Bài tập lớn môn phương pháp tính

LỜI CÁM ƠN Suốt thời gian học tập trên giảng đường Bách Khoa trong học kì 221, nhóm 22 lớp L06 chúng em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến với GV.. Thầy đã phụ trách giảng dạy nhiệ

ĐẠI HỌC QUOC GIA THANH PHO HÒ CHÍ MINH TRUONG DAI HOC BACH KHOA

Gere tyeand

BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

LỚP L06 - NHÓM 22 - HK221

NGÀY NOP 23/11/2022 Giảng viên hướng dẫn: ThS HUỲNH THÁI DUY PHƯƠNG

Sinh viên thực hiện Mã số sinh viên Diem số

LỜI CÁM ƠN

Suốt thời gian học tập trên giảng đường Bách Khoa trong học kì 221, nhóm 22 lớp L06 chúng em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến với GV Ths Huynh Thai

Duy Phương Thầy đã phụ trách giảng dạy nhiệt tỉnh và đầy tâm huyết cho chúng em biết thêm được nhiều kiến thức thực té đặc biệt là trong môn học Phương Pháp Tính Một môn học có quá nhiều thứ mới mẻ khó tiếp thu như số gần đúng và sai số, phương trình phi tuyến, hệ phương trình phi tuyến, xáp xi đa thức, xấp xỉ hàm, nhưng với

sự tận tâm của thày, những kiến thức đã được chúng em tiếp thu trọn vẹn Chúng em hiểu hơn các thuật toán cơ cản được dùng trong kĩ thuật mà môn học mang lại Tuy nhiên, để hiểu sâu hơn về môn học cũng như các phương pháp làm bài, nhóm chúng

em đã thực hiện làm bài tập lớp của môn học, qua đó tiếp cận kĩ hơn với các phan mềm như MATLAB Qua bài tập lớn, nhóm đã biết tính toán, sử dụng phản mềm dé

giải những bài toán phức tạp

Một lần nữa, nhóm chúng em xin được cảm ơn và chúc thầy có nhiều sức khỏe

dé tiếp tục trên chặng đường truyên tải những kiến thức bô ích đến cho sinh viên

Hà Chí Minh, ngày 21 thang 11 nam 2022

Nhóm 22_L06

MỤC LỤC

I9”) 09 0 4 2

@Ý-Ì0b-aầđađiađdidđdđđđiiaiiiiaiđảả455 4 90B V"2+iiầiầia ai{44 5

®:bquẩiiầẳầaiiaiitiaa45 6

0 .4 14

PHAN 3: XAP Xi NAM Phảảaả44 15

Phần 4: Đạo hàm tích phân - - + + 2 SE S2 S3 2S v3 Svvvrv cv gvcgrcrrecriey 17

CAU 8 (8): cecceccsessessscssessscssecsessesesessavseessersecesecsatesncsessatesessensevesectanesncstseteeessenseeeteen 17

Phần 1: Phương trình phi tuyến

Câu 9:

sin(x) + cos(x)

2 của phương trình, ước lượng số lần lặ tối thiểu để có được nghiệm xấp xỉ với

sai số không quá 10”

Cho phuong trình « = , tìm một khoảng cách ly nghiêm |a,ÙÌ

Giải:

X= sin(x)+cos(x)

Đặt f(x) = 2x — sin(x) — cos(x)

f (x) =2 + sin(x) — cos(x) > 0 voi moi x

Ta tháy f(0)*f(1) < 0

=> Hàm số có nghiệm duy nhát trong [0,1]

= Khoảng cách ly nghiệm là [0,1]

Dat G(x) = sinœ)+cosÐ

Π(x) -sin(x)+-codh)

Iứ'(0)I > lẾ (1Ÿ!

