Khảo sát về các loại mã dùng trong hệ thống truyền tin

i p + š tỳ I- p“”,deven Biểu thức này có thể được làm đơn gián hơn trong trường hợp d là một số lẻ theo cách sau, £ ử xác suất chéo của kênh BSC là nhỏ hơn Ta thấy rằng giới hạn trong

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC SU’ PHAM KY THUAT

THÀNH PHÓ HÒ CHÍ MINH

HGMUIIE

ĐỎ ÁN TÓT NGHIỆP NGÀNH LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP

KHẢO SÁT VỀ CÁC LOẠI MÃ DÙNG

TRONG HE THONG TRUYEN TIN

GVHD: LE MINH THANH SVTH: TRAN TRUNG TIN

115 SKKL OO11:- -

TP Hồ Chí Minh, tháng 12/2001

Ệ Mặc dà kiển thức vẻ viễn tháng, một lĩnh vực hoàn toàn mới

i mé va rong lớn còn khá it di, nhung trong suốt hon hai tháng qua,

i chune cũ đà cố gắng hết sức minh để hoàn thành đê tài này

Chung em xin chân thành cẩm tạ :

~_ Những người thân thân trong gia đình đã động viên, cổ vũ tình thân rất nhiễu

- Thdy Lê Minh Thành trực tiếp hướng dẫn, đã tận tình dẫn dắt chúng em xác định đúng dắn nội dung, mục đích yêu câu

đặt ra của đề tài trong suốt thời gian nghiên cứu

- Thay Nguyễn Việt Hàng — Chủ nhiệm bộ môn Điện tử

trường Đại học Sự phạm Kỹ thuật

khoa Điện cùng các bạn đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ để em

hoàn thành Luận văn tốt nghiệp này

Sinh viên thực hiện

Trin Frung Fin

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : LÊ MINH THÀNH

giới Nó giúp cho chúng ta có thể tiếp cận một cách nhanh chóng và chính

vác các tiến bộ khoa học kỹ thuật cũng như trong cuộc sống hàng ngày của các nước trên thế giới Vì vậy đòi hỏi phải có độ tin cậy và tính chính xác cao ở hệ thông truyền tín Một hệ thống truyền tín kém hiệu quả, thông tin nhận được không đúng với thông tin phát đi thì hậu quả thật không lường trước được Do đó, việc nghiên cứu về hệ thống truyền tin mà ở đây là về các loại mã hóa thông tin ở một hệ thống truyền tin, từ đó có phương án lựa chọn cho mình một cách khái quát về việc mã hóa riêng Trong thực tế có rất nhiều cách để mã hóa thông tin, trong đề tài này em chỉ trình bày 3 loại

mã cơ bản nhất dùng để mã hóa thông tin, các loại mã này được ứng dụng

rộng rãi trong các hệ thống thông tỉn vệ tỉnh, thông tin viba

Vì thời gian và kiến thức có hạn, đông thời tài liệu về mã chưa nhiễu,

chắc chắn rằng trong đề tài này không tránh khỏi những thiếu sót Rất

mong sự chỉ bảo hướng dẫn thêm của các thầy cô cũng như sự đóng góp ý

kiến của bạn bè đồng nghiệp

“hân 2s đĩa

-LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD : LÊ MINH THÀNH

-LUẬN VAN TỐT NGHIỆP GVHD : LE MINH THANH

Mã hóa nguồn tin X theo bộ mã M là phép ánh xạ 1: 1 biến đổi một

tin x; € X thành một tổ hợp các ký hiệu của bộ mã M

-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVIID : LÊ MINH THÀNH

b) Trọng lượng từ mã :

“Trọng lượng từ mã là tổng số các ký hiệu khác 0 của từ mã đó

Ký hiệu w (Wj) : là trọng lượng của từ mã W;

Trong các hệ thống thông tin, mã hóa nhằm mục đích :

- Tăng tính hữu hiệu của hệ thống thông tin, nghĩa là tăng tốc độ truyền tin

Trong các hệ thống thông tin, tốc độ lập tin R còn cách xa thông

lượng kênh Nhiệm vụ của mã hóa là biến đổi tính thống kê của nguồn làm cho tốc độ lập tin tiếp cận với khả năng thông lượng của kênh

- Tăng độ tin cậy của hệ thống thông tin, nghĩa là tăng khả năng

chống nhiễu

Trong các kênh truyển có nhiễu, điều ta cần quan tâm đến nhiều

nhất là độ chính xác của tin tức, nghĩa là các tin truyền đi và nhận được ít

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD : LE MINH THANH

Khi hai bên A và B muốn truyền tin tức cho nhau mà không muốn

cho người khác biết được nội dung của tin tức đó thì họ sẽ dùng mã hóa để

bảo mật tin tức của họ

4 Phân loại theo cách tạo mã

Trong việc truyễn tin có 2 loại mã được sử dụng phổ biến là mã khối

(Block code) và mã xoắn (Convolutional code)

a) Mã khối:

