NGHIÊN CỨU CÁC TÀI LIỆU HỌC ĐƯỜNG VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Yêu cầu dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong SGV Hình học 11 CB
VTTĐ giữa hai đường thẳng được giới thiệu trong bài 2, "Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song", sau bài 1, "Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng", thuộc chương II: "Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Quan hệ song song" theo sách giáo viên Hình học 11 CB.
- Biết khái niệm hai đường thẳng trùng nhau, song song, cắt nhau, chéo nhau trong không gian
Định lý cho biết rằng nếu hai mặt phẳng khác nhau chứa hai đường thẳng song song và cắt nhau, thì giao tuyến của hai mặt phẳng này sẽ song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
- Xác định được VTTĐ giữa hai đường thẳng
- Biết cách chứng minh hai đường thẳng song song
- Biết áp dụng định lý trên để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng trong một số trường hợp đơn giản
Trong chương này, thời gian dành cho nội dung là 2/16 tiết, bao gồm cả lý thuyết và bài tập Sách giáo viên (SGV) nhấn mạnh rằng việc sử dụng hình ảnh trực quan là rất quan trọng trước khi đưa ra định nghĩa chính thức.
Trước khi xem xét vận tốc tương đối của hai đường thẳng trong không gian, học sinh cần quan sát hình ảnh ở đầu §2 SGK và tham gia Hoạt động 1 Hoạt động này giúp tìm hiểu hình ảnh của đường thẳng và vận tốc tương đối của chúng trong thực tế, từ đó nhận diện được hình ảnh cụ thể của hai đường thẳng song song và chéo nhau trong không gian.
Trong không gian, hai đường thẳng có thể có các mối quan hệ khác nhau, bao gồm cắt nhau, song song, trùng nhau hoặc chéo nhau, điều này khác biệt so với mặt phẳng chỉ có ba mối quan hệ cơ bản.
Do đó, SGV nhấn mạnh, trang 61 – 62:
Khái niệm hai đường thẳng chéo nhau là một khái niệm mới và khó đối với học sinh Để giúp học sinh hiểu rõ hơn, cần giới thiệu hình ảnh cụ thể của hai đường thẳng chéo nhau trong thực tế hoặc sử dụng giáo cụ trực quan để minh họa Sau đó, giáo viên có thể trình bày một số hình biểu diễn của hai đường thẳng chéo nhau a và b, từ đó học sinh có thể dễ dàng bắt chước và vẽ theo.
Cuối cùng, học sinh có thể phân biệt được hai đường thẳng song song và hai đường thẳng chéo nhau, từ đó khắc sâu những khái niệm đã học.
Học sinh gặp khó khăn trong việc học Hình học không gian, đặc biệt là Vectơ trong không gian giữa hai đường thẳng, do cần phải biểu diễn và đọc các hình không gian đơn giản trên mặt phẳng Chương trình và sách giáo khoa yêu cầu kết hợp sử dụng mô hình cụ thể với việc rèn luyện trí tưởng tượng không gian để chuyển từ tư duy trực quan sang tư duy logic trừu tượng Điều này là cần thiết vì các quan hệ trên hình có thể không phản ánh đúng tính chất hình học của nó.
Các tổ chức toán học trong SGK Hình học 11 CB
Chúng tôi thống kê các KNV liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng trong chương II của SGK Hình học 11 CB qua bảng sau:
Bảng 2.1 Các KNV liên quan đến VTTĐ giữa hai đường thẳng
KNV Nhóm T gồm các KNV liên quan trực tiếp (cấp độ 1) đến VTTĐ giữa hai đường thẳng
Số lượng hoạt động, bài tập SGK
T1 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật chất 1
T2 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn 1
T3 Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau 1
T4 Chứng minh hai đường thẳng không cắt nhau 1
T5 Chứng minh hai đường thẳng song song 2
KNV Nhóm T’ gồm các KNV liên quan gián tiếp (cấp độ 2) đến VTTĐ giữa hai đường thẳng
T’1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng 10
T’2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 14
T’3 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 3
Các khái niệm liên quan trực tiếp đến vận tốc truyền động giữa hai đường thẳng (nhóm T) không phong phú, chủ yếu chỉ có một nhiệm vụ được sách giáo khoa nêu rõ Ngược lại, các khái niệm liên quan gián tiếp (nhóm T’) lại chiếm số lượng lớn, trong đó hai khái niệm phổ biến nhất là T’1 và T’2 Những khái niệm này được sách giáo khoa chú trọng vì chúng hỗ trợ giải quyết nhiều vấn đề khác như dựng thiết diện, chứng minh ba điểm thẳng hàng, và xác định góc giữa hai mặt phẳng.
2.2.1 Phân tích chi tiết nhóm T
Khi xem xét các KNV ở nhóm T, chúng tôi chia chúng làm 2 loại:
L 1 : Tìm hai đường thẳng có VTTĐ đã biết trên đối tượng vật chất hoặc hình biểu diễn (gồm T1, T2) h
L 2 : Chứng minh hai đường thẳng có VTTĐ đã cho sẵn (gồm T3, T4, T5)
Kỹ thuật để giải quyết L2 rất rõ ràng và tường minh:
Bảng 2.2 Kỹ thuật – công nghệ của loại L 2
KNV Kỹ thuật Công nghệ
Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau
Giả sử hai đường thẳng đã cho cùng nằm trong một mặt phẳng rồi rút ra mâu thuẫn
- Tính chất thừa nhận 1, định nghĩa tứ diện, định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau
- Các quy tắc phản chứng
Chứng minh hai đường thẳng không cắt nhau
Giả sử hai đường thẳng đã cho cắt nhau Từ đó, chứng minh dẫn đến mâu thuẫn
- Định nghĩa hai đường thẳng cắt nhau
- Quy tắc phản chứng ở trên
Chứng minh hai đường thẳng song song
: Chứng minh a, b đồng phẳng và sử dụng các phương pháp đã biết trong HHP như:
- Chứng minh a, b là hai cạnh một hình bình hành, hình thang,…
- Chứng minh a là đường trung bình của tam giác, hình thang
: Chứng minh hai đường thẳng cùng song song v ới đường thẳng thứ ba
- Định lý Talet đảo, tính chất đường trung bình của tam giác, hình thang, tính chất hình bình hành,…
- Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song
Kỹ thuật giải quyết L1 gặp khó khăn trong việc diễn đạt và chủ yếu dựa vào quan sát Một ví dụ về nhiệm vụ T1 là tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật chất.
