Chuyên đề Hàm số bậc nhhất

Trang PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Phương trình ẩn − bậc phương trình Ví dụ : Phương trình ẩn x a) x − = x + → bậc b) x − 3x + = → bậc hai c) x − x + 3x = → bậc ba  Bậc phương trình số mũ cao ẩn  Thay ẩn x ẩn khác ta có phương trình theo ẩn Ví dụ : Phương trình ẩn y, t, z a) y − = y + → bậc b) t − 3t + = → bậc hai c) z − z + z = → bậc ba Nghiệm phương trình − tập nghiệm phương trình Ví dụ : Trong số −3, −2, −1, 0, 1, 2, Số nghiệm phương trình sau: a) ( x − ) + ( x + 1) = x − b) t + 3t + = c) ( y − 1) − ( − y ) = ( y − ) + d) m ( m + 3) = 3m − Bài giải x ( x − ) + ( x + 1) 4x − −3 −19 −14 −2 −14 −10 −1 −9 −6 −4 −2 11 10 Vậy : Phương trình có nghiệm x = , nghĩa S = { 2} t −3 −2 −1 2 0 t + 3t + Vậy : Phương trình có hai nghiệm t = −2 , t = −1 , nghĩa S = { −2, −1} y −3 −2 −1 ( y − 1) − ( − y ) −23 −18 −13 −3 5( y − 2) + 2 −23 −18 −13 −3 12 20 2 7 Vậy : Phương trình nhận tất số −3, −2, −1, 0, 1, 2, làm nghiệm nên phương trình có nhiều nghiệm m −3 −2 −1 m ( m + 3) 11 −19 −14 −9 −4 10 −2 Vậy : Phương trình khơng nhận nhận tất số −3, −2, −1, 0, 1, 2, làm nghiệm nên có 3m − −14 −10 thể phương trình khơng có nghiệm −6 Trang Ghi nhớ :  Giá trị x = m làm cho hai vế phương trình có giá trị x = m nghiệm phương trình  Một phương trình khơng có nghiệm có một, hai, ba nghiệm có nhiều nghiệm  Tập hợp tất nghiệm phương trình gọi tập nghiệm phương trình, ký hiệu S  Phương trình khơng có nghiệm gọi phương trình vơ nghiệm, nghĩa S = φ  Phương trình nghiệm với giá trị ẩn gọi phương trình có vơ số nghiệm, nghĩa S = R Các phép biến đổi phương trình  Phép chuyển hạng tử từ vế sang vế phương trình mà đổi dấu phép biến đổi tương đương  Khi ta nhân (hoặc chia) hai vế phương trình với số ( biểu thức ) khác O phương trình tương đương  Phép bình phương, phép khai phương, phép biến đổi tỷ lệ thức phép biến đổi không tương đương LUYỆN TẬP Bài tập : Trong số −3, −2, −1, 0, 1, 2, Số nghiệm phương trình sau: a) ( x + 1) − ( − x ) = x + b) t + 4t + = c) y + − ( y + 1) = y + d) m ( m + 1) = ( m + 3) PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN Phương trình bậc ẩn a) Định nghĩa : Phương trình dạng ax + b = 0, a ≠ gọi phương trình bậc ẩn b b) Cách giải : ax + b = ⇔ ax = −b ⇔ x = − : phương trình có nghiệm a Ví dụ : Giải phương trình a) x − ( − x ) = ( x − 1) b) − x ( − x ) = x ( x + ) x − 2 ( − x) 2x + = − Bài giải a) x − ( − x ) = ( x − 1) ⇔ x − + x = x − ⇔ x = x ⇔ x = ⇔ x = b) − x ( − x ) = x ( x + ) ⇔ − x + x = x + 16 x ⇔ 22 x = ⇔ x = 22 3x − 5 x − 3x + − = − ⇔ 10 ( x − ) − ( x − ) = ( x + ) − 4.20 c) 32 ⇔ 30 x − 50 − 25 x + 10 = 12 x + − 80 ⇔ x = 32 ⇔ x = c) 3x − 5 x − 3x + − = −4 d) x + + Trang x − 2 ( − x) 2x + ⇔ 30 ( x + 1) + 15 ( x − ) = 12 ( − x ) − ( x + ) = − ⇔ 30 x + 30 + 15 x − 30 = 12 − 12 x − 10 x − 15 ⇔ 67 x = −3 ⇔ x = − 67 Ví dụ : Giải phương trình 4x −1 x ( x + 1) ( x − 3) − 3x − = 0,5 x + = −3 a) b) 3 x +1 x + x + x + 109 − x 107 − x 105 − x 103 − x + = + + + + +4=0 c) d) 99 98 97 96 91 93 95 97 Bài giải 4x −1 x x 4x −1 x = −3⇔ + = − ⇔ 35 x + 14 ( x − 1) = 10 x − 70 a) 0,5 x + 7 56 ⇔ 35 x + 56 x − 14 = 10 x − 70 ⇔ 81x = −56 ⇔ x = − 81 ( x + 1) ( x − 3) − 3x − = ⇔ ( x + 1) ( x − 3) − ( 3x − ) = 2.5 b) 3 2 ⇔ x − 15 x − − x + = 10 ⇔ −15 x = 15 ⇔ x = −1 x +1 x + x + x + x +1 x+2 x+3 x+4 + = + +1+ +1 = +1+ +1 c) ⇔ 99 98 97 96 99 98 97 96 x + + 99 x + + 98 x + + 97 x + + 96 x + 100 x + 100 x + 100 x + 100 + = + + = + ⇔ ⇔ 99 98 97 96 99 98 97 96 1   ⇔ ( x + 100 )  + − − ÷ = ⇔ x = −100  99 98 97 96  109 − x 107 − x 105 − x 103 − x + + + +4=0 d) 91 93 95 97 109 − x 107 − x 105 − x 103 − x +1+ +1+ +1+ +1 = ⇔ 91 93 95 97 200 − x 200 − x 200 − x 200 − x + + + = ⇔ x = 200 ⇔ 91 93 95 97 Phương trình tích A ( x ) B ( x ) = ⇔ A ( x ) = B ( x ) = Ví dụ : Giải phương trình a) ( x − 1) ( − x ) = b) ( 1,3 x − 2,6 ) ( 0, − x ) = d) x + + c) ( − x ) ( x + x + 1) = d) ( x − ) ( − x ) ( x + 1) = Bài giải x = b) ( 1,3 x − 2,6 ) ( 0, − x ) = ⇔ 1,3 x − 2,6 = 0, − x = ⇔ x = x = 0, a) ( x − 1) ( − x ) = ⇔ x − = − x = ⇔ x = Trang 2 c) ( − x ) ( x + x + 1) = ⇔ ( − x ) ( x + 1) = ⇔ − x = ( x + 1) = x = −1 d) ( x − ) ( − x ) ( x + 1) = ⇔ x − = − x = x + = ⇔ x = x = x = − Ví dụ : Giải phương trình a) ( x − 3) ( x + 1) = ( x − 3) ( x − ) b) − x = ( x + ) ( x − ) ⇔ x= d) ( x − 1) ( x + 3) = x + x − c) x − x = f) x + x − = ( x − 1) ( x − 1) e) x + x + = h) ( x − x + ) = ( x − ) g) ( x − 3) − ( x + 1) = 2 2 Bài giải a) ( x − 3) ( x + 1) = ( x − 3) ( x − ) ⇔ ( x − 3) ( x + − x + ) = ⇔ ( x − 3) ( − x ) = ⇔ x − = − x = ⇔ x = b) − x = ( x + ) ( x − ) ⇔ ( − x ) ( + x ) = ( x + ) ( x − ) ⇔ ( x + ) ( x − + x − ) = ⇔ x + = x − = ⇔ x = −2 x = d) ( x − 1) ( x + 3) = x + x − ⇔ x + x − = x + x − ⇔ x + x = ⇔ x ( x + 3) = ⇔ x = x = −3 e) x + x + = ⇔ x + x + x + = ⇔ x ( x + 1) + ( x + 1) = c) x − x = ⇔ x ( x − ) = ⇔ x = x = ⇔ ( x + 1) ( x + ) = ⇔ x = −1 x = −2 f) x + x − = ( x − 1) ( x − 1) ⇔ x + x − = x − x + ⇔ x − x + = ⇔ x − x − x + = ⇔ x ( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = ⇔ x = x = 2 g) ( x − 3) − ( x + 1) = ⇔ ( x − 3) − ( x + 1)  ( x − 3) + ( x + 1)  =     2 = ⇔ ( x − 5x + − x + 5) ( x − x + + x − 5) = ⇔ ( x − − x − 1) ( x − + x + 1) = ⇔ ( x − ) ( x − ) = ⇔ x = x = e) ( x − x + ) − ( x − ) 2 2 ⇔ ( x − x + 12 ) ( x − 3x + ) = ⇔ x − x + 12 = x − x + = ⇔ ( x − 3) ( x − ) = ( x − 1) ( x − ) = ⇔ x = , x = , x = , x = Ghi nhớ 1: Trang  Phương trình dạng ( ax + bx + c ) = ( mx + nx + p ) ( ax 2 + bx + c ) − ( mx + nx + p ) = sử dụng đẳng thức 2 a − b = ( a − b ) ( a + b ) để biến thành phương trình tích  Phương trình bậc hai ax + bx + c = có nghiệm x = m đa thức ax + bx + c phân tích thành tích ( x − m ) nhân với đa thức bậc  Phương trình bậc ba ax + bx + cx + d = có nghiệm x = m đa thức bậc ba ax + bx + cx + d phân tích thành tích ( x − m ) nhân với đa thức bậc hai  Các giá trị x = m thường : 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3 Ghi nhớ : Khi gặp phương trình bậc hai ax + bx + c = khơng dị nghiệm x = m ta biến đổi sau : 2  b c  b   b  c  b ax + bx + c = ⇔ a  x + x + ÷ = ⇔ a  x + x +  ÷ −  ÷ + ÷ =  a a a  a   2a  a ÷    2  b  b − 4ac   = ⇔ a  x + ÷ − 2a  4a         b − 4ac b  b − 4ac  >0 ⇒ x+ ÷ − > : Phương trình bậc hai b − 4ac < ⇒ − 4a 2a  4a  ax + bx + c = vô nghiệm b b − 4ac b   = ⇒  x + ÷ = ⇔ x = − : Phương trình bậc hai b − 4ac = ⇒ − 2a 4a 2a   ax + bx + c = có nghiệm kép  b  b − 4ac  b − 4ac > ⇒ a  x + ÷ − =0 ⇔ b − 4ac > ⇒ 2a  4a  4a    2      x + b  −  b − 4ac ÷  = áp dụng đẳng thức a − b = ( a − b ) ( a + b ) a  ÷ ÷  2a   2a     để biến đổi phương trình tích :  b   b − 4ac    b   b − 4ac    x +    x + ÷+  − ÷ ÷ = ÷ ÷   ÷ 2a   2a 2a   2a         Khi phương trình bậc hai ax + bx + c = có hai nghiệm phân biệt : −b − b − 4ac −b + b − 4ac x = 2a 2a Ví dụ : Giải phương trình a) x + x + = b) x + x + = c) x + 14 x − = x= Trang Bài giải a) x + x + = ⇔ x + x + + = ⇔ ( x + 1) + = : phương trình vô nghiệm 2 2  1 1   2 4 x + x +  ÷ ÷= ⇔  x +  = b) x + x + = ⇔  x + x + ÷ = ⇔   ÷ 4 2 ÷ 2     ⇔ x = − : Phương trình có nghiệm kép 2  14 5 7 7 5  14 x +  ÷ −  ÷ − ÷= c) x + 14 x − = ⇔  x + x − ÷ = ⇔  x +  2.3 3  3  3 3÷    2 2     49 15   64  7 8  −  = ⇔  x + ÷ −  = ⇔  x + ÷ −  ÷  = ⇔  x + ÷ − 3 9 3 9 3 3                    1  ⇔  x + ÷−  ÷  x + ÷+  ÷ = ⇔  x − ÷( x + ) = ⇔ x = x = −5         3   Ví dụ : Giải phương trình a) x − x − x = b) x + x + x + = 2 c) x − x = − x d) ( x − 1) ( x + 3) = x + x − Bài giải a) x − x − x = ⇔ x ( x − 3x − 1) = ⇔ x = x − x − = ⇔ x = x − x + x − = ⇔ x = x ( x − 1) + ( x − 1) = 2 b) x + x + x + = ⇔ x ( x + 1) + ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x + 1) = ⇔ x = −1 ⇔ x = ( x − 1) ( x + 1) = ⇔ x = x = x = c) x − x = − x ⇔ x − x + x − = ⇔ ( x − 1) − x ( x − 1) = 2 ⇔ ( x − 1) ( x + x + 1) − x ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x + x + 1) = ⇔ ( x − 1) ( x + 1) = ⇔ x = x = −1 2 d) ( x − 1) ( x + 3) = x + x − ⇔ x + 3x − x − = x + x − ⇔ x3 − x − x + = ⇔ x3 − x − x + x − x + = 2 ⇔ x ( x − 1) − x ( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − x − ) = ⇔ ( x − 1) ( x − x + x − ) = ⇔ ( x − 1)  x ( x − 3) + ( x − 3)  =   ⇔ ( x − 1) ( x − 3) ( x + ) = ⇔ x = x = x = −2 