=> Chon x0 =0

x„ =(#n_1)

Xn-1

Câu 12:

Cho phuong trình e? — 3z2 = 0 Sử dụng phương pháp Ñewton tìm nghiệm xấp xỉ trên đoạn [0, 1] và [3,5] với sai số không quá 10”

f(x) = e% - 3x?

f (x) = e* - 6x

f£ ®=e*—=6

Có ƒ (B) * ƒ (B) >0 => Chọn x0 = 5

x„=Ê¡—- B=U—

ƑÊu-)

Vậy nghiệm xỉ trên khoảng [3,5] = 3.733079

Có ƒ(1)*£ƒ(1)>0 = chọn zạ = 1

Vay nghiém xap xi trén khoang [0,1] =0.910008

Phần 2: Hệ phương trình tuyến tính

Với M= 19

Câu 1:

Chỉ ra tồn tại (hoặc không) phan tich A = LU theo phuong phap Doolittle Viết cụ thể L va U nếu tồn tại phép phân tích

Giải:

Phan Code C:

#include<stdio.h>

int main0

{

float A[50][50]= {0} ,L[50][50]= {0}, U[50][50];

int i,j,k,n;

printf("Nhap bac cua ma tran: ");

scanf("%d",&n);

printf("\n Nhap cac phan tu cua ma tran \n");

for(i=1; ic=n; i++)

{

for(j=1; j<=n; j++)

{

printi("Nhap A[%d][%ed] = ", i,j);

scanfŒ“%f",&A[Illil):

}

for(j=1; j<=n; j++)

{

{

if((<=j) { U[Ï|IIIEA[iIIIl:

†or(K=1; k<=i-1; k++)

U[ï|[jI-=L[II[KI"U[RIl];

ifd==j) LIIIil=1:

else

LIIIIi]=0:

else

LIIIIEA[Il:

for(k=1; k<=j-1; k++)

LIIIIII-=Lillkl*U[KIIl L[IIIiI=U[III]›

U[Ï[j]E0:

}

printf("[L]: \n");

for(i=1; ic=n; i++)

{

for(j=1; j<=n; j++)

printf("%9.5f" L[i][i]);

printf('\n");

}

printf("\n\n[U]: \n");

for(i=1; ic=n; i++)

{

for(j=1; j<=n; j++)

printf("%9.5f",UII|[[]);

printf("\n");

}

return 0;

Phan két qua:

xa

input

Cau 2:

Cho hé phuong trinh AX = B, stt dung (a) Jacobi va (b) Gauss-seidel tim

nghiém gan ding ctia hé vdi sai sd khong qua 107°, xét chuẩn hàng vói

2i, khi i=j va i=1,2, ,M

j=t+2,i=1,2, ,(M@-2

05 khí ,JÌ?†3/=12:-.,(M — 2)

j=i-2,i=3,4, ,M

“0 0.251, khỉ 47— j=i+4i=1,2, ,(M—4) mm

j=i- đi =5,6, ,M

0, các trường hợp còn lại

B= (b¡)aArx1 với b; = iT

G) &

Phan code MatLab:

cle

clear all

syms m;

format long;

m= input('nhap gia tri M: ' );

B = zeros(m,1);

B(1:m,1) = pi;

A = zeros(m,m);

x = zeros(m,1);

x(lim,1) = 0;

for i=1:m

for J=1:m

if li == ] A(i1,1) = 2*1;

end end

end

for

end

end

for j=1:

end

end

for j=1:

end

end

for j=1:

for

end

end

err 1;

lap 0;

D

LU = A;

i=1:m-2 1£ ] == i + 2 A(i,j) = 0.5*1;

end

rm

i=3:m 1£ ] == i - 2 A(i,j) = 0.5*1;

end

rm

i=1:m-4

if jf == li + 4i A(i,j) = 0.25*i;

end

rm

i=5:m

if jf == li - 4i A(i,j) = 0.25*i;

end

diag (diag (A));

for i=lim

10

T = inv(D)*(-LU);

while err > 10e-5

xold = x¿

for i = 1:m

sum = 0;

for 7 = 1:m

if ] ~= 1

sum = sum + A(i,j)*xold(4);

end end x(i) = (1/A(i,i))*(B(i)-sum);

end

lap = lap + 1;

err = (norm(T,Inf)/(l-norm(T,Inf)))*abs (norm( (x-xold),inf));

end

disp("ket qua theo phuong phap Jacobi la ");

disp(x);

disp("sai so theo phuong phap Jacobi la ");

disp(err);

for i= 1:m

for 7 = 1l:m

if io gy LU(i,4) = 9;

end end

end

lap = 1;

