Hình Học Vi Phân: Chương 3 Ánh xạ Gauss ppt

Một mặt chính qui S gọi là định hướng được nếu có một trường pháp vector đơn vị liên tục N xác định trên toàn bộ mặt.. Một mặt chính qui định hướng là mặt chính qui định hướng được cùng

Cho S là một mặt chính qui và X :−→ S là một tham số hóa địa phương của S Như đã biết nếuchúng ta chọn các vector pháp đơn vị tại mỗi điểm của X(U ) như sau

F là trường vector tiếp xúc trên V Nếu F (p) ⊥ TpS, ∀p ∈ V, ta nói F là trường pháp vector trên

V Nếu F (p) ⊥ TpS, |F (p)| = 1, ∀p ∈ V, ta nói F là trường pháp vector đơn vị trên V Theo địnhnghĩa này N (p) xác định như trên là một trường pháp vector đơn vị trên X(U )

3.1 Mặt định hướng

Định nghĩa 1 Một mặt chính qui S gọi là định hướng được nếu có một trường pháp vector đơn

vị liên tục N xác định trên toàn bộ mặt Khi đó trường pháp vector N được gọi là một định hướng

của S Một mặt chính qui định hướng là mặt chính qui định hướng được cùng hướng xác định N.

Do trên mỗi lân cận tọa độ X(U ) đều có trường pháp vector đơn vị khả vi N (p) = Xu ∧Xv

|X u ∧X v | nênchúng ta có thể nói mọi mặt chính qui đều định hướng được một cách địa phương Hơn nữa, theoMệnh đề ?? thì mọi mặt chính qui liên thông có đúng hai hướng

Ví dụ 1 Dễ thấy rằng mặt phẳng là một mặt định hướng được

Ví dụ ngay sau đây cho ta thấy có những mặt không định hướng được

Ví dụ 2 Mặt M¨obius Lấy một dải giấy hình chữ nhật Dán hai cạnh đối diện lai với nhau saukhi đã xoắn 1800 Mặt nhận được chính là mặt M¨obius Chúng ta dễ nhận thấy rằng một vectorpháp sẽ đổi chiều sau khi trượt dọc theo đường chính giữa mặt đúng 1 vòng Điều này cho thấymặt M¨obius là không thể định hướng được

Hai mệnh đề tiếp theo cho ta các ví dụ khác về các mặt chính qui định hướng được

Mệnh đề 3.1.1 Cho h : U ⊂ R2 −→ R là một hàm khả vi Khi đó đồ thị của h là một mặt chínhqui định hướng được

Chứng minh Xét tham số hóa

X(u, v) = (u, v, h(u, v)), (u, v) ∈ U

Khi đó X(U ) = Gh và X là đơn ánh Xét

N ◦ X = Xu∧ Xv

|Xu∧ Xv| =

(−hu, hv, 1)p1 + h2

u+ h2 v

Vì 1 + h2

u + h2

Mệnh đề 3.1.2 Cho f : U ⊂ R3 −→ R là hàm khả vi và a là một giá trị chính qui của f Khi

đó S = f−1(a) là một mặt chính qui định hướng được

Chứng minh Lấy điểm bất kỳ p ∈ S, giả sử p = (x0, y0, z0) Xét đường tham số c(t) =(x(t), y(t), z(t)), t ∈ (−, ) ⊂ R trên mặt S đi qua p với c(0) = p Vì đường cong nằm trênmặt nên

pf2

x + f2

y + f2 z

pf2

x + f2

y + f2 z

Bài tập 3.1 Giả sử rằng một mặt chính qui S là hợp của hai mặt chính qui S1 và S2, S = S1∪S2.Chứng minh nếu S1 và S2 định hướng được và S1∩ S2 liên thông thì S định hướng được.