Phương trình chứa ẩn mẫu Cách giải :  Tìm điều kiện xác định phương trình  Quy đồng mẫu thức phương trình bỏ mẫu thức  Giải phương trình vừa nhận Trang  So sánh giá trị ẩn vừa tìm, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho Ví dụ : Giải phương trình x−3 x2 − =4 = x+ a) b) x+2 x 2 ( x − ) ( x − 3) − 2x − x +x=2 c) d) − =3 x+3 x+2 x+3 Bài giải x−3 =4 a) x+2 Vì x + = ⇔ x = phương trình khơng xác định nên điều kiện xác định x ≠ x−3 11 = ⇒ x − = x + ⇔ x = −11 ⇔ x = − x+2 11 Nghiệm x = − thỏa mãn điều kiện x ≠ nên nghiệm phương trình cho x2 − = x+ b) x Điều kiện x ≠ x2 − = x + ⇒ 2x2 − = x2 + 5x ⇔ x = − x Nghiệm x = − thỏa mãn khác O nên nghiệm phương trình cho 5 ( x − ) ( x − 3) c) − =3 x+2 x+3 Điều kiện x ≠ −2 x ≠ −3 ( x − ) ( x − 3) − = ⇒ ( x − ) ( x + 3) − ( x − 3) ( x + ) = ( x + ) ( x + ) x+2 x+3 2 ⇔ ( x + x − 6) − ( x − x − 6) = 3( x + 5x + 6) ⇔ x + x − 30 − x + x + 12 = x + 15 x + 18 ⇔ x = −36 ⇔ x = −9 ⇔ x = − Nghiệm x = − thỏa mãn điều kiện nên phương trình cho có nghiệm − 2x − x2 +x=2 d) x+3 Điều kiện x ≠ −3 − 2x − x2 + x = ⇒ − x − x + x + 3x = x + ⇔ x = −3 x+3 Nghiệm x = −3 không thỏa mãn điều kiện, phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ : Giải phương trình Trang − =0 x −4 x + x−6 = 2x −1 c) 3x + 2 1  1  e)  x + + ÷ =  x − − ÷ x  x  a) x −1 2x −1 − = x x +1 x + x x+9 2x + = d) − x −1 x −1 x + x + b) Bài giải − =0 x2 − x + x − Điều kiện x − ≠ x + x − ≠ ⇔ x ≠ x ≠ −2 x ≠ −3 − = ⇒ x2 + x − − 2x2 + = ⇔ x2 − x − = ⇔ x2 − 2x + x − = x −4 x + x−6 ⇔ x ( x − ) + ( x − ) = ⇔ ( x − ) ( x + 1) = ⇔ x = x = −1 Giá trị x = không thỏa mãn điều kiện nên phương trình có nghiệm x = −1 x −1 2x −1 − = b) x x +1 x + x Điều kiện x ≠ x ≠ −1 x −1 2x −1 − = ⇒ ( x − 1) ( x + 1) − x = x − ⇔ x − − x − x + = x x +1 x + x ⇔ x − 3x = ⇔ x ( x − 3) = ⇔ x = x = Giá trị x = khơng thỏa mãn nên phương trình có nghiệm = 2x −1 c) 3x + 2 Điều kiện x + ≠ ⇔ x ≠ − = x − ⇒ x + x − = ⇔ x − x + x − = ⇔ x ( x − 1) + ( x − 1) = 3x + ⇔ ( x − 1) ( x + ) = ⇔ x = x = − : phương trình có hai nghiệm x+9 2x + = d) − x −1 x −1 x + x + Điều kiện x ≠ x+9 2x 1− + = ⇒ x − − ( x + x + 1) + x + = x ( x − 1) x −1 x −1 x + x + ⇔ x3 − − x − x − + x + − x + x = ⇔ x3 − x + x + = ⇔ x + x − x − x + x + = ⇔ x ( x + 1) − x ( x + 1) + ( x + 1) = a) 2 ⇔ ( x + 1) ( x − x + ) = ⇔ ( x + 1)  x − x − x +  =   ⇔ ( x + 1)  x ( x − ) − ( x − )  = ⇔   ( x + 1) ( x − ) ( x − 3) = Trang ⇔ x = −1 x = x = 2 1  1  e)  x + + ÷ =  x − − ÷ x  x  Điều kiện x ≠ 2 2 1  1 1  1    x +1 + ÷ =  x −1 − ÷ ⇔  x +1 + ÷ −  x −1 − ÷ = x  x x  x   2       ⇔  x + 1 + ÷ −  x −  + ÷ =   x    x                ⇔   x +  + ÷ −  x − 1 + ÷    x + 1 + ÷ +  x −  + ÷  =   x    x     x    x   1  1 1   ⇔  x + + − x + +  x + + + x − −  = ⇔  x + ÷.2 x = x x  x x x   x +1 = ⇔ x = x + = ⇔ x = x x Vì x = khơng thỏa mãn điều kiện nên phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ : Giải phương trình ( Phương pháp đặt ẩn phụ ) 1 a) ( x + 1) + x + = b) x + = x + x x Bài giải a) ( x + 1) + x + = ta nhận thấy dựa vào ẩn phụ y = x + nên ta biến đổi ( x + 1) + x + = ⇔ ( x + 1) + x + + = ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) + = Đặt y = x + ta y + y + = ta thấy phương trình có nghiệm y = −1 nên ta biến đổi sau : y + y + y + = ⇔ y ( y + 1) + ( y + 1) = ⇔ ( y + 1) ( y + 1) = 2 ⇔ y = −1 y = −  y = −1 ⇒ x + = −1 ⇔ x = −1 1 3  y = − ⇒ 2x + = − ⇔ 2x = − ⇔ x = − 2 1 b) x + = x + x x Điều kiện x ≠ 1 1 Đặt y = x + suy y = x + 2.x + ⇒ x + = y − x x x x 2 Phương trình cho trở thành y = y − ⇔ y − y − = ⇔ y + y − y − = ⇔ y ( y + 1) − ( y + 1) = ⇔ ( y + 1) ( y − ) = ⇔ y = −1 y = Trở lại với ẩn x : Trang 10 = −1 ⇔ x + x + = : phương trình vơ nghiệm x y = ⇒ x + = ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = x Vậy phương trình cho có nghiệm x = Phương trình có hệ số chữ Giải biện luận phương trình : ax + b = , (1)  Biến đổi phương trình dạng ax = −b , (1)  Nếu a = phương trình (1) có dạng : 0.x = −b ; o Nếu b = phương trình có vơ số nghiệm x o Nếu b ≠ phương trình vơ nghiệm y = −1 ⇒ x + b  Nếu a ≠ phương trình có nghiệm x = − a Ví dụ : Giải biện luận