(Luận văn) khảo sát độ cong gauss độ cong trung bình và đường khắc địa của lớp các mặt thông dụng mặt cực tiểu

Khảo sát độ cong Gauss - độ cong trung bình đường trắc địa lớp mặt thông dụng - mặt cực tiểu lu an n va p ie gh tn to Hoàng Công Phúc w d oa nl Trường ĐHSP Tp.HCM, 2004 ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si MUÏC LUÏC Trang lu an n va 3 12 12 14 16 tn to LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG Các khái niệm đường – mặt E3 Đường En 1.1 Cung En 1.2 Cung song quy E3 – Độ congĐộ xoắn Mặt E 2.1 Mảnh tham số – Các định nghóa 2.2 Ánh xạ Weingarten 2.3 Các dạng I II mặt S – Độ cong pháp dạng Công thức Meusnier công thức Euler 2.4 Những đường đáng ý mặt S E3 2.5 Tóm tắt sơ lược mặt- công thức tính toán p ie gh 18 25 w CHƯƠNG Khảo sát độ cong trung bình độ cong Gauss Của mặt - Độ cong trắc địa – Cung trắc địa I Mặt bậc hai II Mặt sinh đường tiếp tuyến đường cong R3 III Mặt kẻ IV Mặt tròn xoay d oa nl 33 va an lu 33 51 ll u nf 52 61 oi m z at nh 68 72 75 z gm @ CHƯƠNG Mặt cực tiểu Maët Scherk 2.Maët Enneper m co 86 an Lu TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 l - Bảng tóm tắt độ cong Gauss – Độ cong Trung bình Độ cong trắc địa mặt KẾT LUẬN n va ac th si LỜI NÓI ĐẦU Trong vài thập niên gần Hình học vi phân phát triển mạnh, đối tượng nghiên cứu hình học đa tạp khả vi mà sở ban đầu lý thuyết đường, mặt E3 Việc nắm vững kiến thức bước tạo điều kiện thuận lợi cho nghiên cứu hình học vi phân sau lu an Khảo sát tính chất nội vấn đề quan tâm va n nghiên cứu hình học vi phân đa tạp khảo sát độ cong Gauss, độ cong tn to trung bình đường trắc địa lớp mặt thông dụng vấn đề p ie gh thiếu Đề tài đặc biệt quan tâm đến vấn đề oa nl w Luận văn gồm chương d - Chương 1: an lu Dành cho việc nhắc lại số phép tính liên quan u nf va chứng minh sách hình vi phân Đây công cụ thiếu cho ll việc nghiên cứu phần sau oi m z at nh - Chương 2: z Dành cho việc nghiên cứu độ cong Gauss K, độ cong trung bình H đồng @ gm thời tìm đường tham số hóa lưới đường tọa độ đóng vai trò đường trắc l địa mặt thông dụng xét mặt cầu, Elipsoid Hyperboloid, eliptic an Lu Catenoid, xuyến m co tầng, hai tầng, parabolid eliptic, parabolid Hyperbolic, mặt kẻ helicoid, n va ac th si - Chương 3: Trong lớp mặt đa tạp ta quan tâm đặc biệt đến mặt có độ cong trung bình H = mà ta gọi mặt tối tiểu Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành thầy Nguyễn Hà Thanh Tiến só giảng viên khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh tận tình giúp đỡ suốt trình thực luận văn Tôi xin cảm ơn Thầy Cô khoa nhiệt tình giảng dạy suốt lu an trình học tập, cảm ơn phòng Khoa học Công nghệ – Sau Đại học bạn bè n va lớp tạo điều kiện giúp đỡ hoàn thành luận văn naøy p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐƯỜNG – MẶT TRONG E3 Chương dành cho việc nhắc lại kiến thức lý thuyết đường mặt với kết có nhằm làm sở cho việc tính toán khảo sát chương lại lu §1.