải trọng có kết quả như hình 1.3a và 1.30 Những phân phối này biểu diễn gần đúng bằng đưcmg cong nét đứt.

Giá trị trung bình, hoặc kì vọng của độ bền (S) và tải trọng (L )là : s = 1 5 0 kG/mm2

và L = 75 kG/mm2.

Theo lí thuyết thiết kế thông thưòrng, hệ số an toàn sẽ là:

s

n = = L

150 ーっ -= 2 75

Do đó có thê kết luận, bulông sẽ hoàn toàn không bị hong khi làm việc.

Tuy nhiên nếu bleu dien hai phân phối s và L trên cùng một hệ toạ độ (hình 1.4)

Chúng có một phần giao nhau chính tại đây xẩy ra khả năng lai lớn h〇 fn khả năng độ bển

và là nguvên nhân dẫn aen nong ngau nhiên, tuy hệ số an toàn von rất cao.

Tần suất liên quan

Hình 1.4

Trong trường hợp cùng nâng s và L lên một lượng c , ta có hệ so an toàn không đổi, nhưng miền giao nhau nhỏ đi (hình 1.5); chứng tỏ cường độ hỏng ngẫu nhien cũng nhỏ đi Trong trường hợp s và L tuân theo các phân phối ngẫu nhiên knac nhau, nhưng

s và L van giư nguyên (hình 1.6).

11

Tán suất liên quan

s Những phân bố cơ bản giá trị

Hỉnh L 6 : Biến đổi xác suất lôi lceo theo những thay đổi

trong độ lệch chuẩn của tải và độ bền

Ta cũng nhận thấy rằng: tuy hệ số an toàn không đổi nhưng vùng giao nhau thay đổi, điều đó cũng chứng tỏ cường độ hỏng ngẫu nhiên cũng thay đổi.

Như vậy ĐTC của khâu thành phần hay hệ thống là một đặc tính bắt buộc, vốn có Nó cần được quan tâm ở từng giai đoạn: thiết kế, chế tạo, kiểm tra, bảo dưỡng Ở giai đoạn thiết kế liên quan đến: vật liệu, kết cấu, công nghệ, dung sai cần phải được xác định kĩ

lưỡng Trong quá trình chế tạo, phải đảm bảo các bước kiem tra hợp lí, đúng yêu cầu thiết kế Các kết quả thống kê bảo dưỡng, sửa chữa trong quá trình làm việc của chi tiet phải được thu thập đầy đủ, từ đó có thể nâng cao ĐTC của chi tiết và hệ thống.

Ngoài ra yếu tố con người vẫn là quan trọng nhất, để đảm bảo ĐTC của cni tiet, hệ thống đã đặt ra trước.

Khoa học ĐTC là một ngành khoa học quan trọng, được đặc biệt chú ý từ những năm 50 ở Mĩ; Bắt đầu từ việc xác định độ tin cậy của hệ điều khiển điện tử trong chiến tranh thế giới lần thứ 2 Theo kết quả thông báo 60% thiết bị chở bằng tầu thuỷ đến phương Đông và 50% thiết bị dự trữ trong kho, không thực hiện được các chức năng kĩ thuật đề ra Năm 1949 khoảng 70% thiết bị điện tử của Công ty Navy không vận hành được, vào khoảng 1950 không quân Mĩ đã thành lập nhóm nghiên cứu ĐTC

và biện pháp nâng cao ĐTC.

Khi bàn về thiết kế dựa trên độ tin của máy, kết cấu, nghĩa là thể hiện mối quan hệ quan trọng giữa máy, kết cấu với chính đời sống của con người Trong bảng 1.2, chúng

ta nhận thấy ngay nguy cơ hỏng của máy, công trình kết cấu đối với con người Vì vậy mục tiêu không ngừng nâng cao ĐTC và tuổi thọ của máy, công trình luôn là vấn đề thời

1 Mặt ngửa có 1 dấu chấm.

2 Mặt ngửa có 4 dấu chấm.

3 Mặt ngửa có số lẻ dấu chấm (1 ,3 , 5).

4 Mặt ngửa có lớn hơn 3 dấu chấm.

5 Mặt ngửa có thể 2 dấu chấm hoặc 3 dấu chấm.

6 Mặt ngửa có thể bất kì 1 ,2 , 3, 4, 5, 6 dấu chấm (Sự kiện chắc chắn xẩy ra).

2.2 SỰ KIỆN LOẠI TRỪNHAU

Nếu sự kiện này xuất hiện loại trừ sự kiện kh ác trong cùng một thí nghiệm, thì cá c sự kiện đó được gọi là loại trừ nhau.

