Trong mục này chúng ta sẽ được giới thiệu một số tính chất toàn cục của các đường tham số. Chúng ta hiểu tính chất toàn cục là các tính chất không phụ thuộc vào dáng điệu địa phương của đường tham số tại từng điểm mà phụ thuộc vào toàn bộ đường tham số. Ngay cả đối với các đường tham số phẳng, các kết quả toàn cục thường rất thú vị, bất ngờ và sâu sắc. Chúng tôi chọn ba chủ đề để giới thiệu trong mục này. Các kết quả toàn cục khác sẽ được giới thiệu trong một chương riêng hoặc trong các bài đọc thêm hoặc trong các giáo trình tiếp theo. Chúng tôi sẽ giới thiệu 2 bài toán:
1. Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu (Isoperimetric problem and isoperimetric inequality);
2. Định lý 4 đỉnh (The Four Vertex Theorem);
Chúng ta hiểu một hàm khả vi trên đoạn đóng [a, b] là hạn chế của một hàm khả vi trên một khoảng mở chứa [a, b].
Một đường tham số phẳng đóng là đường tham số chính qui c; [a, b] −→ R2 sao cho
c(a) =c(b), c0(a) = c0(b), c00(a) =c00(b), . . . .
Đường tham số chính qui phẳng c : [a, b] −→R2 gọi là đơn nếuc là đơn ánh, nghĩa là đường không tự cắt.
Định lý đường cong Jordan cho thấy rằng: mọi đường cong đơn đóng (đường cong Jordan đóng) trên mặt phẳng R2 chia mặt phẳng thành hai miền, miền trong và
miền ngoài. Điều này sẽ không đúng cho các đường cong đơn đóng trên các mặt khác, ví dụ mặt xuyến. Khi chúng ta nói diện tích bao bởi đường cong đơn đóng là ta muốn nói đến diện tích của miền trong.
Chúng ta cũng sẽ luôn giả sử rằng tham số hóa của đường tham số được chọn sao cho nếu di chuyển dọc đường cong theo chiều tăng của tham số thì phần trong luôn nằm về phía bên trái. Các đường tham số như thế được gọi là định hướng dương.