Vị trí tương đối của hai đường thẳng

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG A Tóm tắt lý thuyết Vị trí tương đối hai đường thẳng d : y a1 x  b1  a1 0  d : y a2 x  b2  a2 0  Trường hợp 1: Cho hai đường thẳng     Mối quan hệ Cắt Kí hiệu Điều kiện a1 a2 Song song  d1    d   d1  / /  d  Trùng  d1   d2   a1 a2  b1 b2 Vng góc  d1    d2  a1.a2   a1 a2  b1 b2 d : a x  b1 y c1  a1; b1 ; c1 0  Trường hợp 2: Cho hai đường thẳng    d2  : a2 x  b2 y c2  a2 ; b2 ; c2 0  Mối quan hệ Cắt Kí hiệu Điều kiện  d1    d  Song song  d1  / /  d  Trùng  d1   d2  Vng góc  d1    d2  a1 b1  a2 b2 a1 b1 c1   a2 b2 c a1 b1 c1   a2 b2 c a1.a2  b1.b2 0 *) Chú ý: Khi  a1 a2  b1 b2 hai đường thẳng có tung độ gốc, chúng cắt điểm trục tung có tung độ b (hay b ' ) Đường thẳng qua điểm cố định M x ;y Giả sử đường thẳng y ax  b qua điểm cố định  0  phương trình: y0 ax0  b nghiệm với a, b Ba đường thẳng đồng quy d : y a1 x  b1 ;  d  : y a2 x  b2 ;  d  : y a3 x  b3 Cho ba đường thẳng:   Gọi M giao điểm d1 d ba đường thẳng đồng quy d3 qua M B Bài tập dạng tốn Dạng 1: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d : y ax  b d ' y a ' x  b '  a, a ' 0  Cách giải: Cho hai đường thẳng:     Khi ta có: a) b) a a ' b b '  d  / /  d '   a a ' b b '  d   d '   d  d '  a a ' c)     d  d '  a.a '  d)     Bài 1: Hãy nhận xét vị trí tương đối hai đường thẳng d d’ trường hợp sau d : y  x d ': y  x  b) a) d : y 2 x  d ' : y 2 x  c) d : y  x  d ': y  x  2 d) d : y  x  d ': y  1 x 3 Lời giải a) Ta có: d / / d ' a a '; b b ' b) Ta có: d cắt d ' a a ' c) Ta có: d  d ' a.a '  d) Ta có: d d ' a a '; b b ' Bài 2: Cho đường thẳng d1 : y 3x  1, d : y  x, d3 : x  y  0, d : y x  x d5 : y 3 x  7, d : y   3 Trong đường thẳng trên, chi cặp đường thẳng a) Song song b) Vuông góc Lời giải a) Các cặp đường thẳng song song là: d1 / / d5 ; d / / d b) Các cặp đường thẳng vng góc là: d  d ; d3  d Bài 3: Cho hai thẳng d : mx   m  1 y   m   0 d ' : 3mx   3m  1 y   5m   0 Tìm m để hai đường thẳng a) Song song b) Cắt c) Vng góc Lời giải a) Ta có: d:y m 2(m  2) 3m 5m  1 x (m 1) d ': y  x (m  ) m m 3m  3m 1   m 0  3m  m   m 1   a a '  m  3m   d / /d '      m b b '  2(m  2)   (5m  4)  m 0  m   3m   13  m  11  d d' b)     cắt c) d  d ' m 3m  a a '    m  3m  vng góc  a.a '   Bài 4: Cho thẳng  m 0 1    m 0;1; ; 3 m   m 3m 1   m  m  3m   d : y  m2  x  m  d d : y 2 x  a)   song song với   d d : y  x  b)   trùng với   d d : y 3 x  c)   cắt   điểm có hồnh độ x   d4  : y  x  d d)   vng góc với Lời giải với m tham số Tìm m để: m  2 d / / d1    m 2 m    a) m   d d    m  m    b) d c) Thay x  vào   ta được: y  d Thay x  y  vào   ta được: m  m 3 (thỏa mãn) d)  d    d4    m2  2    m  d : y  m  3 x  4m  1;  d1  : y 5mx   3m;  d  : y  2m x  2m  Bài 5: Cho đường thẳng   d3 : y  x  , d : y   3m   x  2 Tìm m để: d d a)   song song với   d d c)   cắt   điểm d d b)   trùng với   K có yK  d d d)   vng góc với   Lời giải d a)   song song với  d1   m  