Hai sự kiện loại trừ nhau, không thể cùng tồn tại trong một thí nghiệm, ví dụ như sự kiện sấp hoặc ngửa của một đồng xu khi tung lên, là sự kiện loại trừ nhau.

2.3 C ơ SỞ LÍ THUYẾT

Một tập hợp có thể được chọn lựa từ rất nhiều phần tử vì vậy khi chọn lựa một phần tử nào đó, ta phải xét phần tử này có thuộc tập hợp trên không ? Nếu một tập hợp không có phần tử nào thì được gọi là một tập rỗng.

- Hợp của hai tập hợp

Hợp của hai tập hợp A và B được xác định bởi tất cả các phần tử thuộc A hoặc B hoặc

cả hai, được biểu thị như sau:

Kí hiệu: A u B gọi là hợp A và B

Thí dụ: Nếu A là tập hợp các phần tử {1 ,2 , 3}

và B là tập hợp các phần tử { 1 ,4 , 3}

Kết quả A u B = { 1 ,2 , 3 ,4 }

- G iao của hai tập hợp

Giao của hai tập hợp A và B, được xác định bởi tất cả các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B, được biểu thị như sau:

Kí hiệu: A n B gọi là giao của A và B.

(A n B) n c = A n (B n C) ( A u B ) n C = ( A n C ) u ( B n C ) (A n B) u c = (A u C) n (B n C)

A u B = A n B

A n B = A u B

2.4 ĐIỂM MẪU VÀ KHOẢNG MẪU

Một khoảng mẫu xác định một tập hợp bao gồm tất cả kết quả thực nghiệm, thí dụ:

khi tung con xúc sắc thì khoảng mẫu bao gồm các mặt 1 ,2 , 3, 4, 5, 6

Một phần tử của khoảng mẫu được gọi là điểm mẫu: tập hợp, tập con và sự kiện.

T hí dụ 2.1: Một nhà cung cấp nhiệt mua bốn nồi đun nước Giả thiết 50% làm việc

tốt trong một nãm Các sự kiện có thể xác định được ở cuối năm thứ nhất được trình bầy

ở bảng 2 1.

15

Trong đó: Trạng thái làm việc tốt (G);

Khoảng mẫu sẽ gồm 16 điểm mẫu và được biểu diễn bằng đồ thị hình 2'1.

Hình 2.1: Biểu đồ điều knien mẫu Venn

Bảng 2.2 Ý nghĩa vật lí của điểm mẫu

Sự kiện Ý nghĩa vật lí Điểm mẫu tương ứng với sự kiện

Khi P (E )= 1 , chứng tỏ rằng, sự kiện E xuất hiện là chắc chắn.

Thí dụ: Khi tung đồng xu, xác suất thu được mặt ngửa là có thể, khi đó thu được mặt sấp cũng có thể, xác suất sẽ là 50%

Còn nếu tung con xúc sắc, thì xác suất xuất hiện 1 trong 6 mặt là điều chắc chắn xẩy

2.6 TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT

2.6.1 Hợp và gỉao của haỉ sự kiện

Nếu Eị va E2 biểu thị hai sự kiện, hợp của Eị, E 2 biểu thị như sau:

E! u E 2 hoặc (Ej + E 2) Giao của E j và E 2 là: Eị n E 2 hoặc E iE 〗

Nếu tập Eị được tạo ra từ hai tập con rời rạc A], A2 va E 2 được tạo ra từ hai tập con rời rạc A2, A3 tức là tập A2 biểu thị phần chung của tập Eị, E 2.

Trong đó: Aị biểu thị phần riêng của tập E j；

A3 Diêu thị phần riêng của tập E2.

