Báo cáo bài tập lớn giải tích 1 Đề 11 tìm hiểu về Ứng dụng của tích phân trong tính Áp suất thủy tĩnh và lực thủy tĩnh tham khảo phần 5 6, so tan, single variable caculus (2010)

ĐỀ TÀI BÁO CÁO ĐỀ 11: Tìm hiểu về ứng dụng của tích phân trong tính áp suất thủy tĩnh và lực thủy tĩnh.. Định nghĩa tích phân thông qua tổng Riemann Tích phân của một hàm số ?? liên tục

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA



BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

LỚP: L05 NHÓM: 11 HK241

Giảng viên hướng dẫn: Trần Ngọc Diễm

Thành phố Hồ Chí Minh – 2024

ĐỀ TÀI BÁO CÁO

ĐỀ 11: Tìm hiểu về ứng dụng của tích phân trong tính áp suất thủy tĩnh và lực thủy tĩnh Tham khảo phần 5.6, So Tan, Single Variable Caculus (2010)

BÁO CÁO DANH SÁCH THÀNH VIÊN NHÓM 11

1 Dương Minh Duy 2410485 Báo cáo, tìm kiếm lý thuyết 100%

2 Lương Quốc Bảo 2410248 Báo cáo, tìm kiếm lý thuyết 100%

3 Ngô Khôi Nguyên 2412344 Tìm kiếm lý thuyết và ví dụ 100%

4 Nguyễn Nhật Quang 2412834 Tìm kiếm lý thuyết và ví dụ 100%

5 Ong Hữu Tùng 2413880 Báo cáo, tìm kiếm lý thuyết 100%

6 Phạm Quang Tiến 2413487 Tổng hợp, lấy ví dụ và giải 100%

7 Võ Mạnh Gia Bảo 2410313 Tìm kiếm lý thuyết và ví dụ 100%

NHẬN XÉT VÀ CHẤM ĐIỂM CỦA GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

PHẦN NỘI DUNG 2

1 Định nghĩa tích phân thông qua tổng Riemann 2

2 Ví dụ 3

3 Định lý cơ bản của giải tích 3

4 Công thức Newton-Leibnitz 3

II ĐỊNH NGHĨA LỰC THỦY TĨNH VÀ ÁP SUẤT THỦY TĨNH 4

1 Lực thủy tĩnh 4

2 Áp suất thủy tĩnh 4

3 Sự khác nhau giữa lực thủy tĩnh và áp suất thủy tĩnh 4

III CÁC BƯỚC CẦN THIẾT CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH LỰC THỦY TĨNH VÀ ÁP SUẤT THỦY TĨNH 5

IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍCH LỰC THỦY TĨNH VÀ ÁP SUẤT THỦY TĨNH THÔNG QUA CÁC MÔ HÌNH 5

PHẦN KẾT LUẬN 11

PHẦN MỞ ĐẦU

Lời đầu tiên, chúng em xin chân thành cảm ơn cô Diễm đã giảng dạy và truyền đạt cho chúng em những kiến thức quý báu, hữu ích và hỗ trợ cho chúng

em trong suốt quá trình thực hiện bài báo cáo Trong suốt quá trình thực hiện, nhóm chúng em đã có thêm nhiều kinh nghiệm và kiến thức mới dưới sự chỉ dẫn của cô và đây chắc chắn là những kiến thức và kinh nghiệm quý báu, là hành trang cho chúng em sau này

Giải tích 1 là môn học đại cương đóng vai trò nền tảng và cực kì quan trọng đối với nhóm em nói riêng và toàn thể sinh viên Trường Đại học Bách Khoa TPHCM nói chung, đặc biệt là những sinh viên học các ngành khối khoa học kỹ thuật - công nghệ Vì thế, bọn em đã dành cho môn học này một khối lượng thời gian khá đáng kể và thực hành là điều cần thiết để nhóm em có cơ

sở vững chắc về học phần và làm tiền đề cho các môn chuyên ngành tiếp theo của bọn em

Có lẽ kiến thức là vô hạn mà sự tiếp thu kiến thức của bản thân mỗi người luôn tồn tại những hạn chế nhất định Bởi vì sự hạn chế ấy và còn bỡ ngỡ nên trong quá trình hoàn thành bài báo cáo, mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng chắc chắn bài tập lớn Giải tích 1 lần này khó có thể tránh khỏi những thiếu sót Nhóm chúng em rất mong nhận được những góp ý đến từ cô để bài tập lớn của chúng em được hoàn thiện hơn!