Bài tập 3.2 Cho S = S1∪ S2, với S, S1, S2 là các mặt chính qui, S1, S2 liên thông và S1∩ S2 cóhai thành phần liên thông A và B Chứng minh rằng nếu S1 và S2 có thể định hướng sao cho cácđịnh hướng cảm sinh trên A là trùng nhau còn các định hướng cảm sinh trên B là đối nhau thì S

là mặt không định hướng được Chứng minh đây cũng là trường hợp của băng Mobius

Rất dễ nhận thấy rằng mọi mặt chính qui đều định hướng được một cách địa phương Điều này

có nghĩa là cho dù mặt chính qui là không định hướng được, nhưng tại mỗi điểm, mỗi lân cận của

độ của mặt đều được định hướng bởi trường pháp vector đơn vị

N = Xu∧ Xv

|Xu∧ Xv|.

Cho (S, N ) là một mặt chính qui định hướng, P là một điểm trên mặt S Chúng ta sẽ nói cở sởcủa không gian tiếp xúc TpS là định hướng dương nếu det(a, b, Np) > 0 Trong trường hợp ngượclại chúng ta sẽ nói cơ sở {a, b} là định hướng âm Nếu f : S1 −→ S2 là ánh xạ khả vi, với S1, S2

là hai mặt chính qui, có tính chất đạo hàm Dfp tại mỗi điểm p ∈ S biến một cơ sở định hướngdương thành một cơ sở định hướng dương thì ta nói f là ánh xạ bảo toàn hướng

Một cách trực giác mỗi hướng của mặt cho ta một phía của mặt Rất dễ hình dung mặt phẳng,mặt cầu, mặt trụ có hai phía Mệnh đề sau đây cho phép ta khẳng định rằng, mọi mặt chínhqui liên thông định hướng được có đúng hai phía, hay nói cách khác có đúng hai định hướng trênmỗi mặt chính qui liên thông định hướng được

Mệnh đề 3.1.3 Nếu S là một mặt chính qui định hướng được và N và N là hai định hướng trênmặt S thì ta phải có hoặc N = N , hoặc N = −N

Chứng minh Tại mỗi điểm p ∈ S, Np và Np sẽ là hai vector trùng nhau hoặc chúng là hai vectorđối nhau.Đặt A = {p ∈ S : Np = Np} và B = {p ∈ S : Np = −Np}, chúng ta có A và B là haitập rời nhau và S = A ∪ B Do N và N liên tục ta có A và B là hai tập đóng Nhưng do S là liên

3.2 Ánh xạ Gauss và dạng cơ bản thứ hai

Cho (S, N ) là mặt chính qui định hướng Do |Np| = 1, ∀p ∈ S nên có thể xem N là ánh xạ khả

vi từ mặt chính qui S vào mặt cầu đơn vị S2 Ánh xạ N : S −→ S2 được gọi là ánh xạ GaussƯcủa mặt định hướng S Theo định nghĩa ánh xạ Gauss là khả vi Khi đó đạo hàm của N tại điểm

p ∈ S là ánh xạ tuyến tính

DNp : TpS −→ TNpS2

Do TpS ⊥ Np và TNpS2 ⊥ Np, ∀p ∈ S nên ta có TpS ≡ TNpS2, ∀p ∈ S Như vậy DNp là một tựđồng cấu tuyến tính của TpS

với p ∈ S(O, r) và v ∈ TpS(O, r).

Ví dụ 5 Xét mặt tru C có phương trình x2+ y2 = r2 Mặt tru C có hai trường pháp vector đơnvị

với p ∈ S(O, r), v ∈ TpS(O, r) và π là phép chiếu lên mặt phẳng xy

Nếu v ∈ TpC và v cùng phương với e3 thì DNp(v) = DNp(v) = 0, tức là v là vector riêng ứngvới giá trị riêng 0 của DNp và DNp Nếu v ∈ TpC và v trực giao với e3 thì DNp(v) = v còn

DNp(v) = −v, tức là v là vector riêng ứng với giá trị riêng 1 của DNp và là vector riêng ứng vớigiá trị riêng −1 của DNp