(Hoạt động 1 trong bài 2, trang 55 SGK)
Khi quan sát các cạnh tường trong lớp học, chúng ta nhận thấy rằng cạnh tường tạo thành hình ảnh của đường thẳng Một số cặp đường thẳng có thể không cùng thuộc một mặt phẳng, ví dụ như các cạnh tường đối diện nhau trong phòng học.
Nhận xét: Khái niệm vật lý này được giải quyết thông qua việc quan sát và các đặc điểm không gian của vật chất Học sinh sẽ hình thành biểu tượng không gian ban đầu về hai đường thẳng chéo nhau, từ đó loại bài tập này sẽ hỗ trợ việc rèn luyện kỹ năng tư duy không gian cho học sinh.
Số lượng bài tập về BTKG của VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian còn hạn chế, chỉ có một bài Điều này khiến chúng tôi băn khoăn liệu học sinh đã đủ khả năng hình thành khái niệm này hay chưa Bên cạnh đó, nhiệm vụ T2 yêu cầu học sinh tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn, điều này cũng cần được chú trọng trong quá trình giảng dạy.
(Hoạt động 2 trong bài 2, trang 56 SGK)
Cho tứ diện ABCD Chỉ ra cặp đường thẳng chéo nhau của tứ diện này (h.2.29)
Nhận xét về KNV này, SGV nhấn mạnh rằng "Hoạt động 2 được thiết kế để giúp học sinh vận dụng phương pháp phản chứng trong việc chứng minh bài toán HHKG."
SGV tập trung vào việc chứng minh hai đường thẳng chéo nhau thông qua kỹ thuật phản chứng, nhưng chưa chỉ ra phương pháp tìm kiếm chúng Đồng thời, SGV nhận định rằng khái niệm hai đường thẳng chéo nhau khá khó khăn, vì vậy giáo viên nên cung cấp một mô hình để học sinh có thể quan sát và hiểu rõ hơn.
2.2.2 Phân tích chi tiết nhóm T’ a) Kiểu nhiệm vụ T’ 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Bảng 2.3 Kỹ thuật – công nghệ (thứ nhất) của KNV T’ 1
- Đường thẳng qua hai điểm chung đó là giao tuyến của hai mặt phẳng
- Định nghĩa giao tuyến của hai mặt phẳng
- Tính chất thừa nhận 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước
Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm khác nhau trên một mặt phẳng, thì tất cả các điểm trên đường thẳng đó đều nằm trong mặt phẳng ấy.
Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Trên hai đoạn AB và AC lấy hai điểm
𝑁𝐶 = 2 Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với
Trong mặt phẳng (ABC), vì 𝐴𝑀
𝑁𝐶 nên đường thẳng MN và
BC cắt nhau tại một điểm, gọi điểm đó là E Vì D, E cùng thuộc hai mặt phẳng (DMN) và (BCD) nên (𝐷𝑀𝑁) ∩ (𝐵𝐶𝐷) = 𝐷𝐸
Để xác định điểm chung của hai mặt phẳng, ngoài việc sử dụng điểm chung đã có từ hai mặt phẳng, chúng ta cần tìm hai đường thẳng cắt nhau trong mỗi mặt phẳng Giao điểm của hai đường thẳng này sẽ là điểm chung của hai mặt phẳng Kỹ thuật này giúp tạo ra khái niệm mới T’’1, với mục tiêu tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho.
Chúng tôi bổ sung KNV T’’1 vào L1 của nhóm T h
Kỹ thuật giải quyết bài toán này không được đề cập trong sách giáo khoa hoặc sách giáo viên, mà hai đường thẳng cần tìm thường xuất hiện một cách “đột ngột” trong lời giải của sách.
Bảng 2.4 Các bài tập của T’ 1 - 𝝉′ 𝟏.𝟏 trong SGK
Bài tập điểm chung đã có sẵn
Bài tập điểm chung có được nhờ thực hiện KNV T’’1
7b/trang 54 10b/trang 54 2c/trang 71 1a/trang 77 3a/trang 77
Trong bảng 2.4, KNV T’’1 không được nêu rõ, nhưng số lượng bài tập liên quan đến nó khá lớn Qua phân tích các bài tập trong sách giáo khoa, chúng tôi nhận thấy rằng các đường thẳng cần tìm thường đã được đề cập ngay trong tên của mặt phẳng.
Bài tập 3a/ trang 77 yêu cầu tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) trong hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD, với AB là đáy lớn M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC.
Để xác định điểm chung thứ hai giữa hai đường thẳng AD và BC, chúng ta cần xem xét chúng trong cùng một mặt phẳng.
Trong trường hợp tên mặt phẳng chưa có ngay đường thẳng cần tìm (bài
10b/trang 77) thì SGK đã chuẩn bị câu a để học sinh dễ dàng tìm ra hai đường thẳng:
Trong hình chóp S.ABCD với AB và CD không song song, M là điểm trong tam giác SCD Câu a) yêu cầu xác định giao điểm N giữa đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM) Câu b) yêu cầu tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
Nhờ câu a) mặt phẳng (SBM) trùng với (SBN) và hai đường thẳng cần tìm ở câu b) là BN và AC có sẵn ngay trong tên mặt phẳng
Chúng tôi dự đoán rằng đối với học sinh, mặt phẳng được hình thành từ các tam giác có đỉnh nằm trong tên của mặt phẳng Để xác định điểm chung của hai mặt phẳng, học sinh sẽ kéo dài các cạnh của tam giác cho đến khi chúng cắt nhau.
Bảng 2.5 Kỹ thuật – công nghệ (thứ hai) của KNV T’ 1
- Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng
- Tìm phương của giao tuyến (tức là tìm hai đường thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng)
- Giao tuyến là đường thẳng qua điểm chung và song song với hai đường thẳng ấy hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó
- Định nghĩa giao tuyến hai mặt phẳng
Kết luận chương 2
Sau khi phân tích các tổ chức toán học, ngoài các KNV thuộc L2 (T3, T4, T5):
Chúng tôi đã tiến hành chứng minh hai đường thẳng có VTTĐ đã cho sẵn mà không cần sử dụng mô hình vật lý như giấy, tre hay nhựa Qua việc thống kê các hoạt động và bài tập trong sách giáo khoa Hình học 11 CB, chúng tôi tập trung vào các kiến thức và nội dung của L1 (T1, T2, nhóm T’’) để tìm hai đường thẳng có VTTĐ đã biết trên đối tượng vật chất và hình biểu diễn.
