Bất Đẳng thức Đẳng cự tương Đối cho các mặt cực tiểu Bất Đẳng thức Đẳng cự tương Đối cho các mặt cực tiểu
Đa tạp trơn
Đa tạp tôpô
Định nghĩa 1.1 Cho M là một không gian tôpô và một điểmptrongM Một lân cận của p là một tập mở bất kỳ chứa điểm p Phủ mở của M là họ {U α } α∈A của các tập mở trong
M, có hợp S α∈AU α là M Trong đó, một không gian tôpô thuộc phạm trù đếm được thứ hai nếu nó có một cơ sở đếm được. Định nghĩa 1.2 Cho M là một không gian tôpô M được gọi là không gian Euclid địa phương n chiều nếu mỗi điểm p ∈ M có một lân cận U của p sao cho tồn tại phép đồng phôi φ từ U lên tập con mở φ(U) của R n Gọi cặp (U, φ:U →R n ) là một hệ tọa đồ địa phương (hoặc còn gọi là một bản đồ địa phương), U được gọi là một lân cận địa phương.
Ta nói bản đồ(U, φ) có tâm tại tại p∈U nếu φ(p) = 0. Định nghĩa 1.3 Đa tạp tôpô là một không gian Hausdorff, thuộc phạm trù đếm được thứ hai và là không gian Euclid địa phương Đa tạp tôpô có số chiều làn nếu nó là một không gian Euclid địa phươngn chiều.
Ví dụ 1.1.1 Cho p, q là hai điểm bất kỳ trong R n sao cho d = dist(p, q) = kp−qk >0. Xét hình cầu mở
Điều đó dẫn đếnU∩V =∅ vàp∈U, q ∈V Do đó,R n là không gian Hausdorff Mặt khác,
R n là đếm được vì nó có một cơ sở đếm được:
Hơn nữa, R n được phủ bởi bản đồ(R n ,1 R n ), trong đó 1 R n :R n → R n là một ánh xạ đồng nhất Vậy, không gian Euclid R n là một đa tạp tôpô Đây là một ví dụ cơ bản nhất về đa tạp tôpô Mọi tập con mở U của R n là đa tạp tôpô có bản đồ(U,1 U ).
Ví dụ 1.1.2 Đồ thị của hàm số y = x 3 5 trong R 2 là một đa tạp tôpô Vì đồ thị này là không gian con của R 2 nên nó là Hausdorff và đếm được thứ hai Nó là không gian Euclid địa phương vì tồn tại phép đồng phôi từR : x, x 3 5
Giả sử(U, φ:U →R n )và (V, ψ :V →R n ) là hai bản đồ địa phương của đa tạp tôpô.
Vì U ∩V mở trong U và φ : U → R n là phép đồng phôi vào tập con mở của R n nên ảnh φ(U ∩V) là tập con mở của R n Tương tự, ψ(U ∩V)cũng là tâp con mở của R n Định nghĩa 1.4 Hai bản đồ (U, φ:U →R n ),(V, ψ :V →R n ) của đa tạp tôpô là C ∞ - tương thích nếu hai ánh xạ φ◦ψ −1 :ψ(U ∩V)→φ(U ∩V), ψ◦φ −1 :φ(U∩V)→ψ(U ∩V) đều làC ∞ (ở đây kí hiệu C ∞ chỉ tính trơn của các ánh xạ) Hai ánh xạ này được gọi là ánh xạ chuyển giữa các bản đồ NếuU ∩V =∅ thì hai bản đồ này làC ∞ - tương thích. Định nghĩa 1.5 Một tập bản đồ trơn (hay một tập bản đồ) trên không gian Euclid địa phươngM là tập hợpU={(U α , φ α )}của từng cặp bản đồC ∞ -tương thích và phủM, nghĩa làM =S αU α
Một tập bản đồ M trên không gian Euclid địa phương được gọi là một tập bản đồ cực đại nếu nó không chứa trong bất kì một tập bản đồ nào khác; nói cách khác, nếuUlà một tập bản đồ bất kỳ chứa Mthì U=M. Định nghĩa 1.6 Đa tạp trơn hay đa tạp C ∞ là đa tạp tôpô M cùng với một tập bản đồ cực đại Khi đó, một tập bản đồ cực đại được gọi là cấu trúc khả vi trên M Đa tạp trơn có số chiều là n nếu thành phần liên kết với nó có số chiều là n.