Bài tập 3.3

Mệnh đề sau cho ta một tính chất quan trọng của ánh xạ DNp

Mệnh đề 3.2.1 Đạo hàm DNp : TpS −→ TpS của ánh xạ Gauss là tự liên hợp, nghĩa là với mọi

S tại p

3.3 Độ cong pháp và công thức Euler

3.3.1 Độ cong pháp

Định nghĩa 3 Cho C là đường cong chính qui trên mặt S đi qua điểm p Gọi k là độ cong của

C tại p, n là vector pháp (đơn vị) của C tại p và N là vector pháp (đơn vị) của S tại p Khi đó số

kn(p) = khn, N i

được gọi là độ cong pháp của C ⊂ S tại p

Nhận xét 1 Độ cong pháp kn(p) chính là độ dài hình chiếu của kn lên pháp tuyến của mặt vớidấu phụ thuộc vào hướng của N.

Giả sử w ∈ TpS, |w| = 1 Gọi α là đường tham số (với tham số độ dài cung) α(0) = p, α0(0) = w

Ký hiệu N (s) là hạn chế của N lên đường tham số α, do hN, α0i = 0, ta suy ra

2 Độ cong pháp kn(p) chỉ phụ thuộc vào vector tiếp xúc, không phụ thuộc vào đường cong

3 Với w ∈ TpS không nhất thiết là vector đơn vị, ta có công thức sau

kn(p) = IIp(w)

Ip(w) .

Từ nhận xét này chúng ta đi đến định lý sau

Định lý 3.3.1 (Meusnier) Tất cả các đường cong nằm trên mặt cùng đi qua một điểm p có cáctiếp tuyến tại điểm này trùng nhau có độ cong pháp tại điểm này giống nhau

Từ Định lý Meusnier, chúng ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 4 Độ cong pháp của mặt S tại điểm p ∈ S theo (hướng của) vector w là độ congcủa một đường chính qui trên mặt đi qua p và có vector tiếp xúc tại p là w

Xét mặt phẳng P đi qua p với cặp vector chỉ phương {w, N } Giao của P và S lđược gọi là lát cắtchuẩn tắc của S tại p dọc theo w Trong một lân cận của p, lát cắt này là một đường chính qui cópháp vector là ±N (p) hoặc là vector không Với thuật ngữ này chúng ta có thể phát biểu

Mệnh đề 3.3.2 Giá trị tuyệt đối của độ cong pháp của mặt S tại điểm p theo vector w bằng độcong của lát cắt chuẩn tắc của S tại p dọc theo w

Ví dụ 6 Nếu S là mặt phẳng, thì N = 0 Cho nên DN = 0 và do đó IIp = 0.Suy ra độ congpháp của mặt tại mọi điểm theo mọi phương đều bằng 0

Có thể lập luận theo cách khác như sau: do tất cả các lát cắt chuẩn tắc của mặt đều là đườngthẳng, có độ cong bằng 0 nên độ cong pháp của mặt tại mọi điểm theo mọi phương đều bằng 0

Ví dụ 7 Xét mặt cầu S2 với định hướng N (x, y, z) = (−x, −y, −z) Mỗi lát cắt chuẩn tắc là mộtđường tròn lớn, có độ cong hằng bằng 1 Từ đây suy ra độ cong pháp của mặt tại mọi điểm theomọi phương đều bằng 1.

