Luận văn thạc sĩ Vật lý kỹ thuật: Mô phỏng tính chất quang học của tinh thể quang tử khuyết tật lục giác

LỜI MỞ ĐẦU Tinh thể quang tử được tạo thành từ các cấu trúc điện môi hoặc kim loại - điện môi được thiết kế để tác động lên sự lan truyền của sóng điện từ tương tự như cách các hố năng l

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Bách Khoa – ĐHQG TP HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: Tiến sĩ Đinh Sơn Thạch Cán bộ chấm nhận xét 1: TS Huỳnh Quang Linh Cán bộ chấm nhận xét 2: TS Lý Anh Tú

Luận văn được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 21 tháng 11 năm 2013

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1 TS Trần Thị Ngọc Dung – Chủ tịch hội đồng 2 TS Phạm Thị Thu Hiền – Thư ký hội đồng 3 TS Huỳnh Quang Linh

4 TS Lý Anh Tú 5 TS Đinh Sơn Thạch

Xác nhận của Chủ Tịch Hội đồng đánh giá luận văn và Trưởng khoa quản lý chuyên môn sau khi luận văn đã được sửa chữa

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

- -

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: ĐINH THỊ MỸ NGỌC MSHV: 11120675 Ngày tháng năm sinh: 07/08/1987 Nơi sinh: Bình Thuận

I TÊN ĐỀ TÀI: MÔ PHỎNG TÍNH CHẤT QUANG HỌC CỦA TINH THỂ QUANG TỬ KHUYẾT TẬT LỤC GIÁC

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG LUẬN VĂN:

1 Nghiên cứu lý thuyết tổng quan về tinh thể quang tử và ứng dụng của nó 2 Khảo sát các phương pháp và phần mềm mô phỏng cho tinh thể quang tử 3 Thiết kế và khảo sát các tính chất quang học của tinh thể quang tử có khuyết tật H1 trên hai phần mềm mô phỏng MPB và MEEP

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: Tiến sĩ Đinh Sơn Thạch

Tp HCM, ngày tháng năm 2013

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN TRƯỞNG KHOA

LỜI CẢM ƠN



Trong quá trình học tập tại Trường Đại Học Bách Khoa, Ngành Vật Lý Kỹ Thuật, tôi đã được sự giảng dạy tận tình của các thầy cô - những người đã cung cấp cho tôi kiến thức và giúp tôi trưởng thành trong học tập và nghiên cứu khoa học Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Khoa Học Ứng Dụng, đặc biệt là các thầy cô ngành Vật lý kỹ thuật đã truyền đạt cho tôi những kiến thức mới và niềm đam mê khoa học

Tôi muốn gởi lời cảm ơn chân thành nhất đến T.S Đinh Sơn Thạch đã định hướng, giúp đỡ tôi đồng thời đưa ra những lời khuyên quý báu trong suốt quá trình làm đề tài

Tôi xin cảm ơn chị Ngô Thị Phương, bạn Trương Thùy Kiều Oanh, em Nguyễn An Hòa đã luôn giúp đỡ, động viên tôi giúp tôi hoàn thành khóa luận này

Xin được phép gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong hội đồng đã đọc, nhận xét và giúp tôi hoàn chỉnh luận văn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bè bạn đã quan tâm, chia sẻ những khó khăn, tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp tại trường ĐH Bách Khoa - ĐHQG Tp.HCM

Tuy đã rất cố gắng nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn hẹp nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế nhất định Kính mong nhận được sự góp ý, sữa chữa của thầy cô và các bạn

TP Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2013

Đinh Thị Mỹ Ngọc

TÓM TẮT

Tinh thể quang tử với khuyết tật điểm có thể đóng vai trò như một buồng cộng hưởng tinh thể quang tử Bán kính lỗ có ảnh hưởng đến bề rộng vùng cấm và xác định những tần số cộng hưởng nằm trong vùng cấm được phép lan truyền qua tinh thể Dùng phần mềm mô phỏng MPB và MEEP của MIT để khảo sát ảnh hưởng của bán kính lỗ lên sự hình thành mode cộng hưởng và độ truyền qua của các mode trong tinh thể quang tử khuyết tật H1 Kết quả mô phỏng cho thấy độ truyền qua của tinh thể quang tử tăng lên đáng kể khi dịch chuyển sáu lỗ xung quanh khuyết tật

Từ khóa: tinh thể quang tử, buồng cộng hưởng tinh thể quang tử, khuyết tật

H1, mode cộng hưởng

ABSTRACT

A point defect in photonic crystals can be considered as a photonic crystal cavity The radius of the hole affects the width of bandgap and determines the resonance frequencies in the bandgap which are allowed propagating through the crystals By using the simulation software MPB and MEEP from MIT, the influences of the radius of hole on the creation the resonant modes and the transmission of these modes through the H1 defect photonic crystals are investigated The simulation results show that the transmission of photonic crystals increases significantly as displacing six holes around the defect

Keywords: photonic crystal, photonic crystal cavity, H1 defect, resonant

mode

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan : 1 Những nội dung trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của T.S Đinh Sơn Thạch

2 Mọi tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng tên tác giả, tên công trình, thời gian, địa điểm công bố

3 Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian trá, tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Học viên

