một số dạng phương trình vô tỷ và phương pháp giải

Ph ng pháp đ t n ph thông th ờng Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t f x  và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứ

M T S D NG PH NG TRÌNH VÔ T VẨ PH NG PHÁP GI I

1 PH NG PHÁP BI N Đ I T NG Đ NG

1 1 Bình ph ng 2 v của ph ng trình

a) Ph ng pháp

 Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A B  C D, ta thường bình phương 2

vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn hãy giải Bài sau

 3 A 3 B  3C   A B 33 A B 3 A 3 B và ta sử dụng phép thế: C 3 A3 B  ta C

được phương trình :A B 33 A B C  C

b) Bài

Bài 1 Giải phương trình sau : x 3 3x 1 2 x 2x 2

Bài 2 Giải phương trình sau : 3 1 2

3

x

Bài 3 Giải phương trình:

2

2

1 2 Tr c căn thức

1 2.1 Tr c căn thức để xuất hi n nhơn tử chung

a) Ph ng pháp

Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x 0 như vậy phương trình luôn đưa

về được dạng tích xx A x0   ta có thể giải phương trình 0 A x 0 hoặc chứng minh

  0

A x  vô nghiệm , chú ý điều kiện nghiệm của phương trình để ta có thể đánh giá

  0

A x  vô nghiệm

b) Bài tập

Bài 1 Giải phương trình sau: 2 2  2  2

3x   5x 1 x  2 3 x   x 1 x   3x 4

Bài 2 Giải phương trình sau: 2 2

Bài 3 Giải phương trình :3 2 3

x   x x 

Bài 4 Giải phương trình 2

3x  1 6  x 3x  14x 8

Bài 5 Giải phương trình ( 1 x 1)( 1   x 2x 5) x

Bài 6 Giải phương trình 2 3

2x  11x  21 3 4x 4

Bài 7 Giải phương trình:   2 2

x x    x x

Bài 8 Giải phương trình:  2 2

3x1 x  3 3x  2x 3

Bài 9: Giải phương trình:     2

x x  x x  x (1)

3x   5x 1 x  2 3 x   x 1 x  3x 4

Bài 11 Giải phương trình sau: 2 2

Bài 12 Giải phương trình :3 2 3

x   x x 

x

Bài 14 :Gi i ph ng trình:

2 2 2

9

x

x x

 

1 2.2 Đ a về “h t m “

a) Ph ng pháp

 Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B  , mà : A B C  C

ở đây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x Ta có thể giải như sau :

A B







b) Bài tập

Bài 1 Giải phương trình sau : 2 2

2x   x 9 2x     x 1 x 4

Bài 2 Giải phương trình : 2 2

2x   x 1 x    x 1 3x

1.3 Ph ng trình bi n đ i về tích

 Sử d ng đẳng thức

  

2 2

Bài 1 Giải phương trình : 3 3 3 2

x  x   x   x

Bài 2 Giải phương trình : 3 3 2 3 3 2

1

Bài 3 Giải phương trình: 2

x  x x  x x   x

Bài 4 Giải phương trình : 3 4 4

3

x

x



 Dùng hằng đẳng thức

Biến đổi phương trình về dạng : k k

Bài 1 Giải phương trình : 3 x x 3 x

Bài 2 Giải phương trình sau : 2

2 x 3 9x   x 4

Bài 3 Giải phương trình sau : 2  3  2

3

2 3 9 x x  2 2x 3 3x x2

2.PH NG PHÁP Đ T N PH

2.1 Ph ng pháp đ t n ph thông th ờng

Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t f x  và chú ý điều

kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” Nói chung những

phương trình mà có thể đặt hoàn toàn t f x  thường là những phương trình dễ

Bài 1 Giải phương trình: x x2 1 x x2  1 2

Bài 2 Giải phương trình: 2

2x   6x 1 4x 5

Bài 3 Giải phương trình sau: x 5 x  1 6

Bài 4 Giải phương trình sau :    2

Bài 5 Giải phương trình sau : 2 1

x

Bài 6 Giải phương trình : 2 3 4 2

x  x    x x

Bài 7 Giải phương trình sau: x 5 x 1 6

Bài 8 Giải phương trình sau :    2

Bài 9 Giải phương trình sau : 2 1

x

Bài 10 Giải phương trình : 2 3 4 2

x  x   x x

Bài 11. Giải phương trình: 2 2

3x 21x 18 2 x   7x 7 2

2 2 Đ t n ph đ a về ph ng trình thu n nhất bậc 2 đ i với 2 bi n :