U = -LU;

T = inv(A+U) *U;

11

err = 1;

while err > 10e-5

xold = x;

for i = 1:m

Sum II œ `

for j7 = 1:i-1

sum = sum + A(i,j)*x(]);

end end for j = itl:m

sum = sum + A(i,4)*xold(4);

end x(1) = (1/A(1,1))*(B(1)-sum) ; end

lap = lap + 1;

err = (norm(T,Inf)/(l-norm(T,Inf)))*abs (norm( (x-xold),inf));

end

disp ("ket qua theo phuong phap Gauss-Seidel la ");

disp(x);

disp ("sai so theo phuong phap Gauss-Seidel la ");

disp(err);

12

Kết quá chạy MatLab:

ket qua theo phuong phap Jacobi la

1.553545860097745

0.745819690044439

0.069028110720594

0.158335115476975

0.264812135192284

0.191686433091300

0.128426379231229

0.122169840440178

0.119190194870480

0.105106883554954

0.093021716041384

0.085782110977933

0.080019275113804

0.075429893406355

0.070285523046305

0.061342875794072

0.057778314383881

0.071934886147560

0.068233858167310

Sai so theo phuong phap Jacobi la

5.679217385069768e-05

ket qua theo phuong phap Gauss-Seidel la

1.553530646191785

0.745809175239471

0.069013825570955

0.15832502051574

0.264799923811716

0.191669707711446

0.128396395862779

0.122172027107951

0.119196689125258

0.105083547457289

0.092987546705251

0.085778441422088

0.080020411912860

0.075419105186642

0.070269217880970

0.061337383999602

0.057775465303002

0.071932116599816

0.068229624558191

Sai so theo phuong phap Gauss-Seidel la

13

Câu 3: Giải một hệ phương trình tuyến tính băng phương pháp phân tử trội

Ví dụ:

Xịi—Xaạ+2Xa—Xạ = —8 2X) —2X2+3xX3-3xX, = —20

Xi+xXa+xXạ+0X¿ = -2 Xi—Xa+4xạ+3x*¿; = 4

h, > 4h,- h,

h )Ồ©h+ Blịa => 2g »7h of 64h '71+ Yo 468 h —»10h ọ 280 d 6

a7 a*"t! 9 0 280 0Ì560

-16&, =— 336 |x,= 3

oS

280x, = 560 x= 2

14

Phần 3: Xấp xỉ hàm Câu 4: Sử dụng công thức Newton sai phân tiến đề xây dựng các đa thức nội suy bậc một, hai và ba cho dữ liệu sau Tính gần đúng giá trị đã chỉ định băng cách sử dụng các kết quả thu được

4.3 † (0.43) thỏa f (0) =1, f (0.25) =1.64872, f (0.5) =2.71828, f (0.75) = 4.48169

Theo đề bài ta có bảng số liệu sau:

Bang sai phan:

1

2,59488

7,05364

Newton sai phan tién

Đa thức nội suy bậc 1:

M() = 1+ 2,59488.x

= ƒ(0.43) ~ (0,43) = 2.1158

Đa thức nội suy bậc 2:

Ni? (x) = 1 + 2,59488 x + 3,36672.x (x — 0,25)

15

=> f (0.43) ~ NO (0,43) = 2,3764

Đa thức nội suy bậc 3:

NE? (x) = 1 + 2,59488, x + 3,36672 x (x — 0,25) + 2,91211 x (x — 0,25) (x — 0,5)