Do ánh xạ tuyến tính DNp là liên hợp nên tồn tại cơ sở trực chuẩn {e1, e2} sao cho DNp(e1) =

−k1e1, DNp(e2) = −k2e2 Nói cách khác −k1, −k2 là các giá trị riêng, còn e1, e2 là các vector riêngđơn vị lần lượt ứng với −k1, −k2 của DNp Chúng ta luôn giả thiết rằng k1 ≤ k2

Định nghĩa 5 Các giá trị k1, k2 được gọi là các độ cong chính, còn các vector riêng e1, e2 xácđịnh các phương gọi là các phương chính

Chúng ta có thể gọi các vector e1, e2 là các vector chỉ phương chính

3.3.2 Công thức Euler

Giả sử {e1, e2} là một cơ sở trực chuẩn của TpS gồm toàn các vector riêng của DNp và v ∈

TpS, |v| = 1, v = cos θe1+ sin θe2 Do đó

vị trong TpS, tức là các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất độ cong pháp tại điểm p

3.4 Độ cong Gauss và độ cong trung bình

Định nghĩa 6 Cho (S, N ) là mặt chính qui định hướng, p ∈ S và DNp là đạo hàm của ánh xạGauss N tại điểm p ta se gọi

1 định thức của DNp là độ cong Gauss của S tại điểm p, ký hiệu K(p);

2 Nếu thay đổi hướng của mặt thì độ cong Gauss K không thay đổi còn độ cong trung bình

H đổi dấu

Định nghĩa 7 Một điểm p của mặt S được gọi là

1 điểm elliptic nếu độ cong Gauss K > 0;

2 điểm hyperbolic nếu độ cong Gauss K < 0;

3 điểm parabolic nếu độ cong Gauss K = 0 và DNp 6= 0;

4 điểm phẳng (planar) nếu DNp = 0;

5 điểm rốn (umbilic) nếu k1 = k2

Chúng ta có các nhận xét sau

Nhận xét 5 1 Tại các điểm elliptic, do K > 0 nên hai độ cong chính cùng dấu và do đó độcong pháp theo mọi phương cùng dấu Đều này cho thấy tất cả các đường cong đi qua điểmnày có pháp vector chỉ về cùng một phía đối với mặt phẳng tiếp xúc

2 Tại các điểm hypẻbolic, do do K < 0 nên hai độ cong chính khác dấu và do đó tồn tại cácđường cong có pháp vector chỉ về cả hai phía của mặt phẳng tiếp xúc

3 Tại các điểm parabolic, do K = 0 và DNp 6= 0 nên có một độ cong chính bằng 0 và một độcong chính khác không

4 Tại các điểm phẳng, cả hai ôộ cong chính đều bằng 0

5 Điểm phẳng là trường hợp đặc biệt của điểm rốn Tại các điểm rốn, do k1 = k2 nên DNp =

k idT p S

Định lý 3.4.1 Nếu tất cả các điểm của một mặt liên thông S là điểm rốn thì S chứa trong mộtmặt cầu hoặc chứa trong một mặt phẳng

Chứng minh Lấy p ∈ S và X(u, v) là một tham số hóa tại điểm p sao cho lân cận tọa độ

V = X(U ) là liên thông Với mọi q ∈ V do q là điểm rốn nên với mọi v = a1Xu+ a2Xv ∈ TqS, tacó

Do Xu, Xv độc lập tuyến tính ta suy ra λu = λv = 0, ∀q ∈ V Do V la liên thông, ta suy ra

λ = const trên V Ta có hai trường hợp

1 Nếu λ = 0, ta suy ra Nu = Nv = 0 Do đó N =const và DNp = 0 Ta có

do đó X(u, v) nằm trên mặt phẳng qua p với pháp vector N với mọi (u, v) ∈ U

2 Nếu λ 6= 0, khi đó X(u, v) −λ1N (u, v) chỉ là một điểm cố định bởi vì

Như vậy chúng ta chỉ mới chứng minh định lý tại địa phương của từng điểm Để có kết quả toàncục, chúng ta cần đến tính chất liên thông của mặt Với mọi p, q ∈ S, do S liên thông nên tồn tạiđường tham số liên tục α[0, 1] −→ S nối p và q với α(0) = p và α(1) = q Với mọi t ∈ [0, 1] tồntại lân cận tọa độ Vt của α(t) (có thể giả sử Vt là các hình cầu) sao cho α−1(Vt∩ α([0, 1]) là mộtkhoảng mở của [0, 1] Họ {α−1(Vt∩ α([0, 1]); t ∈ [0, 1]} phủ đoạn [0, 1] Do đoạn [0, 1] là compact,

ta suy ra tồn tại phủ hữu hạn của đoạn [0, 1] và do đó α([0, 1]) được phủ bởi một họ hữu hạn cáclân cận Vt