Bảng 2.10 iii Số lượng hoạt động, bài tập của loại L 1
Nhóm T’’ phát sinh từ kỹ thuật của nhóm T’
T 1 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên một đối tượng vật chất
T 2 Tìm hai đường thẳng chéo nhau trên hình biểu diễn
T’1 Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
𝝉′ 𝟏.𝟏 T’’ 1 Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn
𝝉′ 𝟏.𝟐 T’’ 2 Tìm hai đường thẳng song song nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn
T’2 Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
𝝉′ 𝟐 T’’ 3 Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho cắt với đường thẳng có sẵn trên hình biểu diễn
T’3 Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
𝝉′ 𝟑 T’’ 4 Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đã cho song song với với đường thẳng có sẵn trên hình biểu diễn
Những ô gạch chéo đại diện cho các nhiệm vụ kỹ thuật không được mô tả rõ ràng trong sách giáo khoa, mà dựa vào việc quan sát mô hình hoặc hình biểu diễn.
Theo bảng 2.10, chỉ có KNV T1 được xây dựng trên đối tượng vật chất, trong khi các kỹ thuật khác chủ yếu dựa vào quan sát trực quan thông qua hình ảnh thực tế hoặc mô hình.
Trong SGK Hình học 11 CB, KNV còn lại của L1 chủ yếu được thực hiện trên hình biểu diễn Điều này cho thấy chỉ có một KNV (T1) cần sử dụng giáo cụ trực quan, trong khi 7 KNV còn lại của cả hai nhóm T và T’ không yêu cầu mô hình.
Trong các kỹ năng vận dụng (KNV) của L1, chỉ có KNV T’’3 được mô tả trong sách giáo khoa (SGK) và sách giáo viên (SGV), trong khi các KNV khác không được nêu rõ Đặc biệt, kỹ thuật 𝝉′′ 𝟑.𝟏 của KNV T’’3 dễ thực hiện hơn so với kỹ thuật 𝝉′′ 𝟑.𝟐, yêu cầu phải quay về KNV T’1 hoặc T’’2 Tổng cộng có 17 bài tập với kỹ thuật không được mô tả trong SGK và SGV, trong đó KNV T’’1 chiếm ưu thế với 11 bài Phân tích cho thấy SGK đã chọn những trường hợp mà đường thẳng cần tìm dễ nhận biết, với 10 trong số 11 bài có đường thẳng rõ ràng từ tên mặt phẳng Từ đó, chúng tôi đưa ra giả thuyết nghiên cứu về quy tắc hành động của học sinh trong việc xác định vị trí giao tuyến giữa hai mặt phẳng khi giải bài toán "Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng" (T’1).
Khi giải bài toán "Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng", học sinh cần xác định điểm chung của hai mặt phẳng được xác định bởi hai tam giác Điều này được thực hiện bằng cách tìm giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác.
Chẳng hạn, điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) sẽ được học sinh xác định theo sơ đồ sau:
Hình 2.1 Ví dụ về giả thuyết H 1 h
NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM VỀ VIỆC TÌM HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU TRÊN HÌNH BIỂU DIỄN CỦA HỌC SINH
Giới thiệu thực nghiệm 1
Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên các học sinh đã học xong chương “Quan hệ song song” trong chương trình HHKG bằng một câu hỏi điều tra
Học sinh làm việc cá nhân và có 15 phút để trả lời bài toán sau:
Trong hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác lồi với các cạnh không song song Gọi M và E lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng SD và AB Nhiệm vụ là xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAE) và mặt phẳng (MBC).
Phân tích tiên nghiệm
3.2.1 Các lựa chọn sư phạm của thực nghiệm
Lựa chọn đầu tiên của thực nghiệm là tạo ra các điều kiện để kiểm chứng giả thuyết
Chúng tôi đã chọn kiểu nhiệm vụ T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” vì giả thuyết H1 được xây dựng dựa trên kiến thức này Trong tình huống thực nghiệm, chúng tôi sẽ xem xét hệ thống các biến liên quan.
Để xác định mặt phẳng, chúng ta có thể sử dụng ba điểm không thẳng hàng hoặc một điểm kết hợp với một đường thẳng không đi qua điểm đó Trong bài viết này, chúng tôi sẽ tập trung vào cách xác định mặt phẳng dựa trên ba điểm không thẳng hàng, theo tiêu chí đã được đề ra.
Kỹ thuật V2 được áp dụng để giải quyết bài toán KNV T’1 (𝝉′ 𝟏.𝟏, 𝝉′ 𝟏.𝟐) Chúng tôi đã chọn kỹ thuật 𝝉′ 𝟏.𝟏 nhằm tìm hai đường thẳng cắt nhau trong hai mặt phẳng đã cho, như thể hiện trong hình vẽ Đặc biệt, trong đề bài và hình vẽ, chúng tôi không bao gồm các cặp đường thẳng song song.
Trong bài thực nghiệm này, chúng tôi sẽ trình bày đặc điểm của các đường thẳng trên hai mặt phẳng chéo nhau, với hình biểu diễn cho thấy các đường thẳng cắt nhau Cụ thể, các cặp đường thẳng như SA và MC, SB và MC có thể kéo dài và cắt nhau trên hình vẽ, trong khi SA và MB không thể cắt nhau Việc sử dụng hình biểu diễn giúp học sinh tiết kiệm thời gian vẽ hình và đồng thời tạo ra nhiều cách giải khác nhau Tất cả học sinh sẽ cùng nhìn vào một hình duy nhất, đối diện với tình huống các đường thẳng cắt nhau trên hình vẽ nhưng không cắt nhau trong thực tế.
- V 4 : Hai mặt phẳng có điểm chung có sẵn hay chưa
Hai mặt phẳng có hai điểm chung có sẵn trong tên mặt phẳng hoặc trên hình biểu diễn sẽ không kiểm chứng được giả thuyết
Bài tập 7/SGK trang 54 yêu cầu tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) với bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng Cụ thể, I và K là trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC Ngoài ra, bài tập cũng yêu cầu xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN) khi M và N là hai điểm trên các đoạn thẳng AB và AC.
Trong SGV, ở câu a, điểm chung I, K đã được xác định trong tên mặt phẳng, trong khi ở câu b, điểm chung E, F được thể hiện trên hình biểu diễn nhưng không đủ để kiểm chứng giả thuyết Điều này là do các điểm chung đã có sẵn trên các cạnh của tam giác trong tên mặt phẳng.
