hình học vi phân – đại học huế

đường tham số với các vector tiếp xúc tại từng điểm là khác nhau vì có độ dài khác nhau.Ví dụ 10.. Hãy tính độ dài của đường xác định trên đoạn [0, 1] độ dài của đường từ điểm 0 đến 1 và

LỜI MỞ ĐẦU

Chúng tôi thành thật cám ơn Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế đã tạo điều kiện để bàigiảng này được ra đời Trong quá trình viết chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót Chúngtôi rất mong nhận được càng nhiều càng tốt những ý kiến đóng góp của bạn đọc, sinh viên cũngnhư các đồng nghiệp

Huế, ngày 16 tháng 01 năm 2006

Tác giả

Mục lục

1.1 Đường tham số 1

1.1.1 Định nghĩa đường tham số 1

1.1.2 Đường tham số chính quy Độ dài cung 4

1.2 Các tính chất địa phương của đường tham số trong R3 7

1.2.1 Độ cong 7

1.2.2 Trường mục tiêu Frénet 9

1.2.3 Độ xoắn Công thức Frénet 10

1.2.4 Công thức tính độ cong và độ xoắn 13

1.2.5 Định lý cơ bản cho đường tham số trong R3 15

1.3 Đường tham số trong R2 (Đường tham số phẳng) 17

1.3.1 Định lý cơ bản cho đường tham số phẳng 19

1.3.2 Đường tròn mật tiếp 20

1.3.3 Đường túc bế và đường thân khai 21

1.4 Một số tính chất toàn cục của các đường cong phẳng 23

1.4.1 Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu 24

1.4.2 Định lý bốn đỉnh 29

1.1.1 Định nghĩa đường tham số

Định nghĩa 1 Cho ánh xạ

c : I −→ Rn

với I ⊂ R là một khoảng (mở, đóng, nửa mở nửa đóng, nửa đường thẳng thực hoặc cả toàn bộ đường thẳng thực ) Gọi C = c(I) ⊂ Rn, ảnh của toàn bộ tập

I Khi đó (C, c) được gọi là một đường tham số (parametrized curve) với tham số

hóa c và tham số t C được gọi là vết của đường tham số.

Nếu c là hàm liên tục, khả vi lớp Ck, khả vi lớp C∞ thì tương ứng ta nói C là đường tham số liên tục, khả vi lớp Ck, khả vi lớp C∞ .

Giả sử c(t) = (x1(t), x2(t), , xn(t)), thì c khả vi lớp Ck (k = 0, 1, 2, ) có nghĩa

là các hàm thành phần

xi : I −→ R

khả vi lớp Ck (k = 0, 1, 2, ).

Nếu c là khả vi thì vector c0(t) := (x01(t), x02(t), , x0n(t)) ∈ Rn, gọi là vector tiếp

xúc hay vector vận tốc của C tại c(t) (hay của c tại t).

Chú ý.

1 Trong suốt giáo trình này, nếu không nói gì thêm, thuật ngữ khả vi được hiểu

là khả vi tại mọi điểm và khả vi đến lớp cần thiết Từ đây trở đi chúng ta chỉ xét các đường tham số khả vi Vì thế, khi không cần nhấn mạnh chúng ta sẽ

bỏ đi từ khả vi.

2 Để đơn giản, thay vì dùng ký hiệu đầy đủ (C, c) để chỉ đường tham số ta

có thể nói C là đường tham số nếu tham số hóa đã biết Thật ra tham số

hóa của đường tham số cho phép ta xác định được vết của nó nên khi nói

về đường tham số chỉ cần cho tham số hóa của nó là đủ Đây là lý do đa số các tài liệu đều đồng nhất đường tham số với tham số hóa của nó Chúng ta cũng sẽ làm như vậy trong suốt giáo trình này Nhiều tài liệu sử dụng thuật ngữ cung tham số thay vì đường tham số.

