Các dạng toán hệ thức lượng trong tam giác toán 10 thường gặp

Giá trị lượng giác của một góc Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi lànửa đường tròn đơn vị.. Mối quan hệ giữa các giá trị l

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI

A – TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Giá trị lượng giác của một góc

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi lànửa đường tròn đơn vị

○ sin của góc α là y0, kí hiệu sin α = y0

○ cô-sin của góc α là x0, kí hiệu là cos α = x0

b) Nếu α là góc tù thì cos α < 0, tan α < 0, cot α < 0

c) Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà em nên nhớ

α 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦

sin α 0 1

2

√22

√3

cos α 1

√32

√22

1

2 0 −1tan α 0

√3

√

3 || 0cot α || √3 1

√3

3 0 ||

VÍ DỤ 1

Tính các giá trị lượng giác của góc 150◦

BÀI GIẢI

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ’xOM = 150◦ Gọi

N , P lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy

Vì ’xOM = 150◦ nên ÷M ON = 30◦.Trong tam giác vuông M ON , ta có sin ÷M ON = M N

2 ;

12

å

Theo định nghĩa, ta có sin 150◦ = 1

2; cos 150

◦= −

√3

2 ; tan 150

◦ = −√1

3; cot 135

◦ = −√3 □

2 Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Ở lớp dưới ta đã biết hai góc phụ nhau thì các tỷ số lượng giác của chúng có mối liên hệ

y0 α

VÍ DỤ 2

Tính các giá trị lượng giác của các góc 120◦, 135◦ và 150◦

BÀI GIẢI

Do các góc 120◦, 135◦, 150◦tương ứng bù với các góc 60◦, 45◦, 30◦ nên từ bảng giá trị lượng giác ở trên,

ta có bảng giá trị lượng giác sau

α 120◦ 135◦ 150◦sin α

√32

√22

12cos α −1

2 −

√2

2 −

√32tan α −√3 −1 −

√33cot α −

√3

√3

□

B – CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1 Tính các giá trị lượng giác

Sử dụng các công thức cơ bản ở phần lý thuyết để tính ra các giá trị lượng giác

Cần chú ý dấu của các giá trị lượng giác khi tính

1 Ví dụ minh họa

c Ví dụ 1. Tính các giá trị lượng giác của góc 135◦

Lời giải.

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho ’xOM = 135◦ Gọi N , P

lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy

Vì ’xOM = 135◦ nên ÷M ON = 45◦ và ÷M OP = 45◦ Do đó các tam giác

M ON , M OP là vuông cân với cạnh huyền OM = 1

Từ đó, ta có ON = OP =

√2

2 .Mặt khác, điểm M nằm bên trái trục tung nên có tọa độ là

Ç

−

√2

2 ;

√22

2 ; cos 135

◦= −

√2

16 .

Từ đó suy ra tan α = sin α

cos α =

√15

15 , cot α =

cos αsin α

√

3 Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α.

Lời giải.

Đáp số: sin α =

√5

3 , tan α = −

√5

2 , cot α = −

2√5

4 Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x biết 90

◦< x < 180◦

Lời giải.

Đáp số: cos x = −

√7

4 , tan x = −

3√7

7 , cot x = −

√7

2 , cos α =

√3

3 , sin α =

√6

c Bài 4. Cho cot β = −

√3

2 Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc β.

Lời giải.

Đáp số: tan β = −2

√3

3 , sin β =

2√7

7 , cos β = −

√21

c Bài 5. Cho tan 180◦− a
= −1

2 Tính các giá trị lượng giác của góc a.

3 Tính các giá trị còn lại của góc α.

Lời giải.

Đáp số: cos α = −

√5

5 , tan α =

2√21

21 , cot α =

√21

Dạng 2 Tính giá trị các biểu thức lượng giác.

Từ giả thiết đề cho (thường là giá trị của góc hay một giá trị lượng giác) định hướng biến đổi biểu thức vềdạng chỉ xuất hiện giá trị đã cho của giả thiết để tính

Cần chú ý điều kiện áp dụng (nếu có)

2 − 3

√3

Ta có P = 4 1 − cos2 x
+ cos2x = 4 − 3 cos2x = 4 − 3Å 1

cos xcos xsin x

cos x−

cos xcos x

Lời giải.

Ta có B =

cos xsin x −

sin xcos xcos x

sin x +

sin xcos x

=

sin2x − cos2xsin x cos xsin2x + cos2xsin x cos x

= 2 sin2x − 1 = −1

2 Bài tập rèn luyện

a A = tan 10◦ tan 20◦ tan 80◦

b B = cot 20◦+ cot 40◦+ · · · + cot 140◦+ cot 160◦

Lời giải.