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: 2 2

0

u uvv  (1) bằng cách

Xét v phương trình trở thành : 0

2

0

     

0

v thử trực tiếp

Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)

 a A x  bB x c A x B x   

   

Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này

a) Ph ng trình d ng : a A x  bB x c A x B x   

Như vậy phương trình Q x  P x  có thể giải bằng phương pháp trên nếu

     





Xuất phát từ đẳng thức :

x   x x   x

x   x x  x   x x  x x   x

4x  1 2x  2x 1 2x   2x 1

Bài 1 Giải phương trình :  2  3

2 x  2 5 x  1

Bài 2 Giải phương trình : 2 3 4 2

3

x    x x   x

Bài 3: giải phương trình sau : 2 3

2x   5x 1 7 x  1

Bài 4 Giải phương trình : 3 2  3

Bài 5 Giải phương trình sau: x 5 x 1 6

Bài 6 Giải phương trình sau :    2

Bài 7 Giải phương trình sau : 2 1

x

Bài 8 Giải phương trình : 2 3 4 2

x  x   x x

b) Ph ng trình d ng : 2 2

   

Bài 1 giải phương trình : 2 2 4 2

Bài 2.Giải phương trình sau : 2 2

Bài 3 giải phương trình : 2 2

5x 14x 9 x   x 20 5 x 1

2.3 Đ t nhiều n ph đ a về tích

Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ

mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ

3

3 3 3

0

a     b c a b c  a b ac b c 

Bài 1 Giải phương trình :x 2x 3 x 3x 5 x 5x 2 x

Bài 2 Giải phương trình sau : 2 2 2 2

2x  1 x   3x 2 2x   2x 3 x   x 2

Bài 3 Giải các phương trình sau

1) 4x2  5x 1 2 x2    x 1 9x 3

2.4 Đ t n ph đ a về h :

Bài 1 Giải phương trình: 3 3 3 3

Bài 2 Giải phương trình: 4

4

1

2 1

2

Bài 3 Giải phương trình sau: x 5 x  1 6

Bài 4 Giải phương trình: 6 2 6 2 8

3

Bài 5 Giải phương trình: 2

Bài 6 Giải phương trình: 2

2x   6x 1 4x 5

Bài 7 Giải phương trình: 2

4x  5 13x 3x 1 0

Bài 8 Giải các phương trình sau:

18x  18x x 17x 8 x  2 0

3

2

 

2x   1 x 2x 1 x 1

3.PH NG PHÁP ĐÁNH GIÁ

3.1 M t s l u ý

Khi giải phương trình vô tỷ (chẳng hạn f x( )g x( )) bằng phương pháp đánh giá, thường là

để ta chỉ ra phương trình chỉ có một nghiệm (nghiệm duy nhất).Ta thường sử dụng các bất đẳng thức cổ điển Cô si, Bunhiacopxki, đưa vế trái về tổng bình phương các biểu thức, đồng thời vế phải bằng 0 Ta cũng có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số (có thể thấy ngay hoặc sử dụng đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số) để đánh giá một cách hợp lý

Thường ta đánh giá như sau:

f x g x

f x C C f x g x C

g x C C









, hoặc đánh giá f x( ) g x( )

cũng như là f x( ) g x( )…

Ngoài ra đối với Bài cụ thể nào đó ta sẽ có cách đánh giá khác

Cũng có một số phương trình vô tỷ có nhiều hơn một ẩn mà ta giải bằng phương pháp đánh giá

3.2 M t s Bài tập

Bài 1 Giải phương trình 2

4x 1 4x  1 1

3x   6x 7 5x 10x   14 4 2x x

x   x x   x x  x  x

Bài 4 Giải phương trình 4 2 28 27

x  x   x

Bài 5 Giải phương trình 3 2 4 3 2

2

x x

Bài 6 Giải phương trình 2

2

 

Bài 7 Giải phương trình 2 2 9

Bài 8 Giải phương trình 2 4 2 4

Bài 9 Giải phương trình 3 2 3

x   x

Bài 10 Giải phương trình (x2)(2x 1) 3 x  6 4 (x6)(2x 1) 3 x2

Bài 11 Giải phương trình 2 3

2x  11x  21 3 4x  4 0

2x  1 x   3x 2 2x   2x 3 x  x 6

Bài 13 Giải phương trình : 2 2 9



Bài 14 Giải phương trình : 2 4 2 4

13 x  x 9 x   x 16

Bài 15 Giải phương trình: 3` 2 4

Bài 16: Giải phương trình: 2

Bài 17: Giải phương trình : x 4x 1 2

x 4x 1





Bài 18: Giải phương trình : x 1   5x 1   3x  2

3x   6x 7 5x 10x 14   4 2x x (1)