Đinh Thị Mỹ Ngọc

Chương 1: TỔNG QUAN VỀ TINH THỂ QUANG TỬ 16

1.1 Định nghĩa tinh thể quang tử 16

1.2 Phân loại tinh thể quang tử 17

1.3 Sóng điện từ trong tinh thể quang tử 18

1.4 Các dạng khuyết tật trong tinh thể quang tử 23

2.2.2 Ưu điểm của phương pháp FDTD 38

2.2.3 Nhược điểm của phương pháp FDTD 38

3.2 Tinh thể quang tử khi chưa có khuyết tật 52

3.2.1 Xác định cấu trúc vùng của tinh thể quang tử 52

3.2.2 Mối liên hệ giữa độ rộng vùng cấm và bán kính lỗ 56

3.3 Tinh thể quang tử với khuyết tật H1 58

3.3.1 Cấu trúc vùng cho mode TE 59

3.3.2 Phân bố điện trường cho các mode cộng hưởng 60

3.3.3 Sự hình thành mode cộng hưởng theo bán kính lỗ 61

3.3.4 Phổ truyền qua của tinh thể quang tử khuyết tật H1 62

3.4 Tinh thể quang tử khuyết tật H1 khi có dịch chuyển Δs 66

3.4.1 Sự hình thành mode cộng hưởng khi có dịch chuyển Δs và phổ truyển qua của chúng 67

3.4.2 Sự phụ thuộc của độ truyền qua của mode dipole theo độ dịch chuyển Δs 73 3.4.3 Tinh thể quang tử khuyết tật H1 với độ dịch chuyển Δs = 0.14a 74 3.4.3.1 Cấu trúc vùng và phân bố trường của mode cộng hưởng 74 3.4.3.2 Độ truyền qua của tinh thể quang tử 76

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT

FDTD Finite Difference Time Domain Sai phân hữu hạn trong

miền thời gian

MEEP MIT Electromagnetic Equation Propagation MIT Massachusetts Institute of Technology Viện công nghệ

Massachusetts

theo phương ngang

theo phương ngang

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Chương 1

Hình 1.1 Tinh thể quang tử nhân tạo 16

Hình 1.2 Tinh thể quang tử trong tự nhiên 17

Hình 1.3 Phân loại tinh thể quang tử: 1D, 2D, 3D 17

Hình 1.8 Ứng dụng của khuyết tật đường: kênh dẫn sóng 25

Hình 1.9 Ảnh Raman của tinh thể quang tử 3D chất nền LiNb03 pha đất hiếm 26

Hình 1.10 Siêu thấu kính 27

Hình 1.11 Các mẫu sợi tinh thể quang tử 27

Hình 1.12 Buồng cộng hưởng tinh thể quang tử trong (a) laser và (b) diod 28

Chương 2 Hình 2.1 Rời rạc hóa theo phương pháp FDTD 33

Hình 2.2 Phân chia vùng trường trong tinh thể 34

Hình 2.3 Mô tả trường tại biên giữa vùng trường tán xạ và vùng trường tổng 35

Chương 3

Hình 3.1 Mô hình tinh thể quang tử cần tạo 51

Hình 3.2 Các dạng buồng cộng hưởng: (a) H1, (b) L3, (c) T3, (d) L4 52

Hình 3.3 Cấu tạo tinh thể quang tử mạng tam giác không có khuyết tật 54

Hình 3.4 Biểu diễn sự lan truyền sóng điện từ trong mặt phẳng xy 55

Hình 3.5 Cấu trúc vùng cho mode TM của tinh thể quang tử mạng tam giác 55

Hình 3.6 Cấu trúc vùng cho mode TE của tinh thể quang tử mạng tam giác 56

Hình 3.7 Sự phụ thuộc độ rộng vùng cấm vào bán kính các lỗ khí 57

Hình 3.8 Mạng tinh thể có khuyết tật H1 58

Hình 3.9 Cấu trúc vùng cho mode TE của khuyết tật H1 59

Hình 3.10 Sự phân bố cường độ điện trường cho 5 mode cộng hưởng 60

Hình 3.11 Sự thay đổi mode cộng hưởng theo bán kính lỗ 61

Hình 3.12 Cấu trúc vùng (a) và phân bố trường (b) của khuyết tật H1 r = 0.3a 62

Hình 3.13 Phổ truyền qua của khuyết tật H1 66

Hình 3.14 Mô hình sự dịch chuyển sáu lỗ khí xung quanh khuyết tật 67

Hình 3.15 Cấu trúc khuyết tật H1 có sự dịch chuyển 69

Hình 3.16 Sự hình thành mode cộng hưởng theo độ dịch chuyển Δs 69

Hình 3.17 Phổ truyền qua của khuyết tật H1 khi có dịch chuyển 72

Hình 3.18 Mối quan hệ giữa độ truyền qua T và độ dịch chuyển Δs 73

Hình 3.19 Cấu trúc vùng của khuyết tật H1 có dịch chuyển Δs = 0.14a 74

Hình 3.20 Phân bố điện từ trường của 5 mode cộng hưởng khuyết tật H1 có dịch

chuyển Δs = 0.14a 75

Hình 3.21 Phổ truyền qua của khuyết tật H1 có dịch chuyển Δs = 0.14a 76

DANH MỤC CÁC BẢNG

Chương 1: Bảng 1.1 So sánh chuyển động của electron trong chất rắn và sự lan truyền của

sóng điện từ trong tinh thể quang tử 22

Chương 3: Bảng 3.1 Sự phụ thuộc của bề rộng vùng cấm theo bán kính lỗ 57

Bảng 3.2 Các mode cộng hưởng 60

Bảng 3.3 Sự thay đổi mode cộng hưởng theo bán kính lỗ 61

Bảng 3.4 Sự hình thành mode cộng hưởng theo độ dịch chuyển Δs 69

Bảng 3.5 Sự phụ thuộc độ truyền qua của mode dipole vào độ dịch chuyển Δs 73

LỜI MỞ ĐẦU

Tinh thể quang tử được tạo thành từ các cấu trúc điện môi hoặc kim loại - điện môi được thiết kế để tác động lên sự lan truyền của sóng điện từ tương tự như cách các hố năng lượng tuần hoàn trong các tinh thể bán dẫn tác động lên chuyển động của electron, tức là tạo ra các cấu trúc vùng năng lượng trong tinh thể Ở đây, có một vùng trống trong cấu trúc năng lượng photon là những kiểu lan truyền mà sóng điện từ không được phép, hay những dải bước sóng không lan truyền được Điều này có thể ứng dụng để ngăn cản phát xạ tự phát, gương định hướng có độ phản xạ cao hay ống dẫn sóng có độ hao tổn thấp [1, 2]