Hướng dẫn:

a Ta có: tan 10◦ = cot 80◦, tan 20◦ = cot 70◦, tan 30◦= cot 60◦, tan 40◦ = cot 50◦ Do đó, ta tính được A = 1

b Ta có: cot 20◦ = − cot 160◦, cot 40◦= − cot 140◦, nên ta tính được B = 0

c Bài 12. Biết sin x + cos x = 1

Dạng 3 Chứng minh đẳng thức lượng giác

Sử dụng linh hoạt các công thức cở bản, các phép biến đổi đại số và sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

a2+ b2+ c2 = sin2x + cos2x(1 − cos2y) + cos2x cos2y

= sin2x + cos2x − cos2x cos2y + cos2x cos2y

= 1

□

c Ví dụ 12. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin4x + cos4x = 1 − 2 sin2x cos2x

b) cos4x − sin4x = cos2x − sin2x = 1 − 2 sin2x = 2 cos2x − 1

c) tan2x − sin2x = tan2x sin2x

a) Ta có sin4x + cos4x = sin2x
2+ cos2x
2= sin2x + cos2x
2− 2 sin2x cos2x

Do sin2x + cos2x = 1 nên ta suy ra sin4x + cos4x = 1 − 2 sin2x cos2x

b) cos4x − sin4x = cos2x
2

− sin2x
2

= cos2x − sin2x

cos2x + sin2x
= cos2x − sin2x

Do sin2x + cos2x = 1 nên cos2x − sin2x = cos2x + sin2x − 2 sin2x = 1 − 2 sin2xTương tự ta có cos2x − sin2x = 2 cos2x − 1

c) tan2x − sin2x = sin

2xcos2x − sin

2x = sin2x

Å1cos2x − 1

ã

= sin2x1 − cos

2xcos2x = tan

c Ví dụ 13. Cho A, B, C là các góc của tam giác Chứng minh các đẳng thức sau:

c Ví dụ 14. Chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x

a) A = sin8x + sin6x cos2x + sin4x cos2x + sin2x cos2x + cos2xb) B = 1 − sin

6xcos6x −

3 tan2xcos2x

Lời giải.

a) Ta có:

A = sin8x + sin6x cos2x + sin4x cos2x + sin2x cos2x + cos2x

= sin6x sin2x + cos2x
+ sin4x cos2x + sin2x cos2x + cos2x

= sin6x + sin4x cos2x + sin2x cos2x + cos2x

= sin4x sin2x + cos2x
+ sin2x cos2x + cos2x

= sin4x + sin2x cos2x + cos2x

= sin2x sin2x + cos2x
+ cos2x

= sin2x + cos2x = 1

b) Điều kiện cos x ̸= 0.

B =1 − sin

6xcos6x −

3 tan2xcos2x

= 1 − sin

6xcos6x −

3 sin2xcos4x

= 1 − sin

6xcos6x −

3 sin2x cos2xcos6x

= 1 − sin

6x − 3 sin2x cos2xcos6x

sin4x + cos4x = sin2x + cos2x
2

− 2 sin2x cos2x = 1 − 2 sin2x cos2x

sin6x + cos6x = sin2x + cos2x
3− 3 sin2x cos2x(sin2x + cos2x) = 1 − 3 sin2x cos2x

Từ đó suy ra P = 1 − 3 sin2x cos2x − m 1 − 2 sin2x cos2x
= 1 − m + (2m − 3) sin2x cos2x

Do đó P có giá trị không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi 2m − 3 = 0 ⇔ m = 3

a +

cos4xb

å

= 1

⇔ (a + b)

Çsin4x

a +

cos4xb

Đặt t = 1

a + b ⇒

® sin2x = atcos2x = bt, do đó ta có

® sin2018x = a1009t1009cos2018x = b1009t1009 .Vậy sin

a) A = sin4x(3 − sin2x) + cos4x(3 − 2 cos2x)

b) B = 3 sin8x − cos8x
+ 4 cos6x − sin6x
+ 6 sin4x

c) C = sin8x + cos8x + 6 sin4x cos4x + 4 sin2x cos2x sin4x + cos4x

c Bài 16. Tìm m đển biểu thức P = sin6x + cos6x + m sin6x + cos6x
+ 2 sin22x không phụ thuộc vàox

Lời giải.

Sử dụng các hằng đẳng thức rút gọn biểu thức P ta được P = 1 + m + 5 − m

4 sin

22x

Từ đó suy ra P không phụ thuộc vào x khi và chỉ khi m = 5 □

c Bài 17. Cho f (x) = sin6x +3

4sin

22x + cos6x Tính f

 π2017



2, cot a = −2, cos a = −

2√5

5 , sin a =

√5

c Bài 19. Cho cos4x − sin4x = 7

8 Tính các giá trị lượng giác của góc x biết x là góc tù.

Đáp số: cos x = −

√15

4 , sin x =

1

4, tan x = −

√15

= sin2x + cos2x
2

− 2(sin x cos x)2

= 1 − 2

Å−732

ã2

= 463512

ã2

= 34

c Bài 24. Cho 6 cos2α + cos α − 2 = 0 Biết A = 2 sin α cos α − sin α

2 cos α − 1 = a + b tan α với a, b ∈ Q Tính giátrị của biểu thức a + b

2 cos α − 1 = sin α = cos α.

sin αcos α = −

√22sin 45◦ =

√22

2 . B cos 150◦ =

√3

c Câu 4 Tính giá trị biểu thức P = cos 30◦cos 60◦− sin 30◦sin 60◦.