Tức là hợp của Eị, E 2 sẽ là ba tập con Aị, A2, A3 và giao của E ị, E2 sẽ là một tập con A2

Có: P (E j u E 2) = P (E j) + P (E 2) - P ( EjE 2) (2.4)

P(Eị n E2) = diện tích gạch chéo 2 lần ở hình 2.2.

2.6.2 Hai sự kỉện loại trừ nhau

Khi hai tập Eị và E2 không có phần chung nào, chúng được gọi là rời rạc h o ặ c loại

trừ nhau, tức phần giao nhau là một tập rỗng (không có phần tử nào) (hình 2.3) hay nói

cách khác Eị va E2 khồng đồng thời xẩy ra.

Thí dụ: Chúng ta biểu thị Eị là sự kiện có mưa và E 2 là sự kiện nắng, của một địa phương, trong cùng mộtửìời điểm Hai sự kiện này sẽ loại trừ nhau, đã nắng sẽ không có mưa và ngược lại, giao của chúng là một tập rỗng.

T h í dụ 2 2 : Từ thí dụ 2.1 hãy xác định xác suất một nồi hơi không hoạt động ở cuối

nầm thứ nhất và xác suất để có ít nhất 3 nồi hoạt động ở cuối năm thứ nhất.

G iải:

Với 16 kết quả thí nghiệm và xác suất hỏng, làm việc của mỗi nồi là như nhau, 50%,

16 sự kiện là bình đẳng ỸÌ* Yậỵ xác suất xẩy ra một sự kiện ỉà 1/16.

1 Nếu sự kiện E j được coi là xác suất ả ể có 1 nồi hoạt động vào cuối năm thứ nhất,

nó gồm 4 điểm mẫu: GBBB; BGBB; BBGB; BBBG.

Tức là P(E丨 ） ニ 4バ6 = 1 /4 = 25%

Tương tự ta có: P(E2) = 6/16 (chỉ 2 nồi hoạt động)

P(E3) = 4/16 (chỉ 3 nồi hoạt động) P(E4) = 1 /1 6 (chỉ 4 nồi hoạt động) P(E〇 ) = 1 /1 6 (chỉ không nồi nào hoạt động) Nếu E xác định ít nhất 3 nồi cùng hoạt động, có nghĩa là tương ứng cả trường hợp 4 noi cùng hoạt động, như vậy sự kiện E tương ứng với hợp của E 3 và E4.

P(E) = P(E 3 u E 4) = P (E 3) + P (E 4) - P (E 3 n E 4) Nhưng vì E 3 và E4 loại trừ nhau, nên P(E3 n E4) = P(E3.E4) và P(E3.E4) = 0.

2.6.3 Hai sự kiện bù nhau

Trong toàn bộ khoảng mẫu, biểu thị sự kiện E và E thì có: P(E) -f P ( E ) = 1

Thí dụ: nếu E là sự kiện xuất hiện 1 trong 6 mặt của con xúc sắc, thì E là sự kiện xuất hiẹn bất kì mặt còn lại của con xúc sắc.

Ta có: P (E )= 1 /6 và p( 巨） = 5 /6

Tni dụ 2 3 : Một thành phố có hai ngân hàng A và B, trong đó có

45% khách hàng kinh doanh VƠI ngân hàng A 30% khach hàng kinh doanh với ngân hàng B 15% khách hàng Kinh doanh VƠI cả ngân hàng A và B

10% khách hàng không kinh doanh với ngân hàng nào cả.

P (Ể 1Ẽ 2) = P (Ẽ T Ũ Ẽ ^ )= 1 一 P(E! u E 2) = 1 - 0 , 9 = 0 ,1

P ( Ẽ 1 u E 2 ) - P (Ẽ 1) + P(E2) - P(ẽ iE 2) = [ 1 - P (E !)] + P (E 2) - P (Ẽ 1 n E 2)

19

Sự kiện El giao với E2 biểu thị khách hàng không buôn bán kinh doanh với ngân hàng A nhưng kinh doanh với ngân hàng B.