1 Nếu các điểm của một lân cận tọa độ V0 thuộc một mặt phẳng ta suy ra tất cả các điểmthuộc mọi Vt đều thuộc mặt phẳng đó

2 Nếu các điểm của một lân cận tọa độ V0 thuộc một mặt cầu ta suy ra tất cả các điểm thuộcmọi Vt đều thuộc mặt cầu đó

Ví dụ 8 Chúng ta sẽ tính độ cong Gauss và độ cong trung bình của nhứng diểm nằm trên mặt

xuyến được phủ bơit tham số hóa sau:

X(u, v) = ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sin v, r sin u), 0 < u, v < 2π

Chúng ta sẽ tính Xu, Xv, Xuu, Xuv, Xvv, N các các hệ số của dạng cơ bản I và II

Xu = (−r sin u cos v, −r sin u sin v, r cos u), Xv = (−(a + r cos u) sin v, (a + r cos u) cos v, 0), Xuu= (−r cos u cos v, −r cos u sin v, −r sin u), Xuv = (r sin u sin v, −r sin u cos v, 0), Xvv = (−(a + r cos u) cos v, −(a + r cos u) sin v, 0),

Xu∧ Xv = (rA cos u cos v, rA cos u sin v, −rA sin u),

|Xu∧ Xv| = rA, với A = (a + r cos u),

N = (cos u cos v, cos u sin v, − sin u),

Do đó, ta có hai độ cong chính là 1r và a+r cos u)cos u và các phương chính là các phương xác định bởi

các vector Xu và Xv Các độ cong Gauss và độ cong trung bình là

Chúng ta cũng có thể dùng công thức sau để tính độ cong Gauss và độ cong trung bình.

Ta dễ dàng nhận thấy các điểm thuộc vào các đường tròn u = π2 và u = 3π2 có độ cong Gauss

K = 0, các điểm thuộc vào miền π2 < u < 3π2 có độ cong Gauss K < 0, các điểm thuộc vào cácmiền <0u < π2 và < 3π2 < u < 2π có độ cong Gauss K > 0

kẻ có những điểm kỳ dị, tức là các điểm mà tại đó Xu∧ Xv = 0

Ví dụ 9 Các mặt sau là các mặt kẻ:

1 Mặt phẳng

2 Mặt tiếp tuyến của một đương chính qui (xem Ví dụ ??

3 Mặt trụ là mặt kẻ sinh bởi α, w với α(I) chứa trong một mặt phẳng và w(t) song song vớimột phương cố định

4 Mặt nón là mặt kẻ sinh bởi α, w với α(I) chứa trong một mặt phẳng P và các đường sinh

Lu cùng đi qua một điểm cố định p 6∈ P

Ví dụ 10 Mặt hyperboloid tròn xoay

Ví dụ 11 Mặt yên ngựa (paraboloid hyperbolic)

Với việc chấp nhận các điểm kỳ dị trên mặt kẻ, các mặt tiếp tuyến, mặt nón là các mặt kẻ.Đường thắt của mặt kẻ Xét mặt kẻ

X(u, v) = α(u) + vw(u)

với giả thiết w(u) 6= 0, u ∈ I Mặt kẻ như vậy được gọi là mặt kẻ không trụ (noncylindrical) Khônggiảm tính tổng quát chúng ta có thể giả sử |w(u)| = 1, u ∈ I Đường tham số

β(u) = α(u) − ϕ(u)w(u)

với ϕ(u) = hαw0,w20i được gọi là đường thắt của mặt kẻ X Mỗi điểm của β gọi là một điểm trungtâm của mặt kẻ Đường thắt có các tính chất sau đây

