Một số tính chất của giới hạn hàm số .... Do đó rất cần thiết có một bộ giáo trình riêng về Toán cao cấp dành cho khối kỹ thuật của Trường ĐH Hải Phòng để thống nhất nội dung giảng dạy v
HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
Khái niệm hàm số một biến
1.1.1.Khái niệm ánh xạ Định nghĩa 1.1 Cho X Y , là các tập hợp khác rỗng Ta gọi một ánh xạ từ X vào Y viết là : f X Y , là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x thuộc X với một phần tử duy nhất y thuộc Y Khi đó, X đƣợc gọi là tập nguồn, Y đƣợc gọi là tập đích của ánh xạ f Kí hiệu phần tử y tương ứng với phần tử x qua ánh xạ f là y f x Khi đó, y gọi là ảnh của x qua f ; x gọi là một tạo ảnh của y qua f Tập các tạo ảnh của phần tử y kí hiệu là
f 1 y Định nghĩa 1.2 Cho ánh xạ f X : Y
f đƣợc gọi là đơn ánh nếu với mỗi y thuộc Y là ảnh của nhiều nhất một x thuộc X
f đƣợc gọi là toàn ánh nếu mọi phần tử y thuộc Y đều có ảnh trong X
f đƣợc gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh
Ví dụ 1.1 Cho các tập hợp X 1, 2,3, 4 , Y a b c d e, , , ,
Khi đó f là ánh xạ f không là đơn ánh vì f 1 f 2 a f không là toàn ánh vì f 1 d
1) Qui tắc g : , g x 3 x 5 là ánh xạ g là đơn ánh vì : g x( ) 1 g x( ) 2 3x 1 5 3x 2 5 x 1 x 2 ,x x 1 , 2 g là toàn ánh vì : y ta có 1 ( ) 5
Do đó g là song ánh
2) Qui tắc h : , h x x 2 là ánh xạ h không là đơn ánh, vì h 1 h 1 1 h không là toàn ánh vì y 2 chẳng hạn thì h 1 y
3) Ánh xạ đi từ vào xác định bởi y2 x , là một đơn ánh nhƣng không phải là toàn ánh Định nghĩa 1.3 Cho f X : Y là một song ánh Ánh xạ g Y : X thỏa mãn điều kiện
y f x khi và chỉ khi x g y gọi là ánh xạ ngƣợc của ánh xạ f ; kí hiệu f 1
Ví dụ 1.3 Ta có g là song ánh ( xem ví dụ 1.2) và ánh xạ ngƣợc của g là 1 ( ) 5
1.1.2 Hàm số một biến số
1.1.2.1.Khái niệm Định nghĩa 1.4 Cho X Y , là các tập con khác rỗng của tập số thực Ánh xạ f X : Y đƣợc gọi là hàm số một biến số thực, kí hiệu y f x Khi đó x gọi là biến số, y gọi là hàm số với biến x
Tập X đƣợc gọi là tập xác định của hàm f , ký hiệu là D
Tập G f X f x x X đƣợc gọi là tập giá trị của hàm f
Ví dụ 1.4 Tìm tập xác định, tập giá trị của hàm số y 2 x x 2
Hàm số đã cho xác định khi :2 x x 2 0 x ( 2 x ) 00x2
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D 0, 2
1.1.2.2 Hàm số hợp: Cho hàm số y f x xác định trên tập D và hàm số y g x xác định trên tập f D Hàm số g f x gọi là hàm số hợp của hàm f và hàm g
Ví dụ 1.5 Cho các hàm số f x 2 x 6 và g x sin x
1.1.2.3 Hàm ngược và đồ thị của nó Định nghĩa 1.5 Giả sử X Y , , f X : Y là song ánh Ánh xạ ngƣợc của ánh xạ đó
: f 1 đƣợc gọi là hàm ngƣợc của hàm f
Theo định nghĩa của hàm ngƣợc ta có : ( y f x x X ( ), ) ( x f 1 ( ), y y Y ) Định nghĩa 1.6 Trong mặt phẳng chọn hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy
Tập điểm M ( x , y ) xD f , yf ( x ) đƣợc gọi là đồ thị của hàm số y f (x )
Chú ý: Đồ thị của hàm số ngƣợc y f 1 ( ) x đối xứng với đồ thị của hàm số y f (x ) qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất
1.1.2.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản
Các hàm số lƣợng giác: y sin , x y cos , x y tan , x y cot x
Các hàm lƣợng giác ngƣợc a) Hàm arcsin Định nghĩa 1.7 Hàm 1;1
f có quy tắc tương ứng là x y sin x là song ánh nên có hàm ngƣợc
1: f Quy tắc tương ứng của hàm ngược đó ký hiệu là y x arcsin y Vậy y sin , x x 2; 2 x arcsin y
Ký hiệu biến độc lập là x, biến phụ thuộc là y, ta có công thức của hàm ngƣợc của hàm
Hàm y = arcsin x có tập xác định trên đoạn [-1; 1] và tập giá trị trên đoạn [-π/2; π/2] Hàm này đơn điệu tăng trên đoạn [-1; 1] và là hàm lẻ Đồ thị của hàm y = sin x trên khoảng [-π/2; π/2] và y = arcsin x đối xứng qua phân giác của các góc phần tư 1 và 3 Tương tự, hàm f: [0; π] → [-1; 1] với quy tắc x → y = cos x là một hàm song ánh, do đó tồn tại hàm ngược f⁻¹: [-1; 1] → [0; π], ký hiệu là y = arccos x Vậy, y = cos x với x thuộc [0; π] tương đương với x = arccos y.
Ký hiệu biến độc lập là x , biến phụ thuộc là y , ta có công thức của hàm ngƣợc của hàm
x x y , là y arccosx Hàm y arccosxcó tập xác định là đoạn 1;1, tập giá trị là đoạn 0; ; hàm số đó đơn điệu giảm trên đoạn1;1 Đồ thị của các hàm ngƣợc nhau
Hàm số y = arccos(x) và y = x đối xứng qua phân giác của các góc phần tư 1 và 3 Dựa vào đồ thị của hàm số y = cos(x) với x thuộc đoạn [0; π], ta có thể xác định đồ thị của hàm số y = arccos(x) như hình 2 Định nghĩa hàm arctan được trình bày như sau: f(x) = arctan(x) với x nằm trong khoảng từ -π/2 đến π/2.
có quy tắc tương ứng là x ytanx là song ánh nên có hàm ngƣợc 1 : ; f 2 2
Quy tắc tương ứng của hàm ngược đó ký hiệu là arctan y x y Vậy y tan , x x 2; 2 x arctan y
Ký hiệu biến độc lập là x , biến phụ thuộc là y , ta có công thức của hàm ngƣợc của hàm
Hàm số y = arctan(x) có tập xác định là tập các số thực và tập giá trị là khoảng (-π/2; π/2) Hàm này là hàm đơn điệu tăng và là hàm lẻ Đồ thị của hàm y = tan(x) trong khoảng (-π/2; π/2) và đồ thị của y = arctan(x) đối xứng qua phân giác của các góc phần tư 1 và 3 Đối với hàm arccot, hàm số f: (0; π) → R với quy tắc x → y = cot(x) là song ánh, do đó tồn tại hàm ngược f⁻¹: R → (0; π) Quy tắc tương ứng của hàm ngược được ký hiệu là y = arccot(x), với điều kiện x = cot(y) khi y thuộc (0; π).
Ký hiệu biến độc lập là x và biến phụ thuộc là y, với công thức hàm ngược y = arccot(x) cho x thuộc (0; π) Hàm y = arccot(x) có tập xác định là (0; π) và tập giá trị là khoảng (0; π), đồng thời hàm này đơn điệu giảm trên khoảng xác định Đồ thị của hàm y = cot(x) với x thuộc (0; π) và hàm y = arccot(x) có tính đối xứng qua phân giác của các góc phần tư 1 và 3 Do đó, từ đồ thị của hàm số y = cot(x), ta có thể suy ra đồ thị của hàm số y = arccot(x).
1.1.2.5.Các phép toán sơ cấp trên hàm số một biến số
Cho hai hàm số y f x và y g x cùng xác định trên tập D Ta có các phép toán sơ cấp giữa hai hàm số nhƣ sau:
Tổng hai hàm số f và g là hàm số f g sao cho f g x f x g x
Tích hai hàm số f và g là hàm số fg sao cho fg x f x g x
Thương của hai hàm số f và g là hàm số f g sao cho ( ) ( ) ( ) 0
Hàm số sơ cấp là loại hàm được hình thành từ một số lượng hữu hạn các phép toán như tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp của các hàm sơ cấp cơ bản cùng với các hằng số.
Ví dụ 1.6 Các hàm số sau là các hàm số sơ cấp
Trong các hàm số sơ cấp người ta chú ý đến 2 loại hàm số sau: hàm đa thức và hàm hữu tỉ
Hàm đa thức là hàm số có dạng P n (x)a 0 a 1 xa 2 x 2 a n x n , trong đó
R a a a a 0 , 1 , 2 , , n Nếu a n 0 thì P n (x) đƣợc gọi là đa thức bậc n
Hàm hữu tỉ là thương số của 2 hàm đa thức như sau n n m m n m x b x b b x a x a a x
Dãy số và giới hạn dãy số
1.2.1.Các khái niệm cơ bản Định nghĩa 1.12
Một dãy số là một ánh xạ x : * , biến n * x n( ) x n Kí hiệu x n n 1
Ta nói dãy số x n hội tụ đến số thực a nếu 0, n 0 N sao cho x a , n n 0 Kí hiệu lim n n x a
Ta nói dãy số x n có giới hạn vô hạn nếu x n lớn tùy ý khi n đủ lớn, tức là :
M 0, n 0 sao cho x n M, n n 0 Kí hiệu lim n n x
Ví dụ 1.7 Dùng định nghĩa giới hạn chứng minh:
Do đó M 0chọn n 0 M 1sao cho n 2 1 M ; n n 0
1.2.2 Các tính chất của dãy hội tụ
Giới hạn của một dãy số (nếu có là duy nhất)
thì lim( ) lim( ) lim( ) , y 0, 0. n n n n n n n n n n x y x y x y xy x x y y y
Giới hạn kẹp: Nếu lim n , lim n , n n n , n x a n z a x y z n
1.2.3 Các định lí cơ bản về dãy số
1) Cho dãy số x n đơn điệu tăng, tức là x n x n 1 , n Khi đó:
Nếu dãy số x n bị chặn trên, tức là M x : n M , n 1, 2, thì lim n n x
Nếu dãy số x n không bị chặn trên thì lim n n x
.Tương tự, dãy số đơn điệu giảm có giới hạn khi nó bị chặn dưới, có giới hạn nếu không bị chặn dưới
2) Từ mọi dãy số bị chặn ta đều có thể trích ra một dãy con hội tụ
3) Điều kiện cần và đủ để dãy số thực x n hội tụ trong R là x n là một dãy Cauchy, tức là 0, n 0 N:m n n, 0 x m x n .
Ví dụ 1.8 Chứng minh rằng dãy x n với 1 n x n n n
là dãy tăng và bị chặn trên, do đó lim n n x
Khi so sánh khai triển của x^n và x^(n+1), ta nhận thấy rằng khai triển của x^(n+1) có nhiều hạng hơn so với x^n Mỗi hạng trong khai triển của x^(n+1) đều lớn hơn hạng tương ứng trong x^n, điều này cho thấy sự gia tăng rõ rệt trong giá trị của x^(n+1).
1 n n x x với mọi n Vậy dãy x n là dãy tăng
Hơn nữa x n bị chặn trên, vì:
Do đó tồn tại lim 1 n n n n
ta gọi đó là số e, vậy lim 1 n n n e n
Giới hạn của hàm số một biến số thực
Số L được xác định là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới x₀, nếu với mọi ε > 0 (có thể chọn nhỏ tùy ý), tồn tại một số δ > 0 sao cho với mọi x thỏa mãn 0 < |x - x₀| < δ, thì ta có |f(x) - L| < ε.
Số L đƣợc gọi là giới hạn của hàm số f x khi x nếu 0, M 0sao cho với mọi x thỏa mãn x M , ta có f x ( ) L Kí hiệu lim ( ) x f x L
Ví dụ 1.9 Chứng minh : lim(2 1 3) 5 x x
Giải: Ta lấy 0, nhỏ tùy ý Xét 2 x 3 5 2 x 1 x 1 / 2
Khi đó 0, chọn / 2 thì từ 0 x 1 suy ra 2 x 3 5 , hay lim(2 x 1 x 3) 5
Giới hạn hàm số có thể được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy Cụ thể, số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới x0 nếu với bất kỳ dãy {x_n} nào mà x_n tiến tới x0, thì giới hạn lim (f(x_n)) sẽ bằng L.
Định nghĩa 1.14 (Giới hạn một phía)
Số L đƣợc gọi là giới hạn phải (trái) của hàm số f x khi x dần tới x 0 nếu với mọi
0cho trước (nhỏ tùy ý) tồn tại số 0sao cho với mọi x thỏa mãn
0 0 0 0 x x x x x x , ta có f x ( ) L Kí hiệu giới hạn phải (trái) của hàm số
1.3.2 Một số tính chất của giới hạn hàm số
Giới hạn của một hàm số (nếu có) là duy nhất
Nếu các hàm số f x và g x có giới hạn hữu hạn khi xx 0 thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng có giới hạn khi x x 0 và ta có:
0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) 0
Giới hạn kẹp: Nếu f x ( ) g x ( ) h x ( )trong một lân cận nào đó của điểm x0 và
Nếu f x C ( C là hằng số) thì
Nếu f x là một hàm số sơ cấp xác định tại điểm x 0 và trong lân cận của điểm x 0 thì
Nếu f x có giới hạn là L khi xx 0 và L a (hay L a ) thì trong lân cận nào đó của điểm x 0 (không kể x 0 ) ta có f x a (hay f x a )
Nếu f x ( ) g x ( )trong một lân cận nào đó của điểm x 0 và
Giả sử hàm số f x xác định tại mọi x dương lớn tùy ý, khi đó nếu f x là hàm số đơn điệu tăng và bị chặn trên thì f x có giới hạn khi x
Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x âm lớn, nếu f(x) là hàm đơn điệu giảm và bị chặn dưới, thì f(x) có giới hạn khi x tiến đến -∞.
1.3.3 Một số giới hạn quan trọng
1.3.4 Vô cùng bé và vô cùng lớn a Định nghĩa 1.15
Hàm số f x đƣợc gọi là vô cùng bé, viết tắt là VCB khi x x 0 nếu
Hàm số f x đƣợc gọi là vô cùng lớn, viết tắt là VCL khi x x 0 nếu
(x 0 có thể hữu hạn hoặc vô hạn)
Chú ý: Nghịch đảo của VCB là VCL và ngƣợc lại
1) x5là VCB khi x5 vì lim( 5 5) 0 x x
b So sánh các vô cùng bé Vô cùng bé tương đương Định nghĩa 1.16
Giả sử f x g x , là hai vô cùng bé khi xx 0
thì f x đƣợc gọi là VCB bậc cao hơn g x , kí hiệu f x O g x
thì f x g x , đƣợc gọi là các VCB cùng bậc
thì f(x),g(x) được gọi là các VCB tương đương khi xx 0 , kí hiệu ( ) ( ) khi 0 f x g x x x
1 os 2 2 lim lim = 2lim( sin ) 0
Vậy 1 cos xlà vô cùng bé bậc cao hơn x khi x0
2 tan s inx lim lim 2 osx = 2 x x x c x x
Do đó 2tanx và x là hai vô cùng bé cùng bậc khi x0
Ví dụ 1.12 Khi x0 ta có các vô cùng bé tương đương sau:
1 1 lim lim 1 lim 1 ln(1 ) ln( 1) x x x y x e y e x x x y x
1) Tổng của hai vô cùng bé là một vô cùng bé
2) Tích của một vô cùng bé với một đại lƣợng bị chặn là một vô cùng bé
3) Nếu f(x) g(x) khi xx 0 và g(x) h (x) khi x x 0 thì f(x) h (x) khi x x 0
4) Nếu f(x) f 1 (x) khi x x 0 và g(x) g 1 (x) khi x x 0 thì
Dễ dàng chứng minh tính chất 1, 2
Ví dụ 1.13 Áp dụng tính chất thay thế VCB tương đương ta tính các giới hạn:
1 1 1 sin ln ln(1 1) 1 lim lim lim 1
Hàm số liên tục
Cho hàm số f x xác định trong khoảng a b , và điểm x 0 a b ,
f x gọi là liên tục tại điểm x 0 nếu
f x gọi là liên tục phải tại điểm x 0 nếu
f x gọi là liên tục trái tại điểm x 0 nếu
f x gọi là liên tục trên khoảng a b , nếu nó liên tục tại mọi x thuộc khoảng a b ,
f x gọi là liên tục trên đoạn a b , nếu nó liên tục trên khoảng a b , và lim ( ) (a), lim ( ) (b) x a f x f x b f x f
Hàm số f x đƣợc gọi là gián đoạn tại điểm x 0 nếu tại đó hàm số không liên tục
Vậy x 0 là điểm gián đoạn của f x nếu:
Hoặc là x 0 không thuộc miền xác định của f x
Hoặc là x 0 thuộc miền xác định của f x nhƣng
Hoặc là không tồn tại giới hạn
1) Các hàm số sơ cấp đều liên tục trên tập xác định của nó
2) Cho f x và g x là các hàm số liên tục trên khoảng a b , Khi đó :
Các hàm số f x g x f x g x C f x , , (C là hằng số) liên tục trên khoảng a b ,
( ) f x g x liên tục trên khoảng a b , trừ những điểm làm g x triệt tiêu
3) Sự liên tục của hàm số hợp :
Giả sử hàm số g(y) xác định trên khoảng (c,d) và hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b) Khi x biến thiên trong khoảng (a,b), f(x) sẽ nhận giá trị trong khoảng (c,d) Nếu f(x) liên tục tại điểm x₀ và g(y) liên tục tại điểm tương ứng y₀ = f(x₀), thì hàm số hợp g(f(x)) sẽ liên tục tại điểm x₀.
