Giáo trình: Toán cao cấp - Tập 1

Một số tính chất của giới hạn hàm số .... Do đó rất cần thiết có một bộ giáo trình riêng về Toán cao cấp dành cho khối kỹ thuật của Trường ĐH Hải Phòng để thống nhất nội dung giảng dạy v

UBND THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HẢI PHÒNG

GIÁO TRÌNH CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018

Hải Phòng, tháng 6 năm 2018

Contents

CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 4

1.1.Khái niệm hàm số một biến 4

1.1.1.Khái niệm ánh xạ 4

1.1.2 Hàm số một biến số 5

1.2.Dãy số và giới hạn dãy số 8

1.2.1.Các khái niệm cơ bản 8

1.2.2 Các tính chất của dãy hội tụ 9

1.2.3 Các định lí cơ bản về dãy số 9

1.3.Giới hạn của hàm số một biến số thực 10

1.3.1 Định nghĩa 10

1.3.2 Một số tính chất của giới hạn hàm số 10

1.3.3 Một số giới hạn quan trọng 11

1.3.4 Vô cùng bé và vô cùng lớn 11

1.3.5 Một số tính chất 12

1.4 Hàm số liên tục 13

1.4.1.Định nghĩa 13

Bài 8 Tính các giới hạn : 18

CHƯƠNG 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ 20

2.1.Đạo hàm cấp một 20

2.1.1 Khái niệm đạo hàm 20

2.1.2 Tính chất 21

2.1.3 Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản 24

2.2 Vi phân cấp một 24

2.3 Các định lý về hàm khả vi 25

2.3.1 Các định lý về giá trị trung bình 25

2.3.2 Quy tắc L'Hospital 28

2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 31

2.4.1 Đạo hàm cấp cao 31

2.4.2 Các quy tắc lấy đạo hàm cấp cao 32

2.4.3 Vi phân cấp cao 33

2.5 Công thức Taylor 33

2.5.1 Công thức Taylor 33

2.5.2 Khai triển Mac-Laurin hữu hạn của một số hàm số sơ cấp 35

2.6 Ứng dụng của đạo hàm 37

2.7 Bài tập chương 2 38

CHƯƠNG 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 41

3.1.Nguyên hàm 41

3.1.1 Định nghĩa 41

3.1.2 Một số tính chất của nguyên hàm 42

3.1.3 Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp 42

3.1.4 Cách tính 42

3.1.5 Tích phân các hàm hữu tỷ 48

3.1.6 Tích phân hàm lượng giác 49

3.1.7 Tích phân một số hàm vô tỷ 51

3.2.Tích phân xác định 54

3.2.1 Định nghĩa 54

3.2.2 Một số tính chất của tích phân xác định 55

3.2.3 Các phương pháp tính tích phân xác định 56

3.3.Tích phân suy rộng 59

3.3.1 Tích phân có cận vô hạn 59

3.3.1.1 Định nghĩa 59

3.3.1.2 Các định lý so sánh 61

3.3.2 Tích phân mà hàm lấy tích phân không bị chặn trên miền lấy tích phân 62

3.3.2.2.Các định lý so sánh 64

3.4.Ứng dụng của tích phân 65

3.4.1 Tính diện tích hình phẳng 65

3.4.2 Tính độ dài đường cong phẳng 65

3.4.3 Tính thể tích vật thể 65

3.5.Bài tập chương 3 66

CHƯƠNG 4: MA TRẬN - ĐỊNH THỨC- HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 69

4.1 Khái niệm và các phép toán trên ma trận 69

4.1.1.Định nghĩa 4.1 69

4.1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt 69

4.1.3 Các phép toán trên ma trận 71

4.2 Định thức 74

4.3 Ma trận nghịch đảo 78

4.4 Hệ phương trình tuyến tính 82

4.4.6 Hạng của ma trận- Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 84

4.5.Bài tập chương 4 90

CHƯƠNG 5 CHUỖI 95

5.1.Chuỗi số 95

5.2.Chuỗi hàm số 102

5.3.Bài tập chương 5 107

LỜI MỞ ĐẦU

Toán cao cấp gồm những học phần cơ sở, cung cấp các kiến thức bổ trợ cho sinh viên đại học các ngành kỹ thuật như công nghệ thông tin, xây dựng, điện, cơ khí tiếp thu các kiến thức chuyên ngành Tuy nhiên, hiện nay trường Đại học Hải Phòng chưa có giáo trình của các học phần này Do đó rất cần thiết có một bộ giáo trình riêng về Toán cao cấp dành cho khối kỹ thuật của Trường ĐH Hải Phòng để thống nhất nội dung giảng dạy và học tập cho GV và SV, phù hợp với mục tiêu đào tạo sinh viên của nhà trường