Mệnh đề 1.1 Bất kỳ một tập bản đồ trơn U={(U α , φ α )} đều được chứa trong bản đồ cực đại duy nhất.
Ví dụ về đa tạp trơn
Ví dụ 1.1.3 (Không gian Euclid) Không gian Euclid R n là đa tạp trơn có bản đồ (R n ;r 1 , , r n ), trong đó r 1 , , r n là tọa độ chính tắc trên R n
Ví dụ 1.1.4 (Đồ thị của hàm trơn) Với tập con của A⊂R n và hàm f :A →R m , đồ thị của f được định nghĩa là tập con Γ(f) ={(x, f(x))∈A×R m }.Nếu U là tập con mở của
R n và f :U →R n là C ∞ , thì hai ánh xạ φ : Γ(f)→U, (x, f(x))7→x, và
(1, f) :U →Γ(f), x7→(x, f(x)), đều liên tục và là các ánh xạ ngược của nhau, do đó chúng là các đồng phôi Từ đây, ta thấy rằng đồ thịΓ(f) của hàm C ∞ f :U →R m là một đa tạp trơn.
Vectơ tiếp xúc, tensơ và phân thớ vectơ
Vectơ tiếp xúc
Định nghĩa 1.7 ChoM là đa tạp trơn,p∈M là một điểm cố định Ánh xạω :C ∞ (M)→
R được gọi là phép lấy đạo hàm tại p ở trên C ∞ (M) nếu thỏa mãn các tính chất sau với mọi hàm trơn f, g∈C ∞ (M), với mọi a, b∈R, i ω là ánh xạ tuyến tính, tức là ω(af +bg) =aω(f) +bω(g); ii ω thỏa m¯an luật Leibnitz ω(f g) =f(p)ω(g) +g(p)ω(f).
Tập hợp các phép lấy đạo hàm trên không gian C ∞ (M) tại p được gọi là không gian tiếp xúc với M tạipvà được kí hiệu làT p M Người ta chứng minh được T p M là một không gian vectơ và dimTpM =n.
Ta định ngh¯ıa không gian đối ngẫu của T p M là không gian đối tiếp xúc với M tại p và ký hiệu là T p ∗ M. Đặt T M = ` p∈M TpM, ở đây ta hiểu phép hợp là hợp rời rạc các phần tử của TpM. Khi đó, người ta có thể trang bị một cấu trúc tô pô trên T M để T M là một đa tạp trơn,
T M được gọi là không gian tiếp xúc của M. Định nghĩa 1.8 Cho M, N là hai đa tạp trơn có biên hoặc không có biên và ánh xạ
F :M →N là ánh xạ trơn Khi đó, với mọi p∈M, vi phân của ánh xạ F tại plà ánh xạ dF p :T p M →T F (p) N v 7→dF p (v)∈T F (p) N xác định bởidF p (v)f :=v p (f ◦F), với mọi f ∈C ∞ (N).
Chú ý 1.2.1 Cho F :M →R n với M là đa tạp trơn có biên hoặc không có biên Nếu đồng nhất T F (p) R n với R n thì dF p (X p ) = X p (F). Định nghĩa 1.9 Trường vectơ X trên M là ánh xạ X :M →T M sao cho X biến p∈M thành X p ∈T p M sao cho với mọi f ∈C ∞ (M) thì (X f ) (p) = X p f là hàm trơn.