3 Khái niệm đường cong trong chương này sẽ được hiểu là vết của một đường tham số nào đó Về sau khái niệm này còn được hiểu theo một nghĩa rộng

hơn (xem Nhận xét ??, Chương II).

4 Các ví dụ dưới đây sẽ cho thấy một tập con C ⊂ Rn có thể có nhiều tham số hóa khác nhau Với hai tham số khác nhau sẽ cho các tính chất khác nhau.

Ví dụ 1 Chúng ta có thể xem đồ thị của hàm số y = f (x) với miền xác định

I ⊂ R như là vết của đường tham số c : I −→ R2; c(t) = (t, f (t)).

Ví dụ 2 Đường tham số (với tham số hóa)

c(t) = p + tv ∈ Rn,

là đường thẳng đi qua điểm p với vector vận tốc v.

Ví dụ 3 Đường tròn tâm O, bán kính r có một tham số hóa dạng

c(t) = (r cos t, r sin t),

Đường tham số C gọi là đường xoắn ốc Đường nằm trên mặt trụ x2+ y2 = a2 với

độ dốc 2πb Tham số t chính là góc giữa trục x với đường thẳng nối O với hình chiếu của c(t) lên mặt phẳng Oxy.

đường tham số với các vector tiếp xúc tại từng điểm là khác nhau vì có độ dài khác nhau.

Ví dụ 10 Hai ánh xạ c, r : R −→ R2, xác định bởi

c(t) = (t, t), r(t) = (t3, t3);

là hai tham số hóa của cùng một đường thẳng x = y Chúng xác định hai đường

tham số với các vector tiếp xúc tại từng điểm là khác nhau Hai đường cong này

mô tả hai chuyển động cùng quỹ đạo nhưng cách chuyển động hoàn toàn khác nhau Đường cong thứ nhất mô tả chuyển động đều trên đường thẳng Đường cong

tham số thứ hai mô tả chuyển động chậm dần (với t < 0), vận tốc tức thời bằng không tại t = 0, và sau đó (với t > 0) chuyển động nhanh dần

1.1.2 Đường tham số chính quy Độ dài cung

Định nghĩa 2 Cho đường tham số c : I −→ Rn Nếu c0(t) 6= 0 thì t (hay c(t)) gọi

là điểm chính quy còn những điểm mà c0(t) = 0 gọi là điểm kỳ dị Với mỗi t ∈ I

mà c0(t) 6= 0, chúng ta gọi đường thẳng đi qua c(t) với vector chỉ phương c0(t) là tiếp tuyến của c tại t.

điểm chính qui, tức là c0(t) 6= 0 với mọi t ∈ I.

Định nghĩa 3 Độ dài cung của một đường tham số chính quy c : I −→ Rn, từ

điểm t0 đến t, với t0, t ∈ I, được định nghĩa là số

Định nghĩa 4 Đường tham số chính qui c : I −→ Rn, (n = 2, 3) với |c(t)| = 1, ∀t

gọi là đường tham số với tham số là độ dài cung, hay với vector vận tốc đơn vị hay đường tham số với tham số hóa tự nhiên Tham số độ dài cung thường được

Định nghĩa 5 Hai đường tham số c : I −→ Rn, r : J −→ Rn gọi là tương đương

nếu tồn tại vi phôi ϕ : I −→ J sao cho c = r ◦ ϕ.

Nhận xét.

1 Dễ nhận thấy nếu đường tham số c là chính qui và r là đường tham số tương đương với nó thì r cũng chính qui Nếu ϕ0 < 0, thì c0 và r0 ngược chiều nhau.

Trong trường hợp này ta nói c và r là tương đương ngược hướng.

2 Nếu ϕ0 > 0, thì c0 và r0 cùng chiều Trong trường hợp này ta nói c và r là

tương đương cùng hướng.

3 Cho đường tham số chính qui c : [a, b] −→ Rn Khi đó ta có thể định nghĩa

độ dài của đường tham số c là số

L(c) =

Z b a

|c0(t)|dt.

