www.facebook.com/toihoctoan
Trang 1Bài giảng số 3
CAC BAI TOAN VE TOA 80 VECTO
TRONG KHONG GIAN
Bài giảng này đề cập đến các bài tốn liên quan đến tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong khơng gian Các dạng tốn thường gặp cĩ thé phan làm hai loại:
Loại 1: Là các bài tốn mà đầu bài cho dưới dạng hình học giải tích khơng
gian, tức là xét trong một hệ tọa độ Đẻ Các vuơng gĩc Ơxyz cho trước Dạng tốn này gợi ý cho người đọc sử dụng cơng cụ phép tính tọa độ trong khơng gian
Loại 2: Các bài tốn mà đầu bài cho dưới dạng hình học khơng gian thơng
thường Vì thế muốn chuyên sang cách giải sử dụng phương pháp tọa độ trong khơng gian thì điều quan trọng bậc nhất là lựa chọn một hệ tọa độ Dé Cac vuơng gĩc Oxyz thích hợp nhất với đầu bài, đảm bảo sao cho các phép tính dựa trên hệ tọa độ này phải càng đơn giân càng tốt
Ta sẽ gặp lại trong bài giảng này rất nhiều bài tốn đã xét trong các bài giảng số 1 và số 2 mà ở đĩ ta sử dụng thuân túy phương pháp tổng hợp để giải một bài tốn hình học khơng gian
Chúng tơi hi vọng rằng phối hợp ba bài giảng I, 2, 3 sẽ cho các bạn một cách nhìn tổng quát về các bài tốn hình học khơng gian và qua đĩ giúp các bạn tự lựa chọn cho mình một cách giải thích hợp nhất trước một bài tốn hình học khơng
gian cần giải
Những kiến thức cơ bản nhất và luơn sử dụng đến trong phép tính tọa độ khơng gian (xem trong sách giáo khoa Hình học I2)
§1 CÁC BÀI TỐN VỀ GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH GIUA
HAI DUONG THANG
Giải các bai toan nay bang phuong phap “Phép tính tọa độ khơng gian” ta tiễn
hành theo các bước sau đây:
- Lập một hệ tọa độ thích hợp với đầu bài - Tìm tọa độ của các điểm, các vectơ cần thiết
- Sử dụng các cơng thức tương ứng đã biết đề tính các đại lượng theo yêu cầu
đầu bài
Cần nhân mạnh rằng, việc xây dựng hệ trục tọa độ là quan trọng nhất, nĩ đảm bảo cho việc tính tốn ở các bước tiếp theo là đơn giản hay phức tạp phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ trục tọa độ ban đầu
Thí dụ 1: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối D — 2008)
Cho lang tru dtrng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác vuơng cĩ BA = BC = a, cạnh bên AA' = a2 Gọi M là trung điểm BC Tỉnh khoảng cách giữa hai đường thăng AM vàB'C
Trang 2Giải
Nhận xét: vì ABC.AˆB°C) là lăng trụ đứng va ABC = 90° nên ta dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc tọa độ là B
Trong hệ trục tọa độ này ta cĩ:
B= (0; 0; 0); A = (0; a; 0); C = (a; 0; 0); B’= (0;0; a2 )
Từ đĩ ta cĩ M = (530;0)
Vì thế theo phép tính tọa độ của vectơ ta cĩ:
AM= l: ~a; 0} B'C(a;0;~a 2) - [^M mc]an] Áp dụng cơng thức khoảng cách ta cĩ: d(AM, BC) = ———— (1) | AM, Bì | al la 2 ce ee - 0710 =| jo _ 4 ° 3 Ta cĩ: [AM.B'€]= 4 val 2|;}2 a [282 Pe] (2) 0 -av2}) 2 alla 0 Vi AB = AB =(0;~a;aV2} nên từ (2) ta cĩ: 3 [AB.BE|AB==8'Y? ¿a'/5 = (3) * = a J2 —“ _ Thay (2), (3) vào (1) ta cĩ: d(AM,B'C) ene ee
Chú ý- Hãy so sánh lại với cách giải cũng của thí dụ này trong thí dụ 5, §2, loại 1, bài giảng 2 bằng phương pháp tơng hop của hình học khơng gian
Thí dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B — 2008)
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh 2a, SA = a, SB = av3 va (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AB, BC Tính cosin của gĩc giữa hai đường thắng SM, DN
Giải
Ta cĩ ASB = 90° va do SA = a; AB = 2a
= SAB = 60°
Vi (SAB) L (ABCD), nén néu ké SH 1 AB thi SH 1 (ABCD) Ta cĩ SAM là tam
a3:
Trang 3Dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ (gốc tọa độ là H, Hx/⁄⁄/AD) Trong hệ trục này ta cĩ: H = (00:0); A = (=5: 0); B =O 2.0);S= la sa) p-(2 £0); C= [2,20] 2 Từ đĩ do M và N tương ứng là trung điểm của AB và BC nên cĩ: M= [05:0 :N =[a: S0] <> SM= " - và DN =(-a;2a;0) Theo cơng thức tính gĩc ta cĩ: d2 re 5 cos(SM, DN) = lcos(SM, DN | = Nhận xét:
So sánh với lời giải bằng phương pháp hình học thuần túy của thí dụ này (xem thí dụ 1, loại ! §3, bài giảng số 2) thì thấy rằng phương pháp hình học thuần túy cĩ vẻ đơn giản hơn!
