Hình Học Vi Phân: Chương 3 Ánh xạ Gauss ppt

Chương 3 Ánh xạ Gauss Khi nghiên cứu tốc độ thay đổi của tiếp tuyến của một đường cong C tại một điểm dẫn ta đến một bất biến hình học quan trọng, độ cong tại điểm đang xét của đường cong. Khi nghiên cứu tốc độ thay đổi của mặt phẳng mật tiếp, hay một cách tương đương tốc độ thay đổi của các vector trùng pháp, ta có khái niệm độ xoắn, là bất biến hình học quan trọng thứ hai của đường cong. Hai bất biến này phản ánh hình dáng địa phương tại từng điểm của đường cong. Một cách hoàn toàn tương tự, chúng ta sẽ xét tốc độ biến thiên của mặt phẳng tiếp xúc trong một lân cận của điểm p của một mặt chính qui hay một cách tương đương là tốc độ của trường pháp vector đơn vị trong lân cận đó. Tốc độ biến thiên này không được đặc trưng bởi một con số mà được đặc trưng bởi một tự đồng cấu tuyến tính tự liên hợp của T p S. Nhiều tính chất địa phương đáng ngạc nhiên được tìm thấy từ sự nghiên cứu ánh xạ tuyến tính này. Cho S là một mặt chính qui và X :−→ S là một tham số hóa địa phương của S. Như đã biết nếu chúng ta chọn các vector pháp đơn vị tại mỗi điểm của X(U) như sau N(p) = X u ∧ X v |X u ∧ X v | (p), p ∈ X(U ); chúng ta nhận được một ánh xạ khả vi N : X(U) −→ R 3 p −→ N(p). Cho V ⊂ S là tập mở. Một trường vector trên V là ánh xạ F : V −→ R 3 . Trường vector F được gọi là liên tục, khả vi nếu ánh xạ F có các tính chất như vậy. Nếu F (p) ∈ T p S, ∀p ∈ V, thì ta nói F là trường vector tiếp xúc trên V. Nếu F (p) ⊥ T p S, ∀p ∈ V, ta nói F là trường pháp vector trên V. Nếu F(p) ⊥ T p S, |F (p)| = 1, ∀p ∈ V, ta nói F là trường pháp vector đơn vị trên V. Theo định nghĩa này N (p) xác định như trên là một trường pháp vector đơn vị trên X(U). 3.1 Mặt định hướng Định nghĩa 1. Một mặt chính qui S gọi là định hướng được nếu có một trường pháp vector đơn vị liên tục N xác định trên toàn bộ mặt. Khi đó trường pháp vector N được gọi là một định hướng 1 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) của S. Một mặt chính qui định hướng là mặt chính qui định hướng được cùng hướng xác định N. Do trên mỗi lân cận tọa độ X(U) đều có trường pháp vector đơn vị khả vi N(p) = X u ∧X v |X u ∧X v | nên chúng ta có thể nói mọi mặt chính qui đều định hướng được một cách địa phương. Hơn nữa, theo Mệnh đề ?? thì mọi mặt chính qui liên thông có đúng hai hướng. Ví dụ 1. Dễ thấy rằng mặt phẳng là một mặt định hướng được. Ví dụ ngay sau đây cho ta thấy có những mặt không định hướng được. Ví dụ 2. Mặt M¨obius. Lấy một dải giấy hình chữ nhật. Dán hai cạnh đối diện lai với nhau sau khi đã xoắn 180 0 . Mặt nhận được chính là mặt M¨obius. Chúng ta dễ nhận thấy rằng một vector pháp sẽ đổi chiều sau khi trượt dọc theo đường chính giữa mặt đúng 1 vòng. Điều này cho thấy mặt M¨obius là không thể định hướng được. Hai mệnh đề tiếp theo cho ta các ví dụ khác về các mặt chính qui định hướng được. Mệnh đề 3.1.1. Cho h : U ⊂ R 2 −→ R là một hàm khả vi. Khi đó đồ thị của h là một mặt chính qui định hướng được. Chứng minh. Xét tham số hóa X(u, v) = (u, v, h(u, v)), (u, v) ∈ U. Khi đó X(U) = G h và X là đơn ánh. Xét N ◦ X = X u ∧ X v |X u ∧ X v | = (−h u , h v , 1)  1 + h 2 u + h 2 v Vì 1 + h 2 u + h 2 v > 0, nên N là liên tục. ✷ Mệnh đề 3.1.2. Cho f : U ⊂ R 3 −→ R là hàm khả vi và a là một giá trị chính qui của f. Khi đó S = f −1 (a) là một mặt chính qui định hướng được. Chứng minh. Lấy điểm bất kỳ p ∈ S, giả sử p = (x 0 , y 0 , z 0 ). Xét đường tham số c(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ (−, ) ⊂ R trên mặt S đi qua p với c(0) = p. Vì đường cong nằm trên mặt nên f(x(t), y(t), z(t)) = a, ∀t ∈ I. Đạo hàm cả hai vế tại t = 0, ta nhận được f x (p)x  (0) + f y (p)y  (0) + f z (p)z  (0) = 0. Từ đây suy ra vector tiếp xúc của c tại t = 0 trực giao với (f x , f y , f z ) tại p. Do điểm p và đường tham số c được lấy tùy ý nên ta suy ra rằng N(x, y, z) =  f x  f 2 x + f 2 y + f 2 z , f y  f 2 x + f 2 y + f 2 z , f z  f 2 x + f 2 y + f 2 z  xác định trên toàn bộ S. Do a là điểm chính qui nên f 2 x + f 2 y + f 2 z > 0 tại mọi điểm của mặt. Do đó N là liên tục. ✷ 2 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) Bài tập 3.1. Giả sử rằng một mặt chính qui S là hợp của hai mặt chính qui S 1 và S 2 , S = S 1 ∪S 2 . Chứng minh nếu S 1 và S 2 định hướng được và S 1 ∩ S 2 liên thông thì S định hướng được. Bài tập 3.2. Cho S = S 1 ∪ S 2 , với S, S 1 , S 2 là các mặt chính qui, S 1 , S 2 liên thông và S 1 ∩ S 2 có hai thành phần liên thông A và B. Chứng minh rằng nếu S 1 và S 2 có thể định hướng sao cho các định hướng cảm sinh trên A là trùng nhau còn các định hướng cảm sinh trên B là đối nhau thì S là mặt không định hướng được. Chứng minh đây cũng là trường hợp của băng Mobius. Rất dễ nhận thấy rằng mọi mặt chính qui đều định hướng được một cách địa phương. Điều này có nghĩa là cho dù mặt chính qui là không định hướng được, nhưng tại mỗi điểm, mỗi lân cận của độ của mặt đều được định hướng bởi trường pháp vector đơn vị N = X u ∧ X v |X u ∧ X v | . Cho (S, N) là một mặt chính qui định hướng, P là một điểm trên mặt S. Chúng ta sẽ nói cở sở của không gian tiếp xúc T p S là định hướng dương nếu det(a, b, N p ) > 0. Trong trường hợp ngược lại chúng ta sẽ nói cơ sở {a, b} là định hướng âm. Nếu f : S 1 −→ S 2 là ánh xạ khả vi, với S 1 , S 2 là hai mặt chính qui, có tính chất đạo hàm Df p tại mỗi điểm p ∈ S biến một cơ sở định hướng dương thành một cơ sở định hướng dương thì ta nói f là ánh xạ bảo toàn hướng. Một cách trực giác mỗi hướng của mặt cho ta một phía của mặt. Rất dễ hình dung mặt phẳng, mặt cầu, mặt trụ . . . có hai phía. Mệnh đề sau đây cho phép ta khẳng định rằng, mọi mặt chính qui liên thông định hướng được có đúng hai phía, hay nói cách khác có đúng hai định hướng trên mỗi mặt chính qui liên thông định hướng được. Mệnh đề 3.1.3. Nếu S là một mặt chính qui định hướng được và N và N là hai định hướng trên mặt S thì ta phải có hoặc N = N, hoặc N = −N . Chứng minh. Tại mỗi điểm p ∈ S, N p và N p sẽ là hai vector trùng nhau hoặc chúng là hai vector đối nhau.