Chuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi kép

Chuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi képChuyển pha kim loại – điện môi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi kép

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài

Chuyển pha kim loại - điện môi là một chủ đề quan trọng trong nghiên cứu vật lý các chấtđông đặc Trạng thái của vật chất có thể chuyển từ trạng thái kim loại sang điện môi hayngược lại Theo lý thuyết dải năng lượng, trạng thái kim loại xảy ra khi mức năng lượngFermi nằm trong vùng dẫn, trạng thái điện môi xuất hiện khi mức năng lượng Fermi nằmtrong vùng cấm hay còn gọi là khe năng lượng Về cơ bản, nghiên cứu chuyển pha kim loại

- điện môi chính là đi tìm các điều kiện để trạng thái điện môi có thể tồn tại Gần đây,các chất điện môi tô pô từ tính được phát hiện Do vậy, mục đích chính của luận án này lànghiên cứu các điều kiện để trạng thái điện môi tô pô từ tính có thể xảy ra trong một cơchế hình thành từ tính cụ thể là cơ chế trao đổi kép

Các nghiên cứu trên thế giới đã xác lập điều kiện tồn tại của pha điện môi tô pô, tuynhiên mới chỉ dừng lại trong phạm vi lý thuyết dải năng lượng Gần đây nghiên cứu về cácpha điện môi tô pô và các pha trật tự tầm xa trong các mô hình lượng tử dưới tác động củacác yếu tố như pha tạp từ kèm theo mất trật tự, tương tác trao đổi spin, liên kết spin quỹđạo, tương quan điện tử, từ trường hay có sự dịch chuyển các mức năng lượng trong mạngtinh thể đã thu hút sự chú ý của các nhà khoa học, đặc biệt sau khi hiệu ứng Hall dị thườnglượng tử được quan sát thấy trên chất điện môi điện tô pô có pha tạp từ

Nghiên cứu về các pha tô pô và các pha trật tự tầm xa trong chất điện môi tô pô từ đangđược rất nhiều nhóm nghiên cứu thực nghiệm cũng như lý thuyết trong và ngoài nước quantâm và đầu tư rất mạnh Câu hỏi đặt ra là khi có thêm các yếu tố tác động như tương quanđiện tử, pha tạp từ, sự phân tách các mức năng lượng hay từ trường thì tính chất của cácpha tô pô và pha từ tính sẽ thay đổi như thế nào Chẳng hạn, khi pha tạp từ vào chất điệnmôi tô pô, sự mất trật tự và tính không đồng nhất của tạp từ sẽ ảnh hưởng thế nào tới sựtồn tại và tính chất của các pha tô pô cũng là vấn đề cần được nghiên cứu và làm rõ

Để xác định xem một chất điện môi có phải là chất điện môi tô pô hay không, chúng

ta thường dựa vào chỉ số bất biến tô pô Mặc dù các bất biến tô pô có thể tính toán được,nhưng tính toán chúng không thực sự đơn giản, ngay cả cho trường hợp không có tươngtác Vì vậy, ngoài cách này, chúng tôi đề xuất phương pháp sử dụng sự giao nhau của khôngđiểm của hàm Green tô pô để xác định các pha tô pô trong các hệ tương tác Phương phápnày cho phép chúng ta xác định nhanh chóng một pha có phải là điện môi tô pô hay không,

mà không cần tính toán các bất biến tô pô

Xuất phát từ những lí do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu “Chuyển pha kim loại - điệnmôi từ trong một số hệ điện tử tương quan trao đổi kép” có tính khoa học, thời sự và cấpthiết đối với nghiên cứu hiện nay

Mục tiêu nghiên cứu

• Nghiên cứu tác động của tạp từ lên sự tồn tại và tính chất của các pha tô pô và pha

từ tính trong chất điện môi tô pô từ

• Nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của các pha điện môi tô pô từ tính thông qua

sự giao nhau của không điểm của thành phần chéo của hàm Green tô pô trong khônggian động lượng.

• Nghiên cứu sự xuất hiện của trạng thái điện môi tô pô mới đó là trạng thái nửa tô pôtrong chất điện môi tô pô từ

Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án, chúng tôi sử dụng lý thuyết trường trung bình động để giải quyết các vấn đềnghiên cứu đặt ra

Bố cục luận án

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án được trình bày thành 3 chương Cụ thể:

Chương 1: Chúng tôi trình bày về tổng quan về chất điện môi tô pô, các phương pháp

để xác định pha điện môi tô pô, và cuối cùng chúng tôi trình bày một cách khái quát nhất

về lý thuyết trường trung bình động

Chương 2: Chúng tôi nghiên cứu tác động của tạp từ lên tính chất của các pha tô pô vàpha từ tính trong chất điện môi tô pô từ

Chương 3: Chúng tôi xây dựng hàm Green tô pô một hạt để xác định các pha tô pô củacác hệ tương tác thông qua sự trùng nhau của không điểm và cực điểm của các thành phầnchéo của hàm Green được xây dựng Trong phần tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu điều kiệntồn tại cho trạng thái điện môi nửa tô pô trong các mô hình lý thuyết có đối xứng nghịchđảo thời gian và không có đối xứng nghịch đảo thời gian

CHƯƠNG 1: CHẤT ĐIỆN MÔI TÔ PÔ

VÀ LÝ THUYẾT TRƯỜNG TRUNG BÌNH ĐỘNG

1.1 Chất điện môi tô pô

Chất điện môi tô pô giống như chất điện môi thông thường, có khe năng lượng ngăn cáchgiữa vùng hóa trị được lấp đầy và vùng dẫn hoàn toàn trống Tuy nhiên, khác với chất điệnmôi thông thường, trạng thái biên (bề mặt hay cạnh) của chất điện môi tô pô là trạng tháidẫn, trong khi ở trong khối là một chất điện môi Các đặc tính lượng tử độc đáo của chấtđiện môi tô pô xuất phát từ tính chất đặc biệt của các trạng thái biên này Một ưu điểmkhá nổi bật của vật liệu tô pô đó là có trạng thái biên không tiêu tán năng lượng đã mở ranhững tiềm năng ứng dụng của chúng trong công nghệ spintronic Đặc tính tô pô của mộtvật được đặc trưng bởi số nguyên bất biến tô pô

Các hệ Hall lượng tử có thể được xem như là chất điện môi tô pô đầu tiên được các nhàvật lý biết tới Trong hiệu ứng Hall lượng tử (QHE), độ dẫn Hall được lượng tử hóa là mộtbất biến tô pô Năm 1988, Haldane đã đề xuất một mô hình lý thuyết đầu tiên cho thấy độdẫn Hall được lượng tử hóa khi không có tác động của từ trường ngoài lên mạng tinh thể