Thí dụ 3: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A — 2008)
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B°C` cĩ độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuơng tại A, AB =a, AC = av3 và hình chiếu vuơng gĩc của đình A' trên (ABC)
là trung điểm của cạnh BC Tính cosin của gĩc giữa hai đường thắng AA' và B’C’
Gọi M là trung điểm của BC Ta cĩ:
BC = V3a” +a” =2a
=BM =MC =BA=a
= ABM là tam giác đều cạnh a
Gọi E là trung điểm BM, ta cĩ
av3
AE LBC; EM ==; Ag = 283
2` 2
Dựng hệ trục tọa độ Mxyz trong đĩ
Mx/⁄/AE (xem hình vẽ) Trong hệ trục tọa độ này ta cĩ: \x
M =(0;0;0);A [ > 0A =(0;0;ax3];B(0;~a;0);C(0;a;0)
Chú ý rằng A'M =⁄A'A? -AM? = 4a? =a? =aA3
Từ đĩ: AA"= Gea wil BC =(0;2a;0)
Trang 4Vậy ta cĩ cos(AA',B'C')= leos(AA".B€)) (do BC//B°C’)
late cà an l
_|JAAIBC|- ` ay: 2824 4)
ata
Nhận xét: So sánh với lời giải bằng phương pháp thuần túy cũng của thí dụ: rên (xem thí dụ I, loại 1, §3 — bài giảng 2), ta thây phương pháp tọa độ của vectơ
phức tạp hơn - -
Thí dụ 4: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khoi D —- 2007)
Cho hình chĩp tứ giác S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang trong đĩ
ABC = BAD = 90°, BA = BC = a, AD = 2a, SA =a2 và SA vuơng gĩc với mặt
phang day ABCD Chimg minh SC L CD z Giải Do SA L (ACBD) và BAD = 90” nên dựng hệ trục Axyz (xem hình vẽ) Trong hệ trục nảy, ta cĩ: A = (0:;0:0): B = (a:0:0): D = (0;2a;0): C = (a:a:0): A YS= (0:0: aV2 ) Tir do: SC = (aza: -a2) CD= (-a:a:0)
x Do dé SC.CD = -a° +a° =0 => SC LCD=> dpem
Thi du §: (Đề thi tuyển sinh Đại học khỗi B - 2007)
Cho hình chĩp tứ giác déu S.ABCD canh day bang a Goi E là điểm đối xứng của D qua trung diém ctia SA Goi M, N lan luot là trung điểm của AE BC
1) Chong minh MN Lt BD
2) Tinh theo a khoang cach giita hai duong thang MN, AC
Trang 52 a.l^2 Tà 2 — Ta cĩ N= av? av? 9) MN = _3av2 9h ; BD =(0;-aV2;0) 4 4 4 2 Vay MN.BD=0 => MN L BD (đpem) 2/ Tacé AC = (av2:0:0) Theo cơng thức tính khoảng cách ta cĩ: | MN.AC | AC |.NC d(MN, AC) = [wn AC] (1) ol chị h 3a/2|3a/2 °I-|s®Zz] Ta cĩ: [MN.AC]= 0 2l:| 2 2 ~ 4 0 0| lọ a2 lÌaw2 al Lại cĩ: NC = (22 -*20)- [MN AGING = 22, 4 2 4 anh Thay lai vào (1) ta cĩ: d(MN,AC)=: 4 _ay2 ah 42 4 2 “ Nhạn xét:
So sánh với lời giải của thí dụ trên nhưng bằng phương pháp hình học thuần túy (xem thí dụ 2 loại 2, §2, bài giảng 2) fa thấy với thí dụ này, cách giải bằng phương pháp thuần túy là đơn giản hơn!