4) Cho f x xác định liên tục trên khoảng I a b , , cho c d, thuộc I với c d ; khi đó nếu f c f d 0 thì tồn tại một điểm m thuộc khoảng a b , sao cho f m 0
Hệ quả Nếu f x liên tục trên khoảng a b , thì f x lấy tất cả các giá trị từ f a đến f b
5) Định lí Weierstras Nếu f x liên tục trong khoảng đóng a b , thì f x đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn a b ,
1) Xét tính liên tục tại điểm x1của hàm số
2) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó
Vậy hàm số liên tục tại x1
là hàm sơ cấp xác định nên nó liên tục
Với x1thì f x 2 ax là hàm sơ cấp xác định nên liên tục Ta xét tính liên tục của hàm số tại x1 Ta có
Nếu 2a 1, tức là a 1 2 thì lim ( ) 1 1 (1) x f x f
Do đó f x liên tục tại x1 Nếu 2a 1 a 1/ 2thì không tồn tại lim ( ) 1 x f x
Do đó f x không liên tục tại x1
Kết luận : Với a 1 2hàm số đã cho liên tục trên
Với a 1/ 2 hàm số đã cho liên tục trên \ 1
Một lọ thủy tinh dung tích 1 000 ml chứa đầy 1 loại dung dịch chất độc nồng độ
Để loại bỏ chất độc còn sót lại trong lọ thủy tinh sau khi đã chuyển 10% dung dịch sang bình chứa khác, cần thực hiện rửa lọ bằng nước cất Mục tiêu là giảm lượng chất độc còn lại dưới 0,001 microgam Câu hỏi đặt ra là: cần xúc rửa bao nhiêu lần nếu mỗi lần sử dụng một lượng nước cất nhất định?
1000 ml nước cất ? b/ Phải xúc rửa bao nhiêu lần nếu mỗi lần dùng
Giả sử rằng mỗi lần rửa, chất độc hòa tan hoàn toàn trong nước, và sau khi đổ đi, dung dịch mới vẫn còn lưu lại một lượng chất độc tương tự trong lọ.
Lƣợng chất độc tồn trong lọ lúc đầu là: (100 g : 1000) = 1
Lƣợng chất độc tồn trong lọ theo yêu cầu là: 0,001 gam = 1 9
Mỗi lần xúc rửa với 1.000 ml nước cất, lượng chất độc còn lại trong lọ 1 ml (0,1 %) cho thấy chất độc đã giảm đi 1.000 lần Dựa vào đó, chúng ta có thể lập bảng lượng chất độc tồn đọng sau các lần xúc rửa.
Lúc đầu Lần 1 Lần 2 Lần 3
Vậy sau 3 lần xúc rửa với 1.000 ml/ lần thì chất độc còn 1 1 9 1 9
Cứ nhƣ thế lặp lại đến lần thứ n ta đƣợc dãy số là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội p=1/10 3
10 10 10 10 10 10 10 10 n b/ Nếu mỗi lần xúc rửa với 100 ml nước cất, nghĩa là lượng chất độc đã giảm đi 100 lần
(10 2 ) Tương tự phần trên, nếu xúc rửa lặp lại n lần ta cũng được một cấp số nhân lùi với công bội q = 1/ 10 2.n
Và để lượng chất độc 1/ 10 9 ta phải xúc rửa 4 lần với 100 ml nước/ 1 lần
Sinh viên Nguyễn Văn A học tập tốt được bố thưởng một số tiền trong một năm học và cho phép anh chọ một trong 2 phương án:
Theo phương án 1, bố sẽ thưởng cho anh ta số tiền tăng gấp đôi cho mỗi điểm 10 đạt được: 5000 đồng cho điểm 10 thứ nhất, 10000 đồng cho điểm 10 thứ hai, và 20000 đồng cho điểm 10 thứ ba.
Theo phương án 2, bố sẽ thưởng cho anh ta điểm 10 với số tiền tăng dần: điểm 10 đầu tiên là 100.000 đồng, điểm 10 thứ hai là 200.000 đồng, và điểm 10 thứ ba là 300.000 đồng Số tiền nhận được sẽ tăng lên sau mỗi điểm 10.
100000 đồng Hỏi phương án nào có lợi cho anh sinh viên
Biết rằng trung bình hàng năm anh ta có khoảng 12 điểm 10
Theo cách tính đơn giản thực hiện phép cộng tất cả số tiền có đƣợc sau 12 điểm 10 Tuy nhiên làm vậy mất rất nhiều thời gian
Phương án thứ nhất số tiền thưởng sẽ là:
S ,S1 là tổng cấp số nhân có 12 số hạng có u1 5000 công bội q= 2 nên 1 5000(1 2 ) 12 20.475.000
Phương án thứ hai số tiền thưởng sẽ là:
S ,S2 là tổng cấp số cộng có 12 số hạng, với u10000 công sai d = 100000
Vậy bạn sinh viên chọn phương án nào có lợi hơn?
Câu chuyện : “ một hào đổi năm xu”
Tương truyền vào một ngày nọ, có một nhà toán học đến gặp nhà tỉ phú và đề nghị “bán tiền” cho ông ta theo công thức sau:
Trong suốt 30 ngày, một nhà toán học đã thuyết phục một nhà tỉ phú "mua" 10 triệu đồng mỗi ngày, bắt đầu với giá chỉ 1 đồng vào ngày đầu tiên Từ ngày thứ hai trở đi, giá sẽ tăng gấp đôi mỗi ngày Không do dự, nhà tỉ phú ngay lập tức đồng ý và cảm ơn nhà toán học vì cơ hội kiếm tiền mà ông chưa từng dám mơ tới.
Hỏi: nhà tỉ phú lãi đƣợc bao nhiêu trong cuộc mua bán kỳ lạ này?
Và nhà toán học của chúng ta có phải kẻ ngốc nghếch mang đến cơ hội hốt tiền nằm mơ cũng không thấy cho nhà tỉ phú hay không?
Số tiền mà nhà toán học nhận đƣợc trong 30 ngày :
S u u S là tổng 30 số hạng của cấp số nhân có u 1 1,q2
Ta thấy so sánh với số tiền 300 triệu đồng mà tỉ phú nhận đƣợc thì nhà tỉ phú lỗ hay lãi?
Bài 1 Tìm miền xác định của hàm số:
Bài 2 Tìm miền giá trị của hàm số:
1 f x( )cosx;g(x)=e x 2 f x( ) ln( x 2 x 1); (x) xg 2 3 f x ( ) arcsin( x 1); ( ) 2 g x x 2 5 Bài 4 Tìm hàm hợp y = f(x) và miền xác định của nó nếu:
Bài 5 Các hàm sau là hàm hợp của những hàm nào:
Bài 6 Tìm hàm số ngƣợc của các hàm số sau:
Bài 7 Tính các giới hạn :
Bài 8 Tính các giới hạn :
Bài 9 Tính các giới hạn:
1 cos cos 2 cos3 lim x 1 cos x x x x
Bài 10 Tìm giới hạn trái, giới hạn phải, giới hạn:
Bài 11 Xét tính liên tục của hàm số sau:
tại x0Bài 12 Tìm điều kiện của a để hàm số sau liên tục trên tập xác định:
Vào đầu mùa thu hoạch cam, một bác nông dân đã bán cho bảy người khác nhau theo một cách đặc biệt: ông bán nửa số cam thu hoạch được và thêm nửa quả cho người thứ nhất, sau đó tiếp tục bán nửa số cam còn lại và nửa quả cho người thứ hai, và cứ như vậy cho đến người thứ bảy Cuối cùng, khi đến lượt người thứ bảy, bác nông dân không còn quả cam nào Câu hỏi đặt ra là bác nông dân đã thu hoạch tổng cộng bao nhiêu quả cam vào đầu mùa thu hoạch.
Bài 14 Một dự án đầu tƣ đòi hỏi chi phí hiện tại là 100 triệu đồng và sau 3 năm nó sẽ đem lại 150 triệu đồng Với lãi suất kép 8% 1 năm nếu gửi ngân hàng, hãy đánh giá xem có nên thực hiện dự án này không?
Bài 15 Xét bài toán trùng biến amip:
Sau mỗi giây, một con Amip tự phân thành 2 con Amip con Quá trình này lặp lại liên tục, với mỗi con Amip mới cũng phân chia thành 2 con sau mỗi giây Đến giây thứ 30, số lượng con Amip sẽ tăng lên đáng kể.
CHƯƠNG 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ
Phép tính vi phân của hàm một biến số liên quan chặt chẽ đến đạo hàm, một trong những lý thuyết quan trọng nhất của giải tích Đạo hàm cho phép chúng ta khảo sát toàn diện sự biến thiên của các đại lượng, như vận tốc của vật chuyển động hay cường độ dòng điện tại thời điểm t, cũng như tốc độ phản ứng hóa học Sinh viên cần nắm vững cách tính đạo hàm theo định nghĩa và hiểu rõ ý nghĩa cũng như công dụng của đạo hàm đối với hàm hợp và hàm ngược Khi thành thạo các phép tính và công thức đạo hàm của các hàm thông dụng, việc giải quyết mọi bài toán liên quan đến đạo hàm sẽ trở nên dễ dàng hơn.
2.1.1 Khái niệm đạo hàm Định nghĩa 2.1
Cho hàm số y f x xác định tại lân cận của điểm x 0 , xét x thuộc lân cận đó và
y f x( ) f x( ) 0 f x( 0 x) f x( ) 0 đƣợc gọi là số gia của hàm số f x tại x 0
(ứng với số gia x của đối số)
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn: 0 0
, thì giới hạn đó đƣợc gọi là đạo hàm của hàm y f x tại x 0 , ký hiệu là f(x 0 ): x x f x x f x x f f x x
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn: 0 0
, thì giới hạn đó đƣợc gọi là đạo hàm phải của hàm f x tại x 0, ký hiệu là f x ( ) 0 :
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:, 0 0
thì giới hạn đó đƣợc gọi là đạo hàm trái của hàm f x tại x 0 , ký hiệu là f x ( ) 0 :
Định lí 2.1 Hàm số f x có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi f x có đạo hàm phải, đạo hàm trái tại x 0 và giá trị các đạo hàm đó bằng nhau
Ví dụ 2.1 Tính đạo hàm các hàm số sau:
Vậy f ' (1) f ' (1) Do đó hàm số không có đạo hàm tại x 1
2.1.2 Tính chất Định lý 2.2 Nếu hàm số f x có đạo hàm tại x 0 thì f x liên tục tại x 0
Do f x có đạo hàm tại x 0 nên
Chú ý Điều ngƣợc lại không đúng, hàm f x ở ví dụ 3) liên tục tại x 1nhƣng không có đạo hàm tại điểm này Định lý 2.3 (Các quy tắc tính đạo hàm)
Giả sử u x v x , có đạo hàm tại x Khi đó: i) u x v x có đạo hàm và u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ), ii) u x v x có đạo hàm và u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ), iii) Nếu v x ( ) 0 thì
( x v x u có đạo hàm tại x và
Chứng minh i)Lấy x 0 tùy ý, đặt f x u x v x Giả sử x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ
Vậy u x ( ) v x ( ) ' u x ( ) v x ( ) ii)Đặt f x u x v x Giả sử x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ
Hàm v x có đạo hàm tại x 0 nên liên tục tại x 0, do đó v(x 0 x)v(x 0 ) Suy ra u ( x 0 ) v ( x 0 ) u ( x 0 ) v ( x 0 ) x f
, tức là f x có đạo hàm tại x 0 và f ( x 0 ) u ( x 0 ) v ( x 0 ) u ( x 0 ) v ( x 0 ) iii) Đặt
( v x x x u f Giả sử x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ
Hàm v x có đạo hàm tại x 0 nên liên tục tại x 0 do đó v(x 0 x)v(x 0 ) Suy ra
, tức là f x có đạo hàm tại x 0 và
Định lý 2.4 (Đạo hàm hàm hợp) Giả sử u x có đạo hàm tại x 0 , f u có đạo hàm tại
0 u x u Khi đó hàm g x f u x có đạo hàm tại x 0 và g(x 0 ) f(u(x 0 )).u(x 0 )
Chứng minh Giả sử x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ Đặt u u ( x 0 x ) u ( x 0 ),
Vì f u có đạo hàm tại u 0 nên ta có
Hàm g(x) có đạo hàm tại x₀ và g'(x₀) = f'(u(x₀)) · u'(x₀) Định lý 2.5 (Đạo hàm hàm ngược) nêu rằng nếu hàm y = f(x) từ [a, b] vào [c, d] là hàm ngược của hàm x = g(y) từ [c, d] vào [a, b], và hàm g(y) liên tục trên [c, d], thì nếu g(y₀) có đạo hàm tại y₀ với g'(y₀) ≠ 0, thì hàm y = f(x) có đạo hàm tại x₀ = g(y₀).
Hàm x g y có hàm ngược, do đó cả hai hàm này đều là các song ánh Hàm x g y liên tục trên đoạn c,d và là hàm đơn điệu; nếu g ( c ) g ( d ) thì hàm x g y đơn điệu tăng, ngược lại nếu g ( c ) g ( d ) thì hàm x g ( y ) đơn điệu giảm Hơn nữa, hàm y f x cũng liên tục trên đoạn a,b Giả sử x 0 và x 0 x a,b, ta đặt y f(x 0 x) f(x 0 ).
Nếu y 0 là đầu mút của đoạn c,d thì x 0 cũng là đầu mút của đoạn a,b , khi đó các đạo hàm f(x 0 ) và g(y 0 ) đƣợc hiểu là đạo hàm một phía
Ví dụ 2.2 Ta có hàm y f x arcsin x từ 1;1 vào 2; 2 là hàm ngƣợc của hàm
Ta có g(y)cosyg(y)0y( 2, 2) Từ đó suy ra x ( 1 ; 1 ) hàm f x có đạo hàm và y y x g f cos
Lập luận tương tự như ví dụ ở trên ta nhận được các kết quả sau
2.1.3 Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản
Ví dụ 2.3 Tính đạo hàm các hàm số sau:
2cos 2 (cos sin ) sin 2 ( s inx s inx cos )
2 cos 2 (cos sin ) sin 2 cos cos sin x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x
Nếu hàm f có thể biểu diễn dưới dạng f A x o ( x ), với A phụ thuộc vào x 0 và không phụ thuộc vào x, và o ( x ) là bậc cao hơn của x khi x0, thì hàm f được gọi là khả vi tại x 0 Biểu thức A.x được gọi là vi phân cấp 1 của hàm f tại x 0, ký hiệu là df(x 0 ) hoặc df, với df(x 0 )A.x.