Đặt A = {p ∈ S : N p = N p } và B = {p ∈ S : N p = −N p }, chúng ta có A và B là hai tập rời nhau và S = A ∪B. Do N và N liên tục ta có A và B là hai tập đóng. Nhưng do S là liên thông nên ta phải có A = S, B = ∅ hoặc A = ∅, B = S. ✷ 3.2 Ánh xạ Gauss và dạng cơ bản thứ hai Cho (S, N ) là mặt chính qui định hướng. Do |N p | = 1, ∀p ∈ S nên có thể xem N là ánh xạ khả vi từ mặt chính qui S vào mặt cầu đơn vị S 2 Ánh xạ N : S −→ S 2 được gọi là ánh xạ GaussƯ của mặt định hướng S. Theo định nghĩa ánh xạ Gauss là khả vi. Khi đó đạo hàm của N tại điểm p ∈ S là ánh xạ tuyến tính DN p : T p S −→ T N p S 2 . Do T p S ⊥ N p và T N p S 2 ⊥ N p , ∀p ∈ S nên ta có T p S ≡ T N p S 2 , ∀p ∈ S. Như vậy DN p là một tự đồng cấu tuyến tính của T p S. 3 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) Ví dụ 3. Xét mặt phẳng Q có phương trình ax + by + cz + d = 0. Khi đó N = 1 a 2 + b 2 + c 2 (a, b, c) Là một hàm hằng nên ta có DN p = 0, ∀p ∈ Q. Ví dụ 4. Xét mặt cầu S(O, r) tâm O bán kính r có phương trình x 2 + y 2 + z 2 = r 2 . Giả sử α(t) = (x(t), y(t), z(t)) là một đường tham số trên mặt cầu S(O, r), ta có x 2 (t) + y 2 (t) + z 2 (t) = r 2 . Đạo hàm hai vế theo t ta nhận được 2xx  + 2yy  + 2zz  = 0. Với chú ý rằng (x  (t), y  (t), z  (t)) là một vector tiếp xúc của mặt cầu S(O, r) tại α(t), ta có vector (x, y, z) là pháp vector của mặt cầu S(O, r) tại điểm (x, y, z). Do đó chúng ta có hai trường pháp vector đơn vị trên mặt cầu S(O, r) N(x, y, z) = 1 r (x, y, z), N(x, y, z) = 1 r (−x, −y, −z). Dễ thấy N là trường pháp vector hướng ra ngoài còn N là trường pháp vector hướng vào tâm của mặt cầu và DN p (v) = v, DN p (v) = −v; với p ∈ S(O, r) và v ∈ T p S(O, r). Ví dụ 5. Xét mặt tru C có phương trình x 2 + y 2 = r 2 . Mặt tru C có hai trường pháp vector đơn vị N(x, y, z) = 1 r (x, y, 0), N (x, y, z) = 1 r (−x, −y, 0). Dễ thấy N là trường pháp vector hướng ra ngoài còn N là trường pháp vector hướng vào trục của mặt trụ và DN p (v) = π(v), DN p (v) = −π(v); với p ∈ S(O, r), v ∈ T p S(O, r) và π là phép chiếu lên mặt phẳng xy. Nếu v ∈ T p C và v cùng phương với e 3 thì DN p (v) = DN p (v) = 0, tức là v là vector riêng ứng với giá trị riêng 0 của DN p và DN p . Nếu v ∈ T p C và v trực giao với e 3 thì DN p (v) = v còn DN p (v) = −v, tức là v là vector riêng ứng với giá trị riêng 1 của DN p và là vector riêng ứng với giá trị riêng −1 của DN p . Bài tập 3.3. Mệnh đề sau cho ta một tính chất quan trọng của ánh xạ DN p . 