Thí dụ 6- (Dé thi tuyển sinh Đại học khối B —- 2006)
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; = = a2: : SA =a và SA vuơng gĩc với mặt phăng (ABCD) Goi M va N lần lượt âu trung điểm của AD và SC Chứng minh rằng (SAC) và (SMN) là hai mặt phăng vuơng gĩc với nhau
Dựng hệ trục tọa độ Axyz với goc toa dé tai A (xem hinh vé) Trong hé truc nay ta cĩ:
=(0;0;0); B =(0:a:0): D=(av2;0:0):
C =(av2:a:0): S= (0:0:a): M -[t n0
(2) 4
Tir do: SA = (0;0;~a): AC =(ay2;a:0), SM = cr 0;- sj [22 io
Trang 6_— —— ——_ 0 -all-a 0| |0 0 2 2 Ta co ni=[SA.aC]-|) ol avi! lav2 II ;—a v2;0), #2lJA2 sg | n; =[SM MB | = 4), 2 1| 2 - aed 2,a742 » a 0 0 _ a2 1 a2 » 2 * 2 z 2 2 Như vậy n,n,=a°-a'=0=n, L n, => (SAC) L (SMB) = đpecm - Nhận xét:
Trong thí dụ 1 loại 2, §1 bài giảng 2 ta
đã giải thí dụ này bằng phương pháp
hình học khơng gian thuần túy So Ÿ sánh hai cách giải và thấy rằng thí dụ này nên sử dụng phương pháp thuần
; túy sẽ tốt hơn
Thi du 7: (Dé thi tuyén sinh Đại học khỗi A - 2007)
Cho hình chĩp tứ giác S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh bằng a Mặt bên
SAD là tam giác đêu và năm trong mặt phăng vuơng gĩc với đáy Gọi M,N, P lần Tượt là trung điểm của SB, BC,CD Chứng minh rằng AM L BP
Giải:
Gọi H là trung điểm của AD Do SAD là tam giác đều nên ta cĩ SH L AD
=> SH 1 (ABCD) (vi (SAD) 1 (ABCD)
Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, gốc H như hình vé, o day Hy//AB Trong hé truc tọa độ này, ta cĩ: H=(0;0;0);S| 0;0;—Š” a3 |, B=| Š;a0];c=[-3:a0];D =| —3:00 ]A =[ 5:00] 2 2 2 `2 2 Ta tính được: M = a a av3 ;N=(0;a;0);P= 2.2.0], 42 4 2 2 Do dé AM = 4 2 av3 va B =| ~a.~5:0) 42 4 2 2 2 Ta cĩ: AM BE = TT =0 = AM 1 BP = dpem
Thi du 8: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối B - 2002) Cho hình lập phương ABCD.A;B,C;¡D; cạnh bằng a
1/ Tính khoảng cách giữa hai đường thắng A¡B và B,D
2/ Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B.B, CD, A¡D¡ Tính gĩc
giữa hai đường thắng MP và CN
Trang 7Giải z
1/ Dung hệ trục tọa độ Axyz (xem hình vẽ) Trong hệ trục này, ta cĩ:
A(0;0;0); B(a;0;0); C(a;a;0); D(0;a;0); Ai(0;0;a); B,(a;0;a); C,(a;a;a); D,(0;a;a) Từ đĩ ta cĩ: A,B=(a;0;-a);B,D =(~a;a;~a) =[Aãa]-|Ì > a —â| |— Dy -al l—a al ja 0 kì —a ~a a ]-(°2xse), Lại cĩ A,B, =(a;0;0) do đĩ [A.B.B.D].A.B fh [nnnp] ee 2/ Do M,N, P là trung điểm của B;B, CD, A,D; nên ta cĩ: M(s05 ];N| ¡a0 ]P[02:4) 2) 2 2 Ta cĩ: MP =(-a:2;2) va CN=[~3:0-a) 22 2 d(A, B, B,D) - 2 2 Từ đĩ: MP.CN= —— =0 = MP L CN Vậy gĩc giữa MP và CN bằng 90” Nhận xét:
Trong thí dụ 1, loại 3, §2 bai giảng 2, ta đã sử dụng phương pháp hình học thuần túy đề giải thí dụ minh họa cho việc: Bài ra dưới đạng hình học khơng gian (chưa hè cĩ