Bài 20: Giải phương trình : x 7 2

x 1    



Bài 10: Giải phương trình : 6 8 6

3 x  2 x 

4.PH NG PHÁP L ỢNG GIÁC

4.1 Một số lưu ý

Khi giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng giác ta có thể đặt

f x   nếu f x( )  1;1 với điều kiện ;

2 2

 

  

  hoặc f x( )cos với điều kiện 0; Cũng có khi đặt f x( )  tan ; ( ) f x  cot … để đưa phương trình đã cho về phương trình lượng giác Giải phương trình lượng giác rồi từ đó tìm nghiệm của phương trình đã

cho

4.2 M t s ví d

Bài 1 Giải phương trình 2

4x 1 4x  1 1

Bài 2 Giải phương trình 1 1 2 2 2

1

x x 

Bài 3 Giải phương trình 3 2 3 2

(1 ) 2(1 )

Bài 4 Giải phương trình 3 2

4x   3x 1 x

Bài 5 Giải phương trình 2  6 2 3

5 3 1  x 8 x  (1 x )

Bài 6 Giải phương trình 2 2 2

1

x x x

Bài 7 Giải phương trình 2 2

( 32 ) 1x  x 3x2x

Bài 8 Giải phương trình 2 2

2

3 1 1

x x

x x

Bài 9 Giải phương trình 2 3 2

1

x

x

Bài 10 Giải phương trình 2 2

2x   1 x 2x 1 x 1

5.PH NG PHÁP HẨM S

Bài 1 Giải các phương trình sau:

3 x 2  9 x    3 ( x 1) 2  x    2 x 4 0

x



Bài 3 Giải phương trình :    2   2 

2x1 2 4x   4x 4 3x 2 9x   3 0

Bài 4 Giải phương trình: 3 3 3

Bài 5 Giải phương trình : 3 3

5x  1 2x  1 x 4 (1)

Bài 6 Giải phương trình : 3 2

2x 3x   6x 16 4 x 2 3

Bài 7 Giải phương trình

x2 2 x 1 3 x  6 4 x6 2 x 1 3 x2

Bài 8 Giải phương trình 5 3

1 3 4 0

x      x x

3 (2x  9x  3) (4x2)(1  1 x x )0

Bài 10 Giải phương trình : 3 2 3 3 3 2

2x  x 2x     3x 1 3x 1 x 2

Bài 11 Giải phương trình 3 x 2 3 2x2  1 3 2x2 3 x1

Bài 12 Giải phương trình 3 3

6 x   1 8 x   4 x 1

Bài 13.Giải phương trình 2 2

x    x x 

Bài 14 Giải phương trình: 4 4

x 2   4 x   2

Bài 15 Giải phương trình sau: 3 3 3

Bài 16 Giải phương trình : 3 2 3 2

x  x   x x  x

5.M T S PH NG PHÁP KHÁC

5.1 Một số lưu ý

Ngoài những phương pháp thường gặp ở trên, đôi khi ta cũng có những lời giải khác lạ đối với một số phương trình vô tỷ Cũng có thể ta sử dụng kết hợp các phương pháp ở trên để giải một phương trình

5.2 Một số ví dụ

Bài 1 Giải phương trình 2 2

x  x  x  x 

4 x 4x 1 x      y 2y 3 5 y x 16

Bài 3 Giải phương trình 3 3 2 3 2

7x 1 x   x 8 x   8x 1 2

Bài 4 Giải phương trình 2 2

x   x x  x 

1 2x  x 1 2xx 2(x1) (2x  4x 1)

Bài 6 Giải phương trình 3 3 2 3

x x       x x x x

Bài 7 Giải phương trình 3 2 3 3 3 2

x   x   x x   x x

Bài 8 Giải phương trình 4

Bài 9 Giải phương trình 2 2 2

x   x x    x x x

Bài 10 Giải phương trình 22

2009 2010 2011

2009

Bài 11 Giải phương trình 3 2 4

3 8 40 8 4 4 0

x  x   x x 

Bài 12 Giải phương trình 2 3

2x  11x  21 3 4x  4 0

Bài 13 Giải phương trình 4 3 10 3   x  x 2

Bài 14 Giải phương trình x x 1 1 1