Năm 1964, Purcell dự đoán rằng tốc độ phát xạ tự phát có thể bị ảnh hưởng bởi mật độ các trạng thái mode điện từ [3] Từ thời điểm đó, sự thay đổi của phát xạ tự phát được nghiên cứu bằng số học bởi nhiều nhóm [4, 5] Gần đây, phương pháp số học đơn giản thu được kết quả tốc độ phát xạ tự phát của lưỡng cực được đặt trong buồng cộng hưởng đã đựợc báo cáo [6,7] Một phương pháp điều khiển phát xạ tự phát là tạo buồng có kích thước cỡ bước sóng trong tinh thể quang tử Khi một khuyết tật được tạo ra trong tinh thể quang tử thì các mode cộng hưởng được hình thành bên trong vùng cấm quang tử [8, 10] Có khá nhều các nghiên cứu liên quan đến việc tạo khuyết tật để khảo sát và tối ưu hóa độ truyền qua Jeong-Ki Hwang [11]cùng nhóm nghiên cứu đã nghiên cứu trên khuyết tật tam giác trong tinh thể quang tử hai chiều dùng phương pháp FDTD (finite-difference timedomain method) và thu được kết quả là mode đơn cực không suy biến và vẫn giữ kết quả không suy biến thậm chí buồng cộng hưởng bất đối xứng; O Painter khảo sát các đặc tính quang học của tinh thể quang tử hai chiều được tạo thành bởi dãy các lỗ khí lục giác với khuyết tật là lấp đầy một lỗ khí cũng bằng phương pháp FDTD [12]; hoặc công trình của H Y Ryu cho khuyết tật mạng vuông [13]; Các nghiên cứu còn tập trung vào các vùng bước sóng quang học mà tinh thể quang tử hoạt động như vùng gần hồng ngoại [14, 15], vùng vực tím đến vùng ánh sáng xanh [16] và vùng ánh sáng khả kiến

[17] Ngoài ra các nghiên cứu thay đổi các thông số cấu trúc của tinh thể quang tử như bán kính lỗ, chu kỳ lỗ… cũng được khảo sát

Các tinh thể quang tử có thể được ứng dụng để điều khiển sự lan truyền của ánh sáng Tinh thể quang tử một chiều đã và đang được dùng rộng rãi trong quang học màng mỏng; như tạo ra các lớp phủ lên bề mặt thấu kính hay gương để tạo ra độ phản chiếu thấp hay cao tuỳ ý; hay trong sơn đổi màu và in ấn bảo mật

Các tinh thể quang tử hai chiều và ba chiều được dùng trong nghiên cứu khoa học Ứng dụng thương mại đầu tiên của tinh thể quang tử hai chiều là sợi tinh thể quang tử, thay thế cho sợi quang học truyền thống trong các thiết bị quang học phi tuyến và dùng với các bước sóng đặc biệt (ở đó không có vật liệu truyền thống nào trong suốt ngoài không khí hay các chất khí)

Tại Việt Nam, việc nghiên cứu về tinh thể photonic còn là một vấn đề rất mới mẻ, thu hút được sự quan tâm của nhiều viện nghiên cứu và các trường đại học Đề tài này sẽ tập trung vào mục đích tìm hiểu cách sử dụng hai phần mềm MPB và MEEP của MIT, đồng thời khảo sát các thông số mạng của tinh thể quang tử có khuyết tật cho các tính chất quang học tối ưu…

Do vậy nội dung luận văn được chia làm ba phần Phần 1 là tìm hiều tổng quan về tinh thể quang tử Phần 2 là nghiên cứu các phương pháp tính toán và hai phần mềm mô phỏng cho tinh thể quang tử Cuối cùng là kết quả mô phỏng đạt được và hướng phát triển của đề tài

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ TINH THỂ QUANG TỬ

1.1 Định nghĩa tinh thể quang tử

Tinh thể quang tử là một loại vật liệu mà cấu trúc của nó là sự sắp xếp tuần hoàn của vật liệu có hằng số điện môi khác nhau trong không gian Sở dĩ nó được gọi là "tinh thể" vì nó được hình thành bởi một sự sắp xếp tuần hoàn các khối vật liệu cơ bản Thuật ngữ "quang tử" được thêm vào vì tinh thể quang tử được thiết kế để tác động lên sự lan truyền của sóng điện từ trong tinh thể, tương tự như cách các hố thế tuần hoàn trong tinh thể bán dẫn tác động lên chuyển động của các electron Nghĩa là trong tinh thể quang tử có sự tuần hoàn chênh lệch chiết suất lớn của các môi trường, hình thành nên những dải tần số mà sóng điện từ có thể lan truyền được hoặc không trong tinh thể Các bước sóng lan truyền được phải gần bằng với hằng số mạng của tinh thể, được gọi là các mode, nhóm các mode lan truyền tạo thành dãi Dãi bước sóng không lan truyền được gọi là vùng cấm - không có trạng thái điện từ nào tồn tại Độ rộng của vùng cấm tùy thuộc vào độ chênh lệch của sự tập trung năng lượng điện trường trong hai vùng, hay độ chênh lệch giữa hai hằng số điện môi của hai vùng đó

