Chủ Đề ma trận Định thức,hệ phương trình tuyến tính và Ứng dụng

GIẢI BÀI TẬP MA TRẬN,ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH...3 III.. ỨNG DỤNG VỀ MA TRẬN,ĐỊNH THỨ,HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH...12 IV... Nếu như trong thời đại trước đây các nhà toán học d

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

*

BÁO CÁO NHÓM

HỌC PHẦN:ĐSTT BS6001

Nhóm 03 CHỦ ĐỀ

MA TRẬN ĐỊNH THỨC,HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG

Sinh viên thực hiện:

1 Trần Hoàng Long

2 Nguyễn Mạnh Cường

3 Tạ Tuấn Nguyên(nhóm

trưởng)

4 Trần Hồng Lịch

5 Đặng Khánh Huyền

6 Nguyễn Đăng Lộc

7 Hà Phương Nam

8 Trương Công Minh

9 Trịnh Gia Khánh

10 Lã Văn Nam

11 Nguyễn Công Mạnh

12 Nguyễn Văn Mạnh

13 Trần Thị Thảo Ngân

14 Nguyễn Thu Nguyệt

Tên lớp:2023DHHTTT1K18

GVHD:Nguyễn Thị Lan

Hà nam,ngày 29 tháng 10 năm 2023

MỤC LỤC

I PHẦN MỞ ĐẦU 2

II GIẢI BÀI TẬP MA TRẬN,ĐỊNH THỨC HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3

III ỨNG DỤNG VỀ MA TRẬN,ĐỊNH THỨ,HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 12

IV PHẦN KẾT LUẬN 18

PHẦN MỞ ĐẦU

Toán học và đời sống là 2 phạm trù có mối liên hệ chặt chẽ và liên kết với nhau Nếu như trong thời đại trước đây các nhà toán học dựa trên những quy luật trong cuộc sống để phát hiện ra và kết luận về những quy luật,định nghĩa chung nhất,thì đến thời đại ngày nay khi xã hội ngày một phát triển hơn thì con người đã biết vận dụng những định luật toán học đó để áp dụng vào cuộc sống giúp cuộc sống của con người dần trở nên tối giản hơn trong toán học việc nghiên cứu các ứng dụng của ma trận,định thức,phương trình tuyến tính có vai trò rất quan trọng trong lĩnh vực công nghệ,kinh tế,thị trường, Nhờ có nó mà con người dần giảm bớt được khối lượng công việc và tiết kiệm thời gian hơn

“Ứng dụng của ma trận định thức phương trình tuyến tính” là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất trong chương trình học đại số tuyến tính Trong phần trình bày dưới đây nhóm 3 muốn giới thiệu cho cô và các bạn về một số ứng dụng của ma trận định thức cũng như là phương trình tuyến tính.Nội dung của báo cáo chia thành 2 phần:

+Giải bài tập ý hỏi về ma trận định thức ma trận nghịch đảo hạng của ma trận hệ phương trình tuyến tính

+Tìm hiểu một số ứng dụng theo chủ đề ma trận định thức hệ phương trình tuyến tính

GIẢI BÀI TẬP

Câu 1

B=[15 −13 ]

=>B T=[13 −15 ]

(A+2 B T

)3=¿( [4 11 3]+2[13 −15 ] )3

¿( [4 11 3]+[2 106 −2] )3

=( [76 111 ] )3

¿[1217 1320840 617 ]

Câu 2

A=[2 10 3]

Ta có: A2=[4 50 9]; A3=[8 190 27];A4=[16 650 81]

Từ đây ta có dạng tổng quát:

A n=[2n 3n−2n

Câu 3

A=[ 12 31

−1 1]; B=[1 0 −32 1 1

Tìm X=A.A T+B

A T=[1 2 −13 1 1 ]

A.A T=[ 12 31

Câu 4:Tìm X:

[12 −10 −12

Đặt:A=[12 −1 20 1

(1)<=> A.X=B <=>X =A−1 B=det ⁡( A)1 A¿ B

Xét det(A)=|12 −10 −12

|−1 4−2 6|

=(-1).6 –(-2).4=20

 tồn tại A−1

ta có :A¿=[A11A21A31

A12A22A32

A13A23A33]

