Mục tiêu: Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu về các công thức tổ hợp bằng một cách tiếp cận mới trong việc tính toán Polyzetas phân kì và các khái niệm liên quan.. Tính mới và sáng tạo:
Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước và quốc tế
Nghiên cứu về L-hàm và lý thuyết hàm Zeta đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà Toán học Việt Nam, đặc biệt là các nhóm nghiên cứu của GS Phùng Hồ Hải, GS Ngô Đắc Tuấn, PGS Lê Quý Thường, và PGS Nguyễn Duy Tân Hầu hết các nhóm này chủ yếu tập trung vào lý thuyết số học của hàm dựa trên lý thuyết L-hàm Trên thế giới, lý thuyết hàm Zeta đã được nghiên cứu từ giữa thế kỷ XV I, khởi nguồn từ việc tìm kiếm biểu diễn chuỗi cho nghiệm của hệ động lực không tuyến tính trong lý thuyết lượng tử, với những đóng góp quan trọng từ các nhà khoa học như Tomonaga, Schwinger, và Feynman Các nghiên cứu sau đó đã đưa ra biểu diễn chính quy của nghiệm và đạo hàm của hệ phương trình vi phân không tuyến tính, cùng với biểu diễn tiệm cận của các hệ số trong biểu diễn Taylor của các nghiệm, dẫn đến nhu cầu chính quy hóa và chuẩn tắc hóa những nghiệm không hội tụ của các phương trình này.
Thực tế, theo định lý Abel [16] ta có z lim → 1 Li s (z) = lim
N → + ∞ H s (N ) = ζ(s) (1) ở đó, s ∈ (N + \{ 1 } ), N ∈N + và z ∈C thỏa mãn | z | < 1, ta định nghĩa [16, 17]
Khi s là một vec-tơ r chiều, ta có thể xác định giá trị Polyzeta ζ(s) trong miền hội tụ, với các giá trị này tạo thành một cấu trúc đại số phân bậc theo tổng chỉ số s 1 + + s r Tuy nhiên, đối với các trường hợp phân kỳ, định lý Abel không thể áp dụng Những kết quả liên quan đến các trường hợp này có thể kể đến từ các nhà nghiên cứu như L Euler, B Riemann, P Cartier, và sau đó là C Costermans, Hoang Ngoc Minh, H Furusho.
Y Komori, K Matsumoto, H Tsumura, L Gou, D Manchon, S Paycha đã nghiên cứu vấn đề chính quy hóa và chuẩn tắc hóa giá trị Polyzetas phân kỳ, hiện đang thu hút sự quan tâm Có hai hướng tiếp cận chính: một là phương pháp giải tích, dựa vào các tính chất của hàm logarithm và tổng điều hòa, nhằm đưa ra giá trị chính quy hóa khi z → 1 hoặc N → + ∞ Hướng còn lại là phương pháp đại số, dựa trên cấu trúc Shuffle và Stuffle của các giá trị polyzeta hội tụ, cũng như Polylogarithm và tổng điều hòa Đề tài này giới thiệu một số phương pháp mới để tính toán tổng điều hòa và hàm Polylogarithm ở đa chỉ số không dương, đồng thời áp dụng các tính chất giải tích của lý thuyết Nevanlinna để nghiên cứu tính chất của hàm Polylogarithm và tổng điều hòa trong bối cảnh này.
Tính cấp thiết của đề tài
Đề tài nghiên cứu một trong những vấn đề đang rất được quan tâm của vật lý, lý thuyết số và đại số tổ hợp.
Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của nghiên cứu là khám phá các công thức tổ hợp qua một phương pháp mới để tính toán Polyzetas phân kỳ và các khái niệm liên quan Đề tài cũng nhấn mạnh mối liên hệ giữa lý thuyết Nevanlinna và Polyzetas cùng những vấn đề liên quan.
Kiến thức cơ sở
Các định nghĩa
Định nghĩa 1 Cho r ∈N + và s 1 , , s r là các số phức tùy ý Ta định nghĩa [17] (i) tổng điều hòa H s 1 , ,s r (N ) tại (s 1 , , s r ) là tổng
(ii) polylogarithm Li s 1 , ,s r (z) tại (s 1 , , s r ) là
Li s 1 , ,s r (z) = X n 1 > >n r >0 z n 1 n s 1 1 n s r r (1.2) với mọi số phức z thỏa mãn | z | < 1.
Thực tế, tổng điều hòaH s 1 , ,s r (N )và PolylogarithmLi s 1 , ,s r (z)tương ứng lập thành một hàm số học và hàm giải tích trên cầu mở | z | < 1 [16] Tức là ta có các hàm
Bây giờ, xây dựng các hàm
(s 1 , , s r ) 7−→ Li s 1 , ,s r (1.6) Đặt Ω = C\ (( −∞ , − 1] ∪ [1; + ∞ )) và H (Ω) là tập các hàm giải tích trên Ω Khi đó hàm Li s 1 , ,s r (z)
1 − z là một hàm giải tích trên | z | < 1, hơn nữa khai triển Taylor tại z = 0 là
H r = { (s 1 , , s r ) ∈C r | ℜ (s 1 ) + + ℜ (s m ) ≥ m, ∀ m = 1, , r } (1.8) với ℜ (z) là phần thực của số phức z Khi đó, với mọi (s 1 , , s r ) ∈ H r , r ∈N + ta có z lim → 1 Li s 1 , ,s r (z) = lim
1 n s 1 1 n s r r := ζ(s 1 , , s r ) (1.9) Định nghĩa 2 Giới hạn ζ(s 1 , , s r ) được gọi là Polyzeta tại (s 1 , , s r ) ∈ H r.