4 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) Mệnh đề 3.2.1. Đạo hàm DN p : T p S −→ T p S của ánh xạ Gauss là tự liên hợp, nghĩa là với mọi α, β ∈ T p S DN p (α), β = α, DN p (β). (3.1) Chứng minh. Giả sử X(u, v) là một tham số hóa của S tại p và {X u , X v } là một cơ sở của T p S. Đối với cơ sở này ánh xạ DN p có ma trận dạng  ∂N 1 ∂u ∂N 1 ∂v ∂N 2 ∂u ∂N 2 ∂v  . Từ đây chúng ta có DN p (X u ) = N u ; DN p (X v ) = N v . Do đó nếu α = aX u + bX v ; β = cX u + dX v , thì DN p (α), β = aN u + bN v , cX u + dX v  = acN u , X u  + adN u , X v  + bcN v , X u  + bdN v , X v ; và α, DN p (β) = aX u + bX v , cN u + dN v  = acX u , N u  + adX u , N v  + bcX v , N u  + bdX v , N v . Ta có N, X u  = 0 và N, X v  = 0 nên N v , X u  + N, X uv  = 0. (3.2) N u , X v  + N, X uv  = 0. (3.3) Từ 3.2 và 3.3, ta có N v , X u  = N u , X v  và do đó DN p (α), β = α, DN p (β). ✷ Định nghĩa 2. Dạng toàn phương II p (α) := −DN p (α), α được gọi là dạng cơ bản thứ hai của S tại p. 3.3 Độ cong pháp và công thức Euler 3.3.1 Độ cong pháp Định nghĩa 3. Cho C là đường cong chính qui trên mặt S đi qua điểm p. Gọi k là độ cong của C tại p, n là vector pháp (đơn vị) của C tại p và N là vector pháp (đơn vị) của S tại p. Khi đó số k n (p) = kn, N được gọi là độ cong pháp của C ⊂ S tại p. 5 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) Nhận xét 1. Độ cong pháp k n (p) chính là độ dài hình chiếu của kn lên pháp tuyến của mặt với dấu phụ thuộc vào hướng của N. Giả sử w ∈ T p S, |w| = 1. Gọi α là đường tham số (với tham số độ dài cung) α(0) = p, α  (0) = w. Ký hiệu N (s) là hạn chế của N lên đường tham số α, do N, α   = 0, ta suy ra N(s), α  (s) = −N  (s), α  (s). Do đó II p (α  (0)) = −DN p (α  (0)), α  (0) = N  (0), α  (0) = N(0), α  (0) = N, kn(p) = k n (p). Từ đây chúng ta có các nhận xét sau. Nhận xét 2. 1. Giá trị của dạng cơ bản thứ hai II p đối với vector đơn vị w ∈ T p S chính là độ cong pháp của một đường chính qui đi qua p và có vector tiếp xúc là w. 2. Độ cong pháp k n (p) chỉ phụ thuộc vào vector tiếp xúc, không phụ thuộc vào đường cong. 3. Với w ∈ T p S không nhất thiết là vector đơn vị, ta có công thức sau k n (p) = II p (w) I p (w) . Từ nhận xét này chúng ta đi đến định lý sau. Định lý 3.3.1 (Meusnier). Tất cả các đường cong nằm trên mặt cùng đi qua một điểm p có các tiếp tuyến tại điểm này trùng nhau có độ cong pháp tại điểm này giống nhau. Từ Định lý Meusnier, chúng ta có định nghĩa sau. Định nghĩa 4. Độ cong pháp của mặt S tại điểm p ∈ S theo (hướng của) vector w là độ cong của một đường chính qui trên mặt đi qua p và có vector tiếp xúc tại p là w. Xét mặt phẳng P đi qua p với cặp vector chỉ phương {w, N}. Giao của P và S lđược gọi là lát cắt chuẩn tắc của S tại p dọc theo w. Trong một lân cận của p, lát cắt này là một đường chính qui có pháp vector là ±N(p) hoặc là vector không. Với thuật ngữ này chúng ta có thể phát biểu Mệnh đề 3.3.2. Giá trị tuyệt đối của độ cong pháp của mặt S tại điểm p theo vector w bằng độ cong của lát cắt chuẩn tắc của S tại p dọc theo w. Ví dụ 6. Nếu S là mặt phẳng, thì N = 0. Cho nên DN = 0 và do đó II p = 0.Suy ra độ cong pháp của mặt tại mọi điểm theo mọi phương đều bằng 0. Có thể lập luận theo cách khác như sau: do tất cả các lát cắt chuẩn tắc của mặt đều là đường thẳng, có độ cong bằng 0 nên độ cong pháp của mặt tại mọi điểm theo mọi phương đều bằng 0. 