Luận văn: Một số bất đẳng thức hình học pot

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Hoàng Ngọc Quang MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc Thái Nguyên - 2011 www.VNMATH.com Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Ngày tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu tại Thư viện Đại học Thái Nguyên www.VNMATH.com 1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác 6 1.1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác . 8 1.2.1. Các đẳng thức cơ bản trong tam giác . . . . . . . 8 1.2.2. Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác . . . . . 10 1.3. Bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Bất đẳng thức về độ dài các cạnh . . . . . . . . . 11 1.3.2. Bất đẳng thức về các đại lượng đặc biệt . . . . . 14 1.4. Các bất đẳng thức sinh ra từ các công thức hình học . . 17 1.5. Bất đẳng thức trong các tam giác đặc biệt . . . . . . . . 23 1.5.1. Các bất đẳng thức trong tam giác đều . . . . . . 23 1.5.2. Các bất đẳng thức trong tam giác vuông và tam giác cân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.6. Các bất đẳng thức khác trong tam giác . . . . . . . . . . 29 1.7. Các bất đẳng thức trong tứ giác . . . . . . . . . . . . . . 40 1.7.1. Các bất đẳng thức cơ bản trong tứ giác . . . . . . 41 1.7.2. Các bất đẳng thức khác trong tứ giác . . . . . . . 45 Chương 2. Bất đẳng thức Ptolemy và các mở rộng 48 2.1. Định lí Ptolemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2. Bất đẳng thức Ptolemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3. Định lí Bretschneider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.4. Định lí Casey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.5. Mở rộng bất đẳng thức Ptolemy trong không gian . . . . 68 www.VNMATH.com 2 Chương 3. Bất đẳng thức Erdos-Mordell và các mở rộng 70 3.1. Bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tam giác . . . . . . . 70 3.2. Bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tam giác mở rộng . . 79 3.3. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tứ giác . . . 85 3.4. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong đa giác . . . 87 3.5. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tứ diện . . . 90 Chương 4. Các bất đẳng thức có trọng 92 4.1. Bất đẳng thức dạng Hayashi và các hệ quả . . . . . . . . 92 4.1.1. Bất đẳng thức Hayashi . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.1.2. Các hệ quả của bất đẳng thức hyashi . . . . . . . 94 4.1.3. Bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.2. Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng và các hệ quả . . . 96 4.2.1. Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng . . . . . . . 96 4.2.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Weizenbock suy rộng101 4.3. Bất đẳng thức Klamkin và các hệ quả . . . . . . . . . . 105 4.3.1. Bất đẳng thức Klamkin . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Klamkin . . . . . . 106 4.4. Bất đẳng thức Jian Liu và các hệ quả . . . . . . . . . . 108 4.4.1. Bất đẳng thức Jian Liu . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Jian Liu . . . . . . 