tọa độ), nhưng nếu giải bằng phương pháp tọa độ thì lời giản đơn giản hơn
Bình luận chung:
Các bài thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng trình bày trong các thí dụ trên
đều đưa đến dạng của một bải tốn hình học khơng gian chứ khơng phải đến dạng
một bài hình học giải tích khơng gian Chúng tơi đã trình bày các lời giải của các bài thi ây bằng phương pháp sử dụng phép tính tọa độ trong khơng gian (cụ thé là phép tính tọa độ đơi với các phép tính trên vectơ như tích vơ hướng, tích cĩ hướng của các
vectơ trong khơng gian, các cơng thức tính khoảng cách, tính gĩc giữa hai vectơ )
So sánh với lời giải bằng phương pháp sử dụng hình học thuần túy đề giải các
bài thí trên đã trình bày trong bài giảng sơ 2 ta nhận thấy: Nhìn chung hai phương
pháp giải mỗi phương pháp cĩ một lợi thế riêng:
- Phương pháp tọa độ lời giải cĩ định hướng rõ ràng, mặc dù tính tốn cĩ thể hơi phức tạp hơn nhưng dễ áp dụng hơn và vẫn được chấp nhân
Trang 8š cĩ phân gọn gàng hơn, tránh được các tính tốn, điều mà các em học sinh bây lờ cĩ kĩ thuật tính tốn khơng được thành thạo (và vì thé ho ngai tinh toan)
Cĩ thể thấy với hai thí dụ 5 va 6 phuong phap str dung hinh hoc thuan tay gon any hon, Cac thi du con lại hai phương pháp giải cĩ thể xem là tương đương Sự ưa chọn phương pháp giải với các thí dụ này cịn phụ thuộc vào sở trường của tgười giải Cịn trong thí dụ 8 thì ngược lại, dùng phương pháp tọa.độ để giải lại ron gang hon
Dưới đây chúng tơi sẽ trình bày các thí dụ mà đầu bài được ra dưới dạng tọa_ lộ (tức là dưới dạng của một bài tốn hình học giải tích khơng gian) Dưới dạng tày đĩ nhiên tạo ra cảm giác ban đầu cho người làm bài là nên sử dụng phương 2háp tọa độ trong khơng gian đề giải nĩ
Thí dụ 9: (Dé thi tuyển sinh Dai hoc khéi A-2006)
Trong khong gian voi hé toa dd Oxyz cho hinh lap phuong ABCD.A*B°C°D với A(0:0:0), B (1:0:0): D(0:1:0): Aˆ(0:0:1) Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB vàCD Tính khoảng cách giữa hai đường thăng A`C và MN * z Giải | Ta c6 C = (1;1;0) tir dé suy ra: AL ————; D Ny M=[ £2010}: ={ S:1:0}, l ; 1 , Ly 2 2 B ry ỊC “ ee _ \ Ta cũng cĩ: AC = (I:1;1), MN =(0:1:0) meee ^ ¬ Y Từ đĩ theo cơng thức tính Khoảng cách ta cĩ: `~ —— —\+ ~ ee ce nr’ - vi VN [A'C.MN }A'M| d(A'C,MN)=<===————=xz— (1) oo on] Dễ thấy [Atc.ww]-|[L - i b i b ll (10:1) ayer fl ee ay 1 Vi A'M =| —;0:—1 | nên ta cĩ: [A'M.MN LA'M= 2 ~I =—= 2 2 2 | 2 = S\ Thay lại (1) ta cĩ: đ(A"C,MN) = Fear Nhận xét: ‹ ; rel
