hình học vi phân – đại học huế

LỜI MỞ ĐẦU Chúng tôi thành thật cám ơn Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế đã tạo điều kiện để bài giảng này được ra đời. Trong quá trình viết chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi rất mong nhận được càng nhiều càng tốt những ý kiến đóng góp của bạn đọc, sinh viên cũng như các đồng nghiệp. Huế, ngày 16 tháng 01 năm 2006 Tác giả i Đạt Ma Trung 1 Mục lục 1 Lý thuyết đường 1 1.1 Đườngthamsố 1 1.1.1 Định nghĩa đường tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Đường tham số chính quy. Độ dài cung . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các tính chất địa phương của đường tham số trong R 3 7 1.2.1 Độcong 7 1.2.2 Trường mục tiêu Frénet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Độ xoắn. Công thức Frénet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4 Công thức tính độ cong và độ xoắn . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Định lý cơ bản cho đường tham số trong R 3 15 1.3 Đường tham số trong R 2 (Đường tham số phẳng) . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Định lý cơ bản cho đường tham số phẳng . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Đường tròn mật tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3 Đường túc b ế và đường thân khai . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Một số tính chất toàn cục của các đường cong phẳng . . . . . . . . 23 1.4.1 Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu . . . . . . . . 24 ii Đạt Ma Trung 2 Hình học vi phân 1.4.2 Định lý bốn đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iii Đạt Ma Trung 3 Chương 1 Lý thuyết đường 1.1 Đường tham số Phép tính vi tích phân là công cụ chủ yếu để nghiên cứu hình học vi phân. Do đó một cách tự nhiên và hợp lý nhất là để sử dụng công cụ này là đồng nhất chúng hoặc một bộ phận của chúng với các đối tượng của giải tích, các hàm khả vi. 1.1.1 Định nghĩa đường tham số Định nghĩa 1. Cho ánh xạ c : I −→ R n với I ⊂ R là một khoảng (mở, đóng, nửa mở nửa đóng, nửa đường thẳng thực hoặc cả toàn bộ đường thẳng thực . ). Gọi C = c(I) ⊂ R n , ảnh của toàn bộ tập I. Khi đó (C, c) được gọi là một đường tham số (parametrized curve) với tham số hóa c và tham số t. C được gọi là vết của đường tham số. Nếu c là hàm liên tục, khả vi lớp C k , khả vi lớp C ∞ . . . thì tương ứng ta nói C là đường tham số liên tục, khả vi lớp C k , khả vi lớp C ∞ Giả sử c(t)=(x 1 (t),x 2 (t), ,x n (t)), thì c khả vi lớp C k (k =0, 1, 2, ) có nghĩa là các hàm thành phần x i : I −→ R 1 Đạt Ma Trung 4 Hình học vi phân khả vi lớp C k (k =0, 1, 2, ). Nếu c là khả vi thì vector c  (t):=(x  1 (t),x  2 (t), ,x  n (t)) ∈ R n , gọi là vector tiếp xúc hay vector vận tốc của C tại c(t ) (hay của c tại t). Chú ý. 1. Trong suốt giáo trình này, nếu không nói gì thêm, thuật ngữ khả vi được hiểu là khả vi tại mọi điểm và khả vi đến lớp cần thiết. Từ đây trở đi chúng