Hình 1.1: Tinh thể quang tử nhân tạo

Trong tự nhiên, tinh thể quang tử được phát hiện trên cánh của các loài côn trùng như bướm ở Amazon, bọ cánh cứng ở Brazil hay trên lông của chim công Ngoài các màu sắc tự nhiên do sắc tố quy định thì ở chúng còn phản chiếu các màu sắc óng ánh khác thường Khi kiểm tra cấu trúc cánh của chúng thì các nhà khoa học đã tìm thấy một sự sắp xếp tuần hoàn trong cấu tạo của cánh và nhờ đó cho phép một dãi ánh sáng truyền qua và được khuếch đại, tạo nên màu sắc lấp lánh khác biệt

Hình 1.2: Tinh thể quang tử trong tự nhiên

1.2 Phân loại tinh thể quang tử

Dựa vào sự sắp xếp tuần hoàn của điện môi, ta có được ba loại tinh thể quang tử một chiều (1D), hai chiều (2D) và ba chiều (3D)

Hình 1.3: Phân loại tinh thể quang tử: 1D, 2D và 3D

- Tinh thể quang tử 1D: các lớp điện môi sắp xếp xen kẽ nhau trong không gian, tuần hoàn theo một phương nhất định và đồng nhất trong mặt phẳng còn lại

- Tinh thể quang tử 2D: vật liệu điện môi được sắp xếp tuần hoàn theo hai trục và đồng nhất theo trục thứ ba

- Tinh thể quang tử 3D: vật liệu điện môi sắp xếp tuần hoàn theo ba chiều trong không gian

Hiện nay tinh thể quang tử 2D được nghiên cứu phổ biến hơn vì nó dễ chế tạo cũng như dễ xử lý các khuyết tật hơn so với tinh thể quang tử 3D

1.3 Sóng điện từ trong tinh thể quang tử

Khi tìm hiểu về tinh thể quang tử, ta tìm hiểu về sự tương tác của ánh sáng với tinh thể, mà ánh sáng là sóng điện từ, do đó ta khảo sát sự lan truyền của sóng điện từ trong tinh thể quang tử bằng cách giải hệ phương trình Maxwell cho môi trường điện môi

Hệ phương trình Maxwell tổng quát:

⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗⃗

Trong đó: ⃗ ⃗⃗ : vectơ cường độ điện trường, vectơ cường độ từ trường ⃗⃗ ⃗ : vectơ cảm ứng điện, vectơ cảm ứng từ

: mật độ điện tích tự do, mật độ dòng Bài toán trong tinh thể quang tử: vật liệu điện môi được sắp xếp tuần hoàn nên hằng số điện môi là một hàm của vectơ vị trí Đồng thời, cấu trúc không biến

thiên theo thời gian, không có điện tích tự do hay dòng điện Vậy ta sẽ giải hệ phương trình Maxwell với các điều kiện sau:

Đầu tiên ta tìm mối liên hệ gần đúng của ⃗⃗ với ⃗ và ⃗ với ⃗⃗ trong bốn phương trình Yếu tố của ⃗⃗ liên hệ với của ⃗ theo công thức:

∑ ∑

Với F/m là hằng số điện môi của chân không Tuy nhiên, với nhiều vật liệu điện môi, có thể lấy gần đúng vì các lý do sau: - Giả sử độ lớn của trường đủ nhỏ để có thể xem là tuyến tính Khi đó

và các yếu tố bậc cao có thể bỏ qua - Giả sử vật liệu là vĩ mô và đẳng hướng nên ⃗ và ⃗⃗ liên hệ

với nhau bằng ε0 nhân với hàm điện môi vô hướng gọi là hằng số điện môi tương đối

- Bỏ qua sự phụ thuộc tần số của hằng số điện môi Chọn giá trị của hằng số điện môi gần đúng với giới hạn tần số của hệ đang xét

- Tập trung vào vật liệu trong suốt nên xem là hàm thực và dương Dùng các phép lấy gần đúng trên, ta có:

⃗⃗ ⃗ Tương tự: ⃗ ⃗⃗ với là độ từ thẩm của chân không Nhưng đối với một số vật liệu thì độ từ thẩm tỉ đối Do đó: ⃗ ⃗⃗

Tổng hợp các kết quả trên, hệ phương trình Maxwell trở thành:

⃗⃗ [ ⃗ ]

⃗⃗ ⃗

(1.16b) ⃗

⃗⃗

(1.16a) * ⃗⃗ + ⃗⃗

[

⃗⃗ ] ⃗⃗ *

⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ + ( ) ⃗⃗⃗ ⃗ (1.17) với

√ là vận tốc ánh sáng trong chân không Phương trình (17) được gọi là phương trình chủ lực.Với mỗi cấu trúc cho trước, giải phương trình chủ lực ta tìm được các mode ⃗⃗ và các tần số tương ứng Sau đó tìm được ⃗ theo công thức:

⃗

⃗⃗ Mặt khác, ta có thể làm ngược lại:

(1.16a) ⃗⃗

⃗ (1.16b) *

⃗ + ⃗ [ ⃗ ] ⃗⃗

Bảng 1.1: So sánh chuyển động của electron trong chất rắn và

sự lan truyền của sóng điện từ trong tinh thể quang tử

Chuyển động của electron trong

lực

Phương trình Schrodinger:

[ ]

Phương trình Maxwell:

[ ⃗⃗ ] ( ) ⃗⃗

Hàm sóng ⃗⃗ ⃗⃗

Vùng cấm Một phổ năng lượng mà trong đó

không có trạng thái electron nào tồn tại dù ở mọi vectơ sóng nào

Một dải tần số mà trong đó không có trạng thái điện từ nào lan truyền được dù ở mọi vectơ sóng hay phân cực nào