Mô hình Haldane không có đối xứng nghịch đảo thời gian, do đó chất điện môi tô pô không

có đối xứng nghịch đảo thời gian được gọi là chất điện môi tô pô Chern có bất biến tô pôchính là số Chern

Chất điện môi tô pô hai chiều Z2, còn được gọi là chất điện môi Hall spin lượng tử(QSHE) được đề xuất về mặt lý thuyết bởi Kane - Mele vào năm 2005 Mô hình của Kane

- Mele có đối xứng nghịch đảo thời gian, do đó chất điện môi tô pô Z2 có đối xứng nghịchđảo thời gian

Chất điện môi tô pô từ có liên quan tới hiệu ứng Hall dị thường lượng tử Trong chấtđiện môi tô pô từ, liên kết spin quỹ đạo mạnh có thể tạo ra pha điện môi tô pô Chúng ta cóthể tạo ra chất điện môi tô pô từ bằng cách pha tạp từ vào chất điện môi tô pô Cơ chế tạo

ra từ tính trong chất điện môi tô pô pha tạp từ cho đến nay vẫn chưa biết một cách chínhxác và còn nhiều tranh cãi Một trong các cơ chế được biết đến là cơ chế van Vleck hay cơchế Bloembergen - Rowland hay cơ chế trao đổi kép Trong luận án,chúng tôi sử dụng cơchế trao đổi kép để giải thích tính chất từ của chất điện môi tô pô

1.2 Các phương pháp xác định trạng thái tô pô

Trong luận án, chúng tôi trình bày ba cách để xác định trạng thái tô pô đó là: xác định bấtbiến tô pô, khảo sát các trạng thái biên, và phương pháp dựa trên sự giao cắt của các khôngđiểm của hàm Green chéo một hạt trong không gian động lượng

1.3 Các mô hình sử dụng trong luận án

t2 là tham số nhảy nút tại các lân cận gần nhất thứ hai Nếu i ∈ A thì (−1)i = 1, i ∈ B thì(−1)i = −1 M mô tả sự bất đối xứng giữa hai mạng con của mạng tổ ong ϕ là pha Peierls

Mô hình Haldane trong luận án là một trường hợp cho mô hình Haldane tổng quát với phaPeierls bằng π/2

1.3.2 Mô hình Kane - Mele

Hamiltonian của mô hình Kane - Mele được mô tả bởi

đạo (SOC) với nhảy nút tại lân cận gần nhất thứ hai là phức với cường độ λ Hệ số νij = ±1phụ thuộc vào hướng nhảy từ nút i sang nút j cùng chiều (ngược chiều) kim đồng hồ σz là

ma trận Pauli theo phương z

1.3.3 Mô hình trao đổi kép

Mô hình trao đổi kép được miêu tả bởi Hamiltonian sau

trong đó σ = (σx, σy, σz) là các ma trận Pauli, Si là spin của tạp từ tại nút mạng i, J là hệ

số trao đổi spin giữa electron và tạp từ Số hạng đầu tiên mô tả chuyển động của electrontrên mạng tinh thể từ nút i sang nút j với spin σ và số hạng thứ hai mô tả trao đổi spin giữaelectron dẫn và tạp từ Mô hình trao đổi kép là trường hợp giới hạn của mô hình trao đổi

sd tuân theo các điều kiện liên kết Hund mạnh J ≫ zt, trong đó z là số lân cận gần nhất

1.4 Lý thuyết trường trung bình động

Lý thuyết trường trung bình động (DMFT) có nhiều ứng dụng thành công trong nghiên cứu

hệ điện tử tương quan Một trong những thành công của DMFT là chỉ ra chuyển pha kimloại - điện môi Mott trong mô hình Hubbard khi lấp đầy một nửa Sử dụng DMFT cho môhình Hubbard cho kết quả phù hợp với thực nghiệm khi nghiên cứu chuyển pha kim loại -điện môi Mott, điều mà lý thuyết trường trung bình cổ điển không giải thích được

CHƯƠNG 2 TÁC ĐỘNG CỦA TẠP TỪ LÊN CÁC PHA TÔ PÔ

VÀ TỪ TÍNH TRONG CHẤT ĐIỆN MÔI TÔ PÔ TỪ

2.1 Mô hình

Chúng tôi xét chất điện môi tô pô pha tạp từ Để đơn giản, chất điện môi tô pô được môhình hóa bằng Hamiltonian Kane – Mele Mô hình Kane - Mele bao gồm số hạng mô tả nhảynút lân cận gần nhất và liên kết spin - quỹ đạo (SOC) nội tại Ngoài ra, các tạp từ đượcphân bố ngẫu nhiên tại các nút của mạng tinh thể Tạp từ được liên kết với các electrondẫn thông qua trao đổi spin Mô hình đề xuất được mô tả bằng Hamiltonian có dạng

TRAN, LE, PHAM, NGUYEN, AND TRAN PHYSICAL REVIEW B 102, 205124 (2020)

model the SOC and the SE are fixed upon magnetic doping.

This allows us to study the direct impact of magnetic dopants

on the magnetic and topological properties Our work relies

on the minimal model proposed in the previous study [11].

The model is based on a combination of the Kane-Mele model

[22] and the SE between conduction electrons and magnetic

dopants It is essentially the double-exchange (DE) model

with a SOC [21,23] We previously found that the proposed

model exhibits various magnetic insulating states, which

oc-cur at electron half and quarter (or three quarters) fillings,

and they are topologically nontrivial at appropriate values of

the SE [11] However, the previous studies assumed that the

magnetic impurities are present at every lattice site [3,4,11].

The doping of magnetic impurities away from the full filling

and the random distribution of magnetic dopants were not

previously considered In this work, we study the impact of

magnetic doping on the magnetic and topological properties,

taking into account disorder and inhomogeneity introduced by

magnetic dopants The dynamical mean-field theory (DMFT)

for disordered systems is used to study the proposed model

[24–28] Originally, the DMFT was introduced in order to

correctly treat local electron correlations in infinite

dimen-sional systems [29] It has widely been used to study strong

electron correlations [30] Especially, the DMFT has

success-fully treated the SE in the DE-based models [31–38] By

adopting the DMFT for disordered systems, we calculate both

the spontaneous magnetization and the topological invariant

self-consistently They reveal rich phase diagrams, depending

on electron and magnetic dopings We find that the insulating

state only occurs at electron (hole) half, quarter fillings, and

at electron filling equaled to the concentration of magnetic

dopants However, the insulating state is topologically

non-trivial only at electron (hole) half and quarter fillings At

electron half filling, the QSH effect is observed and it is robust

against the magnetic impurity doping, while at electron

quar-ter filling, the magnetic doping away from full magnetic filling

suppresses the observed QAH effect These findings reveal

that magnetic dopants impact differently on the topological

properties of the MTIs depending on electron filling.