Bộ mã hóa của khối sẽ chia dòng thông tin thành những khối tin

(message block) ¢6 k bịt Mỗi tin được biểu diễn bằng khối k thành phần

nhi phan u = (u), us uj), u duge gọi là vector thông tin (message) Có tổng cdng 2° vector thong tin khac nhau, Bộ mã hóa sẽ chuyển vector thông tin

u thành một bộ n thành phân (n-tuple) v = (vj, v¿ vạ) được gọi là từ mã

Nhu va với 2* vector thông tin sẽ có 2" từ mã khác nhau Tap hgp 2*

từ mì u đài n được gọi là một mã khối (n, k) Tỉ số R = k/n được gọi

là tỉ số mã R chính là số bit thông tin đưa vào bộ giải mã trên số bit được truyền Do n bit ra chỉ phụ thuộc vào k bít thông tin vào, bộ giải mã không cần nhớ và có thể thực hiện được bằng mạch logic tổ hợp

Bộ mã hóa của mã xoắn giống như bộ mã hóa của mã khối, cũng

nhận k bit thông tin u và tạo thành từ mã v là những khối n bit Nhưng n bit

của từ mã v không chỉ phụ thuộc vào k bit thông tin, mà còn phụ thuộc vào

m bít thông tin trước đó Do đó bộ mã hóa có một bộ nhớ m Tập hợp dòng

mã hóa n bit sinh bởi k thông tin và bộ nhớ m được gọi là mã xoắn (n, k,

m) TỶ số R = k/n cũng được gọi là tỉ số mã Do tính chất của mã xoắn nên phải được thực hiện bằng mach day

II CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN MÃ

1 Phương pháp liệt kê:

Đây là cách trình bày đơn giản nhất : liệt kê trong một bảng những

nguồn tin của nguồn và chỉ rõ các từ mã tương tứng

-LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD : LE MINH THANH

Bảng 1.1 : Bằng mã các tin trong nguồn tin A

Phương pháp này tuy rõ ràng nhưng không thích hợp bộ mã lớn và

cổng kênh

3, Phương pháp mại phẳng tọa độ của mã

Phương pháp này chỉ thích hợp cho các loại mã có trọng số Dựa trên

2 thông độ dài n và trọng số b của từ mã để lập nên một mặt phẳng

tọa độ Mỗi từ mã được biểu diễn bằng một điểm trên mặt phẳng tọa độ

(n, b) Nếu từ mã V = (vo Vz) được mã hóa bở bộ mã m có cơ số là m; vị

eM và v;=0,l m-] với ¡ = 1,2 n Trong đó qui ước vị trí đầu tiên bên

trái ứng với ký hiệu vị là vị trí có trọng số nhỏ nhất : m), vị trí thứ ¡ tính từ trái sang phải ứng với ký hiệu vị có trọng số là m'Ì ; vị trí cuối cùng thứ n

tương ứng với vạ có trọng số là m”, Khi đó, trọng số b của từ mã là tổng

các ký hiệu có trong từ mã sẽ được tính theo công thức :

-LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD ; LE MINH THANH

Định ló :

Không có 2 từ mã của cùng bộ mã nào có thể cùng được biểu diễn

cùng một điểm trên mặt phẳng tọa độ (n, b)

Ví dụ : Bộ mã : 00, 01, 100, 1010, 1011 sẽ được biểu diễn như sau :

Cây mã gồm có nút lá, nút gốc và các nút trung gian Gốc của cây

gọi là nút gốc (mức 0) từ nút gốc và nút trung gian có thể phát triển tối đa

m nhánh (tương ứng với cơ số m) hoặc ít hơn, mỗi nhánh mang một giá trị

nút lá đều có m nhánh

SVTH: Tian «uy Za— Lớp 97KĐĐ Trang -

7-LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD : LÊ MINH THÀNH

Mức gốc (0) Mức 1 (n=1) Mức 2 (n=2) Mức 3 (n=3) Mức 4 (n=4)

(1010) (01) Hinh 1.1’: Cây mã nhị phân cho bộ mã 00, 01, 100, 1010, 1011

4 Phương pháp đồ hình kết cấu :

Gốm những mút và nhánh có hướng Mỗi từ mã được biểu diễn bằng

một vòng kín xuất phát từ nút gốc theo các nhánh có hướng (chiều mũi

tên) qua các núi trung gián và trở về kết thúc tại nút gốc

Hình 1.2 : Đô hình kết cấu của bộ mã 00, 01, 100, 1010, 1011

Ví du : Đồ hình kết cấu của bộ mã 00, 01, 100, 1010, 1011 được vẽ như

hình 1.2

Dấu v: toán th OR

5 Phương pháp hàm cấu trúc mã:

Phương pháp này mô tả rõ ràng một đặc tính quan trọng của mã là

sự phân bố các từ mã có độ dài khác nhau Ký hiệu G (n¡)

Ví du : Bộ mã 00, 01, 100, 1010, 1011 có G(n):