Giáo trình trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản nhất về phép tính vi phân, tích phân của hàm một biến, định thức, ma trận, hệ phương trình tuyến tính, chuỗi Những kiến thức này là điều kiện tiên quyết để sinh viên có thể tiếp thu các kiến thức của vật lý, cơ học, hóa học, một số môn chuyên ngành của khối kỹ thuật

CHƯƠNG 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

Mọi vật xung quanh ta đều biến đổi theo thời gian Chúng ta có thể nhận thấy điều đó qua sự chuyển động cơ học của vật thể: ô tô, máy bay; sự thay đổi của các đại lượng vật lý: nhiệt độ, tốc độ, gia tốc,…Tất cả các loại hình đó được gắn một tên chung là đại lượng hay hàm số, nó phụ thuộc vào đối số nào đó Xem xét hàm số tức là quan tâm đến giá trị, tính chất và biến thiên của nó Trong chương này sinh viên cần nắm vững khái niệm hàm số, các tính chất của hàm số Những hàm số thông dụng là các hàm số sơ cấp cơ bản, là hàm hữu tỷ

sẽ được sử dụng trong các chương sau Phải lưu ý đến tập giá trị của các hàm ngược của các hàm lượng giác Kiến thức tiếp theo sinh viên cần lưu ý đó là giới hạn, đây là khái niệm khó nên các tính chất của hàm có giới hạn, các điều kiện cần, các điều kiện đủ phải được hiểu chính xác Tiếp theo là các vô cùng bé, vô cùng lớn có mối liên hệ trực tiếp đến hàm số có giới hạn Chúng ta quan tâm đến một lớp hàm số đặc biệt quan trọng đó là hàm số liên tục Tính chất liên tục của hàm số làm cơ sở cho bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, tìm nghiệm đúng của phương trình đại số hay tính khả tích của nó

1.1.Khái niệm hàm số một biến

1.1.1.Khái niệm ánh xạ

Định nghĩa 1.1 Cho X Y, là các tập hợp khác rỗng Ta gọi một ánh xạ từ X vào Y viết là

:

f X Y , là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x thuộc X với một phần tử duy nhất

y thuộc Y Khi đó, X được gọi là tập nguồn, Y được gọi là tập đích của ánh xạ f Kí hiệu phần tử y tương ứng với phần tử x qua ánh xạ f là y f x  Khi đó, y gọi là ảnh của x qua f ; x gọi là một tạo ảnh của y qua f Tập các tạo ảnh của phần tử y kí hiệu là

 

1

f y

Định nghĩa 1.2 Cho ánh xạ f X: Y

 f được gọi là đơn ánh nếu với mỗi y thuộc Y là ảnh của nhiều nhất một x thuộc X

 f được gọi là toàn ánh nếu mọi phần tử y thuộc Y đều có ảnh trong X

 f được gọi là song ánh nếu nó vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh

y f x khi và chỉ khi x g y   gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f ; kí hiệu f1

Định nghĩa 1.4 Cho X Y, là các tập con khác rỗng của tập số thực Ánh xạ f X: Y

được gọi là hàm số một biến số thực, kí hiệu y f x  Khi đó x gọi là biến số, y gọi là hàm số với biến x

Tập X được gọi là tập xác định của hàm f , ký hiệu là D

Tập G f X f x x X    được gọi là tập giá trị của hàm f

Theo định nghĩa của hàm ngược ta có : (y f x x X( ),  )(x f 1( ),y y Y )

Tập điểm M(x,y)xDf,y (x) được gọi là đồ thị của hàm số y  f (x)

Chú ý: Đồ thị của hàm số ngược y f 1( )x đối xứng với đồ thị của hàm số y  f (x)qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

1.1.2.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản

hiệu là y x arcsiny Vậy y sin ,x x   2; 2  x arcsiny

Ký hiệu biến độc lập là x, biến phụ thuộc là y, ta có công thức của hàm ngƣợc của hàm

y arccos Vậy y cos ,x x 0;  x arccosy

Ký hiệu biến độc lập là x, biến phụ thuộc là y, ta có công thức của hàm ngƣợc của hàm

 0;

,

y , là y arccosx Hàm y arccosxcó tập xác định là đoạn 1;1, tập giá trị

là đoạn  0; ; hàm số đó đơn điệu giảm trên đoạn1;1 Đồ thị của các hàm ngƣợc nhau

 0;

,

do đó dựa vào đồ thị của hàm sốycosx,x 0; ta có đồ thị của hàm số y arccosxnhƣ hình 2

y x y Vậy ytan ,x x   2; 2  x arctany

Ký hiệu biến độc lập là x, biến phụ thuộc là y, ta có công thức của hàm ngƣợc của hàm

y x x   , là y arctanx Hàm y arctanxcó tập xác định là tập , tập giá trị là khoảng  2; 2; hàm số đó đơn điệu tăng trên và là hàm lẻ Đồ thị của các hàm

ngược nhau ytan ,x x   2; 2, và y arctanxđối xứng nhau qua phân giác của các góc phần tư 1 và 3, do đó dựa vào đồ thị của hàm số ytan ,x x   2; 2 ta có đồ thị của hàm số y arctanxnhư hình 3

d) Hàm arccot

Định nghĩa 1.10 Hàm f : 0;   có quy tắc tương ứng là x y cotx là song ánh nên

có hàm ngược f 1: (0; ) Quy tắc tương ứng của hàm ngược đó ký hiệu là

y x arccoty Vậy y cotx,x (0;π)   x arccoty

Ký hiệu biến độc lập là x, biến phụ thuộc là y, ta có công thức của hàm ngược của hàm