= f(0.43) = NE (0,43) = 2.3606 (làm tròn đến 4 chữ só thập phân sau dáu phay)

Câu 2: Gọi Ps(x) là đa thức nội suy cho dữ liệu (0,0), (0.5,y), (1,3) và (2,2) Hệ số của

x? trong Ps(x) la 6, timy

Goi da thire néi suy P3(x) can tìm có dang la Ps(x) = ax? + bx? + cx +d

Hé sé cua x? trong Ps(x) la 6 => P(x) = 634 bx? +ex4+d

Theo dé bai ta có:

0=6.01+b.0°+c.0+d

\y = 6.0,53 + b.0,5ˆ +c.0,5+ đ

3=611+b.12+c.1+d

2=6.23+in2l¿c.2+d

(0.5 =0,25.b+0,5.c—y

eS

—-3=bt+c

(ứ d=046=4.b+2.c

{bh = —20

©rgc=17

( — 17

_

Vậy y = 24

16

Phần 4: Đạo hàm tích phân

0

Câu 8 (8): Tính xáp xi tích phân sau: Ea, Xn( + 1) ‹

Giải 0-(-0.5) 9,

10

Đặt số khoảng cách nghiệm n=10, suyIra

Áp dụng công thức hình thang mở rộng, ta có:

Sy,+ V)= S006 Mn(0.05k 1 0.05% J)In(0.0B( +1)=)) 0‹

h

2

Với x =0, x =0.0E, x =0.1, >x =0.0%

Như vậy, l~ 0.0356

Câu 3: Cho bảng dữ liệu sau:

0.7 | 0.6442 O04 1.3718

0.00000

a) f(x) = sinx

b) f(x)=ex—2x2+3x—-1

Ước lượng sai số trong phép tinh xáp xỉ

Giải

2h

Í(,x 2

Công thức sai phân tiếnf '(x_)=

_f(x-2h} 4f(x ly 3f(›

Cong thuc sai phan luif (x, )

8) — & sin(

Sử dụng công thức sai phân tiến và sai phân lùi, ta có bảng sau: (với h=0.1)

Sai phân tiên Sai phân lùi

Ket qua Sai so Ket qua Sai So 0.5 0.4794 | 0.8776 0.8804 | 0.0028 | 0.8806 | 0.0030

17

0.6 0.5646 0.8253 0.8279 0.0026 0.8282 0.0029 0,7

0.6442 0.7648 0.7672 0.0024 0.7675 0.0027

b) f(x) =6 2k #Bx-

Sử dụng công thức sai phân tiến và sai phân lùi, ta có bảng sau: (với h=0.1)

18

Sai

Phần 5: Phương trình vi phân Câu 1: Sử dụng phương phap Euler tim nghiệm xấp xỉ trong các trường hợp sau

bf =14(t-y, 2<t<3, y()=1, with-osf

Giải

Ta có:

Wz+i = V¿ + 0,5.[1 + ( — y)”]

CODE: y = y + 0,5.[1 + (x — y)“]:x = x + 0,5

Calc: y=1; x=2

Câu 7: Tìm nghiệm xap xi Cua phuong trinh trong các trường hợp sau:

d.J'—2y +y=t.e!— tÍ <t< 1Í) = y (0) = 0,Ý= 01

Giới

Đặt y' =z>y’ = 7’

Ta có:

(¿=2⁄-y+tet~t, 0<¿£<1

y(0)=0,z(0)=0,h= 0,1

Bam may tinh bo tui f(x) 580 VNX

CODE:A = 0,1z:B=0,1.2z-y+xe*-—x):x=x+01:C=01@+B):D= 0,1 (2 (2+ B) — (y+ A)+x.e*—x):y=y+ er zazt—

19

Ta có bảng:

1,1043.1 7,1452.1 2,9695.10°

6,9270.10°

20

Z

5,2585.1 3,4840.10°