Thực tế, các giá trị Polyzeta tạo nên một hàm số phức và được mở rộng tới một hàm chỉnh hình trên C r
Song đại số Shuffle và song đại số Stuffle
Gọi X = { x 0 , x 1 } là một bảng chữ cái với 2 chữ cái x 0 và x 1 Gọi X ∗ là nửa nhóm sinh bởi X cùng phép nối 1 Khi đó mỗi phần tử X ∗ có dạng w = x i 1 x i r với x i k ∈ X, ∀ k = 1, , r Gọi từ rỗng là từ không có chữ cái nào, ký hiệu 1 X ∗ Khi đó
X ∗ cùng phép nối tạo thành một vị nhóm không giao hoán với phần tử đơn vị 1 X ∗ Chúng ta định nghĩa C X ∗ là không gian tuyến tính các từ của X, trong khi C⟨ X ⟩ là đại số các đa thức không giao hoán được sinh bởi X với hệ số trên C Trên C⟨ X ⟩, chúng ta xây dựng một tích shuffle ⊔⊔.
1 X ∗ ⊔⊔ u = u ⊔⊔ 1 X ∗ = u au ⊔⊔ bv = a(u ⊔⊔ bv) + b(au ⊔⊔ v), ∀ u, v ∈ X ∗ và a, b ∈ X.
Khi đó (C⟨ X ⟩ , ⊔⊔ , 1 X ∗ )là mộtC−đại số giao hoán Hơn nữa, với mỗix i ∈ X, u ∈ X ∗ ta định nghĩa tích đối ngẫu của tích shuffle bởi
Phép nối trong không gian đại số được định nghĩa cho các phần tử u, v ∈ X ∗ với công thức u.v = uv Ví dụ, x 0 x 1 x 1 x 0 = x 0 x 1 x 1 x 0 = x 0 x 2 1 x 0 Tập hợp C⟨ X ⟩, cùng với các phép toán conc, ∆, ⊔⊔, 1 X ∗ và hàm ϵ, tạo thành một song đại số, được gọi là song đại số shuffle, trong đó conc đại diện cho phép nối giữa các đa thức không giao hoán và hàm ϵ : C⟨ X ⟩ −→C đảm bảo rằng ϵ(P ) = ⟨ P |.
Tương tự, ta có thể mở rộng song đại số shuffle tới tập chuỗi lũy thừa hình thức không giao hoán C⟨⟨ X ⟩⟩ với tích đối ngẫu được định nghĩa bởi
Bảng chữ cái vô hạn Y được định nghĩa là Y = { y_n } với n ∈ N+ Vị nhóm sinh Y∗ được hình thành từ bảng chữ cái Y cùng với phép tích nối, trong đó mỗi phần tử của Y∗ được gọi là một từ Từ rỗng của Y∗, ký hiệu là 1 Y∗, đại diện cho trường hợp không có chữ cái nào Tương tự, trên bảng chữ cái X, ta ký hiệu C_Y là không gian các tổ hợp tuyến tính sinh bởi Y, và C⟨Y⟩ là tập hợp các đa thức không giao hoán sinh bởi Y.
Trên C⟨ Y ⟩ ta xây dựng tích stuffle 2 :C⟨ Y ⟩ ×C⟨ Y ⟩ −→C⟨ Y ⟩ như sau:
Khi đó(C⟨ Y ⟩ , , 1 Y ∗ )là mộtC−đại số giao hoán Hơn nữa, nếu ta định nghĩa tích đối ngẫu của tích stuffle ∆ bởi
Δ(y k u) = Δ(y k)Δ(u) (1.13) với mọi y k ∈ Y và u ∈ Y∗ cho thấy rằng (C⟨Y⟩, conc, Δ, 1 Y∗, ϵ) là một song đại số Lưu ý rằng hàm ϵ: C⟨Y⟩ → C thỏa mãn ϵ(P) = ⟨P | 1 Y∗⟩ Tương tự, có thể mở rộng đối tích trên tập hợp các chuỗi hình thức không giao hoán C⟨⟨Y⟩⟩ bằng công thức.
⟨ S | w ⟩ ∆ (w) (1.14) thì (C⟨⟨ Y ⟩⟩ , conc, ∆ , 1 Y ∗ , ϵ) là một song đại số.
Sự độc lập của Polylogarithm đa chỉ số dương trên trường hàm 11 1.4.Đại số C rat ⟨⟨ X ⟩⟩ và hàm Polylogarithm
Với mỗi đa chỉ số dương (s 1 , , s r ) ∈N r + ta xây dựng các tương ứng 1 − 1 như sau
2 Cũng được gọi là tích quasi-shuffle.
Ánh xạ π X : (C⟨ Y ⟩ , conc, 1 Y ∗ ) −→ (C⟨ X ⟩ , conc, 1 X ∗ ) y s 1 y s r 7−→ x s 0 1 − 1 x 1 x s 0 r − 1 x 1 (1.15) là một đồng cấu đại số, cho phép xây dựng đồng cấu liên hợp ký hiệu π Y của π X.