Khi đó nếu hai đường tham số chính qui c : [a, b] −→ Rn và r : [c, d] −→ Rn

là tương đương thì L(c) = L(r) Thật vậy,

L(c) =

Z b a

|c0(t)|dt =

Z b a

|(r ◦ ϕ)0(t)|dt

Z b a

|(r0(ϕ(t))|.|ϕ0(t)|dt =

Z d c

|(r0(τ )|dτ

Ví dụ 11 Cho c : I −→ Rn là đường tham số chính qui với tham số là độ dài cung

với I = (a, b) Ta xác định đường tham số r : (−b, −a) −→ Rn, r(−s) = c(s) Khi

đó dễ thấy vết của c và r là trùng nhau, |r0(−s)| = |c0(s)|, nhưng r0(−s) = −c0(s).

Hai đường cong tham số này là ngược hướng nhau.

Chúng ta có định lý sau:

Định lý 1.1.1 Mọi đường tham số chính quy đều tồn tại đường tham số với tham

số là độ dài cung tương đương (cùng hướng) với nó.

Chứng minh Giả sử c : I −→ Rn là đường tham số với tham số không nhất thiết là độ dài cung Xét hàm

−1

| = 1 Như vậy β là đường tham số với tham số là độ dài cung tương đương với c.

Ví dụ 12 Cho đường tham số

c(t) = (a cos t, a sin t, bt); t ∈ R, a > 0, b 6= 0.

Hãy tính độ dài của đường xác định trên đoạn [0, 1] (độ dài của đường từ điểm 0 đến 1) và xác định tham số hóa với tham số độ dài cung tương đương với c.

Ta có

L(c|[0,1]) =

Z 1 0

|c0(t)|dt =

Z 1 0

Trong mục này chúng ta chỉ xét các đường tham số trong R3.

1.2.1 Độ cong.

Định nghĩa 6 Cho đường tham số với tham số là độ dài cung c : I −→ R3 Số

không âm |c00(s)| gọi là độ cong của c tại s và được ký hiệu là k(s) Khi đó ta có hàm không âm k : I −→ R, gọi là hàm độ cong của đường tham số c.

Ý nghĩa hình học của độ cong Gọi θ là góc giữa c0(s) và c0(s + 4s) (tính bằng

radian) thì

k(s) = lim

4s→0

θ

4s

Hình 1.3: Độ cong đo sự tách khỏi tiếp tuyến của đường tham số.

trong đó  → 0 khi 4s → 0 Từ đây,

lim

→0

Như vậy, độ dài của đường túc bế trên đoạn [a, b] chính là giá trị tuyệt đối của hiệu hai bán kính cong tại a và b của đường thân khai.

Ví dụ 15 Xét ellipse với tham số hóa

β(t) = (a cos t, b sin t).

Ta có quỹ tích tâm của đường tròn mật tiếp là đường tham số

Tìm đường thân khai Giả sử α : I −→ R2 là đường tham số chính qui với

tham số độ dài cung và với trường mục tiêu Frénet {t, n} Khi đó đường thân khai

β của α có một tham số hóa dạng

1.4 Một số tính chất toàn cục của các đường cong phẳng

Trong mục này chúng ta sẽ được giới thiệu một số tính chất toàn cục của các đường tham số Chúng ta hiểu tính chất toàn cục là các tính chất không phụ thuộc vào dáng điệu địa phương của đường tham số tại từng điểm mà phụ thuộc vào toàn bộ đường tham số Ngay cả đối với các đường tham số phẳng, các kết quả toàn cục thường rất thú vị, bất ngờ và sâu sắc Chúng tôi chọn ba chủ đề

để giới thiệu trong mục này Các kết quả toàn cục khác sẽ được giới thiệu trong một chương riêng hoặc trong các bài đọc thêm hoặc trong các giáo trình tiếp theo Chúng tôi sẽ giới thiệu 2 bài toán:

1 Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu (Isoperimetric problem and isoperimetric inequality);

2 Định lý 4 đỉnh (The Four Vertex Theorem);

Chúng ta hiểu một hàm khả vi trên đoạn đóng [a, b] là hạn chế của một hàm khả

vi trên một khoảng mở chứa [a, b].

cho

c(a) = c(b), c0(a) = c0(b), c00(a) = c00(b), Đường tham số chính qui phẳng c : [a, b] −→ R2 gọi là đơn nếu c là đơn ánh, nghĩa

là đường không tự cắt.

Định lý đường cong Jordan cho thấy rằng: mọi đường cong đơn đóng (đường cong

miền ngoài Điều này sẽ không đúng cho các đường cong đơn đóng trên các mặt khác, ví dụ mặt xuyến Khi chúng ta nói diện tích bao bởi đường cong đơn đóng

là ta muốn nói đến diện tích của miền trong.

Chúng ta cũng sẽ luôn giả sử rằng tham số hóa của đường tham số được chọn sao cho nếu di chuyển dọc đường cong theo chiều tăng của tham số thì phần trong luôn nằm về phía bên trái Các đường tham số như thế được gọi là định hướng dương.

1.4.1 Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu

Bài toán đẳng chu Trong tất cả các đường cong đóng trên mặt phẳng với độ

dài l cho trước, đường nào bao một diện tích lớn nhất.

Nghiệm của bài toán, đường tròn đã được biết từ lâu bởi những người Hy Lạp Nhưng một chứng minh thỏa đáng mãi lâu sau mới xuất hiện Lý do chính là các chứng minh trước đó đều giả thiết rằng nghiệm của bài toán là tồn tại.

Năm 1870, K Weierstrass chỉ ra nhiều bài toán tương tự mà nghiệm là không tồn tại và đưa ra một chứng minh đầy đủ cho bài toán đẳng chu Chứng minh của Weierstrass có phần khó vì nó là một hệ quả của lý thuyết các phép tính biến phân, bài toán cực tiểu (cực đại) một tích phân nào đó.

Về sau nhiều chứng minh đã được đưa ra Có lẽ chứng minh đơn giản nhất là của

E Schmidt vào năm 1936.

Về lịch sử các chứng minh của bài toán đẳng chu cũng như các bài toán mở rộng của bài toán trên như: bài toán đẳng chu cho không gian nhiều chiều; bài toán bong bóng đôi (double bubble); bài toán đẳng chu trong hoặc ngoài một miền lồi, bài toán đẳng chu trong các không gian với mật độ (density) sẽ được giới thiệu

ở phần đọc thêm hoặc trong các giáo trình tiếp theo.

Bất đẳng thức đẳng chu Trong tiểu mục này, chúng ta sẽ làm quen với một

bất đẳng thức, bất đẳng thức đẳng chu, nói lên ràng buộc giữa độ dài của đường cong đơn đóng và diện tích mà nó bao được Từ bất đẳng thức này chúng ta cũng suy ra được nghiệm của bài toán đẳng chu (trong mặt phẳng) Hiện nay, bất đẳng thức đẳng chu trên các mặt cực tiểu, bất đẳng thức đẳng chu ngoài một miền lồi, bất đẳng thức đẳng chu trên các không gian khác nhau đang còn là các vấn đề thời sự thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học lớn Chúng ta sẽ tìm hiểu cụ thể hơn về lãnh vực này ở phần đọc thêm hoặc ở các giáo trình tiếp theo.

Giả sử α : [a, b] −→ R2; α(t) = (x(t), y(t)) là đường tham số đơn đóng với định hướng dương Chúng ta có công thức tính diện tích A của phần trong của α như

sau

Bổ đề 1.4.1.

