Bài Tập Cơ Học Ứng Dụng (Tóm Tắt Lý Thuyết, Hướng Dẫn Và Giải Mẫu, Bài Tập Và Trả Lời) - Nguyễn Nhật Lệ, Nguyễn Văn Vượng.pdf

Phương trình chuyển động : biểu diễn sự liên hệ giữa tọa độ của điểm theo thời gian hình 1-1 Nếu khử thời gian t ở phương trình chuyển động và tim được quan hệ các tọa độ, ta nhận được

HU VIEN DH NHA TRANG

oN

3000016458

PGS TS NGUYEN NHAT LỆ - PGS TS NGUYỄN VĂN VƯỢNG

BAI TAP

CO HOC UNG DUNG

®

* Tóm tắt lý thuyết

* Hướng dẫn và giải mẫu

* Bài tap va tra loi

605

GD - 04

Lời nói đầu

Cuốn BÀI TẬP CƠ HỌC ỨNG DỤNG này được biên soạn ngắn gon, dùng làm tài liệu học môn CƠ HỌC đối uới sinh uiên đại học, cao đẳng thuộc các trường đại học kỹ thuội

Trong mỗi chương đêu có các phần : Cơ sở lý thuyết, hướng dẫn áp dụng, những bời giải mẫu uà bài tập Cuối sách có phần trả lời các bài tập

Cùng uới quyển bai tập này lò quyển CƠ HỌC ỨNG DỤNG (phân

ly thuyết do GS.TSKH Đỗ Sanh uà PGS.TS Nguyễn Văn Vượng

biên soạn

Chúng tôi chân thành cám ơn GS.TSKH Đỗ Sanh đã đọc, góp ý cho bản thảo uà cám ơn các đồng nghiệp trong Bộ môn Cơ học ứng dụng của trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã đóng góp nhiều ý biến

uề nội dung của cuốn sách

Chúng tôi mong nhận được những góp ý, nhận xét, phê bình của các đồng nghiệp uà bạn đọc để quyển sách sẽ được hoàn thiện hơn trong lần xuất bản sau Các ý kiến xin gửi uê Nhà xuất bản Giáo dục 8i Trần Hưng Đạo Hà Nội hoặc Bộ môn Cơ học ứng dụng - trường Dai hoc Bách bhoa Hà Nội

Các tác giả

1 Phương trình chuyển động : biểu diễn sự liên hệ giữa

tọa độ của điểm theo thời gian (hình 1-1)

Nếu khử thời gian t ở phương trình chuyển động và tim

được quan hệ các tọa độ, ta nhận được phương trình quỹ đạo

của điểm

a Si ee | 2 ay dar pe es xe “ hư

Suy ra hình chiếu của ÿ trên các trục tọa dO: vy =%; Vy =¥; vz, =7

Nếu ÿ.ä = 0,Vt : chuyển động đều

2) Phương pháp tọa độ tự nhiên

Khi biết quỹ đạo, chọn gốc Mụ và chiều dương Vị trí của điểm M được xác định bởi tọa

độ cong của điểm trên quỹ đạo 8 = MM (hinh 1-2)

1 Phương trình chuyển động theo quỹ đạo

Biểu diễn sự liên hệ giữa tọa độ cong theo thời gian :

2 Vận tốc : Vectơ vận tốc ÿ có phương tiếp tuyến với

quỹ đạo, chiều phụ thuộc Š:

5 >0: ÿ hướng theo chiều dương của quỹ đạo

Š <0: ÿ hướng theo chiều âm của quỹ đạo

Trị số v = IS], 6 day Š = = ; 4 và ñ là các vectơ đơn

vị của tiếp tuyến và pháp tuyến tại M (hình 1-3)

3 Gia tốc : Vectơ gia tốc ä có hai thành phần : gia tốc

tiếp tuyến ã! và gia tốc pháp tuyến ä* (không có thành

ä =ã'+ ấn

ea" = ¬ - hướng vào tâm cong của quỹ đạo và có trị số a” = s (1-7)

2

day S = có

dt

a= Ka)? +(aty?

4 Tính chất chuyển động Xét tích vô hướng ÿ a’: (1-9)

Nếu ÿ.ä! > 0 : chuyển động nhanh dần

Nếu ÿ.ã! < 0 : chuyển động chậm dần

5 Các chuyển động đặc biệt

a) Chuyển động đều v = const

Suy ra a'=0; S=v.t (chú ý : a” z0) (1-10)

b) Chuyển động biến đổi đều: a` = const = y

Khi chọn gốc quỹ đạo ở vị trí đầu, chiều dương của quỹ đạo theo chiều chuyển động của

điểm thì :

dấu (+) ứng với chuyển động nhanh dần đều, dấu (—) ứng với chuyển động chậm dần đều

§1-2 HƯỚNG DẪN ÁP DỤNG

1) Các loại bài toán

I Tìm phương trình chuyển động, tìm các đặc trưng của chuyển động như : quỹ đạo, vận, tốc, gia tốc và tính chất của chuyển động

H Bài toán tổng hợp, dùng cả hai phương pháp (tọa độ Đề các và tọa độ tự nhiên) trong một bài toán

2) Phương pháp giải bài toán

1 Chọn phương pháp : Tùy theo đầu bài mà chọn phương pháp tọa độ Đề các hay tọa độ

tự nhiên Phương pháp tọa độ tự nhiên được dùng khi đã biết quỹ đạo của điểm

2 Tìm phương trình chuyển động

* Xét điểm ở vị trí bất kỳ Tìm quan hệ giữa các đại lượng định vị theo thời gian t

* Nếu biết gia tốc thì dùng phép tích phân, nhận được vận tốc, tích phân lần: nữa ta

nhận được phương trình chuyển động

* Nếu biết chuyển động của điểm là đều hay biến đổi đều ta viết phương trình chuyển

5 Tìm bán kính cong quỹ đạo

Áp dụng (1-7) Nếu bài toán cho ở dạng tọa độ Đề các, thì cần phải chuyển sang tọa độ