Bằng tính toán trực tiếp, ta suy ra rằng π Y (x k 0 − 1 x 1 ) = y k và Ker(π Y ) =C⟨ X ⟩ x 0 Đặc biệt π Y hạn chế trên đại số con (C 1 X ∗ ⊕C⟨ X ⟩ x 1 , conc) là một đẳng cấu và là nghịch đảo của π X
Khi đó ta định nghĩa hàm Polylogarithm bởi
Khi đó Li là một đồng cấu đại số, tức là ta có
Li P ⊔⊔ Q (z) = Li P (z) Li Q (z), ∀ P, Q ∈C⟨ X ⟩ (1.18) Theo cách tương tự ta định nghĩa
1 Y ∗ 7−→ 1 N y s 1 y s r 7−→ H s 1 , ,s r (N ), ∀ N ∈N (1.19) thì H là một đồng cấu đại số tức là
H(P Q)(N ) = H P (N )H Q (N ), ∀ N ∈N ∗ (1.20) Hơn nữa, ta có thể viết
Trong một C−đại số vi phân kết hợp, giao hoán, có đơn vị (A, d), với giả thiết Ker(d) = C, chúng ta mở rộng đạo hàm d thành một đạo hàm trên A ⟨⟨ X ⟩⟩ thông qua công thức d(S) = X w ∈ X ∗ d(⟨ S | w ⟩)w.
Cho trường vi phân C Ta định nghĩa đồng cấu đại số α z z 0 : (C⟨⟨ X ⟩⟩ , ⊔⊔ ) −→ C bởi α z z
Z z z 0 α s z 0 (v) s − a i (1.23) với mọi w = vx i thỏa mãn x i ∈ X và v ∈ X ∗ Khi đó ta có d(C) = (
X2 i=1 u i x i )C (1.24) với C = P w ∈ X ∗ α z z 0 (w)w và u i (z) = 1 z − a i Từ các ký hiệu này, ta có Định lý 1 ([9]) Giả sử A , d) là một C− đại số vi phân, giao hoán, kết hợp có đơn vị, thỏa mãn điều kiện Ker(d) =C và C là trường con vi phân của A, tức là d( C ⊂ C ).
S ∈ A ⟨⟨ X ⟩⟩ là một nghiệm của phương trình vi phân d(S) = M S, ⟨ S | 1 ⟩ = 1 với M là một chuỗi đẳng cấp bậc 1, tức là
M = u x 0 x 0 + u x 1 x 1 (1.25) Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương
(i) Họ ( ⟨ S | w ⟩ ) w ∈ X ∗ các hệ số của S là độc lập trên C
(ii) Họ các hệ số ( ⟨ S | w ⟩ ) w ∈ X ∪{ 1 X ∗ } là độc lập trên C
(iii) Họ (u x ) x ∈ X thỏa mãn, với mọi f ∈ C , α x ∈C d(f) = X x ∈ X α x u x = ⇒ ( ∀ x ∈ X), (α x = 0).
(iv) Họ (u x ) x ∈ X là độc lập trên C và d( C ) ∩ span C ((u x ) x ∈ X ) = { 0 }.
Li w (z)w thỏa mãn phương trình d dz (S) = x 0 z + x 1
S (1.26) hơn nữa thỏa mãn các điều kiện của định lý 1 Do đó họ (Li w (z)) w ∈ X ∗ là độc lập trên trường hàm hữu tỉ C =C (z)
1.4 Đại số C rat ⟨⟨X⟩⟩ và hàm Polylogarithm
Ta bắt đầu mục này bằng một kết quả quan trọng trong lý thuyết chuỗi hữu tỉ Định lý 2 ([17]) Cho S ∈C⟨⟨ X ⟩⟩ Các mệnh đề sau là tương đương:
1 S cú một biểu diễn tuyến tớnh n chiều (β, à, ν), tức là tồn tại β ∈ M 1,n (C ) , à : X ∗ −→ M n (C ) và ν ∈ M n,1 (C ) thỏa món
2 S thuộc đại số con nhỏ nhất của C⟨⟨ X ⟩⟩ chứa C⟨ X ⟩ và đóng bởi phép nghịch đảo
S 7−→ S − 1 (tức là bao đóng hữu tỉ của C⟨ X ⟩).
Bây giờ, với mỗi S ∈C⟨⟨ X ⟩⟩ thỏa mãn ⟨ S | 1 X ∗ ⟩ = 0, ta định nghĩa toán tử Kleene của S bởi
Do đó, ta có Định lý 3 ([17]) 1 Họ { x ∗ 0 , x ∗ 1 } của đại số (C⟨⟨ X ⟩⟩ rat , ⊔⊔ , 1 X ∗ ) là độc lập đại số trên (C⟨ X ⟩ , ⊔⊔ , 1 X ∗ ).
2 Mô đun (C⟨ X ⟩ , ⊔⊔ , 1 X ∗ )[x ∗ 0 , x ∗ 1 , ( − x 0 ) ∗ ] là tự do trên C⟨ X ⟩ và họ
{ (x ∗ 0 ) ⊔⊔ k ⊔⊔ (x ∗ 1 ) ⊔⊔ l } (k,l) ∈Z×N là một cơ sở trên C⟨ X ⟩.