ĐƯỜNG TRONG En ( n = 2,3 ) an 1.1.1 Định nghóa cung tham số: Mỗi ánh xạ γ : J → En từ khoảng J ⊂ R n va 1.1 Cung En tn to Hai cung tham số p ie gh vào En gọi cung tham số (hay quỷ đạo) trongEn r: I → En t r (t ) vaø w γ : J →En t γ (t ) oa nl (I , J khoảng R; γ r khả vi ) gọi tương đương có λ: J →En t λ (t ) d cho ro λ = γ va an lu vi phôi u nf Dễ thấy quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương quan ll hệ gọi cung En ; cung tham số lớp tương đương gọi m oi tham số hóa cung ; vi phôi λ gọi phép biến đổi tham số cung z at nh 1.1.2 Điểm quy điểm kỳ dị γ : J →En t γ (t ) z gm @ Cho cung Γ xác định m co γ’ (t0) = gọi điểm kỳ dị Γ l Điểm to Γ mà γ’ (t0) ≠ gọi điểm quy Γ an Lu Cung mà điểm quy gọi cung quy n va ac th si 1.1.3 Độ dài cung tham số hóa tự nhiên cung quy a/- Độ dài cung : Cho cung tham số γ : [ a ,b ] → En xác định đoạn thẳng [ a ,b ], giả sử γ liên tục Với phép chia a = t0 < t1 va n - Cung Γ En gọi song quy điểm Γ điểm - Một cung song quy cung quy p ie gh tn to song quy oa điểm nl w - Cung quy cung song quy ⇔ độ cong khác d Thật tsh tự nhiên s → r(s) Γ , T (s) = r’(s), an lu Dr' Dr ' DT = ≠0 } độc lập tuyến tính ds ds ds ll u nf va nên { r’ , DT T=0 ds Dt doïc cung song quy Γ E'' ds oi m -Xét trường vectơ z at nh z Đặt N = DT/ds DT / ds trường vectơ pháp tuyến đơn vị doïc Γ m co l DT = k.N (2) ds gm @ Từ (1) ta viết an Lu n va ac th si 1.2.3 Trường mục tiêu Fénet dọc cung song quy định hướng E3 độ xoắn Γ cung song quy định hướng En a/- Định nghóa : có trường vectơ tiếp xúc đơn vị T trường vectơ pháp tuyến đơn vị N dọc Γ Nếu n = E3 có hướng xác định trường Vectơ đơn vị B = T ∧ N dọc Γ gọi trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc Γ Vậy cho cung song quy định hướng Γ E3, có trường mục tiêu lu an trực chuẩn { T , N , B } dọc Γ gọi trường mục tiêu Frénet dọc Γ va n Khi : B.B = neân tn to p ie gh Do BT = neân DB B=0 ds DB DT T + B =0 ds ds DT DB = K.N B.N = nên T=0 ds ds Vậy DB trực giao với T B ds d oa nl w Mà an lu DB phương với N điểm ds u nf va ⇒ ll Từ có hàm số T dọc Γ gọi (hàm) độ xoắn Γ m DB = - T N ds oi để z at nh - Công thức Frénet z (b) an Lu (c) m co DB = -TN ds l DN = - K T + T B ds (a) gm @ DT =K.N ds n va ac th si Chứng minh công thức (b) DN N=0 ds Vì N.N = ⇒ DN khai triển theo T B ds ⇒ T.N = ⇒ T N.B = ⇒ DN DT =.N=-K ds ds DN DB B = -N = T ds ds lu DN = - KT + T B ds an Vậy va n b Lưu ý to gh tn Lấy tham số hóa tự nhiên s → r (s) Γ Giả sử lân p ie cận mở U ảnh Γ E3 có trường mục tiêu trực chuẩn { U1,U2 , U3 } nl w maø U1or = T U2or = N, U3or = B từ phương trình ∑ wij oa DUi = Uj ( wij = - wji ) wij(r) ( Uj or) i = 1,3 d j −1 an lu D (U i o r ) va ⇒ ∑ j =1 ll u nf ds = oi m So saùnh với công thức Frénet, ta z at nh K = w12 ( T ) = - w21 ( T ) T = w23 ( T ) = -w32 ( T ) z Coøn w13 (T ) = - w31 ( T ) = l gm @ 1.2.4 Công thức tính độ cong độ xoắn r :I → E3 s r ( s) an Lu hoùa γ :J → E3 Lấy tham số hóa tự nhieân t γ (t ) m co Cho cung song quy định hướng Γ E3 xác định tham số n va ac th si Của Γ có phép đổi tham số λ : J → I để γ = roλ (λ’ > ) Gọi { T , N , B } trường mục tiêu Frénet dọc Γ Từ công thức Freùnet cho : T = r’ ; D r' DT DN DB = = KN ; = - KT + T B, =-TN ds ds ds ds γ ' = λ’ ) Ta coù : γ ’ = λ’ ( r’0 λ ) = λ’ (T0 λ ) ( neân rõ ràng lu γ’’ = λ’’ ( Toλ ) + λ’2 ( DT oλ ) ds an n va = λ’’( Toλ ) + λ’2 ( Koλ) ( Noλ ) tn to Từ : p ie gh γ’ ∧ γ’’ = λ’3 ( Ko λ ) (Toλ) ∧ ( Noλ ) = γ ' ( Ko λ ) = γ' oa nl γ ' (t ) ∧ γ ' ' (t ) K (t) = d Tức K (λ (t) ) mà ta viết tắt : γ ' (t ) u nf va an lu Tính độ xoắn T ( Ko λ ) ( B o λ ) γ '∧γ ' ' w neân ll Do γ’ ∧ γ’’ phương với B0 λ nên để tính (γ’ ∧ γ’’) γ’’’ , cần xét m oi thành phần chứa B0 λ khai trieån γ’’’ theo { T0 λ ; Noλ ; Boλ } z at nh Từ γ’’ = λ’’ (T0 λ ) + λ’2 ( Ko λ ) (Noλ) z ⇒ thành phần chứa Boλ λ’’’ λ’3 ( Ko λ ) (T oλ ) (Boλ ) ( Ko λ )2 (T oλ ) T oλ = ( γ '∧γ ' ' ) γ ' ' ' γ '∧γ ' ' an Lu Do m co l gm @ vaäy (γ’ ∧ γ’’) γ’’’ = γ ' n va ac th si -78- ⎛ ⎞ ⎜ x , y , ( x + y − 1) ⎟ ⎠ n= ⎝ ( x + y + 1) * x → f (x , y ) f11 = ( -x , -y , ) f1 ∧ f11 = ( , - 1 ( + x2 +y2 ) , - y ( + x2 +y2 )) 2 y ( x + y + 1) Kg(x) = lu ⎡1 ⎤ ⎢ (1 − x + y ) + x y + x ⎥ ⎣4 ⎦ an va n Kg(x) = ⇔ y = to y →f(x,y) p f22 = ( x , y , -1) oa nl w * ie gh tn x x3 x2 ) Phương trình đường trắc ñòa f(x) = ( − , , d f2 ∧ f22 = an lu (1 + x2 + y2 ) ( , , x ) ll u nf va ⎡ ⎤ (1 + x + y ) ⎢ x + x ( x + y − 1) ⎥ x ( x + y + 1) 2 ⎣ ⎦ Kg(y) = = 3 2 f2 f ( x y + 1) oi m z at nh Kg(y) = ⇔ x = z Phương trình đường trắc ñòa ( , - l gm @ y y3 − y ) , + m co Các hình vẽ sau cho thấy cách phát sinh mặt Enneper từ mặt yên ngựa: an Lu n va ac th si -79- lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu Maët Enneper n va ac th si -80- KẾT LUẬN Bằng cách dựa vào kiến thức lý thuyết đường, mặt chương 1, chương luận văn dành cho việc khảo sát độ cong Gauss, độ cong trung bình mặt thông dụng gồm: mặt bậc hai, mặt sinh tiếp tuyến đừơng cong, mặt kẻ, mặt tròn xoay Như biết mặt cụ thể có tham số hóa r (u,v); lưới đường tọa độ u - tham số , v - tham số đóng vai trò lu quan trọng việc nghiên cứu mặt Vì việc khảo sát an đường đường trắc địa cần