P (Ẽ 1 u E 2) = [ 1 - 0,6] + 0,45 — 0,3 = 0,55

2.6.4, Xác suất có điều kiện

Sự xuất hiện sự kiện E2 khi có sự xuất hiện của Eị, gọi là xác suất có điều kiện, biểu

thị E2/E { và định nghĩa như sau:

Với điéu kiện P (E i)> 0•

Thí dụ: Trong một viện nghiên cứu có 35 nam trong đó có 15 người là tien sĩ, 20 người là kĩ sư và 15 nư trong đó có 5 người là tiến sĩ và 10 người là KI sư Hãy xác định xác suất xẩy ra sự kiện sau: Eị nghiên cứu viên là nữ và Eọ nghiên cứu viên là tien SI.

T h í dụ 2 4 : Cho kết quả 25 mẫu thí nghiệm về lực bền uốn và phá huỷ như bảng saur

Hãy xác định, xác suất có điểu kiện P(UaA"a) và P(YaAJa)- Trong đó, Y a, Ua biểu thị

sự kiện giá trị lực bền uốn > 3000 và lực phá huỷ > 4000 đơn vị lực.

m a i ： Từ bảng số liệu trên ta có: P(Ya.Ua) = 1 2 /2 5 là xác suất biểu thị lực bền uốn

> 3000 và lực phá huỷ lớn hơn 4000 đơn vị lực.

Tương tự ta có: P(YaU a )= —

- 8 P(ỸaU a) = —

25 P(Y a) là xác suất lực bền uốn lớn hơn 3000 và bằng 13/25

P(Ua) là xác suất lực phá huỷ lớn hơn 4000 và bằng 16/25

P(UaYa) _ 1 2/25 —12

Ta có: P(U a /Y a)

P(Ya /U a)

P(Ya) 13/25 13 P(YaU a) = 1 2 / 2 5 ^ 3

2.6.5 Xác suất của các sự kiện độc lập

Nếu như sự xuất hiện sự kiện E| mà không ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện sự kiện E2 thì Eị, E2 được gọi là hai sự kiện độc lập.

2.6.6 Luật xác suất tổng

Mở rộng quy tắc hợp và giao cho trường hợp lớn hơn hai sự kiẹn Thí dụ với ba loại

sự kiện E ị, E 2, E 3 có kết quả sau:

21

P(Ej u E 2 ^ E 3) = P(Ej u W) trong đó w = Ej u E 3

[(Aị + A4 + 八6 + A7) + (A2 + A4 + A5 + A7) + (A3 + A5 + 八6 + A7) +

一(A4 + A6 + A5 + 2 A 7)] = P (E 1) + P(E2) + P (E3) —

- [ ( A 4 + A 7) + (A r ’+ A 7) + (A 6 + A 7) - A 7

P (E j E2 ) P (E !E 3 ) P (E !E 3) P(E i E2E3 )

Từ quy luật trên ta có thể viết quy luật xác suất hợp của n sự kiện như sau:

PíE! u E 2 u E 3 u …u E n) = [P íE i) + P(E 2) + P (E 3) + …+ P ( E n - …

Khi mở rộng cho luật giao nhau của n sự kiện sẽ là:

X P í A / B ^ P í B i )

(2.18) (2.19)

(2.20)

( 2 21 )

T h í dụ 2.6: Khảo sát một động cơ có 70% sự cố hỏng do nguyên nhân R và 30% sự

cố hong do nguyên nhân s Trong đó R có sai lệch 2% và s có sai lệch 3% Hm xác suất

để máy đó theo nguyên nhân R.

0 ,0 2 0 ,7 + 0 ,03.0,3 23

Chương 3

PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

3.1 BIẾN NGẪU NHIÊN

Một sự kiện ngẫu nhiên cho phép xác định đại lượng X, nó mang các giá trị khác nhau, biến thiên -00 < X < co； Đại lượng X không cố định đó được gọi là đại lượng ngẫu nhiên, biến so bieu thị các giá trị đó được gọi là biến ngẫu nhiên.

Các đại lượng ngẫu nhiên chia thành hai loại: rời rạc và liên tục Nếu bien ngẫu nhiên mang các giá trị rời rạc Xị, x2 xn nó được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc Nếu biến ngẫu nhiên mang giá trị liên tục trên trục số, nó được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục Thí dụ: Số điểm của một mồn học của một sinh viên trong một học kì là biến ngẫu nhiên rời rạc.