3 Họ { w ⊔⊔ (x ∗ 0 ) ⊔⊔ k ⊔⊔ (x ∗ 1 ) ⊔⊔ l } w ∈ X ∗ ,(k,l) ∈Z×N là một cơ sở trên C của mô đun tự do (C⟨ X ⟩ , ⊔⊔ , 1 X ∗ )[x ∗ 0 , x ∗ 1 , ( − x 0 ) ∗ ]
Gọi Ω = C\ (] − ∞ ; 0[ ∪ ]1, + ∞ [ Ký hiệu H (Ω) là đại số các hàm giải tích trên Ω.
Vì vậy, ta có thể xây dựng đồng cấu đại số
1 − z (1.30) và Li (1) w (z) = Li w (z) với mọi w ∈ X ∗ Khi đó, ta có Định lý 4 ([17]) Im(Li (1) ) = C{ Li w } w ∈ X ∗ và Ker(Li (1) ) là ideal sinh bởi x ∗ 0 ⊔⊔ x ∗ 1 − x ∗ 1 +
Li (1) được xem như một mở rộng của Li, do đó hai ký hiệu này có thể được đồng nhất Định lý 5 cho biết rằng với mọi đa chỉ số không dương (s1, , sr), luôn tồn tại một phần tử P ∈ (C[x*1], ⊔⊔, 1X*) thỏa mãn điều kiện đã nêu.
Vấn đề này đã được giải quyết trong tài liệu [17], nơi các tác giả phát triển một thuật toán để tính toán các hệ số của đa thức P thông qua công thức truy hồi.
Một số vấn đề cơ bản trong lý thuyết Nevanlinna
Mỗi phần tử giải tích trong d(0, R − ) là một chuỗi hội tụ trong d(0, R − ), nhưng ngược lại không đúng Tuy nhiên, một phần tử là giải tích trong d(0, R) nếu và chỉ nếu nó là một chuỗi hội tụ trong d(0, R) Chuỗi lũy thừa được gọi là hàm nguyên khi bán kính hội tụ của chuỗi là ∞ Tập hợp các hàm nguyên trên C được ký hiệu là A(C) Theo Định lý 6 ([12, 13]), cho f ∈ A(C), các mệnh đề sau là tương đương.
2 Không tồn tại q ∈N thỏa mãn lim r → + ∞
3 f không là một đa thức.
Bây giờ, với mỗi a ∈R và r ∈R + , ta quy ước một số ký hiệu như sau:
A (d(a, r − )) là tập các chuỗi lũy thừa của x − a có bán kính hội tụ lớn nhất r.
A b (d(a, r − )) là tập các hàm số f ∈ A (d(a, r − )) bị chặn trong d(a, r − ).
A (C\ d(a, r − )) là tập các chuỗi Laurent hội tụ trên miền | x − a | > r.
A b (C\ d(a, r − )) là C−đại số Banach các chuỗi Laurent bị chặn hội tụ trên miền
Nhắc lại rằng, một lọc là một họ F các tập con của X ̸ =∅ thỏa mãn 3 tính chất sau:
(ii) Mọi giao hữu hạn các tập trong F là một tập trong F.
(iii) Mọi tập con của X chứa một tập hợp trong F đều thuộc F.
Gọi a ∈C và r ′ , r ′′ là các số thực dương thỏa mãn r ′ < r ′′ Ký hiệu Γ(a, r ′ , r ′′ ) = { x ∈C | r ′ < | x − a | < r ′′ }
Với mỗi a ∈ C và r ∈ R + , lọc được sinh bởi các khuyên Γ(b, r ′ , r ′′ ) với b ∈ d(a, r) và r ′ < r < r ′′ được gọi là lọc vòng tâm a đường kính r.
Mặt khác, với mỗi tập con đóng, bị chặn D ⊂C, ta định nghĩa
R(D)là C−đại số các hàm hữu tỉ không có pole trên D, được trang bị chuẩn hội tụ tuyệt đối trên D.
H(D) là đầy đủ của R(D) theo chuẩn được xác định.
Chú ý rằng H(D) là C−đại số Banach.
Nếu R ∈ R + và f ∈ A (d(a, R − )), thì f ∈ H(d(a, r)) với mọi r ∈ ]0, R[ Với mọi lọc vòng F không giao với d(a, r), tồn tại một nửa chuẩn nhân liên tục φ F Gọi b ∈ d(a, R), nếu s < R và F là lọc vòng có tâm b và đường kính s, ta đặt φ b,s (f ) = φ F (f) = ∥ f ∥ d(b,s) Đặc biệt, nếu a = 0 thì ta đặt.
| x |→ s, | x |̸ =r | f(x) | Định lý 7 ([12, 13]) Nếu r ∈R + và D = d(0, r) thì H(D) là tập các chuỗi lũy thừa f (x) = P ∞ n=0 a n x n thỏa mãn lim
Hơn nữa, chuẩn ∥ ∥ d(0,r) và ∥ ∥ C(0,r) là nhân và trùng nhau trên H(C(0, r)).