Nếu hàm hàm số f x có đạo hàm tại x 0 thì f x khả vi tại x 0 và vi phân của hàm số đó tại x 0 là df(x 0 ) f(x 0 ).x
Nếu hàm số f x khả vi tại x 0 , thì hàm số f x có đạo hàm tại x 0 và f(x 0 )A
Nếu hàm f(x) khả vi tại x, thì công thức vi phân của hàm số đó là df = f'(x) · Δx Đặc biệt, với f(x) = x, ta có f'(x) = 1, do đó dx = Δx Từ đó, công thức vi phân của hàm f được biểu diễn là df = f'(x) · dx.
2.2.3 Tính bất biến của vi phân cấp 1
Giả sử hàm x x t ( t là biến độc lập) khả vi tại t 0 , hàm y f x khả vi tại x 0 x t 0 Khi đó dg ( t 0 ) g ( t 0 ) dt
(t 0 f x t 0 x t 0 g , do đó dg ( t 0 ) f ( x ( t 0 )) x ( t 0 ) dt f ( x ( t 0 )) dx ( t 0 )
Dạng của vi phân cấp 1 khi x là biến phụ thuộc không thay đổi so với dạng của vi phân cấp
1 khi x là biến độc lập Tính chất đó đƣợc gọi là tính bất biến của vi phân cấp 1
2.2.4 Ứng dụng vi phân tính gần đúng giá trị của hàm số
Giả sử f x xác định trong lân cận của x 0 và khả vi tại x 0 , x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ Khi đó f f(x 0 x) f(x 0 ) có dạng :
Trong đó o ( x ) là vô cùng bé bậc cao hơn x khi x0 Bỏ qua o ( x ) ta đƣợc x x f x f x x f f
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) , từ đó ta có công thức tính gần đúng giá trị của f x tại x 0 x nhƣ sau
Ví dụ 2.4.Tính gần đúng a 24,98 Đặt f(x) x thì a f 24,98 Ta có x x f x x f 2
Theo công thức (6) ta có f ( 24 , 98 ) f ( 25 0 , 02 ) f ( 25 ) f ( 25 )( 0 , 02 ) ,
2.3 Các định lý về hàm khả vi
2.3.1 Các định lý về giá trị trung bình
Giả sử f x xác định trên khoảng ( , ) a b , x 0 (a,b) Định nghĩa 2.4 Hàm f x được gọi là có cực đại (địa phương) tại x 0 nếu tồn tại lân cận
PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ
Đạo hàm cấp một
2.1.1 Khái niệm đạo hàm Định nghĩa 2.1
Cho hàm số y f x xác định tại lân cận của điểm x 0 , xét x thuộc lân cận đó và
y f x( ) f x( ) 0 f x( 0 x) f x( ) 0 đƣợc gọi là số gia của hàm số f x tại x 0
(ứng với số gia x của đối số)
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn: 0 0
, thì giới hạn đó đƣợc gọi là đạo hàm của hàm y f x tại x 0 , ký hiệu là f(x 0 ): x x f x x f x x f f x x
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn: 0 0
, thì giới hạn đó đƣợc gọi là đạo hàm phải của hàm f x tại x 0, ký hiệu là f x ( ) 0 :
Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:, 0 0
thì giới hạn đó đƣợc gọi là đạo hàm trái của hàm f x tại x 0 , ký hiệu là f x ( ) 0 :
Định lí 2.1 Hàm số f x có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi f x có đạo hàm phải, đạo hàm trái tại x 0 và giá trị các đạo hàm đó bằng nhau
Ví dụ 2.1 Tính đạo hàm các hàm số sau:
Vậy f ' (1) f ' (1) Do đó hàm số không có đạo hàm tại x 1
2.1.2 Tính chất Định lý 2.2 Nếu hàm số f x có đạo hàm tại x 0 thì f x liên tục tại x 0
Do f x có đạo hàm tại x 0 nên
Chú ý Điều ngƣợc lại không đúng, hàm f x ở ví dụ 3) liên tục tại x 1nhƣng không có đạo hàm tại điểm này Định lý 2.3 (Các quy tắc tính đạo hàm)
Giả sử u x v x , có đạo hàm tại x Khi đó: i) u x v x có đạo hàm và u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ), ii) u x v x có đạo hàm và u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ), iii) Nếu v x ( ) 0 thì
( x v x u có đạo hàm tại x và
Chứng minh i)Lấy x 0 tùy ý, đặt f x u x v x Giả sử x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ
Vậy u x ( ) v x ( ) ' u x ( ) v x ( ) ii)Đặt f x u x v x Giả sử x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ
Hàm v x có đạo hàm tại x 0 nên liên tục tại x 0, do đó v(x 0 x)v(x 0 ) Suy ra u ( x 0 ) v ( x 0 ) u ( x 0 ) v ( x 0 ) x f
, tức là f x có đạo hàm tại x 0 và f ( x 0 ) u ( x 0 ) v ( x 0 ) u ( x 0 ) v ( x 0 ) iii) Đặt
( v x x x u f Giả sử x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ
Hàm v x có đạo hàm tại x 0 nên liên tục tại x 0 do đó v(x 0 x)v(x 0 ) Suy ra
, tức là f x có đạo hàm tại x 0 và
Định lý 2.4 (Đạo hàm hàm hợp) Giả sử u x có đạo hàm tại x 0 , f u có đạo hàm tại
0 u x u Khi đó hàm g x f u x có đạo hàm tại x 0 và g(x 0 ) f(u(x 0 )).u(x 0 )
Chứng minh Giả sử x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ Đặt u u ( x 0 x ) u ( x 0 ),
Vì f u có đạo hàm tại u 0 nên ta có
Hàm g(x) có đạo hàm tại x₀ với g'(x₀) = f'(u(x₀))·u'(x₀) Định lý 2.5 về đạo hàm hàm ngược nêu rằng nếu hàm y = f(x) từ [a,b] vào [c,d] là hàm ngược của hàm x = g(y) từ [c,d] vào [a,b], và hàm g(y) liên tục trên [c,d], thì khi g(y₀) có đạo hàm tại y₀ với g'(y₀) ≠ 0, hàm y = f(x) sẽ có đạo hàm tại x₀ = g(y₀).
Hàm x g y có hàm ngược, do đó cả hai hàm y f x đều là các song ánh Hàm x g y liên tục trên đoạn c,d, nên nó là hàm đơn điệu; nếu g ( c ) g ( d ) thì hàm x g y đơn điệu tăng, còn nếu g ( c ) g ( d ) thì hàm x g ( y ) đơn điệu giảm Hơn nữa, hàm y f x cũng liên tục trên đoạn a,b Giả sử x 0 và x 0 x a,b, ta có thể đặt y f(x 0 x) f(x 0 ).
Nếu y 0 là đầu mút của đoạn c,d thì x 0 cũng là đầu mút của đoạn a,b , khi đó các đạo hàm f(x 0 ) và g(y 0 ) đƣợc hiểu là đạo hàm một phía
Ví dụ 2.2 Ta có hàm y f x arcsin x từ 1;1 vào 2; 2 là hàm ngƣợc của hàm
Ta có g(y)cosyg(y)0y( 2, 2) Từ đó suy ra x ( 1 ; 1 ) hàm f x có đạo hàm và y y x g f cos
Lập luận tương tự như ví dụ ở trên ta nhận được các kết quả sau
2.1.3 Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản
Ví dụ 2.3 Tính đạo hàm các hàm số sau:
2cos 2 (cos sin ) sin 2 ( s inx s inx cos )
2 cos 2 (cos sin ) sin 2 cos cos sin x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x
Vi phân cấp một
Nếu có thể biểu diễn f dưới dạng f A x o ( x ), trong đó A chỉ phụ thuộc vào x 0 mà không phụ thuộc vào x, và o ( x ) là bậc cao hơn của x khi x0, thì hàm f được gọi là khả vi tại x 0 Biểu thức A.x được gọi là vi phân cấp 1 của hàm f tại x 0, ký hiệu là df(x 0 ) hay df, với df(x 0 )A.x.
Nếu hàm hàm số f x có đạo hàm tại x 0 thì f x khả vi tại x 0 và vi phân của hàm số đó tại x 0 là df(x 0 ) f(x 0 ).x
Nếu hàm số f x khả vi tại x 0 , thì hàm số f x có đạo hàm tại x 0 và f(x 0 )A
Nếu hàm số f(x) khả vi tại x, thì công thức vi phân của nó được biểu diễn là df = f'(x)·Δx Đặc biệt, khi f(x) = x, ta có f'(x) = 1, dẫn đến dx = Δx Từ đó, công thức vi phân của hàm f có thể được viết dưới dạng df = f'(x)·dx.
2.2.3 Tính bất biến của vi phân cấp 1
Giả sử hàm x x t ( t là biến độc lập) khả vi tại t 0 , hàm y f x khả vi tại x 0 x t 0 Khi đó dg ( t 0 ) g ( t 0 ) dt
(t 0 f x t 0 x t 0 g , do đó dg ( t 0 ) f ( x ( t 0 )) x ( t 0 ) dt f ( x ( t 0 )) dx ( t 0 )
Dạng của vi phân cấp 1 khi x là biến phụ thuộc không thay đổi so với dạng của vi phân cấp
1 khi x là biến độc lập Tính chất đó đƣợc gọi là tính bất biến của vi phân cấp 1
2.2.4 Ứng dụng vi phân tính gần đúng giá trị của hàm số
Giả sử f x xác định trong lân cận của x 0 và khả vi tại x 0 , x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ Khi đó f f(x 0 x) f(x 0 ) có dạng :
Trong đó o ( x ) là vô cùng bé bậc cao hơn x khi x0 Bỏ qua o ( x ) ta đƣợc x x f x f x x f f
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) , từ đó ta có công thức tính gần đúng giá trị của f x tại x 0 x nhƣ sau
Ví dụ 2.4.Tính gần đúng a 24,98 Đặt f(x) x thì a f 24,98 Ta có x x f x x f 2
Theo công thức (6) ta có f ( 24 , 98 ) f ( 25 0 , 02 ) f ( 25 ) f ( 25 )( 0 , 02 ) ,
Các định lý về hàm khả vi
2.3.1 Các định lý về giá trị trung bình
Giả sử f x xác định trên khoảng ( , ) a b , x 0 (a,b) Định nghĩa 2.4 Hàm f x được gọi là có cực đại (địa phương) tại x 0 nếu tồn tại lân cận
Điểm cực đại x₀ của hàm f(x) được xác định khi tồn tại một lân cận V(x₀) ⊂ (a, b), trong đó với mọi x thuộc V(x₀), ta có f(x) < f(x₀) Ngược lại, hàm f(x) có cực tiểu (địa phương) tại x₀ nếu điều kiện này được thỏa mãn trong lân cận V(x₀).
Điểm cực tiểu của hàm số f(x) được xác định khi x = x0, tại đó f(x0) là giá trị cực tiểu Điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số Theo định lý 2.7 (Fermat), nếu hàm f(x) xác định trên khoảng (a, b) và có cực trị tại x0 thuộc (a, b), đồng thời f(x) có đạo hàm tại x0, thì đạo hàm f'(x0) sẽ bằng 0.
Chứng minh Giả sử f x có cực đại tại x 0 Khi đó tồn tại lân cận V(x 0 )(a,b), sao cho x V 0 ( x 0 ) f ( x ) f ( x 0 ) Giả sử x 0 , x 0 x V 0 ( x 0 ).Ta có
Giới hạn ở vế trái tồn tại và bằng f ( x 0 ) vì f x có đạo hàm tại x 0 Ta suy ra
Giới hạn ở vế trái cũng tồn tại và bằng f(x 0 ) vì f x có đạo hàm tại x 0 Ta suy ra
Từ (1) và (2), ta suy ra rằng f’(x₀) = 0, chứng minh định lý trong trường hợp hàm số f(x) có cực đại tại x₀ Tương tự, ta cũng có thể chứng minh định lý này cho trường hợp hàm số f(x) có cực tiểu tại x₀ Định lý 2.8 (Rolle) chỉ ra rằng nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và khả vi trên khoảng (a, b), thì
Chứng minh Vì hàm số f x liên tục trên a b , , nên f x đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trên đoạn a,b Giả sử
Nếu x 1 , x 2 a , b thì m f a f b M , f a f b , suy ra m M , suy ra f x là hàm hằng số trên đoạn a,b , do đó f ( x ) 0 x ( a , b )
Giả sử một trong 2 số x x 1 , 2 không thuộc tập a,b , do đó thuộc khoảng a b , Ta giả sử
1 (a b x Khi đó f x có cực tiểu (địa phương) tại x 1 Theo định lý Fermat ta có
Như vậy trong cả 2 trường hợp đều tồn tại c ( a , b ), sao cho f ( c ) 0 Định lý 2.9 (Lagrange) Nếu hàm số f x liên tục trên a,b , f x khả vi trên ( , ) a b thì
liên tục trên đoạn a,b và khả vi trên ( , ) a b nên hàm g x cũng có các tính chất đó Ngoài ra
Nhƣ vậy g x thoả mãn các điều kiện của định lý Rolle, do đó c ( a , b ), sao cho g ( c ) 0
Định lý Lagrange đƣợc chứng minh
Một biến dạng của công thức (2.21) là công thức sau
Công thức (2.22) đƣợc gọi là công thức số gia hữu hạn Nó cho phép đánh giá số gia của hàm số qua số gia của đối số
Hệ quả Nếu f x khả vi trên khoảng a b , và f x ( ) 0, x ( , ) a b thì f x là hàm hằng trên khoảng a b ,
Chứng minh Giả sử x 1 ,x 2 (a,b),x 1 x 2 Theo định lý Lagrange, tồn tại c ở giữa x x 1 , 2 , sao cho f(x 1 ) f(x 2 ) f(c)(x 1 x 2 ) Suy ra f(x 1 ) f(x 2 )0 f(x 1 ) f(x 2 ) Vì f(x 1 ) f(x 2 )
, nên f x là hàm hằng trên a b , Hệ quả 2.3 đƣợc chứng minh Định lý 2.10 ( Cauchy ) Nếu các hàm số f x ,g x liên tục trên a b , , khả vi trên khoảng
Chứng minh Trước tiên ta có nhận xét g ( b ) g ( a ) 0 Thật vậy, giả sử ngược lại, khi đó
( ) ( ) g b g a Theo định lý Rolle, x 0 (a,b), sao cho g(x 0 )0, điều này trái với điều kiện
x g x ( a , b ), chứng tỏ giả thiết g ( b ) g ( a ) 0 là sai, suy ra g ( b ) g ( a ) 0 Đặt
Vì f,gC a,b , f x ,g x khả vi trên khoảng a b , nên hàm h x cũng có các tính chất đó Ngoài ra
Vậy hàm h x thoả mãn các điều kiện của định lý Rolle nên c ( a , b ), sao cho
Đó chính là khẳng định của định lý Cauchy Định lý Cauchy đƣợc chứng minh
Qui tắc 1.( khử dạng vô định
Giả sử f x ,g x xác định trong lân cận V 0 ( x 0 ) của điểm x 0 hữu hạn và thoả mãn các điều kiện i) lim ( ) lim ( ) 0
f x g x x x x x ; ii) f x ,g x khả vi trong V 0 ( x 0 ); iii) g x ( ) 0, x V x 0 ( ) 0 ; iv) Tồn tại
Chứng minh rằng từ giả thiết ii), các hàm f(x) và g(x) liên tục trong V₀(x₀) Để xác định lại các hàm f và g, ta đặt f(x₀) = 0 và g(x₀) = 0, từ đó suy ra rằng f(x) và g(x) liên tục tại x₀ theo giả thiết i) Giả sử x thuộc V₀(x₀), theo định lý Cauchy, tồn tại một c nằm giữa x₀ và x (c phụ thuộc vào x), đảm bảo tính liên tục của các hàm số trong khoảng này.