Hai mặt phẳng có một điểm chung trong tên gọi của chúng có thể kiểm chứng giả thuyết, nhưng điều này sẽ ảnh hưởng đến tính tổng quát của giả thuyết Việc này hạn chế số lượng đường thẳng mà học sinh có thể lựa chọn, vì điểm chung chỉ có thể được tìm thấy trên hai đường thẳng không đi qua điểm chung đã có sẵn.
Hai mặt phẳng không có điểm chung sẽ tạo điều kiện lý tưởng để kiểm chứng giả thuyết, nhưng khi có một điểm chung dễ tìm, như điểm B, sẽ tiết kiệm thời gian và giữ nguyên ý nghĩa của thực nghiệm Điều này cũng tạo động lực cho học sinh bằng cách giảm bớt số lượng đường thẳng mà họ phải lựa chọn.
Chiến lược 1 (S 1 ) : Kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn
Học sinh sẽ kéo dài các cạnh của hai tam giác trong tên mặt phẳng Học sinh có thể nối
AE và BC để tìm ra điểm B hoặc học sinh sẽ kéo dài các cặp cạnh khác cho cắt nhau
Giao tuyến giữa các điểm như SE với MB, SA với MC, và SE với MC sẽ tạo thành một đường thẳng nối hai giao điểm Trong bài viết này, chúng tôi tập trung vào các trường hợp giao điểm khác ngoài B, vì giao điểm B không rõ ràng thể hiện giả thuyết H1.
Hình 3.1 Các cách thể hiện của chiến lược 1
Học sinh thường gặp khó khăn trong việc kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn do nhiều nguyên nhân Theo Lê Thị Thùy Trang (2010), việc chuyển đổi các đối tượng hình học ba chiều thành hình vẽ trên giấy hai chiều dẫn đến tình trạng mất mát thông tin Điều này làm cho việc tiếp cận vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian trở nên không còn trực quan như khi làm việc với hình học phẳng.
Từ đó, chúng tôi trình bày mối quan hệ đối tượng HHKG, HHP và hình vẽ trong dạy học bằng sơ đồ dưới đây:
Hình 3.2 Mối quan hệ giữa đối tượng HHKG, HHP và hình vẽ
Trong dạy học HHP, đối tượng HHP được thể hiện qua hình vẽ - mô hình của đối tượng này Khi hai đoạn thẳng trong hình vẽ cắt nhau, điều đó có nghĩa là hai đường thẳng đó cũng cắt nhau.
Trong dạy học hình học không gian (HHKG), đối tượng được biểu diễn qua hình vẽ hoặc mô hình Khi hai đoạn thẳng trong hình vẽ cắt nhau, điều này cho thấy chúng có thể giao nhau hoặc chéo nhau.
Dẫn đến, để giải thích cho cách làm của học sinh ở chiến lược này, chúng tôi đề xuất giả thuyết H2 như sau:
“Học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.”
Trong hình học không gian, hai đường thẳng cắt nhau được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng có điểm chung Học sinh sẽ nhận diện hai đoạn thẳng này như là đại diện cho hai đường thẳng giao nhau trong không gian hình học.
Chiến lược này sẽ cho phép chúng tôi hợp thức được giả thuyết H1
Chiến lược 2 (S 2 ): Tìm hai đường thẳng đồng phẳng trên hai mặt phẳng
Học sinh nối AE và BC để xác định điểm chung B, cùng với điểm giao của hai đường thẳng đồng phẳng không đi qua B nằm trên hai mặt phẳng khác nhau Do tam giác trong tên hai mặt phẳng không còn cặp cạnh nào đồng phẳng, học sinh sẽ giữ lại một đường trong mặt phẳng này và mở rộng tam giác trong mặt phẳng kia để tìm đường thẳng đồng phẳng với đường thẳng SA của (SAB) Cụ thể, học sinh kéo dài AD và BC để chúng cắt nhau tại N, từ đó xác định (MBC) ≡ (MNC) Điểm chung cần tìm là giao điểm F của MN và SA Để thực hiện chiến lược này, học sinh cần nhận diện hình vẽ như mô hình không gian, qua đó nhận ra VTTĐ giữa các đường thẳng Khi quan sát mặt phẳng (SAE) hay (MBC), học sinh không bị giới hạn bởi hai tam giác SAE và MBC, mà có thể mở rộng chúng khi cần để tìm kiếm các đường thẳng đồng phẳng.
Phân tích hậu nghiệm
Do học sinh lớp 11 chưa hoàn thành chương II, chúng tôi đã thực hiện thí nghiệm trên 126 học sinh lớp 12 vào đầu năm học Cụ thể, 43 học sinh lớp 12B5 tại trường THPT Châu Thành, Bà Rịa – Vũng Tàu, và 41 học sinh lớp 12A1 cùng 42 học sinh lớp 12A15 tại trường THPT Chu Văn An, Ninh Thuận Chúng tôi tin rằng sự thay đổi này không ảnh hưởng đến kết quả, vì kiến thức của học sinh về VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian vẫn giữ nguyên.
Từ đó, chúng tôi thu được bảng thống kê số lượng các lời giải được sử dụng như sau:
Bảng 3.1 Số lượng các lời giải của học sinh
Các lời giải 12B5 12A1 12A15 Số lượng
S1: Kéo dài các đoạn thẳng trên hình biểu diễn
S2: Tìm hai đường thẳng đồng phẳng trên hai mặt phẳng
K3: Kẻ đường thẳng song song 3 1 2 6
Chỉ tìm ra được điểm B 5 4 4 13 h
Chưa đi đến kết quả
Hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng có điểm chung thì cắt nhau
Hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng không có điểm chung thì song song
Khoảng 50% học sinh (63/126) áp dụng chiến lược S1, xác nhận giả thuyết H1 rằng khi giải bài toán "Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng", học sinh xác định điểm chung của hai mặt phẳng qua việc tìm giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng nằm trên cạnh tam giác.
Chỉ có 3/126 học sinh sử dụng chiến lược S2 có nghĩa là rất ít học sinh có thể giải quyết được bài toán này
Chúng tôi sẽ phân tích chi tiết số lượng lời giải khác (25/126) và những trường hợp chưa đi đến kết quả (30/126) Đối với các học sinh bỏ trống (5/126) hoặc chỉ đạt điểm B nhưng chưa có kết quả (13/126), nguyên nhân có thể do các em đã học giao tuyến của hai mặt phẳng quá lâu, dẫn đến việc quên định nghĩa và phương pháp giải Đây là một hạn chế đáng tiếc của quá trình thực nghiệm.