Cuối cùng, ta có Định lý 8 ([12]) Nếu R ∈R + thì C−đại số con A b (d(0, R − )) của A (d(0, R − )) là một
C− đại số Banach cùng với chuẩn ∥ ∥ d(0,R − ) Hơn nữa, chuẩn này là nhân và thỏa mãn
Nếu f (x) = P ∞ n=0 a n x n ∈ A (d(0, R − )) thì f bị chặn trong d(0, R − ) khi và chỉ khi dãy ( | a n | R n ) n ∈N cũng bị chặn Hơn nữa, nếu f bị chặn thì
Kết quả chính
Một mở rộng của công thức tổng Euler-Maclaurin
Công việc này gửi tới một cách mới để chứng minh Polylogarithm tại đa chỉ số âm có dạng C−tổ hợp tuyến tính của họ { 1
(1 − z) k } k ∈N. Cho hàm số thực f (x) xác định có đạo hàm cấp n trên đoạn [a, b] với a, b ∈Z Khi đó ta có công thức tổng Euler-Maclaurin:
B n (x)f (n) (x)dx ở đó B t và B t (x) tương ứng là số Bernoulli thứ t và đa thức Bernoulli thứ t với mọi t = 0, 1, , n.
Bằng các biến đổi trực tiếp, ta thu được mở rộng của công thức đối với hàm 2 biến như sau
Mệnh đề 1 ([10]) Cho hàm số f (x 1 , x 2 ) là hàm liên tục, khả vi từng phần cấp n i trên
(x 1 , x 2 ) ∈R 2 | a i ≤ x i ≤ b i , ∀ i = 1, 2 với mọi i = 1; 2 Ta có bX2 − 1 k 2 =a 2 bX1 − 1 k 1 =a 1 f(k 1 , k 2 ) =
Trong trường hợp đặc biệt, nếu
∂y n 2 f (x, y) = 0 trên U 2 thì ta có bX2 − 1 k 2 =a 2 bX1 − 1 k 1 =a 1 f (k 1 , k 2 ) =
Bằng kiểm tra trực tiếp, dễ dàng chứng minh được
Do đó, n 1 = 2, n 2 = 3 Sử dụng công thức (2.1), với mỗi N ∈N + , ta có
Sử dụng mệnh đề 1, ta thu được mệnh đề sau:
Mệnh đề 2 Với mỗi s ∈N + và N ∈N + , ta có
Mặt khác, sử dụng công thức tổng Euler-Maclaurin, ta cũng chứng minh được rằng
Mệnh đề 3 Cho f(x, y) là hàm khả vi liên tục từng phần (cấp n 1 − cho x, cấp n 2 cho y) với n 1 , n 2 ∈N + Với a, b ∈N, ta có b − 1
∂x n 1 (F 1,t 2 (x) − F 2,t 2 (x)) dx. ở đó t = 1, , n 2, các hàm F 1,t (x), F 2,t (x), F 3 (x) được xác định như sau:
∂y n 2 f (x, y)dy. Áp dụng mệnh đề 3 cho hàm số f (x, y) = 1 x s 1 y s 2 với s 1 , s 2 ∈N + , ta thu được,
B n 2 (y) y n 2 +s 2 dy với N ∈N + Chọn n 1 = s 1 + 1, n 2 = s 2 + 1 và N ∈N + , ta có
XN k 1 =1 k 1 s 1 +s 2 − t 2 +1 − k s 1 1 Điều này có nghĩa là, với N ∈N + , ta có
Ví dụ 4 Từ công thức (2.2), với N ∈N + , ta thu được
Với sự hỗ trợ của máy tính, sử dụng định nghĩa tổng điều hòa ta cũng có thể tính kết quả tương tự.
Hệ quả 1 Nếu s 1 , s 2 ∈ (Z\N + ) thì Li s 1 ,s 2 (z) có một biểu diễn dạng P ( 1
Chứng minh : Chú ý rằng các chuỗi P n ≥ 0 n k z n được tính theo công thức X n ≥ 0 n k z n = (z d dz ) k (X n ≥ 0 z n ) = (z d dz ) k 1
Mặt khác, với mọi s 1 , s 2 ∈C, ta có
Do đó, nếu s 1 , s 2 là các đa chỉ số không dương thì Li s 1 ,s 2 (z)
1 − z sẽ là một đa thức theo biến 1
Ứng dụng lý thuyết Nevanlinna cho Polyzetas và các vấn đề liên quan 20 Chỉ mục
Nhắc lại rằng, với mỗi z ∈C thỏa mãn:
Vì vậy Li s 1 , ,s r (z) cũng là hàm giải tích trên d(0, 1 − ) Ta có
Vì vậy, với mỗi q ∈N, ta có z lim →∞
| Li s 1, ,sr (z) | z q = + ∞ Mệnh đề 4 Với mỗi s 1 , , s r , ta có
(i) Không tồn tại số tự nhiên q thỏa mãn lim z →∞
| Li s 1 , ,s r | (z) z q = 0. (ii) Li s 1 , ,sr (z) không là đa thức.
Chứng minh : Mệnh đề 4 là hệ quả trực tiếp của định lý 6.
Thực tế, khi s 1 , , s r ∈ N + thì Li s 1, ,sr (z) không là đa thức; còn khi s 1 , , s r ∈ (Z\N + ) thì hàm Li s 1, ,sr (z) là một đa thức với biến 1
Mệnh đề 5 Với mỗi số thực r thỏa mãn 0 < r < 1 và các số nguyên s 1 , , s k , ta có
∥ Li s 1 , ,s r ∥ d((0,r)) = max n ∈N | H s 1 , ,s r (n) | r n = φ F (Li s 1 , ,s r (z)) (2.5) ở đó F là một lọc vòng không giao với d(0, r)).