The present paper is organized as follows In Sec II,

we describe the minimum model for MTIs and the DMFT

for treating the SE and disorder introduced by magnetic

dopants The numerical results are presented in Sec III

Fi-nally, Sec IV is the conclusion of the present work.

II MODEL AND DYNAMICAL MEAN-FIELD THEORY

We consider a topological insulator doped with magnetic

impurities For the sake of simplicity, the topological insulator

is modeled by the Mele Hamiltonian [22] The

Kane-Mele model consists of a nearest-neighbor hopping and an

intrinsic SOC In addition, magnetic impurities are randomly

distributed over the lattice They are locally coupled with

conduction electrons via a SE The Hamiltonian describing

the model reads

nearest-neighbor sites, andλ is the strength of the intrinsic

SOC The signν i j = ±1 depends on the hopping direction, as shown in Fig 1.σ = (σ x , σ y , σ z) are the Pauli matrices The honeycomb lattice is chosen, since the SOC in this lattice in- duces a topological insulating state [22] Siis spin of magnetic

impurity at lattice site i We also treat it classically, as widely

used in the studies of materials doped with magnetic rities [21,31–38] Indeed, the magnetic moment of magnetic dopants is often big, for instance doped Mn ions in topologi- cal insulator Bi2−xMnxTe 3 have the magnetic moment∼4μ B

impu-[39] This classical spin consideration excludes any possibility

of the Kondo effect [40–43] In fact, no any signature of the

Kondo effect was observed in the MTIs J i is the strength of

SE at lattice site i We consider only the substitutional doping

of magnetic impurities, and avoid any interstitial one Indeed, first-principle calculations show the substitutional doping is energetically more favorable than the interstitial one [44] In contrast to the previous studies [3,4,11], in this work magnetic impurities are randomly doped, and the SE is valid only on the lattice sites, where magnetic impurities are located We consider a binary distribution of magnetic dopants

P(J i)= (1 − x)δ(J i)+ xδ(J i − J), (2)

where x is the concentration of magnetic dopants Basically, only x fraction of lattice sites has the local SE between con- duction electrons and magnetic dopants The parameter x can

also be interpreted as the disorder measurement of magnetic

dopants However, both x = 0 and x = 1 correspond to the

nondisordered cases When the magnetic impurities are absent

(x= 0), the proposed model returns to the Kane-Mele model [22] The SOC causes a band gap at half filling, and the insulating state has an integer spin Chern number [22] This

yields the QSH effect In the opposite limit, x= 1, magnetic impurities are present at every lattice site Hamiltonian in

Eq (1) essentially describes the interplay between the SOC and the SE [11] It exhibits a coexistence of the QSH effect and antiferromagnetism at electron half filling and a ferro- magnetic topological insulator at electron (hole) quarter filling [11] Between these two limiting cases, 0< x < 1, magnetic

dopants are randomly distributed As we will see later, the impact of magnetic dopants on the topological and magnetic

205124-2

Hình 1: Cấu trúc dấu νij của số hạng SOC trong mạng tổ ong

Chúng tôi xét spin của tạp từ theo kiểu spin cổ điển, như được sử dụng rộng rãi trongcác nghiên cứu vật liệu pha tạp từ Trái ngược với các nghiên cứu trước đây, trong nghiêncứu của chúng tôi, các tạp từ được pha một cách ngẫu nhiên vào vật liệu, và trao đổi spinchỉ có hiệu quả trên các nút mạng tinh thể có các tạp từ Chúng tôi xét sự phân bố nhị phâncủa tạp từ theo công thức:

trong đó x là mật độ pha tạp từ

Chúng ta chia mạng tổ ong thành hai mạng con lồng vào nhau A và B như được chỉ ratrong Hình 1 Sau đó chúng tôi kí hiệu aIσ(bIσ) là toán tử hủy của electron tại ô đơn vị Ithuộc mạng con A(B) Chúng tôi đưa vào một spinor bốn thành phần

Năng lượng riêng tuân theo phương trình Dyson

Gaσ(iωn) = Gaσ(iωn) + Gaσ(iωn)Σaσ(iωn)Gaσ(iωn), (12)

trong đó a là kí hiệu mạng con (a = A, B), và Gaσ(iωn) = ΣkGaσ(k, iωn)/N là hàm Greentrung bình cục bộ (N là số nút mạng con)

Hàm tác dụng của một nút hiệu dụng của mạng con a với trao đổi spin Ja cố định là

Sa(Ja) = −X

s βZ

0 βZ

0

dτ JaSα(τ )Ψ†as(τ )σssα′Ψas ′(τ )

Spin tạp cổ điển có thể mô tả như sau:

trong đó φ, θ là góc cực và góc phương vị tương ứng của Si Chúng ta có thể tính tổng thống

kê bằng

Za =2πZ

0dφπZ

0dθsinθ

0 βZ

0

dτ dτ′ψas† (τ )Gas−1(τ − τ′)ψas(τ′) (16)

−JaS

βZ

0

n

ψ†a(τ ) = √1

βX

ψ†aneiωn τ

chúng ta thu được

S a (ψ†, ψ; φ, θ) = −X

n

ψan† Ga↑−1(iωn) + JaScosθ JaS(cosφsinθ − isinφ sin θ)

J a S(cosφsinθ + isinφ sin θ) Ga↓−1(iω n ) − J a Scosθ

!

ψ an (18)Tổng thống kê được viết lại như sau

0dθsinθY

ndet



−G−1a↑(iω n ) − J a Scosθ −J a S(cosφsinθ − isinφ sin θ)

−JaS(cosφsinθ + isinφ sin θ) −Ga↓−1(iωn) + JaScosθ

,

Za=2πZ

0dφπZ

Gaσ(kωn) =

Z

= (1 − x)Gaσ(iωn, Ja= 0) + xGaσ(iωn, Ja= J )

Sau đó năng lượng riêng được xác định thông qua phương trình Dyson (12) Sau khi giải cácphương trình DMFT, chúng tôi thu được năng lượng riêng và hàm Green trung bình Độ từhóa tự phát của mạng con A và B được xác định như sau

mA= 1

2NX

I,σ

2NX

I,σ

trong đó σ = ±1 Bất biến tô pô được xác định thông qua số Chern

Cυ = 12πZ

whereσ = ±1 When m A = ±m B

ferromagnetic or antiferromagnetic, respectively Due to the

local nature, the DMFT does not mix different spin sectors

of the Green function, hence the magnetization is not

non-coplanar The topological property can be determined through

the disorder-average transport [ 51 ] or by the topological Bott

index [ 52 , 53 ] The Bott index is defined in the real space with

a realized configuration of random magnetic impurities

How-ever, calculating the Bott index requires extensive numerical

calculations Instead of calculating the Bott index, here we

will use the disorder-average approach proposed in Ref [ 51 ].