§1-3 NHỮNG BÀI GIẢI MẪU:

1) Tìm phương trình chuyển động và các đặc trưng của

chuyển động

Thí dụ 1—1 : (Phương pháp tọa độ Đề các, bài toán thuận)

Cơ cấu tay quay — con trugt OAB cé OA = AB = 3b Tay quay OA quay quanh O theo quy luật = kt làm cho con trượt B chuyển động theo rãnh ngang Tìm phương trình chuyển

động, quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của điểm B và điểm M (MB = b) Xét sự nhanh chậm của

2 Vận tốc : vp = &pg = -6bk.sin kt Vectơ ởpg hướng

1 Phương trình chuyển động : Tìm xm(t) va y(t)

Xm = 5b coso = 5b coskt ; YM = b sing = b sinkt Quỹ đạo điểm M Rút coskt và sinkt từ phương trình chuyển động, bình phương hai vế

VM = \|VÑw + VMy = bkV2ðsin” kt + cos? kt

Vectơ Vụ tiếp tuyến với quỹ đạo elip

3 Gia téc ay:

am = art + aMy = bk? V25 cos” kt + sin? kt

ầ có các thành phần hình chiếu tỷ lệ và ngược dấu với tọa độ, do đó ä„ hướng về O

4 Xét nhanh chậm : Vy.4y > O (vi géc 9 < 7/2) do dé điểm M chuyển động nhanh dần

Có thể thấy : ỞMw.äM = VMx-8Mx + VMy-3My > 0

Thí dụ 1-2 : (Phương pháp tọa độ Đề các, bài toán ngược)

Cơ cấu giảm chấn thủy lực gồm pittông (có các lỗ) chuyển động trong xylanh chứa dầu Pittông có vận tốc đầu vụ, gia tốc a, = -kv ; k - hệ số tỷ lệ, v - vận tốc pittông Tìm biểu thức v(t), x(t) và v() Vẽ đường biểu diễn quan hệ trên

Điểm M chuyển động trên đường tròn, bán kính R = 8 m,

tâm C có tọa độ (R,0) Vị trí của điểm M được xác định bằng

góc giữa bán kính CM và trục x (hình 1-6) : ọ = ssinst

1 Lập phương trình chuyển động của điểm ở dạng tọa độ

tự nhiên Xác định vận tốc, gia tốc của điểm lúc hướng chuyển

động thay đổi

2 Lập phương trình chuyển động của điểm ở dạng tọa Hình 1-6

độ Đề các và viết phương trình quỹ đạo của điểm

Bài giải

1 Dùng phương pháp tọa độ tự nhiên

- Phương trình chuyển động theo quỹ đạo :

- Gia tốc : + gia tốc pháp tuyến : a® = = = “cos” at (m/s?)

Tìm thời điểm chuyển động đổi hướng :

=0 khi t=0 ÿ.ä! = -2n2 cos2 t.xẺ sing t =-n°sinnt 4<0 khi t<1

Xm =R+Rcosọ =8+ 8cos( Zsin 5 t]

ym = Rsing = Bsin 5 sin 5t]

- Quỹ đạo : Rút cos § sin ®t) va sin É sin Zt} từ hai phương trình trên, bình phương

hai vế rồi cộng lại, ta được phương trình quỹ đạo :

Thí dụ 1-4 : (Dùng cả hai phương pháp : tọa độ Đề các và tọa độ tự nhiên)

Một điểm chuyển động theo đường đỉnh ốc, phương trình chuyển động có dạng :

X =a, cost ; y =a, sint ; z = byt (a; va b, 1a cdc hang sé)

Tìm phương trình chuyển động theo quỹ đạo và bán kính cong quỹ đạo

Bài giải

1 Dùng phương pháp tọa độ Đề các

- Vận tốc ÿ :

Vự„=k=-aqsint; vy =y=aj,cost; v, =z=b, v= yx? +7742? = fat + b? = const

+ gia tốc tiếp tuyến a’ = + =0

+ gia tốc pháp tuyến a® = Ja” -(a‘)? =a, = const

- Bán kính cong quỹ đạo :

p= ` = sbi = const

§1-4 BÀI TẬP

1) Tìm phương trình chuyển động và các đặc trưng của

chuyển động

1-1 Xác định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của điểm nếu phương trình chuyển động của

điểm được cho như sau (x, y, z tính bằng cm, t tính bằng giây) :

3cm

1-9 Một băng từ chuyển động giữa hai đĩa với

vận tốc không đổi là vạ (hình 1-7) Bán kính của hai

đĩa là rị = 3 cm ; rạ = 2 cm Biết thành phần gia tốc

pháp tuyến của điểm trên vành đĩa 2 là 12000 cm/s”

Tìm trị sé v, vA thanh phan gia téc phap tuyến

của điểm trên băng khi tiếp xúc với dia 1

Hình 1-7

1-8 Cơ cấu cam như hình 1-8 Cam là đĩa

tròn bán kính r, trục quay Ô cách tâm C một đoạn

OC = d, góc quay @ = œt Tìm phương trình chuyển

động và vận tốc của thanh AB

1-4 Một điểm chuyển động trong mặt phẳng

Oxy, gia tốc có hình chiếu a„ = 4 cm/s” va ay = 2tem/s”

Lúc t = 9 s thì vectơ vận tốc của điểm tạo với trục x

a) Trị số nhỏ nhất của vạ để hạt vật liệu rơi vào B

b) Giá trị tương ứng của góc œ Cho gia tốc của hat 4(0; 9,81) m/s”,

1-7 Cơ cấu tay quay - con trượt như hình 1-11 Khoảng cách OA = AB =1 = 60 cm;

MB = 1⁄3 ; ọ = 4mt (t - tính bằng s) Tìm quỹ đạo của điểm M Tính vận tốc, gia tốc của M,

bán kính cong của quỹ đạo tại vị trí ọ = 0

12

*1-8 Nước phun từ vòi cứu hỏa với vận tốc vụ như hình 1-12 Viết một chương trình

máy tính để xác định điểm đến của dòng nước khi vạ biến thiên từ 4 m/s đến 16 m/s với bước