2, m=2 Gin, 41,0, =3

2, 7, =4

SVTH : Tién Trung Fin - Lop 97KDB Trang - 8~

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD : LÊ MINH THÀNH

6 Phương pháp dàng ma trận sinh :

Phương pháp này là mô hình toán để biểu diễn mã tuyến tính Đây

là công cụ toán học được dùng để tạo mã tuyến tính

7 Phương pháp dàng đa thức sinh:

Phương pháp này là mô hình toán để biểu diễn mã đa thức (mã

vòng) Nhờ công cụ toán này có thể dễ dàng tạo mã và giải mã đối với mã

vòng

B CƠ SỞ TOÁN HỌC,

1 TRƯỜNG

L Định nghĩa :

Lãy F là một tập hợp định nghĩa 2 phép toán 2 ngôi : phép cộng (+)

và phép nhân (.) Tập F gồm 2 phép toán (+) va (.) là một trường nếu thỏa

mãn cúc điều kiện sau :

- E là một nhóm giao hoàn đóng với phép cộng Phần tử đơn vị trong

quan hệ phép cộng gọi là phan tử zero (0) và ký hiệu là 0

- Tập hợp các phần tử khác 0 (non zero) trong F là một nhóm giao hoàn dưới phép nhân Phan tử đơn vị trong phép nhân gọi là đơn vi (unit)

và ký hiệu là 1

- Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng : khi cho 3 phần tử a, b, c trong F thì a (b+c) = a.b + a.c

Từ định nghĩa trên ta thấy một trường bao gồm tối thiểu 2 phần tử :

phần tử đơn vị của phép cộng và phân tử đơn vị của phép nhân Số phần tử

trong một trường gọi là bậc của trường Một trường với số phần tử giới hạn

gọi là trường hữu hạn

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : Li MINH THANH

b) Tính chất 2:

Từ 2 phần tử a và b bất kỳ # 0 trong một trường luôn có a.b # 0

©) Tỉnh chất 3:

Nếu a.b =0 và a #0 thì b=0

d) Vinh chat 4:

Cho 2 phan tử a và b bất kỳ trong một trường ta luôn có :

(a.b) = (-a).b = a.(-b)

e) Tinh chdt S:

Nếu a #0 và á.b = a.cthìb=c

3 Các ví dụ :

Vi du 1: Xét tập {0,1} cing phép cộng và phép nhân modul-2 Trong

ví dụ 2-1 ta thấy {0,1} là một nhóm giao hoán đồng đối với phép cộng

modul-2 Dễ dàng kiểm tra phép nhân modul-2 là sự phân phối trên phép

cộng modul-2 : a.(b+c) và a.b + a.c của sự kết hợp có thể có của a, b, c(a

= 0 hoặc 1 ;b = 0 hoặc 1 ; c= 0 hoặc 1) Do vậy tập hợp {0,1} là một

trường của 2 phần tử dưới phép cộng và nhân modul-2

-LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD : LÊ MINH THÀNH

Ví đụ 2 : Xét tập {0,1, p —1} là nhóm giao hoán đóng với phép cộng modul -2, các phần tử khác không của tập [0,1, p —1} cũng là nhóm giao hoán đóng với phép nhân modul -p Do vậy, phép nhân modul-p có tính

phân phối trên phép cộng modul-p Khi đó, [0,1, p — 1} là một trường có

bậc p, khi p = 2 ta có trường nhị phân ký hiệu GL(2)

Khi p=7, phép cộng và phép nhân modul -7 được thực hiện như sau:

+0 1 2 3 4 5 6

00 1 2 3 4 5 6 LỊT #8 3 # 5 6 @

| 21/2 3 4 5 6 0 1

| 3 4 5 6 0 1 2

l4a|4 5 6 0 1 2 3

5|5 6 0 1 2 3 4 6/6 0 1 2 3 4 *5

4 Trường toán học nhị phân:

a) Đa thức tối giản:

Định nghĩa : Đa thức p (x) trên GL (2) bậc m gọi là đa thức tối giản trên

GL (2) nếu p(x) không chia hết cho bất cứ đa thức nào có bậc nhỏ hơn m

nhưng lớn hơn 0

Ví dụ : Đa thức x) + x + I là đa thức tối giản bậc 3 vì nó không chia hết

cho bất kỳ đa thức nào có bậc I hoặc 2

Định lý : Bất kỳ một đa thức tối giản bậc m nào trên trường GL (2") đều là

Dinh nghĩa: Một đa thức tối giản bậc m p(x) được gọi là căn bản nếu n là

số nguyên dương nhỏ nhất sao cho x” + 1 chia hết cho p (x), khi đó n=2” -1

Bảng 1.7 : Bằng các đa thức căn ban

-LUẬN VAN TOT NGHIỆP GVHD : LB MINH THANH

1 CÁC MÔ HÌNH KÊNH

1 Kênh nhị phân đối xứng

Ở kênh nhị phân đối xứng (BSC) xác suất lỗi Pạ là xác suất để cho

số bit bị lỗi lớn hơn hay bằng một nửa của đ bit được truyền Giả sử kênh

BSC có xác suất chéo là p, Pạ được tính thông qua sự thực hiện một tổ hợp

đơn giản như sau :

lola 2}? (i p) + š tỳ (I- p)“”,deven

Biểu thức này có thể được làm đơn gián hơn trong trường hợp d là

một số lẻ theo cách sau, £ ử xác suất chéo của kênh BSC là nhỏ hơn

Ta thấy rằng giới hạn trong công thức 1.2 chặt chẽ hơn giới hạn

Bhattacharryya Phuong trình 1.2 có thể được chuyển sang giới hạn

Bhattacharrya bởi sự mở rộng giới hạn cho tong:

Giới hạn dưới của bit error rate cho kên BSC được rút ra như sau :

Giả sử bộ giải mã được làm sống bởi một phép thần thông nào đó Một

SVTH : đền ưaug đa Lóp 97KĐĐ Trang 13

-LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD : L& MINH THANH

mạch số sẽ kiểm tra từ mã nhận được và đưa tới bộ giải mã hai từ mã để

chọn, một từ mã chính là từ mã được truyền y còn từ mã kia là Ya, từ mã

này có khoảng cách là dụ., so với từ mã y Nếu ở bộ giải mã không được

trợ giúp bởi mạch số trên thì việc lựa chọn giữa hai từ mã đó cũng giống như tất cả các từ mã khác, tỉ lệ bit lỗi của bộ giải mã không có sự trợ giúp

Ta sử dụng bộ mã hóa có (n,k) = (2,1) (Constraint-length) trong ví dụ

ở phần 1 Giới hạn Bhattacharrya trong phương trình 1.3 được sử dụng để

tính toán giới hạn trên cho bit error rate cho mã convolutional trên kênh

BSC với xác suất chéo là p:

Phương trình trên cho ta một đường đặc tính rơi vào giữa hai giới hạn

trên, gọi là đường gần đúng

P, ~b,„ba[pä= Đ]”” =256Ip - IP

2 Kênh rời rạc không nhớ

Kênh BSC là một trường hợp đặc biệt trong số các kênh có đầu vào

mức, tức là đầu vào của bộ điễu chế là tập hợp X = {Xo, xu„ xạ =L} và ở

14-LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD : LÊ MINH THANH

đầu ra của bộ xác định là các ký hiệu Q mức, với Q >M = 21 Nếu kênh và

bộ điều chế là không nhớ thì quan hệ giữa đầu ra và đầu vào của kênh

phức hợp được biểu diễn bởi qQ xác suất có điều kiện :

P(Y =yiIX=x)=P(Gix) — (5)

Với =0, 1, , Q— I và j=0, 1, q—1 Kênh như vậy gọi là kênh

rời rạc không nhớ (Discret Memorylcss Channel-DMC), như trên hình 1.3

Như vậy nếu đầu vào của kênh DMC là dãy n ký hiệu uạ, uạ, uạ thuộc X

và dãy ra tương ứng vị, V, vạ thuộc Y thì ;

Hình 1.3 : Kênh rời rạc ạ đầu vào, Q đầu ra

Tổng quát, các xác suất có diéu kiện (P(yilx;)} đặc trưng cho kênh

DMC tạo thành ma trận P = [p;] với p¡ = P(ilX;) P gọi là ma trận xác suất

chuyển đổi của kênh

3 Kênh tương tự

Chúng ta có thể tách bộ điều chế khỏi kênh vật lý và xét mô hình

kênh với tín hiệu vào và tín hiệu ra là liên tục Giả thiết kênh có dải thông

W và đáp ứng tần số lý tưởng CỚ) = l trong dai thông, tín hiệu bị ảnh hưởng bởi nhiễu cộng gaussian trắng Giả thiết tín hiệu vào x(t) 14 tin hiệu

có dải tần hữu hạn và tín hiệu ra tương ứng là y(0, thế thì :

y() = xŒ) + nữ) q7)

-LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD : LE MINH THÀNH

Do nhiễu trắng là gaussian nên mọi tập hợp đẩy đủ các hàm trực

giao đều có thể sử dụng trong khai triển 1.8 Bây giờ chúng ta có thể sử dụng các hệ số trong khai triển để đặc trưng cho kênh Do y; = Xị + nj V6i nj

là biến ngẫu nhiên gaussian nên :

1 eral xŸ/2z) lai

Do các ham {f,(t)} trong khai triển là trực chuẩn nên {n;} là không

tương quan Do chúng là các biến ngẫu nhiên guassian nên chúng độc lập

thống kê Do đó :

¡=12 đ.19)

N (Vis You 2 YnIXts X2s or» XN) = Ipc ly) (1.12)

N Như vậy kênh tương tự đã được chuyển thành kênh rời rạc

ởi xác suất có diéu kién trong 1.10

tương đương được đặc trưng b‹

phương ơ?= ⁄4No với mọi i thi x(0 và y(© có thể được lấy mẫu theo tốc độ Nyquist là 2W mẫu/s, nhu vay % = x(i/2W) va y; = y(i/2W) Do nhiễu là