A = −

Z b a

y(t)x0(t)dt

=

Z b a

x(t)y0(t)dt

2

Z b a

(xy0− x0y))dt

(1.6)

Chứng minh Có thể tìm thấy chứng minh của các công thức này trong các giáo

trình giải tích cổ điển Sau day là phác thảo một chứng minh cho Bổ đề 1.4.1 Đẳng thức thứ hai suy ra từ đẳng thức thứ nhất vì

Z b a

xy0dt =

Z b a

(xy)0dt −

Z b a

x0ydt

= xy(a) − xy(b) −

Z b a

x0ydt = −

Z b a

Với giả thiết đường cong định hướng dương, sau khi đổi tham số, ta có

yx0dt

vì x0(t) = 0 dọc theo những đoạn song song với trục y.

Trong trường hợp tổng quát, chúng ta sẽ chia miền trong của α thành một số hữu hạn miền bằng các đường thẳng song song với E Theo chứng minh cho trường

hợp đặc biệt trên ta suy ra chứng minh cho trường hợp tổng quát (xem hình vẽ ) Chú ý rằng chúng ta chấp nhận kết quả sau:

Tồn tại đường thẳng E trong mặt phẳng sao cho khoảng cách ρ(t) từ α(t) đến E

là một hàm số khả vi với số các điểm tới hạn (ρ0(t) = 0) là hữu hạn.

Định lý 1.4.2 (Bất đẳng thức đẳng chu) Cho C là đường cong phẳng đơn, đóng

với độ dài l và diện tích miền trong là A Khi đó ta có

l2− 4πA ≥ 0.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi C là đường tròn.

Chứng minh Lấy E và E0 là hai đường thẳng song song không cắt C Di chuyển chúng theo hướng sao chúng tiếp xúc với C Chúng ta có hai tiếp tuyến song song

L và L0.

Xét đường tròn S1 tiếp xúc với L và L0 nhưng không cắt C Chọn hệ tọa độ như hình vẽ Tham số hóa C với tham số độ dài cung s

α(s) = (x(s), y(s))

sao cho định hướng của C là dương và các điểm tiếp xúc của C với L và L0 là

xy0ds A = πr2 = −

Z l 0

yx0ds.

Như vậy,

A + πr2 =

Z l 0

(xy0− yx0)ds ≤

Z l 0

p

(xy0− yx0)2ds

≤

Z l 0

q

(x2+ y2)((x0)2+ (y0)2)ds =

Z l 0

q

(x2+ y2)

=

Z l 0

rds = lr.

(1.7)

Chúng ta sẽ chứng minh C là đường tròn nếu đẳng thức xảy ra ở 1.10 Trong

trường hợp này, dấu bằng sẽ xảy ra ở 1.7 và 1.8

Do dấu bằng xảy ra ở 1.8 nên A = πr2 Như vậy l = 2πr và do đó r sẽ không phụ

thuộc vào phương của L Hơn nữa, dấu bằng xảy ra ở 1.7 cho thấy rằng

(xy0− yx0)2 = (x2+ y2)((x0)2+ (y0)2) hay

chúng ta có thể hoán đổi vị trí của x và y và nhận được y = ±tx0.

Tóm lại,

x2+ y2 = r2((x0)2+ (y0)2) = r2.

Nhận xét 1. 1 Chứng minh có thể áp dụng cho các đường cong lớp C1 với giả thiết đóng

α(a) = α(b), α0(a) = α0(b).

2 Bất đẳng thức đẳng chu còn đúng cho lớp các đường cong rộng hơn, các đường

cong C1 từng khúc Đó là các đường cong đơn đóng liên tục tạo bởi hữu hạn

các cung lớp C1 Các đường cong này có nhiều góc cạnh tại đó không tồn tại

tiếp tuyến (trường vector tiếp xúc không liên tục tai các điểm này).