π) (0;

của hàm số y  cotgx, x  (0; π) ta có đồ thị của hàm số y arccotx như hình 4

1.1.2.5.Các phép toán sơ cấp trên hàm số một biến số

Cho hai hàm số y f x  và yg x  cùng xác định trên tập D Ta có các phép toán sơ cấp giữa hai hàm số như sau:

 Tổng hai hàm số f và g là hàm số f g sao cho f g x  f x g x 

 Tích hai hàm số f và glà hàm số fgsao cho   fg x  f x g x   .

 Thương của hai hàm số f và g là hàm số f

Định nghĩa 1.11 Hàm số sơ cấp là hàm được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép lấy

tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp của các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng số

R a

a

a

a0, 1, 2, , n Nếu a n 0 thì P n (x) được gọi là đa thức bậc n

Hàm hữu tỉ là thương số của 2 hàm đa thức như sau

n n

m m n

m

x b x

b b

x a x

a a x

1

1.2.Dãy số và giới hạn dãy số

1.2.1.Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.12

 Một dãy số là một ánh xạ x: *  , biến n * x n( ) x n Kí hiệu  x n n1

 Ta nói dãy số  x n hội tụ đến số thực a nếu     0, n0 Nsao cho

x a   , n n0. Kí hiệu lim n

n x a

 

 Ta nói dãy số  x n có giới hạn vô hạn nếu x n lớn tùy ý khi n đủ lớn, tức là :

   M 0, n0 sao cho x n M, n n0. Kí hiệu lim n

n n

   

1.2.2 Các tính chất của dãy hội tụ

 Giới hạn của một dãy số (nếu có là duy nhất)

 Nếu lim n ,lim n

n x x n y y

lim( ) lim( ) lim( ) , y 0, 0.

n n n

n n n

n

n n

1) Cho dãy số  x n đơn điệu tăng, tức là x n x n1,n Khi đó:

 Nếu dãy số  x n bị chặn trên, tức là M x: n M, n 1, 2, thì lim n

2) Từ mọi dãy số bị chặn ta đều có thể trích ra một dãy con hội tụ

3) Điều kiện cần và đủ để dãy số thực  x n hội tụ trong R là  x n là một dãy Cauchy, tức

là     0, n0 N:m n n,  0  x mx n 

n n

n x

x x với mọi n Vậy dãy  x n là dãy tăng

Hơn nữa  x n bị chặn trên, vì:

Giải: Ta lấy  0, nhỏ tùy ý Xét 2x    3 5  2 x     1  x 1  / 2

Khi đó   0, chọn   / 2 thì từ 0  x 1  suy ra 2x   3 5 , hay

1

lim(2 3) 5

x x

Chú ý : Ta có thể định nghĩa giới hạn hàm số qua giới hạn dãy : Số L đƣợc gọi là giới hạn

của hàm số f x  khi x dần tới x0 nếu với bất kỳ dãy  x n , x n x0thì lim ( )n

n f x L

Định nghĩa 1.14 (Giới hạn một phía)

Số L đƣợc gọi là giới hạn phải (trái) của hàm số f x  khi x

dần tới x0 nếu với mọi

 Nếu các hàm số f x  và g x có giới hạn hữu hạn khi xx0 thì tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng có giới hạn khi xx0 và ta có:

0

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

lim ( ) ( )

Giả sử hàm số f x  xác định tại mọi x âm lớn tùy ý về giá trị tuyệt đối, khi đó nếu f x 

là hàm số đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì f x  có giới hạn khi x  

(x0 có thể hữu hạn hoặc vô hạn)

Chú ý: Nghịch đảo của VCB là VCL và ngược lại

Do đó 2tan x và x là hai vô cùng bé cùng bậc khi x 0

Ví dụ 1.12 Khi x 0 ta có các vô cùng bé tương đương sau:

1) Tổng của hai vô cùng bé là một vô cùng bé

2) Tích của một vô cùng bé với một đại lượng bị chặn là một vô cùng bé

3) Nếu f(x) g(x) khi xx0 và g(x) h(x) khi xx0thì f(x) h(x) khi xx0

4) Nếu f(x) f1(x) khi xx0 và g(x) g1(x) khi xx0thì

1 1

( ) ( )

lim lim ( ) ( )