Tóm lại: phương trình chủ lực có ý nghĩa quan trọng khi nghiên cứu sự

tương tác của ánh sáng với tinh thể quang tử Tùy vào sự tuần hoàn của tinh thể quang tử mà ta có các điều kiện để giải phương trình chủ lực và từ đó có được các nghiệm khác nhau ứng với từng cấu trúc tuần hoàn 1D, 2D, 3D và cho ta biết những nét đặc trưng riêng cho mỗi loại

1.4 Các loại khuyết tật trong tinh thể quang tử

Như những gì xảy ra trong chất bán dẫn, điều thú vị của tinh thể quang tử là ta có thể tạo ra các khuyết tật trên tinh thể để tác động lên vùng cấm của nó Một khuyết tật sẽ tạo ra những trạng thái cho phép ứng với tần số nằm trong vùng cấm

Có hai loại khuyết tật cơ bản: khuyết tật điểm và khuyết tật đường

Hình 1.4: Các loại khuyết tật

1.4.1 Khuyết tật điểm

Khuyết tật điểm được tạo sâu bên trong khối tinh thể bằng cách loại bỏ một trong các khối điện môi hay thay đổi một khối bằng một khối khác có kích thước, hình dáng hoặc chiết suất khác

(a) (b) (c)

Hình 1.5: Mô tả trường của các kiểu khuyết tật điểm

(a) Mất một cột (b) Thay đổi hình dạng cột (c) Thay đổi kích thước lỗ

Khuyết tật điểm có thể chia làm hai dạng là khuyết tật không khí và khuyết tật điện môi Khi khuyết tật liên quan đến việc loại bỏ các chất điện môi nó được gọi là khuyết tật không khí và ngược lại, các khuyết tật liên quan đến việc bổ sung chất điện môi được gọi là khuyết tật điện môi

Hình 1.6: Hai dạng khuyết tật điểm

Vì trong vùng cấm thì không có bất kì một trạng thái điện từ nào được phép nên khi ta tạo ra sai hỏng trong mạng tinh thể thì khuyết tật đó sẽ làm mất đi tính đối xứng tịnh tiến của mạng Sự nhiễu loạn tại một điểm làm xuất hiện mode điện từ cho cường độ lớn Nếu tần số của mode này nằm trong vùng cấm thì xuất hiện trong vùng cấm một trạng thái có thể tồn tại Đồng thời các tính chất của điện từ tại vùng khuyết tật không thể xuyên qua phần còn lại của tinh thể Như vậy, ánh sáng chiếu vào tinh thể mà có tần số nằm trong vùng cấm sẽ bị giam giữ lại ngay tại vị trí khuyết tật và kết quả là làm cho ánh sáng được khuếch đại lên nhiều lần

Tóm lại: khuyết tật điểm có thể định vị ánh sáng và khuếch đại ánh sáng ngay

vị trí khuyết tật Do đó khuyết tật điểm có thể được coi là buồng cộng hưởng giam giữ ánh sáng, kích thước và cấu trúc liên kết của chúng có thể được thiết kế để điều chỉnh tần số cộng hưởng Vì vậy một trong những ứng dụng của tinh thể quang tử hiện nay là làm buồng cộng hưởng trong các thiết bị quang tử

1.4.2 Khuyết tật đường

Khuyết tật đường được tạo ra tương tự như khuyết tật điểm nhưng tạo thành một hàng Cách tạo khuyết tật đường trong tinh thể quang tử là lấy đi một hàng, thay đổi một hàng thành một hàng khác có kích thước, hình dạng hoặc chiết suất thay đổi

Hình 1.7: Khuyết tật đường do mất một cột

Khuyết tật đường trong tinh thể quang tử có thể dẫn các photon lan truyền qua hệ thống tinh thể Nếu tần số của ánh sáng nằm trong vùng cấm thì ánh sáng bị giữ lại bên trong khuyết tật vì sự lan truyền là bị cấm trong vùng còn lại của tinh thể Vì vậy, ưu điểm của hệ thống này so với sợi quang hay ống dẫn sóng thông thường là sự giam hãm và truyền dẫn ánh sáng bên trong mà không bị mất mát Đồng thời khuyết tật cũng có thể được tạo ra theo những đường uốn cong và khi đó không tạo ra sự tổn thất năng lượng nào khi truyền dẫn Vì lý do đó khuyết tật đường được tạo ra để ứng dụng chủ yếu trong dẫn sóng

Hình 1.8: Ứng dụng của khuyết tật đường: kênh dẫn sóng

1.6 Ứng dụng

Tinh thể quang tử là một loại vật liệu quang học để điều khiển và thao tác với ánh sáng Tinh thể quang tử 1D đã được sử dụng rộng rãi trong quang học màng mỏng với các ứng dụng khác nhau như tạo ra các lớp phủ lên bề mặt thấu kính hoặc gương nhằm tạo ra độ phản chiếu thấp hay cao tùy ý, hay ứng dụng trong sơn đổi màu và in ấn bảo mật

Các tinh thể quang tử 2D và 3D được dùng cả trong nghiên cứu và ứng dụng chế tạo Đặc biệt tinh thể quang tử 2D đã có nhiều ứng dụng thương mại như tạo ra các thiết bị quang tử có thể phát triển trong mạch điện tử, quang tử như LED, ống dẫn sóng, buồng cộng hưởng, sợi tinh thể quang tử

Với tác dụng nhiễu xạ hay tán xạ, tinh thể quang tử có thể dùng làm ảnh ba chiều So với ảnh ba chiều thông thường thì tinh thể quang tử có phương pháp thiết kế chính xác, tính toán được vùng năng lượng quang tử

