vị trí tương đối của hai đường thẳng

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNGA.. Trong các đường thẳng trên, hãy chi ra các cặp đường thẳnga Song song b Vuông góc Lời giải a Các cặp đường thẳng song song là: d1/ / ;d d52/ /d3.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNGA Tóm tắt lý thuyết

1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trường hợp 1:Cho hai đường thẳng  d1:y a x b a11 10 và  d2:y a x b a22 20

aabb





aabb







 thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc, do đó chúng cắt nhau tại mộtđiểm trên trục tung có tung độ bằng b (hay b')

2 Đường thẳng đi qua điểm cố định

Giả sử đường thẳng y ax b đi qua điểm cố định M x y 0;0 khi đó phương trình: y0ax0b

nghiệm đúng với mọi a b,

3 Ba đường thẳng đồng quy

Cho ba đường thẳng:  d1:y a x b d11; 2:y a x b d22; 3:y a x b33

Gọi M là giao điểm của d1 và d2 khi đó ba đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi d3 cũng đi

B Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cách giải: Cho hai đường thẳng:  d :y ax b  và  d y a x b a a'  '  ' , ' 0  Khi đó ta có:

a)    

'/ /'



b)    

''

c)    d  d'  a a 'd)    d  d'  a a '1

Bài 1: Hãy nhận xét về vị trí tương đối hai đường thẳng d và d’ trong các trường hợp sau

Trong các đường thẳng trên, hãy chi ra các cặp đường thẳnga) Song song b) Vuông góc

Lời giải

a) Các cặp đường thẳng song song là: d1/ / ;d d52/ /d3

b)  d trùng với  d2:y x 2c)  d cắt  d3:y3x2 tại điểm có hoành độ x 1

b)

22

c) Thay x 1 vào  d3 ta được: y 5Thay x 1 và y 5 vào  d ta được: m 2 và m 3 (thỏa mãn)

c)  d cắt  d3 tại điểm K có

12

d  m

b)  d trùng với  2

32

md

m



 

cắt nhautại M   3; 2

Lời giải

Do    d1 d2M nên tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:

 



33

m

mm



Vậy m 3 thì    d1 d2M3; 2 

1

21

2

m

Bài 8:

Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng  d1:ym1x m3 và

 d2:y2m1x m3 cắt nhau tại điểm thuộc góc phần tư thứ I

Để điểm M2;3m 5 thuộc góc phần tư thứ nhất thì  

2



 

 

Mm

Z

m

mZ





 Từ    1 2  m  2; 1;1 

Dạng 2: Xác định phương trình đường thẳngCách giải: Để xác định phương trình đường thẳng ta thường làm như sau

Bước 1: gọi  d :y ax b  là phương trình đường thẳng cần tìm (a, b là hằng số)

Bước 2: Từ giả thiết của đề bài, tìm được a, b từ đó đi đến kết luận

Bài 1:Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau

a)  d đi qua M  2;5 và vuông góc với  1

122

b) d d/ /1 a3;b4; 2 3

1; 22

Bài 2: Xác định hàm số y ax b , biết rằnga) Khi a 2 đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

b) Khi a 4 đồ thị hàm số đi qua điểm A  2;2c)  d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 và cắt trụ hoành tại điểm có hoành độ bằng

2

d)  d đi qua 2 điểm A1; 3  và B2;1

Lời giải

a) Thay a2;y 2 vào y ax b ta được: b 2 y2x 2b) Với a 4 ta được y4x b

Thay x4;y2 ta được b 6c) Vì  d cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 5 nên  d đi qua điểm 0;5 từ đó tìm được b 5Tương tự  d cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 nên  d đi qua điểm 2;0 từ đó tìm

Bài 4:Cho đường thẳng d y ax b:  (a, b là hằng số) Tìm a và b biết:a)  d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng

2b)  d đi qua hai điểm A và B với A1; 3  và B2;1

Lời giải

a) Gọi  d :y ax b  , với a b, là hằng sốVì  d cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 5 nên  d đi qua điểm 0;5 b5

Tương tự  d cắt Oy tại điểm có hoành độ bằng 1 nên  d đi qua điểm 2;0

b) Đi qua hai điểm I K, với I1; 2 ,  K4;2

d y x

Bài 6:Cho hai đường thẳng  d1:y2x1 và  d2:y x 1a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng  d1 và  d2 cắt nhau Xác định tọa độ giao điểm I củachúng và vẽ hai đường thẳng này trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Lập phương trình đường thẳng  d đi qua I và song song song với đường thẳng y4x1

c) Lập phương trình đường thẳng  d' đi qua I và song song với đường thẳng

192

b) Đường thẳng  d song song với đường thẳng y4x1 có phương trình  d :y4x bVì I d  14.0 bb 1  d :y4x1

c) Đường thẳng  d' song song với đường thẳng

192

- Ở câu a, dựa trên nhận xét    d1; d2 cắt nhau tại I trên Oy nên ta giả sử I0;y0