Cho x dần đến x 0 thì vì c ở giữa x 0 và x nên c cũng dần đến x 0 , khi đó
dần đến L theo giả thiết iv), suy ra
( x g x f cũng dần đến L (Điều cần chứng minh)
Qui tắc 2 (khử dạng vô định
Giả sử f x ,g x xác định trong lân cận thủng V 0 ( x 0 ) của x 0 hữu hạn và thoả mãn các điều kiện i)
0 0 x g x f x x x x ; ii) f(x), g(x) khả vi trong V 0 ( x 0 ); iii) g ( x ) 0 x V 0 ( x 0 ); iv) Tồn tại
Chứng minh rằng, với điều kiện i) giả thiết rằng f(x) ≠ 0 và g(x) ≠ 0 cho mọi x thuộc V0(x0), từ giả thiết ii) suy ra rằng f(x) và g(x) liên tục trong V0(x0) Giả sử ε là một số dương bất kỳ, từ giả thiết iv) có thể kết luận rằng tồn tại một số dương a, sao cho khoảng (x0, x0 + a) nằm trong V(x0) và với mọi x thuộc (x0, x0 + a) đều thỏa mãn.
Giả sử x , y ( x 0 , x 0 a ), xy Theo định lý Cauchy, tồn tại c ở giữa x và y , do đó
Suy ra tồn tại số dương a, sao cho x(x 0 ,x 0 ) ta có
Chứng minh tương tự ta được L x g x f x x
Định lý đƣợc chứng minh
Nếu thỏa mãn các điều kiện của quy tắc 1 và quy tắc 2, giá trị L trong điều kiện iv) có thể là +∞, -∞ hoặc ∞, thì các khẳng định trong định lý vẫn giữ nguyên tính đúng đắn Thêm vào đó, nếu quá trình x tiếp cận x0 hữu hạn được thay thế bằng các quá trình x → +∞, x → -∞ hoặc x → ∞, các khẳng định của định lý vẫn còn đúng.
Ví dụ 2.6 Tính các giới hạn i) x x x x sin lim
4 4 lim sin lim cos 4 cos
Chú ý Điều kiện tồn tại
chỉ là điều kiện đủ mà không là điều kiện cần để tồn tại giới hạn
0 g x x f x x , tức là có thể tồn tại giới hạn
0 g x x f x x mà không tồn tại giới hạn
Ví dụ 2.6 Xét giới hạn x x x x 2 lim sin
( x 2 x x x x không có giới hạn khi x (bạn đọc tự chứng minh khẳng định này) Tuy nhiên, ta có
Đạo hàm và vi phân cấp cao
2.4.1 Đạo hàm cấp cao Định nghĩa 2.5 Cho hàm số y f x khả vi trong khoảng a b , Khi đó y'' ( '), ''' ( '') '; ; y y y y ( ) n (y ( n 1) ) '
Nếu hàm y f x có đạo hàm đến cấp n trên khoảng a b , ta nói y f x khả vi cấp n trên khoảng a b ,
Một số đạo hàm cấp cao của hàm sơ cấp
2 n n y c y c x Để chứng minh công thức đạo hàm cấp n, ta dùng phép chứng minh qui nạp toán học
Ví dụ 2.7 Chứng ming công thức 4) 1 , ( ) ( 1) ! 1
Giả sử (*) đúng với n tức là ( ) ( 1) ! 1
, ta chứng minh (*) đúng với n 1 Thật vậy :
2.4.2 Các quy tắc lấy đạo hàm cấp cao
Cho các hàm u u x và v v x có đạo hàm đến cấp n trên khoảng a b , Khi đó :
1) và 2) Chứng minh bằng qui nạp
3) Đúng với n 1, thật vậy uv ' u v uv ' ' C u v C uv 1 0 ' 1 1 '
Giả sử 3) đúng với n , tức là ( ) ( ) ( )
, ta chứng minh 3) đúng với n 1
Vậy ta có điều cần chứng minh
Ví dụ 2.8 Tính y (n) của hàm : 1) 3 2 3 2 3
2) Áp dụng công thức Lep-nit ta có
Ta có \( x(0) = x \), \( x' = 1 \), suy ra các đạo hàm cấp \( \geq 2 \) của \( x \) đều bằng 0 Do đó, trong tổng biểu diễn \( y(n) \), chỉ cần giữ lại các số hạng ứng với \( k \) thỏa mãn \( 0 \leq n - k \leq 1 \) tương đương với \( n - 1 \leq k \leq n \) Kết quả là \( y(n) = C_n^{n-1} x(1)e^{x(1)} + C_n^n x(0)e^{x(n)} = n e \cdot 1 \cdot x + 1 \cdot x e^{x} \).
Vi phân cấp n n N của hàm f x nếu tồn tại ký hiệu là d f n và đƣợc định nghĩa theo quy nạp nhƣ sau :
Chẳng hạn với n2ta có
Nếu x là biến độc lập thì dxx là hằng số, do đó
Công thức trên thường ký hiệu là
Chú ý Vi phân cấp cao không có tính bất biến
Ví dụ 2.9 Xét f x x x 2 , là biến độc lập nên df 2 xdx và d f 2 2( ) dx 2
Còn nếu đặt x t 2 thì f t t 4 , do đó df 4t dt d f 3 ; 2 12 ( ) t dt 2 2
Mặt khác thay x t 2 vào biểu thức trên ta có d f 2 2(2 ) tdt 2 8 ( ) t dt 2 2 12 t dt 2 2
Công thức Taylor
Giả sử f x liên tục trên đoạn a,b , có đạo hàm đến cấp n1,n N , trên khoảng ( , ) a b Giả sử x 0 (a,b)Ta tìm đa thức P x n bậc không quá n, thoả mãn
Ta sẽ tìm P x n có dạng n n n x a a x x a x x a x x a x x
Cho x x 0 trong các đẳng thức trên và để ý đến (2.29) ta tính đƣợc
Giả sử x a,b,xx 0 Theo định ly Cauchy, c 1 ở giữa x và x 0 , sao cho
Áp dụng định lý Cauchy lần thứ 2 ta suy ra c 2 ở giữa c 1 và x 0 , sao cho
Sau khi áp dụng định lý Cauchy lần thứ n ta suy ra c n ở giữa c n 1 và x 0 , sao cho
Áp dụng định lý Cauchy lần thứ n + 1 ta suy ra c ở giữa c n và x 0 , sao cho
Xâu dãy các đẳng thức trên ta đƣợc
Công thức trên đúng cả khi x x 0 Vậy ta đã chứng minh định lý sau: Định lý 2.10 Giả sử f x liên tục trên đoạn a,b , khả vi n1lần, nN, trên khoảng ( a , b ),
0 (a b x Khi đó x a b , , c ở giữa x và x 0 , sao cho
Công thức (2.30) đƣợc gọi là khai triển Taylor hữu hạn của hàm f x tại x 0 Khi x 0 0 công thức (2.30) trở thành
(2.31) trong đó c ở giữa x và 0 Công thức (2.31) đƣợc gọi là khai triển Mac-Laurin hữu hạn của hàm f x
2.5.2 Khai triển Mac-Laurin hữu hạn của một số hàm số sơ cấp a) Khai triển của hàm f x e x
Ta có f ( k ) (x)e x k0,n1 f ( k ) (0)1k0,n, f ( n 1 ) (c)e c , suy ra khai triển Mac-Laurin hữu hạn của hàm f x e x là
o x x n x x e x n n x b) Khai triển của hàm f x sin x
Suy ra khai triển Mac-Laurin hữu hạn của hàm f x sin x là
o x x n x x x x n n n c) Khai triển của hàm f x cos x
Suy ra khai triển Mac-Laurin hữu hạn của hàm f x cos x là
Suy ra khai triển Mac-Laurin hữu hạn của hàm f(x)(1x) là
( 2 x o x x n x n x x n n e) Khai triển của hàm f ( x ) ln( 1 x )
Suy ra khai triển Mac-Laurin hữu hạn của hàm f ( x ) ln( 1 x ) là
Ứng dụng của đạo hàm
Một máy tính được lập trình để vẽ các hình chữ nhật trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ hai chiều, với các hình này nằm dưới đường cong y = -x Câu hỏi đặt ra là diện tích lớn nhất của hình chữ nhật lớn nhất có thể nội tiếp dưới đường cong này là bao nhiêu?
Ta có diện tích hình chữ nhật là f x S xe x
Do đó ta có max f x f 1 e 1 0,3678
Trong lĩnh vực thuỷ lợi, việc xây dựng mương nước dạng “thuỷ động học” là rất cần thiết Để xác định kích thước của mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật, cần chú ý đến diện tích tiết diện ngang S và độ dài đường biên giới l, trong đó l phải được tối thiểu hóa để đảm bảo khả năng thấm nước tốt nhất cho mương.
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều cao của mương
Bài toán trở thành tìm ( )
Lập bảng biến thiên ta suy ra ( ) (√ )
Bài tập chương 2
Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau
3 y c x 5 = tan 1 2 sin 5 y 2 x x 6 y = x sinx Bài 2 Tính đạo hàm của hàm số y 1 x 2
Bài 3 Tính vi phân các hàm số sau
Bài 4 Tìm đạo hàm cấp cao các hàm số
Bài 6 Người ta xây dựng một bình chứa nước hình trụ thể tích 150 m 3 Đáy bằng bê 38ung giá 100.000 VND /m 2 , thành bằng tôn, giá 90.000 VND /m 2 , bề mặt bằng nhôm không han giá 120.000 VND/m 2 Vậy kích thước của bình chứa nước như thế nào để số tiền xây dựng nó là ít nhất ?
Bài 7 Hãy xác định độ dài ngắn nhất cánh tay nâng của cần cẩu bánh hơi có thể 38ung đƣợc để xây dựng toà nhà cao tầng mái bằng có chiều cao H và chiều rộng L? (biết rằng cần cẩu thoả mãn yêu cầu sau đây: Có thể xê xích chiếc cẩu cũng nhƣ góc nghiêng của cánh tay nâng để sao cho điểm cuối của cánh tay nâng chiều xuống theo phương thẳng đứng thì trùng với trung điểm của bề rộng Ta giả sử ngôi nhà xây dựng trên miếng đất rộng, cần cẩu có thể di chuyển thoải mái
Bài 8 Dùng qui tắc L’Hospital tính các giới hạn sau:
Bài 10 Tính các giới hạn
Bài 11 Viết khai triển Macloranh của hàm f(x):
1 tan x đến x 3 2 e 2x x 2 đến x 5 3 ln cos x đến x 6
Bài 12 Kiểm tra định lý Rolle, đối với các hàm:
Bài 13 Kiểm tra định lý Lagrang, đối với các hàm:
1 sinx sin y x y 2 arctanxarctany x y 3 a b ln a a b ; 0 < b < a a b b
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
Nguyên hàm
3.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 3.1 Hàm F x đƣợc gọi là nguyên hàm của hàm f x trên khoảng a b , nếu
F x f x x a b Định lý 3.1 Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm f x trên khoảng a b , Khi đó i) Với mọi hằng số C hàm F x C cũng là nguyên hàm của f x trên khoảng
a b , ; ii) Nếu (x ) cũng là nguyên hàm của f x trên khoảng a b , thì tồn tại hằng số C, sao cho ( x ) F ( x ) C x ( a , b )
Chứng minh Giả sử C là hằng số bất kỳ Ta có
Nghĩa là F x C là nguyên hàm của f x trên khoảng a b , Khẳng định i) của định lý đƣợc chứng minh
Giả sử (x ) cũng là nguyên hàm của f x trên khoảng a b , Đặt
Vì G ( x ) 0 x ( a , b ) nên theo hệ quả 2.3, tồn tại số C, sao cho G ( x ) C x ( a , b ), suy ra
hay ( x ) F ( x ) C x ( a , b ) Khẳng định ii) đƣợc chứng minh
Từ định lý 3.1 trên đây suy ra nếu F x là một nguyên hàm của hàm f x trên khoảng a b , thì tập các nguyên hàm của f x trên khoảng a b , là tập các hàm số F(x) +
C, trong đó C là hằng số bất kỳ Định nghĩa 3.2 Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm f x trên khoảng a b , Khi đó biểu thức F x C đƣợc gọi là tích phân bất định của f x trên khoảng a b , , ký hiệu là
Dấu được gọi là dấu tích phân, x được gọi là biến lấy tích phân, f x là hàm số dưới dấu tích phân, f x dx là biểu thức dưới dấu tích phân
Một câu hỏi quan trọng là hàm f(x) cần có những đặc điểm gì để tồn tại nguyên hàm Định lý sau đây đưa ra một điều kiện đủ để hàm f(x) xác định trên đoạn [a, b] có nguyên hàm trong đoạn này.
F x được gọi là nguyên hàm của hàm f x trên đoạn [a, b] nếu F x là nguyên hàm của hàm f x trên khoảng (a, b) và F' (a) = f(a), F' (b) = f(b) Theo định lý 3.2, nếu f x liên tục trên đoạn [a, b] với a < b, thì f x có nguyên hàm trên đoạn [a, b].