Hình 1.9: Ảnh Raman của tinh thể quang tử 3D chất nền LiNb03 pha đất hiếm

Với góc độ tán sắc thì tinh thể quang tử có thể được dùng để chế tạo siêu thấu kính hay siêu lăng kính Hai photon tác động đến tinh thể quang tử theo cùng một hướng nhưng năng lượng khác nhau sẽ có một độ tán sắc khác nhau Kết quả là

góc lan truyền của chúng sẽ khác nhau

Hình 1.10: Siêu thấu kính

Việc tạo ra các khuyết tật trong cấu trúc tinh thể quang tử đã tạo thành buồng cộng hưởng mà ngày nay được ứng dụng trong laser tinh thể quang tử có tính định hướng cao hơn Hay việc điều chỉnh kích thước, cấu tạo khuyết tật trong phạm vi vùng cấm được sử dụng để tạo ra các bộ lọc, ống dẫn sóng uốn cong

Hình 1.11: Các mẫu sợi tinh thể quang tử

negat ive refraction

me diu m

super-lens Veselago (1968)

(a) (b)

Hình 1.12: Buồng cộng hưởng tinh thể quang tử trong (a) laser và (b) diod

Tóm lại tinh thể quang tử là một loại vật liệu mới hứa hẹn nhiều ứng dụng tiềm năng

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN VÀ PHẦN MỀM MÔ PHỎNG

Với những tính chất đặc biệt ở trên nên tinh thể quang tử đã trở thành loại cấu trúc được nghiên cứu rất nhiều hiện nay cả trong lý thuyết lẫn thực nghiệm Các hướng nghiên cứu hiện nay trên thế giới có thể kể ra như sau:

- Những kỹ thuật mới để chế tạo tinh thể quang tử, một trong những phương pháp chế tạo hứa hẹn là kỹ thuật quang khắc ba chiều

- Nghiên cứu cách điều khiển khuyết tật để tạo ra buồng cộng hưởng hay ống dẫn sóng tốt nhất

- Nghiên cứu tinh thể quang tử hoạt động ở ánh sáng khả kiến - Thiết kế cấu trúc mới hay tìm ra những đặc tính mới thú vị của tinh thể quang tử

như dải tần số tán xạ cao hay vùng tần số mà trong đó ánh sáng bị khúc xạ ở mọi góc tới

- Nghiên cứu ảnh hưởng của vật liệu đến tính chất lý, hóa của tinh thể quang tử Việc nghiên cứu tinh thể quang tử bằng phương pháp mô phỏng sử dụng các phần mềm tính toán là một trong những mảng nghiên cứu khá phát triển Ở Việt Nam thì điều kiện thực nghiệm để chế tạo tinh thể quang tử còn nhiều hạn chế nên phương pháp mô phỏng là một trong những cách làm tương đối mới để nghiên cứu những tính chất đặc trưng của tinh thể quang tử ở nước ta hiện nay

Cấu trúc tinh thể quang tử 2D là một trong những chủ đề được khảo sát nhiều bởi so với cấu trúc 1D thì có nhiều tính chất tốt hơn và so với 3D thì dễ chế tạo hơn Để mô phỏng cấu trúc này đã có nhiều nhiều phương pháp và kỹ thuật khác nhau được sử dụng như phương pháp mở rộng sóng phẳng (Plane Wave Expansion - PWE), phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) và phương pháp sai phân hữu hạn trong miền thời gian (Finite Difference Time Domain - FDTD) Tuy nhiên hai phương pháp được sử dụng cho hai phần mềm mô phỏng mà

luận văn nghiên cứu là PWE và FDTD nên luận văn chỉ tập trung trình bày hai phương pháp này

2.1 Phương pháp mở rộng sóng phẳng (PWE)[22,23]

Phương pháp mở rộng sóng phẳng là một kỹ thuật tính toán trong trường điện từ bằng cách giải hệ phương trình Maxwell như một phương trình trị riêng Phương pháp này được dùng để tính toán cấu trúc vùng cho những cấu trúc tuần hoàn nói chung và đặc biệt là cho tinh thể quang tử

Đối với tinh thể quang tử tạo thành từ chất bán dẫn hoặc chất điện môi, việc giải phương trình Maxwell đã cho ta phương trình chủ lực chứng minh ở chương 1 như sau:

dùng các trị riêng để tìm ra các tần số lan truyền được phép, và vector riêng để tính toán sự phân bố trường

Tóm lại: Phương pháp PWE cho phép tính được độ tán sắc tương đối và dải

vùng cấm của quang tử trong cấu trúc điện môi tuần hoàn Nó có thể được ứng dụng với bất kỳ loại cấu trúc tinh thể nào, bao gồm cả những tinh thể bất thường Điều này cho phép xác định cấu trúc vùng của quang tử, cũng như những mode trong chiết suất của cơ chế dẫn sóng Đây là phương pháp tương đối nhanh, chính xác, tuy nhiên nó có một số nhược điểm như không thể sử dụng để tính toán cấu trúc của những vật liệu có tính chất hoạt hóa (hấp thụ và khuếch đại) Ngoài ra, nó không mang lại bất kỳ thông tin nào về tổn thất do tán xạ, truyền tải và phản xạ của ánh sáng tới

2.2 Phương pháp FDTD[24,25]

FDTD (Finite Difference Time Domain) là phương pháp sai phân hữu hạn trong miền thời gian Phương pháp này được đưa ra bởi Kane Yee người Nhật năm 1966, được dùng để giải quyết các bài toán liên quan đến sóng điện từ bằng cách giải hệ phương trình Maxwell trực tiếp trong miền thời gian Các nghiệm điều hòa đạt được trong bước thứ 2 của phép biến đổi Fourier theo thời gian Trong phương pháp này các phương trình Maxwell được giải theo cách leaf-frog, đó là điện trường được giải ở một thời điểm trước và từ trường được giải ở thời điểm kế tiếp, và quá trình này được lặp lại nhiều lần Thuận lợi chính của phương pháp này là các dữ kiện không cần bất kỳ phép nghịch đảo ma trận nào