Trong trường hợp tổng quát, với hai đường thẳng:  d1:y a x b d11; 2:y a x b a22 1a2

Ta giả sử tọa độ giao điểm I0;y0 , rồi nhận xét



 

 c) dm song song với đường thẳng  

2) Giải sử M x y 0;0 là điểm cố định mà dm luôn đi qua, khi đó ta có:

Tồn tại duy nhất một đường thẳng  ' đốixứng với   qua trục hoành Ox Tìm đường thẳng  ' đó

Lời giải

  cắt trục Ox tại M  4;0, cắt trục Oy tại N0;2Điểm đối xứng với điểm N qua Ox là N' 0; 2  Suy ra đường thẳng  ' có tung độ gốc b 2Phương trình đường thẳng  ' có dạng y ax 2

Câu 2:

Với giá trị nào của m dưới đây thì hai đường thẳng  d1:y3 m x 1 và  d2:y4x2 cắtnhau

B)

134

m

C)

113

m 

D)

145

D) Nếu    d1 d2 thì

7916

/ /

7

mm

nn

C) Ta có

   12

15 2

7

mm

nn

2

1 13;3 4

C)

1 17;4 7

132;

5

54;

12;

Bước 2: Xét xem tọa độ A có nghiệm đúng phương trình  d3 hay không Nếu tọa độ A

nghiệm đúng của  d3 thì  d3 đi qua A

Ta có:  d1:y3x    1 ; d2:yx8 2 ;   d3:y2x10 3 

Tức là      d1, d2, d3 đồng quy tại A

Gọi A là giao điểm của  d1 và  d2

Từ    1 2  3xx 8 x2Thay x 2 vào  1 ta được y 3.2 6

Vậy tọa độ điểm A2;6 *  Gọi B là giao điểm của  d2 và  d3

Từ    2 3  x 8 2x10 x2Thay x 2 vào  2 ta được: y   2 8 6 ** Từ    * , **  A B

Vậy      d1, d2, d3 đồng quy tại A

74

Vì      d1, d2, d3 đồng quy tại một điểm nên M thuộc  d3

Do đó tọa độ điểm M nghiệm đúng phương trình  d3 , từ  

Thay x 2 vào y3 2 a x 4 ta được 103 2 2 a   4 a3

Câu 11:

Hai đường thẳng

4223

y x

và

512

y x

và

512

y x

ta được: y 14

Vậy

4223

y x

cắt

512

Gọi  d là đồ thị của hàm số

332

y x

B)

332

y x

C)

233

y x

D)

233

Đường thẳng  d cắt trục Ox tại A  2;0 Điểm đối xứng của A qua trục tung là A' 2;0

Đường thẳng  d' đi qua A', nên ta có:

30.2 3

Đường thẳng

142

c)    d1 d2 d)    d1 d2

Hướng dẫn giải

a)  d1 cắt  d2 khi và chỉ khi m 2b)    d1/ / d2 m2

c) Không tồn tại m để    d1 d2

d)

   12

012

m

m



 

Bài 3:

Viết phương trình đường thẳng d trrong các trường hợp saua)  d đi qua M1; 2  và song song với d x1:2y1

b)  d cắt đường thẳng d x y2: 1 0 tại điểm có tung độ bằng 2 và vuông góc với đườngthẳng d y3: 3 x

c)  d đi qua gốc tọa độ và giao điểm của hai đường thẳng d y4;4x3,d y5: x 3d)  d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 5 và đi qua điểm M2;3

b) Gọi I là điểm cố định mà  d1 luôn đi qua Tìm n để  d2 đi qua I

c) Tìm m để  d1 đi qua điểm cố định của  d2

d) Tìm m và n để  d1 và  d2 trùng nhau

Hướng dẫn giải

a)  d1 luôn đi qua điểm cố định

1; 52

I  

b) Thay tọa độ điểm

1; 52

I   vào d2 tìm được n 11

c)  d2 luôn đi qua điểm cố định

1 1;3 3

K 

, thay tọa độ điểm

1 1;3 3

K 

 vào  d1 ta tìm được16

m 

d) Tìm được m16;n11