Dưới đây chúng tôi phân tích chi tiết các lời giải của học sinh
3.3.1 Lời giải theo chiến lược S 1
Sau khi xác định giao điểm đầu tiên giữa SAE và MBC tại điểm B, học sinh đã áp dụng nhiều phương pháp để kéo dài các cạnh của tam giác trong mặt phẳng.
- Kéo dài cạnh SA và CM:
Hình 3.4 Bài làm của học sinh A15-04
- Kéo dài cạnh SE và MC:
Hình 3.5 Bài làm của học sinh A15-09 h
- Kéo dài cạnh AE và MC:
Hình 3.6 Bài làm của học sinh A15-14
- Kéo dài cạnh SE và MB:
Hình 3.7 Bài làm của học sinh B5-12 h
- Kéo dài cạnh SE và BC:
Hình 3.8 Bài làm của học sinh A1-12
- Kéo dài SA và BC:
Hình 3.9 Bài làm của học sinh A1-15
Có nhiều học sinh khi có được giao điểm B thì (SAE) sẽ trở thành (SAB) nên học sinh kéo dài cạnh SB và MC h
Hình 3.10 Bài làm của học sinh B5-14
Một số học sinh khác không quan tâm đến điểm B và các em kéo dài cả hai cặp cạnh:
Học sinh A15-08 trong bài làm của mình đã cho thấy rằng khi giải bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, nhiều em thường xác định điểm chung bằng cách sử dụng hai đường thẳng chứa cạnh tam giác, mà không chú ý đến vị trí tương đối thực sự của chúng Thậm chí, một số học sinh còn nhầm lẫn rằng mặt phẳng được xác định bởi ba điểm là đồng nhất với tam giác được tạo ra từ ba điểm đó.
Hình 3.12 Bài làm của học sinh B5-13
Lời giải của học sinh trong chiến lược này đã chứng minh sự tồn tại của giả thuyết H2, khi học sinh nhìn nhận hình biểu diễn như một đối tượng 2D, cho thấy rằng học sinh đồng nhất hình vẽ.
- mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.” (Sơ đồ Hình 3.2, trang 30)
3.3.2 Lời giải theo chiến lược S 2
Chỉ có 3 trong số 126 học sinh bác bỏ giả thuyết H1 khi quan sát hình ảnh dưới dạng 3D Khi hai tam giác trong mặt phẳng không tìm thấy các đường thẳng đồng phẳng, học sinh đã mở rộng tam giác bằng cách kéo dài các cạnh Đặc biệt, 2 học sinh đã kéo dài cạnh AD và BC để mở rộng tam giác trong mặt phẳng.
Hình 3.13 Bài làm của học sinh B5-40
Sau khi xác định điểm chung đầu tiên là B, học sinh B5-40 không tìm thấy điểm chung thứ hai Để giải quyết, học sinh đã vẽ đường thẳng d đi qua M và song song với BC Tuy nhiên, do không xác định được giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (SAE), học sinh đã kéo dài các đường AD và BC để tạo ra giao điểm K trong tam giác.
MK cắt SA tại I I là giao điểm thứ hai cần tìm
Học sinh A1-36 cũng mở rộng tam giác nhưng theo một cách khác:
Hình 3.14 Bài làm của học sinh A1-36 h
Học sinh A1-36 cho hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Lúc này, SO và
Gọi I là giao điểm của SO và mặt phẳng MB Học sinh mở rộng tam giác MBC bằng cách kéo dài CI để cắt SA tại điểm K, đây là giao điểm thứ hai cần xác định.
Hình 3.15 Bài làm của học sinh B5-31
Học sinh xem (MBC) trong (SBC) dẫn đến việc xem S là điểm chung giữa (MBC) và (SAE) Dù chiến lược này không hỗ trợ giả thuyết H1, nó đã làm phong phú thêm khẳng định của chiến lược S1 rằng một số học sinh nhận diện hình biểu diễn như một đối tượng 2D.
Hình 3.16 Bài làm của học sinh B5-25
Học sinh thường gặp khó khăn trong việc hiểu giao tuyến của hai mặt phẳng, mà thực chất là một đường thẳng nằm giữa chúng Nguyên nhân có thể do giáo viên thường sử dụng ví dụ về cạnh của quyển sách mở để minh họa, dẫn đến sự nhầm lẫn trong nhận thức.
- K3: Kẻ đường thẳng song song
Một số học sinh đã mở rộng tam giác trong mặt phẳng (MBC) bằng cách vẽ một đường thẳng đi qua điểm M và song song với cạnh BC, sau đó cho đường thẳng này cắt đoạn thẳng SA.
Hình 3.17 Bài làm của học sinh A1-41 h
Học sinh thực hiện theo cách này giúp chúng tôi nhận ra sự hiện diện của giả thuyết H2, khi mà “học sinh đồng nhất hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG với hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau.”
3.3.4 Lời giải chưa đi đến kết quả
- Có 13/126 học sinh chỉ tìm được điểm B
Những lời giải này chưa cho phép chúng tôi có kết luận cụ thể, vì không biết học sinh đang định đi theo chiến lược nào
Hình 3.18 Bài làm của học sinh B5-27
Một số lời giải không đạt được kết quả rõ ràng, mặc dù không tìm thấy điểm chung giữa hai mặt phẳng, nhưng vẫn mang lại nhiều thông tin thú vị cho chúng tôi.
- Có 12/126 học sinh xem hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng có điểm chung thì cắt nhau
Ví dụ: học sinh A15-22 viết AD cắt MB tại O, học sinh A1-23 viết K là giao điểm của SB và ME,
- Có 5/126 học sinh xem hai đường thẳng được biểu diễn bằng hai đoạn thẳng không có điểm chung thì song song
Học sinh A15-24 đã viết MB//SA, trong khi học sinh A1-26 mở rộng tam giác trên mặt phẳng bằng cách kéo dài AD và CD để cắt nhau tại F Mặc dù CM và SF có vẻ song song, học sinh này không đưa ra kết luận do thiếu dữ kiện Khi được hỏi về việc nối SF, em cho rằng SF và MC song song nhưng không biết cách chứng minh.
Kết luận chương 3
Kết quả thực nghiệm cho phép chúng tôi xác nhận giả thuyết về việc tìm điểm chung trong bài toán giao tuyến của hai mặt phẳng.