1.4.2 Định lý bốn đỉnh

Cho c : [0, l] −→ R2, c(s) = (x(s), y(s)) là đường tham số đóng với tham số là độ

dài cung s Chúng ta gọi chỉ đồ tiếp xúc (tangent indicatrix) của c là đường tham

Suy ra θ0(s) = k(s) Dựa vào nhận xét này chúng ta có thể xác định hàm θ : [0, l] −→ R một cách toàn cục như sau:

θ(s) =

Z s 0

Nhận xét 2 Từ 1.11, chúng ta có

θ0 = k = x0y00 − x00y0 =

 arctan y

Nói một cách trực giác, θ(s) đo “độ quay toàn phần” của vector tiếp xúc Đó là

góc toàn phần mô tả bởi điểm t(s) trên chỉ đồ tiếp xúc, khi chúng ta đi từ 0 đến

s Vì c là đóng nên góc này, nếu đi từ 0 đến l sẽ là một bội I của 2π.

Z l 0

k(s)ds = θ(l) − θ(0) = 2πl.

Số nguyên I được gọi là chỉ số quay (rotation index) của đường cong c Các hình

dưới đây cho ta một số ví dụ cụ thể về chỉ số quay của một số đường cong.

Nhận xét 3.

Chỉ số quay sẽ thay đổi dấu nếu hướng của đường cong thay đổi.

Nếu chúng ta chọn hướng của đường cong là dương thì chỉ số quay sẽ không âm Một trong những kết quả quan trọng về chỉ số quay

Định lý 1.4.3 (The theorem of turning tangent) Chỉ số quay của một đường

cong đơn đóng luôn là ±1 Dấu của chỉ số quay phụ thuộc vào hướng được chọn

của đường cong.

Chúng ta không chứng minh định lý này ở đây Tham khảo chứng minh của định

lý này ở [?].

Một đường tham số chính qui phẳng (không nhất thiết đơn) c : [a, b] −→ R2 gọi

là lồi nếu với mọi t ∈ [a, b] toàn bộ vết của đường tham số sẽ nằm về một phía của một nửa mặt phẳng xác định bởi tiếp tuyến tại t.

Một đỉnh của một đường tham số chính qui phẳng c : [a, b] −→ R2 là điểm t ∈ [a, b]

Chứng minh Trước hết, chúng ta cần bổ đề sau:

Bổ đề 1.4.5 Cho c : [0, l] −→ R2, c(s) = (x(s), y(s)) là đường tham số phẳng

đóng với vector vận tốc đơn vị (tham số là độ dài cung) và A, B, C là các số thực

bất kỳ Khi đó

Z l 0

trong đó k là hàm độ cong của c.

Chứng minh Với các ký hiệu như trên, chúng ta có

k0ds = 0,

Z l 0

xk0ds = −

Z l 0

kx0ds = −

Z l 0

y00ds = 0,

Z l 0

yk0ds = −

Z l 0

ky0ds = −

Z l 0

x00ds = 0.

Ta suy ra

Z l 0

ds = 0.

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh Định lý 1.4.4 Nếu k là hàm hằng, suy ra c là đường tròn nên mọi điểm đều là đỉnh Giả sử k không phải là hàm hằng Do k liên tục trên [0, l], nên k đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [0, l] Như vậy, k có

ít nhất hai đỉnh c(s1) = p và c(s2) = q Dễ thấy, do k(0) = k(l) nên s1, s2 ∈ (0, l)

và s1 6= s2 Gọi L là đường thẳng qua p và q, và gọi α, β là hai cung của c xác

định bởi hai điểm p và q Chúng ta sẽ chứng minh rằng mỗi cung sẽ nằm về hai phía khác nhau của c, nếu không c sẽ phải cắt L tại một điểm r khác với p và q Giả sử p là điểm nằm giữa r và q Do c lồi nên L sẽ phải tiếp xúc với c tại điểm

p Nếu không, hai điểm r và q sẽ nằm về hai phía của tiếp tuyến tại p Một lần

nữa, do tính lồi của c ta suy ra L phải tiếp xúc với c tại cả ba điểm p, q, r Nếu

L ∈ C = c[0, l] thì do k(s1) = k(s2) = 0 nên suy ra k = 0 Điều này mâu thuẩn c

là đường tham số đóng và lồi Nếu L 6∈ C thì hai điểm q và r sẽ nằm về hai phía của tiếp tuyến tại một điểm gần p.

