Giáo trình điện động lực học phần 1

ĐỒN THẾ NGƠ VINH Giáo trình ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC Vinh, 2010 Mục lục Giới thiệu 1 Các phương trình trường điện từ 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Trường điện từ 1.1.2 Các đại lượng điện từ 1.1.3 Điện tích 1.1.4 Dòng điện 1.2 Định luật Coulomb 1.2.1 Định luật Coulomb 1.2.2 Dạng vi phân định luật tĩnh điện Gauss 1.3 Định luật dịng tồn phần 1.3.1 Định luật bảo tồn điện tích 1.3.2 Dòng điện dịch 1.3.3 Dạng vi phân định luật dịng tồn phần 1.4 Ngun lý tính liên tục từ thơng 1.5 Định luật cảm ứng điện từ Faraday 1.6 Định luật Ohm định luật Joule – Lentz 1.6.1 Dạng vi phân định luật Ohm 1.6.2 Dạng vi phân định luật Joule – Lentz 1.7 Hệ phương trình Maxwell 1.7.1 Hệ phương trình Maxwell dạng vi phân 1.7.2 Hệ phương trình Maxwell dạng tích phân 1.7.3 Ý nghĩa điều kiện áp dụng 1.8 Năng lượng trường điện từ 1.9 Xung lượng trường điện từ 1.10 Các điều kiện biên ~ 1.10.1 Điều kiện biên véctơ B ~ 1.10.2 Điều kiện biên véctơ D ~ 1.10.3 Điều kiện biên véctơ E ~ 1.10.4 Điều kiện biên véctơ H Trường điện từ tĩnh 2.1 Các phương trình trường điện từ tĩnh 2.1.1 Định nghĩa trường điện từ tĩnh 2.1.2 Các phương trình trường điện từ tĩnh 2.2 Thế vô hướng 2.2.1 Trường điện tĩnh môi trường đồng chất Thế vô hướng i 2 2 3 4 5 8 9 10 10 10 10 11 12 14 14 15 15 16 17 17 17 17 18 18 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.2.2 Phương trình vi phân vô hướng Điện hệ điện tích 2.3.1 Điện điện tích điểm 2.3.2 Điện hệ n điện tích điểm 2.3.3 Điện hệ điện tích phân bố liên tục 2.3.4 Điện lưỡng cực điện Vật dẫn trường điện tĩnh 2.4.1 Vật dẫn trường điện tĩnh 2.4.2 Điện dung vật dẫn cô lập 2.4.3 Hệ số điện dung hệ số cảm ứng hệ vật dẫn Điện môi đặt trường điện tĩnh 2.5.1 Sự phân cực điện môi 2.5.2 Thế vô hướng điểm điện môi 2.5.3 Mối liên hệ độ cảm điện môi hệ số điện môi Năng lượng trường điện tĩnh 2.6.1 Biểu diễn lượng trường điện tĩnh qua vô hướng 2.6.2 Năng lượng hệ điện tích điểm 2.6.3 Năng lượng hệ vật dẫn tích điện 2.6.4 Năng lượng hệ điện tích đặt điện trường Lực tác dụng trường điện tĩnh Trường điện từ dừng 3.1 Các phương trình trường điện từ 3.1.1 Trường điện từ dừng 3.1.2 Các phương trình trường điện từ dừng 3.2 Các định luật dịng điện khơng đổi 3.2.1 Định luật Ohm 3.2.2 Định luật Joule – Lentz 3.2.3 Định luật Kirchhoff thứ 3.2.4 Định luật Kirchhoff thứ hai 3.3 Thế vectơ Định luật Biot – Savart 3.3.1 Thế vectơ 3.3.2 Phương trình vi phân vectơ 3.3.3 Định luật Biot – Savart 3.4 Từ trường dòng nguyên tố 3.5 Từ môi từ trường không đổi 3.5.1 Sự từ hóa từ môi 3.5.2 Thế véctơ từ trường có từ môi 3.5.3 Mối liên hệ độ cảm từ độ từ thẩm 3.6 Năng lượng từ trường dừng 3.6.1 Biểu diễn lượng từ trường dừng qua véctơ 3.6.2 Năng lượng hệ dòng dừng Hệ số tự cảm hệ số hỗ cảm 3.7 Lực tác dụng từ trường dừng 3.7.1 Lực từ trường 3.7.2 Lực từ tác dụng lên dòng nguyên tố 3.7.3 Năng lượng dòng nguyên tố đặt từ trường ngồi 3.7.4 Mơmen lực tác dụng lên dòng nguyên tố ii 18 20 20 20 20 21 21 21 22 22 24 24 24 25 26 26 26 27 27 28 29 29 29 29 30 30 31 31 32 32 32 33 33 35 36 36 37 39 39 39 40 42 42 42 44 44 Trường điện từ chuẩn dừng 4.1 Các phương trình trường chuẩn dừng 4.1.1 Các điều kiện chuẩn dừng 4.1.2 Các phương trình trường chuẩn dừng 4.1.3 Thế véctơ vô hướng trường điện từ chuẩn 4.1.4 Các phương trình vi phân 4.2 Các mạch chuẩn dừng 4.2.1 Hệ dây dẫn có cảm ứng điện từ 4.2.2 Mạch điện có điện dung tự cảm 4.2.3 Các ví dụ 4.3 Hiệu ứng mặt 4.4 Năng lượng mạch chuẩn dừng dừng 45 45 45 46 47 47 47 47 48 50 52 54 Sóng điện từ 56 5.1 Các phương trình trường điện từ biến thiên nhanh 56 5.1.1 Các phương trình trường biến