√3

⇒ P = sin 30◦cos 60◦+ sin 60◦cos 30◦= cos260◦+ sin260◦ = 1

A sin 45◦+ cos 45◦ =√2 B sin 30◦+ cos 60◦= 1

C sin 60◦+ cos 150◦= 0 D sin 120◦+ cos 30◦ = 0

√32sin 120◦ =

√32

⇒ cos 30◦+ sin 120◦=√3

A sin 0◦+ cos 0◦ = 0 B sin 90◦+ cos 90◦= 1

C sin 180◦+ cos 180◦= −1 D sin 60◦+ cos 60◦=

⇒ cos 0◦+ sin 0◦ = 1

A cos 45◦= sin 45◦ B cos 45◦= sin 135◦ C cos 30◦ = sin 120◦ D sin 60◦= cos 120◦

√32

c Câu 9 Tam giác ABC vuông ở A có góc “B = 30◦ Khẳng định nào sau đây là sai?

A cos B = √1

3. B sin C =

√3

2 . C cos C = 1

2. D sin B = 1

2.

Lời giải.

Từ giả thiết suy ra “C = 60◦

Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được

cos B = cos 30◦=

√3

2 . B cos ’BAH = √1

3. C sin ’ABC =

√3

√32

Ta có ’ABC = 60◦⇒ sin ’ABC =

√3

2 .

A sin(180◦− α) = − cos α B sin(180◦− α) = − sin α

C sin(180◦− α) = sin α D sin(180◦− α) = cos α

Hai góc 30◦ và 150◦ bù nhau nên sin 30◦ = sin 150◦;

Hai góc 15◦ và 165◦ bù nhau nên cos 15◦ = − cos 165◦

Do đó P = sin 30◦cos 15◦+ sin 150◦cos 165◦ = sin 150◦· (− cos 165◦) + sin 150◦cos 165◦ = 0

P = cos α cos β − sin β sin α

A P = 0 B P = 1 C P = −1 D P = 2.

Lời giải.

Hai góc α và β bù nhau nên sin α = sin β; cos α = − cos β

Do đó P = cos α cos β − sin β sin α = − cos2α − sin2α = −(sin2α + cos2α) = −1

Biểu thức trở thành P = sin α cos β + cos α sin β

Trong tam giác ABC, có

b

A + “B + “C = 180◦ ⇒ α + β = 180◦

Do hai góc α và β bù nhau nên sin α = sin β; cos α = − cos β

Do đó, P = sin α cos β + cos α sin β = − sin α cos α + cos α sin α = 0

Biểu thức trở thành P = cos α cos β − sin α sin β

Trong tam giác ABC có

b

A + “B + “C = 180◦ ⇒ α + β = 180◦

Do hai góc α và β bù nhau nên sin α = sin β; cos α = − cos β

Do đó P = cos α cos β − sin α sin β = − cos2α − sin2α = −(sin2α + cos2α) = −1

A sin α = − cos β B cos α = sin β C tan α = cot β D cot α = tan β

Hai góc 15◦ và 75◦ phụ nhau nên sin 75◦= cos 15◦

Hai góc 20◦ và 110◦ hơn kém nhau 90◦ nên cos 110◦= − sin 20◦

Do đó,

S = sin215◦+ cos220◦+ sin275◦+ cos2110◦= sin215◦+ cos220 + cos215◦+ (− sin 20◦)2

= (sin215◦+ cos215◦) + (sin220◦+ cos220◦) = 2

c Câu 19 Cho hai góc α và β với α + β = 90◦ Tính giá trị của biểu thức

P = sin α cos β + sin β cos α

Lời giải.

Hai góc α và β phụ nhau nên sin α = cos β; cos α = sin β

Do đó, P = sin α cos β + sin β cos α = sin2α + cos2α = 1

c Câu 20 Cho hai góc α và β với α+β = 90◦ Tính giá trị của biểu thức P = cos α cos β −sin β sin α

Lời giải.

Hai góc α và β phụ nhau nên sin α = cos β; cos α = sin β

Do đó, P = cos α cos β − sin β sin α = cos α sin α − cos α sin α = 0

A sin α < 0 B cos α > 0 C tan α < 0 D cot α > 0

Lời giải.

c Câu 22 Cho hai góc nhọn α và β trong đó α < β Khẳng định nào sau đây là sai?