ta chỉ xét các đường tham số khả vi. Vì thế, khi không cần nhấn mạnh chúng ta sẽ bỏ đi từ khả vi. 2. Để đơn giản, thay vì dùng ký hiệu đầy đủ (C, c) để chỉ đường tham số ta có thể nói C là đường tham số nếu tham số hóa đã biết. Thật ra tham số hóa của đường tham số cho phép ta xác định được vết của nó nên khi nói về đường tham số chỉ cần cho tham số hóa của nó là đủ. Đây là lý do đa số các tài liệu đều đồng nhất đường tham số với tham số hóa của nó. Chúng ta cũng sẽ làm như vậy trong suốt giáo trình này. Nhiều tài liệu sử dụng thuật ngữ cung tham số thay vì đường tham số. 3. Khái niệm đường cong trong chương này sẽ đượ c hiểu là vết của một đường tham số nào đó. Về sau khái niệm này còn được hiểu theo một nghĩa rộng hơn (xem Nhận xét ??, Chương II). 4. Các ví dụ dưới đây sẽ cho thấy một tập con C ⊂ R n có thể có nhiều tham số hóa khác nhau. Với hai tham số khác nhau sẽ cho các tính chất khác nhau. Ví dụ 1. Chúng ta có thể xem đồ thị của hàm số y = f(x) với miền xác định I ⊂ R như là vết của đường tham số c : I −→ R 2 ; c(t)=(t, f(t)). Ví dụ 2. Đường tham số (với tham số hóa) c(t)=p + tv ∈ R n , là đường thẳng đi qua điểm p với vector vận tốc v. Ví dụ 3. Đường tròn tâm O, bán kính r có một tham số hóa dạng c(t)=(r cos t, r sin t), 2 Đạt Ma Trung 5 Hình học vi phân c(t)=(t, f (t) a b f (a) f (b) I c(I) Hình 1.1: c(t)=(t, f (t)). c I c(I) Hình 1.2: c(t)=(x(t),y(t)). Ví dụ 4. Đường parabol có một tham số hóa dạng c(t)=(t, t 2 ), Ví dụ 5. Cho đường tham số C với tham số hóa c(t)=(a cos t, a sin t, bt); t ∈ R,a>0,b=0. Đường tham số C gọi là đường xoắn ốc. Đường nằm trên mặt trụ x 2 + y 2 = a 2 với độ dốc 2πb. Tham số t chính là góc giữa trục x với đường thẳng nối O với hình chiếu của c(t) lên mặt phẳng Oxy. Ví dụ 6. Ánh xạ c : R −→ R 2 , xác định bởi c(t)=(t 3 ,t 2 ); t ∈ R, là tham số hóa của một đường tham số khả vi lớp C ∞ . Chú ý rằng c  (0) = (0, 0), tức là tại t =0vector vận tốc bằng 0. Ví dụ 7. Ánh xạ c : R −→ R 2 , xác định bởi c(t)=(t 3 − 4t, t 2 − 4); t ∈ R, là tham số hóa của một đường tham số khả vi lớp C ∞ . Chú ý rằng c(2) = c(−2) = (0, 0), tức là ánh xạ c không đơn ánh. 3 Đạt Ma Trung 6 Hình học vi phân Ví dụ 8. Ánh xạ c : R −→ R 2 , xác định bởi c(t)=(t, |t|); t ∈ R, là tham số hóa của một đường tham số liên tục không khả vi vì hàm y(t)=|t| không khả vi tại t. Ví dụ 9. Hai ánh xạ c, r : R −→ R 2 , xác định bởi c(t) = (cos t, sin t), r(t) = (cos 2t, sin 2t); là hai tham số hóa khác nhau của đường tròn x 2 + y 2 =1. Chúng xác định hai đường tham số với các vector tiếp xúc tại từng điểm là khác nhau vì có độ dài khác nhau. Ví dụ 10. Hai ánh xạ c, r : R −→ R 2 , xác định bởi c(t)=(t, t), r(t)=(t 3 ,t 3 ); là hai tham số hóa của cùng một đường thẳng x = y. Chúng xác định hai đường tham số với các vector tiếp xúc tại từng điểm là khác nhau. Hai đường cong này mô tả hai chuyển động cùng quỹ đạo nhưng cách chuyển động hoàn toàn khác nhau. Đường cong thứ nhất mô tả chuyển động đều trên đường thẳng. Đường cong tham số thứ hai mô tả chuyển động chậm dần (với t<0), vận tốc tức thời bằng không tại t =0, và sau đó (với t>0) chuyển động nhanh dần . 