Từ dạng của đâu bài, ta thây ngay việc sử dụng phương pháp tọa độ đã giải là hồn tồn tự nhiên Phép tính như đã trình bày cũng đơn giản
- Thí dụ này đưa ra dưới dạng hình học giải tích nhưng đã được giải bằng
phương pháp hình học thuần túy trong thí dụ 3, loại 2, §2 — bai giảng 2 Điều lí thú là phép giải bằng phương pháp hình học thuần túy lại cĩ phần đơn giản hơn
Thí dụ 10: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối 4 - 2004)
Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi, AC và BD cắt nhau tại gốc tọa độ Biết A = (2;0;0), B (0:1;0) S(0:0; 242) Gọi M là trung điểm của SC Tính gĩc và khoảng cách giữa hai
đường thăng SA, BM
Trang 9Giải z Ta 06 C = (-2:0:0) => M =(-1:0:V2] Vi vay: SA = (2:0: -22]:BM =([-k=k4) Gọi ở là gĩc nhọn tạo bởi SA va BM, thi SABM| J-2 -4| 6 COSG = Ray a “an Jtrsviele2 43 Vậy u = (SABC) = 30" ~ M3 _— _— [SA.BM]sB Ta cũng cĩ: đ(SA.BM)===———— (l) [SA,BM Ï củ =23V3||-2/2 2 Ta cĩ: | SA BM | v2) v2 a LƠ M||N2 =
Lại cĩ: Sử = (0:l:- 3/2) thay vào (1) ta di dén: d(SA,BM) =
Nhận xi: Thí dụ trên đã được giải bằng phương pháp hình học thuần tủy (xem thí dụ 4 loại 2 §2 bài giảng 2, thí dụ 1, §2, bài giảng L) Cĩ thé thay trong thi dụ này phương pháp dùng tọa độ cĩ phần đơn giản hơn (mặc dù phải tinh tốn) vi cĩ một định hướng giải là rõ ràng
Thi du 11: (Dé thì tuyển sinh Dai hoc khoi A -2003) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxy¿ cho hình hộp chữ nhật ABCD.A`'B'C'Đ' cĩ Á trùng với gốc A 5 của hệ tọa độ, ngồi ra B = (a; 0; a): , /.1\ị ' D = (0:a:0): A" = (0:0; b) (a >0: b> / ' \ KC 0) Goi M là trung điểm của CC" Tìm / 1 \ Tu ¬ \ ` tỉ số > để hai mặt phăng (A)BD) và / Aso Z+=== |b, b / 2 See et A (MBBD) vuơng gĩc với nhau = = é Giải x ‘
Ta gọi K là tâm của đáy ABCD, thì K = & A, Ta cĩ C = (a;a:0), Cˆ= (a;a:b) > M = [sa2)
Dé thay MB = MD; A’B = A’D
— MK 1 BD vaA’K 1 BD
Vay A’KM la gĩc phang tao boi hai mat phang (A’BD) va (MBD) Tur do:
(A’BD) | (MBD) <> A‘KM =90° <> AK KM =0 (1):
Trang 10Do AK =[Š:5:-b):KM=[ 4 42) '2'2 a ` a ` b Vì thế: (1) c-+Ä~~-T~<0@œa=be>Š=I 4 4 2 b tN |
Nhận xét: Thực ra cách giải này đã sử dụng quá nhiều kiến thức của hình học
thuần túy, đĩ là phát hiện ra (1) Chú ý rằng đĩ cũng là cách giải trong thí dụ 2, loại 2, §1, bài giảng 2 Điều khác biệt là ở đoạn sau sử dụng định lí Pitago thay cho tích vơ hướng
Thi du 12: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối D — 2004)
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng với A(a;0:0); B(-a;0;0); C(0;1;0); B,(—a:0;b) với a > 0; b> 0
¡/ Tìm khoảng cách giữa hai đường thăng B,C và AC theo a và b