A cos α < cos β B sin α < sin β C cot α > cot β D tan α + tan β > 0

Lời giải.

A cos 75◦> cos 50◦ B sin 80◦ > sin 50◦ C tan 45◦< tan 60◦ D cos 30◦ = sin 60◦

Lời giải.

Trong khoảng từ 0◦ đến 90◦, khi giá trị của góc tăng thì giá trị cos tương ứng của góc đó giảm

A sin 90◦< sin 100◦ B cos 95◦> cos 100◦ C tan 85◦< tan 125◦ D cos 145◦> cos 125◦

Lời giải.

Trong khoảng từ 90◦ đến 180◦, khi giá trị của góc tăng thì:

- Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm

- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm

A sin 90◦ < sin 150◦ B sin 90◦15′ < sin 90◦30′

C cos 90◦30′> cos 100◦ D cos 150◦> cos 120◦

Lời giải.

Trong khoảng từ 90◦ đến 180◦, khi giá trị của góc tăng thì:

- Giá trị sin tương ứng của góc đó giảm.

- Giá trị cos tương ứng của góc đó giảm

5 + sin

2α5

c Câu 28 Cho biết tan α = −3 Giá trị của P = 6 sin α − 7 cos α

6 cos α + 7 sin α bằng bao nhiêu?

6 + 7sin αcos α

sin αcos α

2cos αsin α +

sin αcos α

ã2

+ 3 ·59

2 ·

Å

−23

ã2

+59

cos αsin α +

1sin2αã

1 + cot2α(2 cot

2α + 5 cot α + 1 + cot2α) = 3 cot

2α + 5 cot α + 1cot2α + 1 =

4 . B cot α =

√3

4 . C cot α =

√2

4 . D cot α =

√2

2 .

Lời giải.

Ta có 2 cos α +√2 sin α = 2 ⇔√2 sin α = 2 − 2 cos α ⇒ 2 sin2α = (2 − 2 cos α)2

⇔ 2 sin2α = 4 − 8 cos α + 4 cos2α ⇔ 2(1 − cos2α) = 4 − 8 cos α + 4 cos2α

⇔ 6 cos2α − 8 cos α + 2 = 0 ⇔



cos α = 1cos α = 1

√2

4 .

c Câu 33 Cho biết sin α + cos α = a Tính giá trị của sin α cos α

A sin α cos α = a2 B sin α cos α = 2a

Ta có sin α + cos α = a ⇒ (sin α + cos α)2= a2

⇔ 1 + 2 sin α cos α = a2 ⇔ sin α cos α = a

2− 1

2 .

c Câu 34 Cho biết cos α + sin α = 1

3 Giá trị của P =

√tan2α + cot2α bằng bao nhiêu?

cos αsin α

ã2

− 2

=

ÃÇsin2α + cos2αsin α cos α

−94

√15

√17

√19

√21

= »1 − 2(sin α cos α)2=

√17

5 .

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

2 Baâi

bsin B =

csin C = 2RGhi nhớ: Tỉ lệ "cạnh chia sin góc đối" thì bằng nhau

A

IR

3 Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có ma, mb, mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ

4 Công thức tính diện tích tam giác

Gọi S là diện tích tam giác ABC Ta có

Trong đó:

• ha, hb, hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB

• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

• Cho tam giác biết trước độ dài hai cạnh và số đo của một góc

• Cho tam giác biết trước độ dài ba cạnh

1 Ví dụ minh họa

c Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có b = 5, c = 7 và cos A = 3

5 Tính cạnh a và cosin các góc còn lại của tamgiác đó

c Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 3 cm và BC = 6 cm Tính độ dài trung tuyến kẻ từ

C của tam giác ABC

Lời giải.

Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí

Vậy tam giác ABC có AB = 40, AC = 30 và bA = 60◦

Áp dụng định lí cô-sin vào tam giác ABC, ta có

a2 = b2+ c2− 2bc · cos A = 302+ 402− 2 · 30 · 40 · cos 60◦= 1300 ⇒ a ≃ 36

Vậy sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí □

c Ví dụ 6. Tam giác ABC có AB = c; BC = a; CA = b Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thứcb(b2− a2) = c(a2− c2) Tính số đo góc ’BAC

Áp dụng định lý Cô-sin trong tam giác ta có

AB2= AC2+ BC2− 2AC · BC · cos ’ACB ⇒ 62= 52+ BC2− 2 · 5 · BC cos 60◦

⇔ BC2− 5BC − 11 = 0 ⇔ BC = 5 +

√69

Lời giải.

# »AC = #»

f1+ #»

f2

Theo định lí côsin đối với tam giác ABC, ta có:

AC2 = AB2+ BC2− 2.AB.BC cos B, hay | #»s |2=