A11=(−1)1+1.|−1 2−2 3|=1

A12=(−1)1 +2.|2 23 3|=0

A13=(−1)1+3.|3 −22 −1|=-1

Tương tự A21=−2 ; A22=6 ; A23=2; A31=−1; A32=−4 ; A33=−1

=>A¿

=>X=12.[ 10 −2 −16 −4

[−1 7

2

−1 2

2

1

Câu 5:Tìm X biết X.A=A T

A=[−11 −1 22 1

X.A=AT  X.A.A-1=AT.A-1  X=AT.A-1=det ⁡( A)1 AT.A*

Xét det(A)=







1 2 2

1 3 3

2



*

Khai triên A

1.(-1)1+1 |−1 −21 3| =1≠ 0

 Tồn tại A-1

Ta có:A*=

11 21 31

12 22 32

13 23 33

  Tương tự :A21=-4 A22=-2

A23=1

A11=(-1)1+1

|−1 2

2 −3|=7 A31 =-3 A32=-3

A33=1

A12=(-1)1+2 |−1 −1

A14=(-1)1+3

.|−12 −32|=-1

Thay vào ta có:

X=11.[−11 −12 −32

1

det

:

A

B

I

XA I B

A

A













Câu 6

1

11 21 31

*

12 22 32

13 23 33

1 1

1 2

1 3

21

22

23

31

32

33

*

1

5 7

1 2

2 5

1 1 5

5

1

22

13

3

15

A

A A A

A A A A

A A A

A

A

A

A

A

A

A

A





































3

X



Câu 7: tìm điều kiện để khả đảo

( 2)

( 1)

d d d

d d d

d d d

m

   

   

   



m

15 (m 3) 30 15 45 15m 15

       

Để ma trận A khả đảo:

Câu 8:

a) D=|1 20 2

1 −1

3 1

0 1

0 1

4 2| d1.( 3)  d3  d3

| 1 20 2

1 −1

0 −5

−3 4

1 4 2|=2.(-3).2+(-5).4.3+1.4.1-1.(-3).3-4.4.2-(-5).1.2=-81

b)D=

0

0

0

0

x y z

2 1 1

3 1 1

4 1 1

0

0

0

x y z x y z x y z x y z

=(x+y+z).

1 1 1 1

0

0 0

.( )

(x+y+z)

0 0 0

=(x+y+z).1.

(x+y+z)

0

x y z x y z

=(x+y+z)(x-y-z) 0 1 1

3 1 1

(x+y+z)(x-y-z)

z y  y x y

=(x+y+z)(x-y-z)(-x-y+z)

z y  y x y

=(x+y+z)(x-y-z)(-x-y+z)(-x+y-z)

Câu 9:

D=|254 345 489

Do dòng 2 và 3 tỉ lệ nhau => det(D) = 0

Câu 10:

A=|1 1 1x 2 3

x2 4 9|=0

2

                  

2

[

3

x

x







Vậy x  2hoặc x  3thì det (A) = 0

Câu 11:

a)



2 5 7



2

2

     





  



r(A)=3

b)





1 2 2

1 4 4

2

5 d

d d d

d d

 

 



2

6 4

d d d

d d d

 

  





10d 9d d

    



r(B)=4

Câu 12:

A=









1 2 2

1 3 3

2

d d d

d d d

  

 

    





  







  







   







m-1=0<=>m=1=>r(A)=3

m-1≠0<=>m≠1=>r(A)=4

b) B=[ 23

−2

3 2 2

4 7

−12

2 9

m

1 1

−2] C1 C5

−2

3 2 2

1 7

−12

2 9

m

2 3

4 5

C C

  

[ 11

−2

3 2 2

1 7

−12

2 3

−2

2 9

1 3 3

2

d d d

d d d

  

 

    

[10 0

3

−1 8

1 6

−10

2 1 2

2 7

m+4]

2 3 3

8d dd

   

[10 0

3

−1 0

1 6 38

2 1 10

2 7

m+60]

m thì r(B)=3

Câu 13:

a)B=





3 4

C C

m





  



1 3 3

1 4 4

d d d

d d d

m

 

  



    



2 3 3

d d d

m

  



    



Để r(B)=3 m-2≠0m≠2

b)A=[−21

4

1 3 3

2 4

d d d

d d d

 

  

[10 0

0 m2−1 m+1] (m 1)d2 d3 d3

[10

0

r(A)=3m-3≠0 m≠3

Câu 14:

{¿

¿

A=

d d d

d d d

  

 

    

5 14

d d d

d d d

  

 





{¿

¿



{¿

¿

Bài 15:

{2 x+3 y+mz=4 x+ y−2 z=1

4 x +5 y−z=2m

(i)

A=

m

m

2 4

d d d

d d d

  

  

m

m



2 3 3

d d d

  