3.1.2 Một số tính chất của nguyên hàm
Nếu F x G x , lần lƣợt là nguyên hàm của các hàm số f x g x , trên khoảng a b , thì
af x bg x dx aF x bG x C
3.1.3 Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp
f ( x ) dx , trong đó f x liên tục trên khoảng a b , a) Đổi biến dạng 1
Giả sử i) g ( u ) du G ( u ) C , u ( m ; M ) ; ii) u ( x ) ( m ; M ) x ( a ; b ) ; iii) u x có đạo hàm trên a b , ; iv) f ( x ) dx g ( u ( x )) u ( x ) dx x ( a ; b )
Thật vậy, giả sử x 0 (a;b) Khi đó tồn tại đạo hàm u(x 0 ) Ta có u 0 u(x 0 )(m;M) nên G u có đạo hàm tại u 0 Suy ra hàm F x G u x có đạo hàm tại x 0 (a;b) và
Vì F ( x 0 ) f ( x 0 ) x 0 ( a ; b ) nên F x G u x là một nguyên hàm của f x trên khoảng )
( a b Công thức (3.1) đƣợc chứng minh b) Đổi biến dạng 2
Thực hiên phép đổi biến, đặt x (t ) Giả sử (t ) thoả mãn i) (t ) có đạo hàm liên tục, (t ) đơn điệu trên khoảng (;), tập t ( ; ) ( t ) 0 là tập hữu hạn; ii) ( t ) t ( ; ) ( a ; b ) ; iii) f (( t )) ( t ) dt G ( t ) C , t (;)
( ) ( ( )) , x ( a ; b ) , (3.2) trong đó t u ( x )là hàm ngƣợc của hàm x ( t ), t (;)
Thật vậy, đặt F x G u x Giả sử x 0 (a;b) Do ii) t 0 (;), sao cho
Nếu (t 0 )0 thì hàm t u (x ) có đạo hàm tại x 0 và u(x 0 )1(t 0 ) Vì
0 ( t nên hàm G có đạo hàm tại t 0 u(x 0 ) Suy ra hàm F x G u x có đạo hàm tại x 0 và
Giả sử (t 0 )0 Vì tập t (;) ( t ) 0 hữu hạn nên 0, sao cho t (;),
0 t t ta có ( t ) 0 Vì hàm t u (x ) liên tục và đơn điệu trên ( a ; b ) nên 0, sao cho x(a;b),0 xx 0 0 u(x)t 0 tt 0 Giả sử c(a;b),0 cx 0 Khi đó tại t u (c ) ta có ( t ) 0, do đó theo (3.4) ta có F ( c ) f ( c ) Với
(a;b),0 x x 0 x , theo định lý Lagrange, c ở giữa x 0 và x , sao cho
Khi xx 0 thì cx 0 Ta suy ra
vì f(x) liên tục tại x 0 Ta đã chứng minh x 0 (a;b)F(x 0 ) f(x 0 ), nên F ( x ) G ( u ( x )) là một nguyên hàm của hàm f (x ) trên ( a ; b ), suy ra (3.2) đúng
Ví dụ 3.1 Tính các tích phân
Giải: 1 Đặt usinx Ta có ducosxdx x , suy ra u C du u xdx x
2 Đặt x a sin ; t t 2; 2 Ta có dx a cos tdt ; a 2 x 2 a 2 a 2 sin 2 t t a 2 cos 2
acost acost vì t 2; 2 Suy ra t C t a dt a a t tdt a t a dx x a
Ta có x a sin ; t t 2; 2 , suy ra a x a a t x t a t t x
3 Đặt ulnx Ta có x du dx , suy ra
4 Đặt usinx Ta có ducosxdx, suy ra
5 Đặt x a tan ;t t ( 2; 2) Ta có t a t t a tg a a x t a a dt dx 4 4
( x 2 dx a 2 ) 2 cos a 4 4 t cos adt 2 t a 1 3 cos 2 tdt
Ta cóx a tan ;t t ( 2; 2), nên a arctg x a t tgt x , , suy ra a C x x a a arctg x a a x dx
6 Vì 0 nên x 2 x 0 khi x 2 0, do đó x dx x x x x x dx
1 Đặt u x 2 x Ta có dx x x dx x x du x
3.1.4.2 Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u x và v x có đạo hàm liên tục trên khoảng a b , thì
Thật vậy, ta có ( uv ) u v u v u v ( uv ) u v , suy ra
Theo định nghĩa 3.2 ta có
Dồn hằng số C vào tích phân vdu ta đƣợc
Công thức (3.5) đƣợc chứng minh
Phương pháp tích phân từng phần thường áp dụng cho những tích phân dạng sau (dưới đây ký hiệu P n (x) chỉ đa thức bậc n của x)
P n ( x ) sin axdx : Đặt u P x n ,dv sinaxdx
P n ( x ) cos axdx : Đặt u P x n ,dv cosaxdx
P n ( x ) e ax dx : Đặt u P x n ,dv e ax dx
P n ( x ) arcsin xdx : Đặt u arcsin ,dv x P x n dx
P n ( x ) arccos xdx : Đặt u arccos ,dv x P x n dx
P n ( x ) ln xdx : Đặt u ln ,dv x P x n dx ax sin e bxdx
: Đặt u e ax ,dv sin bx dx ax cos e bxdx
: Đặt u e ax ,dv cos bx dx
Ví dụ 3.2 Tính các tích phân
, ln x v x du dx dx dv x u suy ra ln xdx x ln x x dx x x ln x dx
1 2 x v x du dx dx dv arctgx u suy ra arctgxdx xarctgx 1 xdx x 2 xarctgx 2 1 1 2 xdx x 2
3 Ta có x cos xdx xd (sin x ) x sin x sin xdx
4 Ta có sin 2 x 1 cos 2 2 x x sin 2 xdx x 1 cos 2 2 x dx
5 Ta có x 2 sin xdx x d 2 (cos ) x x 2 cos x (cos )2 x xdx
x 2 cos x 2 xd (sin x ) x 2 cos x 2 x sin x (sin x ) 2 dx
6 Đặt I e ax cos bxdx Ta có
I ax ax ax sin cos cos cos sin 2 ax ax e e bx b bxd a a
e a ax cos bx e a ax 2 b sin bx e a ax 2 b 2 cos bxdx e a ax cos bx e a ax 2 b sin bx b a 2 2 e ax cos bxdx
, K là hằng số bất kỳ, ta đƣợc I e a ax ( cos 2 bx b 2 sin ) bx K a b
8 Dùng phương pháp tích phân từng phần ta có
3.1.5 Tích phân các hàm hữu tỷ
3.1.5.1 Nếu bậc của P x nhỏ hơn bậc của Q x , để tính tích phân (1) ta phân tích
Q x nhƣ sau : a) Nếu Q x gồm những nghiệm đơn : Q x( ) x a 1 x a 2 x a n thì :
b) Nếu Q x gồm nghiệm đơn và nghiệm bội : Q x ( ) x a x b 2 thì :
c) Nếu Q x có nghiệm bội : Q x ( ) x a n thì :
Tìm các hệ số A A 1 , 2 , A n bằng cách đồng nhất hệ số
3.1.5.2 Nếu bậc của P x lớn hơn hoặc bằng bậc của Q x thì ta chia P x cho Q x :
Tích phân của R x dễ dàng tính đƣợc, còn
Ví dụ 3.3 Tính tích phân:
3.1.6 Tích phân hàm lượng giác
Xét tích phân: R sin ,cos x x dx (2)
Thực hiện phép đổi biến, đặt tan
2cos 2 dx x dt dx t dx x
Nhƣ vậy tích phân (2) quy về tích phân của hàm hữu tỉ
Ví dụ 3.4 Tính tích phân:
1 sin cos 1 1 1 dx dt dt dt t x x t t t t t C
3.1.6.2 Một số trường hợp đặc biệt
Nếu R sin ,cos x x lẻ đối với sinx, tức là R sin ,cos x x R sin ,cos x x thì đổi biến cos t x
Nếu R sin ,cos x x lẻ đối với cosx, tức là R sin , cos x x R sin ,cos x x R thì đổi biến sin t x
Nếu R sin ,cos x x chẵn đối với sinx, cos x , tức là R sin , cos x x R sin ,cos x x thì đổi biến ttanx
Ví dụ 3.5 Tính các tích phân:
2 cos 2 2 2sin cos 3 sin 2sin cos x x x
1 Vì hàm trong dấu tích phân lẻ với cos x nên đặt tsinx, ta có :
2 Vì hàm trong dấu tích phân chẵn với sinx, cosxnên đặt ttanx, ta có :
1 2 tan 1 1 1 1 tan 1 tan 1 tan 2 tan 1
2 3 cos 2sin cos 1 1 sin 2sin cos tan 1 tan x x x dx C x x x x x
3.1.6.3 Trường hợp R sin ,cos x x sin m x cos ; , n x m n là các số nguyên
Nếu m lẻ thì đổi biến tcosx
Nếu n lẻ thì đổi biến tsinx
Nếu m, n chẵn và trong 2 số đó có một số âm thì đổi biến t tanx
Nếu m, n chẵn và cả 2 số đều không âm thì sử dụng công thức hạ bậc :
2 1 cos 2 2 1 cos 2 sin 2 sin ; s ;sin cos
Ví dụ 3.6 Tính tích phân:
Giải: Có: sin 2 cos 4 sin cos 2 cos 2 sin 2 2 1 cos 2
2 2 2 sin 2 sin 2 cos 2 1 cos 4 sin 2 cos 2
16 16 16 2 sin 4 sin 2 sin 4 sin 2 sin 2
3.1.6.4 Trường hợp tích phân có dạng : sin ax sin bxdx ; sin ax cos bxdx ; cos ax cos bxdx
Sử dụng phương pháp biến đổi tích thành tổng :
2 ax bx a b x a b x ax bx a b x a b x ax bx a b x a b x
3.1.7 Tích phân một số hàm vô tỷ
Xét tích phân: R x ax , 2 bx c dx a ; 0 3 Đặt b 2 4 ac
, khi đó tích phân (3) trở thành tích phân của hàm hữu tỉ
Nếu 0, a 0thì ax 2 bx c chỉ xác định tại 1 điểm, do đó tích phân (3) không tồn tại vì thế ta chỉ xét trường hợp 0
a Khi đó tích phân (3) trở thành:
khi đó tích phân (4) trở thành tích phân của hàm lƣợng giác
a , tích phân (3) trở thành: R u h 1 , 2 u du 2 (5) Đổi biến sin , , u h t t 2 2 khi đó tích phân (5) trở thành tích phân của hàm lƣợng giác
Trường hợp 3: 0, a 0thì ax 2 bx c 0 x nên ax 2 bx c không xác định tại bất kì giá trị nào của x, do đó tích phân (3) là vô nghĩa
a khi đó tích phân (3) trở thành:
Đổi biến tan , , u h t t 2 2 khi đó tích phân (5) trở thành tích phân của hàm lƣợng giác
Ví dụ 3.7 Tính các tích phân:
1 Ta có: x 2 2 x 5 x 1 2 4 Đặt u x 1, du dx nên:
4 4 tan 4 4 ; cos cos cos cos u t u du dt t t t t
Ta có: 2 tan , , u t t 2 2 , suy ra:
Lại có: u x 1suy ra: sin 2 1
2 Ta có: 2 x x 2 1 x 1 2 Đặt u x 1 x u 1, dx du , do đó:
Đặt sin , , ; cos , 1 2 1 sin 2 cos 2 cos cos u t t 2 2 du tdt u t t t t
1 1 2 2 1 sin 1 cos cos cos 2 sin 1 cos du tdt dt
Sử dụng kết quả ví dụ 3.4, ta đƣợc: tan 2 sin ln ln sin 1 cos tan 1 sin cos 1
Tích phân xác định
3.2.1 Định nghĩa a) Bài toán về diên tích hình thang cong
Giả sử a b , , a b f x , ( ) 0 x a b , và f C a,b Gọi A ( a , f ( a ), B ( b , f ( b ) Miền giới hạn bởi các đường y f ( x ), x a , x b và trục ox được gọi là hình thang cong, ký hiệu là aABb
Ta sẽ định nghĩa diện tích hình thang cong aABb
Chia đoạn a,b thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia ax 0 x 1 x n b Tập
P 0 , 1 , , đƣợc gọi là một phân điểm của đoạn a,b Lấy i bất kỳ thuộc đoạn
Hình vẽ trên minh hoạ cho trường hợp n3 Nếu tồn tại giới hạn
( , theo nghĩa 0 0 sao cho với mọi phân điểm P thoả mãn d (P ) , ta có
S( , ,Ξ) , thì giới hạn S đƣợc gọi là diện tích hình thang cong aABb
Bài toán về diện tích hình thang cong là một trong các bài toán dẫn đến khái niệm tích phân xác định b) Khái niệm tích phân xác định
+) Giả sử a b , , a b f x , ( ) xác định và bị chặn trên a,b Với các ký hiệu nhƣ ở phần a), nếu tồn tại giới hạn S f P I
( thì hàm f (x ) đƣợc gọi là khả tích trên đoạn
a,b , giới hạn I đƣợc gọi là tích phân xác định của hàm f ( x ) trên đoạn a,b , ký hiệu là
( ) , a , b , f ( x ) , f ( x ) dx , x lần lượt được gọi cận dưới, cận trên, hàm số dưới dấu tích phân, biểu thức dưới dấu tích phân và biến lấy tích phân
Tập các hàm khả tích trên đoạn a,b ký hiệu là R a,b , hàm f khả tích trên đoạn
+) Với f (x ) xác định tại a ta định nghĩa a ( ) 0 a dx x f
+) Giả sử ab, f R b,a Ta định nghĩa a b b a dx x f dx x f ( ) ( )
3.2.2 Một số tính chất của tích phân xác định
Tính chất 4.1 Giả sử a b , , ab i) Nếu f khả tích trên a,b , thì với mọi số thực C hàm Cf khả tích trên a,b và
Cf ( ) ( ) ii) Nếu f , g khả tích trên a,b thì f g khả tích trên a,b và
Tính chất 4.2 cho biết rằng, với ba số thực a, b, c, nếu hàm f khả tích trên đoạn có độ dài lớn nhất giữa các đoạn với các đầu mút tại a, b, c, thì hàm f cũng khả tích trên các đoạn còn lại.
b cf x dx c af x dx b af(x)dx ( ) ( )
Tính chất 4.3 Giả sử a b , , a b i) Nếu f R a,b và f(x)0x a,b thì b ( ) 0 a dx x f ii) Nếu f,gR a,b và f(x)g(x)x a,b thì b a b a dx x g dx x f ( ) ( ) iii) Nếu f R a,b thì f R a,b và b a b a dx x f dx x f( ) ( ) iv) Nếu f R a,b,m f(x)M,x a,b thì m ( b a ) f ( x ) dx M ( b a ) b a
Tính chất 4.4 Giả sử a , b R , ab i) (Định lý trung bình thứ nhất) Nếu f R a,b,m f(x)M,x a,b thì
sao cho b ( ) (b a) a f x dx Đặc biệt nếu f C a,b thì c a,b sao cho )
( f c b a b a f x dx ii) (Định lý trung bình thứ hai) Giả sử
b a b a dx x g dx x g x f ( ) ( ) ( ) Đặc biệt nếu f C a,b thì c a,b sao cho
3.2.3 Các phương pháp tính tích phân xác định
3.2.3.1 Phương pháp đổi biến a) Đổi biến dạng 1
Xét tích phân \(\int_{a}^{b} x f(x) \, dx\) với \(a < b\) và \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([a, b]\) Thực hiện phép đổi biến \(u = \varphi(x)\) Giả sử rằng \(\varphi(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([a, b]\) và \(f(x) \, dx\) trở thành \(g(\varphi(x)) \varphi'(x) \, dx\), trong đó \(g(u)\) liên tục trên đoạn \([m, M]\).
Chứng minh Giả sử G u là nguyên hàm của g u trên m,M Đặt F ( x ) G (( x )) Theogiả thiết: (x )có đạo hàm liên tục trên a,b ; (x)m,Mx a,b ; G(u) có đạo hàm trên m,M Suy ra F x có đạo hàm trên a,b và
F( ) (( ))( ) (( ))( ) ( ) , , tức là F x là nguyên hàm của f x trên a,b Theo công thức Newton – Lebnitz ta có
Công thức (3.20) đƣợc chứng minh
Nếu bổ sung giả thiết đơn điệu (x) vào các giả thiết i) và ii), thì khoảng đoạn m,M trong giả thiết ii) sẽ trở thành (a),(b) khi (x) đơn điệu tăng.
Ví dụ 3.9 Tính tích phân
x x x f liên tục trên đoạn 1,1 Đặt
x u dx x u , suy ra biểu thức dưới dấu tích phân có dạng g ( u ( x )) u ( x ) dx vớp hàm
1cos,1cos, do đó theo công thức (1) ta có
Xét tích phân b a dx x f ( ) , trong đó a b f x , liên tục trên đoạn a,b Thực hiện phép đổi biến, đặt x (t )
Giả sử: i) x (t ) có đạo hàm liên tục trên ,, ii) () a , () b , iii) Khi t biến thiên trên , thì x (t ) biến thiên trên a,b
Chứng minh Giả sử F x là nguyên hàm của f x trên a,b Đặt G ( t ) F (( t )) Theo giả thiết: (t ) có đạo hàm liên tục trên ,; (t) a,bt,; F x có đạo hàm trên
a,b Suy ra G ( t ) F (( t )) có đạo hàm trên , và G ( t ) F (( t )) ( t ) f (( t )) ( t ), tức là G(t) là nguyên hàm của f (( t )) ( t ) trên , Theo công thức Newton – Lebnitz ta có:
Công thức (3.21) đƣợc chứng minh
Ví dụ 3.10 Tính tích phân 2
liên tục trên tập (1,1 2)(1 2,1 2) (1 2,1) nên liên tục trên đoạn 0,1 2 Đặt xsint,t0, 6 Ta có dxcostdt Khi t0, 6 thì t xsin 0,1 2, do đó theo công thức (3.21) ta có
3.2.3.2 Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u x v x , có đạo hàm liên tục trên a,b Khi đó
Công thức (3.22) đƣợc chứng minh
Ví dụ 3.11 Tính các tích phân 2
) (cos sin sin sin sin
1 cos ) cos (sin ) ( 1) cos sin cos
, từ đó ký hiệu ( 2 m 1 )! ! 1 3 5 ( 2 m 1 ) (đọc là 2m1 giai thừa cách) và ( 2 m )! ! 2 4 6 ( 2 m ) và dựa vào kết quả I0 ở trên ta có
, từ đó dựa vào kết quả I1 ở trên ta có
I m m Bằng phép đổi biến x 2t dễ dang chứng minh đƣợc I n J n với mọi số tự nhiên n
Tích phân suy rộng
3.3.1 Tích phân có cận vô hạn
+) Giả sử a là số cố định, f x khả tích trên a,bba Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
b b lim a f ( x ) dx (3.23) thì giới hạn đó đƣợc gọi là tích phân suy rộng của hàm f(x) trên khoảng a,, ký hiệu là
+) Tương tự, giả sử a là số cố định, f x khả tích trên b,aba Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
a b lim b f ( x ) dx (3.24) thì giới hạn đó đƣợc gọi là tích phân suy rộng của hàm f x trên khoảng ,a, ký hiệu là
+) Bây giờ giả sử f(x) khả tích trên a,b với mọi a b , Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
b b a a lim f(x)dx (3) thì giới hạn đó đƣợc gọi là tích phân suy rộng của hàm f x trên khoảng ( , ), ký hiệu là
Nếu giới hạn (1), (2) hoặc (3) tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng tương ứng hội tụ, trong trường hợp ngược lại ta nói tích phân đó phân kỳ
dx x f ( ) hội tụ khi và chỉ khi với mọi a 0 các tích phân
( a dx x f hội tụ Khi tích phân
dx x f ( ) hội tụ, a 0 ta có
Ví dụ 3.12 Xét sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân:
Vậy tích phân suy rộng hội tụ
Vậy tích phân suy rộng hội tụ
Vậy tích phân suy rộng hội tụ
1 x dx hội tụ khi và chỉ khi 1
0 dx xe x Tích phân bất định của xe x là
C e x dx e xe e xd dx xe x x x x x
Theo quy tắc L’hospital ta có
Vậy tích phân suy rộng hội tụ
3.3.1.2 Các định lý so sánh Định lý 3.9: Cho hai hàm số f x g x , khả tích trên mọi khoảng hữu hạn a A a A , và
phân kì Định lý 3.10: Cho hai hàm số f x g x , khả tích trên mọi khoảng hữu hạn a A a A , và
0 f x g x x a, Khi đó nếu tồn tại giới hạn:
thì các tích phân suy rộng a f x dx
cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ
Hệ quả 3.2 Cho f x g x , là hai hàm số dương khả tích trên a , Khi đó: i) Nếu lim 0 x f x g x
hội tụ ii) Nếu lim x f x g x
Ví dụ 3.13 Xét sự hội tụ của các tích phân:
Áp dụng kết quả phần (d) ví dụ 3.12 và định lý 3.9 suy ra tích phân I hội tụ
Áp dụng kết quả phần (d) ví dụ 3.12 và hệ quả 3.2 suy ra tích phân J hội tụ
3.3.2 Tích phân mà hàm lấy tích phân không bị chặn trên miền lấy tích phân
Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng [a, b], có khả tích trên [a, b] với mọi ε > 0, trong đó 0 < b - a và không bị chặn trong lân cận trái của b (điểm b được gọi là điểm bất thường của hàm f(x)) Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn, điều này cho thấy tính ổn định của hàm số tại điểm b.