Within this approach the self energy of the disorder-average

Green function renormalizes the noninteracting and

nondisor-dered Bloch Hamiltonian Therefore, the renormalized Bloch

Hamiltonian Heff(k) = H0(k)+ (i0) = −[G(k, i0)]−1

de-termines the topological invariant, like in the

nondisor-dered interacting case [ 54 ] The topological invariant is

i = ikν|∂ k i |kν, and |kν is the

orthonormalized eigenstate of matrix Heff(k), corresponding

to the eigenvalue E ν(k) This topological invariant is actually

the Chern number of the effective Hamiltonian, where its

renormalization is given by disorder and interaction in the

mean-field approximation For weak disorder the

disorder-average approach gives consistent results with the Bott index

approach [ 55 ] In fact, the disorder-average approach has

widely been used in determining the ground state topology

[ 55 – 59 ] In numerical calculations one can use the efficient

method of discretization of the Brillouin zone to calculate the

Chern number in Eq ( 8 ) [ 60 ].

III NUMERICAL RESULTS

We numerically solve the DMFT equations by iteration

for a given magnetic doping x The numerical calculations

are performed at fixed fictitious temperature T = 0.01, which

serves as the cell size of the Matsubara frequency mesh The

emergence of magnetism and topology occurs in insulator,

therefore we focus on detecting the insulating state It is

detected by a plateau in the curve n( μ), the dependence of

electron filling on the chemical potential [ 11 ] Actually, the

plateau reflects the band gap as well as the vanishing of the

charge compressibility They are the signals of the insulating

stability.

First, we consider the case of dilute magnetic doping (x <

0.5) In Fig.2, we plot the dependence of electron filling n

and the sublattice magnetizations m A , m B on the chemical

potentialμ for a small value x It shows that the plateau can

occur at fillings n = 1, n = x and n = 2 − x At electron half

filling n= 1, the system is transformed from an insulating

state to a metallic state when the SE increases When the SE

vanishes (J= 0), the SOC opens a band gap in the electron

structure [ 22 ] A weak SE does not change the insulating state,

however, it reduces the band gap As a consequence, at an

appropriate value of the SE, the band gap closes, and ground

state becomes metallic At the same time, the SE also drives

a magnetic phase transition [ 21 , 34 ] At electron half filling, it

FIG 2 The electron filling n and the sublattice magnetization

m A , m Bvia the chemical potentialμ for different values of the SE

at magnetic doping x = 0.3 and SOC λ = 0.5 For guiding the eye electron fillings n = 0.3, 1.0, and 1.7 are indicated by the horizontal

is present, the energy spectra of conduction electrons become

However, in contrast to the nondisordered magnetic case (x=

1), at finite magnetic doping (x < 1) strong SE does not open

the band gap again, as can be seen in Fig 2 At strong SE, stead of antiferromagnetic insulator (AFI), antiferromagnetic metal (AFM) is established This is an effect of magnetic impurity doping Upon the magnetic doping, some lattice sites are free of the magnetic impurity occupation Therefore,

in-at these sites, conduction electrons are also free of the SE coupling As a consequence, these conduction electrons give a contribution to the electrical conductivity However, this effect occurs only for strong SE, which aligns electron spins and magnetic moments in order to optimize the electron kinetic

Đầu tiên, chúng tôi xét trường hợp pha từ loãng (x < 0.5) Hình 2 cho thấy, trạng tháiđiện môi xuất hiện tại các giá trị của mật độ lấp đầy n = 1, n = x và n = 2 − x Tại mật

độ lấp đầy một nửa (n = 1), hệ chuyển từ trạng thái điện môi sang trạng thái kim loại khitrao đổi spin tăng dần Trao đổi spin yếu không làm thay đổi trạng thái điện môi, tuy nhiên,trao đổi spin có thể làm giảm độ rộng của khe năng lượng

Trong Hình 2, khi trao đổi spin mạnh, trên đường cong n(µ) xuất hiện thêm các đoạnngang tại mật độ lấp đầy electron n = x và n = 2 − x Trên thực tế, n = x và n = 2 − x làtương đương do đối xứng hạt - lỗ trống Tùy thuộc vào mật độ pha tạp từ x và độ lớn củatrao đổi spin, trạng thái cơ bản tại mật độ lấp đầy electron n = x (hoặc n = 2 − x) có thể làtrạng thái từ tính Đặc biệt, khi trao đổi spin mạnh và mật độ của tạp từ gần bằng x = 1,trạng thái cơ bản tại mật độ lấp đầy electron n = x và n = 2 − x là trạng thái điện môiphản sắt từ Trong giới hạn x → 1, các trạng thái điện môi phản sắt từ này tại mật độ lấpđầy electron n = x và n = 2 − x hợp nhất thành một trạng thái điện môi phản sắt từ duy

FIG 3 The electron filling n and the sublattice magnetization

m A , m Bvia the chemical potentialμ for different values of the SE

at magnetic doping x = 0.9 and SOC λ = 0.5 For guiding the eye electron fillings n = 0.5, 0.9, 1, 1.1, and 1.5 are indicated by the

horizontal dotted lines.

energy [ 23 ] As can be seen in Fig 2 , when the SE is strong,

additional plateaus appear in the curve n( μ) at n = x and

n = 2 − x Actually, n = x and n = 2 − x are equivalent due

to the particle-hole symmetry In this case, the concentrations

of conduction electrons (holes) and of magnetic impurities are the same As we will see later, depending on magnetic

doping x and the SE strength, the ground state at n = x (or

n = 2 − x) may become magnetic In particular, when the SE

is strong and the magnetic doping closes to x= 1, the ground

state at n = x and n = 2 − x is AFI In the limit x → 1, these AFI states at n = x and n = 2 − x merge into the single AFI

at electron half filling n= 1 As a consequence, at filling

n = x = 1, AFI occurs again when the SE is strong It can also

be interpreted that the AFI at half filling in the full magnetic

case (x= 1) is actually split into two AFI states in the electron and hole domains upon doping of magnetic impurities This makes the ground state no longer insulator at electron half

filling when magnetic impurities are doped (x < 1).

In dense magnetic doping (x  0.8), additional plateaus in the curve of n( μ) are observed at n = 0.5 and 1.5 and strong

SE, as can be seen in Fig 3 Electron fillings n = 0.5 and

n = 1.5 are equivalent due to the particle-hole symmetry At

electron quarter filling the insulating state is ferromagnetic

be-cause m A = m B

established in the nondisordered magnetic case (x= 1) [ 11 ].

FIG 4 Phase diagram at electron half filling n = 1 (λ =

0.5) Abbreviations PTI, AFTI, and AFM denote paramagnetic

topological insulator, antiferromagnetic topological insulator, and antiferromagnetic metal, respectively.

