tọa độ không gian

GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 1 O y z x j k i CHỦ ĐỀ : TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN A. PHẦN LÍ THUYẾT : I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ, TỌA ĐỘ VECTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM 1. Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian Hệ 3 trục x’Ox, y’0y, z’Oz đôi một vuông góc, trên đó lần lượt có các vectơ đơn vò k,j,i , gọi là hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc trong không gian. +. 3 trục x’Ox, y’0y, z’Oz lần lượt được gọi là trục hoành, trục tung , trục cao . +. Điểm O gọi là gốc tọa độ +. Không gian chứa hệ trục tọa độ như thế gọi là không gian tọa độ, kí hiệu là kg Oxyz +. Các mặt phẳng : Oxy, Oyz, Oxz gọi là các mặt phẳng tọa độ 2. Toạ độ của vectơ: a. Đònh nghóa : kajaiaa 321   )a,a,a(a 321  Chú ý: Tọa độ của các vectơ đơn vò: i (1, 0, 0)   ; j (0, 1, 0)   ; )1 ,0 ,0(k  và 0 (0, 0, 0)   b. Tính chất : Cho )a,a,a(a 321  ; )b,b,b(b 321  và số thực k thì : )bba,aba(ba 322311  ; )ka,ka,ka(a.k 321  ;          33 22 11 ba ba ba ba Chú ý : +. a cùng phương b nếu cùng nằm trên một đường thẳng hoặc giá của chúng song song nhau +. Biểu thức tọa độ : a cùng phương b  tồn tại số k để cho: a = b.k  3 3 2 2 1 1 b a b a b a  3. Tọa độ của điểm : a. Đònh nghóa : kzjyixOM MMM   M ( x M , y M , z M ) b. Đònh lí : Cho A(x A ,y A , z A ) và B(x B ,y B ,z B ) thì : )zz,yy,xx(AB ABABAB  c. Chú ý : +. Điểm M  Ox  M(x,0,0 ) ; Điểm M  Oy  M(0,y,0) Điểm M  Oz  M(0,0,z) ; Gốc tọa độ O(0,0,0) +. M là trung điểm của đoạn AB thì : A B A B A B M M M x x y y z z x ; y ; z 2 2 2       + G là trọng tâm của đoạn  ABC thì : A B C A B C A B C M M M x x x y y y z z z x ; y ; z 3 3 3          4. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: Đ/lí : Cho hai vectơ )a,a,a(a 321  ; )b,b,b(b 321  thì : 332211 bababab.a  Các hệ quả: +. 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 2 3 a a a a a a a a          +. 0babababa 332211  +. 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 1 2 3 1 2 3 a b a b a b cos (a,b) a a a b b b          +. 2 2 2 B A B A B A AB (x x ) (y y ) (z z )       GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 2 5. Chú ý : +. Điểm M(x, y ,z) có hình chiếu vuông góc lên các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oxz, Oyz lần lượt là : (x, y , o) ; (x, o, z) ; (o, y ,z). +. Điểm M(x, y ,z) có hình chiếu vuông góc lên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là : (x, o , o) ; (o, y,o) ; (o, o ,z). +. Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua các mặt phẳng tọa độ Oxy, Oxz, Oyz lần lượt là : (x, y, -z) ; (x, -y, z) ; (-x, y ,z). +. Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt là : (x, -y,-z) ; (-x, y, z) ; (-x, -y ,z). +. Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua gốc tọa độ O là (-x, -y,-z) 6. Tích có hướng hai vectơ : a. Đònh nghó a : Cho 2 vectơ )a,a,a(a 321  ; )b,b,b(b 321  . Tích có hướng của hai vectơ đó là một vectơ , kí hiệu là   b,a với   b,a = 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 a a a a a a ; ; b b b b b b       = ( a 2 b 3 – b 2 a 3 , a 3 b 1 – b 3 a 1 , a 1 b 2 – b 1 a 2 ) b. Tính chất : c a và c b thì c =   b,a c. Các ứng dụng của TCH của 2 vectơ : +. 3 điểm A,B, C là 3 đỉnh của tam giác  AB, AC        0 3 điểm A,B, C là thẳng hàng  AB, AC        0 +. 