(Luận văn thạc sĩ) khảo sát độ cong gauss độ cong trung bình và đường khắc địa của lớp các mặt thông dụng mặt cực tiểu

Khảo sát độ cong Gauss - độ cong trung bình đường trắc địa lớp mặt thông dụng - mặt cực tiểu Hoàng Công Phúc Trường ĐHSP Tp.HCM, 2004 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG Các khái niệm đường – mặt E n Đường E n 1.1 Cung E 1.2 Cung song quy E – Độ congĐộ xoắn Mặt E 2.1 Mảnh tham số – Các định nghóa 2.2 Ánh xạ Weingarten 2.3 Các dạng I II mặt S – Độ cong pháp dạng Công thức Meusnier công thức Euler 2.4 Những đường đáng ý mặt S E 2.5 Tóm tắt sơ lược mặt- công thức tính toán CHƯƠNG Khảo sát độ cong trung bình độ cong Gauss Của mặt - Độ cong trắc địa – Cung trắc địa I Mặt bậc hai II Mặt sinh đường tiếp tuyến đường cong R III Mặt kẻ IV Mặt tròn xoay CHƯƠNG Mặt cực tiểu Mặt Scherk 2.Mặt Enneper - Bảng tóm tắt độ cong Gauss – Độ cong Trung bình Độ cong trắc địa mặt KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 3 12 12 14 16 18 25 33 33 51 52 61 68 72 75 80 86 LỜI NÓI ĐẦU Trong vài thập niên gần Hình học vi phân phát triển mạnh, đối tượng nghiên cứu hình học đa tạp khả vi mà sở ban đầu lý thuyết đường, mặt E Việc nắm vững kiến thức bước tạo điều kiện thuận lợi cho nghiên cứu hình học vi phân sau Khảo sát tính chất nội vấn đề quan tâm nghiên cứu hình học vi phân đa tạp khảo sát độ cong Gauss, độ cong trung bình đường trắc địa lớp mặt thông dụng vấn đề thiếu Đề tài đặc biệt quan tâm đến vấn đề Luận văn gồm chương - Chương 1: Dành cho việc nhắc lại số phép tính liên quan chứng minh sách hình vi phân Đây công cụ thiếu cho việc nghiên cứu phần sau - Chương 2: Dành cho việc nghiên cứu độ cong Gauss K, độ cong trung bình H đồng thời tìm đường tham số hóa lưới đường tọa độ đóng vai trò đường trắc địa mặt thông dụng xét mặt cầu, Elipsoid Hyperboloid, eliptic tầng, hai tầng, parabolid eliptic, parabolid Hyperbolic, mặt kẻ helicoid, Catenoid, xuyến - Chương 3: Trong lớp mặt đa tạp ta quan tâm đặc biệt đến mặt có độ cong trung bình H = mà ta gọi mặt tối tiểu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành thầy Nguyễn Hà Thanh Tiến só giảng viên khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ suốt trình thực luận văn Tôi xin cảm ơn Thầy Cô khoa nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập, cảm ơn phòng Khoa học Công nghệ – Sau Đại học bạn bè lớp tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành luận văn CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐƯỜNG – MẶT TRONG E3 Chương dành cho việc nhắc lại kiến thức lý thuyết đường mặt với kết có nhằm làm sở cho việc tính toán khảo sát chương lại n §1.ĐƯỜNG TRONG E ( n = 2,3 ) n 1.1 Cung E n 1.1.1 Định nghóa cung tham số: Mỗi ánh xạ γ : J → E từ khoảng n J ⊂ R vào E gọi cung tham số (hay quỷ đạo) trongE γ:J→E Hai cung tham số n t6 γ (t) vaø n r: I → E t r(t) (I , J khoảng R; γ r khả vi ) gọi tương đương có λ:J→En vi phoâi cho ro λ = γ t λ(t) Dễ thấy quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương quan n hệ gọi cung E ; cung tham số lớp tương đương gọi tham số hóa cung ; vi phôi λ gọi phép biến đổi tham số cung 1.1.2 Điểm quy điểm kỳ dị Cho cung Γ xác định t ’ Điểm to Γ mà γ (t0) ≠ ’ γ:J→En 6γ (t) gọi điểm quy Γ γ (t0) = gọi điểm kỳ dị Γ Cung mà điểm quy gọi cung quy n 1.1.3 Độ dài cung tham số hóa tự nhiên cung quy a/- Độ dài cung : n Cho cung tham số γ : [ a ,b ] → E xác định đoạn thẳng [ a ,b ], giả sử γ liên tục Với phép chia a = t0 < t1 - n Cung Γ E gọi song quy điểm Γ điểm song quy - Một cung song quy cung quy - Cung quy cung song quy ⇔ độ cong khác điểm Thật tsh tự nhiên s → r(s) Γ , T (s) = r’(s), nên { r’ , DT ds T = Dr ' Dr ' DT ds } độc lập tuyến tính ds = ds ≠ -Xét trường vectơ Dt ds dọc cung song quy Γ E'' Đặt N = DT/ds DT / ds trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc Γ Từ (1) ta vieát DT ds = k.N (2) 1.2.3 Trường mục tiêu Fénet dọc cung song quy định hướng E độ xoắn n a/- Định nghóa : Γ cung song quy định hướng E có trường vectơ tiếp xúc đơn vị T trường vectơ pháp tuyến đơn vị N dọc Γ Nếu n = E có hướng xác định trường Vectơ đơn vị B = T ∧ N dọc Γ gọi trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc Γ Vậy cho cung song quy định hướng Γ E , có trường mục tiêu trực chuẩn { T , N , B } dọc Γ gọi trường mục tiêu Frénet dọc Γ Khi : B.B = nên Do BT = Maø DT DB ds T + B DT ds = ds = K.N vaø B.N = nên T = Vậy DB ⇒ nên DB ds B = DB ds DB ds trực giao với T B ds phương với N điểm Từ có hàm số T dọc Γ gọi (hàm) độ xoắn Γ để DB = -T.N ds - Công thức Frénet DT ds DN ds DB ds =K.N (a) =- K.T + TB (b) = -TN (c) Chứng minh công thức (b) VìN.N=1 ⇒ DN ds N=0 ⇒ DN ds DN ⇒ T T.N = khai triển theo T vaø B =- DT N=-K ds ⇒ N.B=0 DN ds DB B=-N =T ds DN ds Vaäy ds =-KT+ T.B b Lưu ý Lấy tham số hóa tự nhiên s → r (s) Γ Giả sử lân cận mở U ảnh Γ E có trường mục tiêu trực chuẩn { U1,U2 , U3 } mà U1or = T U2or = N, U3or = B từ phương trình DUi = ∑ wij Uj ( wij = - wji j −1 D (U i o r ) ds ⇒ = ∑ wij(r) ( Uj or) i= 1,3 j =1 So sánh với công thức Frénet, ta K = w12 ( T ) = T - w21 ( T ) = w23 ( T ) = -w32 ( T ) Coøn w13 (T ) = - w31 ( T ) = 1.2.4 Công thức tính độ cong độ xoắn Cho cung song quy định hướng Γ E xác định tham số hóa γ :J →E t 6γ (t) Lấy tham số hóa tự nhiên r:I→E s r(s)