Cho hàm số f x  xác định trong khoảng  a b, và điểmx0 a b,

 f x  gọi là liên tục tại điểm x0 nếu

 f x gọi là liên tục trên khoảng  a b, nếu nó liên tục tại mọi xthuộc khoảng  a b,

 f x gọi là liên tục trên đoạn  a b, nếu nó liên tục trên khoảng  a b, và

lim ( ) (a), lim ( ) (b)

là điểm gián đoạn của f x nếu:

Hoặc là x0 không thuộc miền xác định của f x 

Hoặc là x0 thuộc miền xác định của f x nhƣng

1) Các hàm số sơ cấp đều liên tục trên tập xác định của nó

2) Cho f x vàg x  là các hàm số liên tục trên khoảng  a b, Khi đó :

Các hàm số f x       g x f x g x C f x, ,   (C là hằng số) liên tục trên khoảng  a b,

Giả sử hàm số g y  xác định trên khoảng  c,d , hàm số f x xác định trên khoảng  a b,

và khi x biến thiên trên khoảng  a b, thì f x  lấy giá trị trên  c,d Khi đó, nếu f x  liên tục tại điểm x0 và g y  liên tục tại điểm tương ứng y0  f x 0 thì hàm số hợp g f x   

liên tục tại điểm x0

4) Cho f x xác định liên tục trên khoảng I  a b, , cho c d, thuộc I với c d ; khi

đó nếu f c f d     0 thì tồn tại một điểm m thuộc khoảng  a b, sao cho f m   0

Hệ quả Nếu f x  liên tục trên khoảng  a b, thì f x lấy tất cả các giá trị từ f a đến f b 

5) Định lí Weierstras Nếu f x liên tục trong khoảng đóng  a b, thì f x đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn  a b,

Ví dụ 1.14

1) Xét tính liên tục tại điểm x 1của hàm số

2

4 3 khi x 1

2ax khi x 1

x e

 là hàm sơ cấp xác định nên nó liên tục

Với x 1thì f x  2ax là hàm sơ cấp xác định nên liên tục Ta xét tính liên tục của hàm

Kết luận : Với a  1 2hàm số đã cho liên tục trên

Với a  1/ 2 hàm số đã cho liên tục trên \ 1 

1.5 Ứng dụng

Ví du 1.15

Một lọ thủy tinh dung tích 1 000 ml chứa đầy 1 loại dung dịch chất độc nồng độ

10 % đã được chuyển sang bình chứa khác; nhưng dung dịch độc hại sau khi đổ hết vẫn còn dính lọ 0,1 % Để chất độc còn trong lọ  0,001  gam (microgam), Người ta dùng nước cất xúc rửa lọ thủy tinh này Hỏi:

a/ Phải xúc rửa bao nhiêu lần nếu mỗi lần dùng

1000 ml nước cất ?

b/ Phải xúc rửa bao nhiêu lần nếu mỗi lần dùng

100 ml nước cất ?

Giả thử rằng mỗi lấn xúc rửa, chất độc hòa tan

hết trong nước và sau khi đổ đi dung dịch mới

cũng vẫn còn dính lọ một lượng như nhau

Giải:

Lượng chất độc tồn trong lọ lúc đầu là: (100 g : 1000) = 1

10 (gam) Lượng chất độc tồn trong lọ theo yêu cầu là: 0,001  gam = 19

1 1

1 1

b/ Nếu mỗi lần xúc rửa với 100 ml nước cất, nghĩa là lượng chất độc đã giảm đi 100 lần (102) Tương tự phần trên, nếu xúc rửa lặp lại n lần ta cũng được một cấp số nhân lùi với công bội q = 1/ 102.n

Còn theo phương án 2 bố sẽ thưởng anh ta điểm 10 thứ nhất là 100000 đồng, điểm 10 thứ 2

là 20000 đồng ,điểm 10 thứ 3 là 300000 số tiền nhận được sau mỗi điểm 10 tăng thêm

100000 đồng Hỏi phương án nào có lợi cho anh sinh viên

Biết rằng trung bình hàng năm anh ta có khoảng 12 điểm 10

Ví dụ 1.17.

Câu chuyện : “ một hào đổi năm xu”

Tương truyền vào một ngày nọ, có một nhà toán học đến gặp nhà tỉ phú và đề nghị “bán tiền” cho ông ta theo công thức sau:

Liên tục trong 30 ngày, mỗi ngày nhà toán học “bán” cho nhà tỉ phú 10 triệu đồng với giá một đồng ngày đầu tiên và kể từ ngày thứ 2, mỗi ngày nhà tỉ phú phải “mua” với giá gấp đôi ngày hôm trước Không một chút đắn đo, nhà tỉ phú đồng ý tức thì, thầm cảm ơn nhà toán học nọ đã mang cho ông ta một cơ hội hốt tiền nằm mơ cũng không thấy

Hỏi: nhà tỉ phú lãi được bao nhiêu trong cuộc mua bán kỳ lạ này?