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD : LÊ MINH THÀNH

trắng nên các mẫu của nhiễu là độc lập thống kê Như vậy 1.11 và 1.12

đặc trưng thống kê cho các mẫu tín hiệu

Việc lựa chọn mô hình kênh phụ thuộc vào mục tiêu nghiên cứu của

chúng ta Nếu chúng ta quan tâm tới việc thiết kế là phân tích độ hiệu quả

của bộ mã hóa và giải mã hóa kênh rời rạc thì ta xét mô hình kênh trong

đó bộ điều chế và giải điều chế là một phần của kênh phức hợp Nếu ta

muốn thiết kế và phân tích độ hiệu quả của các bộ điều chế và giải điều chế số thì ta sử dụng mô hình kênh là tương tự

4 Kênh dầu vào rời rạc, đầu ra liên tục

Giả thiết đầu vào của bộ điều chế là các ký hiệu trong tập hợp hữu hạn X = [x¿, xị Xụ¡} và đầu ra của bộ xác định là không lượng tủ (Q= oo), Nhu vay dau vào của bộ giải mã kênh nhận các giá trị trên trục thực (Y = {- ©, #]) Ta định nghĩa một kênh phức hợp không nhớ rời rac theo

thời gian đặc trưng bởi đầu vào X rời rạc, đầu ra Y liên tục và tập hợp các

hầm mật độ phân bố xác suất có điều kiện :

Ở đây G là biến ngẫu nhiên gaussian giá trị trung bình bằng 0 và sai

phương ơ?, X = xụ k= 0, 1, q~ 1 Với X = xu, Y là biến ngẫu nhiên có

giá trị trung bình x„ và sai phương ơ? Như vậy :

Điều kiện để kênh không nhớ là :

(te Yor ne Ya Bi = Bis X= Ua Me 0) = [IPs |, =m) (117)

Tin - Lop 97KDD Trang - 17 -

®EL 00415£

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : LÊ MINH THÀNH

5 Thông lượng kênh

- Giả thiết ta có kênh DMC với bộ ký hiệu vào X = }Xo, X„ Xại} và

bộ ký hiệu ra Y = [yo, yị, yọa) và tập hợp các xác suất chuyển đổi

P(yix;) Giả thiết ký hiệu x; được phát đi và phía thu nhận được ký hiệu y¡

thì lượng tin tương hỗ được tính là log [P(yilxj/P)(yj)] với :

10:7) = SY Pos, Poy, |x, low dike PO) YN) que)

Tình chất của kênh xác định bởi xác suất chuyển đổi P(ị lx;) nhưng

ất các ký hiệu vào được xác định bởi bộ mã hóa kênh Giá trị cực

đại của IQX ; Y) theo phân bố xác suất các ký hiệu đầu vào P@j) là một giá trị chỉ phụ thuộc vào tính chất của kênh DMC Ta cũng gọi giá trị đó là thông lượng của kênh và cũng ký hiệu là C Như vậy :

TL KHOANG CACH TOI THIEU CUA BỘ MÃ

1 Trong luong Hamming

vại) là một vector thành phần nhị phân Trọng

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : Lf MINH THÀNH

2 Khoằng cách Hamming

Khoảng cách Hamming (Hamming Distance) của hai vector có cùng, chiều dài u và v, ký hiệu là D(u,v) được định nghĩa là số vị trí mà chúng khác nhau,

Từ định nghĩa kho: ách Hamming và định nghĩa cộng modul-2

giữa hai vector u và v, khoảng cách Hamming của u và v bằng trọng lượng,

Hamming của tổng u và v:

Vi du :

Khoảng cách Hamming của v = (1 00101 1) và w=(1110010)

là 4 và trong lượng của v + w = (0 Ï 11001) cũng là 4

3 Khodng céch Hamming tối thiểu của một bộ mã

Cho một mã khối C, có thể tính khoảng cách Hamming giữa hai từ

mã khác nhau Khoảng cách Hamming tối thiểu (minimum Hamming distance) cla C là khoảng cách Hamming nhỏ nhất trong tập khoảng cách

Hamming giữa hai từ mã bất kỳ của C ký hiệu là d„ạ được biểu diễn bởi :

din = min {đ(Œx,y):X,y €C#V]

= min (w(v) : v e C, v0}

= Wmin

= min (wŒ) :x e C, X# 0} được gọi là trọng lượng

THATS Mia amming weight) cla ma tuyén tinh C

Hamming t6i thiéu (minimum Hi

-LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD : LE MINH THÀNH

vector tổng của những cột này bằng 0, Ngược lại nếu H có l cột mà có tổng

bằng 0, thì trong C có một vector mã có trọng lượng Hamming là Ì

= vịhi + vah¿ + + Van

= vụhi + vạha + + + Vii

=hị + hạ + + bù

Ngược lại, giả sử bạ, hạ, bạ là l cột của H => hụ + hạ + + hạ = 0

Cho x là vector nhị phân n thành phần : x = (Xị, Xạ, Xq), cdc thanh phần khác 0 của x là xụ, Xa «› Xi: Trọng lượng Hamming của x là |

-LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD : LÊ MINH THÀNH

Theo giả thiết thì x.H” = 0 => x là vector mã có trọng lượng l

Có thể nhận thấy rằng tất cá các cột của H đều khác 0 và không có

hai cột nào giống nhau Do đó số cột mà tổng của chúng bằng 0 không nhỏ

hơn 2 Vì thế trọng lượng tối thiểu của mã này ít nhất là 3 Mặt khác cột

thứ 0, 2 và thứ 6 có tổng là 0 Vậy trọng lượng Hamming tối thiểu của mã

ác sử dụng và được nghiên cứu nhiều là mã có

điểm có ích cho việc khai thị

-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: LÊ MINH THÀNH

_ Mã có tính prefix được định nghĩa như sau : Một bộ mã được gọi là

mã có tính prefix nếu bất kỳ từ mã nào cũng không phải là phân đâu cửa

bất kỳ một từ mã khác trong bộ mã

Khi biểu diễn mã bằng cây mã, ta nhận thấy bộ mã có tính prefix

khi các từ mã chỉ là nút lá Mã đây là bộ mã có tính prefix

Trong thực tế các loại mã không đồng đều mà không có tính prefix

không được nghiên cứu vì không có giá trị thực tế Lý do là các thiết bị mã hóa và giải mã quá phức tạp

Từ tính chất nói trên của mã có tính prefix, ta có thể dùng hàm cấu trúc mã để rút ra được điều kiện tổng quát về tính phân tách được của mã

-LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD : LÊ MINH THÀNH

CHƯƠNG II

MÃ KHỐI TUYẾN TÍNH

SVIH : Øuân Fung Gin - Lop 97KDD

Trang 23

-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : LÊ MINH THÀNH

CHƯƠNG II

MÃ KHỐI TUYẾN TÍNH

1 ĐỊNH NGHĨA:

Một mã khối có chiều dài n gồm 2Ì từ mã được gọi là mã tuyến tính

(nk) nếu và chỉ nếu 2È từ mã hình thành một không gian vector con k

chiều của không gian vector gồm tất cả ¢ vector n thành phân của GF(2)

Mã khối nhị phân là tuyến tính khí va chỉ khi kết quả cộng modul-2

của hai từ mã cũng là một từ mã Mã khối được cho ở bảng 2.1 là mã

-LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : LÊ MINH THÀNH

II MÃ HÓA DÙNG MA TRẬN SINH VÀ MA TRẬN KIỂM TRA

1 Ma trận sinh:

/ Mã tuyến tính C (n, k) là một không gian con k chiều của một không

gian vector n thành phần Do vậy có thể tìm được k từ mã độc lập tuyến

Linh (go Sty Ser) trong C Mỗi từ mã trong C là một tổ hợp tuyến tính của

k từ mã độc lập tuyến tính này :

V = UoGo US i t+ U1 Ber (2.1)

Đặt k từ mà độc lập tuyến tính này thành những hàng của ma trận cấp kxn như sáu

So Bw Bu Boat G= & bs ` hở on B es (22)

Sỉ Biro Sarr Berns

Với gi = (Cio, Bits» Bian) VOLO <i<k

G gọi là ma trận sinh của mã tuyến tính C (n, k)

Nếu u = (Uo, Ui, = Ue) 1a thông tin cần được mã hóa, các từ mã được

tạo ra là v được tính toán theo công thức :

V Vì lý do này G được gọi là

ma trận sinh (generating matrix) của C

SVTH : Fudn Foang Fin — Láp 97KBP

Trang - 25 -

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : LÊ MINH THÀNH

Ví dụ ]:

#ø] [1101000 œ-|#:|L|0110100

#ø | |1110010

Néu (1101) là thông tin sẽ được mã hóa, từ mã tương đương của nó

xẽ được tính như sau :

Vv = I.got Lg) +0.g2 + lgs

=(1101000)+(0110100)+(1010001)

=(0001101)

(phép cộng ở day là phép cộng modul-2) Cấu trúc của từ mã dạng mã khối tuyến tính hệ thống như hình sau :

Hình 2.1 : Dạng từ mã của mã khối tuyến tính hệ thống

Một từ mã được chia thành hai phân là phần thông tin (message) va

phần kiểm tra dư thùa (redundant checking) Phần thông tin gồm có k bit thông tin nằm ở bên phải và phần kiểm tra dư thừa gồm n-k bit kiểm tra

thêm vào nằm ở bên trái Mã khối tuyến tính có cấu trúc như vậy gọi là

mã khối tuyến tính hệ thống (linear systematic block- hình 2.1) Một mã khối tuyến tính (n, k) được biểu diễn bởi ma trận G (n, k) như sau :

há NGHIỆP GVHD : LÊ MINH THÀNH

định Khi đất hoặc 1 Goi I, là ký hiệu của ma trận đơn vị k x k xác

G=[PIK] (2.5)

Cho U = (Up, Uy omnes Ut) 12 thong tin duge ma héa tong ting tiv ma 1a :

V = (Voy Vp ove vy Viet)

"` (2.6)