6 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) Ví dụ 7. Xét mặt cầu S 2 với định hướng N(x, y, z) = (−x, −y, −z). Mỗi lát cắt chuẩn tắc là một đường tròn lớn, có độ cong hằng bằng 1. Từ đây suy ra độ cong pháp của mặt tại mọi điểm theo mọi phương đều bằng 1. Do ánh xạ tuyến tính DN p là liên hợp nên tồn tại cơ sở trực chuẩn {e 1 , e 2 } sao cho DN p (e 1 ) = −k 1 e 1 , DN p (e 2 ) = −k 2 e 2 . Nói cách khác −k 1 , −k 2 là các giá trị riêng, còn e 1 , e 2 là các vector riêng đơn vị lần lượt ứng với −k 1 , −k 2 của DN p . Chúng ta luôn giả thiết rằng k 1 ≤ k 2 . Định nghĩa 5. Các giá trị k 1 , k 2 được gọi là các độ cong chính, còn các vector riêng e 1 , e 2 xác định các phương gọi là các phương chính. Chúng ta có thể gọi các vector e 1 , e 2 là các vector chỉ phương chính. 3.3.2 Công thức Euler Giả sử {e 1 , e 2 } là một cơ sở trực chuẩn của T p S gồm toàn các vector riêng của DN p và v ∈ T p S, |v| = 1, v = cos θe 1 + sin θe 2 . Do đó II p (v) = −DN p (v), v = −k 1 cos θe 1 + k 2 sin θe 2 , cos θe 1 + sin θe 2  = k 1 cos 2 θ + k 2 sin 2 θ. Như vậy, chúng ta có công thức sau gọi là công thức Euler. k n (p, v) = k 1 cos 2 θ + k 2 sin 2 θ. (3.4) Nhận xét 3. Từ công thức Euler ta dễ dàng rút ra các nhận xét: các độ cong chính k 1 , k 2 lần lượt là các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của dạng cơ bản thứ hai II p trên đường tròn đơn vị trong T p S, tức là các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất độ cong pháp tại điểm p. 3.4 Độ cong Gauss và độ cong trung bình Định nghĩa 6. Cho (S, N) là mặt chính qui định hướng, p ∈ S và DN p là đạo hàm của ánh xạ Gauss N tại điểm p. ta se gọi 1. định thức của DN p là độ cong Gauss của S tại điểm p, ký hiệu K(p); 2. một nửa vết của −DN p , − 1 2 tr(DN p ), là độ cong trung bình của S tại p, ký iệu H(p). Nhận xét 4. 1. Dễ thấy K = k 1 .k 2 ; (3.5) H = k 1 + k 2 2 . (3.6) 7 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) 2. Nếu thay đổi hướng của mặt thì độ cong Gauss K không thay đổi còn độ cong trung bình H đổi dấu. Định nghĩa 7. Một điểm p của mặt S được gọi là 1. điểm elliptic nếu độ cong Gauss K > 0; 2. điểm hyperbolic nếu độ cong Gauss K < 0; 3. điểm parabolic nếu độ cong Gauss K = 0 và DN p = 0; 4. điểm phẳng (planar) nếu DN p = 0; 5. điểm rốn (umbilic) nếu k 1 = k 2 . Chúng ta có các nhận xét sau Nhận xét 5. 1. Tại các điểm elliptic, do K > 0 nên hai độ cong chính cùng dấu và do đó độ cong pháp theo mọi phương cùng dấu. Đều này cho thấy tất cả các đường cong đi qua điểm này có pháp vector chỉ về cùng một phía đối với mặt phẳng tiếp xúc. 2. Tại các điểm hypẻbolic, do do K < 0 nên hai độ cong chính khác dấu và do đó tồn tại các đường cong có pháp vector chỉ về cả hai phía của mặt phẳng tiếp xúc. 3. Tại các điểm parabolic, do K = 0 và DN p = 0 nên có một độ cong chính bằng 0 và một độ cong chính khác không. 