Vật rắn có hai chuyển động cơ bản : tịnh tiến và quay quanh trục cố định

Đối với vật chuyển động tịnh tiến, ta chỉ cần xét chuyển động của một điểm bất kỳ thuộc vật Trong chương này ta xét vật rắn quay quanh trục cố định Trước tiên, xét chuyển động toàn vật và chuyển động từng điểm thuộc vật, sau đó xét sự truyền chuyển động quay giữa

Chọn chiều quay dương quanh trục (nhìn ngược chiều

dương trục z thấy vật quay ngược chiều kim đồng hồ)

Vi trí vật được xác định bởi góc định vị ọ giữa mặt phẳng

2 Vận tốc góc của vật : là đại lượng đại số biểu thị tốc độ và chiều quay của vật, vận tốc góc được ký hiệu Ø, đo bằng rad/s (radian/giây)

ö > 0 - vật quay theo chiều dương đã chọn để tính ọ ;

Ø <0 - vật quay theo chiều âm

Gọi n là số vòng/phút thì trị số của vận tốc góc :

mm

=—— 2-3

Vectơ vận tốc góc: ö = $k;k - vectơ đơn vị của trục Z

3 Gia tốc góc của vật : là đại lượng đại số biểu thị sự biến thiên của ö về trị số và dấu, gia tốc góc ký hiệu £, đo bang rad/s” :

5 Chuyển động quay đặc biệt

- Quay biến đổi đều : e = const, suy ra :

Với quy ước : Chọn chiều quay dương theo chiều chuyển động, dấu cộng (trừ) ứng với

chuyển động nhanh dần đều (chậm dần đều)

2) Xét chuyển động của điểm thuộc vật quay

1 Phương trình chuyển động của điểm (hình 2-9) :

S=M,M = Rot) (2-8)

2 Vận tốc của điểm

Vectơ vận tốc ÿ có phương vuông góc với CM, có chiều

theo chiều quay và có trịsố v= Ro (2-9)

Dạng vectơ : ÿ = öAF; £ = OM, O - điểm tùy ý trên trục quay

3 Gia tốc của điểm có thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến

Gia tốc pháp tuyến ä° - hướng vào trục quay, có trị số a" = Ro” (2-10) 14

Gia tốc tiếp tuyến p tuy' ä! - cùng phương với vận tốc, chiều phù hợp với E và trị số p E 3 p

ä =ã" +ãt, a = \(a")? + (at)? = RVo! +2

2 =@AV; a =EAT; so) =@AV+EATể

Dang vecto: 4

3) Truyền động quay quanh hai trục cố định

Tỷ số vận tốc góc giữa hai đĩa

1) Các loại bài toán

Đối với bài toán vật quay quanh trục cố định, khi biết chuyển động của vật, ta có thể xác

định được chuyển động của điểm thuộc vật và ngược lại Có hai loại bài toán sau :

I Biết chuyển động của vật (hoặc của điểm thuộc vật), tìm các đặc trưng khác của

chuyển động

II Truyền chuyển động quay quanh các trục cố định Tìm quan hệ chuyển động giữa

trục dẫn và trục bị dẫn

2) Phương pháp giải bài toán

* Tìm ø, e : áp dụng các công thức (2-2), (2-8), (2-4) hoặc suy ra từ (2-9), (2-10) Trường hợp vật rắn quay biến đổi đều, áp dụng công thức (2-7)

* Tìm tính chất của chuyển động : áp dụng công thức (2-5), (2-6), (2-7)

* Tìm vận tốc, gia tốc của từng điểm thuộc vật : áp dụng các công thức (2-9), (2-10),

(2-11)

* Tìm sự liên hệ về chuyển động quay quanh các trục cố định : áp dụng (2-12)

§2-3 NHỮNG BÀI GIẢI MẪU

1) Biết chuyển động của vật (hoặc của điểm thuộc vật), tìm các

đặc trưng khác của chuyển động

Thí dụ 2—1 : Thanh OA quay quanh trục O theo luật

ọ = mt”/6 Tìm tính chất chuyển động của thanh OA, vận

tốc, gia tốc của điểm A lúc thanh quay được 18 vòng

Ứng với lúc đó o, = s6 =18n rad/s; Eị =1 rad/s”

@1.€ >0: vat quay nhanh dần

2 Tìm vận tốc và gia tốc điểm A Theo (2-9), (2-10) va (2-11)

v= lo =0,2.18r = 11,3 m/s

a’ = le = 0,2.6n=3,8 m/s"; a"=1 0,” = 0,2.(18n)" = 648 mis”

Các vectơ vẽ ở hình 2-4

2) Truyền chuyển động quay

Thí dụ 2 -2 : Cơ cấu truyền động như hình 2-5 Điểm M rơi xuống với quy luật :

x=8t2 (x :em; t : s)

16

t= 9 s Biết đường kính của trống là d = 40 em, độ

dai tay quay 1 = 40 cm, số răng của bánh 1 và 2 là

Z1~ 72 ;22— 24 (hình 2-8)

trống Gọi N là điểm trên vành trống, ta có :

Tìm vận tốc và gia tốc đầu A của tay quay lúc

ä Bánh 2 ăn khớp với bánh 1

®2 Z1 œ> = lại =2 0,3 =0,9t rad/s

@1 Z2 Z2 24

Suy ra gia tốc góc s¿ = 0,9 rad/s”

Lúc t = 2 s thì œ¿ = 1,8 rad/s ; eạ = 0,9 rad/s”

4 Biết chuyển động của bánh 2, xác định được chuyển động của điểm A

Xác định : ,

a) Tính chất của chuyển động ở các thời điểm tị = 1 s, tạ = 2 s

b) Vận tốc và gia tốc của điểm cách trục quay một khoảng r = 0,2 m ở những thời điểm trên 9-9 Một đĩa quay quanh trục cố định trong môi trường lỏng Phương trình chuyển động

của đĩa là @ = ọạ(1T— e ”“), với ọ tính bằng radian, t tính bằng giây và ọạ = 0,8 rad