Figure 3also shows discontinuities of the electron filling n and the sublattice magnetizations m A , m Bat certain values of the chemical potential At these values of the chemical potential, the electron filling is uncertain, and actually the ground state

is spontaneously separated into two phases with the electron fillings corresponding to the extremes of the discontinuity in

the curve n( μ) This constitutes a phase separation [21 , 32 ] The phase separation is not a disorder effect, because it also

occurs in the nondisordered magnetic case x= 1 [ 11 ] It occurs at the phase boundary between different symmetry phases, such as the magnetic and paramagnetic phases In the magnetic phase, the electron ground-state energy is optimized

by aligning electron spins and magnetic moments through the SE coupling, while in the paramagnetic phase electron spins are not aligned with the magnetic moments, and the optimization of the ground-state energy via the SE coupling is not operative [ 21 , 32 ] As a result of the competition of these two phases, a magnetic pattern is energetically formed at the phase boundary The phase separation often occurs in the DE model upon electron doping [ 21 , 32 ].

So far, we have observed the insulating state at electron

(hole) fillings n = 1, n = 0.5, and n = x However, the lating state at quarter filling (n = 0.5) occurs only when the doping of magnetic impurities closes to x= 1 In the case of

insu-dilute magnetic doping, it is absent Electron fillings n= 1

and n = 0.5, where insulator is stable, reflect the number of occupied bands in the proposed model At half filling n= 1, the insulating state occurs when two lowest bands are fully

occupied, whereas at quarter filling n = 0.5, the full

occupa-tion of the lowest band yields the insulating state For other models, where the number of energy bands is larger, the filling condition for the insulating stability may change [ 62 ].

A Half filling n= 1

In Fig 4 , we plot the phase diagram for a fixed SOC at

electron half filling n= 1 It shows when the SE is weak the insulating state exists regardless of magnetic impurity doping.

This insulator is paramagnetic because of m A = m B= 0 We have also calculated the Chern number defined in Eq ( 8 ).

205124-5

Hình 3: Mật độ lấp đầy electron n và độ từ hóa mạng con mA, mB thông qua thế hóa học µ

cho các giá trị khác nhau của trao đổi spin tại mật độ pha tạp từ x = 0.9 và SOC λ = 0.5

Các đường nét đứt nằm ngang biểu thị mật độ lấp đầy electron n = 0.5, 0.9, 1, 1.1 và 1.5

nhất tại mật độ lấp đầy một nửa n = 1 Kết quả là, tại mật độ lấp đầy n = x = 1, trạng

thái điện môi phản sắt từ tiếp tục xuất hiện khi trao đổi spin tăng Điều này có thể được

hiểu rằng, trạng thái điện môi phản sắt từ tại mật độ lấp đầy một nửa trong trường hợp

tạp từ hiện diện tại mọi nút mạng tinh thể (x = 1) được tách thành hai trạng thái điện môi

phản sắt từ trong miền electron và lỗ trống khi pha tạp từ Điều này làm cho trạng thái cơ

bản không còn là trạng thái điện môi tại mật độ lấp đầy một nửa khi pha tạp từ (x < 1)

Trường hợp pha tạp từ dày đặc (x ≥ 0.8), trên đường cong n(µ) xuất hiện thêm các

đoạn ngang tại mật độ lấp đầy electron n = 0.5 và 1.5 khi trao đổi spin mạnh, có thể thấy

trong Hình 3 Mật độ lấp đầy electron n = 0.5 và n = 1.5 là tương đương do đối xứng hạt

- lỗ trống Tại mật độ lấp đầy một phần tư trạng thái điện môi là sắt từ vì mA = mB ̸= 0

Trạng thái điện môi sắt từ này cũng được thiết lập trong trường hợp không mất trật tự từ

(x = 1)

Hình 3 cho thấy sự gián đoạn của mật độ lấp đầy electron n và độ từ hóa mạng con mA,

mB tại các giá trị thích hợp của thế hóa học Tại các giá trị này của thế hóa học, mật độ

lấp đầy electron được xác định không rõ ràng, do đó trạng thái cơ bản bị tách thành hai

pha một cách tự phát với mật độ lấp đầy electron tương ứng với cực trị của sự gián đoạn

trên đường cong n(µ) Kết quả là tạo nên sự phân tách pha Sự phân tách pha không phải

do tác động của sự mất trật tự, vì sự phân tách pha cũng xảy ra trong trường hợp không

mất trật tự từ x = 1 Sự phân tách pha xảy ra ở biên pha giữa các pha đối xứng khác nhau

như pha từ và thuận từ Trong pha từ tính, năng lượng của trạng thái cơ bản được tối ưu

hóa do sự sắp xếp của spin electron và moment từ thông qua liên kết trao đổi spin Trong

IMPACT OF MAGNETIC DOPANTS ON MAGNETIC AND … PHYSICAL REVIEW B 102, 205124 (2020)

FIG 3 The electron filling n and the sublattice magnetization

m A , m Bvia the chemical potentialμ for different values of the SE

at magnetic doping x = 0.9 and SOC λ = 0.5 For guiding the eye

electron fillings n = 0.5, 0.9, 1, 1.1, and 1.5 are indicated by the

horizontal dotted lines.

energy [ 23 ] As can be seen in Fig 2 , when the SE is strong,

additional plateaus appear in the curve n( μ) at n = x and

n = 2 − x Actually, n = x and n = 2 − x are equivalent due

to the particle-hole symmetry In this case, the concentrations

of conduction electrons (holes) and of magnetic impurities

are the same As we will see later, depending on magnetic

doping x and the SE strength, the ground state at n = x (or

n = 2 − x) may become magnetic In particular, when the SE

is strong and the magnetic doping closes to x= 1, the ground

state at n = x and n = 2 − x is AFI In the limit x → 1, these

AFI states at n = x and n = 2 − x merge into the single AFI

at electron half filling n= 1 As a consequence, at filling

n = x = 1, AFI occurs again when the SE is strong It can also

be interpreted that the AFI at half filling in the full magnetic

case (x= 1) is actually split into two AFI states in the electron

and hole domains upon doping of magnetic impurities This

makes the ground state no longer insulator at electron half

filling when magnetic impurities are doped (x < 1).

In dense magnetic doping (x  0.8), additional plateaus in

the curve of n( μ) are observed at n = 0.5 and 1.5 and strong

SE, as can be seen in Fig 3 Electron fillings n = 0.5 and

n = 1.5 are equivalent due to the particle-hole symmetry At

electron quarter filling the insulating state is ferromagnetic

be-cause m A = m B

established in the nondisordered magnetic case (x= 1) [ 11 ].