2.2.1 Lý thuyết của phương pháp FDTD

2.2.1.1 Phương trình Maxwell dạng số

Trong phần này chúng ta xét các trường phụ thuộc vào thời gian không điều hòa và bỏ qua khái niệm biên độ phức Vấn đề cần giải quyết là xem xét trường

tổng tại bất kỳ thời điểm t nào và tại bất kỳ điểm nào trong không gian khi có một

trường phụ thuộc vào thời gian tác động vào tinh thể quang tử có kích thước hữu hạn

Để đơn giản ta xét tinh thể quang tử 2 chiều được chiếu sáng bởi một sóng

tới phân cực và xem như các thành phần Ez(x, y, t) của trường điện dọc theo trục z, khi đó trường từ H(x, y, z) phải thỏa mãn phường trình Maxwell phụ thuộc vào thời

gian Đối với vật liệu không tán sắc, phương trình được viết như sau:

Chiếu hai phương trình trên lên các trục ta được:

Để rời rạc các phương trình trên, ta thông qua 2 quy luật sau: Thứ nhất: Ez của điện trường được tính tại t = nΔt, với n là số nguyên duơng Hai thành phần còn lại của từ trường tính tại t = (n+1/2)Δt

Thứ hai: 3 thành phần của trường phải được tính tại một vị trí chính xác trong không gian

Hình 2.1: Rời rạc hóa theo phương pháp FDTD

Trong hình trên các vòng tròn, tam giác và các tam giác nghịch đảo mô tả các điểm rời rạc Ez, Hx, Hy tương ứng theo quy luật sau:

- Với Ez: [x = iΔx và y = jΔy] trong đó: i, j là các số nguyên - Với Hx: [x = iΔx và y = (j+1/2)Δy]

- Với Hy: [x = (i+1/2)Δx và y = jΔy] Ta có phép tính gần đúng của đạo hàm:

Để tiện lợi trong việc trình bày các phương trình sai phân hữu hạn, ta thông qua quy ước của A Taflove như sau: giá trị của bất kỳ thành phần U(ΨΔx,ζΔy,ξΔz) nào của trường đều viết lại dưới dạng 

,

U Ví dụ, giá trị Ez(iΔx,jΔy,nΔt) của trường điện tại điểm góc trái dưới trong hình tại thời điểm t = Δt sẽ được viết dưới dạng n

jZ

Các phương trình trên trở thành:

(2.6)

Hình 2.2: Phân chia vùng trường trong tinh thể

Vùng trường tán xạ phải đồng nhất Các thành phần của trường trong công thức (2.7), (2.8), (2.9) hoặc là đúng với các thành phần của trường tán xạ trong vùng

(2.7)

(2.8)

(2.9)

tán xạ hoặc ngang bằng với trường tổng trong vùng trường tổng Đường biên giữa hai vùng hình thành một hình chữ nhật với các cạnh gồm các điểm mô tả trong hình 2.3 Đường biên này phụ thuộc vào vùng trường tổng

Nếu xem xét trường tán xạ tại một vài điểm trên mắt lưới và trường tổng tại một vài điểm khác mà không có thay đổi gì trong công thức (2.7), (2.8), (2.9) thì không chính xác Để các công thức chính xác thì phải đồng thời chứa các điểm rời rạc trong hai vùng riêng rẻ Trường đến hoặc thêm vào do các điểm trong vùng trường tán xạ hoặc trừ ra do các điểm trong vùng trường tổng Luật thứ nhất và thứ hai được sử dụng phụ thuộc vào việc có hay không các điểm rời rạc tương ứng cạnh bên trái của phương trình trong vùng trường tổng hoặc vùng trường tán xạ Hình sau là ví dụ ứng dụng của các luật trên

Hình 2.3: Mô tả trường tới tại biên giữa vùng trường tán xạ và vùng trường

tổng Biên giữa hai vùng được thể hiện bằng đường thẳng dày Các mắt lưới sử dụng trong các phép tính số được thể hiện bằng các đường thẳng mỏng Ez, Hx và Hy thể hiện thành phần của trường đến

Hình a: tính toán Ez tại biên Hình b: tính toán Ez gần biên trong vùng truờng tán xạ

Hình c: tính toán Hx tại biên Hình d: tính toán Ez tại một góc của hình chữ nhật biên

2.2.1.2 Quá trình thực thi và hội tụ của phương pháp FDTD

Quá trình thực thi của phương pháp FDTD có thể chia ra thành 03 giai đoạn:

Giai đoạn 1: trường xem như bằng không (null-field stage), trường tới chưa

chạm vào vách rời rạc Các phương trình (2.7), (2.8), (2.9) đồng nhất và trường tổng bằng 0 tại mọi điểm

Giai đoạn 2: là giai đoạn chiếu ánh sáng vào, trường đến chạm vào vách rời

rạc Các phương trình trên áp dụng tại biên giữa vùng tán xạ và vùng trường tổng hay ngay bên ngoài đường biên Khi đó trường tổng khác 0

Giai đoạn 3: giai đoạn suy giảm (relaxation stage), lúc này trường đã qua

bên kia vách rời rạc và dần dần giảm về giá trị 0 Các phương trình trên vẫn được sử dụng mà không cần phải hiệu chỉnh Trái ngược với giai đoạn đầu, trường bắt đầu của giai đoạn này không lập tức trở về 0 mà nó hướng về 0 tại điểm cuối của giai đoạn này Lý do là sự bức xạ làm mất mát trường tán xạ mà không được bù bởi bất kỳ trường đến nào