Tính trị số của ọ, vận tốc góc của đĩa, gia tốc góc của đĩa khi t=0;t=4s;%= œ

2-3 Đĩa quay quanh trục cố định với gia tốc e = —- 2,ðœ, œ là vận tốc góc của đĩa Khi

t =0, đĩa có vận tốc góc là nạ = 360 vòng/phút Tìm :

a) Số vòng mà đĩa còn quay được đến lúc dừng

b) Thời gian đến lúc dừng

c) Thời gian để đĩa đạt được 1% vận tốc góc ban đầu B

9-4 Các chi tiết được vận chuyển bằng

băng truyền như hình 2-6 Ở vị trí A, chỉ tiết có

vận tốc 450 mm/s hướng sang trái và gia tốc

315 mm/s” huéng sang phải Bán kính đĩa

R = 180 mm Tìm :

a) Vận tốc góc và gia tốc góc của đĩa

b) Gia tốc toàn phần của chỉ tiết khi ở điểm B

2-5 Cơ cấu như hình 2-7 Chuyển động từ thanh 1 truyền đến bánh răng 2, bánh răng 3

lắp cứng với bánh răng 2 và ăn khớp với bánh răng 4 có mang kim Xác định vận tốc góc, gia tốc góc và biên độ dao động của kim nếu thanh 1 chuyển động theo phương trình y = A.sinkt

2-6 Cơ cấu như hình 2-8 Vật 1 chuyển động theo luật x = 2 + 70t2 (x tính bằng cm,

t — giây), R¿ = 50 cm, rạ = 30 cm, Rg = 60 cm Tinh vận tốc góc, gia tốc góc của bánh 3 và vận tốc, gia tốc điểm M cách trục quay một khoảng rạ = 40 em lúc vật nặng 1 dịch chuyển được một đoạn bằng 40 cm

18

2-7 Hộp biến tốc (hình 2-9) có các bánh răng với số răng tương ứng là z¡ = 10 ; z¿ = 60;

Za = 12; z4 = 70 Tìm tỷ số truyền động của hai trục A và B

4 boy [| boy 2 may |} kay SSS [| SN

a) Số vòng của đĩa A tương ứng với quãng đường vật nặng đi lên là 240 cm

b) Thời gian tương ứng để nâng vật nặng -

chuyển động tịnh tiến cùng với điểm A tùy ý chọn

3 Các yếu tố đặc trưng cho chuyển động phẳng :

Vận tốc, gia tốc điểm A, vận tốc góc và gia tốc góc của vật

Va(X1,91); 4a (%1,91)

®g=9; tg =6 trong d6: @g, ss không phụ thuộc vào việc chọn điểm A

2) Vận tốc của điểm thuộc vật

1 Quan hệ vận tốc giữa hai điểm thuộc vật

thể hiện qua công thức :

Tại mỗi thời điểm hình phẳng có một điểm P, tại đó vp = 0 —

vận tốc phân bố giống như hình phẳng đang quay quanh P với

vận tốc góc œs (hình 3-3) :

VA= PA.og > VB= PB Os Hinh 3-8

vA PA (3-4)

* Phương pháp xác dinh P: Dua vao vp=0 ; ¥, 1 PA; ¥p L PB Có thể xác định được P khi :

- Biết một điểm có vận tốc bằng không (hình 3-4a)

- Biết vận tốc một điểm và phương vận tốc của điểm khác (hình 3-4b)

- Biết vận tốc 2 điểm có phương song song (hình 3-4c, d, e)

8) Gia tốc của điểm thuộc vật

1 Quan hệ gia tốc hai điểm thể hiện bằng công thức :

trong đó : äBA hướng từ B đến A và có trị số aBA = BA.øẩ,

äbA LBA có chiểu phù hợp £s hoặc giả thiết, trị số

§3-2 HUGNG DAN AP DUNG

1) Cac loai bai toan

Có ba loại bài toán Trong mỗi loại thường phải tìm Gg, &, vp, ap 3 day B la diém bat

kỳ trên hình phẳng

I Biết vận tốc, gia tốc điểm A và tâm vận tốc tức thời P với AP = const

Loại này thường được gặp ở cơ cấu đĩa phẳng - thí dụ hình 3-6a

IL Biết vận tốc, gia tốc một điểm và quỹ đạo điểm khác

Loại này thường được gặp ở cơ cấu thanh - thí dụ hình 3-6b

IIL Bài toán hỗn hợp

Biết đặc trưng chuyển động của hai điểm :

Loại này thường gặp ở cơ cấu hỗn hợp gồm thanh và đĩa lăn không trượt, hoặc tấm, đĩa chuyển động phẳng, thí dụ hình 3—6c, 3-6d

21

a) b)

2) Phương pháp giải bài toán

1 Phân tích chuyển động của các khâu của cơ cấu (tịnh tiến, quay, phẳng) Trong mỗi khâu chuyển động phẳng cần biết đặc trưng chuyển động (vận tốc, gia tốc, quỹ đạo) của hai điểm

2 Vận tốc Cần phải xác định vận tốc góc các khâu và vận tốc điểm bất kỳ, dựa vào một trong ba cách sau :

Tâm vận tốc tức thời P : xác định như ở hình 3-4 và công thức (3-4)

Hình chiếu vận tốc : áp dụng công thức (3-3)

Quan hệ vận tốc : áp dụng công thức (3-2)

3 Gia tốc Cần phải xác định gia tốc góc các khâu, gia tốc điểm bất kỳ Theo trình tự :

- Viết biểu thức gia tốc (3-ð) với chú ý (3-6), (3—7) và (3-8)

§3-3 NHỮNG BÀI GIẢI MẪU

1) Biết vận tốc, gia tốc điểm A và tâm vận tốc tức thời P với

AP = const (cơ cấu đĩa lăn không trượt)