Chứng minh : Đầu tiên ta chứng minh
N → lim + ∞ | H s 1 , s k (N )r N | = 0 với mọi số thực dương r ∈ ]0, 1[ Từ định nghĩa tổng điều hòa, ta chỉ cần chứng minh khẳng định đúng cho trường hợp s 1 , , s k ∈Z− là đủ.
Giả sử s 1 , , s k ∈Z− Khi đó tổng điều hòa H s 1 , ,s k (N ) là một đa thức theo biến
Lại có r ∈ ]0, 1[ nên ta đặt r = 1
Chú ý rằng N i cũng là một đa thức theo N Khi N đủ lớn, với i đủ bé, bậc của N i sẽ lớn hơn t Điều này dẫn đến
Các đẳng thức còn lại được suy ra từ định lý 7 Chú ý rằng, với mọi hàm số f ∈ H(d(0, 1 − )) và chọn (d(α m , 1 − )) m ∈N + là tập các f −hole Khi đó f sẽ có dạng f =
(x − α m ) n (2.8) với lim n →∞ a n,0 = 0, lim n →∞ | a n,m | = 0, ∀ m ∈N + và lim m →∞ ( sup n ∈N + | a n,m | ) = 0 Hơn nữa,
∥ f ∥ d(0,1 − ) = sup m ∈N ,n ∈N + | a n,m | (2.9) Ngược lại, mọi hàm số f có dạng (2.8), với α m thỏa mãn
| α m | = | α j − α m | = 1, ∀ m ̸ = j thuộc H(d(0, 1 − )) Chuẩn ∥ ∥ d(0,1 − ) là nhân và bằng φ 0,1
Chọn f = Li P (z) là hàm polylogarithm được mở rộng trên đại số
Khi đó, với mỗi P ∈ (C⟨ X ⟩ , ⊔⊔ , 1 X ∗ )[x ∗ 0 , x ∗ 1 , ( − x 0 ) ∗ ], thỏa mãn
(1 − z) n với I, J là các tập chỉ số hữu hạn Từ | 1 | = | 0 − 1 | = 1, nên theo phân tích ở trên,
∥ Li P ∥ d(0,1 − ) = sup m ∈{ 0,1 } ,n ∈N + | a n,m | (2.10) Định nghĩa 3 Cho f ∈ H b (D) và T là một hole của D, a ∈ T Nếu hàm số f T (x) =
X∞ n=1 b n (a) (x − a) n sao cho b 1 (a) không phụ thuộc vào a ∈ T thì ta đặt res(f, T ) = b 1 (a) và gọi là thặng dư của f trên hole T.
Chú ý rằng, trong trường hợp s 1 , s 2 là các số nguyên không dương thì[16, 17]
(1 − z) k (2.11) ở đó a s k 1 ,s 2 là các số hữu tỉ được tính theo công thức
0 trong các trường hợp khác.
0 trong các trường hợp khác.
Chú ý rằng a () 0 = 1 và a () k = 0, ∀ k > 0 Từ công thức (2.10), ta suy ra kết quả quan trọng sau:
Mệnh đề 6 Nếu s 1 , s 2 là các số nguyên không dương thì res(Li s 1 ,s 2 , T ) = a s 1 1 ,s 2 với
∥ Li s 1 ,s 2 ∥ d(0,1 − ) = sup k ∈N | a s k 1 ,s 2 | Với mệnh đề 6, ta có thể xây dựng thuật toán để tính ∥ Li s 1 ,s 2 ∥ d(0,1 − ) với s 1 , s 2 ∈(Z\N + )
Kết luận Đề tài làm được một số vấn đề sau:
1 Mở rộng công thức tổng Euler - Maclaurin cho hàm 2 biến, từ đó áp dụng tính tổng điều hòa và chứng minh lại biểu diễn đa thức của các hàm Polylogarith có chỉ số âm theo 1
2 Nêu ra một số tính chất của hàm Polylogarithm bằng cách áp dụng lý thuyếtNevanllina.
[1] J Berstel, C.Reutenauer, Rational series and their languages, Spr Ver., 1988.
[2] J Berstel, C Reutenauer, Noncommutative Rational Series with Applications, Encyclopedia of Mathematics and its Applications series, Cambridge University Press:248 pages, 2011.
[3] Bui Van Chien; V Hoang Ngoc Minh; Ngo Quoc Hoan,Families of eulerian func- tions involved in regularization of divergent polyzetas, in preparation, 2020.
[4] Cartier, P.– Développements récents sur les groupes de tresses Applications à la topologie et à l’algèbre, Sém BOURBAKI, 42ème 1989-1990, n ◦ 716.
[5] C Costermans; V Hoang Ngoc Minh, Some Results à l’Abel Obtained by Use of Techniques à la Hopf, Global Integrability of Field Theories and Applications, Daresbury, 2006.
[6] C Costermans; V Hoang Ngoc Minh, Noncommutative algebra, multiple har- monic sums and applications in discrete probability, Journal of Symbolic Com- putation, 801–817, 2009.
[7] Connes A., Kreimer D.– Hopf algebras, renormalization and noncommutative geometry, Comm Math Phys., 199 (1998), pp 203–242.