Các công thức trên chỉ áp dụng trong trường hợp lý tưởng Tuy nhiên, trong thực tế kết quả tính toán có thể phân kỳ khi thời gian tăng lên Ví dụ tính toán trong giai đoạn 3, khả năng phân kỳ có thể xảy ra Tại thời điểm bất kỳ, các giá trị của

trường rời rạc có thể sắp xếp dưới dạng các ma trận cột Vậy Ez(n) viết dưới dạng

tập các giá trị n

jz

E , , cho tất cả các giá trị i, j Trong khi đó 

 

21

n

 

21

nHy sẽ trình bày dưới dạng 2

1

21,



njx

1

,21



njiy

H Sử dụng ký hiệu O, các

phương trình viết lại như sau:

trong đó toán tử Oi dể dàng suy ra được từ phương trình (2.7), (2.8), (2.9)

Thế (2.11), (2.12) vào (2.10) ta được:

Cách khác, nếu chuyển ma trận 3 cột Ez(n), 

 

21

n

 

21

21

có thể suy ra từ giá trị của

nó tại thời điểm nt và n t

 

21

tương ứng bằng cách gắn vào toán tử O Toán tử

này được liên tục đưa vào mỗi điểm rời rạc từ lúc bắt đầu cho đến lúc kết thúc quá

trình tán sắc Quá trình này chỉ có giá trị khi không có giá trị riêng nào của O lớn

hơn phần tử đơn vị Nếu điều kiện này không thoả mãn thì các kết quả thu được có thể phân kỳ theo hàm mũ với t

(2.10)

(2.12) (2.11)

(2.13)

2.2.2 Ưu điểm của phương pháp FDTD

FDTD là kỹ thuật mô phỏng trong miền thời gian, và khi một xung thời gian (ví dụ như xung Gaussian) được sử dụng như một nguồn xung kích thích thì một dải rộng tần số được giải chỉ trong một tiến trình mô phỏng, điều này cực kỳ hữu ích trong các ứng dụng mà các tần số cộng hưởng không được biết một cách chính xác Vì FDTD là kỹ thuật trong miền thời gian có thể tìm được các giá trị của điện trường ⃗ và từ trường ⃗⃗ ở mọi điểm trong miền tính toán do vậy có thể thể hiện sự biến thiên của các trường ⃗ và ⃗⃗ trong mô phỏng hình Đây là kiểu hiển thị rất hữu ích nó giúp hiểu một cách chính xác điều gì đang diễn ra và giúp đảm bảo rằng mô phỏng đang làm việc một cách chính xác

FDTD xác định điện trường ⃗ và từ trường ⃗⃗ một cách trực tiếp Bởi vì hầu hết các ứng dụng mô phỏng trường điện từ đều quan tâm đến các trường ⃗ và ⃗⃗ , do vậy không cần thực hiện việc chuyển đổi nào khi thực hiện mô phỏng để xác định các giá trị này

2.2.3 Nhược điểm của phương pháp FDTD

Vì phương pháp FDTD yêu cầu toàn bộ miền tính toán phải được chia lưới, và các lưới này phải nhỏ so với bước sóng nhỏ nhất và nhỏ hơn chi tiết nhỏ nhất của vật thể trong mô hình, do vậy miền tính toán phải rất lớn dẫn đến thời gian mô phỏng sẽ tăng đáng kể khi không gian mô phỏng lớn và có nhiều chi tiết nhỏ Các mô hình với các cấu trúc vật liệu mảnh dài như: dây dẫn (wires) rất khó mô phỏng trong FDTD vì miền tính toán yêu cầu rất lớn

2.3 Phần mềm mô phỏng MPB [26]

2.3.1 Giới thiệu

MIT Photonic Band (MPB) là phần mềm miễn phí sử dụng phương pháp mở rộng sóng phẳng (PWE) để tính toán cấu trúc vùng năng lượng và sự lan truyền của các sóng điện từ bên trong cấu trúc điện môi tuần hoàn MPB được viết và phát triển bởi giáo sư toán học Steven G Johnson và nhóm nghiên cứu vật lý Joannopoulos tại MIT

Chương trình này tính toán các trạng thái tần số xác định của phương trình Maxwell điều hòa trong các cấu trúc điện môi tuần hoàn đối với bất kỳ vectơ sóng nào Đặc biệt phần mềm được thiết kế dùng để nghiên cứu và tính toán cấu trúc tinh thể quang tử Ngoài ra, MPB còn được sử dụng trong các lĩnh vực quang học khác như dẫn sóng, cộng hưởng

2.3.2 Các thông số chính

Phần mềm MPB được cài đặt và chạy trong hệ điều hành Linux Debian Nó được thiết lập với hàng trăm các thông số nhằm giúp cho các nhà khoa học dễ dàng và linh hoạt hơn trong việc trong việc lập trình tạo ra cấu trúc và kết quả mong muốn Luận văn này chỉ giới thiệu những thông số cơ bản thường được sử dụng nhất

 Các biến số đưa vào

Các biến số vào được cài đặt nhằm mục đích điều khiển các thông số khác nhau trong quá trình tính toán vùng quang tử Chúng có thể được liệt kê bằng lệnh

help trong Terminal của hệ điều hành Linux Sau đây là các thông số chính (phần

trong dấu ngoặc là giá trị mà biến số nắm giữ):

geometry [danh sách các loại đối tƣợng của vật thể]: xác định các đặc tính

của cấu trúc đang được mô phỏng Khi các đối tượng chồng chéo lên nhau thì đối