Thí dụ 3—1 : Tay quay OA quay quanh trục O làm bánh 2 lăn không trượt theo bánh 1

cố định (hình 3-7) Biết rạ = 0,2m và rị = 0,3m Tại thời điểm tay quay có vận tốc góc œ = lrad/s

và gia tốc góc e = 4rad/s”, hãy xác định :

22

Hinh 3-7

a) Vận tốc gĩc bánh 2 và vận tốc điểm B trên vành bánh 2 (AB.LOA)

b) Gia tốc gĩc bánh 2 và gia tốc điểm B

Dùng phương pháp tâm vận tốc tức thời

- Xác định tâm vận tốc : điểm tiếp xúc giữa hai bánh là tâm vận tốc P

- Quan hệ gia tốc giữa điểm B và điểm A :

äÄ hướng về O ; aÄ = OA.œ2 = 0,5 mís°

äÄ 1L OA, chiều phù hợp E ; ak = OAc = 2 m/s”

23

äBA hướng từ B về A ; aBA = BA.øŸ = 1,25 m/s”

at, L BA, chiều phù hợp với £;; abA = BA.es = 2 m/s”

- Vẽ các vectơ gia tốc như hình 3-7b

- Tính ap : äp chưa biết phương chiều, được phân tích làm hai thành phần vuông góc

trị số tìm được bằng cách chiếu hai vế của (a) lên hai trục vuông góc :

apy = ak +apa = 3,25 m/s” ; apy = -aA + aba =1,5 m/s”

ap = Nà + aby = 3,58 m/s”

2) Biết vận tốc, gia tốc một điểm và quỹ đạo điểm khác (cơ cấu

thanh)

Thi du 3-2 : Co cấu bốn khâu như hình 3-8 Cho : OA = r ; AB = 2r ; BC = 2r V3 Tại

thời điểm thanh OA thẳng đứng, các điểm O, B, C nim trên đường nằm ngang, khi đó tay quay có vận tốc œ và gia tốc góc sạ = œ2 v3 Hãy xác định vận tốc góc và gia tốc góc của

- Xác định tâm P, biết ÿA L OA; ÿg L BC,

đo đó từ A và B kẻ các đường tương ứng vuông

góc với ÿA và ÿp, giao điểm của hai đường này

là tâm vận tốc tức thời P, ở đây P trùng với O a)

(hinh 3-8)

- Xác định vận tốc góc các khâu và vận tốc

các điểm :

Điểm A thuộc OA nên vụ = r 0ạ

Mặt khác A thuộc AB nên vụ = PA oAp

Do đĩ vận tốc gĩc thanh BC là :

b) Cĩ thể dùng quan hệ vận tốc điểm B và A

Va LOA; va = OA, Vpa L AB; vpa = AB.oap chua biét

ÿpg L BC; vg= BC.o pc chưa biết

Vẽ các vectơ vận tốc, đưa vectơ ÿa về B (hình 3-8a)

Tim tri sO vga va Vg: tri sO va, Vgạ, vp là độ dài ba cạnh của tam giác vuơng (œ = 30)

nén: vpa =— = 2ro,; Vv =—© =43ro

BA ˆ sin a o> “B tga 0

aR huéngvéO; a = OA.o? = roo?

SA hướng từ Bvề A ; 8BA = BA.oÄp = 2ro?

ap 1 BC, chiéu gia thiét, ag = BC.ego chua biết ; đây là một ẩn của: (b)

aba 1 BA, chiéu giả thiết, abA = AB.eap chưa biết ; đây 1a mét &n ca (b)

- Vẽ các vectơ gia tốc như hình 3-8b

- Tính apa : chiếu hai vế của (b) lên trục OC ta được :

aB = -ah — aBA cos30° + aBa cos60°

giải ra : aba = 5V3 ro? > 0

25

ab A chọn đúng chiều, từ đó tìm được gia tốc góc thanh AB :

AB 2

EAp ngược chiều kim đồng hề

Nếu chiếu (®) lên trục AB, ta sẽ tìm được ab và do đó gia tốc góc thanh BC là :

t

4B

EBC = BC 7

3) Bai toán hỗn hợp (cơ cấu loại thanh và đĩa)

Thí dụ 3-3 : Tay quay OA quay đều quanh trục O với vận tốc góc œ làm bánh 1 lăn

không trượt theo vành ngoài bánh 2 cố định Hai bánh cùng bán kính r Thanh truyền BD

và cần lắc DC cùng độ dài 1 Khi BDLOA, ⁄BDC = 48° (hình 3-9) Xác định : Các vận tốc góc

01 ; ®Bp ; ®pc và gia tốc điểm B

Bài giải

1 Phân tích chuyển động

Các thanh OA và CD chuyển động quay

quanh trục cố định Bánh 1 và thanh BD chuyển

động phẳng

2 Vận tốc

Dùng phương pháp tâm vận tốc tức thời

a) Xét bánh 1 (lăn không trượt)

- Xác định tâm vận tốc : điểm tiếp xúc giữa

hai bánh là tâm vận tốc tức thời P¡ của bánh 1

- Xác định vận tốc gĩc của thanh BD và vận tốc điểm D :

H.chppÿpg = H.chpgvp hay i vg cos 45° = vp cos 45°

Vp = vp = 9rV⁄20ạ; Ÿp cĩ chiều như hình 3-9a

tị = =A = 0 (OA quay déu)

- Quan hệ gia tốc điểm B va diém A:

dp = 4, + 4Ba + Aba (a)

aR hướng từ A đến O ; aÄ = OA.o2 = 2ro2

ãBA hướng từ B đến A ; aBA = BA.oƒ = 4ro2

ab, 1 BA; aba = BAe, =0

- Vẽ các vectơ gia tốc như hình 3-9b

- Tính ap: Vì äbA 1L äBA nên: ap = \(aÄ)2 + (aBA)? = 25 ro2

Chú ý : Muốn tìm epp và epc ta xét quan hệ gia tốc :