Tensơ hiệp biến và phản biến trong không gian vectơ
Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều vàV ∗ là không gian vectơ đối ngẫu củaV Cặp giữa V và V ∗ là ánh xạ h,i:V ∗ ×V →R (ω, X)7→ hω, Xi xác định bởihω, Xi:=ω(X). Định nghĩa 1.10 Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều và V ∗ là không gian vectơ đối ngẫu củaV Ta định nghĩa một k-tensơ hiệp biến trên V là một ánh xạ đa tuyến tính
Không gian tất cả cáck-tensơ hiệp biến hạng k được ký hiệu là T k (V). Định nghĩa 1.11 Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều và V ∗ là không gian vectơ đối ngẫu củaV Ta định ngh¯ıa một l-tensơ phản biến trên V là một ánh xạ đa tuyến tính
Không gian tất cả các l-tensơ phản biến được ký hiệu làTl(V). Định nghĩa 1.12 Cho V là không gian vectơ hữu hạn chiều, α∈T k (V ∗ ) Khi đó, α được gọi là k-tensơ thay phiên nếu với mọi v 1 , , v k ∈V và với mọi cặp chỉ số (i, j) thì α(v 1 , , v i , v j , , v k ) =−α(v 1 , , v j , v i , , v k ).
Một k-tensơ hiệp biến thay phiên được gọi là một k-dạng vi phân trong hoặc được gọi là k-đối vectơ Kí hiệu Λ k (V ∗ )là không gian các k-tensơ hiệp biến thay phiên trên V.
Giả sử rằng {E 1 , E 2 , , E n } là một cơ sở củaV và{e 1 , e 2 , , e n } là cơ sở đối ngẫu của nó trong V ∗ Chú ý rằng ∧ k (V ∗ ) = span{e i 1 ∧e i 2 ∧ .∧e i k ; 1≤i 1 < < i k ≤n} trong đóe i 1 ∧e i 2 ∧ .∧e i k :V ×V × .×V →R xác định bởi e i 1 ∧e i 2 ∧ .∧e i k (v1, v2, , vk) = det e i j (vi)
,1≤i, j ≤k. trong đó vi ∈V với mọi i= 1, k. Định nghĩa 1.13 Một tensơ kiểu (k, l) trên V ∗ × .×V ∗
| {z } l là ánh xạ đa tuyến tính
Giả sử {E 1 , E 2 , , E n } là cơ sở của V và {e 1 , e 2 , , e n } là cơ sở đối ngẫu của V ∗ Tương tự, như đối với không gian cáck-tensơ hiệp biến, người ta chứng minh được rằng
=δ j s 1 1 δ j s t t δ r i 1 1 δ r i k k NếuM vàE là các đa tạp trơn, cònπ là ánh xạ trơn và các tầm thường hóa địa phương ϕlà vi phôi thì phân thớ vectơ (π, E, M) được gọi là phân thớ trơn.
Toán tử Laplace trên đa tạp Riemann
Đa tạp Riemann
Định nghĩa 1.14 Một metric Riemann trên một đa tạp trơn n chiều M là một trường
(0,2)-tensor trơn thỏa mãn hai điều kiện sau: i g là đối xứng, nghĩa là với mọi p∈M và mọi vectơ tiếp xúc X p , Y p ∈T p M, ta có g p (X p , Y p ) =g p (Y p , X p ) ; ii g là xác định dương, nghĩa là với mọip∈U và mọi vectơ tiếp xúc X p ∈T p M, ta có g p (X p , X p )≥0; và g p (X p , X p ) = 0 khi và chỉ khi X p =0 p Định nghĩa 1.15 Một đa tạp Riemann là một cặp(M, g),trong đóM là một đa tạp trơn và g là một metric Riemann trênM.
Nhận xét 1.3.1 Nếu g là một metric Riemann trên M thì với mỗi p ∈M, (0,2)-tensor g p là một tích vô hướng trên T p M Vì vậy, ta thường sử dụng kí hiệu hv, wi g để kí hiệu số thực g p (v, w) với v, w∈T p M.