FIG 4 Phase diagram at electron half filling n = 1 (λ =

topological insulator, antiferromagnetic topological insulator, and antiferromagnetic metal, respectively.

Figure 3also shows discontinuities of the electron filling n and the sublattice magnetizations m A , m B at certain values of the chemical potential At these values of the chemical potential, the electron filling is uncertain, and actually the ground state

is spontaneously separated into two phases with the electron fillings corresponding to the extremes of the discontinuity in

the curve n( μ) This constitutes a phase separation [21 , 32 ].

The phase separation is not a disorder effect, because it also

occurs in the nondisordered magnetic case x= 1 [ 11 ] It occurs at the phase boundary between different symmetry phases, such as the magnetic and paramagnetic phases In the magnetic phase, the electron ground-state energy is optimized

by aligning electron spins and magnetic moments through the SE coupling, while in the paramagnetic phase electron spins are not aligned with the magnetic moments, and the optimization of the ground-state energy via the SE coupling is not operative [ 21 , 32 ] As a result of the competition of these two phases, a magnetic pattern is energetically formed at the phase boundary The phase separation often occurs in the DE model upon electron doping [ 21 , 32 ].

So far, we have observed the insulating state at electron

(hole) fillings n = 1, n = 0.5, and n = x However, the lating state at quarter filling (n = 0.5) occurs only when the doping of magnetic impurities closes to x= 1 In the case of

insu-dilute magnetic doping, it is absent Electron fillings n= 1

and n = 0.5, where insulator is stable, reflect the number of occupied bands in the proposed model At half filling n= 1, the insulating state occurs when two lowest bands are fully

occupied, whereas at quarter filling n = 0.5, the full

occupa-tion of the lowest band yields the insulating state For other models, where the number of energy bands is larger, the filling condition for the insulating stability may change [ 62 ].

A Half filling n= 1

In Fig 4 , we plot the phase diagram for a fixed SOC at

electron half filling n= 1 It shows when the SE is weak the insulating state exists regardless of magnetic impurity doping.

This insulator is paramagnetic because of m A = m B= 0 We have also calculated the Chern number defined in Eq ( 8 ).

205124-5

Hình 4: Giản đồ pha tại mật độ lấp đầy electron n = 1 cho các giá trị khác nhau của mật

độ pha tạp từ x và trao đổi spin JS với SOC cố định (λ = 0.5) Các chữ viết tắt PTI, AFTI,AFM chỉ pha điện môi tô pô thuận từ, điện môi tô pô phản sắt từ và kim loại phản sắt từtương ứng

khi đó, trong pha thuận từ, spin của electron không được xắp xếp với các moment từ, sự tối

ưu hóa năng lượng trạng thái cơ bản thông qua liên kết trao đổi spin không có hiệu quả Sựcạnh tranh của hai pha này dẫn tới các trạng thái từ tính được hình thành tại biên pha Sựphân tách pha thường xảy ra trong mô hình trao đổi kép (DE) khi pha tạp electron

2.2.1 Mật độ lấp đầy một nửa n=1

Trong Hình 4, chúng tôi vẽ giản đồ pha tại mật độ lấp đầy một nửa n = 1 với SOC cố định

Đồ thị cho thấy khi trao đổi spin yếu, trạng thái điện môi xuất hiện bất kể pha tạp từ Trạngthái điện môi này là thuận từ, vì mA = mB = 0 Chúng tôi cũng tính số Chern được địnhnghĩa trong công thức (24) Nó cho thấy trạng thái điện môi thuận từ (PI) này là trạng tháiđiện môi tô pô với số Chern spin C = 1 Số Chern spin liên hệ với chất điện môi tô pô Z2trong trường hợp không tương tác và không mất trật tự x = 0 Bất biến tô pô bền vững bất

kể liên kết trao đổi spin cho đến khi trao đổi spin đóng lại khe năng lượng Mặt khác, liênkết trao đổi spin sắp xếp spin electron và moment từ để tối ưu hóa năng lượng trạng thái

cơ bản Khi trao đổi spin lớn hơn một giá trị thích hợp, trật tự phản sắt từ được thiết lậptại nhiệt độ thấp Tại mật độ lấp đầy một nửa trạng thái cơ bản là điện môi, do đó không

có các electron linh động trung gian để có thể tạo ra trật tự tầm xa từ tính theo cơ chế DE.Tuy nhiên, độ từ hóa tự phát trong trạng thái điện môi có thể xảy ra do liên kết trực tiếpgiữa moment từ và spin electron thông qua cơ chế van Vleck Chúng tôi tìm thấy trạng tháiđiện môi phản sắt từ (AFI) tại mật độ lấp đầy một nửa, đây là trạng thái điện môi tô pô với

số Chern spin C = 1 Liên kết trao đổi spin chỉ điều khiển chuyển pha từ tính từ trạng tháithuận từ sang trạng thái phản sắt từ Qua chuyển pha này, bất biến tô pô không thay đổicho đến khi khe năng lượng triệt tiêu bởi trao đổi spin Chuyển pha từ này hoàn toàn giống

TRAN, LE, PHAM, NGUYEN, AND TRAN PHYSICAL REVIEW B 102, 205124 (2020)

It turns out this paramagnetic insulator (PI) is topological

with the spin Chern number C= 1 Actually, it adiabatically

connects to the Z2 topological insulator in the noninteracting

and nondisordered case x= 0 [ 22 ] The topological invariant

is robust against the SE coupling until the SE closes the band

gap On the other hand, the SE coupling aligns electron spins

with the magnetic moments in order to optimize the ground

state energy [ 21 , 23 ] When the SE strength is larger a certain

value, AF ordering is established at low temperature At

elec-tron half filling the ground state is insulating, hence there are

no mediated itinerant electrons that can generate the magnetic

long-range order by the DE mechanism [ 21 , 23 ] However, the

spontaneous magnetization in the insulating states can occur

due to the direct coupling between the magnetic moments and

electron spins through the van Vleck mechanism [ 6 ] We find

that the AFI at half filling is also the topological insulator

with the spin Chern number C= 1 Actually, the SE coupling

drives only the magnetic phase transition from paramagnetic

to antiferromagnetic state Across this phase transition the

topological invariant does not change until the band gap is

closed by the SE The magnetic phase transition is quite

similar to the one in the nondisordered magnetic case (x= 1)

[ 11 ] With further increase of the SE coupling, the band gap is

closed and the ground state is AFM, except for x= 1, where

the ground state is AFI As we have previously discussed, in

the nondisordered magnetic case (x= 1) the AFI at strong SE

adiabatically connects to the insulating states at equal filling

n = x and n = 2 − x, when x → 1 Therefore the ground state

at magnetic dopings x < 1 and x = 1 has different origins.