Sự phụ thuộc biến dạng vào lực của mẫu thép là biến liên tục.

3.2 HÀM PHÀN PHỔI TÓNG QUÁT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RÒI RẠC

Tương ứng với mỗi giá trị Xị ta có một giá trị biến ngẫu nhiên rời rạc X, có thể biểu diễn liên kết lại các giá trị của X bằng một bảng giá trị; Đế dễ dàng hơn ta xây dựng một liàm tons quát, cho phép tính P(Xị), khi thay thế các giá trị Xị tương ứng Công thức như vậy, gọi là hàm phân pnoi tổng quát xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu Px(Xị), hay

dế gọn gàng hơn người ta kí hiệu P (X j) Do đó hàm mà đưa ra xác suất của biến ngẫu nhiẽn thực X = X|, được gọi là hàm tổng quát xác suất P x (X j).

3.3 HÀM PHÂN PHỔI TÍCH LŨY CỦA BIÊN NGẪU NHIÊN RÒI RẠC

Mặc dù bien ngau nhiên có the được mỏ tả bang hàm phân phối xác suất tổng quát; Nhưng thỏng thường ngươi ta cần xác định xác suất mà gia trị biến ngâu nhiên X nhỏ hơn hoặc bằng gia trị X được định nghĩa là hàm phân phối tích lũy.

i

T hí dụ 3 L Xác định hàm phân phối tích lũy, khi tung con xúc sắc.

G ià i ： Vì xác suất xuất hiện mỗi mặt của con xúc sắc là như nhau và là 1/6, ta có:

25

P(X = 1 ) = P(X = 2) = = P(X = 6) = 1 / 6 hay: Px ⑴ = Px ( 2 ) = …= Px (6 ) = 1/6

P(x.)

b)

5/6 - 4/6 - 3/6 -

2/6

Hỉnh 3 1 : a) Phán p h o I tổng quát của bien ngầu nhiên X;

Hàm phân phối tích lũy se là:

Fx (x) = x /6 với 1 < X < 6 Hàm Fx(x) được Dieu thị trên hình 3.1b, bieu đỏ này chứng tỏ rằng hàm của bien rơi rạc là một hàm bậc thang Nếu giá trị dương tối thiểu của biến X là L và giá trị dương

lớn nhất là V, ta có ham Fx(x) như sau:

Fx(x) = 0 khi X < L

F x( x ) = 1 khi X > V

3.4 HÀM MẬT ĐỘ XÁC SUẤT VÓI GIÁ TRỊ BIÊN NGAU NHIÊN LIÊN TỤC

Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục được viết như sau:

(3-3) cũng là phương trình để xác định xác suất, khi biến X biến thiên trong khoảng

nhó (x; X + dx).

Tương ứng là hàm phân phối Fx của gia tn X được xác định như xác suất xuất hiện

gia trị X khi X < X và được viết như sau:

Trong đó: tx(x) được gọi là hàm mật độ xác suất đối với biến liên tục X.

Từ định nghĩa cua hàm phân phối xác suất, ta có:

T hí dụ 3.2 Cho biết hàm mật độ phân phối xác suất của tải trọng gi" Ị-

đựng nước (biến X đo bằng đơn vị tải trọng (đv)) en ỉTiột két

fx(x)

3x 50.10'

0

khi 0 < X < 1 0 0 (đv) khi X có các giá trị khác

Hãy xác định xác suất xảy ra khi tải trọng nhỏ hơn 20 (đv) hoặc lớn hơn 80

P(E2) = 0 ， 104 Xác suất xẩy ra khi X < 20 và X > 80 sẽ là: 0 ， 104 + 0 ， 104 = 0,208.

T h í dụ 3.3 Từ kết quả của thí dụ 3.2 hay xác định xác suất xẩy ra giá trị X > 80 (đv)

G iải: Từ điều kiện trên có:

Hàm phân phối và hàm mật độ bao gồm các thông tin của biến ngẫu nhiên, tuy nhiên trong nhiều trường hợp áp dụng trong thực tế, người ta cần phải có các giá trị khác của

bicn ngảu, các giá trị này mang tính đậc trưng của biến ngẫu nhiên, như giá trị kì vọng, mode và trung vị.