äB + ãb = äp + äồp +äbB

trorg đĩ : abp = DBepp; ab = DCepc

Thí dụ 3-4 Hệ rịng rọc như

hình 3-10 Tại thời điểm khảo sát,

vật 1 được nâng lên với vận tốc vị,

gia tốc an ; vật 2 được hạ xuống với

vận tốc vạ, gia téc ag Rong roc di

\ Bị ẤP x god sat 2 sows wn 3 > ew we, eget ^“

nặng băng trị số vận tốc điểm tiếp xúc ; trị số gia tốc vật nặng bằng trị số gia tốc tiếp tuyển của điểm tiếp xúc, nghĩa là :

€ thuan chiều kim đồng hồ

Vì C chuyển động thẳng nên gia tốc cùng phương với vận tốc, từ biểu thức (b) ta có

- _.d,VYB-VA, _ 32-8

âC =qyYc =qpC g5 z—”-

Néu a, > a, thi äc hướng lên

- Quan hệ gia tốc giữa điểm B và điểm C :

2

Bic hudng từ B đến C; aBc = BGøŸ = RCI TY2)2 - Wa + va)

ac L BC chiều phù hợp £ ; akc = BC = _

- Các vectơ gia tốc vẽ như hình 3-10b

— Tính trị số ap Chiếu hai vế của (c) lên hai trục vuông góc :

§3-4 BÀI TẬP

1) Biết vận tốc và gia tốc điểm A và tâm vận tốc tức thời với

AP = const

3-1 Đĩa phẳng có bán kính R = 0,5 m lăn không trượt

theo mặt phẳng nghiêng như hình 3-11 Góc œ = 30” Tại

thời điểm khảo sát, tâm đĩa có vận tốc vụ = 1 m/s và gia tốc

aA=3 m/s” Tim :

A ^” Z 2 a ^” Z “2 `

~ Vận tốc góc của đĩa, vận tốc các điểm B, D va E

- Gia tốc góc của đĩa, gia tốc các điểm B và C

3-2 Cơ cấu hành tỉnh có tay

quay OA quay với vận tốc góc

3-4 Đĩa 1 quay đều thuận

chiều kim đồng hồ với vận tốc góc

n = 20 vòng/phút làm cho dây bị

cuốn vào đĩa và đĩa răng chuyển

động trên thanh răng cố định

đầu dây A; gia tốc góc các ròng

rọc 3 và 4 (coi các dây tiếp xúc

với ròng rọc ở hai đầu đường

3-6 Cơ cấu dùng để quay nhanh đĩa 1 như hình 3-16

Khi OA quay đều với vận tốc góc œạ thì bánh răng 2 ăn khớp

trong với bánh răng 3 cố định làm cho bánh răng 1 quay

quanh O Tìm :

a) Quan hệ về vận tốc góc và quan hệ về gia tốc góc giữa

bánh rang 1 va tay quay OA

Hinh 3-16 b) Tỷ số 2 dé cho “1 = 12

2) Cơ cấu loại thanh

3-7 Cơ cấu tay quay con trượt như hình 3-17 Tay quay OA = 6 em quay đều thuận chiều

kim đồng hồ với vận tốc góc @, = 8 rad/s, thanh AB = 24 cm Tìm vận tốc, gia tốc điểm B khi

ọ =0 và khi ọ = 90”

®

Hình 3-17 Hình 3-18

3-8 Máy nén hai xylanh như hình 3-18

Thanh AB = 5,08 em quay đều thuận chiều kim đồng hồ với n = 1800 vòng/phút Hai thanh truyền BD = BC = 20,32 em Xác định gia tốc của mỗi pittông khi = 0

3-9 Cơ cấu 4 khâu ở các vị trí như hình 3-19 Thanh OA quay đều ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc góc œạ = 3 rad/s Xác định vận tốc góc và gia tốc góc của thanh BC (các

kích thước trên hình do bang cm)

3-10 Bộ phận chính của máy đột đập như

hình 3-20 Tấm hình quạt dao động theo phương

trình » = @ sinot, với biên độ ọạ = 7/6 rad ;

œ = 4n rad/s Tìm Vận tốc, gia tốc điểm C khi

ọ = 0,ỗ rad và khi ọ = 0 Biết OA = 16 em ;

AB=8/3 cm

3-11 Thanh OA dao động theo phương trình

ọ = (06).sin(rt/2) rad làm cho đĩa K quay quanh

3-12 Tay quay OA =⁄3 m quay

đều với van téc géc o =V3 rad/s

lam cho dia ban kinh R = 1 m lan

không trượt trên nền ngang Lúc

R=6 cm Tim van tic diém B, diém C

và vận tốc góc của thanh AB, vận

§4-1 CO SO LY THUYET

1) Dinh nghia

Diém A chuyển động đối với vật I, vật I chuyển động

đối với vật II cố định Vật I được gọi là hệ quy chiếu tương

đối hay hệ động Vật II là hệ quy chiếu tuyệt đối hay hệ cố

định (hình 4-1) Các định nghĩa :

#

- Chuyển động của điểm A đối với hệ cố định là chuyển A

động tuyệt đối Vận tốc và gia tốc của điểm A trong chuyển

động này gọi là uận tốc tuyệt đối uà gia tốc tuyệt đối Ký Hình 4-1

hiệu Vạ, äạ

32

- Chuyển động của điểm A đối với hệ động là chuyển động tương đối Vận tốc và gia tốc

của điểm A trong chuyển động này gọi là uận tốc tương đối uà gia tốc tương đối Ký hiệu

Vy, ay

- Chuyển động của hệ động đối với hệ cố định là chuyển động theo

Vận tốc và gia tốc của điểm A bị hệ động mang theo gọi là uận tốc theo uà gia tốc theo

cua diém A Ky hiéu ve, a

Vận téc theo Ve, gia téc theo 4, phu thuéc vi tri của A trên vật I, do đó để xác định

¥,, dg ta phai tim mét diém A’ thuéc hé dong, tại thời điểm khảo sát A' trùng với A Điểm A’ dude goi 1A tring điểm của điểm A, khi đó