Figure 4 also shows that the nontrivial topology of the AF

ground state at electron half filling is robust against magnetic

doping The topological invariant remains the same regardless

of magnetic doping x This indicates that the QSH effect is

protected even in the presence of magnetic dopant disorder as

long as the band gap is still open Some MTI materials doped

with magnetic impurities favor the AF state, for instance,

first-principle calculations show an AF state in Bi 2 Se 3 doped

with Fe ions [ 44 ] However, it is still a challenge to find the

coexistence of the QSH effect and AF ordering in the MTIs

doped with magnetic impurities.

B Quarter filling n = 0.5

In Fig 5 , we plot the phase diagram at electron quarter

filling n = 0.5 The insulating state exists only at strong SE

coupling and large values of magnetic impurity doping (x

0.8) At small values of x, only metallic state exists The

insulating state is ferromagnetic, since strong SE coupling

energetically favors the parallel alignment of electron spins

like in the DE mechanism [ 21 , 32 , 34 ] In the ferromagnetic

insulator (FI), only the lowest band is fully occupied, and

three other bands are empty It turns out that the FI is

topo-logical since the Chern number calculated by Eq ( 8 ) gives

C = 1 for the lowest band This yields the QAH effect First

principle calculations for real material Bi2Se3doped with Cr

ions also reveal the QAH effect [ 6 , 7 ] The phase diagram

plotted in Fig 5 also shows that the magnetic doping can drive

the ground state from topological FI to nontopological

ferro-magnetic metal (FM) However, this topological phase

tran-sition is actually an insulator-metal trantran-sition At the phase

FIG 5 Phase diagram at electron quarter filling n = 0.5 (λ =

ferromagnetic metal, and ferromagnetic topological insulator, respectively.

boundary, the gap closes However, a further decrease of netic doping does not open the gap again, because electron

mag-filling is fixed n = 0.5 and the chemical potential lies within

the energy band In comparison with the magnetic topological phase transition at electron half filling, the phase transition

at electron quarter filling is quite different At electron ter filling, the spontaneous ferromagnetic magnetization is kept across the insulator-metal transition, while the nontriv- ial topological invariant is determined in the insulating side only Doping of magnetic impurities away from full filling suppresses the band gap, hence simultaneously destroys the topological invariant The anomalous Hall effect was also sug- gested to exist in conduction ferromagnets, however it cannot

quar-be quantized in metals [ 61 ].

Figure 5 also shows a magnetic topological phase transition driven by SE at a fixed magnetic doping When the SE is weak, the ground state is paramagnetic metal (PM) although the SOC is present Actually, the SOC opens a band gap only at electron half filling Therefore at quarter filling, the SOC does not affect the metallic properties Both the metal- insulator and the magnetic transitions are driven solely by the

SE However, the SOC causes nontrivial topological invariants

of two lowest bands One lowest band has the Chern number

C = 1, and the other one has C = −1 Since the two lowest

bands are characterized by opposite spins, this yields the QSH effect When the two lowest bands are separated by a gap, the ground state is insulator at electron quarter filling Since its topological invariant is integer, the QAH effect occurs The separation of two lowest bands at electron quarter filling also indicates the fully ferromagnetic state This can be achieved

by strong SE [ 11 ] Therefore the QAH effect occurs only at the

FI state However, the SE coupling separates two lowest bands only at dense magnetic doping At dilute magnetic doping, the

SE is valid only at a small number of lattice sites, and in an average manner, it cannot open a band gap at electron quarter filling In real MTI materials, the QAH effect was observed at certain range of magnetic impurity concentration [ 6 10 ].

2.2.2 Mật độ lấp đầy một phần tư n=0.5

Trong Hình 5, chúng tôi vẽ giản đồ pha tại mật độ lấp đầy một phần tư n = 0.5 Trạngthái điện môi chỉ tồn tại khi liên kết trao đổi spin mạnh và mật độ pha tạp từ có giá trị lớn

x ≥ 0.8 Tại các giá trị nhỏ của x, chỉ có trạng thái kim loại tồn tại Trạng thái điện môi

là sắt từ, do liên kết trao đổi spin mạnh làm cho spin electron sắp xếp song song giống nhưtrong cơ chế DE Trong trạng thái điện môi sắt từ (FI), chỉ có dải năng lượng thấp nhấtđược lấp đầy hoàn toàn, ba dải năng lượng khác hoàn toàn trống Do đó, trạng thái FI làđiện môi tô pô do số Chern được tính theo công thức (24) với C = 1 cho dải thấp nhất.Điều này mang lại hiện hiệu ứng Hall dị thường lượng tử (QAHE) Các tính toán từ nguyên

lý đầu đối với vật liệu thực Bi2Se pha tạp ion Cr cũng thể hiện QAHE Hình 5 cũng chothấy, tạp từ có thể điều khiển trạng thái cơ bản từ trạng thái điện môi sắt từ có tính chất

tô pô đến trạng thái kim loại sắt từ (FM) không có tính chất tô pô Chuyển pha tô pô này

là chuyển pha kim loại – điện môi Tại biên pha, khe năng lượng triệt tiêu Tuy nhiên, khimật độ pha tạp từ giảm, khe năng lượng không mở lại, do mật độ lấp đầy electron cố định

n = 0.5 và thế hóa học nằm trong dải năng lượng So với chuyển pha tô pô từ tại mật độlấp đầy một nửa, chuyển pha tại mật độ lấp đầy một phần tư là hoàn toàn khác nhau Tạimật độ lấp đầy một phần tư, độ từ hóa tự phát sắt từ được bảo toàn qua chuyển pha kimloại – điện môi, trong khi bất biến tô pô không tầm thường được xác định chỉ trong trạngthái điện môi Pha tạp từ cho tới khi lấp đầy hoàn toàn triệt tiêu khe năng lượng, đồng thờitriệt tiêu bất biến tô pô Hiệu ứng Hall dị thường cũng được đề xuất tồn tại trong các vật

IMPACT OF MAGNETIC DOPANTS ON MAGNETIC AND … PHYSICAL REVIEW B 102, 205124 (2020)

FIG 6 Phase diagram at equal filling n = x = 0.3

Abbrevia-tions PM, PI, FM, and AFI denote paramagnetic metal, paramagnetic insulator, ferromagnetic metal, and antiferromagnetic insulator, re- spectively All insulating phases are topologically trivial.

case n = x = 1 is nondisorder and was previously studied

[ 11 ] In Fig 6 , we plot the phase diagram at a fixed equal

filling n = x < 1 It exhibits different magnetic states

depend-ing on the SOC and the SE As we have previously discussed,

the SOC opens a band gap only at electron half filling n= 1

regardless of the SOC strength When filling n = x < 1, the

valence band is partially occupied, therefore the ground state

is metal Weak SE does not change this paramagnetic metal (PM) However, the SE polarizes electron spins and shifts the energy bands of opposite spins in opposite directions This effect of the SE looks like the one of an external magnetic field Actually, in a mean-field approximation, the SE can be treated as a magnetic field As a consequence, depending on the relation between the SOC and the SE, the ground state may become FM as can be seen in Fig 6 (see also Fig 2 ).