Khi giải bài toán “Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng”, học sinh cần xác định điểm chung của hai mặt phẳng qua hai tam giác bằng cách tìm giao điểm trên hình biểu diễn của hai đường thẳng Tuy nhiên, đa số học sinh (105/126) chỉ coi hình biểu diễn là mô hình 2D, chưa nhận thức được tính chất 3D của đối tượng Đặc biệt, có 96 trường hợp cho thấy học sinh thường nhầm lẫn giữa hình vẽ mô hình của đối tượng hình học không gian và hình vẽ mô hình của đối tượng hình học phẳng khi hai đường thẳng cắt nhau.
Thực nghiệm này đã chỉ ra một khó khăn lớn mà học sinh gặp phải khi nghiên cứu vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trên hình biểu diễn Cụ thể, trong bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, nhiều học sinh không thể hình dung được vị trí tương đối giữa hai đường thẳng chỉ dựa vào hình vẽ.
Để giúp học sinh phân biệt giữa hình vẽ - mô hình của đối tượng HHKG và hình vẽ - mô hình của đối tượng HHP, chúng tôi đề xuất giả thuyết rằng MHTQ có thể hỗ trợ trong việc này Điều này dựa trên yêu cầu của SGV về việc sử dụng MHTQ trong giảng dạy HHKG, đặc biệt là trong việc dạy VTTĐ giữa hai đường thẳng Do đó, chúng tôi đặt ra câu hỏi về hiệu quả của MHTQ trong quá trình học tập của học sinh.
Giáo viên đã áp dụng MHTQ trong việc giảng dạy khái niệm VTTĐ giữa hai đường thẳng, đồng thời để giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” Thay vì chỉ tập trung vào KNV T’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn”, chúng tôi đề xuất bổ sung KNV mới T’’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ”.
Khi đó, chúng tôi cần giải quyết câu hỏi:
Q4: Có thể thiết kế một tình huống dạy học KNV T’’’ 1 : “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên MHTQ” như thế nào? h
DẠY HỌC VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG QUA MÔ HÌNH TRỰC QUAN
Nghiên cứu việc sử dụng mô hình trực quan của giáo viên
Tìm hiểu việc sử dụng MHTQ trong dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng của giáo viên
4.1.2 Giới thiệu tiến trình tổ chức điều tra, phỏng vấn
Chúng tôi tiến hành điều tra bằng bảng câu hỏi trên các giáo viên đã giảng dạy lớp
11 ở các lớp đã làm thực nghiệm 1 (ở chương 3) về việc sử dụng MHTQ trong dạy học VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian h
Phiếu 1: Khi dạy học “Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian”
Trong bài 2 về hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song, các thầy cô có thể sử dụng các phương tiện trực quan như hình vẽ, mô hình 3D hoặc phần mềm đồ họa để biểu diễn vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Những công cụ này giúp học sinh dễ dàng hình dung và hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đường thẳng trong không gian Việc sử dụng phương tiện trực quan không chỉ tăng tính sinh động cho bài học mà còn hỗ trợ việc tiếp thu kiến thức một cách hiệu quả hơn.
Các thầy cô có thể chọn nhiều lựa chọn để đánh dấu X vào các phương tiện giảng dạy, bao gồm: a) Hình biểu diễn phẳng như trên bảng hoặc sách giáo khoa; b) Đồ vật và hình ảnh thực tế; c) Mô hình các khối hình không gian như tứ diện, lăng trụ, hình hộp chữ nhật; d) Hình biểu diễn 3 chiều từ các phần mềm hình học động; và e) Các phương tiện khác nếu có.
Sau khi thu từng phiếu, chúng tôi sẽ căn cứ trên từng lựa chọn của giáo viên để tiến hành phỏng vấn trực tiếp
Phiếu 2: Câu hỏi phỏng vấn
Sử dụng các phiếu phỏng vấn tương ứng theo sơ đồ sau:
Phiếu 2.1: Thầy/ cô sử dụng đồ vật, mô hình, hình ảnh thực tế gì để biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng trong các trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau, chéo nhau)?
Phiếu 2.2: Thầy/ cô sử dụng phần mềm hình học động nào để biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng trong các trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau, chéo nhau)?
Lựa chọn 1b Lựa chọn 1c Phiếu 2.2 Lựa chọn 1d Phiếu 2.3 Lựa chọn 1e h
Phiếu 2.3: Thầy/cô biểu diễn VTTĐ giữa hai đường thẳng trong không gian trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau (song song, trùng nhau, chéo nhau) như thế nào?
Phiếu 3: Câu hỏi phỏng vấn
Thầy/ cô hướng dẫn học sinh bài tập sau như thế nào?
Trong hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh song song, ta xác định M và E là trung điểm của SD và AB Nhiệm vụ là tìm giao tuyến của mặt phẳng (SAE) và mặt phẳng (MBC).
Thầy/ cô có sử dụng PTTQ đã dùng ở trên khi hướng dẫn bài tập này không? Vì sao?
Mục đích phiếu 1: Tìm hiểu loại MHTQ được giáo viên sử dụng khi dạy
VTTĐ giữa hai đường thẳng
Chúng tôi mô hình hóa các lựa chọn vào trong sơ đồ PTTQ trong dạy HHKG qua hình 4.1:
Hình 4.1: Vị trí của các lựa chọn trong PTTQ
Theo hình 4.1, lựa chọn a không phải là MHTQ, vì vậy chúng tôi đưa ra lựa chọn này nhằm hạn chế việc giáo viên ghi mục này vào phần e) Khác Chúng tôi dự đoán rằng đây sẽ là mục mà tất cả giáo viên sẽ chọn, do hình vẽ luôn là một lựa chọn sư phạm quen thuộc khi biểu diễn đối tượng HHKG.
Lựa chọn b và c được gợi ý bởi SGV với nội dung “hình ảnh thực tế/mô hình”, tuy nhiên chúng tôi tách riêng hai lựa chọn này để tăng tính phong phú và tránh nhầm lẫn cho giáo viên Dự đoán rằng lựa chọn b sẽ được nhiều giáo viên ưu tiên hơn, vì họ có thể sử dụng các vật thật có sẵn trong lớp học như cạnh tường, bút, thước,… Trong khi đó, lựa chọn c có thể ít được chọn do sự thiếu đa dạng và cồng kềnh khi di chuyển và sử dụng.