thiên nhanh 56 5.1.2 Thế vô hướng vectơ trường điện từ biến thiên nhanh 57 5.1.3 Phương trình vi phân vô hướng vectơ 57 5.1.4 Nghiệm phương trình Thế trễ 58 5.2 Sự xạ lưỡng cực 59 5.2.1 Định nghĩa lưỡng cực xạ 59 5.2.2 Thế vô hướng lưỡng cực xạ 60 5.2.3 Thế véctơ lưỡng cực xạ 60 5.2.4 Điện từ trường dao động tử tuyến tính 61 5.2.5 Tính chất điện từ trường dao động tử tuyến tính 63 5.2.6 Lưỡng cực xạ tuần hoàn 63 5.3 Trường điện từ tự 64 5.3.1 Các phương trình trường điện từ tự 64 5.3.2 Sóng điện từ phẳng 65 5.4 Sóng điện từ phẳng đơn sắc 65 5.5 Sóng điện từ chất dẫn điện 67 5.6 Sự phản xạ khúc xạ sóng điện từ 68 5.6.1 Điều kiện biên véctơ sóng 68 5.6.2 Các định luật phản xạ khúc xạ sóng điện từ 69 5.6.3 Hệ số phản xạ khúc xạ 70 Tương tác điện tích điện từ trường 73 6.1 Các phương trình thuyết electron 73 6.1.1 Đặc điểm điện động lực học vĩ mô vi mô 73 6.1.2 Các phương trình thuyết electron 73 6.2 Mối quan hệ điện động lực học vĩ mô vi mô 75 6.2.1 Giá trị trung bình hàm số 75 6.2.2 Phép lấy trung bình điện từ trường 75 6.2.3 Phép lấy trung bình mật độ dịng điện 76 6.2.4 Phép lấy trung bình mật độ điện tích 76 6.2.5 Mối quan hệ phương trình Maxwell phương trình Maxwell – Lorentz 77 6.3 Chuyển động điện tích tự trường điện từ 78 iii 6.3.1 6.4 Phương trình chuyển động điện tích trường điện từ 6.3.2 Chuyển động điện tích trường tĩnh điện 6.3.3 Chuyển động điện tích từ trường dừng Chuyển động electron nguyên tử đặt vào từ trường 6.4.1 Ảnh hưởng từ trường lên dao động xạ nguyên tử 6.4.2 Chuyển động tiến động electron Điện môi từ môi 7.1 Sự phân cực điện môi điện trường 7.1.1 Sự phân cực điện mơi có phân tử khơng cực 7.1.2 Sự phân cực điện mơi có phân tử có cực 7.1.3 Nhận xét 7.2 Thuyết cổ điển tán sắc 7.2.1 Hiện tượng tán sắc 7.2.2 Hiện tượng tán sắc thường tán sắc dị thường 7.3 Nghịch từ thuận từ 7.3.1 Nghịch từ 7.3.2 Thuận từ 7.4 Thuyết cổ điển sắt từ iv 78 78 79 81 81 82 85 85 85 87 89 89 89 90 92 92 93 94 Giới thiệu Điện động lực học thuyết trường điện từ liên hệ với điện tích dịng điện Điện động lực học cổ điển xét theo hai quan điểm vĩ mô vi mô Điện động lực học vĩ mô nghiên cứu tượng điện từ không quan tâm tới tính gián đoạn điện tích cấu trúc phân tử, nguyên tử môi trường vật chất Các vật thể coi môi trường liên tục, điện tích coi phân bố liên tục không gian Điện động lực học vĩ mơ dựa hệ phương trình Maxwell, xem tiên đề tổng quát, từ suy luận logic phương pháp chứng minh toán học chặt chẽ để rút kết luận khác tượng điện từ Điện động lực học vi mô nghiên cứu tượng điện từ có xét đến cấu trúc phân tử, nguyên tử môi trường vật chất tính gián đoạn điện tích Ở dựa hệ phương trình Maxwell – Lorentz để khảo sát Phương pháp cho phép giải thích cấu hiểu chất nhiều tượng điện từ mà điện động lực học vĩ mô mơ tả mặt hình thức Điện động lực học vi mơ có quan hệ với điện động lực học vĩ mơ qua việc lấy trung bình đại lượng điện từ vi mô để nhận đại lượng điện từ vĩ mô tương ứng Trong giáo trình phần điện động lực học vĩ mơ trình bày năm chương đầu Chương Các phương trình trường điện từ Chương Trường điện từ tĩnh Chương Trường điện từ dừng Chương Trường điện từ chuẩn dừng Chương Sóng điện từ phần điện động lực học vi mô trình bày hai chương cuối Chương Tương tác điện tích điện trường Chương Điện mơi từ môi Để học học phần người học phải trang bị kiến thức sở tốn cao cấp đặc biệt giải tích véctơ, điện đại cương, học đại cương, học lý thuyết Mặc dù có nhiều cố gắng giáo trình khơng tránh khỏi hạn chế Tác giả chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp từ độc giả để giáo trình ngày hoàn thiện Mọi ý kiến xin gủi Đồn Thế Ngơ Vinh, Khoa Vật lý, Đại học Vinh, email: doanvinhdhv@gmail.com TP Vinh, tháng năm 2010 Đồn Thế Ngơ Vinh Chương Các phương trình trường điện từ 1.1 1.1.1 Các khái niệm Trường điện từ Trường điện từ khoảng khơng gian vật lý có tồn lực điện lực từ Tại điểm trường điện từ đặc trưng bốn véctơ: véctơ ~ véctơ cảm ứng điện (còn gọi véctơ điện dịch) D, ~ cường độ điện trường E, ~ ~ véctơ cường độ từ trường H, véctơ cảm ứng từ B Bốn véctơ hàm tọa độ thời gian, chúng không biến thiên cách mà tuân theo quy luật định, quy luật mơ tả dạng phương trình Maxwell mà ta nghiên cứu chương 1.1.2 Các đại lượng điện từ ~ D, ~ H ~ B ~ nói chung hàm tọa độ thời Các đại lượng véctơ E, gian, chúng xác định trình điện từ chân không môi trường vật chất Đối với mơi trường đẳng hướng ta có: ~ = εE ~ D ~ = µH ~ B (1.1) (1.2) Trong ε µ tương ứng hệ số điện thẩm hệ số từ thẩm môi trường, hệ số nói chung hàm tọa độ, thời gian cường độ trường điện từ Tuy nhiên để đơn giản xét trường hợp ε µ số Trong hệ đơn vị SI đại lượng có đơn vị thứ nguyên sau: ~ E ~ D ~ H ~ B ε µ Vm−1 Cm−2 Am−1 T Fm−1 Hm−1 [m.kg.s−3 A−1 ] [m−2 s.A] [m−1 A] [kg.s−2 A−1 ] [m−3 kg−1 s4 A2 ] [m.kg.s2 A−2 ] GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC Trong chân không ε0 = 4π 9.10−9 Fm−1 ; µ0 = 4π.10−7 Hm−1 Thực nghiệm chứng tỏ ε0 µ0 = c12 , c vận tốc ánh sáng chân khơng1 Ngồi người ta cịn định nghĩa: ε µ ε0 = ; µ0 = ε0 µ0 hệ số điện mơi tỷ đối hệ số từ thẩm tỷ đối mơi trường Chúng đại lượng khơng có thứ nguyên 1.1.3 Điện tích Trong điện động lực học vĩ mơ điện tích coi phân bố liên tục khơng gian Nếu điện tích phân bố liên tục thể tích V đó, ta định nghĩa mật độ điện tích khối điểm là: ρ = lim ∆V →0 ∆q ∆V (1.3) Trong ∆V thể tích nhỏ bao quanh điểm quan sát, ∆q lượng điện tích chứa thể tích Đơn vị mật độ điện tích khối Cm−3 Nếu điện tích phân bố liên tục mặt S ta định nghĩa mật độ điện tích mặt điểm là: ∆q ∆S→0 ∆S σ = lim (1.4) ∆S diện tích nhỏ bao quanh điểm quan sát, ∆q điện tích có ∆S Đơn vị mật độ điện tích mặt Cm−2 Đối với điện tích điểm điện tích tập trung điểm, mật độ điện tích dần tới vơ nơi có điện tích điểm Khi ta biểu diễn mật độ điện tích dạng hàm Delta2 X ρ= qi δ (~r − ~ri ) (1.5) ~ri bán kính véctơ điện tích cịn ~r bán kính véctơ điểm quan sát Do định nghĩa trên, giá trị điện tích ngun tố viết: 1.1.4 dq = ρ dV (1.6) dq = σ dS (1.7) Dòng điện Trong điện động lực học vĩ mơ dịng điện xem phân bố liên tục khơng gian dịng chuyển dời có hướng điện tích Nếu dịng điện phân bố liên tục thể tích đó, ta định nghĩa mật độ dòng điện khối ~j điểm hệ thức: ~j = lim ∆I ∆S→0 ∆S tốc ánh sáng ( chân không xấp xỉ 3.108 ms−1 ∞ (~ r=~ ri ) Hàm Delta δ (~ r−~ ri ) = (~ r 6= ~ ri ) vận (1.8) ĐỒN THẾ NGƠ VINH ∆I cường độ dịng điện chạy qua mặt nhỏ ∆S chứa điểm quan sát vuông góc với phương dịng điện điểm quan sát Phương chiều véctơ ~j trùng với phương chiều dòng điện điểm quan sát Đơn vị mật độ dòng điện Am−2 Nếu dòng điện phân bố liên tục mặt Ta định nghĩa mật độ dịng điện mặt ~i điểm hệ thức: ∆I |~i| = lim ∆l→0 ∆l (1.9) ∆I cường độ dòng điện mặt chạy qua đoạn ∆l chứa điểm quan sát vng góc với dịng điện điểm quan sát Phương, chiều véctơ ~i trùng với phương chiều dòng điện điểm quan sát Do định nghĩa trên, giá trị dòng điện nguyên tố là: ~ = jn dS = jdS cos α dI = ~j dS dI = ~i d~l = in dl = idl cos α (1.10) (1.11) ~ (hoặc d~l ) α góc hợp véctơ ~j (hoặc véctơ ~i ) với pháp tuyến ~n dS 1.2 Định luật Coulomb 1.2.1 Định luật Coulomb Lực tác dụng hai điện tích điểm q q đặt mơi trường đồng có hệ số điện thẩm ε cho F = qq 4πε r2 (1.12) r khoảng cách hai điện tích Trên sở lý thuyết trường tương tác hai điện tích điểm q q giải thích: (a) điện tích điểm q tạo quanh điện trường có