phương trình a) m ( x − 1) = x + b) m ( mx − 3) = ( x + 3) c) m ( − mx ) = x + a)   b) d) ( mx − 3) = m ( 3x − m ) Bài giải m ( x − 1) = x + ⇔ 2mx − m = x + ⇔ 2mx − x = m + ⇔ ( 2m − 1) x = m + 1 Nếu 2m − = ⇔ m = (a) có dạng : 0.x = + phương trình vô nghiệm 2 m+3 Nếu 2m − ≠ ⇔ m ≠ phương trình (a) có nghiệm x = 2m − m ( mx − 3) = ( x + 3) ⇔ m x − 3m = x + ⇔ ( m − ) x = 3m + ⇔ ( m − 2) ( m + 2) x = 3( m + 2) m − =  Nếu ( m − ) ( m + ) = ⇔  ⇔ m + = o m = (b) có dạng 0.x = ( + )  m1 =  m = −2 :  nên phương trình cho vơ nghiệm o m = −2 (b) có dạng 0.x = ( − ) nên phương trình cho có vơ số nghiệm m ≠  Nếu ( m − ) ( m + ) ≠ ⇔  phương trình (a) có nghiệm m ≠ −2 x= 3( m + 2) = ( m − 2) ( m + 2) m − 2 c) m ( − mx ) = x + ⇔ 2m − m x = x + ⇔ ( m + 1) x = 2m − 2m − Vì m + ≠ 0, ∀m nên phương trình ln có nghiệm x = m +1 d) ( mx − 3) = m ( x − m ) ⇔ 3mx − = 3mx − m ⇔ 0.x = − m Ta có : − m = ⇔ ( − m ) ( + m ) = ⇔ m1 = ; m2 = −3 Trang 25  m + ≠ m ≠ −1 m +1 m +1 ≠ ⇔ x + 3,5 hàm số bậc ⇔ m −1 m −1 m − ≠ m ≠  m ≠ −1 m +1 x + 3,5 hàm số bậc Vậy với  hàm số y = m −1 m ≠ Ví dụ : Với giá trị m hàm số sau hàm số bậc ? 2 a) y = ( − m ) x + b) y = ( m + m − ) x + 3m − Bài giải a) y = ( − m ) x + hàm số bậc − m ≠ ⇔ ( − m ) ( + m ) ≠ ⇔ m ≠ 2, m ≠ −2 c) y = Vậy với m ≠ ±2 hàm số y = ( − m ) x + hàm số bậc b) y = ( m + m − ) x + 3m − hàm số bậc m + m − ≠ ⇔ ( m − 1) ( m + ) ≠ ⇔ m ≠ 1, m ≠ −2 Vậy với m ≠ 1, m ≠ −2 hàm số y = ( m + m − ) x + 3m − hàm số bậc Ví dụ : Cho hàm số y = f ( x ) = ax, a ≠ a) Nghiệm lại hệ thức f ( kx1 ) = kf ( x1 ) f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) b) Các hệ thức với hàm số y = f ( x ) = ax + b; a, b ≠ ? Bài giải a) Vì y = f ( x ) = ax, a ≠ nên f ( kx1 ) = a ( kx1 ) = k ( ax1 ) = kf ( x1 ) ; f ( x1 + x2 ) = a ( x1 + x2 ) = ax1 + ax2 = f ( x1 ) + f ( x2 ) b) Xét y = f ( x ) = ax + b, a ≠ ta có f ( kx1 ) = a ( kx1 ) + b = k ( ax1 ) + b ≠ k ( ax1 + b ) = kf ( x1 ) đẳng thức khơng cịn cho hàm số y = f ( x ) = ax + b, a ≠ ; Tương tự đẳng thức f ( x1 + x2 ) = a ( x1 + x2 ) = ax1 + ax2 = f ( x1 ) + f ( x2 ) khơng cịn Ví dụ : Cho hàm số bậc y = − x − ( ) a) Hàm số đồng biến hay nghịch biến R ? Vì ? b) Tính giá trị hàm số y biến x = + b) Tính giá trị biến x y = Bài giải a) Vì hàm số bậc y = − x − có hệ số a = − < nên hàm số nghịch biến ( ( ) )( ) b) Khi biến x = + y = − + − = 12 − ( ) ( ) ( 5) − = −5 b) Khi y = − x − = ⇔ − x = − ⇔ x = Ví dụ : Với giá trị m hàm số sau đồng biến, nghịch biến ? a) y = ( m − ) x + b) y = ( − 2m ) x + m − c) y = ( m + m − ) x + ( ) d) y = m + m − − m x − 2m + Bài giải Trang 26 a) Hàm số y = ( m − ) x + đồng biến m − > ⇔ m > ; Hàm số y = ( m − ) x + nghịch biến m − < ⇔ m < Hàm số y = ( − 2m ) x + m − nghịch biến − 2m < ⇔ 2m > ⇔ m > 2 c) Hàm số y = ( m + m − ) x + đồng biến m + m − > ⇔ ( m − ) ( m + 3) > b) Hàm số y = ( − 2m ) x + m − đồng biến − 2m > ⇔ 2m < ⇔ m < m − > m − < ⇔   m + > m + < m − > m > c1)  ⇔ ⇔ m > m + > m > −3 m − < c2)  ⇔ m + < m < ⇔ m < −3  m < −3 m − > c3)  ⇔ m + < m − < c4)  ⇔ m + > m > vô nghiệm  m < −3 m < ⇔ −3 < m <  m > −3 Hàm số y = ( m + m − ) x + nghịch biến m + m − < ⇔ ( m − ) ( m + 3) < m − > m − < ⇔   m + < m + > ( ) d) Hàm số y = m + m − − m x − 2m + đồng biến m + m − − m > ⇔m ( ) 3+m − ( ) ( )( ) 3+m >0⇔ m+ m− >0 m + >  ⇔  m − >  m + <   m − <  m + >  d1)  ⇔ m − >  m > −  ⇔ m>  m >  m + <  d2)  ⇔ m − <  m < −  ⇔ m  ⇔  m − <  m + <   m − >  Trang 27 m + >  d3)  ⇔ m− −  ⇔ − 3  Đồ thị m < −  vô nghiệm  m >  Muốn vẽ đồ thị hàm số bậc y = ax + b, a ≠ ta thường xác định hai điểm đặc biệt giao điểm với hai trục tọa độ  Giao điểm với trục tung Oy : cho x = tìm y = b b  Giao điểm với trục hoành Ox : cho y = , giải ph trình bậc ax + b = ⇒ x = − a Ví dụ : Vẽ đồ thị hàm số : a) y = x − Bài giải b) y = − x a) x = ⇒ y = 2.0 − = −3 ; cho y = ⇒ x − = ⇔ x = b) x = ⇒ y = − = ; cho y = ⇒ − x = ⇔ x = Ví dụ : Vẽ hệ trục tọa độ, đồ thị hàm số : y = x y = x So sánh có kết luận ? Bài giải Nếu a < b :  Khi x > ⇒ đồ thị hàm số y = ax, a ≠ nằm phía đồ thị hàm số y = bx, b ≠  Khi x < ⇒ đồ thị hàm số y = ax, a ≠ nằm phía đồ thị hàm số y = bx, b ≠ Ví dụ : Vẽ hệ trục tọa độ, đồ thị hàm số : y = 3x y =− x So sánh có kết luận ? Bài giải Đồ thị hàm số y = ax, a ≠ đồ thị hàm số y = − x hai đường a thẳng vng góc với Hệ số góc đường thẳng ♦ Gọi α góc tạo đường thẳng ( d ) : y = ax + b, a ≠ trục hồnh Ox : ♦ Khi ta gọi : a = tgα hệ số góc đường thẳng ( d ) Trang 28 Hệ : Cho hai đường thẳng ( d1 ) : y = a1 x + b1 , a1 ≠ ( d ) : y = a2 x + b2 , a2 ≠ 1) ( d1 ) song song ( d ) ⇔ a1 = a2 b1 ≠ b2 2) 3) ( d1 ) ( d1 ) trùng ( d ) ⇔ a1 = a2 b1 = b2 cắt ( d ) ⇔ a1 ≠ a2 Đặc biệt ( d1 ) vng góc ( d ) ⇔ a1.a2 = −1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Phương trình bậc hai ẩn Phương trình bậc hai ẩn x, y hệ thức dạng : ax + by = c , a, b khơng đồng thời O Phương trình bậc hai ẩn x, y ln ln có vơ số nghiệm :  x = x0 ∈ R  y = y0 ∈ R     c a c b  y = b − b x0  x = a − a y0   Ghi nhớ : Đường biểu diễn tập nghiệm phương trình ax + by = c a b khơng đồng thời đường thẳng Ví dụ 1: Viết nghiệm tổng quát vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình sau : a) x + y = b) x − y = c) x − y = d) x − y = e) 0.x + y = 10 f) x + y = 12 Bài giải  x = x0 ∈ R  x = x0 ∈ R  a) x + y = ⇔  b) x − y = ⇔   y = x0 −  y = − x0   x = x0 ∈ R  y = y0 ∈ R  y = y0 ∈ R   c) x − y = ⇔  d) x − y = ⇔  ⇔ y = x0 − x = x0 −  x = x0 −   3    x = x0 ∈ R  y = y0 ∈ R e) 0.x + y = 10 ⇔  f) x + y = 12 ⇔  y = x = Hệ phương trình bậc hai ẩn a1 x + b1 y = c1 Hệ phương trình bậc hai ẩn x, y :  , (I) a2 x + b2 y = c2 Ví dụ : Kiểm tra cặp số sau có nghiệm hệ phương trình tương ứng hay khơng : 7 x − y = −53 10 x + y = a) ( −4;5 )  b) ( 1,5;2 )  −2 x + y = 53 −5 x + 1,5 y = −4,5 0, x + 1,7 y = −18,1 3 x + y = −6 5 x + y = c) ( 3; −11)  d) ( 2; −3)  e) ( 1;8 )  3, x − y = 20,6 2 x − y = 20  x − 14 y = Bài giải 7 x − y = ( −4 ) − 5.5 = −28 − 25 = −53  a) ( −4;5 ) ⇒  nên ( −4;5 ) nghiệm hệ pt −2 x + y = −2 ( −4 ) + 9.5 = + 45 = 53  Trang 29 10 x + y = 10.1,5 + 3.2 = 21 ≠ b) ( 1,5;2 ) ⇒  nên ( 1,5;2 ) không nghiệm hệ pt −5 x + 1,5 y = −4,5  0, x + 1,7 y = 0, 2.3 + 1,7 ( −11) = 3,7 = −18,1  c) ( 3; −11) ⇒  nên ( 3; −11) nghiệm hệ 3, x − y = 3, 2.3 − ( −11) = 20,6  3 x + y = 3.2 + ( −3) = −6  d) ( 2; −3) ⇒  nên ( 2; −3) không nghiệm hệ 2 x − y = 2.2 − 5.(−3) = 19 ≠ 20  5 x + y = 5.1 + 2.8 = 21 ≠ e) ( 1;8 ) ⇒  nên ( 1;8 ) không nghiệm hệ pt x − 14 y =  Phương pháp giải hệ phương trình bậc hai ẩn a1 x + b1 y = c1 Hệ : Hệ phương trình bậc hai ẩn x, y  a2 x + b2 y = c2 a1 b1 c1 = ≠ 1) Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔ a2 b2 c2 a1 b1 c1 = = 2) Hệ phương trình có vơ số nghiệm ⇔ a2 b2 c2 a1 b1 ≠ 3) Hệ phương trình có nghiệm ⇔ a2 b2 Ví dụ : Cho phương trình x − y = a) Hãy cho thêm phương trình bậc hai ẩn x, y để hệ có nghiệm b) Hãy cho thêm phương trình bậc hai ẩn x, y để hệ vô nghiệm c) Hãy cho thêm phương trình bậc hai ẩn x, y để hệ có vơ số nghiệm Bài giải 3 x − y = 3 x − y = 3 x − y = a)  b)  c)  x + y = 6 x − y = 6 x − y = 10 a) Phương pháp Quy tắc : Rút hai ẩn từ hai phương trình hệ phương trình Thế ẩn vừa rút vào phương trình thứ hệ hệ phương trình x = f ( y) a1 x + b1 y = c1  ⇔ , (I)  a2 x + b2 y = c2 a2 f ( y ) + b2 y = c2  Ghi nhớ : Thường chọn ẩn có chứa hệ số hệ số ước hệ số tự c Ví dụ : Giải hệ phương trình 2 x − y = 4 x − y = 4 x − y = −6 x − y = a)  b)  c)  d)  x + y = 3 x − y = 16 −2 x + y = 3 x − y = Bài giải Trang 30  y = 2x − 2 x − y =  y = 2x − x =  a)  ⇔  ⇔  ⇔   x + ( x − ) = 5 x = 10 x + y = y =1   x − y = 4 x − ( x − 16 ) = −11x = −77  x =  b)  ⇔  ⇔ ⇔ 3 x − y = 16  y = 3x − 16  y = 3x − 16  y =   x = x0 ∈ R 4 x − y = −6 4 x − ( x + 3) = −6 4 x − ( x + 3) = −6 0.x =   c)  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  y = 2x +  y = 2x + −2 x + y =  y = x +  y = x0 +    x − y =  x = 10 x = y + d)  ⇔ ⇔ 3 x − y = 3 ( y + 3) − y =  y =  Ví dụ : Giải hệ phương trình  − x − 3y = + x + y = 3 x − y = 11   a)  b)  c)  4 x − y = x + 3y = 1− 4 x + y = −   ( ) ( ) x  −1 x − y = x − y =  =   e)  y f)  g)   x + y − 10 =  x + y = x + y +1 =    Bài giải y + 11  y + 11 y + 11   x = 3 x − y = 11 x =  x = x = 3 ⇔ a)  ⇔  ⇔  ⇔  y + 11 4 x − y = y = 4 − y = 8 y + 44 − 15 y = 7 y = 35      −5 x = x = − y x + y = x = − y     b)  ⇔  ⇔  ⇔  x + 3y = 1−  − y 5 + 3y = 1− 2 y = −  y = −       − x − 3y = +  − x − − − 4x = +   c)  ⇔  4 x + y = −  y = − − 4x    14 − x = 14 −  x =   ⇔  ⇔   y = −2   y = − − 4x  + 2y  + 2y + 2y x y   x = 3 x − y =   − =1 x = x = 3 d)  ⇔  ⇔ ⇔  ⇔  5 x − y = 5 + y − y = 30 + 10 y − 24 y = 14 y = 21 5 x − y =      x y  − =1 d)  5 x − y =  ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) Trang 31  6+2  x = x =  ⇔  ⇔  y=    y =  x  x = 10 − y  =  e)  y ⇔  ⇔ 3 ( 10 − y ) = y   x + y − 10 =   x = 10 − =  y =  x = − y x = − +1 x − y =  − y − y =     f)  ⇔ ⇔ ⇔  y= −1 x + y =  x = − y    +1 y=    x =  ⇔  −1 y =   −1 x − y =  g)  x + y +1 =  x + 3y =  Bài tập : Giải hệ phương trình  , trường hợp sau : ( a + 1) x + y = 2a  a) a = −1 ; b) a = ; c) a = Bài tập : 2 x + by = −4 a) Xác định hệ số a, b biết hệ phương trình  có nghiệm ( 1; −2 ) bx − ay = −5 ( ) ( ( ( ( ) ) ( ) ) ) 3ax − ( b + 1) y = 93  b) Xác định hệ số a, b biết hệ phương trình  có nghiệm ( 1; −5 ) bx + 4ay = −3  ( a − ) x + 5by = 25  c) Xác định hệ số a, b biết hệ phương trình  có nghiệm ( 3; −1) 2ax − ( b − ) y =  b) Phương pháp cộng đại số Quy tắc : Tìm cách làm cho hệ số ẩn đối Cộng trừ vế tương ứng hai phương trình hệ phương trình Hệ phương trình cũ tương đương với hệ phương trình gồm phương trình kết hợp với hai phương trình cũ a1 x + b1 y = c1 a1 x + b1 y = c1  ⇔ , a2 ± a1 = b2 ± b1 =  a2 x + b2 y = c2 ( a2 ± a1 ) x + ( b2 ± b1 ) y = c2 − c1   Trang 32 Ví dụ : Giải hệ phương trình 2 x + y = 4 x + y = a)  b)  2 x − y = 2 x + y = 2 x + y = −2 c)  3 x − y = −3 Bài giải 0,3 x + 0,5 y = d)  1,5 x − y = 1,5 8 x = x = 2 x + y =   a)  ⇔ ⇔ 2 x − y =  y = x  y = 3    − y − ( −2 ) 4 x + y = 4 x + y =  x = x = = b)  ⇔ ⇔ ⇔ 2 2 x + y = 4 x + y =  y = −2  y = −2  13 x = −13 2 x + y = −2 4 x + y = −4   x = −1 c)  ⇔ ⇔ 3x + ⇔  3 x − y = −3 9 x − y = −9  y = y =  − 0,5 y  − 0,5.3  =5 0,3 x + 0,5 y = 1,5 x + 2,5 y = 15  x = x = 0,3 ⇔  0,3 d)  ⇔ ⇔ 1,5 x − y = 1,5 1,5 x − y = 1,5 4,5 y = 13,5  y =   Bài tâp 1: Giải hệ phương trình  2x + 3y = x − 3y = 5 x + y = 2    a)  b)  c)  2 x + y = −2 x − y = 3 x − y =     1+ x + 1− y = 3 x − y = 15 −   d)  e)  −2 x + y = 18  1+ x + 1+ y =   y 1   2x x − y =1  x − + y −1 =  x +1 + y +1 =    f)  g)  h)  3 + =  − =1  x + y = −1 x y  x − y −1  x +1 y +1    Bài tập : Giải hệ phương trình 5 ( x + y ) = x − ( x + y ) ( x − 1) = ( x − y ) ( x + 1) + xy   a)  b)  2 x + = ( x − y ) − 12 ( y − x ) ( y + 1) = ( y + x ) ( y − ) − xy   ( ( ) ( ) ( ) ) ( x − 3) ( y + ) = ( x + ) ( y − 1)  c)  ( x + 1) ( y − ) = ( x − 1) ( y + )  4 x − ( y + 1) = ( x − 3)  d)  3 ( x + ) = ( y − 1) − x  Trang 33 1 15  x + y =  x − y =9  x +1 + x − y =    g)  h)  g)  1 − =  + = 35  − = −3 x y x y x+ y x− y       x − y + x + y = −2  x − y + − x + y − = 4,5   i)  k)    − = 21 + =4  3x + y x − y  x − y + x + y −1   x + 3y =  Bài tập : Giải hệ phương trình  ( a + 1) x + y = 2a , trường hợp sau :   a) a = −1 ; b) a = ; c) a = 2 x + by = −4 Bài tập : a) Xác định hệ số a, b biết hệ phương trình  có nghiệm bx − ay = −5 ( 1; −2 ) b) ( ) − 1; x − y = Bài tập : Tìm giá trị a để hệ phương trình   ax − y = x + y = a Bài tập : Giải biện luận hệ phương trình  ; 3 x + y = 12 có nghiệm dương 5 x − ( m + ) y = 4n   x + ( − m) y = n +  Ví dụ : Tìm giá trị a, b để hai đường thẳng ( d1 ) : ( 3a − 1) x + 2by = 56 ( d ) : ax − ( 3b + ) y = cắt điểm M ( 2; −5 ) Ví dụ : Tìm giá trị a, b : 3  a) Để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A ( −5;3) , B  ; −1÷ 2  a) Để đường thẳng ax − y = b qua điểm M ( 9; −6 ) qua giao điểm hai đường thẳng ( d1 ) : x + y = 17 , ( d1 ) : x − 10 y = 14 a1 x + b1 y = c1  Nghiệm chung hệ phương trình : a2 x + b2 y = c2 a x + b y = c 3  a1 x + b1 y = c1 Cách giải : Chọn phương trình hệ để lập hệ phương trình  , a2 x + b2 y = c2 giải hệ phương trình này, giả sử tìm nghiệm ( x0 ; y0 ) Trang 34 Nếu ( x0 ; y0 ) nghiệm phương trình cịn lại a3 x + b3 y = c3 ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ Nếu ( x0 ; y0 ) khơng nghiệm phương