Và nhà toán học của chúng ta có phải kẻ ngốc nghếch mang đến cơ hội hốt tiền nằm mơ cũng không thấy cho nhà tỉ phú hay không?

m n x

x x





cosmx-cosnx lim

x

x x

Bài 13 Đầu mùa thu hoạch cam một bác nông dân đã bán cho người thứ nhất: nửa số cam

thu hoạch được và nửa quả, bán cho người thứ hai: nửa số cam còn lại và nửa quả, bán cho người thứ ba: nửa số cam còn lại và nửa quả Đến người tứ bảy bác cũng bán số cam còn lại và nửa quả thì không còn quả nào nữa Hỏi bác nông dân đã thu hoạch bao nhiêu quả cam vào đầu mùa thu hoạch?

Bài 14 Một dự án đầu tư đòi hỏi chi phí hiện tại là 100 triệu đồng và sau 3 năm nó sẽ đem lại 150 triệu đồng Với lãi suất kép 8% 1 năm nếu gửi ngân hàng, hãy đánh giá xem có nên thực hiện dự án này không?

Bài 15 Xét bài toán trùng biến amip:

Một con Amip sau một giây nó tự phân thành 2 Amip con Và cứ sau mỗi giây, mỗi con Amip ấy tự phân ra thành 2 Tinh sau 30 giây có tất cả bao nhiêu con Amip?

CHƯƠNG 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ

Phép tính vi phân của hàm một biến số gắn liền với phép tính đạo hàm của hàm số Khái niệm đạo hàm là một trong những lý thuyết quan trọng nhất của giải tích Nhờ vào khái niệm đạo hàm ta có thể khảo sát toàn diện một đại lượng biến thiên Khái niệm đạo hàm gắn liền với các đại lượng vật lý: vận tốc tại thời điểm t của một vật chuyển động, cường độ dòng điện,…;gắn liền với các hiện tượng hóa học: tốc độ phản ứng hóa học ở thời

điểm t,…Sinh viên cần nắm vững cách tính đạo hàm theo định nghĩa, cần nắm vững ý nghĩa

và công dụng của phép tính đạo hàm của hàm hợp, hàm ngược Nếu thuộc các phép tính trên và các công thức tính đạo hàm của các hàm thông dụng thì mọi bài toán tính đạo hàm đều được tính toán dễ dàng

    y f x( ) f x( )0  f x( 0  x) f x( )0 được gọi là số gia của hàm số f x tại x0

(ứng với số gia x của đối số)

( ) ( ) lim lim

f x x f x y

f x

limlim

)

0 0

f x x f x y

f x x f x y

f x x f x y

f x x f x f

Vậy f x '  1

2) f x sinx Đặt f  f(x0 x) f(x0) Ta có

2

2 sin 2

cos 2

sin 2 cos

2 sin )

x

x x

x x

f x x

x x

x x

0 0

0 0

lim

x

f x

x x

x x

x x

f

x x

0

( ) ( ) '( ) lim

)(

x v

x u

có đạo hàm tại x và

)(

)()()()()

(

)(

2 x v

x v x u x v x u x

),()(

),()(x0 x f x0 u u x0 x u x0 v v x0 x v x0

f

v u x

v x u x x v x x

u

) ( ) ( lim

lim lim

0 0

0

x

v x

u x

v u x

f x

v u

x

f

x x

iii) Đặt

)(

)()(

x v

x u x

f  Giả sử x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ

),()(x0 x f x0

) (

) ( ) ( ) (

) (

) ( ) (

) (

0 0

0 0 0

x x v x u x v x x u x v

x u x x

v

x x

).

( ) ( )

( ) (

) ( ) (

) ( ) ( ) ( ) (

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

x v x x v

v x u x v u x

v x x v

x v x x v x u x v x u x x

)

()(

0 0

0 0

x v x x v

x

v x u x v

) ( ).

( ) ( ).

(

0 2

0 0 0

0

x v

x v x u x v x u x

) ( ) ( ) ( ) ( )

(

0 2

0 0 0

0 0

x v

x v x u x v x u x

u  Khi đó hàm g x  f u x    có đạo hàm tại x0 và g(x0) f(u(x0)).u(x0)

Chứng minh Giả sử x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ Đặt uu(x0 x)u(x0),

)()(x0 x g x0

g

)()(

))(())(

(u x0 x f u x0 f u0 u f u0

f

Vì f u  có đạo hàm tại u0 nên ta có

Định lý 2.5 (Đạo hàm hàm ngược) Giả sử hàm y f x  từ  a, b vào  c, d là hàm ngƣợc của hàm x g y  từ  c, d vào  a, b , hàm x g y  liên tục trên  c, d Nếu hàm x g y  có đạo hàm tại y0, g  y( 0)0, thì hàm y f x có đạo hàm tại x0 g y 0 và 0

0

1 ( )

Đặt y f(x0 x) f(x0) Ta có

) (

1 1

lim lim

0 0

y

x x

y x

g x

f

cos

1)(

1)