2/ Cho a, b thay đổi và thỏa mãn a+b=4 Tìm a, b để khoảng cách ở câu | là lớn nhất Ta co ngay A, = (a;0;b); C; = (0;1;5b) Từ đĩ suy ra: BC= (a;1;—b): AC, = (—a:1;b);CC, =(0;0;b) -b a Như vậy — ——— I—b a | meme (eH, | = (2b;0;2a) => |B€,A,€ |cc; = 2ab Theo cơng thức tính khoảng cách ta cĩ: [Bc.Ae] IS 2ab ab
[BC.AC | ava? +b Jae
2/ Theo bat đăng os Cơsi ta cĩ:
d(B,C,AC,)= 1e tb V2ab ab _Ý « 1 a+ a 2 — 2 (doa+b=4),
Tir dé max d(B,A.AC, ) = esas =
Thi du 13:
Trong khơng gian cho hình hộp chữ nhật ABCD.A"B°C°D' với tọa độ các đỉnh như sau: A'(0;0;0), B'(a;0;0), D°(0;b;0); A(0;0;c) (trong đĩ a, b, c> 0) Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, B’C’, C’D’, DD’ Tìm mối liên hệ giữa a, b,c để PR L QS d(B,C.AC,)= Giải
Ta cé C’ = (a;b;0); B = (a; 0; c) ; C = (a; b; c); D = (0; b; c) Từ đĩ theo cơng thức tính tọa độ trưng điểm ta cĩ:
P -($:0:£)}.0 =[=5:0) R =[Š:0Jjs= |2) 2 2 2 2 2
Trang 11=> PR =(0;b;-c); QS= (sỹ: wie wie Ne” > y N D Vậy PR.LQS ©PR QS =0 BN | b2 c NY c s ©—-—=0©b=c IS “4 2 2 | ` Wea Thi du 14: Dé thi tuyén sinh Dai hoc A= ol x _K Dp’ _,, khối B - 2003) aa
Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz a á c cho hai điểm A(2:0;0), B(0;0;8) và điểm C
sao cho AC = (0;6;0) Tim khoang cach tir
trung điểm I của BC đến đường thăng OA Giải Từ AC= (0;6;0) va A (2;0:0) suy ra C(2;6;0) Vì [ là trung điểm của BC nên I (1:3;4) [z5] Tacĩ: dLOA)=—————— (.OA)=—sz (Ì) —— wee —x 34 I jl 3 5 —í1-3-äá\: =(2-0- = —=(n-§-— Ta cĩ Ọ =(1;3:4):OA =(2:0;0); = [01.04 | | Ho 2k 2b 1 (0;8;-6) ừ đĩ theo (1) ta cĩ: d(I,OA)=-==—==—== ey = Š 22+0°+0!
§2 TINH THE TICH KHOI DA DIEN BANG PHEP TINH TOA DO TRONG KHONG GIAN
Phương pháp giải ở đây về cơ bản cũng giống như phương pháp đã trình bày trong §1 Phuong phap nay co cai ưu việt là khơng cần xác định chiều cao khối đa diện (điều mà trong nhiều bài tốn thể tích khối đa diện sẽ gặp khĩ khăn)
Thi du 1: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối 4 — 2003)
Trang 12vw La 5A 'Dị= ak a 0 10 a ) = {sat ) 1 2 -la“b+a?b~ ab da 1 os} - a*b Do vay: Vargmp = QIAT A'B,A'D ja’ a “TT (dvtt) Nhán xét:
Trong bài giải sé | chúng ta đã sử dụng phương pháp hình học khơng gian thuần túy (đưa thê tích khối cần tìm thành hiệu thể tích của hai khối) (xem thí dụ 3, loại 2.§1~ Bài giảng 1) dé giải thí dụ trên Với thí dụ này cách giải bằng phương pháp tọa độ là để sử dụng (vì cĩ đường lối rõ rằng và việc tính tốn là đơn giản)
Thí dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối 4 - 2004)
Trong khơng ø gian với hệ trục tọa độ Oxyx cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi ÁC cắt BD tại pộc tọa độ O Biết A(2;0;0), B(0;1:0) S(0:0:2V2) Gọi A lễ
& 5.0: «fe