    

m



Để (i) vô số nghiệm  r(A)=r(A) =2

BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Bài tập ứng dụng về ma trận

Bài tập ứng dụng của định thức dùng để tính diện tích tam giác

S=

1

2abs|[ ]|=

1

2abs|2,5 1 13 2 1

5 4

Bài toán ứng dụng về hệ phương trình tuyến tính

1 Cho mạch điện Bỏ qua rdây Biết R1 = R2= R3 = R4 = R5 = R6 = 5Ω và E1 = 20V,

E2 = E3 = 10V Tính i1, i2, i3, i4

Giải

Áp dụng định luật Kirchhoff cho từng vòng mạch điện thu được 4 phương trình:

{ i1R1+(i1−i2)R2=E1

i2R3+(i2−i3)R4+E2−(i1−i2)R2=0

(i3−i4)R5−E2−(i2−i3)R4=0

i4R6+E3−(i3−i4)R5=0

Thay số vào ta được: { 10 i1−5 i2=20

Biến đổi hệ phương trình: A=(−5 15 −510 −5 0 00

10

−10)

10

(10 −50 25 −100 00

50

−10)

(10 −50 25 −100 00

50

R3

R6

i4

i1

R5

R4

R2

d1 + 2d2→ d2

d2 + 5d3→ d3

d3 + 8d4→ d4

Hệ phương trình đã cho tương đương: {10 i1−5 i2=20

25 i2−10 i3=0

i1 = 2A, i2 = 0A, i3 = 0A, i4 = −2A

( i4 mang dấu âm có nghĩa chiều của i4 ngược với chiều đã chọn )

Vậy i1 = 2A, i2 = 0A, i3 =0A, i4 = −2A

2 Một nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A, B và C Mỗi sản phẩm phải qua 3 công đoạn cắt, lắp ráp và đóng gói, với thời gian yêu cầu của mỗi công đoạn được liệt kê

ở bảng sau đây:

Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt là

380, 330 và 120 giờ công Hỏi nhà máy cần sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu theo mỗi tuần để hoạt động hết năng suất?

Giải Gọi x1, x2, x3 lần lượt là số lượng sản phẩm A, B, C nhà máy cần sản xuất (cái) Đk: x1, x2, x3∈ N

Thời gian cắt để sản xuất sản phẩm là: 0,6x1 + x2 + 1,5x3 (giờ)

Thời gian lắp ráp để sản xuất sản phẩm là: 0,6x1 + 0,9x2 + 1,2x3 (giờ)

Thời gian đóng gói để sản xuất sản phẩm là: 0,2x1 + 0,3x2 + 0,5x3 (giờ)

Để nhà máy hoạt động hết năng suất trong mỗi tuần thì:

{ 0,6 x1+x2+1,5 x3=380

0,2 x1+0,3 x2+0,5 x3=120

Ta có: A = [0,60,6 0,9 1,21 1,5

120] [0,60 −10,1 −0,31,5

[0,60 −0,1 −0,31 1,5

30 ] => r(A) = r(A) = 3

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

 { x1=50

x2=200

x3=100

3 Cân bằng phương trình: C2H3COOH + O2→ H2O + CO2

d 2 – d 1→ d 2 3d 3 – d 1→ d 3

d 3 – d 2→ d 3

Bảo toàn nguyên tố C, H, O : { 4 a=2 d 3 a=d

2 a+2 b−c−2 d=0

0) ( 34 00 −20 −10

0)

( 34 00 −20 −10

0)

Hệ phương trình trên tương đương hệ: { 4 a−2 c=0 3 a−d =0

−12 a+4 b=0  {b=3 a c=2 a

d=3 a

Chọn a = 1 => {b=3 c=2

d=3 => phương trình: C2H3COOH + 3O2→ 2H2O +3CO2

KẾT LUẬN

-2d1 + d3→ d3

-d2 + 2d3→ d3

Kết luận nội dung bài báo cáo:

- Giải được cái bài tập về ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận, hệ phương trình tuyến tính

- Đưa ra những ứng dụng về ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng của

ma trận, hệ phương trình tuyến tính

+ Ứng dụng định thức: Tính diện tích tam giác, tính thể tích

+ Ứng dụng ma trận nghịch đảo: bảo mật mật mã thông tin, mã hóa các chữ cái thành 1 chuỗi các số nhị phân để truyền tải thông điệp nào đó; trong thực tiễn (nghiên cứu, sản xuất, kinh tế…)

+ Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính: hóa học (bài toán cân bằng phương trình), vật lí (bài toán về mạch điện), giải quyết vấn đề kinh tế