Nhận xét 1.3.2 Trong bản đồ địa phương(U;x 1 , x 2 , x n ),một metric Riemann có thể được biểu diễn dưới dạng g n
Các chỉ số thăng và giáng
Xét (M, g)là một đa tạp Riemann, xét ánh xạ giáng
X 7→XZ trong đó ta định nghĩa
Khi đó, biểu diễn của toán tử giáng trong các hệ tọa độ địa phương có dạng
Lưu ý rằng trong công thức trên nếuXZ có dạng X Z = X jdx j thì
Như vậy, XZ nhận từ X bằng cách hạ chỉ số xuống Trong âm nhạc, việc hạ một nốt nhạc xuống một cung thì nốt nhạc đó gọi là một nốt giáng, đây cũng là lý do mà ta gọi XZ là ánh xạ giáng.
Trong hệ tọa độ địa phương, ánh xạ Z có biểu diễn dạng ma trận là (gij) Dog là metric Riemann nên ma trận (g) là ma trận khả nghịch Ma trận ngược của nó được ký hiệu là (g ij ) Do vậy, ánh xạ Z có ánh xạ ngược
Giả sử ω=ωjdx j và ω ] =ω i ∂xi Khi đó, ω ] Z
=ω Theo công thức (1.1), ta có ωj =gijω i Điều này chứng tỏ ω i =g ij ω j
Như vậy ω ] nhận được từ ω bằng cách nâng chỉ số lên Trong âm nhạc, khi một nốt nhạc được nâng lên một cung thì nốt nhạc đó được gọi là nốt thăng Do đó, toán tử ] được gọi là toán tử thăng. Định nghĩa 1.16 Cho g là một metric Riemann và hàm trơnf :M →R Gradient của f là một trường vectơ được kí hiệu như sau gradf = (df) ]
Nhận xét 1.3.3 Từ định nghĩa trên, ta thấy gradf được xác định như sau df p (w) = D gradf| p , wE với mọi p∈M, w∈T p M, và có biểu thức cơ sở địa phương là gradf = g ij E i f
E j trong đó {E 1 , E 2 , , E n } là cơ sở củaT p M.
Cho ω làk-dạng vi phân (k ≥1) còn X là một trường vectơ trơn trên M. Định nghĩa 1.17 Tích trong i X (ω) của k-dạng vi phân ω và một trường vectơ trơn X trên M là một(k−1)-dạng vi phân xác định bởi
Từ định nghĩa trên, chúng ta có thể định nghĩa toán tử divergence như sau. Định nghĩa 1.18 Toán tử divergence của trường vectơ trên X, kí hiệu là divX trên đa tạp Riemann(M, g) được định nghĩa như sau d(iXdV) = (divX)dV, trong đó dV q det (g ij )dx 1 ∧ .∧dx n Định nghĩa 1.19 Toán tử Laplace (hay còn được gọi là toán tử Laplace-Beltrami) là toán tử tuyến tính ∆ : C ∞ (M)→C ∞ (M) được xác định bởi
Mệnh đề 1.2 Cho(M, g)là một đa tạp Riemann, cho(U;x 1 , x 2 , x n ),là một hệ tọa độ địa phương trơn trên tập mở U ⊆M.Dưới đây là biểu diễn trong hệ tọa độ địa phương của toán tử div và toán tử Laplace: div
TrênR n , với metric Euclid chính tắc, ta thu được các công thức sau: div
Liên thông Riemann và độ cong tensơ
Liên thông Affine và liên thông Riemann
Định nghĩa 1.20 Liên thông Affine trên đa tạpM là một ánh xạ R-song tuyến tính
(X, Y)7→ ∇(X, Y) = ∇ X Y thỏa mãn hai tính chất sau: nếu F là vành C ∞ (M) của các hàm trơn trên M, khi đó với mọi X, Y ∈X(M),
(ii) (Quy tắc Leibniz ) ∇ X Y thỏa mãn quy tắc Leibniz trên Y:
Ví dụ 1.4.1 Đạo hàm có hướng D X của trường vectơ Y trên R n là một liên thông Affine trên R n , thường được gọi là liên thông Euclid trên R n Định nghĩa 1.21 Cho một liên thông Affine∇ trên đa tạp M Độ congR của liên thông
∇ tương ứng với mỗi cặp trường vectơ X, Y ∈X(M) là ánh xạ R(X, Y) : X(M)→ X(M), được định nghĩa như sau:
Nhận xét 1.4.1 R(X, Y) là phản đối xứng đối với X, Y.