Trong những năm gần đây, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã khuyến khích mạnh mẽ việc ứng dụng công nghệ thông tin (CNTT) trong giảng dạy, dẫn đến sự quan tâm lớn từ giới nghiên cứu và giáo viên đối với phần mềm hình học động trong dạy học Hóa học và Khoa học tự nhiên Nhiều sáng kiến kinh nghiệm, luận văn, luận án và tài liệu hướng dẫn sử dụng phần mềm đã được phát triển nhằm hỗ trợ giáo viên trong quá trình giảng dạy.
Bộ sách “Khám phá Hình học 10, 11, 12 với The Geometer’s Sketchpad” do Trần Vui chủ biên (2007, 2008, 2009) giới thiệu nhiều hoạt động thú vị trong việc khám phá Hình học cho học sinh THPT thông qua phần mềm Geometer’s Sketchpad (Bùi Minh Đức, 2018) Chúng tôi dự đoán rằng đây sẽ là một lựa chọn hấp dẫn cho giáo viên trong việc giảng dạy môn Hình học.
Lựa chọn e chủ yếu để chúng tôi có thể biết thêm những MHTQ khác mà chúng tôi chưa tìm hiểu hết
Mục đích của phiếu 2 là tìm hiểu phương thức biểu diễn vận tốc thời gian biểu diễn giữa hai đường thẳng mà giáo viên áp dụng cho từng môn học Qua đó, chúng ta có thể nhận diện những ưu tiên sư phạm khi sử dụng môn học này.
Phiếu 2.1 nhằm tìm hiểu cách giáo viên sử dụng vật thật trong giảng dạy Chúng tôi dự đoán rằng giáo viên thường sử dụng các vật có sẵn trong lớp học như cạnh tường hay bút, thước để minh họa cho VTTĐ của hai đường thẳng Khi cần biểu diễn VTTĐ trên hình khối, giáo viên thường chọn hình biểu diễn phẳng thay vì mô hình không gian do kích thước cố định và sự cồng kềnh của chúng Trong khi đó, học sinh lại thường xuyên làm việc với các hình khối như khối chóp, lăng trụ, hình hộp Điều này đặt ra câu hỏi liệu học sinh có thể liên hệ giữa VTTĐ của hai đường thẳng trong thực tế với VTTĐ trên hình khối hay không.
Phiếu 2.2 giúp chúng tôi khám phá các phần mềm hình học động mà giáo viên thường sử dụng Mặc dù có nhiều phần mềm, chúng tôi nhận thấy rằng ngoài khả năng biểu diễn hình phẳng 2D, các tính năng 3D như xoay và “trải” khối đa diện lên mặt phẳng là rất quan trọng Đặc biệt, tính năng xoay hình được giáo viên ưu tiên sử dụng, giúp học sinh quan sát vị trí tương đối của hai đường thẳng từ nhiều góc độ khác nhau Qua đó, học sinh có thể hình thành hiểu biết đúng đắn về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và hình dung cách chúng tương tác trong thực tế thông qua các hình biểu diễn.
Phiếu 2.3 với mục đích tìm hiểu sâu hơn những MHTQ mà chúng tôi chưa biết
Mục đích của phiếu 3 là nghiên cứu cách giáo viên sử dụng các phương thức biểu diễn trong bài toán HHKG, mà không cung cấp hình vẽ sẵn Chúng tôi dự đoán rằng, tương ứng với các phương tiện trực quan đã đề cập trong phiếu 1, giáo viên sẽ áp dụng ba chiến lược khác nhau để biểu diễn bài toán này.
Chiến lược 1: Dùng hình biểu diễn phẳng
Giáo viên sẽ dùng những hình vẽ trên bảng hoặc hình biểu diễn 2 chiều trên máy chiếu để hướng dẫn học sinh
Hình 4.2 Hình biểu diễn phẳng h
Chúng tôi dự đoán rằng chiến lược này sẽ trở thành sự lựa chọn phổ biến của hầu hết giáo viên, vì việc sử dụng hình biểu diễn phẳng là yêu cầu thiết yếu trong thể chế khi giải quyết các bài toán liên quan đến HHKG.
Chiến lược 2: Dùng vật thật
Chúng tôi dự đoán chiến lược này sẽ không xảy ra vì khó tìm được vật thật tương ứng cho bài toán
Chiến lược 3: Dùng hình biểu diễn ba chiều
Thực nghiệm 2
4.2.1 Mục đích thực nghiệm Để giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng”, chúng tôi thiết kế một tình huống dạy học KNV T’’’2: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình nổi của phần mềm GeoGebra” nhằm hỗ trợ cho những học sinh không thực hiện được KNV T’’1: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình biểu diễn”
Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm với 40 học sinh lớp 12A1 tại trường THPT Chu Văn An, Ninh Thuận, trong đó học sinh A1-36 không tham gia thực nghiệm 2 do đã hoàn thành nhiệm vụ ở thực nghiệm 1 Trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi phát phiếu thực nghiệm kèm theo kính 3D và sử dụng phần mềm Geogebra để biểu diễn hình nổi.
Hình 4.5 Biểu diễn hình nổi
Thực nghiệm được chia làm 2 pha h
Pha 1: Làm quen với kính 3D và hình nổi Anaglyph
Học sinh có 10 phút làm việc cá nhân trên phiếu A
Phiếu A: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song song Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB
Học sinh đeo kính 3D, nhìn vào màn hình có sẵn file hình và đánh dấu X vào vị trí tương đối giữa các đường thẳng sau:
STT Hai đường thẳng Vị trí tương đối
Song song Cắt nhau Chéo nhau
Sau đó, chúng tôi thu phiếu A và tiếp tục thực hiện pha 2
Pha 2: Giải quyết KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” với sự trợ giúp của hình nổi trong GeoGebra
Chia lớp thành 10 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh, với mỗi nhóm được trang bị một máy tính cài đặt phần mềm GeoGebra Phần mềm này đã được thiết lập sẵn nút "Vẽ đường thẳng qua hai điểm" và có file hình chóp (hình 4.6) để hỗ trợ học sinh trong quá trình học tập.
Hình 4.6 Biểu diễn hình chóp trong chế độ hình nổi trên GeoGebra
Pha 2.1: Thực hiện KNV T’’’2: “Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình nổi của phần mềm GeoGebra”
Học sinh sử dụng kính 3D để quan sát hình chóp trong chế độ hình nổi Giáo viên hướng dẫn học sinh chỉ ra hai đường thẳng cắt nhau trên hai mặt phẳng (SAE) và (MBC), ví dụ như cặp đường thẳng AE và BC hoặc AE và MB Sau đó, giáo viên yêu cầu học sinh tìm cặp đường thẳng không đi qua điểm B, nằm trên từng mặt phẳng (SAE) và (MBC) sao cho chúng cắt nhau Cuối cùng, giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ đường thẳng bằng phần mềm GeoGebra.