[8] P Deligne, A.B Goncharov.– Groupes fondamentaux motiviques de Tate mixte, 2003.
[9] M Deneufchâtel, G H E Duchamp, Hoang Ngoc Minh,Independence of hyper- logarithms over function fields via algebraic combinatorics, 2017.
[10] Doan Quang Manh, Ngo Quoc Hoan, An extension of the Euler- MacLaurin summation formula for 2-variables, to appear, 2022.
[11] Dyson F.J.– The radiation theories of Tomonaga, Schwinger and Feynman, Phys- ical Rev, vol 75, 1949, pp 486-502.
[12] A Escasut, Ta Thi Hoai An, Classical p-adic Nevanlinna theory and Nevanlinna theory out a hole, Contemporary Mathematics, 2010.
[13] A Escasut, Value distribution in p −adic Analysis, WSCP Singapore, 2015.
[14] Feynman R.P., Hibbs A.R.– Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw- Hill, New York, (1965).
[15] Fliess, M.– Réalisation locale des systèmes non linéaires, algèbres de Lie filtrées transitives et séries génératrices non commutatives Inven Math 71(3), (1983), pp 521-537.
[16] Gerard H E Duchamp, Hoang Ngoc Minh V., Ngo Quoc Hoan, Harmonic sums and Polylogarithms at nonpositive integers multiindices, Journal of Sym- bolic Computation, 83: 166–186, 2017.
[17] G.H.E Duchamp; V Hoang Ngoc Minh; Ngo Quoc Hoan,Kleene stars of the plane, polylogarithms and symmetries, Theoretical Computer Science, (800):52–72, 2019.
[18] G.H.E Duchamp; V Hoang Ngoc Minh; V Nguyen, Towards a noncommutative Picard-Vessiot theory, in preparation, 2020.
[19] B V Drinfrl’d,On quasitriangular quasi-Hopf algebra and a group closely con- nected with Gal(Q / Q ) , Leningrad Math J , (4):829–860, 1991.
[20] J Hadamard, Théorème sur les séries entières, Acta Mathematica, 22:55– 63, 1899.
[21] D E Knuth, Johann Faulhaber and Sums of Powers, Math Comp American Mathematical Society, 61 (203): 277–294, 1992.
[22] V Hoang Ngoc Minh, Summations of polylogarithms via evaluation transform, Math & Comput Simul., 1336:707–728, 1996.
[23] V Hoang Ngoc Minh,Differential Galois groups and noncommutative generating series of polylogarithms, in Automata, Combinatorics and Geometry, 7th World Multi-conference on Systemics, Cybernetics and Informatics, Florida, 2003.
[24] V Hoang Ngoc Minh, Finite polyzêtas, Poly-Bernoulli numbers, identities of polyzêtas and noncommutative rational power series, Proc of 4th International Conference on Words, pages 232–250, 2003.
[25] V Hoang Ngoc Minh, On the solutions of universal differential equation with three singularities, Confluentes Mathematic, 11, no 2:25–64, 2019.
[26] V Hoang Ngoc Minh; G Jacob; N.E Oussous; M Petitot, Aspects combina- toires des polylogarithmes et des sommes d’Euler-Zagier, Journal électronique du Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B43e, 2000.
[27] P Montel,Leons sur les familles normales de fonctions analytiques et leurs ap- plications, Gauthier-Villars, 2010.
[28] Richard P Stanley, Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, Vol I, 1997.
[29] H H Schaefer, M P Wolff,Topological Vector Spaces, Springer-Verlag New York, 1999.
[30] D Zagier.– Values of zeta functions and their applications, in “First EuropeanCongress of Mathematics", vol 2, Birkh¨auser (1994), pp 497-512.
Công thức tổng Euler-Maclaurin, 15
Tích đối ngẫu của tích shuffle, 8
Tích đối ngẫu của tích stuffle, 9
Tổng điều hòa, 6 Đại số vi phân, 10 Đạo hàm, 10 Đồng cấu đại số, 10 Độc lập đại số, 12
An extension of the Euler- MacLaurin summation formula for 2 variables
Doan Quang Manh 1 and Ngo Quoc Hoan 1
1 Hai Phong University, 171, Phan Dang Luu, Kien An, Hai
Contributing authors: manhdq@dhhp.edu.vn; hoannq@dhhp.edu.vn;
This article presents an extension of the Euler-Maclaurin summation formula for two variables Subsequently, we apply this extension to calculate harmonic sums in negative multi-indices.
Keywords: Harmonic sums; Bernoulli polynomials; Bernoulli numbers;
The store originated from the 17th-century mathematical works of Johann Faulhaber, who demonstrated that the r-fold summation of 1/m to n/m is a polynomial in N = n(n+r) when m is a positive odd integer.
1 In fact, J Faulhaber found the formulas for m = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 [5].
Manuscript Click here to access/download;Manuscript;sn-
2 An extension of the Euler- MacLaurin summation formula for2variables
After that, some other mathematicians had studied these summations (in general cases)
Pn k=1 k m , and the results are that the sums
Pn k=1 k m can be expressed as polynomials innof degreem+1 Moreover, for anys1, , sr ∈C, we call the harmonic sum at s1, , sr and N ∈N, by
Hs 1 , ,s r(n) = X n>n 1 > >n r ≤ 1 n s 1 1 n s r r , (1) then for any s1, , sr ∈N, the harmonic sum H − s 1 , , − s r(n) is a polynomial in n of degree s1+ .+sr +r with coefficients in Q [1].