3.5.1 Kì vọng của biến ngẫu nhiẻn

Kì vọng là giá trị trung bình hay còn được gọi là giá trị mong muốn - nó mô tả

khuynh hướng trung tâm của biến ngẫu nhiên.

- Đối với biến rời rục: Giả sử ta có n phép thử tương ứng với n giá trị của biến ngẫu

nhiên X Tương ứng là: X| (riị); x2 (n2) …xm (nm lán) để có = n2 + …+ nm = n Khi đó giá trị trung bình hay trung binh số học của X, biểu diễn là X được nhận từ công thức sau:

ê xk í — ì = ẳ x k-px (x k) (3-9) k=i V n ノ k=i

Trong đó: nk/n là tần suất xuất hiện gia trị xk, tương ứng với xác suất xuất hiện xk là PX(xk).

Giá trị X cũng được gọi là kl vọng của X và kí hiệu E(X) đoi VƠI bien rơi rạc, kì vọng sẽ là:

；v-T hí dụ 3.4 Hãy xác định kì vọng khi tung con xúc sắc.

Các giá trị xuất hiện của xúc sắc là rời rạc (từ 3-9), ta có:

- Trường hợp rời rạ c: Mode của biến ngẫu nhiên X là giá trị X mà tại đó có Px(x)

đạt giá trị cao nhất, hay nói cách khác là giá trị X dễ xẩy ra nhất (có xác suất lớn nhất).

- TrườnỊị hơp liên tuc: Mode là giá tri của X sao c h o : 【 X x ) = 0 hay nói cách khác

dx mode là giá trị của X sao cho hàm mật độ đạt giá trị cực đại.

X5() 0,5 = j f x (x)dx = Fx ( x ) p ° = j l - e x p kx

1/2

3.6 Đ ộ LỆCH CHUẨN VÀ HỆ SỔ LỆCH

Giá trị kì vọng là một thước đo có tính chất biểu thị vị trí trung tâm của phân phối biến ngầu nhiên Một thước đo khác hay còn gọi là thông số khác, xác định sai lệch xung quanh kì vọng được gọi là độ lệch chuẩn và một thông số khác kể đến tính đối xứng của hàm mật độ, được gọi là hệ số lệch.

- Độ lệch chuẩn là: ơ x = +->y var(X) = yjE(X2) — \x\

- Hệ số biến động thể hiện sự phân tán

dạng không thứ nguyên, được xác định bằng

Hlnh 3.4 chỉ ra hai hàm mật độ phân phối

có cùng giá trị kì vọng |^x nhưng phương sai

khác nhau Hai thông số này thể hiện sự

biến đổi của biến ngẫu nhiên (khoang rộng,

Hệ số lệch được biểu thị như sau:

T h í dụ 3.7 Hãy xác định hệ số biến động Ỵx và hệ số lệch của tải trọng gió biết hàm

mật độ như sau:

3

fx(x) = x ( l O O - x ) 0 < X < 100 (đv)

5 0 104

100

J \ f x (x)d

100 X

10050

33

J (x - k)r.fx (x)dx với biến liên tục

[ ( X ị - k)rp(Xị) với biến rời rạc

T h í d ụ 3 8 Hãy xác định vùng bị hỏng của thanh kim loại

đồng chất (hình 3.6), chịu tải trọng kéo của vật nặng có |a = 0 và

E(P2) = ơp ； Giả sử lớp pha tạp trong vùng A nào đó chỉ chịu

được ứng suất cho phép X*.

(3-24)

p

Hình 3.6

Giải: Gọi X là tác dụng giống nhau của các phần trên thanh bị kéo; ta có:

Thanh này sẽ bị hỏng nếu 1 X 1 > X*.

Như vậy khả năng bị phá hủy của thanh đánh giá theo (3-24), có:

4

p[|x - l ^x l ^ tơx ] ^ ^ 2 v ớ i t > 0 (3-26)

4

Bất đẳng thức (3-26) đã xuất hiện hệ số ニ ，tức là mức độ chính xác đã được cụ thể

hơn so với bất đẳng thức Chebyshev.