1.1.2 Đường tham số chính quy. Độ dài cung Định nghĩa 2. Cho đường tham số c : I −→ R n . Nếu c  (t) =0thì t (hay c(t)) gọi là điểm chính quy còn những điểm mà c  (t)=0gọi là điểm kỳ dị. Với mỗi t ∈ I mà c  (t) =0, chúng ta gọi đường thẳng đi qua c(t) với vector chỉ phương c  (t) là tiếp tuyến của c tại t. Đường tham số c : I −→ R n gọi là đường tham số chính quy nếu mọi điểm đều là điểm chính qui, tức là c  (t) =0với mọi t ∈ I. 4 Đạt Ma Trung 7 Hình học vi phân Định nghĩa 3. Độ dài cung của một đường tham số chính quy c : I −→ R n , từ điểm t 0 đến t, với t 0 ,t ∈ I, đượ c định nghĩa là số s(t)=  t t 0 |c  (t)|dt. Do c  (t) =0nên độ dài cung là một hàm khả vi của t và ds dt = |c  (t)|. Định nghĩa 4. Đường tham số chính qui c : I −→ R n , (n =2, 3) với |c(t)| =1, ∀t gọi là đường tham số với tham số là độ dài cung, hay với vector vận tốc đơn vị hay đường tham số với tham số hóa tự nhiên. Tham số độ dài cung thường được ký hiệu là s. Nếu ta có |c  (t)| =1, thì  t t 0 dt = t − t 0 . Do đó độ dài cung của c là số đo từ một tham số nào đó. Trong trường hợp t 0 =0, thì s(t)=t. Điều này giải thích thuật ngữ tham số độ dài cung. Định nghĩa 5. Hai đường tham số c : I −→ R n ,r : J −→ R n gọi là tương đương nếu tồn tại vi phôi ϕ : I −→ J sao cho c = r ◦ ϕ. Nhận xét. 1. Dễ nhận thấy nếu đường tham số c là chính qui và r là đường tham số tương đương với nó thì r cũng chính qui. Nếu ϕ  < 0, thì c  và r  ngược chiều nhau. Trong trường hợp này ta nói c và r là tương đương ngược hướng. 2. Nếu ϕ  > 0, thì c  và r  cùng chiều. Trong trường hợp này ta nói c và r là tương đương cùng hướng. 3. Cho đường tham số chính qui c :[a, b] −→ R n . Khi đó ta có thể định nghĩa độ dài của đường tham số c là số L(c)=  b a |c  (t)|dt. 5 Đạt Ma Trung 8 Hình học vi phân Khi đó nếu hai đường tham số chính qui c :[a, b] −→ R n và r :[c, d] −→ R n là tương đương thì L(c)=L(r). Thật vậy, L(c)=  b a |c  (t)|dt =  b a |(r ◦ϕ)  (t)|dt  b a |(r  (ϕ(t))|.|ϕ  (t)|dt =  d c |(r  (τ )|dτ Ví dụ 11. Cho c : I −→ R n là đường tham số chính qui với tham số là độ dài cung với I =(a, b). Ta xác định đường tham số r :(−b, −a) −→ R n ,r(−s)=c(s). Khi đó dễ thấy vết của c và r là trùng nhau, |r  (−s)| = |c  (s)|, nhưng r  (−s)=−c  (s). Hai đường cong tham số này là ngược hướng nhau. Chúng ta có định lý sau: Định lý 1.1.1. Mọi đường tham số chính quy đều tồn tại đường tham số với tham số là độ dài cung tương đương (cùng hướng) với nó. Chứng minh. Giả sử c : I −→ R n là đường tham số với tham số không nhất thiết là độ dài cung. Xét hàm s = s(t)=  t t 0 |c  (t)|dt, t, t 0 ∈ I. Do ds dt = |c  (t)| > 0, hàm s = s(t) có hàm ngược khả vi t = t(s) ∈ s(I)=J. Để đơn giản về mặt ký hiệu ta dùng t để chỉ hàm ngược của s tức là t = s − 1. Đặt β = c◦t : J −→ R n , thì dễ thấy β(J )=c(I) và |β  (s)| = |c  (t). dt ds | = |c  (t).  