In fact, there are many way to computer the coefficients of the polynomials
H − s 1 , , − s r(n) And we can use the Euler - MacLaurin summation formula to do those works.
The Euler-Maclaurin summation formula applies to a real-valued function f(x) defined on the interval a ≤ x ≤ b, where a and b are integers This formula is relevant when f(x) is n times continuously differentiable for a positive integer n.
The n-th Bernoulli number, denoted as Bn, and the n-th Bernoulli polynomial, represented as Bn(x), are key components in the formula Bn(x)f(n)(x)dx This formula has garnered significant interest in the mathematical community, leading to various extended versions and adaptations by researchers.
This paper explores an extension of the Euler-Maclaurin summation formula for two variables (r = 2) and its application in calculating harmonic sums with negative multi-indices We focus on the implications of this formula when the function f is defined within a closed subset of R for r greater than 1.
Let’s consider a real valued function f(x) defined in an closed subset Ur ∈R r whose end points (a1, , ar) and (b1, , br) are integers coordinates This
2 Recall that the Bernoulli polynomials are well-defined by, for any x; z ∈ C ,
In specially, the free coefficients B n (0) is the n th -Bernoulli number for any n ∈ N
An extension of the Euler- MacLaurin summation formula for 2variables 3 means that
Ur ={(x1, , xr) ∈R r |ai ≤xi ≤bi,∀i= 1, , r} (4)
Suppose that f(x1, , xr) is ni−times continously differentiable on the variable xi for some integers ni ∈N + and every i∈N +
First of all, we take r= 2.
Suppose that f(x; y) is continously differentiable on U2 (n1−times on the variable x and n2−times on the variabley) for some integers n1, n2 ∈N + We have that bX2 − 1 k 2 =a 2 f(x, k2) Z b 2 a 2 f(x, y)dy + n 2
On the other hand, we have again that bX2 − 1 k 2 =a 2
4 An extension of the Euler- MacLaurin summation formula for2variables
Thus, we obtain the following proposition:
Proposition 1 For any f (x 1 , x 2 ) to be n i − times continously differentiable on U 2 for any i = 1; 2, we have b X 2 − 1 k 2 =a 2 b X 1 − 1 k 1 =a 1 f (k 1 , k 2 ) =
An extension of the Euler- MacLaurin summation formula for 2variables 5
Proposition 1 can be understood as one of forms of extensions of Euler - MacLaurin summation formula for 2-variables In special case, suppose that
∂y n 2 f(x, y) = 0 on U2 then the identity of Proposition1 will include to the following equation: bX2 − 1 k 2 =a 2 bX1 − 1 k 1 =a 1 f(k 1 , k 2 ) Z b 1 a 1
Example 1 Take f (x, y) = (x + y)y It is easily seen that
Thus, n 1 = 2, n 2 = 3 Using now the equation (6), for any N ∈ N + , we have
Thus, after some computations, we obtain that
6 An extension of the Euler- MacLaurin summation formula for2variables
3 Applications to calculate the harmonic sums at double non-positive indices
For any s1, s2 ∈ZandN ∈N, the harmonic sum Hs 1 ,s 2(N) ofN at the double index (s1, s2) is the following sum:
In the case s1, s2 ∈(Z\N), using the results of Faulhaber, we can proved that the hamonic sum Hs 1 ,s 2(N) is a polynomial of N with coefficients in Q.
Proposition 2 For any s ∈ N + and N ∈ N + , we have
Proof First of all, for any s ∈ N + and N ∈ N , we have
Using Proposition 1 and the Euler- MacLaurin summation formula, after some computations, we obtain that
An extension of the Euler- MacLaurin summation formula for 2variables 7
Assume that the function f(x1, x2) is ni−times continously differentiable on U2 = [a, b]×[a, b] ⊂ R 2 for any i = 1; 2 and a, b ∈ Z Since the Euler- MacLaurin summation formula, we have that b − 1
Put F(x) = Rx a f(x, y)dy and use the Euler- MacLaurin summation formula, we get b − 1
On the other hand, for any t= 1, , n2, we set
8 An extension of the Euler- MacLaurin summation formula for2variables n 2
Thus, the identity (10) can be rewriten that b − 1
After some computations, we obtain the following proposition:
Proposition 3 Let’s f (x, y) be n 1 , n 2 − times continously differentiable on the vari- able x, y respectively for some interger n 1 , n 2 ∈ N + For any a, b ∈ N , we have b − 1
An extension of the Euler- MacLaurin summation formula for 2variables 9
∂x n 1 F 1,t 2 (x) − F 2,t 2 (x) dx. where for any t = 1, , n 2 , the functions F 1,t (x), F 2,t (x), F 3 (x) are defined as follows:
To end this section, using Proposition 3 to the function f(x, y) = 1 x s 1 y s 2 with some s1, s2 ∈N + , we obtain
Bn 2(y) y n 2 +s 2 dy for any N ∈N + Moreover, taking n1 =s1+ 1, n2 =s2+ 1 andN ∈N + , after some direct computations, we have
This means that, for any N ∈N + ,
Example 2 Using the identity (12), for any N ∈ N + , we have