thiết n va to gh tn Luận văn độ cong Gauss, độ cong trung bình p ie đường tọa độ mặt cụ thể đường trắc địa Lý thuyết đường trắc địa giải tổng quát, nhiên việc tìm đường tọa độ oa nl w đường trắc địa mặt cụ thể chưa đề cập tài liệu hình d học vi phân Vì việc tìm độ cong Gauss K, độ cong trung bình , luận lu an văn tập trung tìm đường tọa độ đường trắc địa mặt cụ thể : u nf va mặt bậc hai, mặt sinh tiếp tuyến đường cong, mặt kẻ, mặt ll tròn xoay việc nghiên cứu giúp ta giải số toán cụ thể oi m vật lý thực tế z at nh z Như biết mặt có độ cong H = khảo sát @ gm Meusnier, ta có: mặt có diện tích cực tiểu tất mặt có m co l biên có H = Vì mặt có H = gọi mặt cực tiểu Lớp mặt có độ cong H = quan tâm nhà toán học Đây đề tài mang tính chất an Lu thời Luận văn số mặt có độ cong H = chứng minh n va ac th si -81- mặt kẻ cực tiểu liên thông phần mặt phẳng helicoid Như biết mặt tròn xoay cực tiểu liên thông mặt phẳng Catenoid; phép đẳng cự biến helicoid thành Catenoid ta khảo sát thêm mặt có độ cong H=0 Sherk Enneper lu an n va p ie gh tn to d oa nl w ll u nf va an lu oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si -82- TÀI LIỆU THAM KHẢO Alekseevskij – Vinberg – Solodovnilov, Geometry of space of constant curvature, Springer – Verlag 1993 Borisovich – Bliznyakov – Izrailevich, Introduction to topology, Mir Publishers Moscow 1985 Detlef Laugwitz, Differential and Riemannian geometry, Academic Press Inc 1965 lu an Eisenhart, An introduction to differential geometry, Princéton, 1947 n va Nguyễn Thúc Hào, Hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1968 tn to Martin Lipschultz, Differential geometry, M Graw-Hill, 1969 ie gh Postnikov , Smooth manifold, Mir Publishers Moscow 1987 p Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB Giáo duïc, 2000 nl w Struik, D.J, Lectures on classical differential geometry, Second edition, d oa A ddison – wesley, Reading, Mass, 1961 ll u nf va 1980 an lu 10 Su Buchin, Lectures on differential geometry world Scientific Singapore oi m z at nh z m co l gm @ an Lu n va ac th si l u a n v a n -68- to t n g p hi e BẢNG TÓM TẮT ĐỘ CONG GAUSS – ĐỘ CONG TRUNG BÌNH- Phương trình tắc tham số Độ cong Gauss – độ cong TB Đường tọa độ a lu MẶT o a d nl d o w ĐƯỜNG TỌA ĐỘ LÀ ĐƯỜNG TRẮC ĐỊA CỦA MẶT nf u n v a đường trắc địa ƒ Mặt cầu Đường tròn tâm o l i n h o lm x2 + y2 +z2 = R2 MAËT K= R f(u,v) = (R cosucosv , R sinucosv, R sinu) BAÄC a t z ƒ Elipsoid HAI z y @ z gm c2 a x + b + =1 m l.c o f(u ,v) = ( a cosu cosv , b sinu cosv , c an Lu sinu) K= H= ; bán kính R R x2 ⎡ y2 z2 ⎤ 2 x a b c ⎢ + + ⎥ ⎢⎣ a b c ⎥⎦ z ( H= c a + b2 )+ y ( + a2 x2 )+ x ( an v b4 a2 c2 a4 b2 x y z 32 2( + + ) a4 b4 c4 + c2 