Học sinh có 10 phút để làm việc nhóm, thao tác trên phần mềm và trình bày kết quả vào phiếu B
Phiếu B: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song song Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB
Hãy tìm hai đường thẳng cắt nhau (không đi qua B) nằm trong hai mặt phẳng (SAE) và (MBC)
Chúng tôi thu phiếu B và yêu cầu học sinh tắt màn hình máy tính để thực hiện pha 2.2
Pha 2.2: Thực hiện KNV T’1: “Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” trong môi trường giấy – bút
Học sinh làm việc cá nhân trong 5 phút để thực hiện phiếu C
Phiếu C: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là tứ giác lồi không có cặp cạnh nào song song Gọi M, E lần lượt là trung điểm của SD và AB
Vẽ giao tuyến của (SAE) và (MBC) trên hình bên dưới
Sau thời gian học, chúng tôi thu bài của những học sinh đã hoàn thành Đối với những học sinh chưa thực hiện được, chúng tôi cho phép mở màn hình máy tính để quan sát file hình chóp 3D của nhóm và thực hiện trong 5 phút.
Mục đích của pha 1 là kiểm tra khả năng nhận thức của học sinh về mối quan hệ giữa các đối tượng trong hình nổi thông qua hình thức làm việc cá nhân Chúng tôi đã chọn những cặp đường thẳng mà học sinh mắc sai lầm trong thực nghiệm 1 để xác định xem những sai lầm này có tái diễn khi học sinh quan sát hình nổi hay không.
Bảng 4.2 Lời giải đúng của phiếu A
STT Hai đường thẳng Vị trí tương đối
Song song Cắt nhau Chéo nhau
Mục đích pha 2: Kiểm tra xem học sinh có thể giải quyết được KNV T’1:
“Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng” được hay không?
Chúng tôi chia thiết kế pha này thành hai phần nhỏ, trong đó pha 2.1 nhằm giải quyết KNV T’’’2: "Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong hai mặt phẳng đã cho trên hình nổi của phần mềm GeoGebra" Để thực hiện điều này, chúng tôi xây dựng một tùy chọn trên thanh công cụ trong môi trường GeoGebra.
Nút (Vẽ đường thẳng) được sử dụng để vẽ đường thẳng đi qua hai điểm Học sinh đeo kính 3D để quan sát hình chóp ở chế độ hình nổi và thao tác vẽ đường thẳng trên phần mềm Môi trường hình nổi tạo điều kiện cho học sinh dễ dàng quan sát, trong khi các chức năng hiển thị 3D trong GeoGebra được khóa để tạo ra môi trường tương tự như giấy bút, nơi học sinh chỉ có thể “mở rộng” mặt phẳng bằng cách kéo dài các cạnh của tam giác Hình thức làm việc nhóm được lựa chọn để học sinh hỗ trợ và khắc phục sai lầm của nhau Việc hai đường thẳng h không đi qua B của (SAE) và (MBC) dẫn đến việc học sinh phải mở rộng tam giác, và chúng tôi dự đoán rằng học sinh sẽ mở rộng tam giác theo nhiều cách khác nhau.
- Dựng đường thẳng AD và BC:
Trong hình chóp, đường thẳng AD và BC được dựng, với F là giao điểm của chúng Hai đường thẳng cần tìm giao nhau là MF và SA.
- Dựng đường thẳng AB và CD:
Trong hình chóp, đường thẳng AB và CD được dựng, với F là giao điểm của chúng Hai đường thẳng SF và MC gần như song song, do đó học sinh cần thay đổi phương pháp để dựng một đường thẳng khác.
- Dựng đường thẳng AC và BD h
Trong hình chóp, đường thẳng AC và BD được dựng lên, với O là giao điểm của chúng Giao điểm I được xác định là nơi SO cắt BM Hai đường thẳng cần tìm là CI và SA.
Pha 2.2: Sau khi học sinh làm xong pha 2.1 Chúng tôi sẽ yêu cầu học sinh tắt màn hình và làm việc cá nhân để hoàn thành phiếu C trong môi trường giấy bút Mục đích của pha này là để kiểm tra sau khi có sự hỗ trợ của hình nổi trong pha 2.1 học sinh có thể giải quyết được vấn đề trong môi trường giấy bút quen thuộc hay không? Chúng tôi dự đoán nếu học sinh thực hiện được pha 2.1 thì sẽ thực hiện được pha 2.2
Hình 4.10 Một cách giải của phiếu C h
Chúng tôi đã tiến hành so sánh câu trả lời của 40 học sinh lớp 12A1 trong thực nghiệm 1 và phiếu A, như thể hiện trong bảng 4.3 Học sinh A1-36 không gặp khó khăn trong thực nghiệm 1, do đó không tham gia vào thực nghiệm 2.
Bảng 4.3 Kết quả về VTTĐ giữa các đường thẳng qua hình biểu diễn phẳng và hình nổi h
Trong thực nghiệm 2 với phiếu A, chúng tôi đã chọn các trường hợp đường thẳng chéo nhau Qua bảng 4.3, đa số học sinh xác định được VTTĐ giữa hai đường thẳng chéo bằng kính 3D trên hình nổi, với 374/400 câu trả lời chính xác Đặc biệt, có 29/40 học sinh trả lời đúng tất cả các câu hỏi.
Một số học sinh gặp khó khăn trong việc trả lời câu hỏi, với A1-03 và A1-31 sai 4 câu, A1-15 và A1-16 sai 3 câu, còn A1-04, A1-09, A1-22, A1-27, A1-32 sai 2 câu Đặc biệt, học sinh sai nhiều ở câu số 5 (SE và BC: 5/40), câu số 7 (SA và BC: 6/40), câu số 8 (SA và MB: 5/40), và câu số 10 (ME và SB: 3/10) Điều này cho thấy việc sử dụng kính 3D để quan sát hình nổi chưa giúp học sinh xác định VTTĐ giữa hai đường thẳng một cách hiệu quả Tuy nhiên, vẫn có những chuyển biến tích cực, như học sinh A1-03 không mắc lại sai lầm ở thực nghiệm 1.