Mệnh đề 1.3 Cho X, Y, Z là các trường vectơ trơn trên đa tạp M với liên thông Affine
∇ Khi đó độ cong R(X, Y)Z là F-tuyến tính đối với X, Y và Z.
Mệnh đề 1.4 Toán tử độ cong R là (1,3)-tensơ.
Trên một đa tạp bất kỳ, ta nói liên thông là xoắn tự do nếu độ xoắn của nó bằng không Trên đa tạp Riemann, ta nói liên thông là tương thích với metric nếu với mọi
ZhX, Yi=h∇ Z X, Yi+hX,∇ Z Yi. Định nghĩa 1.22 Trên đa tạp Riemann, liên thông Riemann thường được gọi là liên thông Levi-Civita, là một liên thông Affine nếu nó là xoắn tự do và tương thích với metric. Định lí 1.1 (Định lí cơ bản của hình học Riemann) Trong mỗi đa tạp Riemann, có duy nhất một liên thông Riemann. Định nghĩa 1.23 Cho ∇ là một liên thông Affine trên đa tạp M và cho (U;x 1 , , x n ) là hệ tọa độ địa phương trên M Ký hiệu ∂ i cho trường vectơ tọa độ ∂/∂x i Khi đó ∇ ∂ i ∂ j là một tổ hợp tuyến tính của ∂ 1 , , ∂ n Do đó, tồn tại các số Γ k ij tại mỗi điểm sao cho
∇ ∂ i ∂ j =Pn k=1Γ k ij ∂ k Có n 3 hàmΓ k ij , và được gọi là các kí hiệu Christoffel của liên thông ∇ trên hệ tọa độ địa phương (U;x 1 , , x n ).
Chú ý rằng, liên thông Riemann được xác định như sau h∇ X Y, Zi=1
2(XhY, Zi+YhZ, Xi −ZhX, Yi
− hY,[X, Z]i − hZ,[Y, X]i+hX,[Z, Y]i). Đặt X =∂ i , Y =∂ j , Z =∂ k , ta được Γ l ij g lk Γ l ij ∂ l , ∂ k
Từ đây, ta suy ra Γ k ij = 1
2g kl (∂ i g jl +∂ j g il −∂ l g ij ) trong đó g ij =h∂ i , ∂ j i.
Mệnh đề 1.5 Liên thông Affine ∇ trên đa tạp là một xoắn tự do khi và chỉ khi trong mọi bản đồ địa phương (U;x 1 , , x n ), kí hiệu Christoffel Γ k ij là đối xứng đối với i và j, tức là Γ k ij = Γ k ji
Tensơ độ cong Riemann và độ cong Ricci
Định nghĩa 1.24 Cho(M, g)là đa tạp Riemann Tensơ độ cong Riemann được định nghĩa như sau
Mệnh đề 1.6 Tensơ độ cong Riemann Rm là một (0,4)-tensơ. Định lí 1.2 Cho R là toán tử độ cong liên kết với một metric Riemann g và liên thông Riemann ∇ Cho X, Y, Z, W là các trường vectơ trơn Khi đó