a2 + + y2 b2 z2 c2 =1 =1 ) y2 b + z2 c =1 t h a c si l u a n v a n -69- to t n g - b2 c2 ⎡ x2 y2 z2 ⎤ a 2b 2c ⎢ + + ⎥ 4 a b c ⎥⎦ ⎣⎢ p + z =1 x2 a2 o a d nl a2 y −1 d o w x K= hi e ƒ Hyperboloid eliptic x2 y2 1 z2 1 b2 - b2 z2 c2 = 1, =1 ⎣2 v v v x2 a2 - z2 c2 =1 a t z i n h o lm l nf u n v a a lu ( − )+ ( − )+ ( + ) 2 2 a b c b a c c a b2 f(u,v) = H= x y z 32 b c 2( + + ) ⎡a 4 + + + ( v ) cos u , ( v ) sin u , ( v ) a b c4 ⎢ y2 + y2 Hyperboid ( hai taàng) y b2 z @ a2 + z x - gm ƒ 2 c2 = -1 K= y2 z2 = -1 , 2 b c ⎡ x2 y2 z2 ⎤ a 2b 2c ⎢ + + ⎥ ⎢⎣ a b c ⎥⎦ x2 m l.c o a ƒ f(u,v) Lu x2 ( an H= a b v an t h a c b c ⎤ ⎡a ⎢⎣ (v − v) cos u, (v − v ) sin u, (v − v )⎥⎦ − c2 )+ y2 ( − )+ z2 ( b4 a2 c2 c4 a2 x y z 32 2( + + ) a4 b4 c4 + b2 ) - z2 c = -1 si l u a n v a n -70- to t n g ⎡ 4x y ⎤ a 2b ⎢ + + 1⎥ 4 a b ⎥⎦ ⎣⎢ p + 2 Z= b2 x2 a2 ƒ f(x,y) = ( x , y , x2 + ) Z= 4z + + 2 a b a 2b H= 4x y ( + + 1) a4 b4 y2 b2 i n h o lm l nf u n v a a b2 lu a2 y2 o a d nl a2 y d o w ƒ Z= x K= hi e Paraloid eliptic Paraboloid hyperbolic a t z a - z ƒ Z= x K= y gm @ b2 m l.c o ƒ f(x,y) = ( x , y , x2 a2 − y2 b2 ) −4 ⎡ 4y2 ⎤ 2 4x a b ⎢ + + 1⎥ b4 ⎥⎦ ⎢⎣ a − − 4z an Lu b a 2b H= a 4x y ( + + 1) a4 b4 Z= Z= x2 a2 − y2 b2 v an t h a c si l u a n v a n -71- to t n g f (s, t) = C (s) + t δ (s) p KẺ hi e Tổng quát : ⎡ ⎡δ ' ( s ) ⎤ ⎤ ⎢ ⎢ ⎥⎥ ⎢det ⎢ c ' ( s ) ⎥ ⎥ ⎢⎣ ⎢⎣ δ ( s ) ⎥⎦ ⎥⎦ o a d nl d o w MẶT ƒ Mặt kẻ K=- l nf u n v a a lu ( EG − F ) ( −1 s ⎤ ⎡1 4⎢ t + (1 + tsos )⎥ ⎦ ⎣4 + cos s , cos s + sin s , cos s + o lm s s f(δ,t) = (coss+tcos coss, sins + tcoss sins, 2 s t sin ) K= f(s) = 2 a t z i n h − sin s ) cos s + z f(t)= ( cosS0 + @ m l.c o gm tcos S0 sosS0 , SinSo +tcos Lu an tsin S0 SinSo , an v S0 ) t h a c si l u a n v a n -72- to t n g hi e Helicoid f(s) = ( , 0, bs) p f(s,t) = ( tcoss, tsins, bs ) d o w K= ( t + b2 )2 , H=0 f(t) = ( t cosS0 , o a d nl b ≠0 − b2 lu Toång quát TRÒN f(s,t) = ( C1(s)cost,C1(s)sint,C2(s) ) nf u n v a a MAËT K= o lm l XOAY i n h ƒ Torus a t z f(s,t) = ( a+bcoss)cost, (a+bcoss ) sint, z m l.c o gm @ bsins) t sinSo, bSo ) K= [ C 2' ( s ) C1' ( s ).C 2'' ( s ) − C1'' ( s ).C 2' ( s ) [ C1 ( s ) C1'2 ( s ) + C 2'2 ( s ) cos s b(a + b cos s ) ] ] f(s)=((a+bcoss)cost0, (a+bcoss ) sinto, bsins) f(t) = ((a+b) cost , (a+b)sint, ) f(t) =((a-b) cost , Lu an (a-b )sint, ) v an t h a c si l u a n v a n -73- to t n g o a d nl d o w K= p s s f(s,t) = (ach cost , ach sint, S ) a a H=0 ez cosx – cosy = o lm i n h a t z ( cosx cosy > ) 2 ach s sint0, S ) a f(t) = (a cost, a sint,0) a lu CỰC l ƒ Maët Scherk 2⎡ −1 s ⎤ +1 a ⎢ Sh a ⎥⎦ ⎣ n v a nf u MAËT TIEÅU s f(s) = (ach cost0 , a hi e ƒ Catenoid H=0 ez = cosy (cosy > ) ez = - cosy (cosy