thì giới hạn đó gọi là tích phân suy rộng của hàm f x trên khoảng a b , , kí hiệu là:
Giả sử hàm f(x) được xác định trên khoảng (a, b] và khả tích trên đoạn [a + ε, b] với mọi ε thỏa mãn 0 < ε ≤ b - a, đồng thời không bị chặn trong lân cận bên trái của a Điểm a được gọi là điểm bất thường của hàm f(x) Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn tại điểm này, thì
thì giới hạn đó gọi là tích phân suy rộng của hàm f x trên khoảng a b , , kí hiệu là:
Giả sử hàm số f(x) được xác định trên khoảng [a, b] với c là điểm bất thường Hàm này khả tích trên khoảng [a, c] cho mọi ε > 0, tức là 0 < ε ≤ c - a, và cũng khả tích trên khoảng [c + μ, b] cho mọi μ > 0, với điều kiện 0 < μ ≤ b - c Đồng thời, hàm f(x) không bị chặn trong lân cận bên phải và bên trái của điểm c Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn tại điểm c, điều này cho thấy sự ổn định của hàm tại điểm bất thường này.
thì giới hạn đó gọi là tích phân suy rộng của hàm f x trên khoảng a b , , kí hiệu là:
Nếu giới hạn (7), (8), (9) tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng tương ứng hội tụ, trong trường hợp ngƣợc lại ta nói tích phân đó phân kỳ
Chú ý Tích phân suy rộng trong trường hợp thứ 3 hội tụ khi và chỉ khi các tích phân c a f x dx
hội tụ ta có: b c b a a c f x dx f x dx f x dx
Ví dụ 3.14 Xét sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân:
Vậy tích phân suy rộng hội tụ
Vậy tích phân suy rộng hội tụ
Vậy tích phân suy rộng hội tụ
0 0 0 lim lim ln lim ln ln b b a a dx b x b a b x
hội tụ khi và chỉ khi 1 , phân kỳ khi và chỉ khi 1
0 0 lim lim arcsin lim arcsin 1 arcsin 0 arcsin1
1 1 lim lim arcsin lim arcsin 1 arcsin 1
3.3.2.2.Các định lý so sánh Định lý 3.11 Cho f x g x , là hai hàm số không âm, khả tích trên a b , với x a là điểm bất thường sao cho f x g x với x a c a c b , ; Khi đó:
phân kì Định lý 3.12 Giả sử f x g x , là hai hàm số dương khả tích trên a b , với x a là điểm bất thường Nếu tồn tại giới hạn:
thì tích phân suy rộng b a f x dx
hội tụ khi và chỉ khi b a g x dx
Hệ quả 3.3 Cho f x g x , là hai hàm số dương khả tích trên a b , với x a là điểm bất thường Khi đó: i) Nếu lim 0 x a f x g x
hội tụ ii) Nếu lim x a f x g x
Ví dụ 3.15 Xét sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân:
Áp dụng kết quả phần (4) ví dụ 3.14 và định lý 3.11 suy ra tích phân J hội tụ
Khi p0 thì J có điểm bất thường là x = 0, khi p0 thì J có điểm bất thường là x 2
Trong cả 2 trường hợp ta có: lim tan x 0 x p : 1 p 1 x
1 sin 1 2 lim tan : lim : lim sin 1 cos sin
Áp dụng kết quả phần (4) ví dụ 3.14 và định lý 3.12 suy ra tích phân J hội tụ khi p 1, phân kỳ khi p 1.
Ứng dụng của tích phân
3.4.1 Tính diện tích hình phẳng
3.4.1.1 Hình phẳng giới hạn bởi các đường cong trong tọa độ Đềcac
+ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y f x , y g x ,a x b là:
+ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường cong x f y , x g y ,c y d là:
Ví dụ 3.16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi C y : 2 2 y x 0, d x y : 0
Giải: Giao điểm của (C) và (d) là (0, 0), (-3, 3)
3.4.1.2 Hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho dưới dạng tham số
3.4.2 Tính độ dài đường cong phẳng
3.4.2.1 Phương trình cho trong tọa độ Đềcac Đường cong AB cho bởi phương trình y f x A a f a , , , B b f b , có độ dài được tính bởi công thức:
3.4.2.2 Phương trình cho dưới dạng tham số
3.4.3 Tính thể tích vật thể
3.4.3.1 Thể tích sinh bởi diện tích S quay xung quanh 0x a)
3.4.3.2 Thể tích sinh bởi diện tích S quay xung quanh Oy a)
Ví dụ 3.17 Tính thể tích sinh bởi S C y : ln , x Ox d x , : 2 quay quanh Ox
V Ox ln xdx x ln x xd ln x 2ln 2 2 ln xdx 2 ln 2 1
Bài tập chương 3
Bài 1 Tính các tích phân
Bài 2 Tính các tích phân
3 x 2 2 dx 1 dx cos x 1 dx sin x
sin 2 x dx 2 cos 2 x cos x 2 cos x 3 dx sin 6 x cos 4 xdx
1 dx x 3 e 2 x cos 3 xdx x 2 ln xdx
Bài 3 Thực hiện phép đổi biến x x t 1, tính tích phân
Bài 5 Xét sự hội tụ và tính (trong trường hợp hợp hội tụ) các tích phân sau
Bài 6 Tính diện tích hình giới hạn bởi:
1) Tính V Ox khi S quay quanh Ox
2) Tính V Oy khi S quay quanh Oy
Bài 8 Cho (S) là diện tích của (E): 4 2 2 1
1) Tính V Ox khi S quay quanh Ox
2) Tính V Oy khi S quay quanh Oy
Bài 9 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cho bởi phương trình tham số:
Bài 10 Tính độ dài đường cong cho bởi phương trình:
MA TRẬN - ĐỊNH THỨC- HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Khái niệm và các phép toán trên ma trận
Ma trận m dòng, n cột là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng, n cột, mỗi số trong ma trận đƣợc gọi là một phần tử của ma trận
Ta ký hiệu tập các ma trận là Mmxn và mỗi ma trận thuộc Mmxn đƣợc viết chi tiết là:
Hay viết gọn là A( )a ij m n hoặc A[ ]a ij m n trong đó i1,m chỉ số dòng và j1,n chỉ số cột của phần tử
Hai ma trận A( )a ij m n và B( )b ij m n đƣợc gọi là bằng nhau nếu a ij b ij với mọi i1,m và 1, j n
4.1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt
Ma trận vuông được định nghĩa khi số dòng và số cột của hai ma trận bằng nhau Tập hợp các ma trận vuông được ký hiệu là M(n; K), trong đó n đại diện cho cấp của ma trận vuông.
Trong ma trận vuông các phần tử a a 11 , 22 , ,a nn là các phần tử nằm trên đường chéo chính, các phần tử a a n 1 , ( n 1)2 , , a 1 n là các phần tử nằm trên đường chéo phụ
là ma trận vuông cấp hai
là một ma trận vuông cấp 3
Phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là 1; 4 Phần tử nằm trên đường chó chính của ma trận B là 1, 5, 9
4.1.2.2 Ma trận dòng, ma trận cột
Nếu m = 1, ma trận chỉ có một dòng, gọi là ma trận dòng Tương tự, nếu n = 1, ma trận chỉ có một cột, được gọi là ma trận cột Ma trận dòng và ma trận cột thường được gọi là vectơ dòng và vectơ cột.
Một số thuộc trường K được gọi là ma trận một dòng, một cột
Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 đƣợc gọi là ma trận không
Ma trận chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử ngoài đường chéo chính bằng 0, trong khi các phần tử trên đường chéo chính có giá trị khác không Ma trận chéo cấp n có hình dạng đặc trưng, tạo nên một cấu trúc rõ ràng và dễ nhận diện trong toán học.
Ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu I n
Ma trận có các phần tử ở trên (hoặc dưới) đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác
Trong đó a ij 0khi i> j đƣợc gọi là ma trận tam giác trên
A là ma trận tam giác trên
Trong đó b ij 0khi i < j đƣợc gọi là ma trận tam giác dưới
là ma trận tam giác dưới
Nhận xét : Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác
Ma trận bậc thang trên K được định nghĩa là một ma trận có các dòng khác 0 nằm ở phía trên các dòng 0 Hơn nữa, nếu trên hai dòng khác 0, phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên, thì ma trận đó đáp ứng tiêu chí của ma trận bậc thang.
là ma trận bậc thang có ba dòng khác 0
4.1.3 Các phép toán trên ma trận
4.1.3.1 Phép cộng các ma trận Định nghĩa 4.3 Tổng của hai ma trận A ( ) a ij m n và B ( ) b ij m n là một ma trận C ( ) c ij m n với c ij a ij b ij Tổng hai ma trận đƣợc ký hiệu C = A+B
Chú ý Phép cộng ma trận chỉ thực hiện đƣợc khi các ma trận là cùng cấp
4.1.3.2 Phép nhân ma trận với một số Định nghĩa 4.4 Tích của ma trận A ( ) a ij m n với số thu đƣợc bằng cách nhân các phần tử của ma trận A với số , ký hiệu A Ta có, A ( a ij m n )
Với A và B là hai ma trận cấp m x n, ta ký hiệu A + (-1)B = A – B, gọi là phép trừ của hai ma trận
Định lý 4.2 Với A B C , , M m n x và , R ta có: a) A + B = B + A b) (A + B) + C = A + (B + C) c) 0 + A = A + 0 = A d) A + (-A ) = (-A) + A = 0 e) A B T A T B T f) ( A B ) A B g) ( ) A A A
4.1.2.3 Phép nhân hai ma trận Định nghĩa 4.4 Cho hai ma trận A ( a ij m r ) và B ( b jk r n ) , khi đó tích của hai ma trận A và
B, ký hiệu là AB là một ma trận C ( )c ik m n với các phần tử c ik là tổng của các tích các phần tử tương ứng dòng i của ma trận A với cột k của ma trận B
r ik i j i j ir rj ij jk j c a b a b a b a b
Tích của ma trận A và ma trận B chỉ được xác định khi số dòng của ma trận B bằng số cột của ma trận A Cụ thể, nếu A là ma trận cấp m x p và B là ma trận cấp p x n, thì phép nhân ma trận A và B là hợp lệ.
Trong đại số ma trận, AB là ma trận có kích thước m x n Khi A và B là hai ma trận bất kỳ, việc có tích AB không đồng nghĩa với việc tích BA cũng tồn tại Điều này cho thấy rằng tích của hai ma trận không có tính giao hoán.
Ngoài ra, có những ma trận khác 0 nhƣng tích của chúng lại là ma trận 0
Ví dụ 4.10 a) Giả sử A 1 1 3 2 và B 2 1 0 1
khi đó AB 2 2 2 3 và BA 1 7 1 3 Vậy AB BA b) Với C 1 0 0 0 ; D 0 0 1 0
Nếu hai ma trận A và B thỏa mãn điều kiện AB = BA, thì chúng có thể hoán vị với nhau Đặc biệt, ma trận đơn vị có khả năng hoán vị với mọi ma trận cùng cấp Ví dụ, cho ma trận A = [1 2 3; 1 -4 1].
AB Định lý 4.3 Cho A A, 'M m n x và B B , ' M n p x và C M p q x và Rthì:
4.1.3.4 Ma trận chuyển vị Định nghĩa 4.2
Cho ma trận A, ma trận chuyển vị của A được ký hiệu là A^T, trong đó các dòng và cột được hoán chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số.
Giả sử ta có ma trận A= thì khi đó ma trận chuyển vị của ma trận A là
Nếu ma trận A có cấp là m x n thì ma trận có cấp là n x m
Trường hợp đặc biệt chuyển vị của ma trận cột là ma trận dòng và ngược lại chuyển vị của ma trận dòng là ma trận cột
Ma trận thì ma trận chuyển vị của ma trận A là Định lý 4.1 Cho các ma trận Khi đó ta có các khẳng định sau:
Định thức
Cho A là ma trận vuông cấp n Định thức của ma trận A, ký hiệu là detA hay |A| đƣợc tính theo quy nạp nhƣ sau: n = 1: A = [a]; |A| = a n = 2: 11 12
A ij là ma trận đƣợc thành lập từ A bằng cách bỏ dòng, cột chứa phần tử a ij
Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông cấp n trên trường K thường được gọi là một định thức cấp n
4.2.2 Cách tính định thức cấp 3
Quy tắc Sarrus ( đường chéo):
Ta viết thêm cột thứ nhất và thứ hai vào bên phải định thức ta đƣợc
Ví dụ 4.12 a) Xét ma trận
Nhận thấy dòng 4 có nhiều số 0, nên khai triển định thức theo dòng 4 ta có:
Khai triển theo dòng 1 có 1 2 1 4
Tính chất 1: Định thức của ma trận A sẽ bằng 0 nếu thỏa một trong các điều kiện sau:
Có một dòng mà tất cả các phần tử của dòng đó đều bằng 0
Có hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau,
Tính chất 2 của định thức cho biết rằng nếu đổi chỗ hai dòng bất kỳ, định thức sẽ đổi dấu Tính chất 3 chỉ ra rằng nếu tất cả các phần tử của một dòng hoặc một cột trong định thức được nhân với một số λ, thì định thức mới sẽ bằng định thức ban đầu nhân với λ.
Nhận xét: Từ tính chất này suy ra nếu A là ma trận vuông cấp n thì det( A ) n det( ) A
Tính chất 4: Cho A là ma trận vuông cấp n Giả sử dòng thứ i của ma trận A có thể biểu diễn dưới dạng a ij a ij ' a ij '' với j = 1, 2, …,n Khi đó ta có:
Trong đó các dòng còn lại của 2 định thức ở hai vế là hoàn toàn nhƣ nhau và chính là các dòng còn lại của ma trận A
Tính chất 5: Định thức không thay đổi nếu cộng vào một dòng k lần một dòng khác.
Tính chất 6: Định thức không đổi qua phép chuyển vị, tức là det A det A T
Chú ý: Từ tính chất này thì một mệnh đề về định thức nếu đúng với dòng thì cũng đúng với cột và ngƣợc lại
Nếu A là ma trận tam giác trên hoặc tam giác dưới, thì định thức của ma trận A được tính bằng tích của tất cả các phần tử trên đường chéo chính hoặc đường chéo phụ.
Tính chất 8: Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n thì det(A.B) = detA det B
4.2.4 Tính định thức bằng biến đổi sơ cấp( phương pháp Gauss)
4.2.4.1 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của định thức
Phép biến đổi sơ cấp bao gồm hai loại chính: đầu tiên, là việc hoán đổi vị trí của hai dòng i và j trong định thức; thứ hai, là cộng dòng thứ i với dòng thứ j đã được nhân với một số , trong đó i khác j.
Nếu thay từ dòng bằng từ cột ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp trên dòng hoặc cột của ma trận cùng với các tính chất của định thức, chúng ta có thể biến đổi định thức về dạng tam giác Kết quả cuối cùng của định thức sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính.