35

3.9 BIỂN NGẪU NHIÊN CÓ PHÂN PHỔI 丁 RÙNG NHAU

Khi có hai hay nhiều biến ngẫu nhiên cùng xuất hiện trong cùng một hiện tượng, cách tác động đồng thời của chúng được xác định bằng một hàm phân phối xác suất chung, hàm phân phối này được gọi là hàm phân phối đa biến số.

3.9.1 Hàm phân phôi và hàm mật độ chung

định nghĩa như sau:

Kí hiệu hàm mật độ riêng của bien ngẫu nhien X và Y là fx(x) và Fy(y) và hàm mật

(x, y + dy); (x + dx; y + dy) Xác suất của một điểm ngẫu nhiên (x', y') rơi vào hlnh chữ nhật đó là: fx y(x, y)dxdy.

Khi chỉ chú ý đến y (giữ nguyên x) và y có giới hạn bởi 2 cận aj(x) và bj(x) ta thu được kết quả sau:

T ron g đó: a9(y) và b2(y ) là giơi hạn trên và dưới

của X tron g vùng của y (hình 3.7) chí ra m iền giới

hạn của 2 biến X, y trong k h o ản g : 0 < X < y < 00 Hình 3.7

f ( x，y )

T hí dụ 3.9. C ho hàm đ ộ ch u n g củ a hai biến X , Y như sau (hình 3 7 ).

1 2 e x p ( - 4 x - 2 y ) với 0< X < y; 0< y < 00

H ãy x á c định x e m X và Y có phải là hai bien đ ộ c lập ?

f ( x) = 1 2 í e~4x" 2ydy = 12e ' 4x í e ' 2ydy

E ( Z ) = E [ g ( X , Y ) ] = X Z s ( x i» Y i)px , y ( x i» Y i)

N ếu X , Y là biến liên tục.

T ron g trường hợp riêng biệt, ta đặt:

H ệ số tương quan p x Y ch o bien X , Y ch o như sau:

C ó thể chứng m inh được p x Y nằm tron g khoảng - 1 < p x Y < 1 H ệ s ố này gần đến 1, chứ ng tỏ ch ú n g c ó quan hệ tuyến tính; cò n gần đến 0, ch ứ n g tỏ ch ú n g c ó quan hệ phi tuyên (hình 3 8 ).

a) Khi p x Y = 1 ( X , Y c ó quan hệ tuyến tính, hệ số dương).

b) Khi Px Y = dương ( X , Y quan hệ phi tuyến, m ức thấp).

c ) Khi p x Y = 0 ( X ， Y quan hệ phi tu yến );

cỉ) Khi Khi p x Y = âm ( X ， Y quan hệ phi tuyến, hệ số âm nh ỏ),

e ) Khi p x Y = - 1 ( X , Y quan hệ tuyến tính, hệ số âm ).

3 1 1 P H Â N PH Ổ I X Á C S U Ấ T

M ột s ố dang phân phối x á c suất điển hình được trình bầy tó m tắt ở bảng 3 1 T ro n g bất kì sự kiện n ào, ta cũ n g c ó thể ch ọ n m ột dạng trong c á c dạn g phân phối, thông thường ta dựa vào c á c yếu tố sau:

1- Bán ch ất củ a vấn đề;

2 - C hấp nhận m ột kiêu phân phối;

3- Hình dạng biểu đồ f ( x ) h o ặc F ( x ) sau khi c ó c á c giá trị biến X ；

4 - Tính toán c á c thông số c ơ bản đế dẫn đến x á c định loại phân phoi.

Mộl sỏ loai phân phối và tính c á c thông số c ơ bản, được biếu diễn trên bảng 3 2

3 1 1 1 P h â n p h ối nh ị th ứ c

X é t c á c thí n gh iệm ngầu nhiên B ecn u li, nếu chỉ c ó hai khả nãn g đ em lại kết quả ch o

mỗi lần thí n g h iệm , c o i sự kiện thành cô n g s và thất bại F ch ỉ hai kết quả p và q tương ứng với khá năng c ó thể, ta có :

(3-43)

p + C]= 1

39

o A

X) VI X VI cd

X) VI X VI

Cữ

8

V X VI C^J