1 R(X, X) = 0 Hơn nữa, ta có R l iik = 0.
2 R(X, Y)Z =−R(Y, X)Z Hơn nữa, ta có R l ijk =−R jik l
3 Rm(X, X, Z, W) = 0 Hơn nữa, ta có R iikl = 0.
4 Rm(X, Y, Z, Z) = 0 Hơn nữa, ta có R ijkk = 0.
5 (Đồng nhất thức Bianchi thứ nhất)
Bên cạnh đó, ta có
R ijk l +R l jki +R l kij = 0. Định lí 1.3 (Đồng nhất thức Bianchi thứ hai) Cho R là toán tử độ cong liên kết với một metric Riemann g và liên thông Riemann ∇ Cho X, Y, Z, W là các trường vectơ trơn. Khi đó
Hệ quả 1.1 Trên đa tạp Riemann (M, g), giả sử ∇ một liên thông Riemann, khi đó, với mọi X, Y, Z, V, W ∈X(M),
(∇ X Rm) (Y, Z, V, W) + (∇ Y Rm) (Z, X, V, W) + (∇ Z Rm) (X, Y, V, W) = 0. Định nghĩa 1.25 Cho π p là không gian véctơ con hai chiều củaT p (M) và X p , Y p là cơ sở của π p Ta định nghĩa,
K(X p , Y p ) := R(X p , Y p , X p , Y p ) hX p , X p i hY p , Y p i − hX p , Y p i 2 là độ cong nhắt cắt của (M, g)tại pứng với π p Định nghĩa 1.26 Độ cong Ricci hay tensơ Ricci, kí hiệu là Ric, là một trường hiệp biến
(0,2) được định nghĩa như sau
Ric (X, Y) := Tr (Z)7→R(X, Z)Y, trong đó X, Y, Z là các trường véctơ trơn trên M Từ đây, ta thấy rằng
R(X p , E i , Y p , E i ). Ở đây{Ei} là cơ sở của không gian tiếp xúc TpM.
Nhận xét 1.4.2 Các thành phần củaRictrong hệ tọa độ địa phương được kí hiệu làR ij , được xác định bởi
Rij =R k kij =g km Rkijm. Định nghĩa 1.27 Độ cong vô hướng là một hàmS được định nghĩa là vết của tensơ Ricci:
S = tr g Rc=R i i =g ij R ij Định nghĩa 1.28 Cho f là một hàm trơn trênM Toán tử Hessian của f được xác định như sau:
Nhận xét 1.4.3 Toán tử Hessian của hàm trơn f là (0,2)-tensơ và có tính đối xứng, nghĩa là
∇ 2 f(X, Y) = ∇ 2 f(Y, X),trong đó X, Y là các trường vectơ trơn trên M.
Hàm khoảng cách và Đa tạp con cực tiểu
Hàm khoảng cách
Định nghĩa 1.29 Nếu γ : [a, b] → M là đoạn đường cong trơn từng khúc, chúng ta định nghĩa độ dài của γ là
Do |γ 0 (t)| liên tục tại mọi giá trị của t nhưng chỉ nhận giá trị hữu hạn và giới hạn phải và giới hạn trái xác định tốt trên những điểm này nên định nghĩa độ dài đường cong trên là xác định tốt.
Nhận xét 1.5.1 Đặc điểm chính trong định nghĩa độ dài đường cong là tính không phụ thuộc của tham số hóa. Định nghĩa 1.30 Một tham số hóa của một đoạn trơn từng khúc γ : [a, b] → M là một đoạn đường cong có dạng γ˜=γ◦ϕ, trong đó ϕ là một vi phôi.
Mệnh đề 1.7 (Tính không phụ thuộc vào tham số hóa của độ dài) Cho (M, g) là một đa tạp Riemann và γ : [a, b] → M là một đoạn đường cong trơn từng khúc Nếu ˜γ là tham số hóa tùy ý của γ thì L g (˜γ) = L g (γ).