( 1

cos )

2

; 2 ( , sin

x

x f x y

y y x

; 1 ( 1

1 )

(

) 0 , 1 0

( , ln

1 ) (log

.

a x

x

a 10 (ln )   1, (x 0 )

x x

) 1 1 ( , 1

1 )

(arccos

2 sin 2 2)

cos sin

x y

x y

2

x x x

gọi là khả vi ( có đạo hàm) tại x0 Khi đó biểu thứcA  x đƣợc gọi là vi phân (hay vi phân cấp 1) của hàm f tại x0, ký hiệu là df(x0) hay gọn hơn là df : df(x0) Ax

2.2.2 Định lý 2.6

 Nếu hàm hàm số f x  có đạo hàm tại x0 thì f x  khả vi tại x0 và vi phân của hàm số

đó tại x0 là df(x0) f(x0).x

 Nếu hàm số f x khả vi tại x0, thì hàm số f x  có đạo hàm tại x0 và f(x0)A

Nếu hàm f x khả vi tại x thì công thức vi phân của hàm số đó là df  f (x) x

Đặc biệt với f x xthì f  x( )  1, do đó dx  x, từ đó ta có công thức của vi phân của hàm f là df f x dx( ) hay ( )f x df

dx

2.2.3 Tính bất biến của vi phân cấp 1

Giả sử hàm x x t   (t là biến độc lập) khả vi tại t0, hàm y f x  khả vi tại x0 x t 0 Khi đó dg(t0)g(t0)dt

)())

(())

(

(x t0 f x t0 dx t0

Dạng của vi phân cấp 1 khi x là biến phụ thuộc không thay đổi so với dạng của vi phân cấp

1 khi x là biến độc lập Tính chất đó đƣợc gọi là tính bất biến của vi phân cấp 1

2.2.4 Ứng dụng vi phân tính gần đúng giá trị của hàm số

Giả sử f x  xác định trong lân cận của x0 và khả vi tại x0, x có giá trị tuyệt đối đủ nhỏ Khi đó f  f(x0 x) f(x0) có dạng :

)()

()()(x0 x f x0 f x0 x o x

f x x f

2

1)()

Theo công thức (6) ta có f( 24 , 98 )  f( 25  0 , 02 )  f( 25 )  f ( 25 )(  0 , 02 ),

998,410

02,05252

02,025)

Định nghĩa 2.4 Hàm f x được gọi là có cực đại (địa phương) tại x0nếu tồn tại lân cận

0

x f x f x

V

tiểu của hàm f x  Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số được gọi chung là điểm cực trị của hàm số, còn cực đại và cực tiểu của hàm số được gọi chung là cực trị của hàm số

Định lý 2.7 (Fermat) Nếu f x  xác định trên khoảng  a b, , f x  có cực trị tại x 0 (a,b)

và f x có đạo hàm tại x0 thì f  x( 0)0

Chứng minh Giả sử f x  có cực đại tại x0 Khi đó tồn tại lân cận V(x0)(a,b), sao cho xV0(x0)  f(x)  f(x0) Giả sử x 0 ,x0 xV0(x0).Ta có

0 ) ( ) (

0 ) ( ) (

) ( )

0 0

f x x f x f x

x

f

0 ) ( ) (

0 ) ( ) (

) ( )

0 0

f x x f x f x

x

f

0 ) ( ) (

Định lý 2.8 (Rolle) Nếu hàm số f x liên tục trên  a b, , f x khả vi trên  a b, và

xmin ( ) ( ), max ( ) ( 2), 1, 2 ,

, 1



Nếu x1,x2 a,b thì m f a  f b M ,  f a  f b , suy ra m M , suy ra f x là hàm

Như vậy trong cả 2 trường hợp đều tồn tại c  ( b a, ), sao cho f  c( )  0

Định lý 2.9 (Lagrange) Nếu hàm số f x liên tục trên  a, b , f x  khả vi trên ( , )a b thì

a f b

a f b f x f x

a f b

(

)

a b

a f b f a

(

)

a b

a f b f b

a f b f x f x

a f b f a

b

a f b f c f c

( )

(

)

(b f a f c b a

Công thức (2.22) được gọi là công thức số gia hữu hạn Nó cho phép đánh giá số gia của

hàm số qua số gia của đối số

Hệ quả Nếu f x khả vi trên khoảng  a b, và f x ( ) 0,   x ( , )a b thì f x là hàm hằng

trên khoảng  a b,

Chứng minh Giả sử x1,x2(a,b),x1 x2 Theo định lý Lagrange, tồn tại c ở giữa x x1, 2, sao

cho f(x1) f(x2) f(c)(x1x2) Suy ra f(x1) f(x2)0 f(x1) f(x2) Vì f(x1) f(x2)