S(0:0 22) Gọi M là trung điểm của cạnh SC Tính thé tich hinh chop S.ABMN ở đây N là giao điểm của SD với mặt phẳng (ABM)
Giải:
Do ABCD 1a hinh thoi tam O nén ta cd Do AB//DC => AB/(SDC)
(MAB)¬(SDC) =
ở đây MN/AB Vi M là trung điểm của SC, nén N là trung điểm của SD Ta cĩ: C=(~2;0:0):D=(0:—1:0) Từ đĩ: M ={I-:0:~/2]:N =“ Ta cĩ: \ ` ee v2 |: SM =(~1:0;-V2); SB =(0:1:-2V2) Ve aman = Ve anw + Ve wom = = SB.SN | SA] + cÏSBSN SM| a) | ~2V2 0 1 3 CĨ: [SB.SN ]= _ _ HT nh -4 =(-2v2;0:0) [st SN ÌSA ==4V2: [SB.SN |SM = 2⁄2 (2) 'y (2) vao (1) ta 6: Ve aay = -(4V2 +2v2) = V2
nxét: Bang phuong phap so sanh thé tích trong thí dụ 1, loai 2§, bai giang lãi thí dụ trên bằng phương pháp hình học thuân túy
Trang 13Thí dụ 3: (Đề thi Tốt nghiệp Trung học Phổ thơng — 2003)
Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho bởi điểm A(2:4:-l): B(1:4: —1); C(2:4:3): D(2:2: -l)
1/ Chứng minh AB L ÁC; AC L AD; AD L AB 2/ Tính thẻ tích khối tứ điện ABCD
1/Ta cĩ: AB= (-1:0;0):AC = (0:0:4):AD =(0:-2;0) A
Từ đĩ cĩ ngay: AB.AC= Ac AD= = M lạ =0 = đpcm
[ _Í lba 0|
2/ Ta cĩ: AB, AC | |e (0:40)
J4 0 i‘ ]
lips oes - 4 C
Do đĩ: V ancy = ve GIL AB, AC | JAD =+|-8|=` đvt, 6 3
Nhadn xét: V6i cau 2 ta cé thé lam như sau:
Từ câu l/ suy ra: D
l l | 4
Vasco = Vaacp = 7 BASacy => AB.AC.AD =—1.4.2=—
, 3 6 6 3
Bình luận:
Với ba thí dụ trên do đầu bài ra dưới đạng tọa độ, nên việc học sinh lựa chọn phương pháp tọa độ đề tìm thê tích khối đa diện là hợp lí Dưới đây ta sẽ xét các ví du tim thé tích khơi đa diện trong các bài tốn mà ở đạng đâu bải nĩ được cho dưới dạng một bài tốn hình học thuần túy (chưa hề cĩ tọa độ) Ta sẽ giải chúng bằng phương pháp tọa độ và so sánh lời giải này với lời giải bằng phương pháp hình học thuần túy
Thí dụ 4: (Đề thì tuyên sinh Đại học khối B — 2006)
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chit nhat voi AB = a, AD = a2 SA = a và SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung
điểm cua AD va SC, I la giao diém của BM và AC Tìm thể tích khối tứ diện ANIB
Trang 14NA-|_3v3, 2.2 g~[_4V2.4, 2Ì Nị.[_aV2 _a_a 2 2 2 "22 6`” 6 2 Từ đĩ _ _a _3 _av2 _av2 a [NA,NB] = 2 2 2 2 2 [S04] a -8){a _av2}| av2 al) 2 2l] 2 2 2 2 \? : " IEccsalxa la aV3| a5 Vì vậy: Vaxis = & | NA-NB ].Nil =—}- Dt eat
Nhận xét: Rõ ràng phương pháp tọa độ để giải thí dụ này phức tạp hơn hắn phương pháp dùng hình học thuân túy đề giải nĩ (xem lời giải trong thí dụ 5, loai 1, §T, bài giảng số 1)
Thi du 5: (Dé thi tuyén sinh Đại học khối D — 2009)
Trang 153 đai 4a ZA||[ 2a a
3 34] 3 3|] 3 3l| Í 4a” 24”
_2a 4all 4a 2a|| 2a 2a 3 3113 3l 3 3 3 3
ly œirai l| lĩa`” 8a°} 4a?