cường độ điện trường ~ = q ~r E 4πε r2 r (1.13) ~r bán kính véctơ tính từ điện tích q đến điểm tính trường (b) điện tích điểm q đặt điện trường chịu tác dụng lực ~ F~ = q E (1.14) Có thể coi (1.14) cách biểu diễn khác định luật Coulomb, phù hợp với nguyên lý tác dụng gần, cho trường hợp khơng phụ thuộc vào ~ Cịn (1.12) phù hợp với nguyên lý tác dụng nguyên nhân gây điện trường E xa, biểu diễn tương tác tức thời hai điện tích trường hợp điện tích chuyển động chậm khoảng cách chúng không lớn Theo (1.13) cường độ điện trường phụ thuộc vào phân bố điện tích khơng gian hệ số điện thẩm môi trường Để thuận tiện tính tốn người GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC ta đưa vào véctơ cảm ứng điện hay véctơ điện dịch theo (1.1) Đối với điện tích điểm q ta có ~ = q ~r D (1.15) 4π r2 r Véctơ cảm ứng điện phụ thuộc vào phân bố điện tích khơng gian mà khơng phụ thuộc tính chất mơi trường 1.2.2 Dạng vi phân định luật tĩnh điện Gauss Giả sử mặt kín S có lượng điện tích q Theo định luật tĩnh điện Gauss ta có I ~ dS ~=q N= D (1.16) S ~ gửi qua mặt kín S Ta có q = N lượng véctơ cảm ứng điện D R thông R dq = V ρ dV nên (1.16) trở thành I Z ~ ~ D dS = ρ dV S V ~ dS ~= ~ dV nên ~ dV = divD divD Mặt khác S D V V tích V bao bọc chọn nên H R R ~ =ρ divD R V ρ dV Do mặt S thể (1.17) dạng vi phân định luật tĩnh điện Gauss Từ (1.17) thể tích V mà ρ = thơng lượng véctơ cảm ứng điện gửi qua mặt kín S bao thể tích V khơng, nghĩa đường sức ~ khơng bắt đầu không kết thúc V Tại điểm véctơ D ~ bắt đầu (ρ > 0) kết thúc (ρ < 0) có ρ 6= đường sức véctơ D ~ Như mật độ điện tích ρ nguồn véctơ D 1.3 1.3.1 Định luật dịng tồn phần Định luật bảo tồn điện tích Xét thể tích V khơng đổi giới hạn mặt kín S khơng đổi, R chứa điện tích q = V ρ dV Giả sử điện tích V thay đổi theo thời gian, đơn vị thời gian biến đổi lượng Z Z dq d ∂ρ = ρ dV = dV dt dt V V ∂t Điện tích bảo tồn nên phải có dịng điện tích (dịng điện) chảy qua mặt kín S Dịng điện chảy vào điện tích V tăng, chảy điện tích V giảm Xét nguyên tố mặt dS mặt kín S Trong đơn vị thời gian điện lượng chảy qua dS (chính cường độ dịng điện chảy qua dS) ~ = ~j dS ~ Với ~v vận tốc điện tích dS Do dI = ρ~v dS ~j = ρ~v (1.18) z=−a ∂z z=−a ⇒ A1 = ρa2 ρa ; B1 = ε 2ε A3 = − ρa ρa2 ; B3 = ε 2ε Tương tự z = a Kết ρa ρa2 z+ ε 2ε ρz ϕ2 = 2ε ϕ1 = =⇒ =⇒ ~ = −gradϕ1 = − dϕ1 ~k = − ρa ~k E dz ε dϕ ρz ~ = −gradϕ2 = − ~k = − ~k E dz ε 20 ĐỒN THẾ NGƠ VINH ϕ3 = − 2.3 ρa ρa2 ~ = −gradϕ3 = − dϕ3 ~k = ρa ~k z+ =⇒ E ε 2ε dz ε Điện hệ điện tích 2.3.1 Điện điện tích điểm Cường độ điện trường điện tích điểm cho (1.13) Áp dụng (2.10) ∞ Z ϕ(~r) = r ~ d~l = q E 4πε Z ∞ r ϕ(~r ) = q ~r d~l = r 4πε Z r q 4πεr ∞ q dr = r 4πεr (2.13) ~ bán kính Hình 2.3: R r khoảng cách từ điện tích điểm đến điểm tính điện véctơ xác định tọa độ điểm tính ϕ; ~ri0 bán kính véctơ xác định 2.3.2 Điện hệ n điện tích điểm toạ độ điện tích dq = ~ − ~r bán ρ dV ; ~r = R i Điện hệ điện tích điểm tổng điện kính véctơ từ điện tích điện tích dq đến điểm tính ~) ϕ(R n X qi (2.14) ϕ= 4πε i=1 ri ri khoảng cách từ điện tích điểm thứ i đến điểm tính điện Nếu chọn gốc toạ độ O điện điểm quan sát P n ~)= ϕ(R qi X ~ − ~r | 4πε i=1 |R i (2.15) ~ toạ độ điểm quan sát, ~r toạ độ điện tích qi R i 2.3.3 Điện hệ điện tích phân bố liên tục Hệ điện tích phân bố liên tục thể tích V với mật độ ρ (Hình 2.3) Z ρ dV ~ ϕ(R ) = (2.16) ~ − ~r | 4πε V |R Hệ điện tích phân bố liên tục mặt S với mật độ σ Z σdS ~ ϕ(R ) = ~ − ~r | 4πε S |R Nếu điện tích vừa phân bố V phân bố S Z Z ρ dV σdS  ~)= ϕ(R + ~ − ~r | ~ − ~r | 4πε V |R S |R (2.17) (2.18) GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 2.3.4 21 Điện lưỡng cực điện Lưỡng