Do đó ta có điều khẳng định trên, α và β nằm về hai phía của đường thẳng L Nếu không có đỉnh nào khác k0(s) sẽ không đổi dấu trên α và β Khi đó, giả sử phương trình của L có dạng Ax + By + C = 0, chúng ta có thể chọn các hệ số

A, B, C thích hợp sao cho tích phân 1.12 dương Điều mâu thuẩn này chứng tỏ có

ít nhất một đỉnh thứ ba, giả sử thuộc α Nhưng do q và q là các điểm cực đại và cực tiểu nên k0 đổi dấu ít nhất hai lần trên α, tức là trên α có thêm ít nhất hai

đỉnh Như vậy, có ít nhất là bốn đỉnh.

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

Bài tập 1.1 Hãy xác định vết của các đường tham số sau:

1 (Đường hình số 8) c : R −→ R2, xác định bởi c(t) = (sin t, sin 2t);

2 (Đường cubic) c : R −→ R3, xác định bởi c(t) = (t, t2, t3).

Bài tập 1.2 Tìm một đường tham số α(t) mà vết là đường tròn x2+ y2 = 1, sao cho α(t) chạy quanh đường tròn cùng chiều kim đồng hồ và α(0) = (0, 1).

Bài tập 1.3 Cho đường tham số α(t) không đi qua gốc Giả sử α(t0) là điểm

trên vết của α gần với gốc tọa độ nhất Hãy chứng minh rằng α(t0) trực giao với

α0(t0).

Bài tập 1.4 Giả sử α(t) là đường tham số mà α00(t) = 0, với mọi t Chúng ta có thể kết luận gì về α?

Bài tập 1.5 Cho đường tham số α : I −→ R3 và v ∈ R3 là vector cố định Giả sử

rằng α0(t) trực giao với v, ∀t ∈ I và α(0) cũng trực giao với v Chứng minh rằng với mọi t ∈ I, α(t) trực giao với v.

Bài tập 1.6 Cho đường tham số α : I −→ R3, với α0(t) 6= 0, ∀t ∈ I Hãy chứng minh rằng |α(t)| = a 6= 0 (a là hằng số) khi và chỉ khi α(t) trực giao với

α0(t), ∀t ∈ I.

Bài tập 1.7 Hãy chứng minh rằng các tiếp tuyến của đường tham số α(t) =

(3t, 3t2, 2t3) tạo một góc không đổi với đường thẳng cố định y = 0; z = x.

Bài tập 1.8 Một đĩa tròn bán kính 1 trong mặt phẳng xy lăn không trượt dọc

theo trục x Khi đó một điểm nằm trên biên của đĩa vạch ra một đường cong gọi

là đường Cycloid.

1 Hãy tìm một tham số hóa của đường Cycloid và hãy xác định các điểm kỳ dị.

2 Tính độ dài một nhịp của đường Cycloid (ứng với một vòng quay của đĩa).

Bài tập 1.9 Vết của các đường tham số sau nằm trên những mặt quen thuộc

nào

1 c : t 7−→ (at cos t, at sin t,a22t2);

2 c : t 7−→ (sin 2t, 1 − cos 2t, 2 cos t).

Bài tập 1.10 Tính độ dài của các đường tham số phẳng sau trên đoạn [A, B] :

1 c : t 7−→ (t, t2);

2 c : t 7−→ (t, ln t);

3 c : t 7−→ (t, a coshat);

4 c : t 7−→ (a sin t, a(1 − cos t)) a > 0;

5 c : t 7−→ (a(ln tan2t + cos t, a sin t) a > 0.