This phase transition is similar to the one obtained in the interplay between the SOC and external magnetic field [ 62 ].

With further increasing SE, a band gap can be opened by the

SE, and the ground state becomes paramagnetic insulator (PI).

Actually, Fig 2 also shows when the SE increases, the magnetic state occurs not at a fixed electron filling It moves toward the domain of lower electron filling Therefore, when

ferro-the magnetic doping x = n is fixed, the FM state only occurs

in a finite range of the SE When the SE is strong enough, the ground state is AFI Indeed, upon magnetic doping, the AFI at electron half filling is split into two AFIs at fillings

n = x and n = 2 − x, as we have previously discussed In

Fig 7 , one can also see the impact of magnetic doping on

the magnetic states at equal filling n = x The FM state exists only in a finite range of x, because the band shift due to the

SE lowers the energy band of one spin component, and hence

it can maintain the FM state only at certain electron filling

n Since n = x, as x varies, the electron filling n varies too.

Therefore, the phases presented in Fig 7 have varying electron filling, from almost empty filling to almost half filling The insulating state only exists when the SE is strong enough.

A strong SE aligns spins of conduction electrons and netic moments of impurities Since the numbers of conduction electrons and of magnetic dopants are the same, there are no free conduction electrons As a consequence, the insulating state is established In the domain of dilute magnetic doping,

mag-FIG 7 Phase diagram at equal filling n = x (λ = 0.5)

Abbrevi-ations PM, PI, FM, AFM, and AFI denote paramagnetic metal, magnetic insulator, ferromagnetic metal, antiferromagnetic metal, and antiferromagnetic insulator, respectively All insulating phases are topologically trivial.

para-the insulator is paramagnetic, while in para-the opposite domain, when the magnetic doping is dense, it is antiferromagnetic This yields a magnetic phase transition driven by magnetic dopants In the case of dense magnetic doping, the ground- state energy is optimized when the AF state is formed like in

the limit case n = x = 1 However, in the dilute doping case,

the aligning orientation of electron spins at each lattice site is random Therefore the macroscopic magnetization vanishes and the PI is established We want to emphasize that the magnetic phase transition driven by magnetic dopants occurs

not at a fixed electron filling n, but at the constraint n = x In the insulating states at n = x, the Chern number calculated by

Eq ( 8 ) vanishes Although magnetic dopants can maintain the

insulating states at equal filling n = x, and they can drive the

magnetic phase transition from PI to AFI, neither QAH nor QSH effect occurs Nevertheless, the phase diagram at equal

filling n = x shows rich phase diagrams Despite the fact that

the SOC does not cause any topologically nontrivial insulator

at n = x, its interplay with magnetic dopants gives rise to rich

magnetic phases.

IV CONCLUSION

We have studied the impact of magnetic dopants on the magnetic and topological phases which could occur in MTIs When magnetic impurities are doped into MTIs, they are coupled with conduction electrons via the SE, and simulta- neously introduce disorder and inhomogeneity The interplay between the random SE and the SOC causes rich magnetic and topological phases in MTIs However, nontrivial topology

of the insulating ground state exists only at electron (hole) half and quarter fillings At electron half filling the AFI is stable between the PI and AFM It exhibits the QSH effect that is robust against the magnetic impurity doping How- ever, disorder and inhomogeneity which are introduced by magnetic dopants induce the AFM at strong SE, while in the nondisordered case, the AFI is instead established Actually, the AFI at electron half filling is split into two AFIs in the electron and hole domains upon magnetic doping Although the AFI is topologically nontrivial at electron half filling,

205124-7

Hình 6: Giản đồ pha tại mật độ lấp đầy bằng nhau n = x = 0.3 cho các giá trị khác nhau

của SOC λ và trao đổi spin JS Các chữ viết tắt PI và AFI chỉ điện môi thuận từ và điện

môi phản sắt từ Các pha điện môi là tô pô tầm thường

liệu sắt từ, tuy nhiên nó không được lượng tử hóa như trong kim loại

2.2.3 Mật độ lấp đầy n=x

Trong trường hợp lấp đầy này, mật độ của electron (hay lỗ trống) bằng mật độ pha tạp từ

Trong Hình 6, chúng tôi vẽ giản đồ pha tại mật độ lấp đầy bằng nhau cố định n = x < 1 Đồ

thị cho thấy sự xuất hiện của các trạng thái từ tính khác nhau phụ thuộc vào SOC và trao

đổi spin Khi lấp đầy n = x < 1, dải hóa trị được lấp đầy một phần, do đó trạng thái cơ bản

là kim loại Trong gần đúng trường trung bình, trao đổi spin có thể được xem như là một

từ trường ngoài Do đó, tùy thuộc vào tương quan giữa SOC và trao đổi spin, trạng thái cơ

bản có thể trở thành FM như được thể hiện trong Hình 6 (xem thêm Hình 2) Chuyển pha

này tương tự như chuyển pha đã thu được trong trường hợp tác động tương hỗ giữa SOC

và từ trường ngoài Khi trao đổi spin tăng lên, trao đổi spin mở ra một khe năng lượng và

trạng thái cơ bản trở thành điện môi thuận từ (PI)

Mặt khác, Hình 2 cũng chỉ ra khi trao đổi spin tăng lên, trạng thái sắt từ không chỉ xảy

ra tại mật độ lấp đầy electron cố định, mà nó còn xuất hiện trong miền có mật độ lấp đầy

electron thấp hơn Trong Hình 7, chúng ta có thể thấy tác động của tạp từ lên các trạng

thái từ tại mật độ lấp đầy bằng nhau n = x Trạng thái FM chỉ tồn tại trong phạm vi hữu

hạn của x Do n = x, khi x thay đổi, mật độ lấp đầy electron n cũng thay đổi theo Do đó,

các pha được thể hiện trong Hình 7 có mật độ lấp đầy electron khác nhau, từ lấp đầy gần

như trống đến mật độ lấp đầy một nửa Khi pha từ loãng, trạng thái điện môi là thuận từ

Ngược lại, khi pha tạp từ dày đặc, trạng thái điện môi là phản sắt từ Tại mật độ lấp đầy

electron bằng nhau n = x cho thấy giản đồ pha phong phú hơn Mặc dù SOC không gây ra

bất kỳ trạng thái điện môi tô pô không tầm thường tại n = x, tác động tương hỗ giữa SOC

và tạp từ làm xuất hiện thêm các pha từ tính phong phú