cực điện gồm hai điện tích khác dấu, ~l bán kính véctơ từ điện tích âm đến điện tích dương Người ta định nghĩa mômen lưỡng cực điện p~ = q~l Điện P 1 q r1 − r2 q 1 − = ϕ= 4πε r2 r1 4πε r1 r2 Nếu P cách xa lưỡng cực l  ~r1 , ~r2 , ~r; ~r1 ' ~r2 ' ~r ; r1 − r2 r12 − r22 r2 − r2 = ' 32 r1 r2 r1 r2 (r1 + r2 ) 2r 2 r − r = (~r1 + ~r2 )(~r1 − ~r2 ) ' 2~l~r Hình 2.4: q ~r ~l p~ ~r = 4πε r3 4πε r3 Điện trường gây lưỡng cực điện    p ~r )~r p~  ~ = −gradϕ = − ∇ p~ ~r = 3(~ E − 4πε r3 4πε r5 r3 ϕ= 2.4 (2.19) (2.20) Vật dẫn trường điện tĩnh 2.4.1 Vật dẫn trường điện tĩnh Vật dẫn vật có điện trường có điện tích chuyển động Đối với vật dẫn điện dẫn suất λ 6= Trong tĩnh điện ta xét trường hợp khơng có dịng điện vật dẫn (vật dẫn cân tĩnh điện) Các tính chất vật dẫn (a) Khi vật dẫn đặt vào trường tĩnh điện, bên vật dẫn điện trường ~ Trong trường tĩnh điện ~j = 0; λ 6= ⇒ E ~ = Theo định luật Ohm ~j = λE, (b) Trong vật dẫn khơng có điện tích khối Tất điện tích phân bố lớp mỏng bề mặt vật dẫn có bề dày cỡ kích thước ngun tử ~ =0⇒D ~ = nên divD ~ =ρ=0 Do E (c) Điện trường mặt vật dẫn ~ = σ ~n E ε (2.21) áp dụng điều kiện biên εE2n − εE1n = σ; E2t − εE1t = 0, Trong vật dẫn ~ = ⇒ E2t = E1t = E1n = 0; E2n = σ E ε (d) Vật dẫn vật đẳng ~ = −gradϕ = ⇒ ϕ = const, tính chất liên tục Trong vật dẫn E điện nên điện mặt vật dẫn ϕm = ϕ 22 ĐOÀN THẾ NGÔ VINH 2.4.2 Điện dung vật dẫn lập Xét vật dẫn lập, điện tích vật dẫn I I I ∂ϕ q= dS σ dS = εEn dS = −ε S S S ∂n (2.22) Trong vật dẫn mặt vật dẫn điện ϕ = V (V điện vật dẫn) Bên ngồi vật dẫn điện tho mãn phương trình Laplace ∇2 ϕ = Tìm ϕ dạng ϕ = V ϕ1 với ϕ1 hàm không thứ nguyên thoả mãn ϕ1 (S) = 1; ϕ1 (∞) = 0, (2.22) trở thành:  I ∂ϕ  dS V (2.23) q=− ε S ∂n Đặt I C = −ε S ∂ϕ1 dS ∂n (2.24) C gọi điện dung vật dẫn lập Nó phụ thuộc vào hình dạng, kích thước vật dẫn tính chất mơi trường Đối với vật dẫn định đặt điện mơi định điện dung C số (2.23) viết lại C= 2.4.3 q V (2.25) Hệ số điện dung hệ số cảm ứng hệ vật dẫn Xét hai vật dẫn đặt điện mơi có hệ số điện thẩm ε Điện vật V1 V2 Điện vật dẫn thỏa mãn phương trình Laplace ∇2 ϕ = ϕ(S1 ) = V1 ; ϕ(S2 ) = V2 ; ϕ(∞) = Tìm nghiệm dạng ϕ = V1 ϕ1 + V2 ϕ2 với ϕ1 ; ϕ2 hàm toạ độ không thứ nguyên thoả mãn phương trình Laplace ϕ1 (S1 ) = 1; ϕ2 (S2 ) = 1; ϕ1 (S2 ) = 0; ϕ2 (S1 ) = 0; ϕ1 (∞) = ϕ2 (∞) = Mật độ điện tích mặt hai vật ∂ϕ ∂ϕ1 ∂ϕ2 = −εV1 − εV2 ∂n1 ∂n1 ∂n1 ∂ϕ ∂ϕ1 ∂ϕ2 = −εV1 − εV2 σ2 = −ε ∂n2 ∂n2 ∂n2 σ1 = −ε Điện tích vật I  I ∂ϕ   I q1 = σ1 dS1 = − ε dS1 V1 − ε S S1 ∂n1 S1 I  I ∂ϕ   I q2 = σ2 dS2 = − ε dS2 V1 − ε S2 S2 ∂n1 S2 (2.26) (2.27)  ∂ϕ2 dS1 V2 ∂n1  ∂ϕ2 dS2 V2 ∂n2 Đặt I C11 = −ε S1 I C12 = −ε S1 ∂ϕ1 dS1 ; ∂n1 ∂ϕ2 dS1 ; ∂n1 I C22 = −ε S2 I C21 = −ε S2 ∂ϕ2 dS2 ∂n2 ∂ϕ1 dS2 ∂n2 (2.28) (2.29) GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 23 Các hệ số C11 ; C22 gọi hệ số điện dung vật dẫn, C12 ; C21 gọi hệ số cảm ứng vật dẫn Chúng phụ thuộc hình dạng, kích thước vị trí tương đối hai vật Áp dụng định lý Green cho ϕ1 ϕ2 Z (ϕ1 ∇2 ϕ2 −ϕ2 ∇2 ϕ1 ) dV = I  V ϕ1 S ∂ϕ1  ∂ϕ2 dS − ϕ2 ∂n ∂n (2.30) V tồn khơng gian ngồi hai vật dẫn Mặt S bao gồm mặt S1 , S2 mặt vô Dễ thấy vế trái (2.30) ∇2 ϕ2 = ∇2 ϕ1 = Vế phải (2.30) tách thành tích phân Tích phân theo mặt ∞ ϕ1 (∞) = ϕ2 (∞) = Trên mặt S1 S2 ϕ1 (S2 ) = 0; ϕ2 (S1 ) = I  ∂ϕ ∂ϕ2 ∂ϕ1  dS1 = ϕ1 − ϕ2 dS1 ϕ1 ∂n ∂n ∂n1 1 S1 S1 I  I ∂ϕ2 ∂ϕ1  ∂ϕ1 ϕ1 − ϕ2 dS2 = − ϕ2 dS2 ∂n ∂n ∂n2 S2 S2 I Do (2.30) trở thành I S1 ∂ϕ2 dS1 = − ∂n1 I S2 ∂ϕ1 dS2 ∂n2 hay C12 = C21 Mặt khác ϕ1 giảm theo chiều dương ~n1 ∂ϕ1 < ⇒ C11 = −ε ∂n1 I S1 ∂ϕ1 dS1 > ∂n1 Theo chiều dương ~n1 ϕ2 tăng ∂ϕ2 > ⇒ C12 = −ε ∂n1 I S1 ∂ϕ2 dS1 < ∂n1 Đối với tụ điện q = C11 V1 + C12 V2 −q = C21 V1 + C22 V2 (C11 + C21 ) V1 + (C22 + C12 ) V2 = Để thoả mãn ∀V1 ; V2 C11 = C21 = C22 = C12 = C, C gọi điện dung tụ q (2.31) C= |V1 − V2 | 24 2.5 2.5.1 ĐỒN THẾ NGƠ VINH Điện môi đặt trường điện tĩnh Sự phân cực điện môi Khi đặt điện môi vào trường tĩnh điện điện môi xuất mômen lưỡng cực (điện môi bị phân cực) Sự phân cực điện môi điểm đặc trưng véctơ phân cực d~ p ∆~ p = P~ = lim ∆V →0 ∆V dV (2.32) Véctơ phân cực mômen lưỡng cực đơn vị thể tích bao quanh điểm quan sát Tại điểm điện môi véctơ phân cực tỉ lệ với véctơ cường độ điện trường điểm ~ P~ = αε0 E (2.33) α gọi độ cảm điện môi 2.5.2 Thế vô hướng điểm điện môi Đặt điện môi vào điện trường, phân cực điện môi xuất điện trường phụ, điện trường lưỡng cực điện mơi Do trường điểm tổng hai điện trường: trường điện tích tự trường phân cực gây ϕ = ϕt + ϕf ϕt cho (2.18), cịn điện lưỡng cực gây Z ϕf = Z dϕf = V V P~ ~r dV 4πε0 r3 (2.34) Tích phân (2.34) lấy theo nguyên tố thể tích dV nên phép tính phải lấy theo biến ~r toạ độ dV (giống quy ước Hình 2.3) Ta có ∂   ∂~r ~r ~r = = − (−1) = r ∂~r r ∂~r r r 1  P~  P~ ~r = P~ grad = div − divP~ r3 r r r grad~r Do (2.34) trở thành ϕf = 4πε0 Z V −divP~ dV + r 4πε0 Z div V  P~  r dV Áp dụng định lý Ostrogradsky – Gauss cho tích phân thứ (2.35) Nếu có mặt S mà véctơ P~ khơng liên tục lấy mặt S gần mặt S để tách S khỏi phần Hình 2.5: (2.35) GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 25 khơng gian véctơ P~ biến đổi khơng liên tục (Hình 2.5) Khi Z I ~ I P~ P ~0 P~ ~ 00 div dV = dS + dS r V S0 r S 00 r I ~ Z ~ Z ~ P ~0 P ~0 P ~0 dS = dS1 + dS2 S0 r S10 r S20 r Cho S10 ; S20 → S 00 I ~ Z ~ Z ~ Z P ~0 P ~0 P ~0 (P1n − P2n ) dS = dS1 + dS2 = dS 0 r r r r S S1 S2 S H ~ ~ 00 = (do Lấy mặt S 00 bao toàn khơng gian chứa điện mơi S 00 Pr dS 00 S Pn = 0) Do (2.35) trở thành Z Z −divP~ (P1n − P2n ) dV + dS ϕf = 4πε0 V r 4πε0 S r Đặt ρl = −divP~ (2.36) gọi mật độ điện tích liên kết khối, σl = − (P2n − P1n ) gọi mật độ điện tích liên kết mặt Z Z 1 ρ + ρl σ + σl dV + dS ϕ = ϕt + ϕf = 4πε0 V r 4πε0 S r (2.37) Trong tạo điện trường phụ điện tích liên kết có vai trị giống điện tích tự Tuy nhiên điện tích liên kết gắn với có mặt điện môi xuất điện môi không đồng điện trường không đồng (đối với điện tích khối liên kết) bề mặt hai điện môi (đối với điện tích mặt kiên kết) Các điện tích liên kết không di chuyển tự chân không 2.5.3 Mối liên hệ độ cảm điện môi hệ số điện môi Trong chân không điện trường điện tích tự gây ~0 = ρ div E ε0 Trong điện mơi điện trường điện tích tự điện tích liên kết gây Nếu coi điện mơi gồm điện tích tự điện tích liên kết đặt chân khơng   ~ = ρ + ρl = ρ − divP~ divE ε0 ε0 ~ div(ε0 E + P~ ) = ρ ~ = ρ Mặt khác điện môi divD ~ = εE ~ = ε0 E ~ + P~ = ε0 E ~ + αε0 E ~ D ε = ε0 (1 + α) (2.38) 26 ĐỒN THẾ NGƠ VINH 2.6 2.6.1 Năng lượng trường điện tĩnh Biểu diễn lượng trường điện tĩnh qua vô hướng ~ D ~ Năng lượng trường tĩnh Mật độ lượng trường tĩnh điện w = 12 E điện thể tích V Z Z ~D ~ dV W = w dV = E (2.39) V V ~ = −gradϕ Thay E W =− Z ~ Dgradϕ dV V ~ = ϕdivD ~ + Dgradϕ ~ ~ Ta có div(ϕD) = ϕρ + Dgradϕ Z Z 1 ~ dV ϕρ dV − div(ϕD) W = V V R H ~ dV = ϕD ~ dS Lấy S mặt bao tồn Nếu mơi trường liên tục V div(ϕD) HS ~ ~ điện trường, mặt S D = Do S ϕD dS = Z W = ϕρ dV (2.40) V ~ khơng liên tục lấy mặt S (Hình 2.5, Nếu có mặt S mà véctơ D ~ biến trang 24) gần mặt S để tách S khỏi phần khơng gian véctơ D đổi không liên tục LýR luận tương tự mục 2.5.2 sử dụng điều kiện biên R ~ dV = ϕσdS Kết D2n − D1n = σ ta có V div(ϕD) S Z Z 1 ϕρ dV + σϕ dS (2.41) W = V S (2.39) (2.40) (2.41) tương đương mặt toán học có ý nghĩa vật lý khác Theo (2.39) lượng điện trường phân bố liên tục không gian Còn theo (2.40) (2.41) lượng