Sử dụng các đoạn đường cong như là "thước đo", chúng ta có thể đưa ra khái niệm về khoảng cách giữa các điểm trên đa tạp Riemann. Định nghĩa 1.31 Nếu(M, g) là một đa tạp Riemann liên thông và p, q ∈M, khoảng cách (Riemann) giữa hai điểm p và q, kí hiệu d q (p, q), được xác định như là cận dưới đúng của
Lg(γ) xác định trên tất cả những đoạn đường cong tron từng khúc γ từ p đến q.
Có thể chứng minh được hàm khoàng cách là trơn bên ngoài một tập có độ đo không bằng cách sử dụng lập luận xấp xỉ nên có thể coi hàm khoảng cách là trơn trên toàn bộ tập
M Vì thế trong luận văn này, chúng ta luôn giả sử hàm khoảng cách là hàm trơn.
Nhận xét 1.5.2 Do với mỗi một cặp điểm tùy ý trên đa tạp trơn liên thông có thể nối với nhau bởi một đoạn đường cong trơn từng khúc nên định nghĩa trên là xác định tốt.
Đa tạp con cực tiểu
Trong việc nghiên cứu lí thuyết mặt cổ điển trong R 3 , chúng ta có dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ bản thứ hai Mặt phẳng và hình trụ tròn trongR 3 là đẳng cự địa phương nhưng hình dạng chúng khác nhau do chúng có dạng cơ bản thứ hai khác nhau Các bất biến được xác định bởi dạng cơ bản thứ nhất là bất biến nội tại (intrinsic) Các bất biến khác là là bất biếnextrinsic, không những phụ thuộc vào dạng cơ bản thứ nhất mà còn phụ thuộc vào dạng cơ bản thứ hai Hình dạng của một mặt cong trong R 3 bị ảnh hưởng bởi dạng cơ bản thứ hai.
Trong cách đặt tổng quát của các đa tạp con dìm, chúng ta có thể tổng quát hóa khái niệm này Dạng cơ bản thứ hai thỏa mãn các phương trình cơ bản của hình học vi phân: phương trình Gauss, phương trình Codazzi và phương trình Ricci.
Cho M là một đa tạp Riemann với số chiều n và M là một đa tạp Riemann n chiều. Giả thiết rằng n = n+k, k > 0 Ta nói một ánh xạ M → M là một phép dìm đẳng cự, có nghĩa là metric tự nhiên cảm sinh trên M từ metric của không gian ambient M là trùng với metric cho trước trên M Số k được gọi là đối chiều của M trong M Khik = 1, đa tạp con M được gọi là một siêu mặt trongM.
Nhờ định lý cơ bản trong hình học Riemann, chúng ta biết rằng tồn tại duy nhất một liên thông Levi-Civita trên các đa tạp Riemann Bên cạnh tính chất bảo toàn tích vô hướng, liên thông này còn thỏa mãn điều kiện không xoắn.
Với mỗi điểmp∈M, không gian tiếp xúcT p M có thể được phân tích thành một tổng trực tiếp của cácTpM và phần bù trực giaoNpM củaTpM trong không gianTpM Sự phân tích như vậy là khả vi Vì thế chúng ta có một sự phân tích trực giao của phân thớ tiếp xúc dọc theoM
Gọi ( ) T và ( ) N lần lượt là các phép chiếu trực giao trong phân thớ tiếp xúc T M và phân thớ chuẩn tắc N M.
Gọi ∇ là liên thông Levi-Civita trên M Xét các phân thớ vecto T M, N M trên M, khi đó chúng có các metric cảm sinh như là các metric trên thớ. Định nghĩa 1.32 Cho các trường vecto V, W ∈ Γ (T M), ν ∈ Γ (N M) và các liên thông cảm sinh trên T M, N M làn lượt được định nghĩa bởi
Mệnh đề 1.8 ∇ là liên thông Levi-Civita trên M. Định nghĩa 1.33 Cho trướcV, W ∈Γ (T M), khi đó toán tử
=∇ V W − ∇ V W được gọi là dạng cơ bản thứ hai của M.