Ve = Vas, 8c =ã + Như vậy, chuyển động tuyệt đối, chuyển động tương đối là chuyển động của điểm, đó là những chuyển động : thẳng, cong, tròn Chuyển động theo là chuyển động của uật, đó là những chuyển động : tịnh tiến, quay xung quanh trục cố định, song phẳng

2) Dinh lý hợp vận tốc thể hiện bằng công thức

(@, vecto van tốc góc theo của hệ động)

Chú ý : Khi sử dụng (4-2), nếu chuyển động tuyệt đối và chuyển động tương đối là cong

thì tiếp tục phân tích gia tốc thành 2 thành phần : tiếp tuyến và pháp tuyến

Nếu chuyển động theo là quay thì 4, = a2 +a

Nếu chuyển động theo là tịnh tiến thì œ¿ = 0, do đó ä„ =0

+ Dùng quy tắc tích vectơ để tính (4-3)

(hình 4 - 2b) : a„= 2øœạ.vy sino (hình 4-2a)

+ Đối với bài toán phẳng (ö„ 1 ¥,), ta

dùng quy tắc thực hành (hình 4-2a) : Quay

¥, đi một góc 90° theo chiều quay của hệ

động, ta nhận được vectơ biểu diễn phương,

§4-2 HƯỚNG DẪN ÁP DỤNG

1) Bài toán phân tích chuyển động của điểm

Biết một chuyển động (tuyệt đối hoặc theo) và phương vận tốc, gia tốc của hai chuyển

động còn lại Tìm các giá trị vận tốc và gia tốc đó

` *® , w nw A e ~”

2) Bài toán tông hợp chuyền động của điểm

Biết các chuyển động tương đối và theo Tìm vận tốc và gia tốc tuyệt đối

Phương pháp giỏi bài toán

Khi thấy trong bài toán có một điểm (tự do hoặc thuộc một vật nào đó) chuyển động đối với một vật, vật đó lại chuyển động đối với vật khác cố định thì đó là bài toán hợp chuyển

động điểm Khi giải các bài toán kỹ thuật, ta thường chọn hệ cố định là giá đỡ nối liền với

mặt đất và qua các bước sau :

- Chuyển động tuyệt đối là chuyển động cửa điểm đối với vật cố định II, đó là chuyển

động cong, tròn hoặc chưa biết

2 Tìm vận tốc

- Viết biểu thức (4-1)

- Vẽ các vectơ vận tốc

~ Tìm trị số vận tốc chưa biết bằng phương pháp hình học (tính tam giác) hoặc chiếu cả

hai vế của (4-1) lên hai trục vuông góc

3 Tìm gia tốc

- Viết biểu thức (4-2) với các chú ý khi sử dụng (4-2)

- Vẽ các vectơ gia tốc :

Trường hợp có hai vectơ nào đó chỉ biết phương thì chiều của chúng được giả thiết, trị số

của hai vectơ là ẩn của bài toán

Trường hợp có một vectơ chưa biết phương và trị số thì phân tích các vectơ đó ra các thành phần theo các trục tọa độ Đề các, chiều của chúng được giả thiết, mỗi thành phần của vectơ là một ẩn của bài toán

- Tìm các ẩn chưa biết bằng cách chiếu hai vế của biểu thức gia tốc lên các trục tùy ý

sao cho mỗi phương trình hình chiếu chỉ chứa 1 ẩn

Như vậy, đối với bài toán phẳng, ta nhận được hai dhường trình hình chiếu, do đó xác định được hai ẩn nào đó Nếu trị số là dương thì chiều đã chọn là đúng, nếu là âm thì chiều

đã chọn là sai (đối với bài toán không gian, nhận được 3 phương trình hình chiếu)

34

§4-3 NHỮNG BÀI GIẢI MẪU

1) Bài toán phân tích chuyển động của chất điểm

Thí dụ 4—1 : Cơ cấu culit như

hình 4-3 Tay quay OA quay với

vận tốc góc không đổi @, Tim

vận tốc trượt và gia tốc trượt

của con chạy A trên culit K, vận

tốc và gia tốc của culit K Biết

OA = 1, ở thời điểm khảo sát

1 Phân tích chuyển động điểm A

Điểm A chuyển động với culit K, eulit K chuyển động đối với thân máy cố định Vì vậy ta chọn culit K làm hệ động

- Chuyển động theo là chuyển động tịnh tiến của culit K

- Chuyển động tương đối là chuyển động thẳng dọc theo nhánh trên của K

~ Chuyển động tuyệt đối là chuyển động tròn đều, tâm O, bán kính OA

trong đó : ¥, — c6 phuong chiều đã biết, trị số vạ = lo, còn Vụ và Ÿạ= Ở At chi biét phuong

(trang diém A’ 1a diém thuéc culit)

- Căn cứ vào (a) có thể vẽ được các vectơ vận tốc (hình 4-3a)

Dựa vào phân tích chuyển động ta thấy : ä? hướng về O, trị số a} = loi còn ã„ và

a = a,» chỉ biết phương, chiều được giả thiết, đây là hai ẩn của (b)

- Cac vectơ được vẽ trên hình 4-3b

~ Tính a, và aạ chiếu cả hai vế của (b) lên hai trục Ai và Aa, ta được :

- af cos60° =a,; -—agsin60° =a,

35

Suy ra :a¿ = _ fis = = v3 Vecto 4, vA 4, cùng giả thiết sai chiều Vậy ở thời

điểm khảo sát con chạy A trượt chậm dần về phía trên, culit K tịnh tiến nhanh dần về phía trái

Thí dụ 4-2 : Cơ cấu culit như hình 4-4 Tay quay OA = l =10 em quay đều với vận tốc góc œạ = 6rad/s làm con chạy A trượt theo culit O¡B Ỏ thời điểm OA nằm ngang, ọ = 307, hãy tìm :