4. Tại các điểm phẳng, cả hai ôộ cong chính đều bằng 0. 5. Điểm phẳng là trường hợp đặc biệt của điểm rốn. Tại các điểm rốn, do k 1 = k 2 nên DN p = k id T p S . Định lý 3.4.1. Nếu tất cả các điểm của một mặt liên thông S là điểm rốn thì S chứa trong một mặt cầu hoặc chứa trong một mặt phẳng. Chứng minh. Lấy p ∈ S và X(u, v) là một tham số hóa tại điểm p sao cho lân cận tọa độ V = X(U) là liên thông. Với mọi q ∈ V do q là điểm rốn nên với mọi v = a 1 X u + a 2 X v ∈ T q S, ta có DN q (v) = λ(q)v, (3.7) với λ(q) là hàm khả vi trên V. Ta sẽ chứng minh λ là hàm hằng trên V. Đẳng thức 3.7 được viết lại như sau a 1 N u + a 2 N v = λ(a 1 X u + a 2 X v ). (3.8) Do v là bất kỳ, ta suy ra N u = λX u (3.9) N v = λX v (3.10) Đạo hàm 3.9 theo v và đạo hàm 3.10 theo rồi trừ nhau ta được λ u X v − λ v X u = 0. (3.11) Do X u , X v độc lập tuyến tính ta suy ra λ u = λ v = 0, ∀q ∈ V. Do V la liên thông, ta suy ra λ = const. trên V. Ta có hai trường hợp 8 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) 1. Nếu λ = 0, ta suy ra N u = N v = 0. Do đó N =const. và DN p = 0. Ta có ∂ ∂u X, N  = X u , N  + X, 0 = 0; (3.12) ∂ ∂v X, N  = X v , N  + X, 0 = 0; (3.13) Vậy X, N  = const., do đó X(u, v) nằm trên mặt phẳng qua p với pháp vector N với mọi (u, v) ∈ U. 2. Nếu λ = 0, khi đó X(u, v) − 1 λ N(u, v) chỉ là một điểm cố định bởi vì ∂ ∂u (X(u, v) − 1 λ N(u, v)) = X u − 1 λ N u = 0; ∂ ∂v (X(u, v) − 1 λ N(u, v)) = X v − 1 λ N v = 0. Đặt I = X − 1 λ N, ta có |X(u, v) − I| 2 = 1 λ 2 . Vậy V chứa trong mặt cầu tâm I bán kính 1 |λ| . Như vậy chúng ta chỉ mới chứng minh định lý tại địa phương của từng điểm. Để có kết quả toàn cục, chúng ta cần đến tính chất liên thông của mặt. Với mọi p, q ∈ S, do S liên thông nên tồn tại đường tham số liên tục α[0, 1] −→ S nối p và q với α(0) = p và α(1) = q. Với mọi t ∈ [0, 1] tồn tại lân cận tọa độ V t của α(t) (có thể giả sử V t là các hình cầu) sao cho α −1 (V t ∩ α([0, 1]) là một khoảng mở của [0, 1]. Họ {α −1 (V t ∩ α([0, 1]); t ∈ [0, 1]} phủ đoạn [0, 1]. Do đoạn [0, 1] là compact, ta suy ra tồn tại phủ hữu hạn của đoạn [0, 1] và do đó α([0, 1]) được phủ bởi một họ hữu hạn các lân cận V t . 1. Nếu các điểm của một lân cận tọa độ V 0 thuộc một mặt phẳng ta suy ra tất cả các điểm thuộc mọi V t đều thuộc mặt phẳng đó. 2. Nếu các điểm của một lân cận tọa độ V 0 thuộc một mặt cầu ta suy ra tất cả các điểm thuộc mọi V t đều thuộc mặt cầu đó. Do q là điểm được lấy tùy ý ta suy ra điều phải chứng minh. ✷ 9 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) 3.5 Các công thức tính toán Cho (S, N ) là mặt chính qui định hướng và X : U −→ S là một tham số hóa địa phương của S tại điểm p ∈ S. Chúng ta giả sử định hướng N