ds dt  −1 | =1. Như vậy β là đường tham số với tham số là độ dài cung tương đương với c. Ví dụ 12. Cho đường tham số c(t)=(a cos t, a sin t, bt); t ∈ R,a>0,b=0. Hãy tính độ dài của đường xác định trên đoạn [0, 1] (độ dài của đường từ điểm 0 đến 1) và xác định tham số hóa với tham số độ dài cung tương đương với c. 6 Đạt Ma Trung 9 Hình học vi phân Ta có L(c| [0,1] )=  1 0 |c  (t)|dt =  1 0  a 2 + b 2 dt =  a 2 + b 2 . Đặt s(t)=  t 0 |c  (t)|dt =  a 2 + b 2 t. Suy ra t(s)= s √ a 2 + b 2 . Như vậy ta có tham số hóa với tham số là độ dài cung r(s)=  a cos s √ a 2 + b 2 ,asin s √ a 2 + b 2 ,b s √ a 2 + b 2  . 1.2 Các tính chất địa phương của đường tham số trong R 3 Trong mục này chúng ta chỉ xét các đường tham số trong R 3 . 1.2.1 Độ cong. Định nghĩa 6. Cho đường tham số với tham số là độ dài cung c : I −→ R 3 . Số không âm |c  (s)| gọi là độ cong của c tại s và được ký hiệu là k(s). Khi đó ta có hàm không âm k : I −→ R, gọi là hàm độ cong của đường tham số c. Ý nghĩa hình học của độ cong. Gọi θ là góc giữa c  (s) và c  (s + s) (tính bằng radian) thì k(s) = lim s→0     θ s     . Thật vậy, ta có |2 sin θ 2 | = |c  (s + s) − c  (s)| = |s(c  (s)+)|, 7 Đạt Ma Trung 10 [...]... đơn đóng luôn là ±1 Dấu của chỉ số quay phụ thuộc vào hướng được chọn của đường cong Chúng ta không chứng minh định lý này ở đây Tham khảo chứng minh của định lý này ở [?] 30 33 Hình học vi phân Đạt Ma Trung 31 34 Hình học vi phân Đạt Ma Trung Một đường tham số chính qui phẳng (không nhất thiết đơn) c : [a, b] −→ R2 gọi là lồi nếu với mọi t ∈ [a, b] toàn bộ vết của đường tham số sẽ nằm về một phía của... trực quan về mặt hình học, chúng ta sẽ định nghĩa độ cong k(t), độ xoắn τ (t), trường mục tiêu Frénet {t(t), n(t), b(t)} của c tại t chính là các độ cong k(s(t)), độ xoắn τ (s(t)), trường mục tiêu Frénet {t(s(t)), n(s(t)), b(s(t))}của c tại s(t) Như vậy, chúng ta có các định nghĩa: k(t) := k(s(t)), τ (t) := τ (s(t)), t(t) := t(s(t)), n(t) := n(s(t)), b(t)} := b(s(t)) 13 16 Hình học vi phân Đạt Ma Trung... cong đại số của nó bằng nhau về giá trị tuyệt đối 3 Chúng ta có thể xây dựng công thức xác định trường mục tiêu Frénet và độ cong đại số của đường tham số phẳng với tham số bất kỳ như sau Giả sử c : I −→ R2 là đường tham số phẳng với tham số bất kỳ và c : J −→ R2 là đường tham số với tham số độ dài cung tương đương c Ta có c = c(s); c = s c = s t; c = (s )2t + s t = k(s )2n + s t 17 20 Hình học vi phân. .. tiêu Frénet và độ cong đại số của đường tham số c(t) = (t, sin t) Ta có c (t) = (1, cos t) c (t) = (0, − sin t) Nên 1 (1, cos t); 1 + cos2 t 1 (− cos t, 1) n(t) = √ 1 + cos2 t t(t) = √ Do đó k(t) = Chúng ta nhận thấy c (t).n(t) − sin(t) = 3 |c (t)|2 (1 + cos2 t) 2  k(t) > 0  k(t) = 0   k(t) < 0 t ∈ (−π + 2kπ, 2kπ) t = kπ t ∈ (2kπ, π + 2kπ) 18 21 Hình học vi phân Đạt Ma Trung