4 điểm A, B, C , D là 4 đỉnh của tứ diện  AB,AC . AD 0         4 điểm A, B, C , D đồng phẳng  AB,AC . AD 0         +. Diện tích tam giác ABC là: S = 1 AB, AC 2       = 1 BA, BC 2       = 1 CA, CB 2       Nói là : Diện tích tam giác bằng một phần hai độ dài TCH của hai vectơ chung gốc. +. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là : V = AB, AD . AA'        Nói là : Thêû tích khối hộp bằng giá trò tuyệt đối của tích hổn tạp của ba vectơ chung gốc +. Thể tích khối tứ diện ABCD là : V = 1 AB, AC . AD 6        Nói là : Thêû tích khối tứ diện bằng một phần sáu giá trò tuyệt đối của tích hổn tạp của ba vectơ chung gốc Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1,1,1) , B(1,- 6, 0) , C(0,-2,2) , D(-2,0,0). a. Chứng minh 3 điểm B, C, D là 3 đỉnh của tam giác, Tính diện tích của BCD  , Từ đó tính độ dài đường cao của BCD  kẻ từ D. b. Chứng minh 4 điểm A,B,C, D là 4 đỉnh của tứ diện. Tính thể tích của tứ diện này, Từ đó tính độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh A. c. Tìm tọa độ điểm E để BCDE là hình bình hành . Tính diện tích hình bình hành nàyvà tính thể tích khối chóp A.BCDE. d. Tính góc  ACD và góc giữa các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD Bài 2 : Trong kg cho 2 điểm A(6,-2,3) ; D(4,1,0) và OC 2i j      ; ; OB j 6k      1. Tính : a.   2 AB.BC .CA CD .AB       ; b. 2 AB,DC .CB AD          2. Chứng minh A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện 3. Tính d/ tích  ABC, thể tích tứ diện ABCD. Từ đó tính độ dài c/cao của t/ diệnABCD kẻ từ D. 4. Tính cosin của góc A của  ABC GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 3 n  M 5. Tìm toạ độ điểm E để cho ABCD là hình bình hành . Tính diện tích hình bình hành này. Bài 3: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D' Víi A(2,0,2), B(4,2,4), D(2,-2, 2) vµ C'(8,10,-10). a. T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh cßn l¹i cđa h×nh hép ABCD.A'B'C'D'. b. TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh hép nãi trªn. II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A. LÍ THUYẾT: 1. M/phẳng (  )đi qua điểm M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) và có PVT )C,B,A(n  thì phương trình (  ) :       0zz.Cyy.Bxx.A 000  2. Mặt phẳng (  ) đi qua   A a,0,0 Ox  ;   B 0,b,0 Oy  ;   C 0,0,c Ox  thì p/trình mặt phẳng (  ) : x y z 1 a b c    ( Gọi là mặt phẳng phương trình theo đoạn chắn) Chú ý : +. Hai vectơ a , b là cặp VTCP của (  ) trong các trường hợp sau: * a , b không cùng phương và cùng nằm trên (  ) * a ,b không cùng phương. a nằm trên (  ) còn a nằm trên đường thẳng // (  ) * a ,b không cùng phương , cả a và b đều nằm trên 2 đường thẳng // với (  ) +. Hai mặt phẳng // nhau thì PVT của mặt phẳng này cũng là PVT của mặt phẳng kia. +. Hai mặt phẳng v/ góc nhau thì PVT của mặt phẳng này là một trong hai VTCP của mặt phẳng kia 3. Các p/pháp xác đònh PVT : C 1 : Tìm VT vuông góc với mặt phẳng (  ). C 2 : Tìm cặp VTCP a , b    b,a n  . C 3 : Mặt phẳng (  ) đi qua ba điểm A,B,C thì PVT   AC,AB n  . B. BÀI TẬP : Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho điểm A(1,0,1) ; B(3,4,-1) và k2jOC  ; AD = (1,2,-4) a. Tìm tọa độ các điểm C và D b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Từ đó c/m 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện. c. Viết phương trình mặt phẳng qua D và song song mặt phẳng (ABC) d. Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với AB tại B. e. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn BC. f. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD g. Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm của AB và song song với các đường thẳng AD và CB h. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BD i. Viết phương trình mặt phẳng qua các hình chiếu vuông góc của B lên các trục tọa độ j. Viết phương trình mặt phẳng qua các hình chiếu vuông góc của A lên các mp tọa độ k. Viết phương trình mặt phẳng qua các điểm đối xứng với A, B, C qua gốc toạ độä l. Viết phương trình mặt phẳng qua các điểm đối xứng với A, B, C qua các mặt phẳng tọa độ Bài 2 : Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau : A B C a b a a b b  n  n  n  n GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 4 a. Qua điểm M(2,-1,2) và // mp Oxy b. Qua điểm N(5,1,-2) ; // Oz ; vuông góc với mặt phẳng 3x + 2y + z + 2013 = 0 c. Qua điểm P(-4,0,1) ; // đường thẳng AB với A(2,0,0), B(3,2,-6) và v.góc với mp(P): 5x-z-2 = 0 d. Qua 2 điểm H(3,-2,0), K(2, 5,1) và vuông góc với mặt phẳng –3x + 2z – 7 = 0 III. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Các dạng phương trình đường thẳng : a. Đường thẳng d đi qua M(x 0 , y 0 , z 0 ) và có VTCP )a,a,a(a 321  thì : 0 1 0 2 0 3 x x a t Ptts d : y y a t z z a t            ( t )R  và 0 0 0 1 2 3 x x y y z z Ptct d : a a a      b. Đường thẳng d đi qua 2 điểm     A A A B B B A x ,y ,z và A x ,y ,z có phương trình : A A A B A B A B A x x y y z z AB: x x y y z z         ( với B A x x  , B A y y  , B A z z  ) 2. Các chú ý : * Để tìm toạ đôï một điểm thuộc đường thẳng cho bởi ptts ta cho t một giá trò tuỳ ý thay vào ptts tìm x, y, z . Đó là tọa độ của điểm thuộc d * Để tìm toạ đôï một điểm thuộc đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng, ta cho x một giá trò tuỳ ý thay vào hệ tìm y, z ( hoặc cho y tìm x, z ; hoặc cho z tìm x, y ) * Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng, có VTCP là          22 11 22 11 22 11 BA BA , AC AC , CB CB a Trong đó 1 1 1 1 n (A ,B ,C )   và 2 2 2 2 n (A ,B ,C )   lần lượt là VTPT của 2 mặt phẳng . BÀI TẬP : 1. Cho đường thẳng d có ptts là x 2 t y 1 2t z 3t            . a. Tìm 2 điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết pttq và ptct của d . 2. Cho đường thẳng d có ptct là x 2 3 y z 1 2 3      a. Tìm hai điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết ptts và pttq của d 3. Cho đường thẳng d có pttq là : 2x y z 2 0 y z 4 0            . a. Tìm 2 điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết ptts và ptct của d 4. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau : a. Đi qua điểm M(2,-1,5) và có VTCP là a ( 2,1, 1)     . b. Là giao tuyến của 2 mặt phẳng : x + y + 2z – 5 = 0 và 3x – y + 3z + 3 = 0 c. Đi qua điểm M(2,3,-1) và vuông góc với mặt phẳng : x + 2y –3z + 1 = 0 . d. Đi qua 2 điểm A(-2,1,2) và B(0,3,-4) . GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 5 e. Đi qua điểm M(0,-2,1) và song song với đường thẳng x y z 3 0 y z 0          f. Đi qua điểm N(3,0,0) và song song với đường thẳng : x 2 3t y t z 3           5. Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau : a. Đi qua điểm M(4,1,2) và vuông góc với đường thẳng d : x 1 y 1 3 z 2 1 3       b. Chứa điểm A(-4,0,-2) và đường thẳng d : x 2y z 3 0 2y z 1 0            c. Đi qua điểm B(1,1,1) và song song với các đường thẳng: d 1 : 2x y z 3 0 x y z 1 0             ; d 2 : x 1 y 2 z 3 1 3       IV. MẶT CẦU 1. Phương trình mặt cầu : * Mặt cầu có tâm I(a,b,c) và bán kính R  phương trình mặt cầu là : (S) : (x - a) 2 + (y - b) 2 + (z - c) 2 = R 2 * Phương trình (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 ( với a 2 + b 2 + c 2 – d > 0 ) là phương trình mặt cầu có tâm I(a,b,c) và bán kính R = d -c b a 222  * Mặt cầu có tâm O(o,o,o) ; bán kính R có phương trình (S) : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 2. Tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng: Cho m/cầu (S) có tâm I b/kính R và m/phẳng ) (  . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên ) (  , thì IH = d(I, ) (  ) . * d(I, )(  ) > R  (S) và ) (  không có điểm chung * d(I, )(  ) = R  (S) và ) (  tiếp xúc nhau tại H. ( H gọi là tiếp điểm ; ) (  gọi là tiếp diện ) * d(I, )(  ) < R  (S) và ) (  cắt nhau theo giao tuyên là đường tròn (C). tâm là H; bk R’= 22 IHR  ) BÀI TẬP : 1. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: a. Có tâm I(1,2,-3) và bán kính R = 4. b. Có tâm I(2,-2,0) và đi qua điểm M(1,4,-4) c. Đi qua ba điểm A(1,2,-4) ; B(1,-3,1) ; C(2,2,3) và có tâm trên mặt phẳng Oxy. d. Tâm I(1,2,3) và tiếp xúc mp )(  : x - y - 4z - 5 = 0 . Tìm toạ độ tiếp điểm của (S) và )(  . e. Có tâm trên trục Oz, đi qua A(2,3,4) và tiếp xúc mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0 f. Có tâm trên trục Oy và tiếp xúc với 2 mp : x + y - z + 1 = 0 ; x - y + z - 5 = 0 2. Cho 3 điểm A(2,0,0); B(0,1,0); C(0,0,-3) a. Viết phương trình mặt cầu(S) ngoại tiếp tứ diện OABC với O là gốc tọa độ. Khi đó tìm tâm H H I H I I    )S( )S( )S( ) C ( GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 6 và b. kính của (S) b. Viết phương trình tiếp diện với (S) tại A. c. Viết phương trình đường tròn (C 1 ) ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm tâm và bán kính của (C 1 ) d. Viết phương trình đường tròn (C 2 ) ngoại tiếp tam giác OAB. Tìm tâm và bán kính của (C 2 ) 3. Cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 4z = 0 a. Tìm tâm và bán kính của (S) . b. Chứng minh điểm A(3,1,-2) thuộc (S). Viết phương trình tiếp diện với (S) tại A. c. Viết p/t tiếp diện với (S) , biết tiếp diện đó // với mặt phẳng x+ y + 2z – 1 = 0 d. Viết p/t tiếp diện với (S) , biết tiếp diện đó v/góc với đường thẳng :      03zy2 02yx e. Tìm giao điểm của (S) với đường thẳng x = 1+ 2t ; y = 1 ; z = - 2t . f. Viết phương trình đường kính qua A . Tìm giao điểm còn lại của đường kính này với (S). g. Biện luận theo k vò trí tương đối của (S) và mặt phẳng ) (  : 2x + y – 2z + k = 0 4. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau: a. Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6,-2,3) ; B(0,1,6) ; C(2,0,-1) ; D(4,1,0) . Khi đó viết phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp  ABC, tìm tâm và bán kính đường tròn này b. Ngoại tiếp tứ diện OABC với A(1,0,0) ; B(0,2,0) ; C(0,0,-3) . Tìm tâm và b/kính . c. Tâm I(1,2,3) và tiếp xúc m/ hẳng )(  : x – y - 4z - 5 = 0 . Tìm toạ độ t/điểm của (S) và )(  . d. Đi qua ba điểm A(1,2,-4) ; B(1,-3,1) ; C(2,2,3) và có tâm trên mặt phẳng Oxy. 5. Cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 – 12x + 4y – 6z + 24 = 0 . a. Tìm tâm và bán kính của (S). b. Chứng minh mặt cầu (S) cắt mặt phẳng )(  : 2x + 2y + z +1= 0 . Hãy viết phương trình đường tròn giao tuyến của (S) và )(  , tìm tâm và bán kính đường tròn này. c. Chứng minh điểm A(2,1,3) thuộc mặt cầu (S) .Viết phương trình tiếp diện của (S) tại A. d. Tìm các giao điểm của của (S) và đường thẳng d:         t43z t2y t33x e. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó s.song với m/p )(  : 2x – 2y + z + 7 = 0 f. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó v/góc với đg/thẳng d’: 2 1z 2 1y 1 x      g. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó song song với trục Ox và đường thẳng d: 2 1z 2 1y 1 x      h. Biện luận theo k vò trí tương đối của (S) và mặt phẳng )(  : 2x + y – 2z + k = 0 V. GÓC: +. 2 đường thẳng d 1 , d 2 có VTCP lần lượt là 1 2 3 a (a ,a ,a )   , 1 2 3 b (b ,b ,b )   . Gọi  là góc giữa d 1 và d 2 thì : 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 3 3 1 3 3 a b a b a b cos a a a . b b b         +. 2 mặt phẳng (  1 ), (  2 ) có VTPT lần lượt là )C,B,A(n);C,B,A(n 222 2 111 1  Gọi  là góc giữa 2 mặt phẳng thì: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 CBA.CBA CCBBAA cos    GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 7 a a  a a b b b b d d d ' d d ' d ' d ' d M M' M M' M M' M ' M +. Đường thẳng d có VTCP )a,a,a(a 321  , Mặt phẳng (P) có VTPT )C,B,A(n  . Gọi  là góc giữa d và (P) thì : 2 3 2 2 2 1 222 321 aaa.CBA a.Ca.Ba.A sin    Hệ quả: * d 1  d 2  332211 bababa  = 0 * (  1 )  (  2 )  212121 CCBBAA  = 0 * d  (  )  a  cùng phương n VI. KHOẢNG CÁCH + . Kh.cách từ M(x 0 ,y 0 , z 0 ) đến mp (  ): Ax + By + Cz + D = 0 là :   .CBA Dz.Cy.Bx.A )(,Md 222 000    +. Kh.cách từ điểm M đến đường thẳng  (đi qua điểm A, VTCP a ) là:       a AM,a ,Md  +. Kh.cách giữa 2 đường thẳng 1  và 2  là:       b,a AB.b,a ,d 21  ( 1  đi qua A, có VTCP là a . 2  đi qua B, có VTCP b ) VII. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 1. Vị trí tương đối 2 mặt phẳng : Cho hai mặt phẳng : ( 1  ) : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 có VTVT là   1 1 1 1 n A B C ( , , ) ( 2  ) : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 có VTVT là )C,B,A(n 2222  TH1: 21 nvàn không cùng phương  ) ( 1  cắt ) ( 2  TH2:            1 2 1 2 n n cùng phương Điểm M ( ) và M ( ) ;  ( 1  ) // ( 2  ) TH3:            1 2 1 2 n n cùng phương Điểm M ( ) và M ( ) ;  ( 1  )  ( 2  ) 2. Vị trí tương đối 2 đường thẳng: Cách 1: 1  2 n  2   1 n  2 n 2   1 n 2  1   2 n 2   1 n M M GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 8 TH1:          a và b cùng phương MM không cùng phương a '  d // d’ ; TH2:          a và b cùng phương MM cùng phương a '  d  d’ TH3:               a b . MM' = 0 a và b không cùng phương ,  d cắt d’ ; TH4:         a b . MM' 0 ,  d chéo d’ Cách 2: Cho 2 đường thẳng d:         tazz tayy taxx 30 20 10 có vtcp )a,a,a(a 321  và qua điểm M(x 0 , y 0 , z 0 ) và d’:         'tbzz 'tbyy 'tbxx 3 ' 0 2 ' 0 1 ' 0 có vtcp )b,b,b(b 321  TH1: 'd//d d'M phươngcùngb,a        ; TH2:           a b cùng phương d d M d' , ' TH3:                  0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 x a t x b t HệPT y a t y b t cónghiệm duy nhất d cắt d z a t z b t ' ' ' ' : ' ' ' Chú ý: Giả sử (t 0 , ' 0 t ) là nghiệm của HPT. Để tìm giao điểm M 0 của 2 đường thẳng thì thay t 0 vào phương trình d. Bộ 3 số đó là tọa độ giao điểm TH4:                    0 1 0 1 0 2 0 2 0 3 0 3 x a t x b t a b không cùng phương và HPT y a t y b t vôngh iệm d chéo d z a t z b t ' ' ' ' , : ' ' ' 3. Vò trí tương đối của của đường thẳng và mp: ) //( d  ) ( cắt d  ) ( d   Cách 1: TH1:              n a cùng phương d ( ) M d , M ( ) / / ; TH2:               n a cùng phương d ( ) M d , M ( ) TH3:         n không vuông góc a n a 0 d cắt ( ) . Cách 2: Cho đường thẳng d :         tazz tayy taxx 30 20 10 và mp ) (  : Ax + By + Cz + D = 0. Để xét vò trí tương đối của d và ) (  , ta thay x, y, z từ phương trình d vào phương trình ) (  , được phương trình: A(x 0 + a 1 t ) +B(y 0 + a 2 t ) + C(z 0 + a 3 t ) + D = 0 (1) ( có ẩn t )  M   d d d n a n a M M n a GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng . 9 TH1: Phương trình (1) vô nghiệm  d // ) (  TH2: Phương trình (1) có vô số nghiệm  d  ) (  TH3: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất  d cắt ) (  Nếu t = t 0 là nghiệm, để tìm giao điểm của d và ) (  ta thay t 0 vào phương trình d. Bộ 3 số đó là tọa độ giao điểm B. BÀI TẬP LUYỆN THI Viết phương trình đường thẳng , mặt phẳng . 1. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d qua ®iĨm M(- 4,-5, 3) vµ c¾t hai ®êng th¼ng: (d 1 ): 1 2z 2 3y 3 1x        (d 2 ): 5 1z 3 1y 2 2x       . 2. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua ®iĨm A(0; 1; 1) vu«ng gãc víi ®êng th¼ng: (d 1 ): 1 z 1 2y 3 1x     vµ c¾t ®êng th¼ng (d 2 ): x 1 y t z 1 t           3. Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh: (P): 2x + y + z - 1 = 0, (d): 3 2z 1 y 2 1x     . ViÕt ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng qua giao ®iĨm cđa (P) vµ (d), vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong (P). 4. Cho ®iĨm A(- 4,-2, 4) vµ ®.th¼ng d: x 3 2t y 1 t z 1 4t              (t  R). ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng  ®i qua ®iĨm A, c¾t vµ vu«ng gãc víi ®êng th¼ng d. 5. Cho hai ®iĨm A(1, 4, 2 ), B(-1, 2,4) vµ ®êng th¼ng : 2 z 1 2y 1 1x      . ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d ®i qua träng t©m G cđa tam gi¸c OAB vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (OAB), với O là gốc tọa đơ 6. Cho hai đường thẳng d 1 : 1 1z 1 1y 2 1x       , d 2 : 2 1z 1 2y 1 1x      và mp(P): x - y - 2z + 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng , biết  nằm trên mặt phẳng (P) và  cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 . 7. A2007. Cho hai đường thẳng d 1 : x y 1 z 2 2 1 1      d 2 : x 1 2t y 1 t z 3            . Viết phương trình đường thẳng d vng góc với (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 . 8. Cho bốn điểm A(4,5,6); B(0,0,1); C(0,2,0); D(3,0,0). Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (Oxy) và cắt được các đường thẳng AB, CD. 9. Cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0 và đường thẳng 1  : 2 2x   = 1 1y  = 3 z . Gọi 2  là giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng 1  , 2  . 10. Cho hai đường thẳng d 1 :         tz 3y t22x d 2 : 2 z 1 y1 1 2x     . Viết phương trình đường thẳng d song song với Oz cắt cả d 1 và d 2 . GV: Trần Điện Hoàng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889 Chuyên dạy LTĐH môn TOÁN – Nhận HS đầu tháng . 10 11. Viết p.trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng sau: 1 2z 1 1y 2 x :d 1              3z t1y t21x :d 2 12. Cho đường thẳng d 1:         t21z t21y t1x , đường thẳng d 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0. Gọi I là giao điểm của d 1 và d 2 . Viết phương trình đường thẳng d 3 qua A(2, 3, 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d 1 và d 2 lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh I. 13. Cho tam giác ABC có A(1,-,2, 3), B(2,1, 0), C(0, -1, -2). Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC. 14. Cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng d: 6x 3y 2z 0 6x 3y 2z 24 0           . Viết phương trình đ.thẳng  // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC. 15. Cho điểm M(0,1,1) và 2 đường thẳng (d 1 ), (d 2 ) với (d 1 ): x 1 y 2 z 3 2 1     ; (d 2 ) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x 1 0   và (Q): x y z 2 0     . Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d 1 ) và cắt (d 2 ). 16. Cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1,2,4), B thuộc trục Ox và có hoành độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương. Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (OBC), 2OBCtan  . Viết phương trình tham số của đường thẳng BC. 17. Cho đường thẳng x 1 y 2 z 2 : 3 2 2        và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2,2,4) và cắt đường thẳng (). 18. Cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương trình (P): 3x 12y 3z 5 0     và (Q): 3x 4y 9z 7 0     (d 1 ): x 5 y 3 z 1 2 4 3       , (d 2 ): x 3 y 1 z 2 2 3 4       . Viết ph.trình đường thẳng () song song với hai mặt phẳng (P), (Q) và cắt (d 1 ), (d 2 ). 19. Cho đường thẳng x y 1 z 2 d: 1 2 1     và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(2,2,4), song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng d. 20. Cho hai điểm A(0,0,–3), B(2,0,–1) và mặt phẳng (P) có phương trình: 3x 8y 7z 1 0     . Viết phương trình chính tắc đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) và d vuông góc với AB tại giao điểm của đường thẳng AB với (P). 21. Cho mp(P): x – 2y + z – 2 = 0 và hai đường thẳng : d: x 1 3 y z 2 1 1 2       và d’: x 1 2t y 2 t z 1 t            Viết phương trình tham số của đường thẳng (  ) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng (d) và (d’). CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng . 22. Cho điểm A(1,0,1), B(2,1,2) và mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q). 23. A.2012. NC. Cho đường thẳng d: x 1 y z 2 2 1 1     và mặt phẳng (P):x y 2z 5 0     và điểm A(1,-1,2). Viết phương trình đường thẳng  cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. [...]... gốc tọa độ và vuông góc với BC Tìm tọa độ giao điểm của AC với (P) b Chứng minh tam giác ABC vuông Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC 100 Cho hai điểm A(0,0,4), B(2,0,0) và mặt phẳng (P): 2x + y - z + 5 = 0 Lập phương trình mặt cầu đi qua O,A.B và tiếp xúc với (P) 101 Cho bốn điểm A(3,3,0), B(3,0,3), C(0,3,3), D(3,3,3) a Lập phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A.B , C, D b Tìm tọa độ. .. nht 79 80 81 82 x 1 t Cho đường thẳng và : y 1 t v điểm M( 2,1,4) Tìm toạ độ điểm H thuộc đường thẳng z2 sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất x 1 t x 1 y 3 z 3 Cho 2 đường thẳng 1: và 2: y 2 t Xác định tọa độ các điểm A, B lần 1 2 1 z 1 2t lượt thuộc đường thẳng 1 , 2 sao cho đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất Cho hai điểm A(1, 2,-1), B(7, -2, 3) và đường thẳng (d) có phương... khụng gian Oxyz cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi, AC ct BD ti gc ta O Bit A(2,0,0), B(0,1,0) , S(0,0, 2 ) Gi M l trung im cnh SC a Tớnh gúc v khong cỏch gia 2 ng thng SA, BM b Gi s mt phng (ABM ) ct SD ti im N Tớnh th tớch khi chúp S.ABMN Cho hai im A (4,0,0), B (0,4,0) v mt phng (P): 3x + 2y - z + 4 = 0 Gọi I là trung điểm AB a Tìm tọa độ giao điểm của AB với (P) b Xác định tọa độ điểm... trụ đứng OAB.O1A1B1 với A(2,0,0), B(0,4,0), O1(0,0,4) Tìm tọa độ A1, B1 và viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, A, B , O1 16 GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889 Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng 103 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1 C1 với A(0,-3,0), B(4,0,0), C(0,3,0) , B1(4,0,4) a Tìm tọa độ A1, C1 và viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với... Lập phương trình mặt cầu tâm I (2; 3;-1) cắt đường thẳng d: hai điểm A, B 3x 4y z 8 0 sao cho AB = 16 Cho tứ diện OABC có O là gốc tọa độ, A Ox, B Oy, C Oz và mặt phẳng (ABC) có phương trình: 6x + 3y + 2z - 6 = 0 a Tính thể tích khối tứ diện OABC b Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC x 3t ' x 1 Cho các đường thẳng: (d1 ) : y 4 2t và (d 2): y 3... A(1,2,-1) , B(7, -2,3) và đường thẳng d l giao tuyn ca 2 mp : 2x + 3y - 4 = 0 ; y+z-4=0 1 Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB ồng phẳng 2 Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB 3 Trên d, tìm điểm I sao cho độ dài đường gấp khúc IAB ngắn nhất 15 GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889 Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn... vuụng gúc ca M lờn trc Ox, C l im i xng ca M qua gc ta O x 1 y 2 z 1 Cho hai đường thẳng d1: và d2: x y z 2 0 3 1 2 x 3y 12 0 Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d1, d 2 lần lượt tại các điểm A, B Tính diện tích OAB (O là gốc toạ độ) Cho ba im A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3) Tỡm to trc tõm ca tam giỏc ABC x 2 y 1 z B2011C Cho ng thng : v mt phng (P): x + y + z -3 = 0 Gi I l giao... vi g thng 1 mt gúc 300 Cho mt phng (P): 2x y 5z 1 0 Lp phng trỡnh mt phng (Q) cha trc Oz v to vi mt phng (P) mt gúc 600 x 1 y 4 z 1 Cho đường thẳng d : và mặt phẳng (P) : 2x 4y z 4 0 Tìm tọa độ điểm 1 2 1 M trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến O bằng khoảng cách từ M đến giao điểm A của d và (P) Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), đi qua A và tạo với d một... B(6, -1, -2), C(-1,-4, 3), D(1, 6,-5) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng CD sao cho ABM có chu vi nhỏ nhất 84 Cho hai im A (-1,3,-2), B (-3,7,-18) v mt phng (P): 2x - y + z + 1 = 0 a Vit phng trình mt phng cha AB v vuông góc vi mp (P) b Tim ta im M (P) sao cho MA + MB nh nht 85 Cho hai điểm A(1,4,2 ), B(-1,2,4) và đường thẳng : x 1 y 2 z Tìm toạ độ điểm M thuộc 1 1 2 đường thẳng sao cho MA2... minh 1 chéo 2 b Vit phng trình ng thng (d) nm trong mt phng (P) ct 1 v vuông góc vi 2 x 1 t d2: y 1 2t z 2 t a Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d 1 và d2 b Tìm toạ độ các điểm M d1, N d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng x 1 t x 1 y 2 z Cho 2 đường thẳng: 1: và 2: y 1 t 1 1 2 z2 Cho điểm A(0,1,2) và hai đường thẳng : d1: x y 1 z 1 2 1 1 Viết phương . 1 O y z x j k i CHỦ ĐỀ : TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN A. PHẦN LÍ THUYẾT : I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ, TỌA ĐỘ VECTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM 1. Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian Hệ 3 trục x’Ox, y’0y,. trục tọa độ Đềcác vuông góc trong không gian. +. 3 trục x’Ox, y’0y, z’Oz lần lượt được gọi là trục hoành, trục tung , trục cao . +. Điểm O gọi là gốc tọa độ +. Không gian chứa hệ trục tọa. +. Không gian chứa hệ trục tọa độ như thế gọi là không gian tọa độ, kí hiệu là kg Oxyz +. Các mặt phẳng : Oxy, Oyz, Oxz gọi là các mặt phẳng tọa độ 2. Toạ độ của vectơ: a. Đònh nghóa :