điện trường lượng tương tác điện tích 2.6.2 Năng lượng hệ điện tích điểm Giả sử chân khơng có điện trường q1 Đưa q2 từ vơ tới điểm cách q1 khoảng r12 cần phải cung cấp lượng q1 q2 W12 = q2 ϕ2 = 4πε0 r12 Đưa q3 từ đến cách q1 , q2 khoảng r13 r23 cần cung cấp lượng q1 q2  q1 q3 q2 q3  + + W = 4πε0 r12 4πε0 r13 r23 q q 1 h  q2 q3  q3  q2 i 1 = q1 + + q2 + + q3 + 4πε0 r12 r13 r12 r23 r13 r23 = (q1 ϕ1 + q2 ϕ2 + q3 ϕ3 ) GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 27 Mở rộng cho hệ n điện tích điểm n W = 1X qi ϕi i=1 (2.42) Năng lượng hệ điện tích điểm lượng tiêu hao để thiết lập hệ từ điện tích riêng lẻ 2.6.3 Năng lượng hệ vật dẫn tích điện Đối với vật dẫn ρ = 0, lượng vật dẫn I σϕ dS W = S Trong hệ vật dẫn, vật dẫn thứ i I I 1 Wi = σi ϕi dSi = ϕi σi dSi = qi ϕi Si 2 Si Hệ có n vật dẫn lượng hệ X 1X qi ϕi W = Wi = i i (2.43) Đối với tụ điện W = 1 (qV1 − qV2 ) = q(V1 − V2 ) 2 Sử dụng (2.31) ta có W = 2.6.4 1 q2 qU = CU = 2 2C (2.44) Năng lượng hệ điện tích đặt điện trường Xét hệ điện tích đặt điện trường ngồi1 Giả thiết hệ điện tích khơng bị biến dạng trường hệ đủ nhỏ để không làm biến đổi trường ngồi Hệ n điện tích điểm hệ trường ngồi X U= qi ϕi (2.45) i Hệ điện tích phân bố liên tục V với mật độ ρ đặt điện trường ngồi hệ Z U= ρϕ dV (2.46) V Lưỡng cực điện đặt điện trường ngồi   U = qϕ(~r + ~l ) − qϕ(~r ) = q ϕ(~r + ~l ) − ϕ(~r ) Nếu kích thước lưỡng cực đủ nhỏ trường ngồi biến thiên khơng đáng kể phạm vi lưỡng cực, sử dụng khai triển Taylor ϕ(~r + ~l ) − ϕ(~r ) = (~l ∇)ϕ(~r ) = ~l gradϕ ~ U = q~l gradϕ = −~ pE (2.47) điện trường gây hệ điện tích 28 ĐỒN THẾ NGƠ VINH 2.7 Lực tác dụng trường điện tĩnh Lực điện trường tác dụng lên điện tích điểm q ~ F~ = q E (2.48) Nếu điện tích phân bố liên tục thể tích V lực điện trường tác dụng lên thể tích V Z ~ dV F~ = ρE (2.49) V Lực điện trường tác dụng lên lưỡng cực điện   ~ r + ~l ) − E(~ ~ r) F~ = q E(~ (2.50) ~ r + ~l ) − Nếu kích thước lưỡng cực đủ nhỏ khai triển Taylor E(~ ~ r ) = (~l ∇)E(~ ~ r ), E(~ ~ r ) = (~ ~ r) F~ = q(~l ∇)E(~ p ∇)E(~ (2.51) Cũng tích lực tác dụng biết biểu thức lượng hệ điện tích Nếu lượng W hàm tọa độ suy rộng qi lực suy rộng ∂W (2.52) Fi = − ∂qi Nếu lượng W hàm tọa độ thường lực thông thường F~ = −gradW (2.53) Chương Trường điện từ dừng 3.1 Các phương trình trường điện từ 3.1.1 Trường điện từ dừng Trường điện từ dừng trường thỏa mãn điều kiện sau: (a) Các đại lượng điện từ không biến đổi theo thời gian, tức đạo hàm riêng theo thời gian đại lượng khơng (b) Có dịng điện dừng (dịng điện khơng đổi) 3.1.2 Các phương trình trường điện từ dừng Với điều kiện trường điện từ dừng điện trường từ trường độc lập với nhau, phương trình trường điện từ dừng chia làm hai nhóm cho trường điện dừng trường từ dừng (a) Nhóm phương trình trường điện dừng Các phương trình trường điện dừng chia làm hai nhóm: • Nhóm phương trình trường điện dừng điện mơi (ở ngồi mơi trường dẫn) ~ = ρ ; rotE ~ = 0; D ~ = εE ~ divD D2n − D1n = σ ; E2t − E1t = (3.1) (3.2) • Nhóm phương trình trường điện dừng vật dẫn ~ = ρ; divD ~ = ; ~j = λ(E ~ +E ~ n) rotE j2n − j1n = ; E2t − E1t = (3.3) (3.4) (b) Nhóm phương trình trường từ dừng ~ = 0; divB ~ = ~j ; B ~ = µH ~ rotH B2n − B1n = ; 29 H2t − H1t = iN (3.5) (3.6) 30 3.2 3.2.1 ĐỒN THẾ NGƠ VINH Các định luật dịng điện khơng đổi Định luật Ohm Phương trình liên hệ mật độ dịng điện cường độ trường điện có dạng: ~ +E ~ (n) ) ~j = λ(E (3.7) (3.7) phương trình định luật Ohm suy rộng viết dạng vi phân Lấy tích phân hai vế phương trình (3.7) dọc theo chiều dương đường dịng khép kín véctơ ~j ta có: I I I ~ d~l + λ E ~ (n) d~l ~j d~l = λ E (3.8) L L L ~ trường (trường có nguồn gốc tĩnh điện) nên