Định lý 4.1. (Bất đẳng thức Hayashi) Cho M là một điểm tùy ý trong mặt phẳng chứa tam giác ABC với độ dài các cạnh là a, b, c. Khi đó
aM B.M C +bM C.M A+ cM A.M B ≥abc. (4.1) Đây là một định lý có cách chứng minh hình học khá phức tạp. Sau đây bằng cách dùng số phức sẽ cho ta một cách chứng minh định lý rất ngắn gọn và ấn tượng. Chỉ cần dùng một đồng nhất thức đại số quen thuộc và biểu diễn hình học của số phức.
Chứng minh. Ta đặt tam giácABC lên mặt phẳng phức và gọi m, α, β, γ tương ứng là toạ vị của M, A, B, C. Từ đồng nhất đại số
(m−β)(m−γ) (α−β)(α−γ) + (m−γ)(m−α) (β −γ)(β −α) + (m−α)(m−β) (γ−α)(γ −β) = 1, (4.2) đúng với mọi α, β, γ đôi một khác nhau và với mọi m. Đồng nhất thức này có thể chứng minh bằng cách để ý vế trái là một tam thức bậc hai theo m và có giá trị bằng 1 tại ba điểm phân biệt α, β, γ , do đó đồng nhất 1.
Từ đồng nhất (4.2) chuyển qua modul ta được
|m −β| |m−γ| |α −β| |α−γ| + |m−γ| |m −α| |β −γ| |β −α| + |m−α| |m−β| |γ−α| |γ −β| ≥1. (4.3)
Theo cách đặt trên ta được M A = |m − α|, M B = |m − β|,|M C| =
|m−γ|, c= AB = |α−β|, a= BC = |β −γ|, b = CA = |γ −α|. Khi đó (4.3) tương đương với M B.M C
bc +
M C.M A ca +
M A.M B
ab ≥ 1.
Chú ý 4.1. Trường hợp xảy ra dấu đẳng thức ta sẽ xét đến trong bài toán 4.1 ở mục dưới.
Định lý 4.2. Cho M là một điểm tùy ý trong mặt phẳng chứa tam giác
ABC với độ dài các cạnh là a, b, c. Khi đó
aM A2 + bM B2 + cM C2 ≥ abc. (4.4) Chứng minh. Xét gốc của mặt phẳng phức ở M và gọi α, β, γ là tọa vị các đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Từ đồng nhất thức
α2 (α−β) (α−γ) + β2 (β −α) (β −γ) + γ2 (γ −α) (γ −β) = 1, (4.5) đúng với mọi α, β, γ đôi một khác nhau. Chuyển qua modul ta được
1 = X cyc α2 (α−β) (α−γ) ≤ X cyc |α|2 |α −β| |α−γ|. (4.6)
Theo cách đặt trên ta được |α| = P A, |β| = P B, |γ| = P C và |β −γ|= a, |γ−α| = b, |α−β| = c, bất đẳng thức (4.6) tương đương với bất đẳng thức aM A2 +bM B2 +cM C2 ≥ abc.
Định lý 4.3. Cho M là một điểm tùy ý trong mặt phẳng chứa tam giác
ABC với độ dài các cạnh là a, b, c. Khi đó
aM A3 +bM B3 +cM C3 ≥ abc.M G. (4.7)
Trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC.
Chứng minh. Từ đồng nhất thức
x3(y−z) +y3(z−x) +z3(x−y) = (x−y) (y−z) (z−x) (x+y+z), (4.8)
đúng với mọi số phức x, y, z. Chuyển qua modul, ta được
|x|3|y−z|+|y|3|z−x|+|z|3|x−y| ≥ |x−y| |y−z| |z−x| |x+y+z|. (4.9)
Xét gốc của mặt phẳng phức ởG và gọi α, β, γ, m là tọa vị của các điểm A, B, C, M tương ứng. Trong bất đẳng thức (4.9) xét x = m −α, y = m−β, z = m−γ ta thu được bất đẳng thức (4.7).