của S là tương thích với X, có nghĩa là N = X u ∧ X v |X u ∧ X v | . Từ N, N = 0, ta suy ra N, N u  = 0 và N, N v  = 0. Như vậy N u , N v ∈ T p S và do đó N u = a 11 X u + a 21 X v , N v = a 12 X u + a 22 X v ; và ma trận của DN p đối với cơ sở {X u , X v } là  a 11 a 12 a 21 a 22  Chúng ta xét ma trận của dạng cơ bản II p . Đặt e = II p (X u ) = −DN p (X u ), X u  = −N u , X u  = N, X uu , f = −DN p (X u ), X v  = −N v , X u  = N, X uv , g = II p (X v ) = −DN p (X v ), X v  = −N v , X v  = N, X vv . Ta có ma trận của II p đối với cơ sở {X u , X v } là  e f f g  Từ −e = N u , X u  = a 11 X u + a 21 X v , X u  = a 11 E + a 21 F, −f = N u , X v  = a 11 X u + a 21 X v , X v  = a 11 F + a 21 G = N v , X u  = a 12 X u + a 22 X v , X u  = a 12 E + a 22 F, −g = N v , X v  = a 12 X u + a 22 X v , X v  = a 12 F + a 22 G; ta có −  e f f g  =  a 11 a 21 a 12 a 22  E F F G  ; và do đó  a 11 a 21 a 12 a 22  = −  e f f g  E F F G  −1 . Với chú ý rằng  E F F G  −1 = 1 EG − F 2  G −F −F E  ta có các phương trình của Weingarten 10 [...]... độ cong Gauss K = 0 và Nv , Xv = Nv , Xu = 0 Từ đây suy ra rằng mặt phẳng tiếp xúc (tại các điểm chính qui) của một mặt khả triển là hằng dọc một đường sinh cố định 3. 6.2 Mặt cực tiểu Trong các đối tượng hình học, các mặt cực tiểu có lẽ là mặt được nghiên cứu nhiều nhất trong hình học vi phân Lý thuyết các mặt cực tiểu là một nhánh lớn của hình học vi phân và hiện nay có rất nhiều tài liệu vi t về... 2 2 K = 0, các điểm thuộc vào miền π < u < 3 có độ cong Gauss K < 0, các điểm thuộc vào các 2 2 0 miền < u < π2 và < 3 < u < 2π có độ cong Gauss K > 0 2 3. 6 3. 6.1 Mặt kẻ và mặt cực tiểu Mặt kẻ Cho α, w : I −→ R3 là hai hàm khả vi với I là một khoảng mở trong R và w(u) = 0, ∀u ∈ I Chúng ta sẽ xem α(u), u ∈ I là các điểm còn w(u), u ∈ I là các vector trong R3 Mặt tham số X(u, v) = α(u) + vw(u), u ∈... độ cong trung bình tại mọi điểm bằng không Cho X : Ω −→ R3 là một mặt tham số chính qui, D ⊂ Ω là miền bị chặn và h : D → R là một hàm khả vi Ta gọi một biến phân chuẩn tắc của X(D) xác định bởi h là ánh xạ ϕ : D × (− , ) −→ R3 xác định như sau ϕ(u, v, t) = X(u, v) + th(u, v)N (u, v), (u, v) ∈ D, t ∈ (− , ) Với mỗi t cố định, ánh xạ X t : D −→ R3 X t (u, v) −→ ϕ(u, v, t) là một mặt tham số Tính toán... độ cong Gauss và độ cong trung bình là cos u , r(a + r cos u) 1 a + 2r cos u H = (k1 + k2 ) = 2 r(a + r cos u) K = k1 k2 = 11 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) Chúng ta cũng có thể dùng công thức sau để tính độ cong Gauss và độ cong trung bình eg − f 2 , EG − F 2 1 eG − 2f F + gE H= 2 EG − F 2 K= Ta dễ dàng nhận thấy các điểm thuộc vào các đường tròn u = π và u = 3 có độ cong Gauss 2 2... chất này như một bài tập (Bài tập 3. 6) Bài tập 3. 4 Chứng minh rằng đường thắt không phụ thuộc vào đường chuẩn α Bài tập 3. 5 Chứng minh rằng các điểm kỳ dị của mặt kẻ nằm trên đường thắt Bài tập 3. 6 Chứng minh rằng tại các điểm chính qui, độ cong Gauss của mặt kẻ thỏa mãn K ≤ 0 và độ cong Gauss K = 0 dọc theo các đường sinh đi qua các điểm kỳ dị của đường thắt Bài tập 3. 7 Chứng minh rằng các mặt sau là... trụ và tìm các đường thắt của chúng 1 Mặt phẳng 2 Mặt trụ x2 + y 2 = 1 3 Mặt nón x2 + y 2 − x2 = 0 4 Mặt hyperboloid tròn xoay 1=tầng x2 + y 2 − z 2 = 1 5 Mặt paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa) x2 + y 2 − z 2 = −1 6 Mặt Helicoid với tham số hóa X(u, v) = (u cos v, u sin v, v) 13 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) Bài tập 3. 8 Mặt kẻ X(u, v) = α(u) + vw(u) được gọi là mặt kẻ khả triển nếu det(w,... theo hướng của vector H diện tích sẽ bắt đầu giảm đi PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE 15 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) Xét mặt S trong R3 là đồ thị của một hàm hai biến lớp C 2 , f : Ω ⊂ R2 −→ R3 , với Ω là một miền mở liên thông với bao đóng compact và biên trơn trong R2 Mặt S được biểu diễn bởi hàm vector X : Ω −→ R3 (x, y) −→ S(x, y) := (x, y, f (x, y) Các tính toán cụ thể cho ta Xx = (1, 0,... cực tiểu nếu và chỉ nếu x, y, z là các hàm điều hòa, nghĩa là X = 0 3. 7 3. 7.1 Các đường đặc biệt trên mặt Đường chính (line of curvature) Định nghĩa 10 Đường chính qui C ⊂ S mà tại mọi điểm p ∈ C phương tiếp xúc tại p của C là một phương chính của S tại p gọi là một đường chính 18 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) Mệnh đề 3. 7.1 (Olinde Rodrigues) Cho C ⊂ S là một đường chính qui và N là trường... const Từ đây chúng ta suy ra u = const và do đó u(t) = at + b 1 Nếu a, c = 0; ta có α là một đường xoắn ốc 2 Nếu a = 0, c = 0; ta có α là một đường sinh 3 Nếu a = 0, c = 0; ta có α là một đường tròn 21 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) Hình 3. 1: Các đường trắc địa trên mặt phẳng và các đường trắc địa tương ứng trên mặt trụ 22 ... quát chúng ta có thể giả sử p là gốc tọa độ và Tp X là mặt phẳng xy Theo bổ đề trên trong một lân cận của p, S có tham số hóa kiểu đồ thị Giả sử X(x, y) = 16 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) 2 2 (x, y, f (x, y)) Để thuận tiện cho vi c vi t các ký hiệu, ta đặt w = 1 + fx + fy , p = fx , q = fy Chúng ta có 2 1 + fx fx fy fy 2 2 − = − (fxx (1 + fy ) − 2fx fy fxy + fyy (1 + fx )) w w x w y 2 . DN p . Bài tập 3. 3. Mệnh đề sau cho ta một tính chất quan trọng của ánh xạ DN p . 4 Hình học vi phân (Giáo trình đang chỉnh lý) Mệnh đề 3. 2.1. Đạo hàm DN p : T p S −→ T p S của ánh xạ Gauss là tự. nhận được một ánh xạ khả vi N : X(U) −→ R 3 p −→ N(p). Cho V ⊂ S là tập mở. Một trường vector trên V là ánh xạ F : V −→ R 3 . Trường vector F được gọi là liên tục, khả vi nếu ánh xạ F có các tính. hình học, các mặt cực tiểu có lẽ là mặt được nghiên cứu nhiều nhất trong hình học vi phân. Lý thuyết các mặt cực tiểu là một nhánh lớn của hình học vi phân và hiện nay có rất nhiều tài liệu vi t