Hình vẽ 1.3.1 Định... xy(a) − xy(b) − b x ydt = − a x ydt a Còn đẳng thức thứ ba được suy ra từ hai đẳng thức đầu Trước hết chúng sẽ chứng minh Bổ đề 1.4.1 cho trường hợp đơn giản như hình vẽ dưới đây Theo hình vẽ, ta có x1 x1 f1 dx − A= x0 f2 dx x0 25 28 Hình học vi phân Đạt Ma Trung Với giả thiết đường cong định hướng dương, sau khi đổi tham số, ta có t1 A=− t3 yx dt − a b yx dt = − t2 yx dt a vì x (t) = 0 dọc theo những... (s) ⊥ t(s) và do đó b (s)cùng phương với n(s) Như vậy có hàm số τ : I −→ R sao cho với mọi s ∈ I b (s) = −τ (s).n(s) 10 13 Hình học vi phân Đạt Ma Trung Ta gọi τ (s) là độ xoắn của đường tại s (hay tại c(s)) và gọi τ là hàm độ xoắn của c Độ cong và độ xoắn là các bất biến hình học giúp chúng ta biết được nhiều về dáng điệu địa phương của đường trong các lân cận Chúng ta thử tính đạo hàm của n(s) n... đối của hiệu hai bán kính cong tại a và b của đường thân khai Ví dụ 15 Xét ellipse với tham số hóa β(t) = (a cos t, b sin t) 21 24 Hình học vi phân Đạt Ma Trung Ta có quỹ tích tâm của đường tròn mật tiếp là đường tham số X(t) = a2 − b2 cos3 t, a a2 − b2 3 Y (t) = sin t a hình vẽ Tìm đường thân khai Giả sử α : I −→ R2 là đường tham số chính qui với tham số độ dài cung và với trường mục tiêu Frénet {t,... là các vấn đề thời sự thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học lớn Chúng ta sẽ tìm hiểu cụ thể hơn về lãnh vực này ở phần đọc thêm hoặc ở các giáo trình tiếp theo Giả sử α : [a, b] −→ R2 ; α(t) = (x(t), y(t)) là đường tham số đơn đóng với định hướng dương Chúng ta có công thức tính diện tích A của phần trong của α như sau 24 27 Hình học vi phân Đạt Ma Trung Bổ đề 1.4.1 b A=− y(t)x (t)dt a b (1.6) x(t)y.. .Hình học vi phân Đạt Ma Trung c (s) c (s) c(s + ) θ c (s + ) Hình 1.3: Độ cong đo sự tách khỏi tiếp tuyến của đường tham số trong đó → 0 khi lim →0 s → 0 Từ đây, θ 2 sin θ θ 2 2 = lim θ s→0 sin s s 2 = lim s→0 θ 2 sin θ 2 lim |c... theo hướng sao chúng tiếp xúc với C Chúng ta có hai tiếp tuyến song song L và L Xét đường tròn S 1 tiếp xúc với L và L nhưng không cắt C Chọn hệ tọa độ như hình vẽ Tham số hóa C với tham số độ dài cung s α(s) = (x(s), y(s)) 26 29 Hình học vi phân Đạt Ma Trung sao cho định hướng của C là dương và các điểm tiếp xúc của C với L và L là s = 0, s = s1 Chúng ta có thể giả sử S 1 có tham số hóa là α(s) = . LỜI MỞ ĐẦU Chúng tôi thành thật cám ơn Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế đã tạo điều kiện để bài giảng này được ra đời. Trong quá trình vi t chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót Ma Trung 2 Hình học vi phân 1.4.2 Định lý bốn đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iii Đạt Ma Trung 3 Chương 1 Lý thuyết đường 1.1 Đường tham số Phép tính vi tích phân là công. 2, ) có nghĩa là các hàm thành phần x i : I −→ R 1 Đạt Ma Trung 4 Hình học vi phân khả vi lớp C k (k =0, 1, 2, ). Nếu c là khả vi thì vector c  (t):=(x  1 (t),x  2 (t), ,x  n (t)) ∈ R n ,