trình cịn lại a3 x + b3 y = c3 hệ cho vô nghiệm 3 x + y = 34 6 x − y = −49   Ví dụ : Tìm nghiệm hệ : a) 4 x − y = −13 b) −3 x + y = 22 5 x − y = 7 x + y = 10   Trang 35 GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bước Lập hệ phương trình :  Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;  Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn số đại lượng biết;  Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước Giải hệ phương trình Bước Trả lời :  Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn số, nghiệm không  Dựa vào để kết luận BÀI TỐN VỀ TỶ SỐ số sách ngăn Nếu thêm 25 vào ngăn trên, bớt 15 ngăn số sách ngăn số sách ngăn Tính số sách ngăn lúc ban đầu Bài giải Gọi số sách ngăn x , (cuốn), điều kiện x ∈ N Gọi số sách ngăn y , (cuốn), điều kiện y ∈ N  y = 5x  x = 15  Theo ta có hệ phương trình  x + 25 ⇔   y − 15 =  y = 75  Trả lời : lúc ban đầu ngăn có 15 sách, ngăn có 75 sách Ví dụ : Tìm hai số biết tổng chúng 156, lấy số lớn chia cho số nhỏ thương 6, số dư Bài giải Gọi số lớn x , số nhỏ y  x + y = 156  x = 135 Theo ta có hệ phương trình  ⇔ x = y +  y = 21 Trả lời : hai số phải tìm 135 21 Ví dụ : Hai anh A B góp vốn kinh doanh Anh A góp 15 triệu đồng, anh B góp 13 triệu đồng Sau thời gian lãi triệu đồng Lãi chia theo tỷ lệ vốn góp Em dùng cách giải lập hệ phương trình để tính tiền lãi mà anh hưởng Bài giải Gọi số lãi mà anh A, anh B hưởng : x, y ; điều kiện x > y > x + y =  x = 3,75  Theo ta có hệ phương trình :  x y ⇔  y = 3, 25 15 = 13  Ví dụ : Tủ A có hai ngăn sách, số sách ngăn Trang 36 Vậy anh A hưởng 3,75 triệu đồng, anh B hưởng 3,25 triệu đồng tiền lãi Ví dụ : Sáng bạn Lan bạn Anh siêu thị mua hàng Bạn Lan mua trứng gà trứng vịt hết 10000 đ Bạn Anh mua trứng gà trứng vịt hết 9600 đ Hỏi giá trứng loại ? Bài giải x; y , (đ); điều kiện x > 0, y > Gọi giá trứng gà, vịt : 5 x + y = 10000  x = 1100 Theo ta có hệ phương trình :  ⇔ 3 x + y = 9600  y = 900 Vậy giá trứng gà 110 đ, trứng vịt 900 đ BÀI TỐN VỀ SỐ VÀ CÁC CHỮ SỐ Ví dụ : Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết tổng chữ số 8, đổi vị trí hai chữ số cho số tự nhiên giảm 36 đơn vị Bài giải x , điều kiện < x ≤ ; Gọi chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị y , điều kiện ≤ y ≤  x = x + y = Theo ta có hệ phương trình  ⇔ ( 10 x + y ) − ( 10 y + x ) = 36  y =  Trả lời : Số phải tìm : 62 Ví dụ : Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị viết xen chữ số vào hai chữ số hàng chục hàng đơn vị số tự nhiên tăng thêm 630 đơn vị Bài giải x , điều kiện x ∈ N * , < x ≤ ; Gọi chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị y , điều kiện y ∈ N * ,0 < y ≤  x = x − y = Theo ta có hệ phương trình  ⇔ ( 10 x + y ) − ( 10 y + x ) = 630  y =  Trả lời : Số phải tìm : 75 Ví dụ : Tổng số 59, hai lần số bé ba lần số Tìm hai số Bài giải x, y Cách : Gọi hai số phải tìm  x = 59 − y  x + y = 59  x = 25  Theo ta có hệ phương trình :  ⇔ ⇔ 3 x − y = 3 ( 59 − y ) − y =  y = 34  Vậy hai số cần tìm : 34, 25 Cách : Gọi x hai số phải tìm, số thứ phải tìm : 59 − x Theo ta có phương trình : x = ( 59 − x ) − Giải phương trình x = ( 59 − x ) − ⇔ x = 3.59 − ⇔ x = 34 Vậy hai số cần tìm : 34, 25 Cách gọn cách lập phương trình khó ! Trang 37 Ví dụ : Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số cho 54 Tổng số cho số tạo thành 88 Tìm số cho ? Bài giải Gọi số cho gồm hai chữ số : ab = 10a + b , điều kiện a, b ∈ N * ; a, b ≤ Khi hốn vị hai chữ số ta có số : ba = 10b + a  10b + a − ( 10a + b ) = 54 a = Theo ta có hệ phương trình :  ⇔ 10a + b + 10b + a = 88 b =  Vậy hai số phải tìm 17, 71 Bài tập : Cho số có hai chữ số Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số cho 45 Tổng số cho số tạo thành 99 Tìm số cho ? BÀI TỐN VỀ TÍNH PHẦN TRĂM Ví dụ : Hai xí nghiệp phải làm tổng cộng 360 dụng cụ Xí nghiệp I vượt mức kế hoạch 12%, xí nghiệp II vượt mức kế hoạch 10%, hai xí nghiệp làm tổng cộng 400 dụng cụ Tính số dụng cụ mà xí nghiệp phải làm theo kế hoạch Bài giải Gọi dụng cụ xí nghiệp I, II phải làm theo kế hoạch x , y ; điều kiện x, y ≥  x + y = 360  x = 200  Theo ta có hệ phương trình  12 ⇔ 10 100 x + 100 y = 400 − 360  y = 160  Trả lời : Số dụng cụ làm theo kế hoạch xí nghiệp I 200, II 160 BÀI TỐN VỀ CHUYỂN ĐỘNG Ví dụ : Một canô từ A đến B với vận tốc thời gian dự định Nếu canô tăng vận tốc thêm 3km/h thời gian rút ngắn Nếu canô giảm vận tốc 3km/h thời gian tăng thêm Tính vận tốc thời gian dự định Bài giải x , (km/h); điều kiện x ≥ ; Gọi vận tốc dự định canô Thời gian dự định y , (giờ); điều kiện y ≥ ( x + 3) ( y − ) = xy  x = 15  Theo ta có hệ phương trình  ⇔ ( x − 3) ( y + 3) = xy  y = 12  Trả lời : Dự định vận tốc 15 km/h thời gian 12 Ví dụ : Từ bến xe Sài gòn đến bến xe Dầu giây cánh 65 km Xe khách bến xe Sài gòn, xe hàng bến xe Dầu giây ngược chiều xe khách khởi hành sau xe hàng 36 phút, sau xe khách khởi hành 24 phút gặp xe hàng Nếu hai xe khởi hành đồng thời Hà nội sau 13 hai xe gặp Tính vận tốc xe, biết xe khách nhanh xe hàng Bài giải x , (km/h), điều kiện x > Gọi vận tốc xe khách : Gọi vận tốc xe hàng : y , (km/h), điều kiện y > Mà 24 phút Trang 38 2  x = 50  x + y = 65 Theo ta có hệ phương trình :  ⇔ 13 x − 13 y = 65  y = 45  Vậy vận tốc xe khách 50 km/h, xe hàng : 45 km/h BÀI TỐN VỀ TÌM THỜI GIAN MỖI ĐỐI TƯỢNG HỒN THÀNH CƠNG VIỆC ĐỂ Ví dụ : Hai máy bơm bơm nước vào bể 12 phút nước đầy bể Nếu máy I bơm 10 phút, máy II bơm phút bể nước Tính thời gian máy 10 bơm bơm đầy bể ? Bài giải Gọi thời gian máy I bơm đầy bể nước x , (phút), điều kiện : x > Gọi thời gian máy II bơm đầy bể nước y , (phút), điều kiện : y > 1 1  x + y = 12  x = 20  Theo ta có phương trình :  ⇔  y = 30 10 + =  x y 10  Trả lời : máy I bơn hết 20 phút, máy II hết 30 phút Ví dụ : Hai công nhân sơn trét tường cho nhà ngày xong cơng việc Nếu người thứ làm ngày người thứ hai đến làm tiếp ngày xong cơng việc Hỏi người làm xong việc ? Bài giải Gọi thời gian người thứ làm xong việc : x , (ngày), điều kiện x > Gọi thời gian người thứ hai làm xong việc : y , (ngày), điều kiện y > 1 1  x + y =  x = 12  Theo ta có hệ phương trình :  ⇔ 10 + =  y = x y  Vậy thời gian người thứ hồn thành công việc : 12 ngày; Thời gian người thứ hai hồn thành cơng việc : ngày Ví dụ : Bảy năm trước tuổi mẹ năm lần tuổi cộng thêm Năm tuổi mẹ lần tuổi Hỏi năm người tuổi ? Bài giải Gọi tuổi x , điều kiện x > Tuổi mẹ 3x Theo ta có phương trình : x − = ( x − ) + Giải phương trình x − = ( x − ) + ⇔ x = 35 − − ⇔ x = 12 Vậy tuổi 12, tuổi mẹ 36 Trang 39 Ví dụ : Trong phịng học có số bàn ghế Nếu xếp bàn học sinh cịn học sinh khơng có chỗ ngồi Nếu xếp bàn học sinh thừa bàn Hỏi lớp có bàn học sinh ? Bài giải x số bàn có phòng học, điều kiện x ∈ N * Gọi Gọi y số bàn có phịng học, điều kiện y ∈ N * , y > x BÀI TỐN VỀ HÌNH HỌC Ví dụ : Cho hình vng ABCD cạnh y, ( cm ) Điểm E thuộc cạnh AB, điểm G thuộc cạnh AD cho AG = AD + EB Dựng hình chữ nhật GAEF, đặt EB = x, ( cm ) Tính x, y để diện tích hình chữ nhật diện tích ình vng ngũ giác ABCFG có chu vi 100 + 13, ( cm ) Bài giải Theo giả thiết EB = x, ( cm ) , điều kiện x > Ta có : AE = y − x, ( cm ) AG = AD + DG = y + EB = y + 3x, ( cm ) Diện tích hình chữ nhật GAEF : AE AG = ( y − x ) ( y + 3x ) Theo ta có : ( y − x ) ( y + 3x ) = y ⇔ xy − x = ⇔ y − x = , x > ( Mặt khác FC = EB + DG = x + x = x 13 Do chu vi ngũ giác ABCFG : y + x 13 + ( y − x ) + x = x + 13 + y ( ) ) Theo ta có : x + 13 + y = 100 + 13  y − 6x = x =  Nên ta có hệ phương trình :  ⇔  x + 13 + y = 100 + 13  y = 24  2  x = 50  x + y = 65 Theo ta có hệ phương trình :  ⇔ 13 x − 13 y = 65  y = 45  Vậy x = 4, ( cm ) y = 24, ( cm ) ( ) ... ; HÀM SỐ BẬC NHẤT Khái niệm hàm số bậc Hàm số bậc hàm số xác định công thức y = ax + b , a, b hai số thực cho trước a ≠ Tính chất  Hàm số bậc y = ax + b, a ≠ xác định với giá trị x ∈ R  Hàm. .. + 2m − hàm số bậc m − ≠ ⇔ m ≠ Vậy với m ≠ hàm số y = ( m − ) ( x + ) hàm số bậc b) y = − m ( x − 1) = − mx − − m hsố bậc − m ≠ ⇔ − m > ⇔ m < Vậy với m < hàm số y = − m ( x − 1) hàm số bậc Trang... x = − x hàm số bậc với a = −2, b = 2 f) y = x − x ( x + 1) = x − x − x = − x hàm số bậc với a = −1, b = x2 + g) y = x + = không hàm số bậc x x Ví dụ : Với giá trị m hàm số sau hàm số bậc ? m