we =c|L1A.IB ].c = ape =o (aut,
cét: So voi cach giải thuan tay bang hinh hoc (xem thi du 3, loai 1, §1,
) cách giải bằng phương pháp tọa độ thua kém hắn về mọi mặt, Nĩi
khơng nên dùng phương pháp tọa độ trong trường hợp này
MỘT SỐ BÀI TỐN KHÁC SỬ DỰNG PHƯƠNG
PHÁP TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
Trang 16=> [ AB, AC LAD =-8#0 Vậy ba vecơ AB.AC, AD khơng đồng phăng
tức là ABCD lập thành một tứ diện 2/ Gol M = (x, y, 2), ta co:
MA? + MB? + MC? + MD? =(x~2)' +(y-4) +(z+1) +(x-l) (yt 4) + (241)
+(x-2) +(y—4) +(z-3} +(x~2} +(y-2) +(z+U =4x” +4y” +4z —L4x — 28y = 77 _ (_ TY ¬ 4s 63 =4{x-2 +a[y-2) +4z + (1) 4 Tu (1) suy ra: min(MA* + MB? +MC? + MD") 3 ye é mim `< II t2 <4 N lỊ OQ II ooo | t oO ¬———_——~x
Chú ÿ: Cĩ thê giải như sau:
ngay tọa độ của tứ diện theo cơng thức sau:
Trang 17BÀI TẬP TỰ GIẢI
Dùng phương pháp tọa độ để giải các bài tốn về tinh thẻ tích khối đa điện sau sau đĩ hãy so sánh với lời giải bằng cách sử dụng phương pháp hình học thuần túy:
Bail: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A- 200 7)
Cho hình chĩp S.ABCD, đáy là hình vuơng ABCD cạnh a, “mặt bền SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phăng vuơng gĩc với đáy ABCD Gọi M,N, P lần lượt là các trung điểm cia SB, SC, CD Tìm thể tích tứ điện CMNP a3 - Dap so: —-—— Pe” 06 - Lời giải bằng phương pháp hình học xem thí dụ 4, loai 1, $1, bài giang sé 1 Bai 2: Cho hinh hép day ABCD.A°B°C’D® co day là hình vuơng cạnh a, canh ben AA' =h Tìm thẻ tích tứ diện BDD`C' ; ; a1 - Dap so: — 6 Sử dụng phương pháp tọa độ đề giải các bài tốn sau: Bài 3:
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuơng gĩc với đáy cạnh SB tạo với mặt phăng đáy một gĩc 60” Trên av3 cạnh SA lấy điểm M sao cho AM= ~~ Mat phang (BCM) cat canh SD tai diém N Tìm thẻ tích khối chĩp S.BCNM - Dap so: 10434) 27 -
Bài 4: (Đề thi tuyển sinh Đại học Hùng Vương — 2006)
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA=a và SA vuơng
gĩc với mặt phăng (ABCD) Tính khoảng cách giữa hai đường thăng BD và SC
Dip so: ave
6
Bais:
Cho hình chĩp S.ABCD co day ABCD Ia hình vuơng canh a, SA vudng goc voi mat phang (ABCD) va SA=a Gọi E là trung điểm của CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thăng BE
Đáp số: 3av>
3
Trang 18Bài 6:
Trong khơng gian cho tứ diện OABC với A(0:0;ax3) ;B(a;0;0);
C(0;av3;0) (a>0) Gọi M là trung điểm của BC Tìm khoảng cách giữa hai
đường thắng AB và OM
; aw15
s
Dap so:
Bai 7: (Dé thi tuyén sinh Cao đẳng Sư phạm Tây Ninh - 2006)
Trong mặt phẳng (P) cho hình vuơng ABCD cạnh bằng a Qua trung điểm Ì của cạnh AB dựng đường thăng d vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD) Trên d lấy av3 TT: L/ Tìm thẻ tích hình chop S.ACD 2/ Tim khoảng cách từ C đến (SAD) a`3 ai oy SNe 2 diém S sao choSI = Dap so: 1/ Bai 8:
Hình chĩp S.ABCD cĩ day ABCD 1a hinh thoi tam I, canh bang a va duong chéo BD = a Canh SC = av6 mat phang (SAB) va (SBD) vuơng gĩc với nhau