Kính chúc cô sức khỏe, hạnh phúc và thành công trên con đường sự nghiệp giảng dạy!

PHẦN NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa tích phân thông qua tổng Riemann

Tích phân của một hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎, 𝑏] có thể được định nghĩa bằng cách sử dụng tổng Riemann như sau:

- Chia đoạn [𝑎, 𝑏] thành 𝑛 phần nhỏ không giao nhau bởi các điểm chia

𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏

Độ dài của mỗi khoảng được ký hiệu là Δ𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 (i = 1, 2, …, n)

- Trên mỗi khoảng con [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], chọn một điểm bất kỳ 𝑥𝑖∗∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖] Điểm

𝑥𝑖 ∗ này được gọi là điểm mẫu, và giá trị hàm số tại điểm mẫu 𝑓(𝑥𝑖∗) sẽ đại diện cho giá trị của hàm số trên đoạn nhỏ đó

- Tổng Riemann:

Xây dựng tổng Riemann bằng cách cộng tất cả các tích 𝑓(𝑥𝑖 ∗)Δ𝑥𝑖 lại với nhau:

𝑆𝑛= ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗)Δ𝑥𝑖

𝑛−1

𝑖=0

Tổng 𝑆𝑛 là tổng Riemann của 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑎, 𝑏] và là một phép xấp

xỉ diện tích dưới đường cong 𝑦 = 𝑓(𝑥)

- Giới hạn của tổng Riemann:

Khi số lượng khoảng con 𝑛 → ∞ và độ dài mỗi đoạn con Δ𝑥𝑖 → 0, tổng Riemann (𝑆𝑛) sẽ hội tụ về một giá trị nhất định nếu hàm số 𝑓(𝑥) liên tục trên đoạn [𝑎, 𝑏] Giá trị giới hạn này, nếu tồn tại, được gọi là tích phân của hàm số 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑎, 𝑏]:

∫ 𝑓(𝑥)

𝑏 𝑎

𝑑𝑥 = lim

𝑛→∞∑ 𝑓(𝑥𝑖 ∗)Δ𝑥𝑖

𝑛−1

𝑖=0

Như vậy, tích phân xác định của 𝑓(𝑥) trên [𝑎, 𝑏] là giới hạn của tổng Riemann khi số lượng đoạn chia tiến tới vô hạn, cung cấp một cách định nghĩa chính xác diện tích dưới đồ thị của hàm số

2 Ví dụ

nhỏ, 𝛥𝑥𝑖 = 0.2 và 𝑥𝑖 ∗=𝑥𝑖+𝑥𝑖−1

2

3 Định lý cơ bản của giải tích

Định lý cơ bản của giải tích liên kết phép lấy tích phân và đạo hàm Định lý này

có hai phần:

Phần 1: Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) trên (a, b], thì:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 = F(b) - F(a)

Phần 2: Nếu ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑎𝑥 thì F' (x) = f (x)

Định lý này cho thấy rằng tích phân của đạo hàm của một hàm số là chính hàm số

đó, và việc tính tích phân có thể thực hiện thông qua các nguyên hàm

4 Công thức Newton-Leibnitz

Công thức Newton-Leibnitz là một kết quả quan trọng của định lý cơ bản, cho phép tính tích phân xác định bằng cách tìm các giá trị của nguyên hàm tại hai điểm giới hạn

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏 = F(b) - F(a) Đây là cách tính nhanh tích phân xác định khi ta biết nguyên hàm của hàm số f (x)

II ĐỊNH NGHĨA LỰC THỦY TĨNH VÀ ÁP SUẤT THỦY TĨNH

1 Lực thủy tĩnh

- Lực thủy tĩnh là lực do áp suất của chất lỏng tác dụng lên một vật thể hoặc

bề mặt khi chất lỏng ở trạng thái tĩnh

- Công thức tính lực thủy tĩnh tác dụng lên một bề mặt phẳng:

F = pA

- Trong đó:

F: Lực thủy tĩnh (N)

p: Áp suất tác dụng lên bề mặt (Pa)

A: Diện tích bề mặt tiếp xúc (m2)

2 Áp suất thủy tĩnh

- Áp suất thủy tĩnh tại độ sâu h trong chất lỏng được tính bởi công thức:

P = 𝝆𝒈𝒉

- Trong đó:

𝜌: Khối lượng riêng của chất lỏng (kg/m³)

g : Gia tốc trọng trường ( 9,81 m/s2 )

h : Độ sâu tính từ mặt thoáng chất lỏng đến điểm tính áp suất (m)

3 Sự khác nhau giữa lực thủy tĩnh và áp suất thủy tĩnh

- Áp suất thủy tĩnh là một đại lượng cường độ (áp lực trên một đơn vị diện tích), được đo bằng Pascal (Pa)

- Lực thủy tĩnh là lực tổng cộng mà áp suất tác dụng lên một diện tích nhất định, được đo bằng Newton (N)

Điều đó được thể hiện qua khái niêm, công thức, đơn vị đo đã nêu trên

III CÁC BƯỚC CẦN THIẾT CHO MỘT BÀI TOÁN TÍNH LỰC THỦY TĨNH VÀ ÁP SUẤT THỦY TĨNH

1 Xác định các thông số ban đầu:

◦ Xác định khối lượng riêng của chất lỏng (𝜌), gia tốc trọng trường (g), và chiều cao của cột chất lỏng (h)

◦ Nếu cần tính trên một bề mặt phẳng, xác định diện tích bề mặt (A)

2 Lập biểu thức áp suất thủy tĩnh:

◦ Áp suất thủy tĩnh tại một độ sâu nhất định được tính bằng công thức: P = 𝜌𝑔ℎ

◦ Nếu độ sâu thay đổi, có thể cần dùng tích phân để tính áp suất theo độ sâu

3 Tính lực thủy tĩnh:

◦ Nếu áp suất thủy tĩnh đồng nhất, lực thủy tĩnh tác dụng lên bề mặt phẳng là: F

= pA

◦ Nếu áp suất thay đổi theo độ sâu hoặc bề mặt không phẳng, áp dụng tích phân

để tính lực thủy tĩnh: F = ∫ 𝑷𝒅𝑨𝑺

4 Thực hiện tính toán:

◦ Thay các giá trị vào các công thức để tính toán áp suất và lực thủy tĩnh

◦ Kiểm tra và đảm bảo đơn vị đúng để có kết quả chính xác

5 Kiểm tra kết quả:

• Kiểm tra lại các bước và kết quả để đảm bảo không có sai sót trong quá trình tính toán

IV ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍCH LỰC THỦY TĨNH VÀ ÁP SUẤT THỦY TĨNH THÔNG QUA CÁC MÔ HÌNH

Bài 1 Xác định lực thủy tĩnh tác dụng lên tấm tam giác đặt chìm trong nước như hình

vẽ

Chọn trục Ox hướng xuống với gốc tọa độ tại bề mặt chất lỏng và x=4 ứng với độ sâu của đỉnh tam giác

Sau đó ta chia tấm tam giác thành i đoạn ngang hình chữ nhật với chiều rộng

mỗi đoạn là dx, chiều dài w sao cho ứng với mỗi đoạn áp suất tại mọi điểm là giống nhau như hình vẽ

Áp dụng tam giác đồng dạng để xác định a, ta có:

𝑃 = 𝑎

4 − 𝑥=

3 4

→ 𝑎 =3

4 ( 4 − 𝑥) Vậy chiều dài của đoạn ngang hình chữ nhật: 𝑤 =3

2(4 − 𝑥)

𝐹 = ∫ 𝜌𝑔ℎ ×3

2

4 0

(4 − 𝑥)𝑑𝑥

= 1000.9,81 ∫ 3

2𝑥(4 − 𝑥)𝑑𝑥

4 0

= 156960 𝑁

Bài 2 Tính lực thủy tĩnh và áp suất thủy tĩnh tại độ sâu 10m của tấm bìa như hình sau,

khi ta có 𝜌 = 1000𝑘𝑔/𝑚3

Đặt hệ trục Oxy sao cho tâm O trùng với tâm hình chữ nhật:

Sau đó, ta chia tấm bìa thành i đoạn nằm ngang hình chữ nhật với chiều rộng là

dy sao cho ứng với mỗi đoạn áp suất tại mọi điểm là như nhau

Độ sâu của đoạn nằm ngang bất kì: ℎ = 10 − 𝑦 ; 𝑦 ∈ [−2; 2]

Vậy lực thủy tĩnh tác dụng lên tấm bìa:

𝐹 = ∫ 𝑝𝑔ℎ4𝑑𝑦

2

−2

= ∫ 𝜌𝑔4(10 − 𝑦)𝑑𝑦

2

−2

= 1000.9,81.160

= 1569600 𝑁

𝑃 = 𝜌𝑔ℎ = 1000.9,81.10 = 98100 𝑃𝑎

Bài 3 Tính lực thủy tĩnh và áp suất thủy tĩnh tại độ sâu 12m ở tấm bìa như hình bên,

khi ta có 𝜌 = 1000𝑘𝑔/𝑚3

Đặt hệ trục 𝑂𝑥𝑦 trùng với tâm hình vuông Sau đó, chia tấm bìa đoạn nằm ngang hình chữ nhật với chiều rộng làm sao cho ứng với mỗi đoạn áp suất tại mọi điểm là như nhau

Độ sâu của đoạn nằm ngang bất kì 𝑑 = 15 − 𝑦; 𝑦 ∈ [−2,5; 2,5]

Vậy lực thủy tĩnh tác dụng lên tấm bìa

𝐹 = ∫ 𝜌𝑔ℎ5 𝑑𝑦 = 𝜌𝑔 ∫ (15 − 𝑦) 5𝑑𝑦 = 1000.9,8.375 = 3675000 𝑁

2,5

−2,5

2,5

−2,5

𝑃 = 𝜌𝑔ℎ = 1000.9.81.12 = 117720 𝑃𝑎

Bài 4 Một cột nước có mật độ thay đổi theo độ sâu với công thức 𝜌(ℎ) = 1000 + 10ℎ ( với h tính bằng mét) Tính áp suất tại đáy cột nước cao h= 5m

Giải: Áp suất thủy tĩnh tại độ sâu h = 5m

𝑃 = ∫ 𝜌(ℎ)𝑔 𝑑ℎ = ∫ (1000 + 10ℎ) 9,8 𝑑ℎ = 50225

5 0

ℎ 0

𝑃𝑎

Bài 5 Một ống dẫn nước nằm ở độ sâu ℎ = 50𝑚 dưới lòng đất và chứa đầy nước ngầm (mật độ 𝑝 = 1000𝑘𝑔/𝑚3) Tính áp suất tác dụng lên thành ống dẫn nước ở độ sâu này Cho 𝑔 = 9,8𝑚/𝑠2

Giải: Áp suất thủy tĩnh tại độ sâu h = 50m

𝑃 = 𝜌𝑔ℎ = 1000.9,8.50 = 490000 𝑃𝑎

V TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHẦN KẾT LUẬN

Trong quá trình làm bài tập này, nhóm em đã tự phân công và làm đúng phần việc của mình rất nghiêm túc và chỉn chu Các thành viên còn hỗ trợ, giúp

đỡ nhau rất nhiều Điều này giúp chúng em tăng khả năng làm việc nhóm, có thêm kiến thức về các công cụ soạn thảo, lập trình và tăng khả năng xử lý, tìm kiếm thông tin Ngoài ra còn giúp bọn em hứng thú với môn học thông qua một

ví dụ vô cùng thực tế và thú vị của phương pháp tính trong thực tiễn

Cuối cùng, chúng em muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến tất cả bạn trong nhóm đã dành thời gian đọc và nghiên cứu về chủ đề này cùng nhau chúng em hy vọng rằng bạn sẽ tiếp tục khám phá và áp dụng kiến thức này trong những lĩnh vực mới, tạo ra những đóng góp đáng kể cho cộng đồng và xã hội

Nhóm em xin chân thành cảm ơn … - giáo viên hướng dẫn chúng em hoàn thành bài tập lớn này!