3 3  d2   m  d b)   trùng với d d c)   cắt   điểm d d)   vng góc với 9 yK   m  K có  d4   m 2   m 7  Bài 6:  d2  : y  d : y  m   x  m  Tìm giá trị m để hai đường thẳng   M   3;   2m x  m 1 cắt Lời giải d  d Do       m     3  m    2m     3  m  M nên tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình:   2m  0   m 3  m  d  d M   3;   Vậy m 3     Bài 7: d : y mx  m  d : y  m  3 x  m  Tìm tất giá trị m để hai đường thẳng     cắt điểm có tung độ Lời giải Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: m m   3 (luôn đúng) (1) Giả sử M  xM ;  giao điểm hai đường thẳng, đó:  M  xM ;    d1     M  xM ;    d  Từ  1    m  2 m.xM  m    2  m  3 xM  m  mxM  m 0    m  3 xM  m  0  x   M   2 m   2 Bài 8: Tìm tất giá trị m để hai đường thẳng  d2  : y  2m  1 x  m  cắt điểm thuộc góc phần tư thứ  d1  : y  m 1 x  m  I Lời giải Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: Giả sử M  xM ; yM  m  2m   m 0  1 giao điểm hai đường thẳng, đó:  M  xM ; yM    d1     M  xM ; yM    d   yM  m  1 xM  m    m  1 xM  m   2m  1 xM  m     yM  2m  1 xM  m   m 0(loai )  x 2  M Với xM 2  yM  m  1  m  3m   M  2;3m   2   m    2  M  2;3m   Để điểm thuộc góc phần tư thứ 3m   Từ  1      m 0 Bài 9: d : y mx  d : y 2 x  Tìm tất giá trị m để hai đường thẳng     cắt điểm có tọa độ nguyên Lời giải Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: Giả sử M  xM ; yM  m 2  1 giao điểm hai đường thẳng, đó:  M  xM ; yM    d1   y mxM  2  M  mxM  2 xM   xM   m  M  xM ; yM    d   yM 2 xM  Với xM  2  2 2   yM m      M  ;  1 m m m  2  M  ;  1  Để điểm  m  2  Z   Z  m  U    m   2;  1;1; 2   m m  1 Z có tọa độ nguyên Từ  1    m   2;  1;1 Dạng 2: Xác định phương trình đường thẳng Cách giải: Để xác định phương trình đường thẳng ta thường làm sau d : y ax  b Bước 1: gọi   phương trình đường thẳng cần tìm (a, b số) Bước 2: Từ giả thiết đề bài, tìm a, b từ đến kết luận Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d trường hợp sau a) d qua M   2;5  vng góc với  d1  y  1 x2 d d : y  3x  b)   song song với đường thẳng   qua giao điểm hai đường thẳng  d2  : y 2 x   d3  : y 3x  d M  2;7  N 1; c)   qua hai điểm    Lời giải d : y ax  b Gọi   với a, b số a) Ta có: d  d1  a 2 , d qua M   2a  b 5  b 9  y 2 x  1  1 d  d I  ;   a  b    d  : y  x  d / / d  a  3; b  d   , qua I nên: 2 b) ;   2a  b 7 5 11 N  1;     y  x d M  2;7  3  a  b 2 c)   qua hai điểm  Bài 2: Xác định hàm số y ax  b , biết a) Khi a  đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ A  2;  b) Khi a  đồ thị hàm số qua điểm  d c)   cắt trục tung điểm có tung độ cắt trụ hồnh điểm có hồnh độ 2 d A 1;  3 B 2;1 d)   qua điểm    Lời giải a) Thay a  2; y  vào y ax  b ta được: b   y  x  b) Với a  ta y  x  b Thay x  4; y 2 ta b 6 d d 0;5 c) Vì   cắt Oy điểm có tung độ nên   qua điểm   từ tìm b 5 d d  2;0  Tương tự   cắt Ox điểm có hồnh độ  nên   qua điểm  từ tìm 5 a   y  x 5 2 Bài 3: Cho đường thẳng d : y ax  b (a, b số) Tìm a b biết: d a)   qua điểm A