110 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 www.VNMATH.com 3 Mở đầu Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thuộc loại những bài toán khó, làm cho học sinh phổ thông, nhất là phổ thông cơ sở kể cả học sinh giỏi lúng túng khi gặp các bài toán loại này. Thực sự nó là một phần rất quan trọng của hình học và những kiến thức về bất đẳng thức trong hình học cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng của toán học. So với các bất đẳng thức đại số, các bất đẳng thức hình học chưa được quan tâm nhiều. Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyết vấn đề này là vì phương pháp tiếp cận không phải là các phương pháp thông thường hay được áp dụng trong hình học và càng không phải là phương pháp đại số thuần túy. Để giải một bài toán về bất đẳng thức hình học cần thiết phải biết vận dụng các kiến thức hình học và đại số một cách thích hợp và nhạy bén. Luận văn này giới thiệu một số bất đẳng thức hình học từ cơ bản đến nâng cao và mở rộng. Các bài toán về bất đẳng thức hình học được trình bày trong luận văn này có thể tạm phân thành các nhóm sau: I. Nhóm các bài toán mà trong lời giải đòi hỏi nhất thiết phải có hình vẽ. Phương pháp giải các bài toán nhóm này chủ yếu là "phương pháp hình học", như vẽ thêm đường phụ, sử dụng tính chất giữa đường vuông góc và đường xiên, giữa đường thẳng và đường gấp khúc, quan hệ giữa các cạnh, giữa cạnh và góc trong một tam giác, hay tứ giác v.v Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng thuộc nhóm này là nội dung thường gặp trong các kì thi chọn học sinh giỏi toán hay thi vào các trường chuyên. II. Nhóm thứ hai gồm các bài toán mà khi giải chúng cần phải sử dụng các hệ thức lượng đã biết, như các hệ thức lượng giác, hệ thức đường trung tuyến, đường phân giác, công thức các bán kính, công thức www.VNMATH.com 4 diện tích của tam giác v.v Các bài toán này đã được quan tâm nhiều và chúng được trình bày khá phong phú trong các tài liệu [4,7], vì thế luận văn này sẽ không đề cập nhiều đến các bất đẳng thức trong tam giác có trong các tài liệu trên mặc dù chúng rất hay mà chỉ nêu ra một số bất đẳng thức cơ bản nhất để tiện sử dụng sau này. III. Nhóm thứ ba gồm các bài toán liên quan đến các bất đẳng thức hình học nổi tiếng, đặc biệt là bất đẳng thức Ptolemy và bất đẳng thức Erdos-Mordell và các bất đẳng thức có trọng như bất đẳng thức Hayshi, bất đẳng thức Weizenbock, bất đẳng thức Klamkin v.v Các bất đẳng thức này còn ít được giới thiệu bằng Tiếng Việt và thường gặp trong các đề thi Olympic Quốc tế. Bản luận văn "Một số bất đẳng thức hình học" gồm có mở đầu, bốn chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1. Các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác. Chương này trình bày một số bất đẳng thức thuộc nhóm I và nhóm II. Chương 2. Bất đẳng thức Ptolemy và các mở rộng. Chương này trình bày đẳng thức Ptolemy, bất đẳng thức Ptolemy và các bài toán áp dụng. Các bài toán này chủ yếu được trích ra từ các đề thi vô địch các nước, đề thi vô địch khu vực và đề thi IMO, một số là do tác giả sáng tác. Ngoài ra, còn trình bày một số mở rộng bất đẳng thức Ptolemy trong tứ giác và trong tứ diện. Chương 3. Bất đẳng thức Erdos - Mordell và các mở rộng. Chương này trình bày bất đẳng thức Edos-Mordell và các bài toán liên quan. Ngoài ra, còn trình bày một số mở rộng bất đẳng thức này trong tam giác, trong tứ giác và trong đa giác [11-13]. Chương 4. Các bất đẳng thức có trọng. Chương này trình bày một số bất đẳng thức liên quan đến tổng khoảng cách từ một hay nhiều điểm của mặt phẳng đến các đỉnh hoặc các cạnh của tam giác với các tham số dương tùy ý được gọi là trọng số hay gọi tắt là trọng. Đó là các bất đẳng thức Hyashi, Weizenbock, Klamkin, Jian www.VNMATH.com 5 Liu, v.v Các bất đẳng thức này còn ít được giới thiệu bằng Tiếng Việt, một số là kết quả nghiên cứu của các chuyên gia Quốc tế trong lĩnh vực bất đẳng thức hình học [9,13-14]. Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của Thầy, tới các thầy cô trong Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo và Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học. Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới Sở GD - ĐT tỉnh Yên Bái, Ban Giám đốc, các đồng nghiệp Trung tâm GDTX - HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên đã tạo điều kiện cho tác giả học tập và hoàn thành kế hoạch học tập. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 6 năm 2011. Tác giả Hoàng Ngọc Quang www.VNMATH.com 6 Chương 1 Các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác Chương này trình bày các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác từ cơ bản đến nâng cao. Nội dung chủ yếu được hình thành từ các tài liệu [1-7], [10], [12] và [15]. Kí hiệu ∆ABC là tam giác ABC với các đỉnh là A, B, C. Để thuận tiện, độ lớn của các góc ứng với các đỉnh A, B, C cũng được kí hiệu tương ứng là A, B, C. Độ dài các cạnh của tam giác: BC = a, CA = b, AB = c. Nửa chu vi của tam giác: p = a + b + c 2 . Đường cao với các cạnh: h a , h b , h c . Đường trung tuyến với các cạnh: m a , m b , m c . Đường phân giác với các cạnh: l a , l b , l c . Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp: R và r. Bán kính đường tròn bàng tiếp các cạnh: r a , r b , r c . Diện tích tam giác ABC: S, S ABC hay [ABC]. Để giải được các bài toán bất đẳng thức hình học, trước hết ta cần trang bị những kiến thức cơ sở đó là các bất đẳng thức đại số cơ bản và các đẳng thức, bất đẳng thức đơn giản trong tam giác. 1.1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản Định lý 1.1. (Bất đẳng thức AM-GM) Giả sử a 1 , a 2 , ··· , a n là các số thực không âm. Khi đó a 1 + a 2 + ···+ a n n ≥ n √ a 1 a 2 a n . (1.1) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = ··· = a n . www.VNMATH.com 7 Hệ quả 1.1. Với mọi bộ số dương a 1 , a 2 , ··· , a n ta có n √ a 1 a 2 a n ≥ n 1 a 1 + 1 a 2 + ···+ 1 a n . (1.2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = ··· = a n . Hệ quả 1.2. Với mọi bộ số dương a 1 , a 2 , ··· , a n ta có 1 a 1 + 1 a 2 + ···+ 1 a n ≥ n 2 a 1 + a 2 + ···+ a n . (1.3) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = = a n . Hệ quả 1.3. Với mọi bộ số không âm a 1 , a 2 , ··· , a n và m = 1, 2, ··· ta có a m 1 + a m 2 + ···+ a m n n ≥  a 1 + a 2 + ···+ a n n  m . (1.4) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = ··· = a n . Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Cho hai dãy số thực a 1 , a 2 , ··· , a n và b 1 , b 2 , ··· , b n . Khi đó (a 1 b 1 + a 2 b 2 + ··· + a n b n ) 2 ≤  a 2 1 + a 2 2 + ··· + a 2 n  b 2 1 + b 2 2 + ··· + b 2 n  . (1.5) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 1 b 1 = a 2 b 2 = ··· = a n b n . Định lý 1.3. (Bất đẳng thức Jensen) Cho f(x) là hàm số liên tục và có đạo hàm cấp hai trên I (a, b) và n điểm x 1 , x 2 , ··· , x n tùy ý trên đoạn I (a, b). Khi đó i, Nếu f  (x) > 0 với mọi x ∈ I (a, b) thì f(x 1 ) + f(x 2 ) + ··· + f(x n ) ≥ nf  x 1 + x 2 + ···+ x n n  . ii, Nếu f  (x) < 0 với mọi x ∈ I (a, b) thì f(x 1 ) + f(x 2 ) + ··· + f(x n ) ≤ nf  x 1 + x 2 + ···+ x n n  . Ở đây I (a, b) nhằm ngầm định là một trong bốn tập hợp (a, b) , [a, b) , (a, b] , [a, b]. www.VNMATH.com 8 Định lý 1.4. (Bất đẳng thức Chebyshev) Cho hai dãy số thực đơn điệu cùng chiều a 1 , a 2 , ··· , a n và b 1 , b 2 , ··· , b n . Khi đó ta có a 1 b 1 + a 2 b 2 ··· + a n b n ≥ 1 n (a 1 + a 2 + ··· + a n ) (b 1 + b 2 + ··· + b n ) . (1.6) Nếu hai dãy số thực a 1 , a 2 , ··· , a n và b 1 , b 2 , ··· , b n đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức trên đổi chiều. Định lý 1.5. (Bất đẳng thức Nesbitt) Cho a, b, c là các số thực dương. Bất đẳng thức sau luôn đúng a b + c + b c + a + c a + b ≥ 3 2 . (1.7) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. 1.2. Các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác 1.2.1. Các đẳng thức cơ bản trong tam giác Định lý 1.6. (Định lý hàm số sin) Trong tam giác ABC ta có a sin A = b sin B = c sin C = 2R. Định lý 1.7. (Định lý hàm số cosin) Trong tam giác ABC ta có a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A, b 2 = c 2 + a 2 − 2ca cos B, c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C. Định lý 1.8. (Các công thức về diện tích) Diện tích tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau S = 1 2 ah a = 1 2 bh b = 1 2 ch c (1.8) = 1 2 bc sin A = 1 2 ca sin B = 1 2 ab sin C (1.9) = pr (1.10) = abc 4R (1.11) = (p −a)r a = (p −b)r b = (p −c)r c (1.12) =  p (p −a) (p − b) (p − c). (1.13) Công thức (1.13) được gọi là công thức Hê-rông. www.VNMATH.com [...]... với bất đẳng thức (1.32) thì tam giác ABC cần giả thiết không vuông Đẳng thức xảy ra trong các bất đẳng thức trên khi và chỉ khi ABC là tam giác đều 1.3 Bất đẳng thức trong tam giác Tam giác là hình đơn giản nhất trong các đa giác, mỗi đa giác bất kì đều có thể chia thành các tam giác và sử dụng tính chất của nó Vì vậy, nghiên cứu các bất đẳng thức trong tam giác sẽ hữu ích trong việc giải quyết các bất. .. đó ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức AC 2 + BC 2 ≤ AB 2 + BC 2 + CD2 + DA2 Đây là bất đẳng thức hình bình hành Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành Điều phải chứng minh www.VNMATH.com 23 1.5 1.5.1 Bất đẳng thức trong các tam giác đặc biệt Các bất đẳng thức trong tam giác đều Tam giác đều có một số tính chất đặc biệt, nói chung không còn đúng trong một tam giác tùy ý Trong... (b − c)2 (1.53) 3 Mặt khác, không mất tính tổng quát ta giả sử b ≤ a ≤ c Khi đó ta có bất đẳng thức (b − c)2 ≥ (a − b)2 + (c − a)2 (1.54) Vì bất đẳng thức trên tương đương với bất đẳng thức (a − b)(a − c) ≤ 0 Từ bất đẳng thức (1.53) và (1.54) ta được bất đẳng thức (1.52)   cos π − A = 1 3 a=b ⇔ a = b = c Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  a=c Bài toán 1.23 (Điểm Torricelli) Tìm điểm O trong tam giác... (1.20) (1.21) (1.22) (1.23) Riêng với hệ thức (1.20) thì tam giác ABC cần giả thiết không vuông 1.2.2 Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác Định lý 1.16 (Bất đẳng thức tam giác) Trong tam giác ABC ta có |b − c| < a < b + c, |c − a| < b < c + a, |a − b| < c < a + b Định lý 1.17 (Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản) Với mọi tam giác ABC ta luôn có các bất đẳng thức sau √ 3 3 sin A + sin B + sin C ≤ ,... nên AD + BE + CF = 1 Bây giờ, áp AD dụng bất đẳng thức (1.2) ta được HD + BE CF 9 HE + HF ≥ HD + HE + HF = 9 AD BE CF + Chứng minh ii) HD Ta có HD = AD−HD = HA [HBC] [HCA]+[HAB] tương [HAB] HF HC = [HBC]+[HCA] tự, [HBC] [ABC]−[HBC] = [HCA] HE HB = [HAB]+[HBC] , Cộng 3 bất đẳng thức này, sau đó áp dụng bất đẳng thức Nesbitt HE HF Hình 1.23 ta được bất đẳng thức HD + HB + HC ≥ 3 HA 2 + Chứng minh... 27(4Rrp) ≥ 27(8r2 p), vì R ≥ 2r Vậy p ≥ 3 3r √ p Bất đẳng thức thứ hai, 3√3 ≤ R tương đương với a + b + c ≤ 3 3R 2 Sử dụng định lí hàm số sin, bất đẳng thức này tương đương với sin A + √ 3 3 x sin B + sin C ≤ 2 Bất đẳng thức này đúng vì hàm số f (x) = sin √ là sin A+sin B+sin C A+B+C hàm lồi trên (0, π), do đó ≤ sin = sin 600 = 23 3 3 Định lý 1.28 (Công thức Leibniz) Cho tam giác ABC với độ dài các... các cạnh của một tam giác Chứng minh rằng √ (1.51) a2 + b2 + c2 ≥ 4 3S Giải Theo bất đẳng thức AM - GM ta có S= p(p − a)(p − b)(p − c) ≤ p (p−a)+(p−b)+(p−c) 3 √ 3 = 3 2 p 9 www.VNMATH.com 30 Do đó, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có √ 2 √ √ 3 a+b+c 1 4 3S ≤ 4 3 = (a + b + c)2 9 2 3 1 2 ≤ a + b2 + c2 12 + 12 + 12 = a2 + b2 + c2 3 Bài toán sau cho ta một kết quả mạnh hơn bất đẳng thức Weitzenbock... +pc = a 72 3 3 4 2 Thay bất đẳng thức này vào (1.42), ta được bất đẳng thức (1.44) Bài toán 1.14 Cho tam giác đều ABC cạnh a và P là một điểm tùy ý nằm trong tam giác Chứng minh rằng P A.P B + P B.P C + P C.P A ≥ a2 Giải Vì α 2 + β 2 + γ 2 (1.45) = 1800 nên 3 cos α + cos β + cos γ ≥ , 2 (1.46) dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi α = β = γ = 1200 Bây giờ, áp dụng định lí hàm số cosin cho tam giác P... Gọi f (x) = ln(sin x), x ∈ (0, π) Vì f (x) = − sin12 x < 0, nên f là hàm lồi Áp dụng bất đẳng thức Jensen, ta có ln(sin α) + ln(sin β) + ln(sin γ) α+β+γ ≤ ln(sin ) 3 3 √ Suy ra sin α sin β sin γ ≤ 3 8 3 Thay bất đẳng thức này vào (1.43) ta được bất đẳng thức (1.42) Bài toán 1.13 Cho tam giác đều ABC cạnh a và P là một điểm tùy ý nằm trong tam giác Chứng minh rằng P A.P B.P C ≥ 8pa pb pc (1.44) 1 1... cạnh bằng P A, P B, P C Giải Gọi M là trung điểm của BC, theo bất đẳng thức tam giác AP + P M ≥ AM , mặt khác lại có P M ≤ P B+P C Suy ra 2P A + P B + P C ≥ √ 2 √ √ a 3, tương tự 2P B + P C + P A ≥ a 3, 2P C + P A + P B ≥ a 3 Cộng √ theo vế 3 bất đẳng thức này ta được P A + P B + P C ≥ a 3 2 Áp dụng P A2 + P B 2 + P C 2 ≤ 9Rp và bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, 1 2 ta có 9Rp ≥ P A2 + P B 2 + P C 2 ≥ 3 . bất đẳng thức hình học nổi tiếng, đặc biệt là bất đẳng thức Ptolemy và bất đẳng thức Erdos-Mordell và các bất đẳng thức có trọng như bất đẳng thức Hayshi, bất đẳng thức Weizenbock, bất đẳng thức. trọng của hình học và những kiến thức về bất đẳng thức trong hình học cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng của toán học. So với các bất đẳng thức đại số, các bất đẳng thức hình học chưa được. toán bất đẳng thức hình học, trước hết ta cần trang bị những kiến thức cơ sở đó là các bất đẳng thức đại số cơ bản và các đẳng thức, bất đẳng thức đơn giản trong tam giác. 1.1. Các bất đẳng thức