"Từ các công thức 2.4 và 2.6, ta có :

vu =U,v0<€i<k (2.7)

va Vy = tụ # iPy, #. -. <<<- # 06 De.lj (2.8)

Trong công thức 2.7, k con số bên phải của từ mã v chính là các bit

thong tin (Ug, tị tý.¡) cần được mã hóa và công thức 2.8 cho thấy n-k con

số thừa bên trái là tổng tuyến tính của vùng thông tin Công thức 2.8 được

gọi là công thức kiểm tra chẵn lẻ

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD ; Lf MINH THÀNH

Cho bất kỳ ma trận G (k x n) với k hàng độc lập tuyến tính, luôn

luôn tổn tại ma trận H [(n-k) x n| với n-k hàng độc lập tuyến tính

Nếu ma trần sinh có mã tuyến tính (n, k) như dang trong công thức

2.5 thì mà trần kiểm tra chẩn lẻ như sau :

ma trận G bằng công thức 2.4 và kiểm tra hàng thứ j của H bằng công thức

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : LÊ MINH THÀNH

II GIẢI MÃ

1 Tính Syndrome

Xét một mã tuyến tính (n, k) với ma trận sinh G và ma trận kiểm tra

H Gọi v = (vụ, vị , vạ.¡) là từ mã được truyền đi qua kênh có đặc tính nhiều Gọi r = (rụ, rị „ „¡) lầ vector nhận được từ kênh truyền Vì kênh truyền có nhiễu nên r nhận được có thể khác v

Dĩ nhiên là bên thu không biết được y và e khi nhận được r Bộ giải

mã phải xác định r có chữa lỗi truyền hay không Nếu lúc đó lỗi được phát hiện thì bộ giải mã sẽ thực hiện việc định vị lỗi và sửa lỗi hoặc yêu cầu truyền lại

Khi nhận được r bộ giải mã sẽ tính bộ (n — k) thành phần

(2.12)

s được gọi là hội chứng (syndrome) của r.§ = 0 khi và chỉ khi r là từ mã.s

#

0 nghĩa là r không là từ mã

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : LÊ MINH THÀNH

Từ phương trình trên ta có thể thấy rằng s đơn giản là tổng của các bịt cùng cấp nhận được r0, r1, r2 , „.1 và bit kiểm tra tính lại từ các bit

một mạch tương tự như mạch mã hóa

LUẬN VĂN TỐT Nghiệp GVHD : LÊ MINH THÀNH

Syndrome 8 được tính từ r, thực sự chỉ phụ thuộc vào vector sai e do

r là vector tổng của v và e từ công thức 2.12 suy ra:

s=nH"=(v+e)H’=v.H"4

eH"

mà v.H"=0>s=eH" (2.14)

Nếu ma trận H biểu diễn dưới đạng công thức 2.9 thì ;

€ụ Thy, + lạ tế, neta Py Foe FO Py yg

Ce thee Pt epi Ay Patty Pay (2.15)

Set Cy gai thet Pectin tCpter* Pensa ton F Cjey _

từ công thức 2.15 nhận thấy rằng s là tổ hợp tuyến tính đơn giản

những thành phản của vector lỗi

3 Phát hiện sai và sửa sai

Một mã khối với khoảng cách tối thiểu d„¿„ có khả năng phát hiện

được cực đại (dạ¡n- 1) lỗi

Gọi C là một mã khối tuyến tính (n, k) Những con số Ao, Aj, Ag

được gọi trọng lượng phân bố (weight distribution) của C Trọng lượng

phân bố được hiểu là : với A; thống kê xem có bao nhiêu vector có trọng lượng ¡ Nếu dùng C cho việc phát hiện lỗi trên hệ thống Block Sum Check

(BSC) thì xác suất bộ mã giải thất bại trong việc phát hiện sai có thể tính

được bằng trọng lượng phân bố

Gọi P, (E) là xác suất sai không phát hiện được, P là xác suất kênh

truyén của BSC (P là xác suất sai một bit) P,() được tính như sau :

P„()=Š) ÁP 'd=P)” a (2.16)

Xét mã khối tuyến tính với k = 4, n = 7 như ở bảng 2.1 có thể thấy

trọng lượng phân bố của mã này là Áa= 1, Ai = Àz= 0, À› =7, A; = As =

-LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD : Li MINH THÀNH

=| 2 4 mi

Néu P = 10 thì xác suất Pạ(E) = 7.10" Nói cách khác nếu có

E0000 từ mã được truyén qua hé théng BSC véi P = 10? thì có trung

bình 7 lỗi đi qua hệ thống mà không bi phát hiện

Một mã khối với khoảng cach t6i thi€u dwn C6 kha nang sita Idi ngẫu

nhiên (random error correcting) 1d t = (dmin — 1)/2 Nghĩa là nó có thể sửa

những từ mã sai có số lỗi íL hơn hay bằng t ỷ

3 Giải mã syndroime

Gọi C là một mã khối tuyến tính (n, k) Gọi v = (vị vụ) là những vector mã bị truyền qua kênh nhiễu, vector nhận có thể là bất kỳ trong 2°

vector n thành phản Bộ giải mã sẽ phần chia 2° vector nhận được nay tạo

thành 2` tập con rời rạc (pị 0„,), mỗi vector vị thuộc tập pị với 1 <i <2"