Ví dụ 4.15 Tính định thức sau đây:
Bước 1, ta nhân dòng 1 với (-2) rồi cộng vào dòng 2, nhân dòng 1 với (-3) rồi cộng vào dòng 3, nhân dòng 2 với (-2) rồi cộng vào dòng 4
Bước 2, ta nhân dòng 2 với (-2) rồi cộng vào dòng 3, ta nhân dòng 2 với (-5) rồi cộng vào dòng 4
Bước 3, ta cộng dòng 4 với dòng 3
Ví dụ 4.16 Tính định thức sau:
Ta cộng tất cả các cột còn lại vào cột 1 Ta đƣợc định thức sau:
Ta nhân dòng (1) với (-1) rồi cộng vào các dòng còn lại, ta đƣợc định thức sau:
Ma trận nghịch đảo
Cho A M n , Ma trận A đƣợc gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n sao cho AB = BA = I n (1), với I n là ma trận đơn vị
Nếu A là một ma trận khả nghịch, thì ma trận B thỏa mãn điều kiện (1) là duy nhất Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, được ký hiệu là A -1.
Ta có thể kiểm tra đƣợc AB BA I n Do đó ma trận A khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó là ma trận B
- A khả nghịch A là ma trận không suy biến, tức là detA0.
- Nếu A và B là hai ma trận khả nghịch thì tích AB cũng là ma trận khả nghịch và
Nhận xét: Cho A M K n ( ) khi đó,
(ii) Nếu A có 1 dòng (hoặc 1 cột ) bằng 0 thì A không khả nghịch
(iii) Nếu A khả nghịch thì A A 1 , T , A ( K , 0) cũng khả nghịch và
Nếu A A 1, , ,2 A k M n khả nghịch thì tích A A A 1 2 k cũng khả nghịch và
4.3.3 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
4.3.3.1 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng định thức
Phần bù đại số - Ma trận phụ hợp của ma trận
Cho A là ma trận vuông cấp n, việc loại bỏ dòng i và cột j của ma trận A tạo ra ma trận con cấp n-1, được ký hiệu là A ij Phần bù đại số của phần tử tại dòng i và cột j của ma trận A được định nghĩa là C ij = -(-1)^(i+j) * det(A ij).
đƣợc gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A
C 1 3 ; C 33 ( 1) 3 3 1 1 1 2 1 Suy ra ma trận phụ hợp
Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A
Nếu det A = 0 thì A không khả nghịch, tức là A sẽ không có ma trận nghịch đảo Nếu detA0thì A khả nghịch và A 1 det 1 A C t
1) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:
Ta có detA = 2 Vậy A khả nghịch
Tìm ma trận phụ hợp PA của A
Tìm điều kiện của m để A khả nghịch
Giải Để A khả nghịch thì det A 0 ( m 1)( m 3) 0 Vậy A khả nghịch khi và chỉ khi m1 và m3
Đối với việc tìm ma trận nghịch đảo của một định thức A có cấp n > 3, cần tính một định thức cấp n và n định thức cấp n – 1, dẫn đến phương pháp này không hiệu quả cho các định thức cấp lớn Vì vậy, với các định thức cấp n > 3, chúng ta thường áp dụng phương pháp khác.
4.3.3.2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo dựa vào các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss)
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận:
Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n, ta cần lập một ma trận có kích thước n x 2n Trong quá trình này, ta sẽ cộng một dòng k lần vào một dòng khác, tạo thành một tổ hợp tuyến tính của các dòng trong ma trận.
Sau đó ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đƣa ma trận A I | n về dạng I n | B
Khi đó, ma trận B chính là ma trận nghịch đảo của ma trận A
Chú ý: Nếu trong quá trình biến đổi nếu vế bên trái của ma trận xuất hiện toàn số 0 thì ma trận A không khả nghịch
Ví dụ 4.20 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:
Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là 1
(Sinh viên có thể dùng phương pháp 1 để tính lại ma trận nghịch đảo của ma trận A)
4.3.4 Ứng dụng vận dụng ma trận nghịch đảo để giải một phương trình ma trận
Xét phương trình ma trận AX = B Nếu A khả nghịch thì X A B 1
Xét phương trình ma trận XA = B Nếu A khả nghịch thì X BA 1
Hãy giải phương trình AX B
Vì detA0 nên A khả nghịch và A 1 3 5 2 1
Giải phương trình ma trận sau:
Sinh viên tự làm nhƣ bài tập nhỏ.
Hệ phương trình tuyến tính
4.4.1 Dạng tổng quát của một hệ phương trình tuyến tính Đó là một hệ gồm m phương trình đại số bậc nhất đối với n ẩn số
Trong đó x x 1, , ,2 x n là các ẩn số m = n ta có một hệ vuông
Khi các bi = 0 ta có một hệ thuần nhất
là một hệ 2 phương trình, 3 ẩn
là một hệ 2 phương trình, 2 ẩn
là một hệ thuần nhất
4.4.2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính
gọi là ma trận các hệ số của hệ
gọi là ma trận vế phải(các hệ số tự do) của hệ
gọi là ma trận ẩn của hệ
Khi đó, hệ (1) có thể viết được dưới dạng : Ax = b
4.4.3 Hệ Cramer Định nghĩa 4.6 Hệ Ax = b với A là ma trận vuông cấp n có det A ≠ 0 gọi là hệ Cramer Định lý.4.5 ( Định lý Cramer)
Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất x = A -1 b, tức là : det ; 1, det j j x A j n
Với Aj là ma trận đƣợc thành lập từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột b
4.4.4 Giải hệ phương trình bằng biến đổi sơ cấp
Hệ tam giác có dạng:
Ta thấy có thể giải dễ dàng hệ này bằng cách tìm nghiêm từ phương trình thứ n trở lên Xét hệ (4.1) với m = n
gọi là ma trận A mở rộng
Ma trận A mở rộng của hệ tam giác là :
gọi là ma trận dạng bậc thang.
Sử dụng phép biến đổi sơ cấp để chuyển ma trận A về dạng bậc thang giúp tạo ra một hệ phương trình mới tương đương với hệ ban đầu Qua đó, ta có thể tìm ra nghiệm của hệ phương trình này.
Hệ tương đương với hệ sau:
4.4.5 Hệ thuần nhất: Ax = 0 Định lý 4.6 Hệ thuần nhất luôn có nghiệm x = 0 x = 0 gọi là nghiệm tầm thường của hệ
Nếu hệ là hệ vuông, hệ có nghiệm duy nhất khi detA≠ 0;
Hệ có vô số nghiệm khi detA = 0
4.4.6 Hạng của ma trận- Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định nghĩa 4.7
Cho A là ma trận cấp mxn khác không Hạng của ma trận A là số tự nhiên r,
1 r min{ , } m n thỏa mãn các điều kiện sau:
Tồn tại ít nhất một định thức con cấp r của ma trận A khác 0
Mọi định thức con cấp lớn hơn r (nếu có) của ma trận A đều bằng 0
Hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A) hoặc rank(A), được định nghĩa là cấp cao nhất của các định thức con khác không của ma trận A, với điều kiện hạng của ma trận A không bằng 0.
Quy ƣớc: Hạng của ma trận 0 bằng 0
Tìm hạng của ma trận A sau:
Ma trận A có duy nhất một định thức cấp 4 và nó bằng 0 Tồn tại một định thức con cấp 3 của A là
Hạng của ma trận không đổi qua các phép biến đổi sau:
Phép chuyển vị ma trận Tức là rank A ( ) rank A ( T ).
Các phép biến đổi sơ cấp dòng hoặc cột
Bỏ đi các dòng hoặc các cột gồm toàn số 0
Bỏ đi các dòng hoặc các cột là tổ hợp tuyến tính của các dòng hay các cột khác
Nếu A là ma trận vuông cấp n thì: rank A( ) n detA0 rank A( ) n detA0
Nếu xảy ra trường hợp đầu thì ta nói ma trận vuông A không suy biến Nếu xảy ra trường hợp hai thì ta nói ma trận vuông A suy biến
4.4.6.2 Cách tính hạng của ma trận
Cách 1: Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức
Từ định nghĩa hạng của ma trận ta có thể suy ra thuật toán sau để tính hạng của ma trận A cấp m x n (A0)
Tìm một định thức con cấp k khác 0 Số k càng lớn càng tốt Giả sử định thức con cấp k khác không là D k
Xét tất cả các định thức con cấp k+1 của A chứa định thức D k Xảy ra 3 khả năng sau:
1 Không có một định thức con cấp k+1 nào của A Khả năng này xảy ra khi k =min{m, n} Khi đó rankA = k Thuật toán kết thúc
2 Tất cả các định thức con cấp k+ 1 chứa định thức Dk đều bằng 0 Khi đó rankA = k và thuật toán kết thúc
3 Nếu tồn tại ,một định thức con cấp k+1 của A là D k 1 chứa định thức con D k khác 0 Khi đó ta lập lại bước 2 với D k 1 thay cho vị trí của D k Tiếp tục như vậy đến khi xảy ra trường hợp 1 hoặc 2 thì thuật toán kết thúc
Ví dụ 4.27 Tính hạng của ma trận sau:
Xét ma trận tạo bởi hai dòng đầu A 1 1 1 2 có định thức detA = 3 Ta xét tiếp ma trận tạo bởi các cột 1, 2, 4 và dòng 1, 2, 3 ta có ma trận
chứa ma trận A và có detB
= 1 Tiếp tục xét các ma trận con cấp 4 chứa ma trận B thì có hai ma trận B 1 và B 2
Vậy detB 1 và detB 2 đều bằng 0 Cả hai định thức này đều bằng 0 Do đó rankA = 3
Tính hạng ma trận bằng định thức là một phương pháp phức tạp, do đó trong thực tế, người ta thường ưu tiên sử dụng các phép biến đổi tương đương để xác định hạng ma trận.
Cách 2: Tìm hạng của ma trận bằng cách sử dụng các phép biến đổi sơ cấp (PP Gauss)
Nhận xét 1 Ma trận A cấp mxn khác không đƣợc gọi là ma trận bậc thang nếu tồn tại một số tự nhiên r thỏa 1 r min{ , } m n thỏa các điều kiện sau:
(1) r dòng đầu khác 0 Các dòng thứ r +1 trở đi (nếu có) đều bằng 0
(2) Xét dòng thứ k với 1 k r Nếu a ki k là phần tử đầu tiên bên trái (tính từ trái sang phải) khác không của dòng k thì ta phải có i 1 i 2 i r
Các phần tử a ki k trong ma trận A được gọi là các phần tử đánh dấu Các cột chứa các phần tử đánh dấu { , , , }i i 1 2 i r được gọi là cột đánh dấu của ma trận A Điều kiện (2) có thể được phát biểu lại rằng, khi đi từ trên xuống, các phần tử đánh dấu phải lùi dần về bên phải Do đó, ma trận bậc thang có dạng như sau:
Nếu A là ma trận bậc thang thì số r các dòng khác 0 trong định nghĩa chính là rankA Hay rankA = r
Thật vậy chỉ có định thức con cấp r của A khác 0 chính là định thức D r tạo ra bởi r dòng đầu và r cột đánh dấu bởi các cột { , , , }i i 1 2 i r
Ngoài ra, các định thức con cấp r +1 của A đều tạo bởi r + 1 dòng nào đó nên có ít nhất một dòng bằng không Do đó, chúng đều bằng 0
Các ma trận bậc thang
Khi đó rankA = 3 (bằng số dòng khác 0 của A)
Khi đó rank B = 4 (Bằng số dòng khác 0 của B)
Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp Nội dung của phương pháp này được dựa trên 2 nhận xét sau:
Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận;
Mọi ma trận khác ma trận 0 đều có thể được biến đổi thành dạng ma trận bậc thang thông qua một số lượng hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.
Để xác định hạng của ma trận A, chúng ta cần thực hiện các phép biến đổi sơ cấp để chuyển ma trận A về dạng bậc thang Hạng của ma trận A sẽ được xác định bằng hạng của ma trận bậc thang và tương ứng với số dòng khác 0 trong ma trận đó.
4.4.7 Thuật toán để đưa ma trận khác 0 bất kỳ về dạng ma trận bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp:
Bằng cách đổi chỗ hai dòng cho nhau nếu cần để a 110
Khi đó ta nhận đƣợc ma trận
Nhận xét: ở ma trận A 1 thì chỉ có giá trị a 11 0 còn tất cả các phần tử khác của cột 1 đều bằng 0
Chú ý: Nếu ở ma trận A ban đầu mọi phần tử ở cột 1 đều bằng 0 thì ta có thể bỏ qua cột 1 mà thực hiện bước 1 đối với cột kế tiếp
Nếu ma trận B có dạng bậc thang hoặc bằng 0, thì ma trận A 1 cũng sẽ có dạng bậc thang và thuật toán sẽ kết thúc Ngược lại, cần thực hiện bước 1 cho ma trận.
B Vì ma trận B có ít hơn ma trận A 1 dòng và 1 cột, nên thuật toán sẽ kết thúc sau một số hữu hạn các bước lặp
Tính hạng của ma trận
Tìm điều kiện của m để hạng ma trận sau bằng 1
Nhận thấy ma trận A có hai dòng 1 và 3 tỉ lệ với nhau, do đó để ma trận có hạng bằng 1 thì m = 8
Nhận xét: Do hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận chuyển vị A (rank A = rank A^T), nên có thể thay thế các phép biến đổi trên dòng bằng các phép biến đổi trên cột Điều này cho phép đưa ma trận A về dạng bậc thang, từ đó xác định được hạng của ma trận A.
4.4.8 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát Định lý 4.7 (Cronecke – Capelli)
Hệ (4.4) có nghiệm khi và chỉ khi rankA rank A ( )
Bài toán biện luận hệ phương trình tuyến tính
Nếu A là ma trận vuông cấp n thì :
Det A = 0, hệ có nghiệm duy nhất
Det A ≠ 0, hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm
Giải và biện luận số nghiệm của hệ theo tham số a, b
Nếu det A ≠ 0 a 21 2 , hệ có nghiệm duy nhất với mọi b
Nếu det A = 0 a 21 2 , hệ trở thành:
Nếu b = 3, rankA rank A ( )nhỏ hơn số ẩn, hệ có vô số nghiệm
Nếu b ≠ 3, rankA rank A ( ), hệ vô nghiệm
Kết luận: - Với a 21 2 ; b hệ có nghiệm duy nhất
- Với a 21 2 ; b 3 , hệ vô số nghiệm
4.4.9 Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính
Mỗi tháng, cơ quan A và B nhận tổng cộng 100 tấn gạo, trong đó A nhận 35 tấn và B nhận 65 tấn Gạo được cung cấp từ hai kho: kho 1 có 40 tấn và kho 2 có 60 tấn Chi phí vận chuyển mỗi tấn gạo từ kho 1 đến A là 700.000 đồng, đến B là 900.000 đồng, trong khi từ kho 2 đến A cũng là 700.000 đồng.