nằm Ox có hồnh độ  song song với đường thẳng  d1  : x  y  0 d b)   vng góc với đường thẳng d2 : y  1 x  2017 qua giao điểm d3 : y x  với trục tung Lời giải d : y  x  a) Tìm   d : y 3x  b) Tìm   Bài 4: Cho đường thẳng d : y ax  b (a, b số) Tìm a b biết: d a)   cắt trục tung điểm có tung độ cắt trục hồnh điểm có hồnh độ 2 d A 1;  3 B 2;1 b)   qua hai điểm A B với    Lời giải d : y ax  b a) Gọi   , với a, b số d d 0;5  b 5 Vì   cắt Oy điểm có tung độ nên   qua điểm   d d  2;0  Tương tự   cắt Oy điểm có hồnh độ  nên   qua điểm  5 a   d : y  x 5 2 Từ tìm được: d : y ax  b b) Gọi   , với a, b số a  b    d  a  b A , B  Thay tọa độ điểm vào ta được: a 4  d : y 4 x   b  Bài 5: Tìm số a b để đường thẳng d : y ax  b a) Cắt d1 : y 3x  điểm nằm trục Ox cắt d ; y 2 x  điểm nằm trục Oy I 1;   , K  4;  b) Đi qua hai điểm I , K với  Lời giải a) Tìm đường thẳng d : y  x 10 d: y  x 3 b) Tìm đường thẳng d : y 2 x  d : y x 1 Bài 6: Cho hai đường thẳng     d d a) Chứng tỏ hai đường thẳng     cắt Xác định tọa độ giao điểm I chúng vẽ hai đường thẳng hệ trục tọa độ d b) Lập phương trình đường thẳng   qua I song song song với đường thẳng y  x  d' c) Lập phương trình đường thẳng   qua I song song với đường thẳng y  x 9 Lời giải d d a) Nhận xét đường thẳng   có a1 2; b1 1 đường thẳng   có a2 1; b2 1  a1 a2 ; b1 b2   d1    d  I  Oy I 0; y I   d1  d Giả sử giao điểm hai đường thẳng có tọa độ   ,   , nên: y0 2.0   y0 1  I  0;1 d d : y  x  b b) Đường thẳng   song song với đường thẳng y  x  có phương trình   Vì I   d    4.0  b  b 1   d  : y  x  d' c) Đường thẳng   song song với đường thẳng  d ' : y  y  x 9 có phương trình 1 x  b  b 9  I   d '    b  b 1   d '  : y  x  2 Vì *) Nhận xét: Trong lời giải toán d ; d I 0; y - Ở câu a, dựa nhận xét     cắt I Oy nên ta giả sử   d : y a1 x  b1 ;  d  : y a2 x  b2  a1 a2  Trong trường hợp tổng quát, với hai đường thẳng:   I 0; y Ta giả sử tọa độ giao điểm   , nhận xét I   d1   y0 a1 x0  b1  1  b2  b1   a1 x0  b1 a2 x0  b  x0  a1  a2 I   d   y0 a2 x0  b2    Thay x0 vào (1) (2) ta nhận giá trị y0 , từ suy tọa độ điểm I Bài 7:  : y x  d Cho đường thẳng   Lập phương trình đường thẳng   song song với  b) Đi qua điểm M  1;  d c) Khoảng cách từ O đến   2 Lời giải d  d : y x  b a) Đường thẳng   song song với   có phương trình   Vì M  1;    d   1  b  b 1   d  : y  x  d b) Gọi A, B giao điểm   với Oy, O x ta được: - Với điểm A : x 0  y 0  b b  A  0; b  10 - Với điểm B : y 0  x  b  x  b  B   b;0  d Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng   Trong tam giác AOB vng O , ta có: b.b b 1 OA.OB  2  OH   2   b 4  b 4 2 OH OA OB OA2  OB b2    b  Khi : - Với b 4   d3  : y  x  - Với b    d  : y x  d d Vậy tồn hai đường thẳng     thỏa mãn điều kiện đầu Bài 8: Cho họ đường thẳng  dm  có phương trình:  d m  : y  m m 1 x 2m  2m  1) Xác định m để: d A 2;1 a)  m  qua   d b)  m  có hướng lên (hàm số đồng biến) d  : x  y  12 0 c)  m  song song với đường thẳng   d 2) Tìm điểm cố