Bài tập 3.4 Chứng minh rằng đường thắt không phụ thuộc vào đường chuẩn α

Bài tập 3.5 Chứng minh rằng các điểm kỳ dị của mặt kẻ nằm trên đường thắt

Bài tập 3.6 Chứng minh rằng tại các điểm chính qui, độ cong Gauss của mặt kẻ thỏa mãn K ≤ 0

và độ cong Gauss K = 0 dọc theo các đường sinh đi qua các điểm kỳ dị của đường thắt

Bài tập 3.7 Chứng minh rằng các mặt sau là mặt kẻ Hãy xác định mặt nào là mặt kẻ khôngtrụ và tìm các đường thắt của chúng

1 Mặt phẳng

2 Mặt trụ x2+ y2 = 1

3 Mặt nón x2+ y2− x2 = 0

4 Mặt hyperboloid tròn xoay 1=tầng x2+ y2− z2 = 1

5 Mặt paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa) x2+ y2− z2 = −1

6 Mặt Helicoid với tham số hóa X(u, v) = (u cos v, u sin v, v)

Bài tập 3.8 Mặt kẻ X(u, v) = α(u) + vw(u) được gọi là mặt kẻ khả triển nếu

Có thể kể ra nhiều những bài toán như vậy, bài toán về bất đẳng thức đẳng chu trên các mặt cựctiểu là một ví dụ Việc nghiên cứu các mặt cực tiểu cho thấy chúng có mối liên hệ sâu sắc đến cáchàm giải tích phức và phương trình đạo hàm riêng Các kết quả về các mặt cực tiểu thường dễhình dung nhưng rất khó chứng minh Điều này đã làm cho lý thuyết các mặt cực tiểu trở thànhmột lãnh vực thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học lớn

Định nghĩa 8 Mặt tham số chính qui X : Ω −→ R3 được gọi là mặt cực tiểu nếu độ cong trungbình tại mọi điểm bằng không

Cho X : Ω −→ R3 là một mặt tham số chính qui, D ⊂ Ω là miền bị chặn và h :D → R là mộthàm khả vi Ta gọi một biến phân chuẩn tắc của X(D) xác định bởi h là ánh xạ

ϕ : D × (−, ) −→ R3xác định như sau

ϕ(u, v, t) = X(u, v) + th(u, v)N (u, v), (u, v) ∈ D, t ∈ (−, )

Do đó nếu ký hiệu Et, Ft, Gt là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất thì

Et = E + 2thhXu, Nui + t2h2hNu, Nui + t2h2u,

Ft = F + 2thhxu, Nvi + t2h2hNu, Nvi + t2huhv,

Gt = G + 2thhxv, Nvi + t2h2hNv, Nvi + t2h2v,Thay

hxu, Nui = −e, hxu, Nvi = hxv, Nui = −f, hxv, Nvi = −gvà

2H(EG − F2) = Eg − 2f F + Ge,

ta nhận được

EtGt− (Ft)2 = EG − F2− 2th(Eg − 2f F + Ge) + R

= (EG − F2)(1 − 4thH) + R,với limt→0(Rt) = 0

Nếu  đủ nhỏ thì Xt là mặt tham số chính qui Ta có

Chứng minh Nếu X là cực tiểu, H = 0 và do đó A0(0) = 0 Ngược lại giả sử A0(0) = 0 và tồn tạiđiểm p ∈ D sao cho H(p) 6= 0 Không giảm tính tổng quát ta giả sử H(p) > 0 Chọn h : D −→ Rsao cho h(p) > 0 và H đồng nhất bằng không ngoài một lân cận đủ nhỏ của p Khi đó A0(0) < 0với biến phân xác định bởi h Điều mâu thuẩn này chứng tỏ H = 0

Với mặt chính qui X ta xác định vector độ cong trung bình bởi H = HN Nếu chọn h = H ta có