Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 42 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
42
Dung lượng
10,7 MB
Nội dung
Véctơtrongkhơnggian – Thầy Huy – 0968 64 65 97 Chương III VÉCTƠTRONGKHÔNGGIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONGKHÔNGGIAN §1.VÉC TƠTRONGKHÔNGGIAN . I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VÉCTƠTRONGKHÔNGGIAN 1. Đònh nghóa Véctơtrongkhônggian là một đoạn thẳng có hướng .Ký hiệu , chỉ rõ véctơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B.Véc tơ còn được ký hiệu : * Các khái niệm về giá của véc tơ,độ dài của véc tơ, sự cùng phương ,cùng hướng của hai véctơ ,véc tơ -không ,sự bằng nhau của hai véctơ được đònh nghóa tương tự như trong mặt phẳng . 1. Phép cộng ,phép trừ véctơtrongkhônggian . * Phép cộng và phép trừ hai hay nhiều véctơtrongkhônggian ,được đònh nghóa tương tự như phép cộng và phép trừ hai véctơtrong mặt phẳng . Phép cộng véctơtrongkhônggian cũng có các tính chất như phép cộng véctơtrong mặt phẳng .Khi cộng véctơtrongkhônggian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc 3 điểm ,quy tắc HBH,như đối với véctơtrong mặt phẳng . Ví dụ : Cho tứ diện ABCD 1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD .Chứng tỏ rằng 2.Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi Với mọi điểm P Trang 1 A B C D M NH K I Véctơtrongkhơnggian – Thầy Huy – 0968 64 65 97 Bài giải : 1. Sử dụng quy tắêcba điểm : Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta có : Tương tự : 2. Trong tam giác AGB có GM là trung tuyến ,cho nên ,theo tính chất của véctơ trung tuyến ta có Tương tự ,trong tam giác DMC với GN là trung tuyến ta có : Từ đó ,lấy (1) cộng với (2) : Mạt khác với một điểm P bất kỳ ,ta xét các tam giác PAB ;PCD và PMN .Thứ tự có các đường trung tuyến PM,PN và PG .Áp dụng quy tắc trung tuyến ta có 3 kết quả sau . Hay : * Quy tắc hình hộp : Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB,AD,AA' và có đường chéo AC' .Khi đó ta có quy tắc hình hộp là : 3. Phép nhân véctơ với một số . * Các kết quả trong mặt phẳng đều áp dụng cho trongkhônggian . Ví dụ1 : Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC .G là trọng tâm của tam giác BCD.Chứng minh rằng : Trang 2 A B C D A' D' C' B' Véctơtrongkhơnggian – Thầy Huy – 0968 64 65 97 Bài giải : Như ta dã biết ,trong tam giác BCD ,nếu G là trọng tâm thì : Theo quy tắc ba điểm ta có :( Kết quả của ví dụ 1). b) Cũng theo quy tắc ba điểm ,ta có ba kết quả sau : II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉCTƠ 1. Khái niệm đồng phẳng của ba véctơtrongkhônggian * Trongkhônggian cho ba véctơ . Nếu từ một điểm O bất kỳ ta vẽ ,khi đó có thể xảy ra hai trường hợp : • Trường hợp OA,OB,OC không cùng nằm trong một mặt phẳng ,khi đó ta nói rằng ba véctơkhông đồng phẳng . • Trường hợp OA,OB,OC cùng thuộc một mặt phẳng ,thì khi đó ta nói ba véctơ đồng phẳng . Trong trường hợp này giá của ba véctơ luôn song song với một mặt phẳng . 2. Đònh nghóa Trongkhônggian ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng song song với một mặt phẳng . * Ví dụ 3 : Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh ba véctơ đồng phẳng . Bài giải : Gọi P,Qlần lượt là trung điểm của AC và BD .Ta có PN // MQ và PN=MQ=1/2 AD. Trang 3 A B DC A M N P Q C B A M N P Q C B A M N P Q C B D C A M N P Q C B Véctơtrongkhơnggian – Thầy Huy – 0968 64 65 97 Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành .mp(MNPQ) chứa đường thẳng MN và // với các đường thẳng AD và BC . Vậy suy ra ba đường thẳng MN,AD,BC cùng // với mặt phẳng .Do đó ba véctơ đồng phẳng . 3. Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng Đònh lý 1 Trongkhônggian cho hai véctơ và đều khác véctơkhông và không cùng phương ,với một vectơ .Khi đó ba véctơ gọi là đồng phẳêng khi và chỉ khi có cặp số m,n sao cho . Ngoài ra cặp số m,n là duy nhất . Ví dụ 4. Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD .Trên các cạnh AD và BC lần lượt lấy P và Q sao cho . Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc một mặt phẳng . Bài giải : Ta có : Theo kết quả của ví dụ 1 : . Trang 4 y M' B O z M C c x Õ M' A B M A P B M Q C D N Véctơtrongkhơnggian – Thầy Huy – 0968 64 65 97 Mặt khác theo giả thiết : Chứng tỏ M,N,P,Q cùng thuộc một mặt phẳng ( do đồng phẳng ). Đònh lý 2: * Trongkhônggian cho ba véctơkhông đồng phẳng . Khi đó với mọi véctơ ,ta đều chọn được một bộ ba số m,n,p sao cho : +n . Ngoài ra bộ ba số m,n,p là duy nhất . * Chứng minh đònh lý dựa vào hình vẽ bên Ví dụ 5. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Có , . Gợi I là trung điểm của BC'.Hãy biểu thò véctơ AI theo ba véctơ . Bài giải : Ta có Do I là trung điểm của BC' nên AI là trung tuyến của tam giác ABC',cho nên theo quy tắc trung tuyến ta có : BÀI TẬP TRONG HH-11-CƠ BẢN ( Trang 91-HH11-CB) Bài 2. Cho hình hộp ABCD ,A'B'C'D'. Chứng minh rằng Trang 5 B C D NQ C D N x y A B C D D' x y z A B D D' A D B' A B B C D C' B' A' D' Véctơtrongkhơnggian – Thầy Huy – 0968 64 65 97 Bài giải : Theo tính chất của hình hộp ta có các cặp véctơ bằng nhau sau : Do vậy : ( Từ (2) và (3).) Bài 3. Cho hình bình hành ABCD . Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa HBH. Chứng minh rằng : . Bài giải : Gọi O là giao của hai đường chéo AC và BD của HBH. Xét hai tam giác SAC và SBD ,chúng có chung đường trung tuyến SO. Theo tính chất của đường trung tuyến : : Bài 4. Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD .Chứng minh rẳng : Bài gi ả i : Trang 6 Véctơtrongkhơnggian – Thầy Huy – 0968 64 65 97 Bài 5. Cho tứ diện ABCD .Hãy xác đònh hai điểm E và F sao cho Bài giai : a)Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD . Theo tính chất của trọng tâm tam giác với một điểm A tuỳ ý ta có : Chứng tỏ E nằm trên đường thẳng AG và độ dài của AE =3AG . b) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BC và AD .Thì : Vậy : F nằm trên đường thẳng đi qua A // với Ị và có độ dài bằng hai lần độ dài của IJ Cách khác : Với E là đỉnh thưc tư của HBH ABGC và E là đỉnh thứ tư của hình bình hành AGED. Hay nói một cách khác E là một đỉnh của hình hộp coa ba cạnh là AB,AC,AD . Tương tự ,G là đỉnh thứ 4 của hình bình hành ABGC ,còn F là đỉnh thứ 4 của hình bình hành ADGF. (cách xác đònh chúng như hình vẽ ) Bài 6. Cho tứ diện ABCD.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .Chưng minh rằng : Bài giải : Theo giả thiết ,nếu G là trọng tâm tam giac ABC thì : Trang 7 A B C D M N A B C D G E E F Véctơtrongkhơnggian – Thầy Huy – 0968 64 65 97 Do (1). Bài 7. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD.Gọi I là trung đoạn của đoanj thẳng MN và P là một điểm bất kỳ trongkhônggian .Chứng minh rằng : Bài giải : a) Nếu M và N là trung điểm của AC và BD . F là trung điểm của MN thì : b) Theo quy tắc ba điểm : Bài 8. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có : . Hãy phân tích (biểu thò ) các véctơ ,theo các véctơ . Bài giải : Theo hình vẽ thì : Bài 9. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC).Trên SA lấy điểm M sao cho ,và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho Chứng minh ba véctơ đồng phẳng . Bài giải : Trang 8 A B C A' B' C' Véctơtrongkhơnggian – Thầy Huy – 0968 64 65 97 Đặt : . Khi đó ta biểu diễn ba véctơ theo ba véctơ . Ta có Chứng tỏ ba véctơ đồng phẳng. Bài 10. Cho hình hộp ABCDEFGH;, Gọi K là giaiểm của AH và DE ,I là giao của BH và DF. Chứng minh ba véctơ đồng phẳng . Bài giải : Đặt : . Hãy biểu diễn ba véctơ theo ba véctơ . Vì vậy ta có : Thay (2) và (3) vào (1),ta có : Chứng tỏ ba véctơ đồng phẳng. TRONG HH-11-NÂNG CAO (Trang 91) Bài 2. Cho hình chóp S,ABCD. a) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì . Điều ngược lại có đúng hay không ? b) Gọi O là giao điểm của AC và BD .Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi . Bài giải : Trang 9 B A C D E E F G H K I Véctơtrongkhơnggian – Thầy Huy – 0968 64 65 97 a) Nếu ABCD là hình bình hành thì gọi O là giao hai đường chéo AC và BD thì : Ngược lại ,từ giả thiết : . Chứng tỏ điều ngược lại cũng đúng . b) Từ (1) suy ra hệ thức véctơ : Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A'B'C'. I là giao điểm của đường thẳng AB' và A'B .Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG' song song nhau . Bài giải : Gọi M và N thứ tự là trung điểm của hai cạnh BC và B'C' . Đặt . Ta biểu diễn hai véctơ GI và véctơ CG' theo ba véctơ . Từ (2) chứng tỏ hai véctơ cùng phương .Nhưng vì hai véctơkhông có chung gốc nên hai giá của hai véctơ này // nhau ,nghóa là ta có GI // CG'. Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi M,N thứ tự là trung điểm của CD và DD'; G và G' lần lượt là trọng tâm của tứ diện A'D'MN và BCC'D'. Chứng minh rằng đường thẳng GG' và mặt phẳng (ABB'A') song song với nhau ? Trang 10 I G G' A B C A' B' C' . Véc tơ trong khơng gian – Thầy Huy – 0968 64 65 97 Chương III VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN §1.VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN . I véc tơ trong mặt phẳng . Phép cộng véc tơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng véc tơ trong mặt phẳng .Khi cộng véc tơ trong không gian ta