tích phân thứ Vì E vế phải (3.8) khơng Cịn tích phân thứ hai gọi điện động ngoại lai: I ~ (n) d~l E (3.9) E(n) = L Vì ~j d~l phương chiều nên tiết diện dịng điện Do ~j d~l λ = jdl λ dl = jS λS = IdR, S I ~ ~ I j dl = IdR = IR L λ L (3.10) với R điện trở toàn mạch Và (3.8) trở thành E(n) = IR (3.11) (3.11) dạng tích phân định luật Ohm tồn mạch Ta thấy dịng điện dừng điện động ngoại lai sinh Độ lớn tỉ lệ với độ lớn điện động ngoại lai Đối với đoạn mạch AB ta rút định luật Ohm sau: lấy tích phân (3.7) dọc theo đường sức véctơ ~j từ A đến B ta có Z B A ~j d~l λ Z B = A = ~ d~l + E Z B ~ (n) d~l E A ϕ(A) − ϕ(B) + E(n) RB ~ (n) d~l ϕ(A) − ϕ(B) hiệu điện hai đầu đoạn mạch, E(n) = A E R B ~j d~l điện động ngoại lai đoạn mạch AB, A λ = IRAB , RAB điện trở đoạn mạch AB Do IRAB = ϕ(A) − ϕ(B) + E(n) (3.12) (3.12) biểu thức toán học định luật Ohm cho dòng điện I chảy qua đoạn mạch AB GIÁO TRÌNH ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC 3.2.2 31 Định luật Joule – Lentz Ta xét thể tích V chứa dịng dừng (khơng có dịng chảy chảy vào thể tích đó) Nhiệt lượng Joule – Lentz tỏa đơn vị thời gian thể tích V Z Z j Q= q dV = dV (3.13) V V λ Áp dụng định luật Ohm suy rộng ta có: ~ +E ~ (n) ) ~jλ(E j2 ~ + ~j E ~ (n) = = ~j E λ λ (3.13) trở thành: Z ~ dV + ~j E Q= Z V ~ (n) dV ~j E (3.14) V ~ = −~jgradϕ = −div (ϕ~j) − ϕdiv~j = −div (ϕ~j) nên Để ý div~j = 0, nên ~j E Z Z I ~ dV = − ~j E div(ϕ~j) dV = − ϕjn dS = V V S Vì mặt kín S jn = (do giả thiết khơng có dịng chảy chảy vào) Do (3.14) trở thành: Z ~ (n) dV ~j E Q= (3.15) V (3.15) biểu thức toán học định luật Joule – Lentz suy rộng dạng tích phân Ta thấy nhiệt tỏa nhờ tiêu hao lượng điện trường ngoại lai cung cấp, không tiêu hao lượng điện trường tĩnh từ trường dừng Do q trình tỏa nhiệt từ trường dịng dừng khơng thay đổi 3.2.3 Định luật Kirchhoff thứ Đối với dịng điện khơng đổi div~j = nên Z I ~=0 ~ divj dV = − ~j dS V (3.16) S Ở V thể tích đó, cịn S mặt kín bao bọc thể tích V Nếu giả thiết có n dịng điện chảy qua mặt kín thì: I n I X ~= ~ ~j dS ~j dS S i=1 Si ~ = Ii cường độ dịng điện chảy qua phần điện tích Si Do (3.16) có ~j dS thể viết thành: n X Ii = (3.17) R Si i=1 Chọn ~n pháp tuyến mặt S Ii > dòng điện chảy Ii < dòng chảy vào mặt S Như định luật Kirchhoff thứ phát biểu: Ở chỗ mạch rẽ tổng đại số dịng điện khơng 32 ĐỒN THẾ NGƠ VINH 3.2.4 Định luật Kirchhoff thứ hai ~ = −gradϕ Đối với trường điện dừng ta có E I ~ d~l = E (3.18) H R ~ d~l = Pn ~ ~ Nếu mạch điện khép kín gồm n đoạn mạch li (i = 1, n) E i=1 li E dl Biễu diễn qua lấy tích phân theo đoạn mạch ta được: I n X ~ d~l = E (ϕ1 − ϕ2 )i (3.19) L i=1 ~ d~l = (ϕ1 − ϕ2 )i hiệu điện điểm đầu (chỉ số 1) điểm cuối E ~ ~l chiều (chỉ số 2) đoạn mạch thứ i Như đoạn mạch mà E ~ ~l ngược chiều (ϕ1 − ϕ2 )i < (ϕ1 − ϕ2 )i > cịn đoạn mạch mà E (3.18) viết thành: n X (ϕ1 − ϕ2 ) = (3.20) H li i=1 (3.20) biểu thức định luật Kirchhoff thứ hai Định luật Kirchhoff thứ hai phát biểu Trong mạch điện kín tổng đại số độ giảm đoạn mạch không Sử dụng (3.12) (3.20) viết dạng n X i=1 (IR)i = n X E(n)i (3.21) i=1 (3.21) cách biểu diễn khác định luật Kirchhoff thứ Trong mạch điện kín, tổng độ giảm IR tổng sức điện động trường lạ mạch 3.3 3.3.1 Thế vectơ Định luật Biot – Savart Thế vectơ ~ = A(~ ~ r ) hàm vectơ tọa độ ta đặt Nếu A ~ = rotA ~ B (3.22) ~ ln thỏa mãn phương trình divB ~ = (div rotA ~ = ∇ (∇ × A ~ ) = 0) Khi B ~ Hàm vectơ A(~r ) thỏa mãn điều kiện gọi vectơ từ ~ liên hệ với A ~ biểu trường dừng Giả sử ta chọn hàm vectơ A thức: ~0 = A ~ + gradu A ~ xác định từ trường Trong u hàm vô hướng tọa độ Hàm vectơ A 0 ~ ~ B = rotA Ta có ~ = rot(A ~ + grad u) = rotA ~ + rot grad u = rotA ~=B ~ B