2 1 2

1,x (a,b),x x

Định lý 2.10 (Cauchy) Nếu các hàm số f x   ,g x liên tục trên  a b, , khả vi trên khoảng

 a b, và g  x( )  0 x  ( b a, ) thì c  ( b a, ), sao cho

)()

c f a

)()(

)

(

)(

)

(

c g

c f a

x f

x

 ( )

)(lim0

Chứng minh Từ giả thiết ii) suy ra f x   ,g x liên tục trong V0(x0) Xác định lại các hàm f

và g (nếu cần) bằng cách đặt f x 0  0,g x0  0 ta đƣợc f x   ,g x liên tục tại x0theo giả

thiết i), suy ra các hàm số đó liên tục trong V x0( )0 Giả sử x  V0(x0) Theo định lý Cauchy,

tồn tại c ở giữa x0 và x (c phụ thuộc vào x), sao cho

) (

) ( ) (

) ( ) (

) ( )

c f x g

x f c g

c f x

)(

c g

c f

)(

x g

x f

x g x

f

x x x

x f

x

 ( )

)(lim

0

Chứng minh Do điều kiện i) có thể giả thiết f(x)  0 ,g(x)  0 xV0(x0) Từ giả thiết ii) suy

ra f x   ,g x liên tục trong V0(x0) Giả sử  là số dương bất kỳ Từ iv) suy ra tồn tại số dương a, sao cho (x0,x0 a)V(x0) và x(x0,x0 a) ta có

),

(x0 x0 a

)(

)()()(

)()(

c g

c f y g x g

y f x f

c f L y g

x

g

y f

) ( )

(

)

(

) (

)

(

4 )

(

)

(

) (

) ( 1

) (

) ( 1

) (

) ( 1

) (

) ( 1 ) (

) ( )

y g

x f

y f L x g

y g

x f

y f L x g

x f L y

L y g

x

g

y f

)

(

) (

) ( 1

) (

) ( 1

) (

) ( 1

) (

) ( 1 ) (

) (

x g

y g

x f

y f L x g

y g

x f

y f L x g

x f

Do y(x0,x0 a), ta có

0 1 ) (

) ( 1

) (

) ( 1 lim , 1 )

y g

x f

y f L x

) ( 1

) (

) ( 1

y g

x f

y f

Cuối cùng ta đƣợc

2 )

(

) ( 2

1 4 4 )

x f L

x f

) (

) (

lim

0

x g

x f

x

)(lim0

Định lý đƣợc chứng minh

Chú ý Nếu thoả mãn các điều kiện của qui tắc 1 và qui tắc 2 với giá trị L trong điều kiện iv) có thể là  , hoặc  thì khẳng định của các định lý đó vẫn còn đúng Nếu thay quá trình x dần đến x0 hữu hạn bằng một trong các quá trình x,x hoặc x thì khẳng định của các định lý đó cũng vẫn còn đúng

Ví dụ 2.6 Tính các giới hạn

i)

x x

)(lim

)6(lim





 x

x x

x tg x

sin4

2lim4

cos

)4(lim

Chú ý Điều kiện tồn tại

)(

)(lim

0 g x

x f

)(lim

0 g x

x f

x x , tức là có thể tồn tại giới hạn

)(

)(lim

0 g x

x f

sin lim 

cos1)

2

(

)sin

x

x x

không có giới hạn khi x (bạn đọc tự chứng minh khẳng định này) Tuy nhiên, ta có

2

12

sin2

1lim2

x

x

x x

n y

2.4.2 Các quy tắc lấy đạo hàm cấp cao

Cho các hàm u u x   và v v x  có đạo hàm đến cấp n trên khoảng a b,  Khi đó : 1)   n  n  n

( ) ( )

n n

()

)(())(

Giả sử f x liên tục trên đoạn  a, b , có đạo hàm đến cấp n1,n N , trên khoảng

( , )a b Giả sử x 0 (a,b)Ta tìm đa thức P x n  bậc không quá n, thoả mãn

), , ( ) ( ), (

)

(x0 f x0 P' x0 f x0

) ( )

( 0 ( ) 0

)

Ta sẽ tìm P x n  có dạng

n n

n x a a x x a x x a x x a x x

0 3

2 0 2 0 1

Ta có

n n

n x a a x x a x x a x x a x x

0 3

2 0 2 0 1



1 0

2 0 3 0 2 1

3 2

k k

!

)(, ,

!2

)(,

!1

)(),

) ( 0

) ( 0

2

0 1

0

0

n

x f a k

x f a x f a x f a

x

f

a

n n

n

x f x

x x f x x x f x

)(

!2

)()(

!1

)()

(

)

) ( 2

0

0 0

)(

)(

) ( )

( ) (

) ( ) (

0

0

c G

c R x

G x

G

x R x

) ( ) ( ' ) (

'

) ( ) (

0 1

0

' 1 '

1

1

'

c G

c R x G c

G

x R c

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

)

(

) (

) (

0 ) 1 ( 1 ) 1 (

0 ) 1 ( 1 ) 1 (

n n n

n n

n n n

n n n

c R x G c

G

x R c

R c

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

)

(

) 1 (

) 1 (

0 ) ( )

(

0 ) ( )

c R x G c G

x R c R

n n

n n n

n n

) ( )

(

)

(

) 1

(

) 1

(

c G

c R

Ta có

)()

()

()

) 1 ( )

1 ( )

1

(

)()!