Vì vậy mỗi tập p, là sự tướng ứng 1-1 với vị Việc giải mã được thực hiện

đúng khi và chỉ khi vector nhận r thuộc p; tương ứng với vector mã thực sự

vector n thành phần còn lại, vector e; được chọn và đặt tại cột vị Sau đó es

được chọn và đặt tại cột vị Sau đó hàng thứ ba được tính bằng cách cộng

® với các thành phân vị ở hàng đâu tiên và tổng được đặt ở cột Vị hang e3

Tiếp tục thực hiện cho đến khi tính xong tất cả bộ n thành phần

thấy rằng có 2⁄2" = 2"* hàng khác nhau trên một

ôm có 2F phân tử khác nhau 2"* hàng đó được gọi ) của mã C, và vector n thành phần đầu tiên của

oset leader (tập con đầu)

Từ định lý trên

dãy chuẩn Mỗi hàng 8

là những tập con (coset

mỗi tập con e¡ được gọi là ©

ược miêu tả ở trên được gọi là giải mã

— giải mã bằng cách tra bảng Về nguyên tắc giải mã bằng

giải mã đi

SVTH : đuôi Pung Gin - Lop 97KDD

Tang - 32

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD: Li MINH THÀNH

cách tra bảng có thể được sử dụng cho mã tuyến nh (n, k) bất kỳ Tuy

nhiên với n.k lớn, nó sẽ tốn nhiều không gian lưu trữ và tốn nhiều thời gian

vn toán khi đi tìm coset leader có syndrome phù hợp với syndrome nhận

cả cúc vector lỗi có trọng lượng là 1 hoặc 0 Do đó tất cả các vector 7

thành phần có trọng lượng là 1 hoặc 0 có thể sử dụng làm coset leader

Các vector lỗi có thể sửa được coset leader và syndrome tương ứng của nó

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : LÊ MINH THÀNH

Giả sử vector v=(1 0010 1 1) được truyền é và r =

được nhân, tính syndrome của r : =nyene=d0081110

"Tóm lại, giải mã được tiến hành qua 3 bước :

Bude Ñ |: Tinh syndrome s =H" dar

Đồ tìm coser leader e, có syndrome bằng với s được giả định là

Bước 2 :

vector lỗi gây ra bởi kênh truyền

Bước 3 : Giải mã vector nhận được r thành mã vector vị = r + €¡

Việc giải mã như trên được gọi là giải mã syndrome hay giải mã tra

bảng Sơ đồ khối tổng quát được biểu diễn trên hình 2.4

Vector được sửa sai

Hình 2.4: Sơ đồ giải mã tổng quát của bộ giải mã khốt tuyến tính

——

a

SvrH : Fidn Trung Fin - Lop 97KDD

=

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP GVHD : LÊ MINH THÀNH

4 Xác suất sai không tính được

Nếu một mã tuyến tính (n.k) được dùng chỉ để phát hiện sai cho

B§C, xác suất sai không phát hiện được, ký hiệu là P,(E) dude tinh theo

công thức 2.16 nếu đã biết trọng lượng phân bố Tổn tại một mối quan hệ

giữa trọng lượng phân bố của một mã tuyến tính và trọng lượng phân bố

của mã đối ngẫu của nó Quan hệ này làm cho việc tính xác suất sai không

phát hiện được Pu(E) dễ dàng hơn Gọi (Ao, A, Áa) là trọng lượng phân

bố của mã tuyến tính C(n,k) và gọi (Bạ, B,„ B„) là trọng lượng phân bố

của mã đối ngẫu Cụ Biểu diễn hai trọng lượng phân bố dưới dạng đa thức

Các đa thức A(z) va B(z) được gọi là những đa thức đếm trọng lượng

(weight enumerator) của mã tuyến tính C(n.k) và mã đối ngẫu Cy Ti ding

thức Mac Williams nhận thấy rằng nếu biết trọng lượng phân bố của mã

đối ngẫu C thì có thể xác định được trọng lượng phân bố của mã tuyến

tính C

mã đối ngẫu Cạ Thật vậy, trước tiên đưa công thức 2.16 về dạng sau :

LUAN VAN TOT NGHIEP GVHD: LB MINH THANH

Trong công thức 2.17, thay z = ÿ Z= p/(1-p) và ậ

Từ đó thấy: rằng có hai cách để tính xác suất sai không phát hiện

được cho mã tuyến tính, thông thường luôn có một cách dễ hơn, ngược lại

thì cách dùng công thức 2.21 dễ hơn

Ví dụ :

Cho mã tuyến tính (7,4) được cho ở bảng 2.1 mã đối ngẫu của mã

này được sinh bởi ma trận kiểm tra sau :

1001011

0010111

'Tổ hợp tuyến tính của các hằng của ma trận H sẽ nhận được 8 vector

sau đây của mã đối ngẫu :