Với ν ∈Γ (N M), chúng ta định nghĩa tóan tử hình dạng A ν :T M →T M bởi
A ν (V) = − ∇ V νT với mọiV ∈T M thỏa mãn các phương trình Weingarten hB XY , νi=hA ν (X), Yi với mọiX, Y ∈Γ (T M). Định nghĩa 1.34 NếuB ≡0 thì M được gọi là đa tạp con trắc địa toàn phần trong M.
Từ định nghĩa của dạng cơ bản thứ hai, chúng ta thấy rằngM là một đa tạp con trắc địa toàn phần nếu và chỉ nếu bất kì đường trắc địa nào trong M cũng là một đường trắc địa trong đa tạp ambient M.
Ta lấy vết của toán tửB, khi đó vết củaB là vecto độ cong trung bìnhH củaM trong
B e j e i trong đó{e i }là một trường bản đồ trực giao địa phương của M Vecto độ cong trung bình là một nhát cắt của phân thớ chuẩn tắc. Định nghĩa 1.35 NếuH ≡0 thì M được gọi là một đa tạp con cực tiểu trong M.
Xét trường hợp đặc biệt khi M là một siêu mặt trong M Cố định một trường vecto ν đơn vị chuẩn tắc địa phương bất kỳ Khi đó, dạng cơ bản thứ hai được xác định bởi
Toán tử A là toán tử đối xứng trên không gian tiếp xúc tại mỗi điểm Các giá trị riêng k 1 , k 2 , , k n của A là các độ cong chính Tích của tất cả các độ cong chính là độ congGauss-Kronecker Từ đó, ta thấy rằng độ cong trung bình là giá trị trung bình của tất cả các độ cong chính.
Bất đẳng thức đẳng chu tương đối cho các mặt cực tiểu bên ngoài một tập lồi
Mục tiêu của chương này trình bày những chứng minh chi tiết cho các kết quả trong bài báo [9], cụ thể là Định lý 0.1 và Định lý 0.2 Đầu tiên, chúng ta sẽ đưa ra một bổ đề về toán tử Laplace cho hàm khoảng cách trong mục 2.1 Sử dụng các kết quả này, chúng ta sẽ đưa ra những chứng minh chi tiết cho bất đẳng thức đẳng chu cho các mặt cực tiểu ở mục 2.2. Đồng thời, một số hệ quả của Định lý 0.1 sẽ được trình bày trong mục này Định lý 0.2 sẽ được chứng minh chi tiết cho trong phần cuối của chương 2 Trong suốt chương này, chúng ta kí hiệu gradient của hàm khoảng cáchr là∇r.Tài liệu tham khảo chính cho chương 2 là
Một số kết quả về toán tử Laplace cho hàm khoảng cách
Hàm khoảng cách trên đa tạp Riemann M, là hàm hình học đơn giản nhất trên M Nó cung cấp cho chúng ta nhiều thông tin hình học của M.Các chứng minh cho kết quả chính của luận văn này đều liên quan tới toán tử Laplace cho hàm khoảng cách. Để bắt đầu mục này, chúng ta sẽ đến với bổ đề sau về ước lượng toán tử Laplace cho hàm khoảng cách Chứng minh chi tiết cho các kết quả này đã được trình bày trong tài liệu tham khảo [3, 4].
Bổ đề 2.1 Cho Σ là một đa tạp con cực tiểu compactm chiều trong một đa tạp Riemann liên thông đơn liên đầy đủ M với độ cong nhát cắt bị chặn trên bởi một hằng số K Đặt r(x) = dist(p, x) với điểm cố định p∈M, tức là r(x) là hàm khoảng cách.
(I) Nếu K = 0 thì trên Σ, ta có:
(II) Nếu K =−k 2