1(

)()

()!

1(

)()

()!

1(

)()

c f x R n

c f

) 1 (

)()!

1(

)()

x

Công thức trên đúng cả khi x x 0 Vậy ta đã chứng minh định lý sau:

Định lý 2.10 Giả sử f x liên tục trên đoạn  a, b , khả vi n 1lần, n N, trên khoảng ( b a, ),

2.5.2 Khai triển Mac-Laurin hữu hạn của một số hàm số sơ cấp

a) Khai triển của hàm f x e x

Ta có f(k)(x)e x k0,n1 f(k)(0)1k0,n, f (n 1 )(c)e c, suy ra khai triển Mac-Laurin hữu hạn của hàm f x e xlà

1 2

)!

1(

!

!2

x x

!11

(,sin)

(,cos)(,

3 2 1

1 2 3

)!

32(

cos)

1()!

12()1(

x x

!3

(,sin)

(,

2 4

2

)!

22(

cos)

1()!

2()1(

!4

x x

!4

!21cos   2  4    2 o x2  1 x

n

x x

1) (

1()(,)

1()0(), ,1()0(,)0(,

x x

!

) 1 ) (

1 (

! 2

) 1 ( 1

)

1

1 1

)!

1(

)1)(

1 (

! 2

) 1 ( 1

)!

1 ( ) 1 ( ) ( , 1

1 ) ( ), 1

f x x

f x

x

,)!

1()1()0(, ,)!

1()1()0(,1)0(,

1

(

) 1 (

! )

1 (

f

Suy ra khai triển Mac-Laurin hữu hạn của hàm f(x)  ln( 1 x) là

1 1 1

2

) 1 )(

1 (

1 )

1 ( )

1 (

2 )

n

c n

n

x x

x

x

2)

1

n

x x

x

2.6 Ứng dụng của đạo hàm

Ví dụ 2.10

Một máy tính được lập trình để vẽ một chuỗi các hình chữ nhật ở góc phần

tư thứ nhất của hai trục toạ độ hai chiều, nội tiếp dưới đường cong y e x Hỏi diện tích lớn

nhất của hình chữ nhật lớn nhất có thể nội tiếp được đường cong trên?

Trong lĩnh vực thuỷ lợi cần phải xây dựng nhiều mương nước dẫn nước dạng “thuỷ

động học” (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang của mương là S, l là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này, l – đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương; mương được gọi là

có dạng thuỷ động học nếu với S xác định, l là nhỏ nhất) Cần xác định các kích thước của

mương dẫn nước như thế nào để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật)

4 y arcsin(s inx) 5 y = x arctan x

Bài 4 Tìm đạo hàm cấp cao các hàm số

=

x y

x  x

3 y = x2 3e x

4 yx2  5x c os2x 5 y= lnx 2 1 6 y = e sin 53x x

Bài 6 Người ta xây dựng một bình chứa nước hình trụ thể tích 150 m3 Đáy bằng bê 38ung

giá 100.000 VND /m2, thành bằng tôn, giá 90.000 VND /m2, bề mặt bằng nhôm không han

giá 120.000 VND/m2 Vậy kích thước của bình chứa nước như thế nào để số tiền xây dựng

nó là ít nhất ?

Bài 7 Hãy xác định độ dài ngắn nhất cánh tay nâng của cần cẩu bánh hơi có thể

38ung được để xây dựng toà nhà cao tầng mái bằng có chiều cao H và chiều rộng L? (biết

rằng cần cẩu thoả mãn yêu cầu sau đây: Có thể xê xích chiếc cẩu cũng như góc nghiêng của

cánh tay nâng để sao cho điểm cuối của cánh tay nâng chiều xuống theo phương thẳng đứng

thì trùng với trung điểm của bề rộng Ta giả sử ngôi nhà xây dựng trên miếng đất rộng, cần

cẩu có thể di chuyển thoải mái

Bài 8 Dùng qui tắc L’Hospital tính các giới hạn sau:

s inx

x

x x

0

2)sin

0(1 sin( ))

e x

x

x 3 sin 4 1

0 (cos )





7 lim 2arctan

x x

1 sin

0

2

) cotgx ( lim  

 

x x

) 1 (

cos lim

e x x

2 3 lim

1 1

18 lim ( 1 )ln  1



x x

1 f x x x  1 trong  0,1 2 f x  sinx 5x trong  0,

Bài 14 Chứng minh:

1 sinx sin y  x y 2 arctanxarctany  x y 3 a b lna a b; 0 < b < a

   