định mà họ  m  qua Lời giải d d : m  1 x   2m   y  m  0 Viết lại phương trình đường thẳng  m  dạng:  m   1) Ta có: d A 2;1 m  1   2m  3  m  0  3m  0  m 2 a)  m  qua   khi:  d b)  m  có hướng lên có hệ số góc dương 11  m    m m  2m    0 0    m   2m  2m    2m    m    m     1 m    m    m      : x  y  12 0   d c)  m  song song với đường thẳng 2) Giải sử M  x0 ; y0  d điểm cố định mà  m  ln qua, ta có:  m  1 x0   2m  3 y0  m  0m   x0  y0  1 m   x  y0  0    x0  y0  0 m 1   m 2m  x0  y0  0m  x0 5   y0  d Vậy  m  qua điểm cố định Bài 9: x y  2   ' Gọi   đường thẳng có phương trình Tồn đường thẳng   đối   ' xứng với   qua trục hồnh Ox Tìm đường thẳng   Lời giải    cắt trục Ox M   4;0  , cắt trục Oy N  0;  N ' 0;   Điểm đối xứng với điểm N qua Ox   ' Suy đường thẳng   có tung độ gốc b   ' Phương trình đường thẳng   có dạng y ax   ' Vì   qua M  a      a  x    '  : y   2 12 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Cho đường thẳng  d1  : y  x  1;  d  : y x;  d  : y  x  5;  d  : y 3x  Khẳng định sau A)  d1    d2  B)  d1  / /  d  C)  d1  cắt  d  D) Cả A, B, C Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: Ta có -  d1    d  có a.a '   1  13 -  d1  / /  d  có a a ''  b b ''  5  -  d1  cắt  d  có a a ''   3 Câu 2: Với giá trị m hai đường thẳng  d1  : y   m  x   d  : y  x  cắt A) m 5 B) m 7 C) m  D) m 7 Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: Ta có :  d1  : y   m  x  với  a 3  m; b  1  d  : y  x  với  a '  4; b ' 2  Nếu  d1  cắt  d  a a '   m   m 7 Câu 3: Cho hai đường thẳng  m  1 x 3   d1  : y   d2  : y  1 x 3 Với giá trị m  d1  / /  d2  A) m  15 B) 11 m C) m  13 14 m D) Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: Ta có: 1      1 m  1 x d2  : y  x    a  m  1; b 0   a '  ; b ' 3   3  với   với   d1  : y  Nếu  d1  / /  d  b b '   a  a '  1  15 1  m    4m  12   4m  15  m  4 3 14 Vậy m  15  d1  / /  d2  Câu 4: Cho hai đường thẳng  d1  : y  x m    d  : y 2 x  n  Khẳng định sau sai A) Nếu  d1  / /  d2  m  1; n  B) Nếu  d1  cắt  d  m  m   C) Nếu  d1   d2  m  1; n  D) Nếu  d1    d2  m  79 16 Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: Ta có :  d1  : y   m  x  a  m  5; b 8   d  : y 2 x  n   a 2; b  n  1 m   8  n  n    m  2 A) Ta có:  d1  / /  d    B) Ta có:  d1  cắt  d  m  2  m 1 1 Đồng thời để  d1  hàm bậc m    m     Từ  1    m   m 1  m   8  n   n    m  2 C) Ta có D) Ta có  d1   d     d1    d   a.a '   m  5.2   m   (vô lý) Vậy không tồn m Câu 5: Tọa độ giao điểm M hai đường thẳng  d1  : y  3x   d  : y x    1 M  0;  A)    13  M ;  B)   15  17  M ;  C)   13   M   2;  D)  17  Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Ta có phương trình hồnh độ giao điểm  d1   d  17  3x  x   x   y  4 là:  17  M ;  Vậy   Câu 6: Tọa độ giao điểm N hai đường thẳng  d1  : y  2 x  d2  : y  x  3  N   4;  A)    5 N  4;  B)   4  N  ;  5 C)   1  N   2;  D)   Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Ta có: Từ  d1  : y   1  2  Thay x 4 2 x   1  d  : y  x  1  3 2 x   x   x 4 3 vào  1 ta được:  5 y     N  4;  3  3 Câu 7: Cho ba đường thẳng  d1  : y 3x;  d  : y  x  8;  d3  : y  x  10 Khẳng định sau đúng? A)  d1  ,  d  ,  d3  cắt điểm phân biệt B)  d1  ,  d  ,  d3  cắt điểm 16 C)  d1  / /  d  / /  d3  D) A đúng; B C sai Lời giải Chọn đáp án B Giải thích: Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm Bước 2: Xét xem tọa độ A A  d1   d  có nghiệm phương trình  d3  hay không Nếu tọa độ nghiệm  d3   d3  qua A Ta có:  d1  : y 3x  1 ;  d  : y  x    ;  d3  : y  x  10   Tức  d1  ,  d  ,  d3  đồng quy Gọi A A giao điểm  d1   d  Từ  1    x  x   x 2 Thay x 2 vào  1 ta y 3.2 6 Vậy tọa độ điểm A  2;   * Gọi B giao điểm  d   d3  Từ    3   x   x 10  x 2 Thay x 2 vào   ta được: y   6  ** Từ  * ,  **  A B Vậy  d1  ,  d  ,  d3  đồng quy A Câu 8: Với giá trị m đường thẳng  d1  : y 3x  ;  d  : y 2 x   d3  : y  m   x  đồng quy điểm A) m  B) m 8 17 A C) m  D) m  Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: Ta có: Gọi Từ M  d1  : y 3x   1 ;  d  : y 2 x    ;  d3  : y  m   x   3 giao điểm  d1   d   1    3x  3 1 1 5 2 x   x     y   M  ;  4 4 4 4 Vì  d1  ,  d  ,  d3  đồng quy điểm nên Do tọa độ điểm M M thuộc  d3   3  nghiệm phương trình  d3  , từ  m     m  4 Câu 9: Để hai đường thẳng y  2k  1 x  y 4 x 1 song song với giá trị cần tìm k số nào? A) k  0, B) k  0, C) k  0,8 D) k  0,9 Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: Đường thẳng y  2k  1 x  song song với đường thẳng 2k   y 4 x 1 khi: 4 9  2k     k   0.9 5 10 Câu 10: Cho hàm số y   2a  x  có đồ thị đường thẳng  d  hàm số y  x  có đồ thị đường thẳng    cắt điểm có hồnh độ 18  2, giá trị a số nào? A) a 2 B) a  C) a 3 D) a  Lời giải Chọn đáp án C Giải thích: Thay x  vào y  x  ta y 10 Thay x  vào y   2a  x  ta 10   2a       a 3 Câu 11: Hai đường thẳng y  x  22 y  x cắt điểm nào? A) A   6;14  B) B  6;  14  C) C  6;  14  D) D  6;14  Lời giải Chọn đáp án D Giải thích: Ta có hai đường thẳng  y  x  22 y  x cắt giao điểm, ta có: x  22  x   x 6 y  x Thay x 6 vào ta được: y 14 Vậy y  x  22 y  x cắt điểm D  6;14  Câu 12: Để hai đường thẳng y  a  1 x  y  x  cắt điểm có tung độ giá trị thích hợp số a là? A) a  B) a  C) a  D) a  Lời giải 19 Chọn đáp án C Giải thích: Nếu tung độ giao điểm y 7 hồnh độ giao điểm thỏa mãn phương trình:  x   x  Thay x  vào y  a  1 x  ta được: a  Câu 13: y  x 3 Gọi  d  đồ thị hàm số tồn đường thẳng  d ' đối xứng với  d  qua trục tung Oy  d ' đường thẳng nào? A) C) y  x 3 y  x 3 B) D) y  x y  x 3 Lời giải Chọn đáp án A Giải thích: Đường thẳng  d ' đối xứng với đường thẳng  d  qua trục Oy nên có tung độ gốc với  d  Vậy phương trình  d ' dạng y ax  Đường thẳng  d  cắt trục Ox A   2;0  Điểm đối xứng Đường thẳng  d ' Vậy phương trình qua A ', nên ta có:  d ' : y  a.2   a  A qua trục tung A '  2;0  3 x 3 Câu 14: Hai đường thẳng y  x4 y  x  cắt A Cắt trục tung Oy B C Giả sử độ chia trục tọa độ 1 cm  diện tích tam giác ABC số nào? A) 19  cm  B) 20 11 cm 