1 Vận tốc trượt của A theo culit, vận tốc góc ø của culit OB

2 Gia tốc trượt của A và gia tốc góc sq của culit

Bài giải

1 Phân tích chuyển động

điểm A : Điểm A chuyển động

dọc OB'; 0,B quay quanh Ôi

Chọn O¡B làm hệ động

- Chuyển động theo là

chuyển động quay quanh OQ, cua

O:B

- Chuyển động tương đối là

chuyển động thang doc O,B

- Chuyển động tuyệt đối là

trong dé: ¥, 1 OA phu hgp véi chiéu quay a, ; v, = lo, = 60 cm/s ; ¥, c6 phương dọc O:B, trị số chua biét ; ¥, = ¥ ‘at (A" thuộc O¡B và trùng với A), do đó ÿ¿ 1 O,A, tri sé v, chưa biết

~ Dựa vào (a) và cơ cấu, vẽ được các vectơ vận tốc (hình 4-4a)

Vì chuyển động theo là quay, chuyển động tuyệt đối tròn đều nên :

äP = äP + ñỆ + ấy +ấ, (b)

- hướng vào O ; a® = 1.2 = 360 cm/s”

ag = a hudng vao O,; a = 0,A.07 = 21.0% = 45 cm/s”

a — xác định theo quy tắc đã biết (quay ÿ„ đi một góc 90” theo chiều quay của hệ động) ;

Aa, = 201Vy = 9043 cm/s”

at 1L O¡B chiều giả thiết, trị số chưa biết Đây là ẩn thứ nhất của Œ)

A, dọc O;B, chiều giả thiết, trị số chưa biết Đây là Ẩn thứ hai của (b)

~ Dựa vào cơ cấu, vẽ các vectơ gia tốc (hình 4-4b)

- Xác định at va a, : chiéu hai vé cia (b) lén hai truc A, va Ag, ta dude hai phuong trinh :

—ai sing = -ab +a,

a™ cose = ab +a, Giải được :

È = aP cos@ - a„ = 90A3 cm/s2

a, = a? —a® sing = -153 cm/s”; at Kết quả chứng tổ ä, ngược chiều giả thiết, ä¿ có chiéu dung Vi at = 0,4" £1, do dé gia tốc của culit O;B là :

còn culit OB quay nhanh dần (Ø¡.8ị > 0)

Thí dụ 4-3 : Vành tròn bán kính R = 20 cm quay trong mặt phẳng của nó quanh trục O với vận tốc góc œạ = 3 rad/s Một chất điểm M chuyển động trên vành theo luật S = OM =5dnt (cm) Tìm vận tốc và gia tốc tuyệt đối của M hic t = 2 s (hình 4-5)

2 Vận tốc

- Biểu thức vận tốc : ¥, = 0, + Ve (a)

Khi t =,2 s thì S = 10x = Rz/2 = ÔA, điểm M chuyển động đến A

Khi đó : ý, hướng tiếp tuyến với vành, trị số v, =|8| = 5x cm/s = const Tring điểm của

M là điểm A thuộc vành, ¥, = ¥, nén ¥, 1 OA, trisé:

Ve = @)0A = oRV2 = 60/2 cm/s 'Vectơ 9y và vạ được vẽ như trên hình 4-ða

Tính v, : chiếu hai vế của (a) lên hai trục Đề các :

Vax = —Ve cos 45° = -80,/5.Ý2 = -60 cm/s

Vẽ các vectơ vế phải của (b) (hình 4—Bb)

Tìm ä, : chiếu hai vế của (b) lên hai trục Đề các, ta có :

Thí dụ 4-4 : Nha vành tròn bán kính R = 40 cm quay đều với vận tốc góc w, = 0,5 rad/s quanh đường kính AB Điểm M chuyển động theo vành với vận tốc không đối u = 10 cm/s

Xác định gia tốc tuyệt đối của điểm lúc nó nằm ở C Cho biết Z AOC = 45° (hinh 4-6)

điểm M : chất điểm M chuyển động theo BY ý ] ý

vành, vành quay quanh trục cố định Vì

- Chuyển động theo là chuyển động O R

a ` Vv, =u

quay quanh truc AB cua vanh r

- Chuyển động tương đối là chuyển

động tròn của chất điểm M trên vành n Cc

- Chuyển động tuyệt đối của M đối với Mr

- Biểu thức vận tốc: ý, =VWy+Vạ (a)

trong đó v„ hướng tiếp tuyến với vành tại C, trị số vy = u = 10 em/s

Trùng điểm của M là điểm C thuộc vành, nên ŸỞc = Ÿẹ vuông góc với mặt phẳng hình vẽ

và hướng vào phía trong (kí hiệu @ là nhìn thấy mũi tên từ phía đuôi), trị số

Ve = @Rsin 45° = 10V2 cms

Vectơ ÿ„ và ý¿ ta vẽ như trên hình 4-6a

Tìm ởạ: ở đây ÿ„ vuông góc với Vạ, nên :

Dựa vào phân tích chuyển động ta thấy :

Vectơ är hướng vào O, trị số aP = u2/R = 102/40 = 2,5 cm/s”

Vectơ ä? hướng vào trục quay, tri sé:

a® = w2Rsin 45° = (0, 57402 = 5V2 cm/s”

Vectd A, = 20 AV, = 20, A¥,, do d6 4, vuông góc với mặt phẳng hình vẽ va

hướng vào phía trong, trị số a, = 20,v, sin 45° = 5/2 cm/s”

Vectơ 4, hoan toan chua x&c dinh, dude phan tich lam ba thanh phan a,,, agy Va agz Đây là ba ẩn của phương trình vectơ không gian (b)

39

-Vẽ các vectơ vế phải của (b) (hình 4-6Ðb)

Tìm ä, : chiếu hai vế của (b) lên ba trục Để các, ta có :

1) Bài toán phân tích chuyển động của điểm

4-1 Tay quay OA =1, quay đều quanh O với vận tốc góc œạ làm con chạy A chuyển động trong rãnh của culit K làm cho K cùng pittông B chuyển động theo phương ngang (hình 4-7)

Lúc khảo sát = 30” Hãy tim:

- Vận tốc culit Ñ, vận tốc của A đối với K

- Gia tốc của K, gia tốc của A đối với K

40