BÀI TẬP ÔN SỐ PHỨC

Bài tập 1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a. ;)1()1( 22 ii −−+ b. i i i i + − + − 2 1 3 c. ; 1 .2 1 7 7       − i i i d. ( ) ( )( ) i iii i i 1 32321 1 1 10 2 +−++−+       − + 2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: a. ; 2 31 1 2 i i z i i + +− = − + b. ( ) ( ) ;0 2 1 .32 =       +++− i izizi c. ;0|| 2 =+ zz d. 0 2 2 =+ zz ; 3. a. Các điểm A, B, C và A’, B’, C’ trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số 1 – i, 2 +3i, 3 + i và 3i, 3 – 2i, 3 + 2i. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm. b. Biết các số phức z 1 , z 2 , z 3 biểu diễn bởi 3 đỉnh nào đó của một hình bình hành trong mặt phẳng phức, hãy tìm số biểu diển bởi đỉnh còn lại 4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau: a. ;4|3| =++ zz b. ;2|1| =−+− izz c. ( ) ( ) ziz +−2 là số ảo tùy ý; d. |;2|||2 izziz +−=− 5. Các vectơ >−>− ',uu trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’. a. Chứng minh rằng tích vô hướng ( ) '.'. 2 1 '. zzzzuu += >−>− ; b. Chứng minh rằng >−>− ',uu vuông góc khi và chỉ khi .|'||'| zzzz −=+ 6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn ,k iz z = − (k là số thực dương cho trước). 7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời 1 1 = − − iz z và .1 3 = + − iz iz 8. Tìm số phức z thỏa mãn 1 4 =       − + iz iz 9. Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau: a. i341+− b. i564 + c. i621−− 10. Giải các phương trình sau trên C : a. ( ) ( )( ) 01 32 =++− izziz b. ( ) ( ) .0124 2 2 2 =−+++ zzzz 11. Tìm các số thực a, b để có phân tích ( ) ( ) bazzzzzz ++−=−+− 223 1251492 Rồi giải phương trình sau trên C : ;051492 23 =−+− zzz 12. Giải các phương trình sau trên C : a. 01 2 2 34 =+++− z z zz bằng cách đặt ẩn số phụ z zw 1 −= ; b. ( ) ( ) 0363263 22 2 2 =−+++++ zzzzzz 13. Giải hệ phương trình hai ẩn phức 21 , zz sau : GV biên soạn: Hoa Hoàng Tuyên GV biên soạn: Hoa Hoàng Tuyên    −=+ +=+ izz izz 25 4 2 2 2 1 21 14. Giải hệ phương trình hai ẩn phức 21 , zz sau :    +−=+ −−= izz izz 25 55 2 2 2 1 21 15. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau : a. ;322 i+− b. 4 sin 4 cos ππ i− c. ; 8 cos 8 sin ππ i−− d. ϕϕ cossin1 i+− ; 2 0       << π ϕ 16. Cho 2 số phức khác 0 là )sin(cos ϕϕ irz += và ),'sin'(cos'' ϕϕ irz += ).',,',( Rrr ∈ ϕϕ Tìm điều kiện cần và đủ về ',,', ϕϕ rr để '.zz = 17. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau : a. Một acgumen của z – (1+2i) bằng 6 π b. Một acgumen của z + i bằng một acgument của z – 1. 18. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau: a. ( ) ;31 3 sin 3 cos 7 5 iii +       − ππ b. ( ) ( ) 9 10 3 1 i i + + ; c. 2000 2000 1 z z + biết rằng .1 1 =+ z z 19. Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau: a. 2 sin2sin 2 ϕ ϕ i+ b. )sin1(cos ϕϕ ++i 20. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số phức z sao cho 2 2 + − z z có một acgumen bằng 3 π 21. Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một acgumen của z là ϕ , hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau : a. 2 2z ; b. ; 2 1 z − c. ; z z d. zz 2 − ; e. zz + ; f. zz + 2 ; g. zz − 2 ; h. zz + 2 . 22. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức n i i         − − 33 33 là số thực, là số ảo? 23. Cho A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số i)33(4 ++ ; i)33(2 ++ ; i31 + ; i + 3 . Chứng minh rằng 4 điểm đó cùng nằm trên một đường tròn? 24. a. Cho ϕϕ sincos iz += ( R∈ ϕ ). Chứng minh rằng với mọi số nguyên 1≥n , ta có ϕ n z z n n cos2 1 =+ ; ϕ ni z z n n sin2 1 =− . b. Từ câu a. chứng minh rằng ( ) ( ) .sin103sin55sin 16 1 sin ,32cos44cos 8 1 cos 5 4 ϕϕϕϕ ϕϕϕ +−= ++= 25. Tìm dạng lượng giác của các căn bậc hai của các số phức sau: a. ;sincos ϕϕ i− b. ϕϕ cossin i+ ; c. .cossin ϕϕ i− với R∈ ϕ cho trước. GV biên soạn: Hoa Hoàng Tuyên GV biên soạn: Hoa Hoàng Tuyên . vuông góc khi và chỉ khi .|'||'| zzzz −=+ 6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn ,k iz z = − (k là số thực dương cho trước). 7. Tìm số phức. đó của một hình bình hành trong mặt phẳng phức, hãy tìm số biểu diển bởi đỉnh còn lại 4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn điều kiện sau: a. ;4|3| =++. 2 sin2sin 2 ϕ ϕ i+ b. )sin1(cos ϕϕ ++i 20. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số phức z sao cho 2 2 + − z z có một acgumen bằng 3 π 21. Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một acgumen