Bài tập 1.11 Tính độ dài của các đường tham số sau:

1 c : t 7−→ (a(t − sin t), a(1 − cos t), 4a cos2t), giữa hai giao điểm của đường

với mặt phẳng y = 0;

2 c : t 7−→ (cos3t, sin3t, cos 2t), của một vòng khép kín;

3 c : t 7−→ (a cosh t, a sinh t, at), trong khoảng [0, b];

Bài tập 1.12 Tính độ dài của phần đường cong

(

x3 = 3a2y

2xz = a2giữa hai mặt phẳng y = a3 và y = 9a, với a 6= 0.

Bài tập 1.13 Cho đường tham số α : (0, π) −→ R2

α(t) = (sin t, cos t + ln tan( t

2 )),

ở đây t là góc mà trục y tạo với vector α0(t) Vết của α được gọi là đường tractrix.

Hãy chứng minh rằng:

1 α là đường tham số khả vi, chính qui ngoại trừ tại t = π2.

2 Khoảng cách từ tiếp điểm đến giao điểm của tiếp tuyến với trục y luôn bằng 1.

Bài tập 1.14 Cho đường tham số α : (−1, +∞) −→ R2 xác định bởi:

α(t) =



3at (1 + t3) ,

3at2(1 + t3)

Hợp của hai đường vừa mô tả là một đường đối xứng qua đường thẳng y = x

và được gọi là lá Descartes (folium of Descartes).

Bài tập 1.15 Cho đường tham số α(t) = (acbtcos t, acbtsin t), t ∈ R, a và b là hằng số, a > 0, b < 0.

1 Hãy chứng tỏ rằng khi t → +∞, thì α(t) tiến đến gốc O và xoắn quanh gốc

O, vì thế vết của α được gọi là đường xoắn logarithm (logarithmic Spiral).

2 Hãy chứng tỏ rằng α0(t) → (0, 0) khi t → +∞ và lim |α0(t)|dt là hữu hạn; nghĩa là α có độ dài hữu hạn trên đoạn [t0, ∞].

Bài tập 1.16 Xác định trường mục tiêu Frénet và tìm độ cong, độ xoắn tại điểm

tùy ý của các đường tham số sau:

5 c(t) = (cos3t, sin3t, cos 2t).

Bài tập 1.17 Cho đường tham số (helix)

1 Chứng minh rằng tham số là độ dài cung.

2 Xác định hàm độ cong và độ xoắn của α.

3 Xác định mặt phẳng mật tiếp của α.

4 Chứng minh rằng đường thẳng chứa n(s) và đi qua α(s) cắt trục z theo một

góc bằng π2 Chứng minh rằng tiếp tuyến với α tạo với trục z một góc không

đổi.

Bài tập 1.18 Tìm các điểm trên đường tham số c(t) = (a(t − sin t), a(1 −

cos t), 4a cos2t) mà tại đó bán kính cong đạt cực trị địa phương.

Bài tập 1.19 Chứng minh rằng nếu mặt phẳng pháp diện của một đường tham

số song chính qui trong R3 tại mọi điểm đều chứa một vector cố định thì cung đã cho là đường phẳng.

... uốn cong (ta

có độ cong) xoắn (ta có độ xoắn).

Ý nghĩa hình học độ xoắn Nếu gọi θ góc b(s) b(s + 4s) (tính

bằng radian) góc mặt... khái niệm trường mục tiêu Frénet, độ cong độ xoắn mang ý nghĩa trực

quan mặt hình học, định nghĩa độ cong k(t), độ xoắn τ (t), trường

mục tiêu Frénet...

Chứng minh Chứng minh tồn liên quan đến định lý tồn nhất

nghiệm phương trình vi phân thường Chúng ta chấp nhận tồn trình bày chứng minh tính sai khác phép dời thuận.

Chú