B là 1triệu Lập kế hoạch chuyên chở để cước phí thấp nhất
Gọi x11, x12 là số gạo chuyển từ kho 1 đến A và B
Gọi x21, x22 là số gạo chuyển từ kho 2 đến A và B
Tổng cước phí xác định bởi công thức f 7 x 11 9 x 12 7 x 21 10 x 22
Xét cước phí vận chuyển: f = 855 + x11 f nhỏ nhất là 85.500.000 khi x11 nhỏ nhất
Bài tập chương 4
Bài 1 Cho các ma trận 2 1 1
Bài 2 Tính các tích của các ma trận sau:
Bài 3 Tính A 3 với A là các ma trận sau:
Bài 4 Tính AB – BA trong các trường hợp sau:
Bài 5 1 Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 2 giao hoán với ma trận A 1 2 0 1
2 Tìm tất cả các ma trận vuông cấp 3 giao hoán với ma trận
Bài 6 Tính các định thức sau:
trong đó , , là các nghiệm của phương trình x 3 px q 0 Bài 8 Tính các định thức sau:
Bài 10 Chứng minh rằng các định thức sau bằng 0
Bài 12 Tính hạng của ma trận sau:
Bài 13 Với giá trị nào của thì hạng các ma trận sau bằng 1:
Bài 14 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng nhiều cách:
Bài 15 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận vuông cấp n sau với các phần tử trên đường chéo đều khác 0:
Bài 16 Tìm điều kiện của tham số để các ma trận sau khả nghịch, sau đó tìm ma trận nghịch đảo tương ứng:
Bài 17 a) Giải phương trình ma trận AX = B với A, B là các ma trận sau:
b) Giải phương trình ma trận XA = B với A, B là các ma trận sau:
Bài 18 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:
Bài 19 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss:
Bài 20 Biện luận số nghiệm hệ phương trình sau theo tham số:
CHUỖI
Chuỗi số
5.1.1 Khái niệm chung về chuỗi số
Cho dãy số vô hạn u u 1 , , , 2 u n Biểu thức u 1 u 2 u n gọi là chuỗi số và kí hiệu là
Trong đó u u 1 , , , 2 u n là các số hạng của chuỗi; u n : số hạng tổng quát
gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi
hội tụ và có tổng bằng S Trái lại thì chuỗi
Gọi R n S S n là phần dƣ thứ n của chuỗi nếu chuỗi số
Ví dụ 5.1 Xét sự hội tụ của chuỗi số 1
Giải: Đây là tổng vô hạn của một cấp số nhân có công bội bằng q Lập tổng riêng thứ n:
Do đó chuỗi hội tụ và có tổng bằng
Do đó chuỗi phân kì + Nếu q 1 thì chuỗi có dạng n lim n a a S na n S
Do đó chuỗi phân kì + Nếu q 1 thì chuỗi có dạng lim n 0 a a a a n S
không tồn tại Do đó chuỗi phân kì
Vậy chuỗi hội tụ nếu q 1, phân kì nếu q 1
5.1.1.2 Điều kiện cần của chuỗi hội tụ Định lý 5.1 Nếu chuỗi (5.1) hội tụ thì lim n 0 n u
Thật vậy, giả sử lim n
Do đó: lim n lim n n 1 lim n lim n 1 0 n u n S S n S n S S S
hoặc không tồn tại lim n n u
Chú ý Điều ngƣợc lại của định lý không đúng, nghĩa là nếu chuỗi (5.1) có lim n 0 n u
thì ta chƣa có thể nói gì về sự hội tụ của chuỗi (5.1)
Ví dụ 5.2 Xét sự hội tụ của chuỗi
Giải: Ta có lim 1 0 n n nhƣng chuỗi lại phân kì Thật vậy:
Xét tổng riêng thứ n, ta có: 1 1 1 1 1 1
Do đó S n n suy ra lim n n S
Vậy chuỗi đã cho phân kì
Ví dụ 5.3 Xét sự hội tụ và tìm tổng (nếu có) của các chuỗi số sau:
1 Lập tổng riêng thứ n của chuỗi
Do đó chuỗi hội tụ và có tổng S = 1
2 Lập tổng riêng thứ n của chuỗi
Do đó chuỗi hội tụ và có tổng 1
Do đó chuỗi hội tụ và có tổng S1
Ví dụ 5.4 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
Nên không tồn tại lim n n u
5.1.1.3 Các tính chất của chuỗi hội tụ
+ Nếu chuỗi (5.1) hội tụ và có tổng là S thì chuỗi
(a: hằng số tùy ý) cũng hội tụ và có tổng là aS Còn nếu chuỗi (5.1) phân kì với a 0 thì chuỗi
cùng hội tụ thì chuỗi
cũng hội tụ và có tổng bằng tổng hai chuỗi thành phần
Tính hội tụ hoặc phân kỳ của chuỗi sẽ không bị ảnh hưởng khi thêm hoặc bớt một số hữu hạn các số hạng đầu tiên Điều này có nghĩa là việc điều chỉnh số hạng ban đầu không làm thay đổi tính chất hội tụ hay phân kỳ của chuỗi.
với m hữu hạn thì hai chuỗi sẽ cùng hội tụ hoặc cùng phân kì (tính hội tụ không thay đổi nhƣng tổng của chuỗi thay đổi)
Tổng hoặc hiệu của hai chuỗi phân kỳ có thể là chuỗi phân kỳ hoặc hội tụ Đặc biệt, khi cộng hoặc trừ một chuỗi hội tụ với một chuỗi phân kỳ, kết quả luôn là một chuỗi phân kỳ.
được gọi là chuỗi số dương nếu u n 0 n
là một chuỗi số dương Vì S n 1 S n u n 1 ,u n 1 0 S n 1 S n Nên S n là dãy số tăng Do đó nếu dãy số S n bị chặn trên thì tồn tạilim n n S
, khi đó chuỗi hội tụ; còn nếu dãy số S n không bị chặn thì lim n n S
, khi đó chuỗi phân kì
5.1.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi số dương a) Các định lý so sánh Định lý 5.2 Cho hai chuỗi số dương
Ví dụ 5 5 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
1 Số hạng tổng quát của chuỗi là 1 1
hội tụ vì 1 1 q 10 Vậy chuỗi 1
hội tụ vì q 1 2 1 Vậy chuỗi
phân kì Định lý 5.3 Cho hai chuỗi số dương
Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn:
thì hai chuỗi trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kì
Ví dụ 5.6 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
1 Số hạng tổng quát của chuỗi là
hội tụ b) Các quy tắc khảo sát tính hội tụ của chuỗi số dương
Quy tắc Đalambe Cho chuỗi số dương
Giả sử tồn tại giới hạn lim n 1 n n u D u
+ Nếu D = 1 thì chưa có kết luận về sự hội tụ của chuỗi (phải sử dụng phương pháp khác)
Ví dụ 5.7: Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
Theo quy tắc Đalambe chuỗi hội tụ
Theo quy tắc Đalambe chuỗi phân kì
Quy tắc Côsi Cho chuỗi số dương
Giả sử tồn tại giới hạn lim n n n u C
+ Nếu C = 1 thì chưa có kết luận về sự hội tụ của chuỗi (phải sử dụng phương pháp khác)
Ví dụ 5.8 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
Theo quy tắc Côsi chuỗi hội tụ
Theo quy tắc Côsi chuỗi hội tụ
Quy tắc so sánh tích phân Giả sử hàm f x liên tục, dương đơn điệu giảm trên 1,
Khi đó tích phân suy rộng
và chuỗi n 1 f n cùng hội tụ hoặc cùng phân kì
Ví dụ 5.9 Xét sự hội tụ của chuỗi số:
Khi đó với 0 chuỗi không thỏa mãn điều kiện cần của chuỗi hội tụ Nhƣ vậy chuỗi đã cho phân kì với 0
, hàm f x liên tục, dương, đơn điệu giảm trên
Do đó theo quy tắc so sánh tích phân chuỗi
hội tụ nếu 1và phân kì nếu 1
phân kì vì tích phân suy rộng
hội tụ nếu 1và phân kì nếu 1
5.1.3 Chuỗi số với các số hạng đổi dấu
5.1.3.1 Chuỗi đan dấu a) Định nghĩa:
Chuỗi đan dấu là chuỗi số có dạng u 1 u 2 u 3 u 4 trong đó u u u 1 , , 2 3 là những số dương
Nếu dãy số dương u u u 1 , , , 2 3 đơn điệu giảm và dần tới 0 khi n thì chuỗi đan dấu
hội tụ và có tổng nhỏ hơn hoặc bằng u 1
Ví dụ 5.10 Xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu sau:
n đơn điệu giảm và dần tới 0 khi n nên nó thỏa mãn các điều kiện của định lý Leibnitz, do đó chuỗi đã cho hội tụ
2 Ta chứng minh dãy số u n ln n
n đơn điệu giảm và dần tới 0 khi n
Do đó chuỗi đã cho thỏa mãn các điều kiện của định lý Leibnitz, nên nó hội tụ
5.1.3.2 Chuỗi có dấu bất kỳ a) Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
với các số hạng u n có dấu bất kì Định lý 5.4 Nếu chuỗi
thì chuỗi (5.1) cũng hội tụ
Ví dụ 5.11 Xét sự hội tụ của chuỗi 2
hội tụ Theo định lý chuỗi đã cho cũng hội tụ
Chuỗi (5.1) chỉ cần hội tụ là điều kiện đủ, không phải điều kiện cần, có nghĩa là chuỗi (5.1) có thể hội tụ trong khi chuỗi (5.2) lại phân kỳ Định nghĩa 1 nêu rõ rằng chuỗi (5.1) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi (5.2) hội tụ, còn nếu không thì được xem là bán hội tụ.
(không hội tụ tuyệt đối) nếu chuỗi (5.1) hội tụ nhƣng chuỗi (5.2) phân kì Định nghĩa 2 Cho hai chuỗi số hội tụ
Ta gọi tích của chúng là chuỗi số
Chú ý + Chuỗi (5.2) là chuỗi số dương nên có thể áp dụng các tiêu chuẩn về sự hội tụ của chuỗi số dương
+ Nếu dung quy tắc Đalambe hoặc Côsi mà biết đƣợc chuỗi (5.2) phân kì thì ta có thể khẳng định rằng chuỗi (5.1) phân kì
Khi đánh giá sự hội tụ của một chuỗi có dấu bất kỳ, cần xác định xem chuỗi đó phân kỳ, hội tụ tuyệt đối hay bán hội tụ.
Ví dụ 5.12 Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:
hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz Vậy chuỗi đã cho hội tụ tuyệt đối
hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz Vậy chuỗi đã cho bán hội tụ b) Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối
Nếu chuỗi (5.1) hội tụ tuyệt đối với tổng bằng S, thì chuỗi số được tạo ra bằng cách thay đổi thứ tự và nhóm các số hạng cũng sẽ hội tụ tuyệt đối và có tổng là S Ngược lại, nếu chuỗi (5.1) bán hội tụ, việc thay đổi thứ tự các số hạng có thể dẫn đến chuỗi mới hội tụ với tổng bất kỳ hoặc trở nên phân kỳ.
hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng S, S’ thì tích của chúng cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng bằng SS’.
Chuỗi hàm số
Chuỗi hàm là chuỗi mà các số hạng của nó là các hàm của biến độc lập x, kí hiệu:
trở thành chuỗi số Nếu chuỗi số 0
hội tụ thì x 0 gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm, còn nếu chuỗi 0
phân kì thì x 0 gọi là điểm phân kì của chuỗi hàm
Tập hợp các điểm hội tụ của chuỗi hàm gọi là miền hội tụ của chuỗi hàm
Ta gọi tổng n hàm đầu tiên
là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm
thì S(x) đƣợc gọi là tổng của chuỗi hàm
Tổng của chuỗi hàm xác định trên miền hội tụ của nó
Gọi R x n S x S x n là phần dƣ thứ n của chuỗi hàm
5.2.2.1 Chuỗi lũy thừa, bán kính hội tụ
Định nghĩa Ta gọi chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng:
ở đó các ( ) là các hằng số và đƣợc gọi là các hệ số của chuỗi
Nếu đặt X x x 0 thì chuỗi trên có dạng
Do đó không mất tính tổng quát, ta xét chuỗi lũy thừa có dạng
Định lý 5.5.(Định lý Abel) Nếu chuỗi lũy thừa
hội tụ tại x x 0 0 thì nó hội tụ tuyệt đối với mọi x thỏa mãn x x 0
Hệ quả Nếu chuỗi lũy thừa
phân kì tại x x 1 thì nó phân kì với mọi x thỏa mãn x x 1
Rõ ràng chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa luôn hội tụ tại x = 0, và từ định lý 1, có tồn tại một số R ≥ 0 sao cho chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối trong khoảng (-R, R) và phân kỳ ngoài khoảng này.
Chuỗi lũy thừa có thể hội tụ hoặc phân kỳ tại x = ±R Số R được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi, trong khi khoảng (-R, R) được xác định là khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa.
Vì vậy để tìm tập hội tụ của chuỗi lũy thừa ta tìm bán kính hội tụ, rồi khảo sát sự hội tụ của nó tại hai đầu mút x R
5.2.2.2 Quy tắc tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa Định lý 2 Cho chuỗi lũy thừa
thì bán kính hội tụ R của chuỗi lũy thừa
Ví dụ 5.13 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa sau:
Nên bán kính hội tụ R = 1, do đó khoảng hội tụ của chuỗi đã cho là (-1, 1)
Tại x = 1 ta có chuỗi số
là chuỗi phân kì vì 1
là chuỗi hội tụ theo thiêu chuẩn Lebnitz Vậy miền hội tụ của chuỗi là 1,1
Do đó khoảng hội tụ của chuỗi là 2, 2
Vậy miền hội tụ của chuỗi là 2, 2
Vậy miền hội tụ của chuỗi là trên toàn trục số
Ví dụ 5.14 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa:
Giải: Đặt X x 1 đƣa chuỗi đã cho về dạng 1
Do đó khoảng hội tụ của chuỗi (2) là 2, 2
Chuỗi này phân kì vì lim n n 1 0
Chuỗi này phân kì vì lim 1 n 1 1 0 n n
Do đó chuỗi (2) hội tụ trên khoảng X 2, 2
Thay X = x-1 ta đƣợc miền hội tụ của chuỗi (1) là x 1,3
5.2.2.3 Các tính chất của chuỗi lũy thừa
+ Tổng của chuỗi lũy thừa
là một hàm liên tục trong miền hội tụ của nó
+ Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi
trên đoạn a b , bất kì trong miền hội tụ của chúng
+ Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi
tại mọi điểm trong miền hội tụ của chúng ' '
Ví dụ 5.15 Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm:
Giải: Miền hội tụ của chuỗi đã cho là x 1,1
Gọi S(x) là tổng của chuỗi đã cho trong miền hội tụ, ta có x 1,1 :
5.2.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa
Giả sử hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp tại một lân cận của điểm x₀ và có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi lũy thừa trong khu vực này.
Theo tính chất của chuỗi lũy thừa trong miền hội tụ ta có:
Thay x x 0 vào (5.3) và (5.4) ta có:
Khi đó thay (5.5) vào (5.3) ta đƣợc:
Chuỗi ở vế phải của (5.6) gọi là chuỗi Taylor của hàm f(x) trong lân cận tại điểm x 0
Nếu cho x 0 0 ta có chuỗi Macloranh của hàm f(x):
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp và có thể được biểu diễn dưới dạng tổng chuỗi lũy thừa gần điểm x = 0, thì chuỗi lũy thừa này nhất định phải là chuỗi Taylor trong khu vực đó.
Nếu chuỗi Taylor của hàm f(x) hội tụ và tương đương với hàm f(x), thì hàm này có thể khai triển thành chuỗi Taylor Khi f(x) có đạo hàm đến cấp n + 1 trong lân cận x0, ta có thể áp dụng công thức Taylor.
Giả sử c là điểm nằm giữa x₀ và x Nếu hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm x₀, thì trong công thức (5.8), giá trị của n có thể lớn bao nhiêu cũng được Điều này dẫn đến định lý 5.6, khẳng định rằng nếu hàm số f(x) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm x₀, thì một số điều kiện sẽ được thỏa mãn.
Điểm c nằm giữa x0 và x cho phép khai triển hàm f(x) thành chuỗi Taylor trong lân cận đó Theo Định lý 5.7, nếu trong lân cận của điểm x = x0, hàm f(x) có đạo hàm mọi cấp và giá trị tuyệt đối của các đạo hàm này đều bị chặn bởi cùng một số, thì điều này đảm bảo tính liên tục và khả năng mở rộng của hàm số.
thì có thể khai triển hàm f(x) thành chuỗi Taylor trong lân cận ấy
5.2.3.2 Khai triển một số hàm sơ cấp thành chuỗi Macloranh Áp dụng định lý 2 ta có công thức sau đây:
Ví dụ 5.16 Khai triển các hàm sau thành chuỗi Macloranh:
1 Thay x bằng -2x vào (5.9) ta đƣợc: 2
Bài tập chương 5
Bài 1 Tính tổng (nếu có) của chuỗi sau:
Bài 2 Dùng điều kiện cần xét sự hội tụ của chuỗi số sau:
Bài 3 Dùng tiêu chuẩn so sánh xét sự hội tụ của chuỗi số sau:
Bài 4 Dùng tiêu chuẩn Côsi hoặc Đalambe xét sự hội tụ của chuỗi số sau:
Bài 5 Dùng tiêu chuẩn tích phân xét sự hội tụ của chuỗi số sau:
Bài 6 Các chuỗi sau hội tụ tuyệt đối hay bán hội tụ:
Bài 7 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau:
Bài 8 Khai triển thành chuỗi lũy thừa ở lân cận x 0 0của hàm số: